04第四章线性规划的求解法
04第四章线性规划的求解法
第四章 线性规划的求解法当线性规划的变量和约束条件比较多，而初始基本可行解又不知道时，是不容易用尝试的方法得到初始基本可行解的，何况有可能基本可行解根本就不存在。
在此时，大M 法可能是应付此类情况的一个行之有效的算法。
§4.1 大M 法的原理当初始基本可行解不知道时，则1.，2.两个特点不能兼得，即下列两条件不能兼得： 1. 中心部位具有单位子块； 2. 右列元素非负；这时可以先用容许的运算使由列为非负，然后在中心部位人为添加一个单位子块。
如下例所述： 例4.1123123123123min 32..323624,,0z x x x s tx x x x x x x x x =-+++-=-+-=-≥ （4.1.1）列成表格：上述第三张表中人工增加了两个变量45,x x ，称为人工变量，即把原来的约束条件改为：1234123512345..323624,,,,0s tx x x x x x x x x x x x x +-+=-++=≥ （4.1.2） 式（4.1）和（4.2）的约束方程组并不同解，但（4.1）的解和（4.2）中450x x ==的解是相对应的。
只要找到以（4.2）为约束条件，且人工变量45,x x 均为自由变量的基本可行解，也就找到了（4.1）的基本可行解，于是，要设法迫使450x x ==。
以上途径通过修改（4.1）的目标函数来实现。
具体修改为：12345min 32z x x x Mx Mx =-++++ （4.1.3）其中M 为足够大的正数，然后以（4.2）为约束条件，求（4.3）的最小值。
只要45,x x 不为零，就一定为正数，于是目标函数的值就会增加它们和的M 倍。
由于M 为足够大的正数，所以只要原问题有基本可行解，就不会在45,x x 取正值时达到最小值。
本例中把表改为：通过运算使它具备第三个特点：底行相应于单位子块位置的元素为0，然后再严格按照单纯形法的步骤求解：由于M 为足够大的正数，所以-3-4M 应视为负数，故选它。
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
第四章 线性规划
若第k个约束方程为不等式，即
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn ()bk
引入松弛变量 x nk 0 , K个方程改写为：
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn () xnk bk
则目标函数标准形式为：
Z c j x j c j x j o xn k
j 1 j 1 n n
某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜 黄瓜运往某市销售，可供租用的大卡车和农 用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8 吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运 费360元，问两种车各租多少辆时，可全部 运完黄瓜，且运费最低．并求出最低运费．
多目标规划
例1
甲 金工 装配 收益 4 2 100 乙 2 4 80
线性规划解的性质
⑴线性规划问题的可行解集（可行域）为凸集。 ⑵可行解集S中的点X是顶点的充要条件是基本 可行解。
⑶若可行解集有界，则线性规划问题的最优值 一定可以在其顶点上达到。
因此线性规划的最优解只需从其可行解集的有 限个顶点中去寻找。
四、线性规划问题的求解方法——单纯形法
（一）单纯形表
根据以上讨论，令 N [ pm1 , pm2 ,, pn ]，则 A [ B, N ]
a
i 1
m
i
b
j 1
n
j
如果产地i到销地j的单位物资的运费为Cij，要使 总运费达到最小，可这样安排物资的调运计划：
设xij表示由产地i供给销地j 的物资数量，求一组实值变量 xij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，使其满足：
m xij b j ( j 1,2, , n) i 1 n xij a i (i 1,2, , m) j 1 x 0(i 1,2, , m; j 1,2, , n) ