三角函数与二次函数综合专题(含解析汇报)
（完整版）二次函数综合题分类讨论带答案.doc
（完整版）二次函数综合题分类讨论带答案.doc二次函数综合题分类讨论一、直角三角形分类讨论：11、已知点 A(1 ，0),B（ -5,0），在直线y 2 x 2 上存在点C，使得 ABC 为直角三角形，这样的 C 点你能找到个2、如图 1，已知抛物线C1：y a x 2 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相较于 A 、 B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1.（1）求P 点坐标及a的值；（ 2）如图 1，抛物线C2与抛物线C1关于x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3， C,3的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C,3的解析式；（ 3）如图 2，点 Q 是 x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q 旋转180 后得到抛物线C,4，抛物线 C,4的顶点为N，与 x 轴相交于 E、 F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、 F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标。
（2013 汇编 P56+P147）3、如图，矩形A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的．O’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1，3)．(1)如果二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；(2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM 为直角三角形若存在，请求出P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边C’O’所在直线的解析式．练习（ 09 成都 28）已知抛物线与x 轴交于 A 、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与 y 轴交于点C，其顶点为 M ，若直线 MC 的函数表达式为 y=kx-3 ，与 x 轴的交点为N，且cos∠BCO ＝(3 √ (10) /10)．（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N 、 P、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；（ 3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q. 若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度5 ?4A 二、4321N2 B 2 4 6 8 10 12 14 16 18123P4M56等腰三角形分类讨论1、如图，已知 Rt Rt ABC , ACB 90 , BAC 30 , 在直线BC或直线AC上取一点P，使得 PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有个2 A的坐标为(12)，，点B的坐标为(31)，，二次函数 y x2、①，在平面直角坐标系中，点的图象记为抛物线l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图②，求抛物线l2 的函数表达式．（3）设抛物线l2 △△，求点 K 的坐标．的顶点为 C ， K 为 y 轴上一点．若S ABK SABC（ 4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l 2上是否存在点P ，使△ ABP 为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．yyyl 2l 1l 2AAA1B1CBx1BO xOO 111图①图②图③解：（ 1 ）有多种答案，符合条件即可．例如yx 2 1， y x 2 x ， y( x 1)22 或y x 2 2x 3 ， y (x2 1)2 ， y (x 12) 2 ．（2）设抛物线 l 2 的函数表达式为 y x 2bxc ，yl 2Q 点 A(12)，， B(31)，在抛物线 l 2 上，KGA1 b c ，b9 ，2 29 3b c 解得111c.抛物线 l 2 的函数表达式为y x 2 9 x 11 ．2 29 x 119 27 ，9，7（3） yx 2 xC 点的坐标为．2 2 4 164 16 过 A ， B ， C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D ，E ，F ，则 AD 2 ， CF7 ， BE1， DE5 ， FE316 2 ， DF．44 S △ ABCS 梯形ADEBS梯形 ADFCS梯形 CFEB1(2 1) 2 1 2 75 1 1 73 15 ．2 2 164 2 164 16延长 BA 交 y 轴于点 G ，设直线 AB 的函数表达式为 y mx n ，2 m ，m1 ，Q 点 A(12)，， B(31)，在直线 AB 上， n21 3m 解得5n.n.2直线 AB 的函数表达式为 y1x 5 G 点的坐标为52 ．0，．22BCO D F E图②设 K 点坐标为(0，h)，分两种情况：若 K 点位于 G 点的上方，则KG h 5 ．连结AK ，BK ．2S△ABK S△BKG S△AKG 1 3 h 5 1 1 h 5 h 5 ．2 2 2 2 2Q S△ABK15 5 15，解得 h55K 点的坐标为55 S△ABC ，h16 16．0，．16 2 16若 K 点位于 G 点的下方，则KG 5h ．同理可得， h25．2 16 yK 点的坐标为25．l 2 0，16 A（4）作图痕迹如图③所示． B由图③可知，点P 共有3个可能的位置．O图③2、如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，y点 A 、 C 的坐标分别为A(10 ， 0)、 C（ 0,4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在PCBC 边上运动，当是腰长为 5 的等腰三角形时，点P 的坐标为O D 3、在菱形 ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点 O，以 O 为坐标原点，以 BD 所在直线为 x 轴， CA 所在直线为 y 轴建立如图所示的坐标系，且AC=12 ，BD=16 ，E 为 AD 的中点，点 P 在线段 BD 上移动，若为等腰三角形，则所有符合条件的点P 的坐标为三、最值问题 B类型一：两点之间线段最短 C 1、请写出2m 3 2 1 8 2m 2 4 的最小值为 A2、如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，对角线BD 上60 ，得到BN，连EN任一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转EN、 AM 、CM ，求证：（ 1）AMB ENB ，(2)M点在何处时，AM+CM值最小，（3）AM+BM+CN 最小值为3 1 时，求正方形的边长（2012 汇编P52+P137） B xBxAyAExDDMC3、（ 2010 年天津 25）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，OA=3 ，OB=4 ，D 为边 OB 的中点。
中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析一、二次函数1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113+113+3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，∴BE＝12CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB ＝OC ，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ，∴△OBE ≌△OCE （SSS ），∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝1132±， ∵点E 在第四象限，∴E 点坐标为（113+，﹣113+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S △ACQ ＝2S △AOC ，∴S △ACF ＝2S △AOC ，∴AF ＝2OA ＝2，∴F （1，0）．∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x ﹣3．∵AC ∥FQ ，∴设直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +b ，将F （1，0）代入，得0＝﹣3+b ，解得b ＝3，∴直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +3．联立22333y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩， 解得11312x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=-⎩， ∴点Q 的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．3．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y xy x=+⎧⎨=-+⎩，得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E，(0,1)F∵点M在AOB∆内，∴45b<<当点,C D关于抛物线对称轴（直线x b=）对称时，1344b b-=-，∴12b=且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线41y x=+上综上：①当12b<<时，12y y>；②当12b=时，12y y=；③当1425b<<时，12y y<.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.6．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a （x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求PDDD'的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1；②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩…； （3）h ＝±3 【解析】 【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值． 【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中， 得：0＝a （0﹣2）2﹣2， 解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4 如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭，2222322m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EGEG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG2212242222m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…；（3）如图3，∵OADD ′为菱形 ∴AD ＝AO ＝DD ′＝4， ∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ，B (1，0)两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F (1)求抛物线的解析式；(2)若点F 位于直线AD 的下方，请问线段EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，1 3m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．【详解】解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y＝-13(m﹣12) 2+4912，此时点E的坐标为(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG 垂直平分CD ∴点E 的纵坐标y ＝132-+＝1， 将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2． ∵EG 关于y 轴对称， ∴点G 的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG 设点E 的坐标为(n ，n +3)， 点D 的坐标为(0，3)∴DE ＝22(33)n n ++-＝22n ∵DE ＝DC ＝4， ∴22n ＝4，解得n 1＝﹣22，n 2＝22．∴点E 的坐标为(﹣22，﹣22+3)或(22，22+3) 将点E 向下平移4个单位长度可得点G ，点G 的坐标为(﹣22，﹣22﹣1)(如图2)或(22，22﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE 为菱形时，以点C 为圆心，以CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点E ，设点E 的坐标为(k ，k +3)，点C 的坐标为(0，﹣1)． ∴EC ＝22(0)(31)k k -+++＝22816k k ++． ∵EC ＝CD ＝4， ∴2k 2+8k +16＝16， 解得k 1＝0(舍去)，k 2＝﹣4． ∴点E 的坐标为(﹣4，﹣1) 将点E 上移1个单位长度得点G ． ∴点G 的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G 的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或 【解析】 【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：257m m x （）-±-=即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．9．如图，菱形ABCD 的边长为20cm ，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点A 出发，以4cm /s 的速度，沿A →B 的路线向点B 运动；过点P 作PQ ∥BD ，与AC 相交于点Q ，设运动时间为t 秒，0＜t ＜5．（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) S=﹣231003t +0＜t ＜5）； (2) 307;(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）如图1，根据S=S △ABC -S △APQ ，代入可得S 与t 的关系式；（2）设PM=x ，则AM=2x ，可得3，计算x 的值，根据直角三角形30度角的性质可得3AM=AO+OM ，列方程可得t 的值；（3）存在，通过画图可知：N 在CD 上时，直线PN 平分四边形APMN 的面积，根据面积相等可得MG=AP ，由AM=AO+OM ，列式可得t 的值． 【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°，AC ⊥BD ， ∴∠OAB=30°， ∵AB=20，∴OB=10，3 由题意得：AP=4t ，∴PQ=2t ，AQ=23t ， ∴S=S △ABC ﹣S △APQ ， =11··22AC OB PQ AQ -， =111020322322t t ⨯⨯-⨯⨯ ， =﹣23t 2+1003（0＜t ＜5）； （2）如图2，在Rt △APM 中，AP=4t ， ∵点Q 关于O 的对称点为M ， ∴OM=OQ ， 设PM=x ，则AM=2x ， ∴AP=3x=4t ， ∴x=3， ∴AM=2PM=3， ∵AM=AO+OM ，∴3=103+103﹣23t ，t=307； 答：当t 为307秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积， ∴S △APN =S △PMN ，过M 作MG ⊥PN 于G ，∴11··22PN AP PN MG = ， ∴MG=AP ，易得△APH ≌△MGH ，∴3，∵AM=AO+OM ，同理可知：3﹣3，3333t ，t=3011． 答：当t 为3011秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.10．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中， 得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+． Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，列出关于m 的方程．11．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12MQ NQ =时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值． 【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）t 的值为12；（3）当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或t ﹣1． 【解析】 【分析】（1）求直线y=-x+4与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°，又PE ⊥x 轴于点E ，得到△PEB 是等腰直角三角形，由PB =求得BE=PE=t ，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ V V ∽，故有12MP MQ NC NQ ＝＝，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值． （3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP ，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP ，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME ，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP=DP ，则∠PMD=∠PDM ，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD ．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角△CDG ，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF=CD ，解方程即得到t 的值． 【详解】（1）直线y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4 ∴C （0，4）当y ＝﹣x +4＝0时，解得：x ＝4 ∴B （4，0）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点 ∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4（2）∵B （4，0），C （0，4），∠BOC ＝90° ∴OB ＝OC∴∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∵ME ⊥x 轴于点E ，PBt ∴∠BEP ＝90°∴Rt △BEP 中，2PE sin PBE PB ∠=＝∴BE PE t ＝＝， ∴4M P P x x OE OBBE t y PE t ＝＝＝﹣＝﹣，＝＝ ∵点M 在抛物线上∴2243445M y t t t t +++＝﹣（﹣）（﹣）＝﹣， ∴24MP MP y y t t +＝﹣＝﹣ ， ∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO ＝∠NOE ＝∠PEO ＝90° ∴四边形ONPE 是矩形 ∴ON ＝PE ＝t ∴NC ＝OC ﹣ON ＝4﹣t ∵MP ∥CN ∴△MPQ ∽△NCQ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=-解得：12142t t ＝，＝（点P 不与点C 重合，故舍去） ∴t 的值为12（3）∵∠PEB ＝90°，BE ＝PE ∴∠BPE ＝∠PBE ＝45° ∴∠MPD ＝∠BPE ＝45°①若MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45° ∴∠DMP ＝90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾 ②若DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45° ∵∠AEM ＝90° ∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4 ∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t ∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t ∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF ∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线AM 解析式为y ＝ax +m ∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩ 解得：a tm t =⎧⎨=⎩ ， ∴直线AM ：y tx t +＝ ∴F （0，t ） ∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t ∵tx +t ＝﹣x +4，解得：41tx t -=+， ∴41D x tt DG -=+＝＝， ∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45° ∴)2421t CD DG t -+＝＝，∴)2441t t t -+﹣ 解得：21t ＝﹣综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或21t ＝﹣． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．12．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为：228y x x =-++，直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)．【解析】 【分析】（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解； （2）S △DAC =2S △DCM ，则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ，，即可求解；（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）二次函数表达式为：()219y a x =-+， 将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-， 故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①， 则点()3,5B ，将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB 的表达式为：21y x =-； （2）存在，理由：二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ， 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点()2,28D x x x -++，点(),21H x x -，∵2DAC DCM S S ∆∆=， 则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ， 解得：1x =-或5（舍去5）， 故点()1,5D -；（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++， 解得：6s =或﹣4， 故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++， 解得：17s =±故点()17,2P 或()17,2；综上，点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()17,2． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．13．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示： (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】 【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM ==得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值 【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm (2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v= 在B 点相遇得到方程152.5v= ∴5=7.515=2.5vv⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩。
专题四 二次函数综合题(含答案)2025年中考数学一轮题型专练(陕西)
专题四 二次函数综合题题型1 二次函数的实际应用二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.类型1 抛物线运动轨迹问题(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1 m时,达到最大高度3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?解题指南 (1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.类型2 以建筑为背景的“过桥”问题(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3 m,AB=2 m,m.窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?解题指南 (1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24 m,拱高PE=8 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6 m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4 m.求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.类型3 以“悬挂线”为背景解决高度问题如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27 m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60 m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12 m.以点A为坐标原点,1 m为单位长度构建平面直角坐标系. (1)求点B,C,D的坐标.x2一样,且电(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5 m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求?并说明理由.(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12 m.(1)a= ,该抛物线的顶点坐标为.(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m.求这根绳子的下端D到地面的距离.题型2 图形面积探究类型1 面积、线段最值探究二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点第二步,设动点坐标,表示交点坐标第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=12(y 上-y 下)(x 右-x 左)【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),用含有A,B,C 坐标的方式表示出△ABC 的面积.解题指南 (1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B 在点C 的左、右两侧,经过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D,则△ABC 被分成两部分,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .(2)过点A 作△ADC 的高h 1,过点B 作△DBC 的高h 2,所以△ACD 与△BCD 的面积表示为S △ADC =12CD·h 1,S △BCD =12CD·h 2.(3)所以S △ABC =S △ADC +S △BCD =12CD·h 1+12CD·h 2=12CD·(h 1+h 2).(4)其中h 1与h 2的和可以看作点A 与点B 的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h 1+h 2=|x B -x A |,CD 是点C 与点D 的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|y D -y C |,故S △ABC =S △ACD +S △BCD =12|y D -y C |·|x B -x A |.1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B 两点,抛物线y=-x 2+bx+c 过A,B 两点,D 为线段AB 上一动点,过点D 作CD ⊥x 轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式.(2)求△ABE 面积的最大值.2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.类型2 面积关系探究(2018.T24)x2+bx与x轴交于O,A 【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-43两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB 的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.解题指南 (1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;(3)第三步,设点P的坐标为t,-43t2+163t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为x+3交于C,D两点,连接BD,AD.(3,0),抛物线与直线y=-32(1)求m的值.(2)求A,D两点的坐标.(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).(1)求抛物线的表达式.(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.解题指南 (1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.(2)设P(1,m),根据列出方程,进而求得点P的坐标.(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果. 借助“同底等高”找等面积的方法在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.题型3 特殊三角形问题探究类型1 等腰三角形问题探究等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.方法一 几何法(1)两圆一线找出点;(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标方法二 代数法(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.(1)求该抛物线L的表达式.(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.(1)求抛物线L的函数表达式.(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型2 直角三角形问题探究直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形二、构造“K”字型相似过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.(1)求出点A与点B的坐标.(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标. 直角三角形中的找点方法和计算方法找点方法:示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.分两种情况讨论:当AB为直角边时,{过点A作AB的垂线l1,过点B作AB的垂线l2;当AB为斜边时,以AB为直径作圆.如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.类型3 等腰直角三角形问题探究等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边(3)利用某纵向或横向线段构建等式(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是如图,抛物线y=-25抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.解题指南 第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;第三步,利用某边相等构造方程.(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.题型4 三角形关系问题类型1 与相似三角形结合问题三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似方法二:两组角相等的三角形相似分析目标三角形:第一类:找一角相等,用邻边成比例.第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx 经过坐标原点O 与点A(3,0),正比例函数y=kx 与抛物线交于点B 72,74.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)P 是第四象限抛物线上的一个动点,过点P 作PM ⊥x 轴于点N,交OB 于点M,是否存在点P,使得△OMN 与以点N,A,P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L 1:y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A,B(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.(1)求此二次函数表达式和点A,B 的坐标.(2)P 为第四象限内抛物线L 1上一动点,将抛物线L 1平移得到抛物线L 2,抛物线L 2的顶点为点P,抛物线L 2与y 轴交于点E,过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在,请写出平移过程,并说明理由.类型2 与全等三角形结合问题1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.2.注意相等角的邻边分类情况.【改编】如图,抛物线y=-23x 2+103x+4的图象与x 轴交于A,B 两点,与y 轴的正半轴交于点C,过点C 的直线y=-43x+4与x 轴交于点D.若M 是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M 作ME ⊥CD 于点E,MF ∥x 轴交直线CD 于点F,当△MEF ≌△COD 时,求出点M 的坐标.解题指南 当△MEF ≌△COD 时,(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根据直线CD 的表达式求出线段CD 的长度.由点M 在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-23m 2+103m+4,再由MF ∥x 轴,得点F 的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F 的横坐标为m-5.(3)由点F 在直线CD 上,将点F 的坐标代入直线CD 的表达式中,求出m 的值.已知经过原点O 的抛物线y=-x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A.(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴.(2)B 是OA 的中点,N 是y 轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN 与△OBM 全等,且点B 与点N 为对应点?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 与全等三角形结合问题的求解步骤(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.题型5 特殊四边形问题探究类型1 平行四边形问题探究平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.第一步,寻找分类标准;第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A);第三步,代入关系求值(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的表达式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 平行四边形中坐标的计算如图1,在平行四边形ABDC 中,关于坐标的计算——平移法则:x B -x A =x D -x C ,y B -y A =y D -y C ,x A -x C =x B -x D ,y A -y C =y B -y D .如图2,在平行四边形ADBC 中,关于坐标的计算——中点坐标公式:x M =x A +x B 2=x C +x D 2,y M =y A +y B 2=y C +y D 2.类型2 菱形问题探究菱形存在问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A +x C 2=x B +x D 2;y A +y C 2=y B +y D 2.(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.邻边相等:可参照等腰存在问题.(4)平移型:先平行四边形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题如图,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC 和BC.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.类型3 矩形问题探究矩形存在性问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)方向一 对角线相等:(x A-x C)2+(y A-y C)2=(x B-x D)2+(y B-y D)2.方向二 有一角为90°.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).(1)求抛物线L的表达式.(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形?若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.类型4 正方形问题探究(在菱形的基础上增加对角线相等)(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.,正方形ABCD的边AB 如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,83落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.(1)求这条抛物线的表达式.(2)求正方形ABCD的边长.解题指南 (1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.(2)①在正方形中,四条边均相等;②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0).已知二次函数y=-13(1)求该二次函数的表达式.(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标. 借助抛物线判定正方形的思路步骤1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.题型6 角度问题探究角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.解决策略:(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45°?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解题指南 以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=DH OH;第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);第四步,根据DH=|y D|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.已知抛物线L:y=-23x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧).(1)求抛物线的表达式.(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.参考答案题型1 二次函数的实际应用类型1 抛物线运动轨迹问题例1 解析:(1)在y 1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y 1=2.8,∴P (0,2.8).根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).设二次函数的表达式为y=a (x-1)2+3.2,把P (0,2.8)代入y=a (x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x 1=1+22,x 2=1-22(舍去),扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴选择吊球时,球的落地点到点C 的距离更近.类型2 以建筑为背景的“过桥”问题例2 解析:(1)由题意得点M ,B 的坐标分别为32,258,(3,2).设抛物线的表达式为y=a x-322+258,将点B 的坐标代入上式得2=a 3-322+258,解得a=-12,∴抛物线的表达式为y=-12x-322+258.(2)设正方形的边长为2m.把点G 32-m ,2+2m 代入抛物线表达式,得2+2m=-1232-m-322+258,解得m=12(负值已舍去),∴正方形窗户DEFG 的边长为1 m .变式设问 解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),N (24,0).设y=a (x-12)2+8,把N (24,0)代入表达式中,得a=-118,∴该抛物线的函数表达式为y=-118(x-12)2+8.(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8.解得x 1=6,x 2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD 的周长C 1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+8,解得x 1=12-62,x 2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C 2=2×122+2×4=(242+8)m .∵C 1=36=28+8=4×7+8,C 2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C 1<C 2.类型3 以“悬挂线”为背景解决高度问题例3 解析:(1)如图,过点C 作CE ⊥y 轴,垂足为E ,过点D 作DF ⊥y 轴,垂足为F.记CD 与x 轴相交于点G.根据题意,得点B 的坐标是(0,-27).∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴点C 的坐标是(60,12),点D 的坐标是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:设AC 段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=1100x 2+bx ,将点C (60,12)代入表达式中,得12=1100×602+60b ,解得b=-25,∴y=1100x 2-25x.由点B (0,-27),D (60,-15)可知直线BD 的表达式为y=15x-27.记M 为抛物线上一点,过点M 作x 轴的垂线与BD 交于点N.设点M m ,1100m 2-25m ,则点N m ,15m-27,故MN=1100m 2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15.5,∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18 m,高于安全需要的距离15.5 m,故符合安全要求.变式设问 解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,则A (0,3.5),B (12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴抛物线的表达式为y=0.05x 2-0.6x+3.5.当x=6时,y=0.05x 2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m,∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,将点A 的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649,∴左侧抛物线的表达式为y=649(x-3.5)2+2.当x=6时,y=649(6-3.5)2+2=27198,∴这根绳子的下端D 到地面的距高为27198m .题型2 图形面积探究类型1 面积、线段最值探究例1 解析:如图,过点C 作垂直于x 轴的直线,与AB 交于点D ,分别过点A ,B 作CD 的垂线段h 1,h 2,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .∵S △ADC =12CD ·h 1,S △BCD =12CD ·h 2,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12CD ·(h 1+h 2).又∵CD=|y D -y C |,h 1+h 2=|x B -x A |,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12(y D -y C)(x B -x A ).变式设问 1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A (-4,0),B (0,4).∵点A (-4,0),B (0,4)在抛物线y=-x 2+bx+c 上,∴{-16-4b +c =0,c =4,解得{b =-3,c =4,∴抛物线的表达式为y=-x 2-3x+4.(2)设点C 的坐标为(m ,0)(-4≤m ≤0),则点E 的坐标为(m ,-m 2-3m+4),点D 的坐标为(m ,m+4),。
二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破
二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
一解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3.根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
二、二次函数问题中三角形面积最值问题（一）例题演示1.如图，已知抛物线(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,求△PBD面积的最大值．DBOAyxC解答：(1)抛物线令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．∵直线经过点B(4，0)，∴，解得，∴直线BD解析式为：当x＝－5时，y＝3，∴D(－5，3)∵点D(－5，)在抛物线上，∴，∴．∴抛物线的函数表达式为：．(2)设P(m,)∴∴△BPD面积的最大值为．【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；HF解答：1）A（－1，0）∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4∴，∴.∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a（2）过点E作EH∥y轴，交直线l于点H设E（x，ax2－2ax－3a），则H（x，ax＋a）.∴∴.∴△ADE的面积的最大值为，∴，解得.∴抛物线的函数表达式为.【中考链接】3.如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B （0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解答：（1）依题意得：，解得，∴抛物线解析式为.把B（，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设P（，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（+3）2+t2=4+t2，PC2=（）2+（t－3）2=t26t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：，.综上所述P的坐标为（，）或（，4）或（，）或（，）．【试题精炼】如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C （0，-3）代入函数表达式得，∴.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）．∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN,∴.设点E的坐标为（x,）,∴,∴x=4m.∴为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH 中,∵tan∠CGO＝,tan∠FGH＝,∴=．∴OG=“3m,“由勾股定理得，GF=，AD=∴.由（2）得，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝x2＋x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．(1)求BC所在直线的函数关系式．(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得∴BC所在直线的函数关系式为y=x．（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。
二次函数与三角函数的综合题目
二次函数与三角函数的综合题目首先，我们来讨论二次函数和三角函数的基本概念和性质。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
它的图像一般为抛物线，开口方向取决于a的正负。
而三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等等。
这些函数的图像是周期性的波动曲线。
其中，正弦函数的图像沿y 轴偏移sin(a)个单位，余弦函数的图像沿x轴偏移cos(b)个单位，正切函数的图像存在垂直渐近线。
接下来，我们以一个综合题目来展示二次函数和三角函数的运用。
题目：已知函数f(x) = a(x - h)^2 + k与g(x) = A*sin(Bx + C)的图像如下，请求解以下问题：1. 函数f(x)的顶点坐标是多少？2. 函数g(x)的振幅是多少？3. 函数f(x)和g(x)的图像是否有交点？若有，请给出交点坐标。
4. 若函数f(x)和g(x)的图像相切，求切点的横坐标。
解答：1. 函数f(x)的顶点坐标可以通过将函数转化为顶点形式来求得。
对于二次函数f(x) = a(x - h)^2 + k，顶点坐标即为(h, k)。
根据图像可得，顶点坐标为(-2, 1)。
2. 函数g(x)的振幅可以通过观察图像来求得。
振幅即为函数图像在纵向波动中的最大值的一半。
根据图像可以看出，振幅为3。
3. 函数f(x)和g(x)的图像是否有交点可以通过联立方程求解。
将f(x)和g(x)等式相等，即可得到交点。
联立方程为：a(x - h)^2 + k = A*sin(Bx + C)根据题目给定的图像，我们不妨选择x = 0作为方程求解的初始点。
代入 x = 0，化简得：ah^2 + k = A*sin(C)我们知道正弦函数的取值范围为[-1, 1]，而ah^2 + k为二次函数的常数项。
所以，当 A ≥ |ah^2 + k|时，两个图像相交。
根据给定的图像，可以看出A = 0.5，而|ah^2 + k| = 1，所以A < |ah^2 + k|，即函数f(x)和g(x)的图像没有交点。
2023年九年级数学中考复习《二次函数与三角函数综合压轴题》专题提升训练+
2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与三角函数综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．（1）求该抛物线的解析式．（2）如图1，连接AD，交y轴于点E，点P是第一象限的抛物线上的一个动点，连接PD交x轴于F，连接EF、AP，若S△ADP＝3S△DEF，求点P的坐标．（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设△AOQ外接圆圆心为H，当sin ∠OQA的值最大时，请求出点H的坐标．2．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P为AC的中点时，在直线PB上是否存在点M，使得△BCM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，点D为AB的中点，直线QD与直线BC的夹角为锐角B，且tanβ＝3，求点Q的坐标．3．如图，已知点A（﹣1，0），点B在y轴正半轴上，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，连接BD，二次函数y＝ax2+bx+3的图象过点A，B，D，顶点为E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接BE，DE，判断△BDE的形状，并求tan∠BDE的值；（3）在第二象限内有一动点P，使得∠APB＝∠EDC，连接DP，线段DP是否存在最大值？如果存在，请求出最大值，如果不存在，请说明理由．4．如图1，直线y＝﹣x﹣3分别交x轴，y轴于点B，C，经过点B，C的抛物线y＝x2+bx+c 交x轴正半轴于点A．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2，D是第三象限内的抛物线上动点，DE∥y轴交直线BC于点E，若△CDE 是等腰三角形，求点D坐标；（3）F是抛物线的顶点，直线BC上存在点M，使tan∠FMO＝，请直接写出点M坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝+bx﹣1与x轴交于点A和点B（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，已知tan∠CAB＝．（1）求顶点P和点B的坐标；（2）将抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线与y轴交于点M，求点M的坐标和△APM的面积；（3）在（2）的条件下，如果点N在原抛物线的对称轴上，当△PMN与△ABC相似时，求点N的坐标．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（﹣2＜a＜0）与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的顶点纵坐标为，在直线BC上方的抛物线上取一点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接AD，CD，AD交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）若mAF＝FD（m＞0），求m的最大值；（3）设∠ABC＝θ，已知tan2θ＝，是否存在点D，使得在△CDE中的某个角恰好等于2θ，若存在，求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝．D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求sin∠DCF的值；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点G是坐标平面内的一点，是否存在点P，使得以点P，B，C，G为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4ax+8a的顶点为P，且不论a为何值，图象都经过定点Q．（1）请直接写出定点Q的坐标；（2）若tan∠OQP＝3，求点P的坐标；（3）若当x≥a时，抛物线与坐标轴有两个不同的交点，求a的取值范围．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B，且其顶点为D，点C为抛物线与x轴的另一个交点．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠BAD的正切值；（3）点P在抛物线上，若∠P AC＝∠BAD，求点P的坐标．（4）联结BC，延长DB交x轴于点E，点Q是直线y＝x﹣3上的动点，如果△QBC与△AED是相似三角形，求点Q的坐标．10．已知抛物线y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m（m＞）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），点C（4，5）．（1）判断点C（4，5）是否在抛物线上；（2）直线AC与抛物线的对称轴交于点D，连接BC，BD．①若S△BCD＝6，求抛物线的解析式；②将直线AC沿x轴翻折所得直线与抛物线的另一个交点为E，F是线段AE上的一点，且EF＝3AF．P是△ABC的外心，设过点P，F的直线l与x轴的夹角为α（0°＜α≤90°）．试判断α的大小是否发生变化．若不变，请求出tanα的值；若发生变化，请说明理由．11．抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），点D （m，0）是x轴上一点，过点D作直线DF⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接BF，当tan∠FBC＝时，求出点E的坐标；（3）当△CEF是等腰三角形时，请直接写出点F的坐标．12．我们规定：关于x的反比例函数y＝称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x 的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．（1）按此规定：一次函数y＝x﹣3的“次生函数”为：，“再生函数”为：；（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标；（3）若一次函数y＝ax+b与其“次生函数”交于点（1，﹣2）、（4，﹣）两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．①若点D（1，3），求∠CBD的正切值；②若点E在直线x＝1上，且在x轴的下方，当∠CBE＝45°时，求点E的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与直线y＝x+3交于y轴上的点C，直线y＝﹣x+3与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上第一象限内的一一个动点，连接PC、PD，当△PCD的面积最大时，求点P的坐标；（3）将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l，点E是直线l上一点，连接OE、BE，若直线l上存在使sin∠BEO最大的点E，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B（9，0），与y轴交于点C，已知∠OAC＝∠OCB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在y轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点Q，满足∠AQP＝90°？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点P在y轴上，满足sin∠APB＝的点P是否存在？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）直线y＝kx（k＞0）交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与△ABC 相似，求k的值；（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O 是坐标原点．（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．①求此二次函数图象的顶点M的坐标；②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“好点”．（2）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点P，满足∠PCA＝∠PBC，且的面积为，求二次函数的表达式．17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx的经过（2，0），（﹣1，3），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，过顶点C的直线CP交x轴于点A．（1）求该抛物线的表达式与顶点C；（2）当OC⊥OP时，求tan∠OP A的值；（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积的2倍，求点P坐标．18．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，4），与x轴交于点A，B（3，0）两点，与y轴交于点C，点M是抛物线上的动点．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点M在直线BC上方抛物线上，连接AM交BC于点E，求的最大值及此时点M的坐标；（3）如图2，已知点Q（0，1），是否存在点M，使得tan∠MBQ＝？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0）．与点C（0，4）．与x轴的正半轴交于点B．（1）求抛物线的表达式；（2）如果D是抛物线上一点，AD与线段BC相交于点E，且AD将四边形ABDC分成面积相等的两部分，求的值；（3）如果P是x轴上一点，∠PCB＝∠ACO，求∠PCO的正切值．20．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于C，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，且与x轴负半轴交于点A．（1）求抛物线关系式；（2）如图2，点P是抛物线上一动点，且点P在直线BC上方，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值；（3）如图3，D是△BOC内部一点，连接BD，CD，在BD左侧作Rt△BDE，使∠BDE ＝90°，且DE＝BD，以DC和DE为邻边作▱CDEF，若点O恰好落在EF边上，CD ＝，请直接写出tan∠DCF的值．参考答案1．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C 点，D为抛物线顶点．∴令x＝0，得：y＝﹣3，则C（0，﹣3），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4）．设直线AD的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴E（0，﹣2），∴AE＝＝＝，ED＝＝，∴AE＝ED，∴S△F AE＝S△FED，∵S△ADP＝3S△DEF，∴S△APF＝S△ADP﹣S△AFD＝3S△DEF﹣S△AFD＝3S△DEF﹣2S△DEF＝S△DEF＝S△AEF，∵OE⊥AF，∴AF•OE＝AF•y P，∴OE＝y P＝2，依题意，设P（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞3，∴m2﹣2m﹣3＝2，解得：m1＝1+，m2＝1﹣（舍去），∴P（1+，2）；（3）如图，作△AOQ的外心H，作HG⊥x轴，则AG＝GO＝，∵AH＝HO，∴H在AO的垂直平分线上运动，依题意，当sin∠OQA最大时，即∠OQA最大时，∵H是△AOQ的外心，∴∠AHO＝2∠AHG＝2∠OQA，即当sin∠AHG最大时，sin∠OQA最大，∵AG＝AO＝，∴sin∠OQA＝sin∠AHG＝＝，则当AH取得最小值时，sin∠OQA最大，∵AH＝HQ，即当HQ⊥直线x＝1时，AH取得最小值，此时HQ＝1﹣（﹣）＝，∴AH＝，在Rt△AHG中，HG＝＝＝，∴H（﹣，），根据对称性，则存在H（﹣，﹣），综上所述，H（﹣，）或H（﹣，﹣）．2．解：（1）∵二次函数图象过A（﹣2，0），B（4，0），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵二次函数图象过点C（0，4），∴4＝a（0+2）（0﹣4），解得a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；（2）存在点M，使得△BCM为直角三角形，理由如下：如图：∵点A（﹣2，0），C（0，4），点P是AC中点，∴P（﹣1，2），设直线BP解析式为：y＝kx+b，将B（4，0），P（﹣1，2）代入得：，解得：，∴直线BP的解析式为：y＝﹣x+，设点M（c，﹣c+），∵B（4，0），C（0，4），∴BC2＝32，BM2＝（c﹣4）2+（﹣c+）2，CM2＝c2+（﹣c+﹣4）2＝c2+（﹣c﹣）2，①若BC为斜边，则（c﹣4）2+（﹣c+）2+c2+（﹣c﹣）2＝32，化简整理得29c2﹣92c﹣96＝0，解得c＝4（与B重合，舍去）或c＝﹣，∴M（﹣，），②若BM为斜边，则c2+（﹣c﹣）2+32＝（c﹣4）2+（﹣c+）2，解得c＝﹣，∴M（﹣，），综上所述，M坐标为（﹣，）或（﹣，）；（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DQ与BC交于点N，如图：∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴DE＝BE＝＝，∵点B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，设点E（n，﹣n+4），∴﹣n+4＝，∴n＝，∴点E（，），在Rt△DNE中，NE＝＝＝，①若DQ与射线EC交于点N（m，4﹣m），∵NE＝BN﹣BE，∴＝（4﹣m）﹣，∴m＝2，∴点N（2，2），由N（2，2），D（1，0）得直线DQ解析式为：y＝2x﹣2，联立方程组可得：，解得：或（不合题意，舍去），∴点Q坐标为（﹣1，2﹣4）；②若DQ与射线EB交于N'（m，4﹣m），∵N'E＝BE﹣BN'，∴＝﹣（4﹣m），∴m＝3，∴点N'（3，1），由D（1，0），N'（3，1）可得直线DQ'解析式为：y＝x﹣，联立方程组可得：，解得：或（不合题意，舍去），∴点Q坐标为（，），综上所述：点Q的坐标为（﹣1，2﹣4）或（，）．3．解：（1）当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），∵Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，∴OB＝OD，∴D（3，0），将D（3，0），A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4），∴BE＝，DE＝2，BD＝3，∴DE2＝BE2+BD2，∴△BDE是直角三角形，∠DBE＝90°，∴tan∠BDE＝＝；（3）∵C（0，1），D（3，0），E（1，4），∴CD＝，CE＝，DE＝2，∴CD2+CE2＝DE2，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠EDC＝45°，以AB为直径作圆，F是圆上一点，且AF＝BF，连接AF、BF，过点F作FM⊥x轴交于M，过点F作FN⊥y轴交于N，∴∠AFB＝90°，∵∠BFN+∠AFN＝90°，∠AFN+∠MF A＝90°，∴∠BFN＝∠MF A，∴△BFN≌△AFM（AAS），∴FN＝FM，BN＝AM，设F（﹣t，t），∴BO＝3＝t+（t﹣1），∴t＝2，∴F（﹣2，2），∴AF＝，DF＝，以F为圆心，F A为半径作圆，P点在⊙F上，此时∠APB＝45°，∴∠APB＝∠EDC，∴DP的最大值为+．4．解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则x＝﹣3，∴B（﹣3，0），将C（0，﹣3），B（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3；（2）设D（t，t2+2t﹣3），则E（t，﹣t﹣3），∵D在第三象限内，∴﹣3＜t＜0，∴DE＝﹣t﹣3﹣t2﹣2t+3＝﹣t2﹣3t，CD＝，CE＝，①当DE＝DC时，﹣t2﹣3t＝，解得t＝0（舍）或t＝﹣2，∴D（﹣2，﹣3）；②当DE＝CE时，﹣t2﹣3t＝，解得t＝0（舍）或t＝﹣3或t＝﹣﹣3（舍），∴D（﹣3，﹣4+2）；③当DC＝CE时，＝，解得t＝0（舍）或t＝﹣3（舍）或t＝﹣1，∴D（﹣1，﹣4）；综上所述：D点坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣3，﹣4+2）或（﹣1，﹣4）．（3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点F（﹣1，﹣4），设M（m，﹣m﹣3），设直线MF的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，①当M点在F点左侧时，过点O作NO⊥MF交于点N，过点N作GH∥x轴交y轴于点H，过点M作MG⊥GH交于点G，∴∠ONH+∠MNG＝90°，∵∠ONH+∠NOH＝90°，∴∠MNG＝∠NOH，∴△MNG∽△NOH，∴＝＝，∵tan∠FMO＝，∴＝，∴＝＝，设N（x，y），∴x＝m﹣2y，2x＝y+m+3，∴x＝，y＝，∴N（，），将点N代入y＝x﹣，可得×﹣＝，解得m＝（舍）或m＝，∴M（，）；②当M点在F点右侧时，过点O作OK⊥MF交于K点，过点K作PQ⊥x轴交x轴于点P，过点M作MQ⊥PQ交于点Q，∴∠PKO+∠QKM＝90°，∵∠PKO+∠POK＝90°，∴∠QKM＝∠POK，∴△POK∽△QKM，∴＝＝，∵tan∠FMO＝，∴＝，∴＝＝，设K（x，y），∴﹣2x＝y+m+3，﹣2y＝m﹣x，∴x＝，y＝，∴K（，），将点K（，）代入y＝x+，则×+＝，解得m＝，∴M（，﹣）；综上所述，M点坐标为（，）或（，﹣）．5．解：（1）根据题意可画出函数图象，令x＝0可得y＝﹣1，∴C（0，﹣1），即OC＝1．在Rt△AOC中，tan∠CAB＝，∴＝，∴OA＝3，∴A（3，0）．将点A的坐标代入抛物线解析式可得，×32+3b﹣1＝0，解得b＝﹣．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x﹣1＝（x﹣1）2﹣．∴顶点P（1，﹣），令y＝0，即（x﹣1）2﹣＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∴B（﹣1，0）．（2）将（1）中抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线y＝（x﹣3）2﹣．令x＝0，则y＝．∴M（0，）．连接AP并延长交y轴于点D，∴直线AP的解析式为：y＝x﹣2，∴D（0，﹣2），∴S△APM＝（x A﹣x P）•MD＝×（3﹣1）×（+2）＝．（3）在△ABC中，A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣1），tan∠CAB＝，∴AB＝4，AC＝．如图，过点M作MQ垂直于原抛物线的对称轴，∴MQ＝1，PQ＝+＝3，∴tan∠MPQ＝＝，PM＝．∴∠MPQ＝∠CAB，若△PMN与△ABC相似，则PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，设N（1，t），则PN＝t+，∴：（t+）＝4：或：（t+）＝：4，解得t＝或t＝．∴N（1，）或（1，）．6．解：（1）∵抛物线y轴交于点C（0，2），∴c＝2，∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），∴a﹣b+2＝0，∵抛物线的顶点纵坐标为，∴＝，∴a＝﹣6或a＝﹣，∵﹣2＜a＜0，∴a＝﹣，∴b＝，∴y＝﹣x2+x+2；令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴，∴，∴y＝﹣x+2；（2）过点D作DG∥y轴交直线BC于点G，过点A作AH⊥BC交于点H，连接BD，∵DE⊥BC，∴AH∥DE，∴＝，∵mAF＝FD，∴＝m，∵A（﹣1，0），C（0，2），B（3，0），∴AB＝4，CO＝2，BC＝，∴AH＝，∴DE＝m，设D（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），∴DG＝﹣t2+2t，∴DE＝﹣t2+t，∴m＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，∵0＜t＜3，∴当t＝时，m的最大值为；（3）存在点D，使得在△CDE中的某个角恰好等于2θ，理由如下：由（2）可知DE＝﹣t2+t，在OB上截取CM＝BM，∵∠ABC＝θ，∴∠CMO＝2θ，∵OC＝2，tan2θ＝，∴OM＝，∴M（，0），∴CM＝，∴sin2θ＝，cos2θ＝，∵点C（0，2），D（t，﹣t2+t+2），∴CD＝t，①当∠CDE＝2θ时，cos2θ＝＝，∴13（﹣t2+t）＝5t，解得t＝或t＝，∵0＜t＜3，∴t＝；②当∠DCE＝2θ时，sin2θ＝＝，∴13（﹣t2+t）＝12t，解得t＝1或t＝﹣，∵0＜t＜3，∴t＝1；综上所述：D点的横坐标为1或．7．解：（1）由OA＝2OB，设B（t，0），则A（﹣2t，0），∵抛物线对称轴为直线x＝，∴﹣t＝﹣2t﹣，解得t＝﹣1，∴A（2，0），B（﹣1，0），将A（2，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+2得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）连接DC，如图：在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，∴C（0，2），设直线AC解析式为y＝kx+2，将A（2，0）代入得：2k+2＝0，解得k＝﹣1，∴直线AC解析式为y＝﹣x+2，设D（m，﹣m2+m+2），则F（m，﹣m+2），∴DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，∵﹣1＜0，∴当m＝1时，DF取最大值，最大值是1，此时D（1，2），F（1，1），∵C（0，2），∴∠CDF＝90°，CF＝＝，∴sin∠DCF＝＝＝；（3）存在点P，使得以点P，B，C，G为顶点的四边形是菱形，理由如下：如图：设P（，n），G（r，s），又B（﹣1，0），C（0，2），①以PB、CG为对角线，则PB、CG的中点重合，且BC＝BG，∴，解得或，∴P（，2+）或（，2﹣）；②以PC、BG为对角线，则PC、PG的中点重合，且BC＝BP，∴，解得或，∴P（，）或（，﹣）；③以PG、BC为对角线，则PG、BC的中点重合，且BP＝BG，，解得，∴P（，）；综上所述，P的坐标为（，2+）或（，2﹣）或（，）或（，﹣）或（，）．8．解：（1）∵y＝x2﹣4ax+8a＝x2﹣4a（x﹣2），∴当x＝2时，y＝4，∴定点Q的坐标为（2，4）；（2）∵y＝x2﹣4ax+8a＝（x﹣2a）2﹣4a2+8a，∴顶点P（2a，﹣4a2+8a），过Q点作QA⊥OA交于点A，过点Q作BQ⊥OB于点B，使tan∠OQA＝tan∠OQB＝3，∵Q（2，4），∴OQ＝2，∵tan∠OQA＝3，∴＝3，∴AO＝3，AQ＝，设A（x，y），∴，解得或（舍），∴A（3，3）；同理可求B（，），∵tan∠OQP＝3，∴P点位于直线AQ或直线BQ上，当P点位于直线AQ上时，设直线AQ的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+6，把点P（2a，﹣4a2+8a）代入，﹣4a2+8a＝﹣2a+6，解得a＝1或a＝，∴P点坐标为（2，4）（舍）或（3，3），同理当点P位于直线BQ上时，a＝1或a＝，∴P点的坐标为（2，4）（舍）或（，）；综上所述：P点坐标为（3，3）或（，）；（3）当a＝0时，y＝x2，此时抛物线的图象与坐标轴有一个不同的交点，不符合题意；当a＞0时，抛物线的对称轴为直线x＝2a＞a＞0，∵当x＝0时，y＝8a＞0，且x≥a，∴抛物线与y轴没有交点，∵抛物线与坐标轴有两个交点，∴Δ＞0，即16a2﹣32a＞0，∴a＞2或a＜0，又∵当x＝a时，y≥0，∴a2﹣4a2+8a≥0，∴0≤a≤，∴2＜a≤；当a＜0时，抛物线的对称轴为直线x＝2a＜a＜0，∵x≥2a，∴抛物线与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，符合题意；综上所述：a的取值范围为2＜a≤或a＜0．9．解：（1）在y＝x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣3），把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），又∵A（3，0），B（0，﹣3），∴AD＝＝2，BD＝＝，AB＝＝3，∴AB2+BD2＝（3）2+（）2＝20，AD2＝（2）2＝20，∴AB2+BD2＝AD2，∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，∴tan∠BAD＝＝＝；（3）过P作PM⊥x轴于M，如图：设P（m，m2﹣2m﹣3），①当P在x轴上方时，PM＝m2﹣2m﹣3，AM＝3﹣m，由（2）知tan∠BAD＝，又∠P AC＝∠BAD，∴tan∠P AC＝，∴＝，即＝，解得m＝3（增根，舍去）或m＝﹣，∴P（﹣，），②当P在x轴下方时，P'M'＝﹣m2+2m+3，AM'＝3﹣m，同理可得＝，解得m＝3（舍去）或m＝﹣，∴P'（﹣，﹣），综上所述，P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；（4）如图：由y＝x2﹣2x﹣3可得C（﹣1，0），又A（3，0），B（0，﹣3），∴tan∠CBO＝＝＝tan∠BAD，∠OBA＝45°＝∠OAB，∴∠CBA＝∠DAE，∵△QBC与△AED是相似三角形，∴Q在B上方，且＝或＝，由B（0，﹣3），D（1，﹣4）得直线BD解析式为y＝﹣x﹣3，令y＝0得x＝﹣3，∴E（﹣3，0），∵A（3，0），D（1，﹣4），∴AE＝6，AD＝2，设Q（m，m﹣3），∵B（0，﹣3），C（﹣1，0），∴BC＝，BQ＝＝m，①当＝时，∴＝，解得m＝，∴Q（，﹣），②当＝时，＝，解得m＝3，∴Q（3，0），综上所述，Q坐标为（，﹣）或（3，0）．10．解：（1）把x＝4代入y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m得：y＝16m+4（1﹣3m）+1﹣4m＝5，∴点C（4，5）在抛物线上；（2）①抛物线y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m，令y＝0，则mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m＝0，∴（mx+1﹣4m）（x+1）＝0，∵m＞，解得x1＝，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+1，∵抛物线的对称轴为x＝＝，∴D（，），∵S△BCD＝S△ABC﹣S△ABD＝6，∴×5（+1）﹣••（+1）＝6，整理得：m2＝1，解得m1＝1，m2＝﹣1（不合题意，舍去），∴抛物线的解析式为y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m＝x2﹣2x﹣3，∴y＝x2﹣2x﹣3；②如图，过F作FH⊥x轴于H、过E作EK⊥x轴于K．∵P是△ABC的外心，∴PG、TL分别为AB、AC的垂直平分线，PG为抛物线的对称轴，∴PG为x＝，∵直线AC的解析式为y＝x+1，∴∠CAB＝45°，∵TL⊥AC，∴∠OLT＝∠OTL＝45°，设T（0，m1），L（m1，0），TL为y＝ex+f，∴，解得e＝﹣1，∴TL为y＝﹣x+f，∵A（﹣1，0），C（4，5）．V为AC的中点，∴V（，），∴﹣+f＝，解得f＝4，∴直线TL的解析式为y＝﹣x+4，∴P（，），即P（，+）．∵AC与AE关于x轴对称，∴AE的解析式为y＝﹣x﹣1．∴，解得或，∴E（，）．∵EF＝3AF．∴，∵FH∥EK，∴△AHF∽△AKE，∴，∴FH＝||＝||．∴F的纵坐标为．代入y＝﹣x﹣1．∴F的横坐标为．∴F（，），即F（﹣，﹣+），设PF为y＝k1+b1，∴，解得，∴PF的解析式为y＝3x﹣2+，当y＝0时，x＝﹣，∴SG＝﹣+＝+，∵PG＝+．∴tan∠PSG＝tanα＝＝3，∴α的大小不会发生变化．tanα＝3．11．解：（1）抛物线经y＝ax2+2x+c过点A（﹣2，0）和点C（0，6），代入得：，解得：，∴抛物线的解析的析式是y＝﹣x2+2x+6；（2）令y＝0 代入y＝﹣x+2x+6中，解得x＝﹣2或x＝6，∴B（6，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将C（0，6）B（6，0）代入得，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，∵D（m，0），∴F（m，﹣m2+2m+6），E（m，﹣m+6），∴EF＝|（﹣m2+2m+6）﹣（﹣m+6）|＝|﹣m2+3m|，DE＝﹣m+6，∵OB＝OC＝6，∠BOC＝90°，∴∠DBE＝45°，∴∠DEB＝45°＝∠GEF，点F1在直线BC上方的抛物线上时，直线D1F1与BC交于点E1，过点F1作F1G1⊥BC，垂足为点G1，在Rt△D1E1B和Rt△G1E1F1中，E1B＝，D1E1＝（﹣m+6），F1G1＝E1G1＝E1F1＝（﹣m2+3m），∴BG1＝BE1+G1F1＝（﹣m+6）+（﹣m2+3m）＝﹣m2+m+6，当tan∠F1BC＝时，tan∠F1BC＝＝，即，解得m1＝4 或m2＝6（舍去），∴E1（4，2）；F2在直线BC下方的抛物线上时，直线D2F2与BC交于点E2，过点F2作F2G2⊥BC，垂足为点G2，∴在Rt△D2E2B和Rt△G2E2F2中，E2B＝D2E2＝（﹣m+6），F2G2＝E2G2＝E2F2＝（m2﹣3），∴BG2＝BE2﹣G2F2＝（﹣m+6）﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+m+6，当tan∠F2BC＝时，tan∠F2BC＝＝，即＝，解得m1＝﹣或m2＝6（舍去），∴E2（﹣，），综上可知，点E坐标是E1（4，2）或E2（﹣，）；（3）由（2）得，F（m，﹣+2m+6），E（m，﹣m+6），EF＝|（﹣m2+2m+6）﹣（﹣m+6）|＝|﹣m2+3m|，当CE＝EF时，即（﹣m2+3m|＝，解得：m＝6+2或m＝6﹣2，此时F（6﹣2，8﹣4）或（6+2，﹣8﹣4）；当CE＝CF时，由题意得，＝6，解得：m＝2，此时F（2，8）；当EF＝CF时，|﹣m2+3m|＝，解得：m＝4，此时F（4，6），综上所得，F1（2，8）或F2（6﹣2，8﹣4）或F3（4，6）或F4（6+2，﹣8﹣4）．12．解：（1）一次函数y＝x﹣3中，a＝1，b＝﹣3，∴一次函数y＝x﹣3的“次生函数”为：y＝＝﹣，“再生函数”为：y＝x2﹣3x﹣（1﹣3）＝x2﹣3x+2，故答案为：y＝﹣，y＝x2﹣3x+2；（2）∵关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”为：y＝x2+bx﹣（1+b），且顶点在x 轴上，∴Δ＝b2﹣4[﹣（1+b）]＝0，∴b1＝b2＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴顶点坐标为（1，0）；（3）①∵一次函数y＝ax+b与其“次生函数”交于点（1，﹣2）、（4，﹣）两点，∴，解得：，∴其“再生函数”为：y＝x2﹣x﹣（﹣）＝x2﹣x+2，当y＝0时，x2﹣x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝4，∴A（1，0），B（4，0），如图1，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∵D（1，3），∴CD2＝12+（3﹣2）2＝2，BD2＝（4﹣1）2+32＝18，BC2＝42+22＝20，∴CD2+BD2＝BC2，∴∠CDB＝90°，∴tan∠CBD＝＝＝；②如图2，过点C作CF⊥BC于C，交BE的延长线于F，过点F作FM∥y轴，过点C作MN∥x轴，过点B作BN⊥MN于N，∵∠CBF＝45°，∴△CBF是等腰直角三角形，∴BC＝CF，∵∠BCN+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，∴∠BCN＝∠CFM，∵∠N＝∠M＝90°，∴△BNC≌△CMF（AAS），∴BN＝CM＝2，CN＝FM＝4，∴F（﹣2，﹣2），∵B（4，0），设直线BF的解析式为：y＝kx+n，∴，解得：，∴BF的解析式为：y＝x﹣，∵点E在直线x＝1上，∴点E的横坐标为1，当x＝1时，y＝﹣1，∴E（1，﹣1）．13．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），当x＝0时，y＝3，则C（0，3），即﹣8a＝3，解得：a＝﹣．则函数的表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝2，即点D（2，0），连接OP，设点P（x，﹣x2+x+3），S△PCD＝S△PDO+S△PCO﹣S△OCD＝×2（﹣x2+x+3）+×3×x﹣×2×3＝﹣（x﹣3）2+，∵﹣＜0，∴S△PCD有最大值，此时点P（3，）；（3）如图，经过点O、B的圆F与直线l相切于点E，此时，sin∠BEO最大，过圆心F作HF⊥x轴于点H，则OH＝OB＝2＝OA，OF＝EF＝4，∴HF＝2，过点E的坐标为（﹣2，2）；同样当点E在x轴的下方时，其坐标为（﹣2，﹣2）；故点E的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）．14．解：（1）∵∠OAC＝∠OCB，∠AOC＝∠COB＝90°，∴△OAC∽△OCB，∴，∴OC2＝9×1＝9，∵OC＞0，∴OC＝3，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B（9，0），设y＝a（x﹣1）（x﹣9），把C（0，3）代入得a（0﹣1）（0﹣9）＝3，解得a＝，∴抛物线的函数表达式；（2）存在，抛物线的对称轴上是否存在唯一的点Q，满足∠AQP＝90°，就是指以AP为直径的圆与对称轴：直线x＝＝5有唯一的交点，即相切．如图，设AP的中点为M，∵A（1，0），∴点M的横坐标为0.5，∴点M到直线x＝5的距离为4.5，∴直径AP的长为9，∴，∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）存在，如图：当点P在以AB为弦的⊙N上，圆心角∠ANB＝2∠APB．过点N做NH⊥AB于H，则∠ANH＝∠APB．∴sin∠ANH＝sin∠APB＝＝，∵AH＝BH＝4．∴AN＝6，∴NH＝，∴N（5，）或N（5，﹣），设P（0，P），∵PN＝AN＝6，当N（5，）时，，∴或，同理，当N（5，﹣）时，p＝﹣2﹣或综上所述，点P的坐标为或或或（0，﹣2+）．15．解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，∵OC＝2OA＝4，∴点C的坐标为（0，4），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，解得，∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4；（2）由题意可知A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），∴AB＝6，BC＝4，∠ABC＝45°；直线AC的解析式为：y＝2x+4；若△OBH与△ABC相似，则分两种情况：①当∠HOB＝∠CAB时，△OBH∽△ABC，此时OH∥AC，∴k＝2；②当∠HOB＝∠ACB时，△OBH∽△CBA，∴OB：BC＝BH：AB，即4：4＝BH：6，解得BH＝3，设点H的坐标为（m，﹣m+4），∴（m﹣4）2+（﹣m+4）2＝（3）2，解得m＝1或7（舍去），∴H（1，3），∴k＝3，综上，k的值为2或3．（3）存在，理由：设点P的坐标为（m，﹣m2+m+4）、点Q的坐标为（t，﹣t+4），①当点Q在点P的左侧时，如图2，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，由题意得：∠PEQ＝90°，∴∠PEN+∠QEM＝90°，∵∠EQM+∠QEM＝90°，∴∠PEN＝∠EQM，∴∠QME＝∠ENP＝90°，∴△QME∽△ENP，∴＝＝＝tan∠EQP＝tan∠OCA＝＝，则PN＝﹣m2+m+4，ME＝1﹣t，EN＝m﹣1，QM＝﹣t+4，∴＝＝，解得m＝±（舍去负值），当m＝时，﹣m2+m+4＝，∴点P的坐标为（，）．②当点Q在点P的右侧时，分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M，则MQ＝t﹣1，ME＝t﹣4，NE＝﹣m2+m+4，PN＝m﹣1，同理可得：△QME∽△ENP，∴＝＝＝2，∴＝＝2，解得m＝±（舍去负值），∴m＝，∴点P的坐标为（，），∴点P的坐标为（，）或（，）．16．解：（1）①∵a＝﹣1，b＝2，c＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M的坐标为（1，4）；（2）当x＝y时，﹣x2+2x+3＝x，∴x2﹣x﹣3＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，∴二次函数y＝﹣x2+2x+3有两个不同的“好点”；（3）∵tan∠PBC＝，点C的坐标为（0，c），则BO＝2c，点B坐标为（2c，0），由一元二次方程根与系数的关系：x1•x2＝可得x1•2c＝，∴x1＝，∴点A坐标为（，0），∵顶点坐标M（﹣，），C（0，c），设直线MC的函数关系式为：y＝mx+n，根据题意得：，解得：，∴直线MC的解析式为：y＝x+c，∴点P坐标为（﹣，0），由此可得P A＝+，PB＝2c+，∵∠PCA＝∠PBC，∠CP A＝∠BPC，∴△PCA∽△PBC，∴＝，∴PC2＝P A•PB，∵PC2＝OP2+OC2＝（﹣）2+c2＝+c2，∴+c2＝（+）（2c+），∴c2＝++，∴c＝++＝①，把点B（2c，0）代入二次函数解析式，得：4ac2+2bc+c＝0，∴4ac+2b+1＝0，∴4ac+b+1＝﹣b②，将②式代入①式得，c＝﹣＝﹣，将c＝﹣代入4ac+2b+1＝0，得，﹣4+2b+1＝0，解得：b＝，∴P的坐标为（﹣，0），又∵S△PBC＝PB•CO＝（2c+）•c＝，∴＝，解得，c＝（﹣舍去），又∵c＝﹣，a＝﹣，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+．17．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx的经过（2，0），（﹣1，3），∴，解得：，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴顶点C（1，﹣1）；（2）过点P作PN⊥y轴于N，过点C作CM⊥y轴于M，设点P的坐标为（m，m2﹣2m），∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，顶点C（1，﹣1），∴PN＝m，ON＝m2﹣2m，OM＝1，CM＝1，∴OM＝CM，OC＝，∴∠COM＝45°，∵OC⊥OP，∴∠COP＝90°，∴∠PON＝45°，∵PN⊥y轴，∴ON＝PN，∴m2﹣2m＝m，解得m＝3或0（不合题意，舍去），∴m＝3，∴ON＝PN＝3，∴OP＝3，∴tan∠OP A＝＝；（3）设P（t，t2﹣2t），∵△ABP的面积等于△ABC的面积的2倍，∴AP＝2AC，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，设BC交x轴于M，∴AM∥PQ，∴，∵顶点C（1，﹣1），∴CM＝1，PQ＝t﹣1，QM＝t2﹣2t，∴，可得t2﹣2t＝2，解得：t＝1+或t＝1﹣（舍去），∴点P的坐标为（1+，2）．18．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，4），∴设y＝a（x﹣1）2+4，把B（3，0）代入得：a（3﹣1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）如图1，过点M作MD∥x轴，交直线BC于点D，∵y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，∴设M（m，﹣m2+2m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+d，把B（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，令y＝﹣m2+2m+3，得﹣m2+2m+3＝﹣x+3，∴x＝m2﹣2m，∴D（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），∴DM＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，∵DM∥x轴，即DM∥AB，∴△MDE∽△ABE，∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，∵＜0，∴当m＝时，取得最大值，此时M（，）；（3）存在．取BQ的中点为F，将线段QF绕点Q旋转90°得到线段QG，连接BG交抛物线于点M，则QF＝QG＝BQ，∠BQG＝90°，∴tan∠MBQ＝＝；当线段QF绕点Q顺时针旋转90°得到线段QG，如图2，过点F作FH⊥y轴于点H，过点G作GK⊥y轴于点K，则∠FHQ＝∠QKG＝90°，∵B（3，0），Q（0，1），∴F（，），H（0，），∴FH＝，QH＝，∵∠FQH+∠GQK＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠GQK＝∠QFH，在△FQH和△QGK中，，∴△FQH≌△QGK（AAS），∴QK＝FH＝，GK＝QH＝，∴OK＝QK﹣OQ＝﹣1＝，∴G（﹣，﹣），设直线BG的解析式为y＝k1x+d1，则，解得：，∴直线BG的解析式为y＝x﹣，联立方程组得，解得：（舍去），，∴M（﹣，﹣）；当线段QF绕点Q逆时针旋转90°得到线段QG，如图3，过点F作FH⊥y轴于点H，过点G作GK⊥y轴于点K，则∠FHQ＝∠QKG＝90°，FH＝，QH＝，∵∠BQG＝90°∴∠FQH+∠GQK＝90°，∵∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠GQK＝∠QFH，在△FQH和△QGK中，，∴△FQH≌△QGK（AAS），∴QK＝FH＝，GK＝QH＝，∴OK＝OQ+QK＝1+＝，∴G（，），设直线BG的解析式为y＝k2x+d2，则，解得；，∴直线BG的解析式为y＝﹣x+3，。
二次函数与三角函数的组合
二次函数与三角函数的组合在数学学科中，二次函数和三角函数都是重要的概念。
二次函数是一个以 x 的二次多项式所定义的函数，三角函数是以角度或弧度作为自变量的函数。
本文将讨论二次函数与三角函数的组合，以探讨它们之间的关系和特点。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数，且a ≠ 0。
根据 a 的正负性质，二次函数的开口方向分为向上和向下两种情况。
具体形状和特征取决于 a 的值。
例如，当 a > 0 时，二次函数开口向上，且顶点坐标为 (-b/(2a), f(-b/(2a)))。
二、三角函数的基本形式三角函数中最常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们分别用 sin(x)、cos(x) 和 tan(x) 表示，其中 x 为角度或弧度。
三角函数图像的周期性和振荡性是其显著特征。
例如，sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π，tan(x) 的周期是π。
三、二次函数与三角函数的组合将二次函数与三角函数进行组合，可以得到形式各异的函数。
常见的组合包括二次函数与正弦函数的乘积、二次函数与余弦函数的乘积等。
这些组合函数可以表示实际问题中的各种变化规律。
下面以几个具体例子来说明。
例一：f(x) = x²sin(x)考虑函数 f(x) = x²sin(x)，它是一个二次函数与正弦函数的乘积。
当x 取不同的值时，f(x) 的值受到 x²和 sin(x) 同时影响。
因为二次函数 x²的取值范围是非负实数，而 sin(x) 的取值范围在 [-1, 1] 之间，所以 f(x) 的值在不同区间内呈现出不同变化趋势。
例二：g(x) = (x-π)cos(x)考虑函数g(x) = (x-π)cos(x)，它是一个二次函数与余弦函数的乘积。
函数中的 (x-π) 部分对二次函数起到平移作用，使得 g(x) 的图像在 x 轴上发生左右平移。
完整版)二次函数含参综合专题
完整版)二次函数含参综合专题轴平移3个单位，得到抛物线y=x-2ax+(b+3)，求新抛物线的表达式；2）若a=2，b=3，求点P、Q的坐标和抛物线的对称轴；3）将抛物线在x轴上方的部分沿y轴平移2个单位，得到抛物线G，求G与x轴交点的横坐标。
综合专题：二次函数二次函数的特征很多时候是隐藏在式子中的，需要找到关键点才能解决问题。
下面分别对不等关系类、翻折类、平移类的例题进行分析。
例1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）。
1) 当抛物线过原点时，a的值为0；2) ①对称轴为x=0，顶点纵坐标为0；②顶点为原点，纵坐标为0；3) 当AB≤4时，a∈[-2,2]。
巩固练：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+3a(a＞0)与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）。
1) 对称轴为x=2，A(-a,0)，B(3a,0)；2) 点C(t,3)在抛物线上，过C作x轴的垂线交x轴于D，①CD=AD时，a=t²-4t+3；②CD>AD时，t∈(-∞,0)∪(1,∞)。
例2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=nx²-4nx+4n-1(n≠0)，与x轴交于点C、D（C在D的左侧），与y轴交于点A。
1) 顶点坐标为(M,n-1)，其中M=n；2) A(0,n-1)，B(3-n,n-1)；3) 翻折后的图象记为G，直线y=n-1与G有一个交点时，m∈(-∞,n-1)。
巩固练：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+3a的最高点纵坐标为2.1) 对称轴为x=1，表达式为y=(a-1)²-1；2) 图象G1在x∈[1,4]上，将G1沿直线x=1翻折得到G2，图象G由G1和G2组成，直线y=b与G只有两个公共点时，b∈(-∞,-1)∪(3,∞)，x1+x2=2.例3.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x-2ax+b 的顶点在x轴上，P(x1,m)、Q(x2,m)（x1<x2）是此抛物线上的两点。
二次函数综合问题(高考专题,含答案)
二次函数综合问题一、转化为最值问题（值域）1、设m 是实数，记M={m |m >1}，f(x)=log 3(x 2－4mx+4m 2+m+11-m ). (1)证明：当m ∈M 时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x 都有意义，则m ∈M ； (2)当m ∈M 时，求函数f(x)的最小值；(3)求证：对每个m ∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. 解：(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log 3［(x －2m)2+m+11-m ］, 当m ∈M 时，m>1,∴(x －m)2+m+11-m >0恒成立，故f(x)的定义域为R 。
反之，若f(x)对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx+4m 2+m+11-m >0。
令Δ＜0，即16m 2－4(4m 2+m+11-m )＜0，解得m>1，故m ∈M 。
(2)解析：设u=x 2－4mx+4m 2+m+11-m ，∵y=log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f(x)最小。
而u=(x －2m)2+m+11-m ，显然，当x=m 时，u 取最小值为m+11-m ，此时f(2m)=log 3(m+11-m )为最小值。
(3)证明：当m ∈M 时，m+11-m =(m －1)+ 11-m +1≥3，当且仅当m=2时等号成立。
∴log 3(m+11-m )≥log 33=1。
2、x x f f bx ax x f a b a ==+=≠)(0)2()(02，并使方程，且，为常数，，已知有等根 （1）求()x f 的解析式；（2）是否存在实数()n m n m <,，使f(x)的定义域和值域分别为[]n m ,和[]n m 2,2。
解：0)2()(12=+=f bx ax x f ，且）（ ∴+=420a b又方程，即f x x ax bx x ()=+=2即有等根ax b x 210+-=()211004)1(2-===⨯⨯--=∆∴a b a b ，从而，即 x x x f +-=∴221)( 2121)1(2121)(222≤+--=+-=x x x x f ）（ 41212≤≤n n ，则有又f(x)在［m ，n ］上是增函数（或对称轴x ＝1≥n ） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤<∴n n f m m f n m 2)(2)(41 解得，m n =-=20∴存在m ＝-2，n ＝0使f(x)的定义域和值域分别为［m ，n ］和［2m ，2n ］。
二次函数与三角函数的关系与计算
二次函数与三角函数的关系与计算在数学中，二次函数和三角函数是常见的数学函数类型。
二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0，而三角函数是巧妙地描述角度与弧度之间关系的函数。
本文将探讨二次函数与三角函数之间的关系，并介绍它们的计算方法。
二次函数与三角函数之间的关系可以通过图像来理解。
首先，我们来观察二次函数的图像。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，它的图像是一个抛物线。
抛物线的开口方向（向上还是向下）取决于a的正负。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
b和c则决定了抛物线的位置和形状。
接下来，我们来看三角函数的图像。
常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
这些函数的图像是周期性的，其周期为2π（或360°）。
在图像上，正弦函数和余弦函数的波形是连续的曲线，而正切函数则具有无穷多个趋近于无穷大的垂直渐近线。
关于二次函数和三角函数之间的关系，我们可以发现一些有趣的现象。
首先，我们可以通过将变量x替换为角度θ来将二次函数与三角函数联系起来。
例如，如果我们将x替换为θ，并选择合适的常数a、b、c，那么二次函数y = ax^2 + bx + c可以被转化为三角函数的表达式，如y = a sin^2(θ) + b sin(θ) + c。
此外，二次函数和三角函数之间还存在一些近似关系。
例如，当抛物线的曲率比较缓和时，它的形状可能与正弦函数或余弦函数的图像相似。
而当抛物线的曲率比较陡峭时，它的形状可能与正切函数的图像相似。
在计算二次函数和三角函数时，我们通常需要借助数学工具和公式。
对于二次函数，我们可以使用求根公式来求解其零点，从而确定函数的交点。
对于三角函数，我们可以使用特定的数学公式来计算其值，如正弦函数和余弦函数的和差角公式、倍角公式，以及正切函数的倒数公式等。
高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题,含答案)
1．tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．假设,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证．5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求以下函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，那么,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，那么]2,2[-∈t 那么，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y 7．假设函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)假设],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)假设]2π,0[∈x ，那么]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 2tan =θ，求〔1〕θθθθsin cos sin cos -+；〔2〕θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：〔1〕2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点〔如果不具备，通过构造的方法得到〕，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
二次函数与三角函数的图像与性质
二次函数与三角函数的图像与性质一、二次函数的图像与性质1.图像特点：二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
开口向上的抛物线顶点在最低点，开口向下的抛物线顶点在最高点。
2.性质：二次函数的图像具有对称性，对称轴是抛物线的轴线，即x = -b/2a。
对称轴上的点关于抛物线对称。
3.顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
顶点是抛物线的最高点或最低点，取决于a的正负。
4.零点：二次函数与x轴的交点称为零点。
二次函数最多有两个零点。
5.开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
6.增减性：当a > 0时，随着x的增大，y值增大；当a < 0时，随着x的增大，y值减小。
二、三角函数的图像与性质1.正弦函数（sin x）：–图像特点：正弦函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为2π。
–性质：正弦函数的值域为[-1, 1]，在0°到π之间，正弦函数是增函数；在π到2π之间，正弦函数是减函数。
2.余弦函数（cos x）：–图像特点：余弦函数的图像与正弦函数相似，也是一条周期性波动的曲线，周期为2π。
–性质：余弦函数的值域为[-1, 1]，在0°到π之间，余弦函数是减函数；在π到2π之间，余弦函数是增函数。
3.正切函数（tan x）：–图像特点：正切函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为π。
–性质：正切函数的值域为全体实数，在每个周期内，正切函数是增函数。
4.弧度制与角度制的转换：–弧度制：π rad = 180°。
–角度制：1° = π/180 rad。
5.三角函数的定义：–正弦函数：sin x = 对边/斜边。
–余弦函数：cos x = 邻边/斜边。
–正切函数：tan x = 对边/邻边。
三、二次函数与三角函数的图像与性质的联系与区别1.联系：二次函数与三角函数都是周期性函数，具有周期性波动的特点。
题型九 二次函数综合题 类型七 二次函数与直角三角形有关的问题(专题训练)(解析版)
题型九 二次函数综合题类型七 二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）1.（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM V 为直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】()11，-(3)()14-，或()25-，或-或-【分析】（1）根据解析式求出A ，B ，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x=1，设P （1，t ），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M （m,m 2-2m-3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．(1)223y x x =--与x 轴交点：令y=0，解得121,3x x =-=，即A （-1，0），B （3，0），223y x x =--与y 轴交点：令x=0，解得y=-3，即C （0，-3），∴AO=1,CO=3,∴AC ==(2)抛物线223y x x =--的对称轴为：x=1，设P （1，t ），∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222210313PC t t =-++=++，∴24t + ()213t =++∴t=-1，∴P （1，-1）；(3)设点M （m,m 2-2m-3），()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时，()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，∴M （1，-4）；②当222BM BC CM +=时，()()()222222323182m m m m m m -+--+=+-，解得，12m =-，23m =（舍），∴M （-2，5）；③当222BM CM BC +=时，()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，解得，m =，∴M -或-；综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或-或-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．2.（2021·四川中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，6），抛物线的顶点坐标为E （2，8），连结BC 、BE 、CE ．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE 的形状，并说明理由；（3）如图2，以C 为半径作⊙C ，在⊙C 上是否存在点P ，使得BP ＋12EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12-x 2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；（3）在CE 上截取（即CF 等于半径的一半），连接BF 交⊙C 于点P ，连接EP ，则BF 的长即为所求．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E （2，8），∴设该抛物线的表达式为y=a （x-2）2+8，∵与y 轴交于点C （0，6），∴把点C （0，6）代入得：a=12-，∴该抛物线的表达式为y=12-x 2+2x+6；（2）△BCE 是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，∴当y=0时，12-（x-2）2+8=0，解得：x 1=-2，x 2=6，∴A （-2，0），B （6，0），∴BC 2=62+62=72，CE 2=（8-6）2+22=8，BE 2=（6-2）2+82=80，∴BE 2=BC 2+CE 2，∴∠BCE=90°，∴△BCE 是直角三角形；（3）如图，在CE 上截取CF 等于半径的一半），连接BF 交⊙C 于点P ，连接EP ，则BF 的长即为所求．连接CP ，∵CP 为半径，∴12CF CP CP CE ==，又∵∠FCP=∠PCE ，∴△FCP ∽△PCE ，∴12CF FP CP PE ==，FP=12EP ，∴BF=BP+12EP ，由“两点之间，线段最短”可得：BF 的长即BP+12EP 为最小值．∵CF=14CE ，E （2，8），∴F （12，132），∴=【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．3.（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD Ð=Ð，求点P 的坐标；（3）如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ^轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN V 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标【答案】（1）223y x x =--；（2）()14,5P ，257,24P æö-ç÷èø；（3）154,33M æö-ç÷èø，154,93Q æö--ç÷èø；2134,33M æöç÷èø，2134,93Q æö-ç÷èø；()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -； ()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【分析】（1）由()1,0A -和D ()1,4-，且D 为顶点列方程求出a 、b 、c ，即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，②在BC 下方作BCF BCE Ð=Ð交BG 于点F ，交抛物线于2P ；（3）QMN V 为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当90QM MN QMN =Ð=°，；②当90QN MN QNM =Ð=°，；③当90QM QN MQN =Ð=°，．【详解】解：（1）将()1,0A -和D ()1,4-代入2y ax bx c=++得04a b c a b c -+=ìí++=-î 又∵顶点D 的坐标为()1,4-∴12ba-=-∴解得123a b c =ìï=-íï=-î∴抛物线的解析式为：223y x x =--．（2）∵()3,0B 和()1,4D -∴直线BD 的解析式为：26y x =-∵抛物线的解析式为：223y x x =--，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于点()1,0A -和点B，则C 点坐标为()0,3-，B 点坐标为()3,0．①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，则直线1CP 的解析式为23y x =-，结合抛物线223y x x =--可知22323x x x --=-，解得：10x =（舍），24x =，故()14,5P ．②过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G，由OB OC =可知四边形OBGC 为正方形，∵直线1CP 的解析式为23y x =-∴1CP 与x 轴交于点3,02E æöç÷èø，在BC 下方作BCF BCE Ð=Ð交BG 于点F ，交抛物线于2P ∴OCE FCGÐ=Ð又∵OC=CG ，90COE G Ð=Ð=° ∴OEC △≌()GFC ASA V ，∴32FG OE ==，33,2F æö-ç÷èø，又由()0,3C -可得直线CF 的解析式为132y x =-，结合抛物线223y x x =--可知212332x x x --=-，解得10x =（舍），252x =，故257,24P æö-ç÷èø．综上所述，符合条件的P 点坐标为：()14,5P ，257,24P æö-ç÷èø． （3）∵()3,0B ，()0,3C -∴直线BC 的解析式为3BC y x =-设M 的坐标为()3m m -，，则N 的坐标为()223m m m --，∴()22=3233MN m m m m m ----=-∵()1,0A -，()0,3C -∴直线BC 的解析式为33AC y x =--∵QMN V 为等腰直角三角形∴①当90QM MN QMN =Ð=°，时，如下图所示则Q 点的坐标为33m m æö--ç÷èø，∴4=33m mQM m æö--=ç÷èø∴24=33mm m -解得：10m =（舍去），2133m =，353m =∴此时154,33M æö-ç÷èø，154,93Q æö--ç÷èø；2134,33M æöç÷èø，2134,93Q æö-ç÷èø；②当90QN MN QNM =Ð=°，时，如下图所示则Q 点的坐标为222233m m m m æö---ç÷èø，∴222=33m m m mQM m -+-=∴22=33m mm m +-解得：10m =（舍去），25m =，32m =∴此时()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；③当90QM QN MQN =Ð=°，时，如图所示则Q 点纵坐标为()()22211113236=32222m m m m m m m -+--=---- ∴Q 点的坐标为22111136622m m m m æö---ç÷èø，∴Q 点到MN 的距离=221151+6666m m m m m--=∴22511+=3662m m m m ×-（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：10m =（舍去），27m =，31m =∴此时()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．综上所述，点M 及其对应点Q 的坐标为：154,33M æö-ç÷èø，154,93Q æö--ç÷èø；2134,33M æöç÷èø，2134,93Q æö-ç÷èø；()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -； ()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形．该题综合性较强，属于中考压轴题．4.（2021·湖北中考真题）抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，若DEF V 是等腰直角三角形，求DEF V 的面积；（3）若()3,P t 是对称轴上一定点，Q 是抛物线上的动点，求PQ 的最小值（用含t 的代数式表示）．【答案】（1）263y x x =-+-；（2）4；（3）6(6)6)112t t PQ t ìï-³=<<£【分析】（1）与y 轴相交于点()0,3C -，得到3b =-，再根据抛物线对称轴，求得1a =-，代入即可．（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，可知E 、F 两点关于对称轴对称，DEF V 是等腰直角三角形得到45FED Ð=°，设(,)(0)E m n n >，根据等腰直角三角形的性质求得E 点坐标，从而求得DEF V 的面积．（3）(,)(6)Q p q q £，根据距离公式求得222(21)6PQ q t q t =-+++，注意到q 的范围，利用二次函数的性质，对t 进行分类讨论，从而求得PQ的最小值．【详解】解：（1）由抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -得到3b =-抛物线的对称轴为3x =，即232b a--=，解得1a =-∴抛物线的方程为263y x x =-+-（2）过点E 作EM AB ^交AB 于点M ，过点F 作FN AB ^，交AB 于点N ，如下图：∵DEF V 是等腰直角三角形∴DE DF =，45FED Ð=°又∵EF x ∥轴∴45EDM Ð=°∴EMD V 为等腰直角三角形∴EM DM=设(,)(0)E m n n >，则(,0)M m ，3,DM m EM n=-=∴3n m=-又∵263n m m =-+-∴2363m m m -=-+-2760m m -+=解得1m =或6m =当1m =时，2n =，符合题意，2,4DM EM MN ===142DEF S MN EM =´=△当6m =时，30n =-<，不符合题意综上所述：4DEF S =V ．（3）设(,)(6)Q p q q £，Q 在抛物线上，则263q p p =-+-222222(3)()692PQ p q t p p q tq t =-+-=-++-+将263q p p =-+-代入上式，得222(21)6PQ q t q t =-+++ 当112t >时，2162t +>，∴6q =时，2PQ 最小，即PQ 最小22223612661236(6)PQ t t t t t =--++=-+=-PQ =6(6)6116(6)2t t t t t -³ìï-=í-<<ïî当112t £时，212t +£2PQ 最小，即PQ 最小22344t PQ -=，PQ =综上所述6(6)6)112t t PQ t ìï-³=<<£【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公式等知识，熟练掌握距离公式和对代数式的计算是解决本题的关键．5.（2020•泸州）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣2，0），B （4，0），C （0，4）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B 的直线交y 轴于点D ，交线段AC 于点E ，若BD ＝5DE ．①求直线BD 的解析式；②已知点Q 在该抛物线的对称轴l 上，且纵坐标为1，点P 是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l 右侧，点R 是直线BD 上的动点，若△PQR 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，求点P 的坐标．【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C 坐标代入抛物线交点式中，即可求出a ，即可得出结论；（2）①先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF ，进而得出点E 坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；②先确定出点Q 的坐标，设点P （x ，―12x 2+x+4）（1＜x ＜4），得出PG ＝x ﹣1，GQ =―12x 2+x+3，再利用三垂线构造出△PQG ≌△QRH （AAS ），得出RH ＝GQ =―12x 2+x+3，QH ＝PG ＝x ﹣1，进而得出R （―12x 2+x+4，2﹣x ），最后代入直线BD 的解析式中，即可求出x 的值，即可得出结论．【解析】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣2，0），B （4，0），∴设抛物线的解析式为y ＝a （x+2）（x ﹣4），将点C 坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y ＝a （x+2）（x ﹣4）中，得﹣8a ＝4，∴a =―12，∴抛物线的解析式为y =―12（x+2）（x ﹣4）=―12x 2+x+4；（2）①如图1，设直线AC 的解析式为y ＝kx+b'，将点A （﹣2，0），C （0，4），代入y ＝kx+b'中，得―2k +b′=0b′=4，∴k =2b′=4，∴直线AC 的解析式为y ＝2x+4，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，∴OD ∥EF ，∴△BOD ∽△BFE ，∴OB BF =BD BE ，∵B （4，0），∴OB ＝4，∵BD ＝5DE ，∴BD BE =BD BD DE =5DE 5DE BE=56，∴BF =BE BD ×OB =65×4=245，∴OF ＝BF ﹣OB =245―4=45，将x =―45代入直线AC ：y ＝2x+4中，得y ＝2×（―45）+4=125，∴E （―45，125），设直线BD 的解析式为y ＝mx+n ，∴4m +n =0―45m +n =125，∴m =―12n =2，∴直线BD 的解析式为y =―12x+2；②∵抛物线与x 轴的交点坐标为A （﹣2，0）和B （4，0），∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴点Q （1，1），如图2，设点P （x ，―12x 2+x+4）（1＜x ＜4），过点P 作PG ⊥l 于G ，过点R 作RH ⊥l 于H ，∴PG ＝x ﹣1，GQ =―12x 2+x+4﹣1=―12x 2+x+3，∵PG ⊥l ，∴∠PGQ ＝90°，∴∠GPQ+∠PQG ＝90°，∵△PQR 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，∴PQ ＝RQ ，∠PQR ＝90°，∴∠PQG+∠RQH ＝90°，∴∠GPQ ＝∠HQR ，∴△PQG ≌△QRH （AAS ），∴RH ＝GQ =―12x 2+x+3，QH ＝PG ＝x ﹣1，∴R （―12x 2+x+4，2﹣x ），由①知，直线BD 的解析式为y =―12x+2，∴x ＝2或x ＝4（舍），当x ＝2时，y =―12x 2+x+4=―12×4+2+4＝4，∴P （2，4）．6.（2020·甘肃兰州?中考真题）如图，抛物线24y ax bx =+-经过A （－3，6），B （5，－4）两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB 平分CAO Ð；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM D 是以AB 为直角边的直角三角形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）215466y x x =--；（2）详见解析；（3）存在，点M 的坐标为（52，－9）或（52，11）．【解析】【分析】（1）将A （-3，0），B （5，-4）代入抛物线的解析式得到关于a 、b 的方程组，从而可求得a 、b 的值；（2）先求得AC 的长，然后取D （2，0），则AD=AC ，连接BD ，接下来，证明BC=BD ，然后依据SSS 可证明△ABC ≌△ABD ，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB=∠BAD ；（3）作抛物线的对称轴交x 轴与点E ，交BC 与点F ，作点A 作AM′⊥AB ，作BM ⊥AB ，分别交抛物线的对称轴与M′、M ，依据点A 和点B 的坐标可得到tan ∠BAE=12，从而可得到tan ∠M′AE=2或tan ∠MBF=2，从而可得到FM 和M′E 的长，故此可得到点M′和点M 的坐标．【详解】解:（1）将A （-3，0），B （5，-4）两点的坐标分别代入，得9340,25544a b a b --=ìí+-=-î，解得1,65,6a b ì=ïïíï=-ïî故抛物线的表达式为y ＝215466y x x =--． （2）证明：∵AO=3，OC=4，∴=5．取D （2，0），则AD=AC=5．由两点间的距离公式可知=5．∵C （0，-4），B （5，-4），∴BC=5．∴BD=BC ．在△ABC 和△ABD 中，AD=AC ，AB=AB ，BD=BC ，∴△ABC ≌△ABD ，∴∠CAB=∠BAD ，∴AB 平分∠CAO ；（3）存在．如图所示：抛物线的对称轴交x 轴与点E ，交BC 与点F ．抛物线的对称轴为x=52，则AE=112．∵A （-3，0），B （5，-4），∴tan ∠EAB=12．∵∠M′AB=90°．∴tan ∠M′AE=2．∴M′E=2AE=11，∴M′（52，11）．同理：tan ∠MBF=2．又∵BF=52，∴FM=5，∴M （52，-9）．∴点M 的坐标为（52，11）或（52，-9）．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM 和M′E 的长是解题的关键7.（2020·内蒙古通辽?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点，与y 轴交于点C ，且直线过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线于点N ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．2y x bx c =-++,A B 6y x =-OBBD MDB △,,Q M N【答案】（1）；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，0，.【解析】【分析】（1）根据直线求出点B 和点D 坐标，再根据C 和D 之间的关系求出点C 坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；（2）设点P 坐标为（m ，0），表示出M 和N 的坐标，再利用三角形面积求法得出S △BMD =，再求最值即可；（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.【详解】解：（1）∵直线过点B ，点B 在x 轴上，令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，∴B （6，0），D （0，-6），∵点C 和点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），∵抛物线经过点B 和点C ，代入，，解得：，∴抛物线的表达式为：；（2）设点P 坐标为（m ，0），则点M 坐标为（m ，），点N 坐标为（m ，m-6），∴MN=-m+6=，∴S △BMD =S △MNB +S △MND=256y x x =-++4+4-6y x =-231236m m -++6y x =-2y x bx c =-++03666b c c =-++ìí=î56b c =ìí=-î256y x x =-++256m m -++256m m -++2412m m -++()2141262m m ´-++´==-3（m-2）2+48当m=2时，S △BMD 最大=48，此时点P 的坐标为（2，0）；（3）存在，由（2）可得：M （2，12），N （2，-4），设点Q 的坐标为（0，n ），当∠QMN=90°时，即QM ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点M 的纵坐标相等，即Q （0，12）；当∠QNM=90°时，即QN ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点N 的纵坐标相等，即Q （0，-4）；231236m m -++当∠MQN=90°时，MQ ⊥NQ ，如图，分别过点M 和N 作y 轴的垂线，垂足为E 和F ，∵∠MQN=90°，∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，∴∠NQF=∠QME ，∴△MEQ ∽△QFN ，∴，即，解得：n=或∴点Q （0，）或（0，），综上：点Q 的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.ME EQ QF FN =21242n n -=+4+4-4+4-4+4-。
中考数学压轴题专题-二次函数与三角函数综合问题
专题17二次函数与三角函数综合问题【例1】（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．（1）点F的坐标为；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．【例2】（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD＝MN，求N点的坐标．【例3】（2021•荆州）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t．（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，△POA 的面积为，当t＝时，求抛物线的解析式．【例4】（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．1．（2021•镇江二模）已知抛物线y＝ax2+bx+10交x轴于点A（﹣10，0）和点B（2，0），其对称轴为直线l，点C在l上，坐标为（m，﹣3），射线AB沿着直线AC翻折，交l于点F，如图（1）所示．（1）a＝，b＝；（2）如图（2），点P在x轴上方的抛物线上，点E在直线l上，EP＝EB且∠BPE＝∠BAF，求证：AB •BE＝PB•AF．（3）在（2）的条件下，直接写出tan∠BAF的值＝；直接写出点P的坐标（，）．2．（2021•慈溪市校级四模）如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PM⊥OA于点M，点Q的坐标为（0，3），连接PQ．（1）求出抛物线的解析式；（2）当点P与点A或点C重合时，PQ+PM＝，小聪猜想：对于A，C间的任意一点P，PQ与PM之和是一个固定值，你认为正确吗，判断并说明理由；（3）延长MP交BC于点N，当∠NPQ为锐角，cos∠NPQ＝时，求点P的坐标．3．（2021•道里区二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2交y轴于点A，该抛物线的顶点为B（2，﹣4）．（1）如图（1），求a，b的值；（2）如图（2），过点B作x轴的垂线，点C为垂足，横坐标为t的点P在抛物线上，点P在第四象限且位于BC右侧，连接PA，PC，△ACP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，不要求写出自变量t 的取值范围；（3）如图（3），在（2）的条件下，连接PB，点D与点A关于原点对称，过点D作x轴的平行线与抛物线在第二象限交于点E，点F在第三象限，点G在CB的延长线上，若EF＝PC，∠DEF+∠BCP＝150°，∠DEG﹣∠PFG＝30°，tan∠EGF＝，求点P的坐标．4．（2021•金坛区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象与y轴交于点B，抛物线的对称轴是直线l，顶点是A，过点B作CD⊥BA交x轴于点C，交抛物线于点D，连接AD．将线段AB沿线段AD平移得到EF（点E与点A对应、点F与点B对应），连接BF．（1）填空：线段OA＝；（2）若点F恰好落在直线L上，求AF的长；（3）连接DF并延长交抛物线于点Q，若tan∠ADF＝，求点Q的坐标．5．（2021•仙桃校级模拟）如图，已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（0，﹣2），且经过点A（﹣2，2），动直线l的解析式为：y＝﹣4x+e．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1向上平移两个单位得到新抛物线C2，过点A的直线交抛物线C2于M、N两点（M位于点N的左边），动直线经过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P，求证：直线PN恒过一个定点；（3）图3中，在（1）的条件下，x轴正半轴上有一点B（1，0），M为抛物线C1上在第一象限内的点，若∠MAB为锐角，且tan∠MAB＞2，直接写出点M的横坐标x的取值范围．6．（2021•台安县模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，交抛物线于点M，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式．（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时（与点M重合），①求线段EH的长；②连接DF，求tan∠FDE的值；③试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021•江阴市模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象交x轴于点A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，与其对称轴交于点D，直线BD交y轴于点E，BD＝2DE．（1）求点A的坐标；（2）①连接AC，BC，若△ABC外接圆的圆心正好在x轴上，求二次函数表达式；②连接CD，若tan∠CDB＝tan∠OBD，求此时二次函数表达式．8．（2021•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E 为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2020•海安市一模）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a（a＞0）与y轴相交于A 点，过点A作x轴的平行线与抛物线L的另一交点为B点．直线y＝kx﹣k（k＞a）与抛物线L相交于C，D两点（点C在点D的左侧），与y轴交于E点，过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接EH交x轴于G 点．（1）若a＝1，k＝2，求DH的长；（2）当a=13时，求cos∠AHE的值；（3）连接BC，求证：四边形BCGH是平行四边形．10．（2020•惠山区二模）已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2+2mx﹣4（m≠0）的图象与x 轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数的图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP＝2，求出点P的横坐标．11．（2020•肥城市四模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴A（﹣4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE，D是第二象限内的抛物线上一动点．（1）求二次函数的解析式；（2）求△ADE面积的最大值并写出此时点D的坐标；（3）若tan∠AED=13，求此时点D的坐标．12．（2020•历下区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED=13，求此时点D坐标；（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长．14．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y=−12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC=12时，求点F的坐标．（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t （0≤t≤5），请直接写出S与t的函数关系式．15．（2020•成都校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+4交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（6，7）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F，作PM⊥CD于点M．（1）求抛物线的解析式及sin∠PFM的值．（2）设点P的横坐标为m：①若P在CD上方，用含m的代数式表示线段PM的长，并求出线段PM长的最大值；②当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．16．（2020•武汉模拟）如图，抛物线y═−13x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，5）．有一宽度为1，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，是否存在以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2020•河东区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2019•新都区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点A和点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B两点，且其对称轴是直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P是抛物线上一动点，若在此抛物线上，有且仅有三个点P，使△ABP的面积等于定值S，请求出该定值S和这三个P点的坐标；（3）如图2，动点C，D分别在x轴上方、下方的抛物线上运动，且满足∠CAO＝∠DAO，连接CD交x轴于点E，当点C，D运动时，∠CEO的度数发生变化吗？若不变，求出sin∠CEO的值；若变化，请求出∠CEO的变化范围．。
中考数学总复习《二次函数与三角函数综合压轴题》专项训练题(附有答案)
中考数学总复习《二次函数与三角函数综合压轴题》专项训练题(附有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（1，2），与x轴交于点B（﹣1，0），C两点，点P是抛物线上的动点．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）如图2，连接CD，点E在CD上，且∠PEC＝90°，求线段PE长度的最大值；（3）如图3，连接AB、AC，已知∠ACB+∠PCB＝α，使得tanα＝2？若存在，求出点P 的横坐标，请说明理由．2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是y轴，与x轴交于A、B两点且A点坐标是（﹣2，0），且OB＝2OC．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，若M（﹣4，m），N是抛物线上的两点．求N点坐标；（3）如图3，D是B点右侧抛物线上的一动点，D、E两点关于y轴对称．直线DB、EB 分别交直线x＝﹣1于G、Q两点，请问PG﹣PQ是定值吗？若是请直接写出此定值．3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点2+x+8交x轴于点A（﹣4，0）、B，交y 轴于点C．（1）求点B的坐标；（2）点D是第一象限抛物线上的一点，连接AD交y轴于点E，设点D的横坐标为t，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当4＜t＜8时，且横坐标为﹣t，连接BF交y轴于点G，点H 为线段BG的中点，连接AG，若AG＝EH，求tan∠CMD的值．4．二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C （1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为m（m＞3），且AQ⊥PQ，若AQ＝2PQ；（3）如图2，将抛物线绕x轴正半轴上一点R旋转180°得到新抛物线C1交x轴于D、E两点，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D．若sin∠BME＝5．如图，已知抛物线过平面直角坐标系中A（1，0）、B（3，0）（0，3）三个点．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标．（2）如图②连接BC、BD、CD，求△BCD的面积．（3）点P是抛物线上的一点，已知，求满足条件的P点的坐标．6．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0），且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，当△ACE面积的最大值时，求出此时点E的坐标；（3）点Q是直线上的一动点，连接OQ，设△OQF外接圆的圆心为M，当sin∠OQF 最大时（直接写答案）．7．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD＝2；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，请直接写出四边形PECE'的周长．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，直线y＝﹣x+2交抛物线于B（点B在点C的左侧），交y轴于点D，交x轴于点E．（1）求点D，E，C的坐标；（2）F是线段OE上一点（OF＜EF），连接AF，DF，且AF2+EF2＝21．①求证：△DFC是直角三角形；②∠DFC的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan∠PFK＝1时9．已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q？若存在，求出点Q的坐标，请说明理由．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）（﹣，0），tan∠ACO＝．（1）求抛物线的解析式；（2）线段OB上有一动点P，连接CP，当CP+，请直接写出此时点P的坐标和CP+ PB的最小值．（3）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值．11．如图，已知一次函数y1＝kx+m的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点，且与x 轴交于点C2＝ax2+bx+4的图象经过点A，C，连接OA．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）求∠OAB的正弦值．（3）在点C右侧的x轴上是否存在一点D，使得△BCD与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标，请说明理由．12．如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，过点P作PE⊥OA于点E，点Q的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）①当PQ∥EQ时，PQ+PE＝；②某班数学科代表经过一番探究后发现：对于A、C间的任意一点P，PQ与PE之和为定值，你是否同意他的观点？请说明理由；（3）延长EP交BC于点F，当∠FPQ为锐角，且时，求点P的坐标．13．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交x轴分别于A，D两点，交y轴于B点（1）求抛物线的对称轴；（2）求tan∠BAC；（3）在y轴上是否存在一点P，使得以P，B，D三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在；如果不存在，请说明理由．14．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）如图，连接AC，点P在线段AC上，与抛物线交于点Q．以线段PQ为边构造矩形PQMN，边MN在y轴上．①当矩形PQMN周长最大时，求点P坐标．②在①的条件下，点T在第四象限内，作射线AT，求tan∠TAO的值．15．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OQ＝18，点P是x轴正半轴上一点，连接PQ，⊙A经过点O且与QP相切于点P（1）若圆心A在x轴上，求⊙A的半径；（2）若圆心A在x轴的上方，且圆心A到x轴的距离为2，求⊙A的半径；（3）在（2）的条件下，若OP＜10，D，P的抛物线上的一个动点，点F为x轴上的一个动点的点M共有4个，求点F的横坐标的取值范围．参考答案1．解：（1）由题可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+6代入点B，得4a+2＝2∴a＝∴抛物线解析式为：；（2）如图1，过P作PF⊥x轴于F∵PE⊥CD∴∠PEH＝∠PFC＝90°∴∠PHE+∠EPH＝∠CHF+DCB＝90°∵∠PHE＝∠CHF∴∠EPH＝∠DCB令x＝6，则y＝＝∴D（0，）令y＝0，则解得x＝﹣2或3∴C（3，5）∴DO＝，CO＝7∴∴cos∠EPH＝cos∠DCB＝设直线CD为y＝kx+代入点C，得k＝∴直线CD为设P（），则H（）∴∵cos∠EPH＝∴PE＝＝∵P在第一象限∴0＜m＜6∴时，PE最大值为；（3）①如图2，当P在x轴下方时延长AB交CP延长线于K，过A作x轴平行线，两线交于点Q 过C作CR⊥AQ于R∵A（7，2），0），5）∴AB＝同理，AC＝∴AB2+AC2＝BC6，AB＝AC∴∠BAC＝90°∵∠AKQ+∠QAK＝∠QAK+∠RAC＝90°∴∠AKQ＝∠RAC又∠AQK＝∠CRA＝90°∴△AQK∽△CRA∴又tan∠ACK＝∴又AR＝CR＝8∴QK＝AQ＝4∴K（﹣3，﹣2）设直线CK为y＝k1（x﹣3），代入点K解得∴直线CK为联立∴3x3﹣4x﹣15＝0解得x＝或3∴P的横坐标为②如图3，当P在x轴上方时，则K′（﹣2，2）连接CK′交抛物线于点P可设直线CK′为y＝k2（x﹣5），代入点K′解得∴直线CK′为y＝联立∴6x2+4x﹣6＝0∴x＝或3∴P的横坐标为综上，P的横坐标为或．2．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是y轴∴b＝3∵A点坐标是（﹣2，0）∴B点坐标是（2，0）∴OB＝2∵OB＝5OC∴OC＝1∴C（0，﹣4）∴c＝﹣1把A（﹣2，5）代入y＝ax2﹣1，得5a﹣1＝0解得：a＝∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣1；（2）当x＝﹣5时，y＝4﹣1＝3∴M（﹣8，3）过点M作MG⊥x轴于点G则MG＝3，OG＝5在Rt△OMG中，OM＝＝过点O作FK⊥OM，使OF＝OK＝，如图，过点K作KL⊥x轴于点L连接MF交抛物线于点N，连接MK交抛物线于点N′则∠MGO＝∠FHO＝∠KLO＝∠MOF＝∠MOK＝90°，tan∠OMN＝＝＝∵∠MOG+∠FOH＝90°，∠OFH+∠FOH＝90°∴∠OFH＝∠MOG∴△FOH∽△OMG∴＝＝，即＝＝∴OH＝1，FH＝∴F（1，）设直线MF的解析式为y＝kx+n，则解得：∴直线MF的解析式为y＝﹣x+与抛物线y＝x2﹣1联立，得：x2﹣6＝﹣x+解得：x1＝﹣8（舍去），x2＝当x＝时，y＝﹣×+＝∴N（，）；同理可得K（﹣2，﹣），直线MK的解析式为y＝﹣与抛物线y＝x2﹣1联立，得：x2﹣8＝﹣x﹣解得：x6＝﹣4（舍去），x2＝﹣当x＝﹣时，y＝﹣）﹣∴N′（﹣，﹣）；综上所述，N点坐标为（，，﹣）；（3）由（1）知：A（﹣2，7），0）∵D、E两点关于y轴对称设D（m，m2﹣1），则E（﹣m，m2﹣6）设直线BD的解析式为y＝k1x+b1则解得：∴直线BD的解析式为y＝x﹣当x＝﹣1时，y＝﹣﹣∴G（﹣1，﹣）同理可得：直线BE的解析式为y＝x+当x＝﹣8时，y＝∴Q（﹣1，）∵P（﹣1，4）∴PG＝0﹣（﹣）＝∴PG﹣PQ＝﹣＝3故PG﹣PQ的值为5．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+8交x轴于点A（﹣5，0）∴0＝（﹣4）2+（﹣4）+8解得a＝﹣∴y＝﹣x2+x+2当y＝0时，0＝﹣x2+x+4解得x1＝﹣4，x6＝8∴B（8，5）；（2）如图1，过D作DP⊥x轴于P∵点D的横坐标为t，点D是第一象限抛物线上的一点∴D（t，﹣x2+x+8）∴PD＝﹣x2+x+7，AP＝t+4在Rt△P AD中，tan∠P AD＝＝（t﹣8）在Rt△AOE中，tan∠OAE＝∴OE＝8﹣t在y＝﹣x2+x+8中，令x＝2∴C（0，8）∴OC＝3∴d＝CE＝OC﹣OE＝8﹣（8﹣t）＝t；（3）如图7，连接BC，FT⊥y轴于T在Rt△ABC中，∵OB＝OC＝8∴∠OBC＝∠OCB，BC＝∵∠OBC+∠OCB＝90°∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵点F的横坐标为﹣t，点F在抛物线上∴F（﹣t，﹣t2﹣t+4）∴t6+t﹣8，BR﹣8+t在Rt△BFR中，tan∠FBR＝＝在Rt△BOG中，tan∠OBG＝∴OG＝2t﹣8∴EG＝OE+OG＝6﹣t+2t﹣8＝t＝CE．∵点H为线段BG的中点∴EH∥BC，EH＝∴AG＝EH＝6在Rt△OAG中，OG＝∴∠OAG＝∠OGA∵∠OAG+∠OGA＝90°∴∠OAG＝∠OGA＝45°＝∠OBC∴AE∥GH∴∠CMD＝∠CFB∵OG＝7t﹣8＝4∴t＝4∴﹣t5﹣t+8＝﹣7，CE＝3t＝12∴F（﹣6，﹣7）∴FT＝7，GT＝OT﹣OG＝7﹣4＝6在Rt△FGT中，FG＝＝在Rt△BOG中，BG＝在Rt△CGN中，sin∠CGN＝∴CN＝∴GN＝∴FN＝FG+GN＝3+在Rt△CFN中，tan∠CFN＝＝∴tan∠CMD＝tan∠CFN＝．4．解：（1）将A（﹣1，0），7）解得：∴这个二次函数的表达式是y＝x6﹣2x﹣3；（2）过点Q作x轴的平行线交过点P与y轴的平行线与点N，交过点A与y轴的平行线于点M∵∠NQP+∠MQA＝90°，∠MQA+∠QAM＝90°∴∠NQP＝∠QAM∵∠AMQ＝∠QNP＝90°∴△AMQ∽△QNP∴设点Q的坐标为（1，t），m2﹣6m﹣3）则AM＝t，QN＝m﹣1，NP＝t﹣m8+2m+3即解得m＝6（舍去）或4故m＝4；（3）过点E作EH⊥MB交MB的延长线于点H由抛物线的表达式知，点M（4，BM＝2则tan∠OBM＝＝3＝tan∠HBE∵sin∠BME＝，故tan∠BME＝故设BH＝x，则HE＝2x在Rt△HEM中，tan∠BME＝则tan∠BME＝＝＝，解得x＝在Rt△BHE中，BE＝＝故点E的坐标为（9，0）由旋转的定义知，点R是点A则x R＝（9﹣3）＝4故点R的坐标为（4，8）．5．解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c 把A（1，2），0），3）代入得解方程组得：∴y＝x2﹣6x+3配方得：y＝（x﹣2）2﹣1顶点D的坐标为（2，﹣2）；（2）设直线CD的表达式为y＝kx+m把C（0，3），﹣6）代入得解方程组得：∴y＝﹣7x+3如图（2），设直线y＝﹣2x+8交x轴于点E当y＝0时，﹣2x+7＝0∴点E坐标为：（，2）∴BE＝3﹣过D作DF⊥x轴于点F∴；（3）∵BC5＝32+62＝18，BD2＝72+18＝2，CD2＝72+42＝20∴BC2+BD2＝CD7∴△BCD为直角三角形，∠CBD＝90°又∵tan∠BCP＝，即点D为满足条件的点P7（2，﹣1）如图（3），延长DB至点H，得H（2连接CH交抛物线于点P，所得的∠PCB＝∠BCD设直线CH的表达式为y＝k1x+n把C（0，7），1）代入得解得则直线CH的表达式为：由题意得：解得x＝0或当时，∴点满足条件的P点的坐标有P1（2，﹣3），．6．解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移4个单位，再向下平移2个单位2﹣2∵OA＝1∴点A的坐标为（﹣1，3），4a﹣2＝2∴∴抛物线的解析式为，即．令y＝0，则解得：x1＝﹣5，x2＝3∴B（5，0）；∴AB＝OA+OB＝4∵△ABD的面积为4∴∴∴解得：x1＝﹣2，x8＝4∴．设直线AD的解析式为y＝kx+b，则有解得：∴直线AD的解析式为．（2）如图，过点E作EM∥y轴交AD于M设，则∴∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝＝．∴当此时E点坐标为．（3）如图，H是OF的中点上运动∴∠OQF＝∠OMH∴∴当OM取得最小值时，sin∠OQF的值最大∵MO＝MQ∴当MQ取得最小值时，sin∠OQF的值最大∵当MQ垂直直线时，MQ取得最小值∴此时M、Q在二次函数的对称轴直线x＝7上∴根据对称性，存在故：或．7．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，与y轴交于点C（4∴解得∴抛物线的解析式为．答：抛物线的解析式为．（2）①设P（x，），如图∴∠PEC＝∠CED＝90°∵C（0，﹣2）∴OC＝4∵PD⊥x轴∴∠PDO＝90°∵∠DOC＝90°∴四边形DOCE是矩形∴DE＝OC＝4，OD＝CE＝﹣x∴＝∵∴∴（舍去）∴＝∴P（﹣．②设P（m，）对于，当y＝4时，解得x1＝7，x2＝﹣3∴B（﹣5，0）∵OC＝4∴当点P在第三象限时，如图则四边形DEFO是矩形∴EF＝OD＝﹣m∵点E与点E′关于PC对称∴∠ECP＝∠E′CP，CE＝CE′∵PE∥y轴∴∠EPC＝∠PCE′∴PE＝CE∴PE＝CE′∴四边形PECE′是菱形∵EF∥OA∴△CEF∽△CBO∴∴∴设直线BC的解析式为y＝kx+b∴解得∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣2∴∴＝∵，PE＝CE∴解得（舍去）∴∴四边形PECE′的周长C＝4CE＝4×＝当点P在第二象限时，如图同理可得解得（舍去）∴∴四边形PECE′的周长C＝4CE＝3×＝综上，四边形PECE′的周长为或．8．（1）解：∵直线y＝﹣x+8交y轴于点D 当x＝0时，y＝2∴D（4，2）当y＝0时，x＝5∴E（6，0）∵直线y＝﹣x+2交抛物线于B∴﹣x7+3x+1＝﹣x+2∴7x2﹣10x+3＝8解得∵点B在点C的左侧∴点C的横坐标为6，当x＝3时∴C（3，3）答：C（3，1），8），0）．（2）如图①证明：∵抛物线y＝﹣x2+5x+1交y轴于点A 当x＝0时，y＝4∴A（0，1）∴OA＝6在Rt△AOF中，∠AOF＝90°∴AF2＝OA2+OF3设F（m，0）∴OF＝m∴AF2＝5+m2∵E（6，2）∴OE＝6∴EF＝OE﹣OF＝6﹣m∵AF5+EF2＝21∴1+m8+（6﹣m）2＝21∴m2＝2，m2＝7∵OF＜EF∴m＝2∴OF＝2∴F（4，0）∵D（0，4）∴OD＝2∴OD＝OF∴△DOF是等腰直角三角形∴∠OFD＝45°过点C作CG⊥x轴于G∵C（3，6）∴CG＝1，OG＝3∵GF＝OG﹣OF＝3∴CG＝GF∴△CGF是等腰直角三角形∴∠GFC＝45°∴∠DFC＝90°∴△DFC是直角三角形．②解：∵FK平分∠DFC，∠DFC＝90°∴∠DEK＝∠CFK＝45°∴∠OFK＝∠OFD+∠DFK＝90°∴FK∥y轴∵3tan∠PFK＝1∴设点P的坐标为（t，﹣t2+5t+1），根据题意得．（i）当点P在直线KF的左侧抛物线上时，．过点P1作P6H⊥x轴于H∴P1H∥KF∴∠HP1F＝∠P8FK∴∵HF＝OF﹣OH∴HF＝2﹣t在Rt△P1HF中，∵∴P1H＝3HF∵∴﹣t2+3t+6＝3（2﹣t）∴t3﹣6t+5＝3∴t1＝1，t5＝5（舍去）当t＝1时，﹣t7+3t+1＝2∴P1（1，7）．（ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，过点P7作P2M⊥x轴于M∴P2M∥KF∴∠MP8F＝∠P2FK∴∴P3M＝3MF∵∴﹣t7+3t+1＝6（t﹣2）∴（舍去）当t＝时，∴．∴点P的坐标为（3，3）或（）．9．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（7，0），0）解得：∴抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+2；（2）由（1）知y＝x2﹣5x+2，当x＝0时∴C（0，3）∵△P AC的周长等于P A+PC+AC，AC为定长∴当P A+PC的值最小时，△P AC的周长最小∵A，B关于抛物线的对称轴对称∴P A+PC＝PB+PC≥BC，当P，B，P A+PC的值最小，此时点P为直线BC与对称轴的交点设直线BC的解析式为：y＝mx+n则：解得：∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4当时，∴∵A（1，8），4）∴P A＝＝，PC＝＝∴；（3）存在∵D为OC的中点∴D（5，2）∴OD＝2∵B（3，0）∴OB＝4在Rt△BOD中，∴∠QDB＝∠OBD；①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，此时Q点纵坐标为2设Q点横坐标为t，则：t2﹣5t+4＝2，解得：∴Q（，2）或（；②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E则：DE＝BE设E（p，0）2＝OE4+OD2＝p2+7，BE2＝（4﹣p）6∴p2+4＝（6﹣p）2解得：∴设DE的解析式为：y＝kx+q则：解得：∴联立解得：或∴Q（3，﹣2）或；综上所述，或（，﹣2）或．10．解：（1）∵A（﹣，0）∴OA＝∵tan∠ACO＝∴OC＝4∴C（0，3）将A，C的坐标代入y＝ax3+x+c得，∴∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3；（2）令y＝4，则y＝﹣x3+x+3＝0解得x＝﹣或x＝3∴B（8，0）∴OC＝6，OB＝3∴tan∠OBC＝＝∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°；如图1，作点C关于x轴的对称点C′，C′H与x轴的交点即为所求点P∴PH＝PB∴CP+PB＝CP+PH＝C′P+PH＝C′H∵OC＝OC′＝3∴CC′＝6∴C′H＝6；连接CP∴C′P＝CP，∠PCC′＝∠PC′C＝30°∴OP＝综上，当P（，CP+；（3）如图2，过点D作DG⊥x轴于点G，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K ∴△DEF∽△AEK∴＝∵C（0，3），0）∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；设点D的横坐标为t∴D（t，﹣t2+t+3）∴F（t，﹣t+3），4）∴AF＝4，DF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t2+t；∴＝＝﹣t2+t＝﹣）2+∴当t＝时，的最大值为．11．解：（1）将A（﹣1，﹣5），﹣3）代入y1＝kx+m ∴解得∴y＝x﹣5令y＝0，则x＝4∴C（6，0）将A（﹣1，﹣2），0）代入y2＝ax2+bx+4∴解得∴y＝﹣2x2+7x+7；（2）过点O作OH⊥AC交于H∵B（0，﹣4），2）∴∠OCB＝45°∵OC＝4∴OH＝CH＝2∵AC＝5∴AH＝8∴AO＝∴sin∠AOB＝＝；（3）存在点D，使得△BCD与△OAB相似∵D点在C点右侧∴∠BCD＝135°∵∠ABO＝135°∴∠CBD＝∠OAB或∠CDB＝∠OAB当∠OAB＝∠CBD时，△OAB∽△DBC∴＝∵OB＝4，BC＝2∴CD＝16∴D（20，6）；当∠OAB＝∠BCD时，△OAB∽△BDC∴＝∴CD＝2∴D（6，6）；综上所述：D点坐标为（20，0）或（6．12．解：（1）∵边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上∴点C坐标为（0，8），0）根据抛物线的点C为顶点，设该抛物线的解析式为：y＝ax2+6将点A（﹣4，0）代入可得16a+3＝0解得a＝﹣∴此抛物线关系式为：y＝﹣x3+4；（2）①当点P与点A重合时，PQ+PE＝AQ＝当点P与点C重合时，PQ+PE＝CQ+CO＝2+4＝5故答案为：2；②对于A，C间的任意一点P理由如下：过点P作PD⊥y轴于点D设点P的坐标为（m，﹣m7+4）∵点P是抛物线上点A，C间的一个动点∴PD＝﹣m，QD＝|﹣m2+4﹣4|∴PQ＝＝m2+1∴PQ+PE＝m2+6+（﹣m3+4）＝5；（3）由（2）得PQ+PE＝6设点P的坐标为（x，y）∴PE＝y，PQ＝5﹣y∵∠FPQ为锐角，则y＜3∴QD＝8﹣y∵cos∠FPQ＝而∠FPQ＝∠DQP∴＝解得：y＝1把y＝1代入抛物线解析式得y＝﹣x2+5＝1解得x＝±2∵点P在AC段上∴x＝﹣2∴点P坐标为（﹣6，1）．13．解（1）∵二次函数y＝﹣x2+2x+3∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵二次函数y＝﹣x3+2x+3＝﹣（x﹣6）2+4∴C（7，4），3）把y＝3代入y＝﹣x2+2x+8解得：x1＝﹣1，x7＝3∴D（﹣1，5），0）过点C作CE⊥y轴，垂足为点E则BE＝4﹣3＝1，CE＝1∴BC＝，∠EBC＝∠ECB＝45°又∵OB＝OA＝3∴AB＝3，∠OBA＝∠OAB＝45°∴∠CBA＝180°﹣45°﹣45°＝90°又∵BC＝，AB＝3∴tan∠BAC＝＝；（3）存在，P（6，（0，﹣）当点P在原点时，∠BPD＝90°，∴，∠BPD＝∠ABC则△BPD∽△ABC；在Rt△ABC中，BC＝∴AC＝2在Rt△BOD中，OD＝1∴BD＝当PD⊥BD时，设点P的坐标为（0若△BDP∽△ABC，则，即＝解得y＝﹣∴点P的坐标为（0，﹣）∴当P的坐标为（0，0）或（3，﹣，以P、B．14．解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣（x6﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3；（2）①由点A、C的坐标得设点P（x，﹣x+3），﹣x2+2x+6）则PQ＝（﹣x2+2x+5）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x则矩形PQMN的周长＝2（PQ+PN）＝2（﹣x6+3x+x）＝﹣2（x8﹣4x）∵﹣2＜7，故矩形PQMN的周长有最大值即点P（2，1）；②由①知，点P的坐标为（7，则NP＝2当x＝2时，PQ＝﹣x2+3x＝2故PQ＝PQ＝5＝PN故矩形PQMN为正方形，如图连接AQ、AN，设CP交AQ于点M由正方形轴对称性知，AQ＝AN∵∠TAQ＝3∠P AN∴∠TAN＝∠P AN设AT交y轴于点H，即∠HAN＝∠P AN在等腰Rt△MNP中，PN＝2由点P、A的坐标得则tan∠P AN＝＝＝＝tan∠NAH过点H作HK⊥AN于点K在Rt△ONA中，tan∠ONA＝设HK＝3t，则NK＝t在Rt△AHK中，tan∠NAH＝则AK＝6t则AN＝NK+AK＝t+6t＝＝则t＝则HN＝t＝则OH＝HN﹣ON＝﹣1＝则tan∠TAO＝＝＝．15．解：（1）∵圆心A在x轴上，⊙A经过点O且与QP相切于点P ∴PQ⊥x轴，OP为直径∵tan∠POC＝1，∴PQ＝OP∵在Rt△OPQ中，．∴OP＝18．∴⊙A的半径为9；（2）如图所示，过点A作AM⊥x轴于点M，连接AP∵PQ是⊙A的切线∴AP⊥PQ，则∠APQ＝90°∵AM⊥x轴，QB⊥x轴∴∠AMP＝∠PBC＝90°∴∠P AM＝90°﹣∠APM＝∠QPB∴△APM∽△PBQ∴∵tan∠POC＝1，QB＝18∴OB＝QB＝18∵AM＝2，设MP＝MO＝x∴PB＝18﹣2x∴解得x＝3或x＝6∴MO＝3或MO＝x∴A（3，3）或A（6∴AP＝＝或AP＝．∴半径为或2．（3）∵OP＜10∴BO＝3，P（8∴A（3，2）∵tan∠POC＝6，设D（a∵∴（3﹣a）2+（7﹣a）2＝13解得：a＝0或a＝5∴D（5，5）设抛物线解析式为y＝ax7+bx将点P（6，0），2）代入得，解得：∴y＝﹣x2+6x∵点F可能在点O的左边或点P的右边，则|K FM|＝设直线MF：或联立，得或当或解得：或∴直线MF：或令y＝0，解得：或∴或．。
二次函数与三角函数结合
二次函数与三角函数结合二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于A 点．（1）根据图象确定a 、b 、c 的符号，并说明理由；（2）如果点A 的坐标为（0，-3），∠ABC=45°，∠ACB=60°，求这个二次函数的解析式．如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点A （0，-3），∠ABC=45°，∠ACB=60°，求这个二次函数解析式．（等腰三角形）如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a ≠0）的图象与x 轴交与A ，B 两点，与y 轴交与点C ，已知点A 的坐标为（-2，0），sin ∠ABC=552，点D 是抛物线的顶点，直线DC 交x 轴于点E ．（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；（2）在直线CD 上是否存在一点Q ，使以B ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 是直线y=2x-4上一点，过点P 作直线PM 垂直于直线CD ，垂足为M ，若∠MPO=75°，求出点P 的坐标．（等腰三角形）已知一次函数y=kx+b 的图象与直线y ＝3-x 平行且经过点（2，3-），与x 轴、y 轴分别交于A 、B 、两点．（1）求此一次函数的解析式；（2）点C是坐标轴上一点，若△ABC是底角为30°的等腰三角形，求点C的坐标．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-bx+c（b＞0）的图象经过点A（-1，b），与y轴相交于点B，且∠ABO的余切值为3．（1）求点B的坐标；（2）求这个函数的解析式；（3）如果这个函数图象的顶点为C，求证：∠ACB=∠ABO．。
二次函数与三角函数的关系与应用
二次函数与三角函数的关系与应用二次函数与三角函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和现实世界中有着重要的应用。
本文将介绍二次函数与三角函数的关系，以及它们的具体应用。
一、二次函数与三角函数的关系1. 二次函数与正弦函数的关系二次函数与正弦函数之间存在一种密切的关系，即正弦函数可以通过二次函数进行逼近。
当我们用泰勒级数展开正弦函数时，可以得到一个以正弦函数为中心的无穷多项式，而这个无穷多项式可以看作是二次函数的形式。
具体地，我们可以用以下公式表示这种关系：y = a*sin(bx+c) + d (1)其中，a、b、c和d是常数，决定了正弦函数的振幅、周期、相位和平移。
当b≈0时，正弦函数可近似为二次函数。
2. 二次函数与余弦函数的关系二次函数与余弦函数之间也存在密切的关系，即余弦函数也可以通过二次函数进行逼近。
余弦函数同样可以通过泰勒级数展开得到以余弦函数为中心的无穷多项式，而这个无穷多项式同样可以看作是二次函数的形式。
具体地，我们可以用以下公式表示这种关系：y = a*cos(bx+c) + d (2)同样地，a、b、c和d是常数，决定了余弦函数的振幅、周期、相位和平移。
二、二次函数与三角函数的应用1. 振动问题二次函数与三角函数在描述振动问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以通过二次函数或正弦函数来描述弹簧的振动，以及钟摆的周期等。
这些问题可以转化为数学模型，通过实际测量的数据来确定相关参数，从而解决实际问题。
2. 物体的运动轨迹二次函数与三角函数也可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，抛物线的运动可以用二次函数来表示，而圆的运动可以用余弦函数和正弦函数来表示。
这些描述可以帮助我们预测物体在空间中的运动轨迹，从而实现精确的定位和跟踪。
3. 电路中的交流信号在电路工程中，交流电信号可以用正弦函数来描述。
而正弦函数可以通过二次函数进行逼近，因此二次函数在电路分析和设计中有着重要应用。
我们可以利用二次函数来分析电路中的电压、电流以及阻抗等特性，从而实现对电路的优化和改进。
二次函数与三角函数的综合题目练习初二数学下册综合算式专项练习题
二次函数与三角函数的综合题目练习初二数学下册综合算式专项练习题在数学学习中，二次函数和三角函数是重要的概念。
它们在综合算式中也经常出现，因此熟练掌握二次函数和三角函数的综合题目练习对于初中数学的学习非常重要。
接下来，我们将通过一些例题，来练习和巩固这些知识点。
1. 题目一：已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 5，求f(-1)的值。
解析：将x = -1代入函数f(x)中，得到f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 5= 2(1) + 3 + 5= 2 + 3 + 5= 10故f(-1)的值为10。
2. 题目二：已知函数g(x) = sin(x)，求g(π/2)的值。
解析：将x = π/2代入函数g(x)中，得到g(π/2) = sin(π/2)= 1故g(π/2)的值为1。
3. 题目三：已知函数h(x) = 3x^2 - 4sin(x)，求h(π)的值。
解析：将x = π代入函数h(x)中，得到h(π) = 3(π)^2 - 4sin(π)= 3π^2 - 4(0)= 3π^2故h(π)的值为3π^2。
通过以上例题，我们可以看到如何运用二次函数和三角函数来求特定点的函数值。
对于二次函数的计算，只需将给定值代入函数表达式中；对于三角函数的计算，只需将给定值代入三角函数表达式中。
掌握了这些计算方法后，我们就能够解决更复杂的综合题目。
接下来，我们来解决一些综合的二次函数和三角函数题目。
4. 题目四：已知函数y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
若函数图像过点(1, 5)，且在x = 2处的切线斜率为4，则求函数的解析式。
解析：由已知条件可得：①将x = 1代入函数y中，得到a(1)^2 + b(1) + c = 5得到a + b + c = 5②函数在x = 2处的切线斜率为4，即导数为4。
求导得到y' = 2ax + b，将x = 2代入导数中，得到4 = 2a(2) + b化简得到4 = 4a + b通过以上两个方程，我们可以得到关于a、b、c的方程组：a +b +c = 54 = 4a + b解这个二元一次方程组，可以得到a = 1，b = 0，c = 4。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数与二次函数综合卷21．如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，EF ⊥EC 交AD 于点F ，连接CF （AD ＞AE ），下列结论：①∠AEF=∠BCE ；②AF+BC ＞CF ；③S △CEF =S △EAF +S △CBE ； ④若=，则△CEF ≌△CDF ．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）2．已知：BD 是四边形ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C=60°，AB=1，BC=3+CD=（1）求tan ∠ABD 的值；（2）求AD 的长.D C BA3．海上有一小岛，为了测量小岛两端A 、B 的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B 点是CD 的中点，E 是BA 延长线上的一点，测得AE ＝10海里，DE ＝30海里，且DE ⊥EC ，cos ∠D ＝35. （1）求小岛两端A 、B 的距离；（2）过点C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于点F ，求sin ∠BCF 的值. B4．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，AC BC =，点P 是△ABC 内一点，且135APB APC ∠=∠=．AB C P（1）求证：△CPA ∽△APB ；（2）试求tan PCB ∠的值．5．如图，在梯形ABCD 中，︒=∠=∠90B A ，=AB 25，点E 在AB 上，︒=∠45AED ，6=DE ,7=CE .（1）求AE 的长；（2）求BCE ∠sin 的值．6．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=23，AD=4．（1）求BC 的长；（2）求tan ∠DAE 的值．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数xk y =在第一象限内的图象分别交OA 、AB 于点C 和点D ，连结OD ，若4=∆BOD S ，(1)求反比例函数解析式；(2)求C 点坐标．8．如图,在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，,,并且.求的长. AB=BD =12ABD CBD ∠=∠AC9．下图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下右图）.（10分）（1）求抛物线的关系式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离.10．已知二次函数的图象的一部分如图所示，求：（1）这个二次函数关系式，（2）求图象与x轴的另一个交点，（3）看图回答，当x取何值时y ﹤0.（12分）11．如图，直线l经过A（3,0），B（0,3）两点与二次函数y＝x2＋1的图象在第一象限内相交于点C.（1）求△AOC的面积；（2）求二次函数图象的顶点D与点B，C构成的三角形的面积．12．抛物线y=－x2＋（m－1）x＋m与y轴交于点（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）画出这条抛物线大致图象；（4）根据图象回答：①当x取什么值时，y＞0 ？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？13．立定跳远时，以小明起跳时重心所在竖直方向为y轴（假设起跳时重心与起跳点在同一竖直方向上），地平线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），则小明此跳重心所走过的路径是一条形如y=-0.2（x-1）2+0.7的抛物线，在最后落地时重心离地面0.3m（假如落地时重心与脚后跟在同一竖直方向上）．（1）小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面多少米？此时他离起跳点的水平距离有多少米？（2）小明此跳在起跳时重心离地面有多高？（3）小明这一跳能得满分吗（2.40m为满分）？参考答案1．①③④【解析】试题分析：∵EF ⊥EC ，∴∠AEF+∠BEC=90°，∵∠BEC+∠BCE=90°，∴∠AEF=∠BCE ，故①正确；又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF ∽△BCE ， ∴ECEF BE AF =， ∵点E 是AB 的中点，∴AE=BE ， ∴ECEF AE AF =， 又∵∠A=∠CEF=90°，∴△AEF ∽△ECF ，∴∠AFE=∠EFC ，过点E 作EH ⊥FC 于H ，则AE=DH ，在Rt △AEF 和Rt △HEF 中，⎩⎨⎧==EHAE EF EF ， ∴Rt △AEF ≌Rt △HEF （HL ），∴AF=FH ，同理可得△BCE ≌△HCE ，∴BC=CH ，∴AF+BC=CF ，故②错误；∵△AEF ≌△HEF ，△BCE ≌△HCE ，∴S △CEF =S △EAF +S △CBE ，故③正确； 若23=CD BC ，则tan ∠BCE=323222121=⨯====CD BC CD BC AB BC BE BC ， ∴∠BEC=60°，∴∠BCE=30°∴∠DCF=∠ECF=30°，又∵∠D=∠CEF, CF=CF∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．考点：1、矩形的性质；2、全等三角形；3、三角函数；4、相似三角形2．（1）1；（2【解析】试题分析：（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据∠C=60°求出CE、DE，再求出BE，从而得到DE=BE，然后求出∠EDB=∠EBD=45°，再求出∠ABD=45°，然后根据特殊角的三角函数值解答.，再求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，（2）过点A作AF⊥BD于点F，求出BF=AF=2利用勾股定理列式计算即可得解．⊥于点E.试题解析：（1）如图，作DE BC∵在Rt△CDE 中，∠C=60°，CD===.∴CE DE3∵BC=3+=-==.∴BE BC CE33==∴DE BE 3.∴在Rt△BDE 中，∠EDB= ∠EBD=45º.∵AB⊥BC，∠ABC=90º，∴∠ABD=∠ABC-∠EBD=45º.∴ tan∠ABD=1.⊥于点F.（2）如图，作AF BD在Rt△ABF 中，∠ABF=45º, AB=1，==.∴BF AF2==，∵在Rt△BDE 中，DE BE3∴BD==-==.∴DF BD BF22∴在Rt△AFD 中，AD=.A CD EF考点：1.勾股定理；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值．3．(1) 16.7（海里）．(2) 725． 【解析】试题分析：（1）在Rt △CED 中，利用三角函数求出CE ，CD 的长，根据中点的定义求得BE 的长，AB=BE-AE 即可求解；（2）设BF=x 海里．在Rt △CFB 中，利用勾股定理求得CF 2=CB 2-BF 2=252-x 2=625-x 2．在Rt △CFE 中，列出关于x 的方程，求得x 的值，从而求得sin ∠BCF 的值．（1）在Rt △CED 中，∠CED=90°，DE=30海里，∴cos ∠D=35DE CD =， ∴CE=40（海里），CD=50（海里）．∵B 点是CD 的中点，∴BE=12CD=25（海里） ∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7（海里）．答：小岛两端A 、B 的距离为16.7海里．（2）设BF=x 海里．在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，∴CF 2=CB 2-BF 2=252-x 2=625-x 2．在Rt △CFE 中，∠CFE=90°，∴CF 2+EF 2=CE 2，即625-x 2+（25+x ）2=1600．解得x=7．∴sin ∠BCF=725BF BC =． 考点: 解直角三角形的应用．4．（1）证明见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）应用△ABC 中角的关系求出∠PAC=∠PBA 和∠APB=∠APC 即可证得；（2）由等腰直角三角形，相似三角形的性质和锐角三角函数定义即可求得.试题解析：（1）∵在△ABC 中，∠ACB=90º,AC=BC∴∠BAC=45º，即∠PAC+∠PAB=45º，又在△APB 中，∠APB=135º，∴∠PBA+∠PAB=45º，∴∠PAC=∠PBA ，又∠APB=∠APC ，∴△CPA ∽△APB.（2）∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴21=AB CA , 又∵△CPA ∽△APB ， ∴21===AB CA PB PA PA CP ，令CP=k ，则，PB=2k ，又在△BCP 中，∠BPC=360º-∠APC-∠BPC=90º， ∴2tan ==∠PCPB PCB 考点：1. 等腰直角三角形的性质；2.相似三角形的判定和性质；3.锐角三角函数定义.5．（1）AE =（2）sin 7BCE ∠=． 【解析】试题分析：（1）在DAE Rt ∆中，∠A=90°，∠AED=45°，DE=6，根据这些条件利用余弦函数求AE ；（2）在BCE Rt ∆中，EC=7，再利用（1）的解答结果，根据正弦函数来解答sin BCE ∠的值．试题解析：（1）在DAE Rt ∆中，︒=∠90A ,︒=∠45AED ,6=DE ∵DEAE AED =∠cos ∴AED DE AE ∠⨯=cos =︒⨯45cos 6=23 ；（2）∵AE AB BE -= ∴222325=-=BE在BCE Rt ∆中，7=EC ,CE BE BCE =∠sin =722． 考点：解直角三角形．6．（1）4；（2. 【解析】试题分析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt △ADC ，得出DC=4；解Rt △ADB ，得出AB=6，根据勾股定理求出BC=BD+DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE 的值，则DE=CE-CD ，然后在Rt △ADE 中根据正切函数的定义即可求解．试题解析：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC 中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4，∴DC=AD=4．在△ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB=23，AD=4， ∴AB=6sin AD B =∴=∴BC=BD+DC=4（2）∵AE 是BC 边上的中线，∴CE=122，∴2，∴tan ∠DAE=24DE AD =． 考点: 解直角三角形.7．（1）x y 8=；（2）（2，4）． 【解析】试题分析：(1)由4=∆BOD S ，且OB=4，可求BD 的长，因此D 点坐标可求，从而确定反比例函数解析式.（2）过点C 作CE ⊥OB 于点E ．在AOB Rt ∆中，利用锐角三角函数可求出CE 和OE 的长，从而求出C 点坐标．试题解析：（1）设D （x ，y ），则有OB=x ，BD=y ．由 4=∆BOD S ，得42=⋅BD OB ，42=xy ， xy=8． 由xk y =可得，k=xy ，∴k=8， ∴x y 8=（2）过点C 作CE ⊥OB 于点E ．在AOB Rt ∆中，︒=∠90ABO ，4=OB ，8=AB ，∴tan ∠AOB 2==BOAB ， ∴2=EOCE ，CE=2EO ， 设C 点坐标为（a ，2a ），把点C （a ，2a ）代入xy 8=中，得 822=a ，解得2±=a ，∵点C 在第一象限，∴a>0，取a=2．∴C 点坐标为（2，4）．考点: 反比例函数综合题．8．【解析】试题分析：在Rt △ABD 中，tan ∠ABD=AD BD =即可求出∠ABD=30°，从而判断△ABC 为直角三角形，且∠C=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出AC 的长.试题解析：在Rt △ABD 中，∠BDA=90°，AB=，∴tan ∠ABD=3AD BD =∴∠ABD=30°，∠A=60°∵∠ABD=12∠CBD ∴∠CBD=60°，∠ABC=90°在Rt △ABD 中，cos AB AC A==考点: 解直角三角形．9．（1）y= （x-5）2＋5（0≤x ≤10）. （2）两景观灯间的距离为5米. 【解析】试题分析：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y 轴交点坐标是（0，1）设抛物线的解析式是y=A （x ﹣5）2+5把（0，1）代入y=A （x ﹣5）2+5得A=﹣∴y=﹣（x ﹣5）2+5（0≤x ≤10）；（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4∴4=﹣（x ﹣5）2+5 ∴（x ﹣5）2=1 ∴x 1=，x 2= ∴两景观灯间的距离为﹣=5米考点：二次函数的应用10．（1）二次函数关系式为y=2x 2 -4x-6；（2）与x 轴的另一个交点是（-1，0），（3）-1﹤x﹤3【解析】试题分析：（1）由图象可知，抛物线顶点为（1，-8）所以可设二次函数为y=A （x-1）2-8，则该二次函数过（3,0）这个点所以4A-8=0；即A=2所以二次函数关系式为：y=2（x-1）2-8= y=2x 2 -4x-6;（2）当y=0时， 2x 2 -4x-6=0所以（x-3）（x+1）=0；得x=3或者x=-1所以图像与x 轴的另一个交点为（-1,0）；（3）根据图象可知：当-1＜x ＜3时，y ＜0考点：二次函数的图象及性质11．（1）3；（2）1【解析】试题分析：（1）由A （3,0），B （0,3）两点可求出一次函数的解析式为y ＝－x ＋3.联立⎩⎨⎧+=+-=132x y x y 并根据图中点C 的位置，得C 点坐标为（1,2）．∴S △AOC ＝12·|OA|·|y C |＝12×3×2＝3.（2）二次函数y＝x2＋1的顶点坐标为D（0,1）．∴S△BCD＝12·|BD|·|x C|＝12×|3－1|×1＝1.考点：1.函数图象的交点；2.二次函数性质12．（1）抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）抛物线与x轴的交点坐标（-1，0），（3，0）；（3）详见解析；（4）①当-1＜x＜3时，y＞0；②当x＞1时，y的值随x的增大而减小．【解析】试题分析：（1）将（0，3）代入y=-x2+（m-1）x+m求得m，即可得出抛物线的解析式；（2）令y=0，求得与x轴的交点坐标；令x=0，求得与y轴的交点坐标；（3）得出对称轴，顶点坐标，画出图象即可；（4）当y＞0时，即图象在一、二象限内的部分；当y＜0时，即图象在一、二象限内的部分；在对称轴的右侧，y的值随x的增大而减小．试题解析：（1）∵抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点，∴m=3，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）令y=0，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴抛物线与x轴的交点坐标（-1，0），（3，0）；令x=0，得y=3，∴抛物线与y轴的交点坐标（0，3）；（3）对称轴为x=1，顶点坐标（1，4），图象如图，（4）如图，①当-1＜x＜3时，y＞0；当x＜-1或x＞3时，y＜0；②当x＞1时，y的值随x的增大而减小．考点：1．抛物线与x轴的交点；2．二次函数的图象；3．待定系数法求二次函数解析式．13．（1）小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面0.7米，此时他离起跳点的水平距离有1米；（2）小明此跳在起跳时重心离地面有0.5米高；（3）小明这一跳能得满分；【解析】试题分析：（1）由解析式即可得到；（2）在解析式中令x=0,则可得到小明在起跳时重心离地面有高度；（3）在解析式中令y=0，解方程即可得到；试题解析：（1）由解析式y=-0.2（x-1）2+0.7可知抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，0.7），所以小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面0.7米，此时他离起跳点的水平距离有1米；（2）令x=0,则y=-0.2（x-1）2+0.7=-0.2+0.7=0.5，即小明此跳在起跳时重心离地面有0.5米高；（3）令y=0，则有-0.2（x-1）2+0.7=0，解得x1=2142+≈2.87>2.4，x2=2142-<0（舍去）所以小明这一跳能得满分；考点：二次函数的应用。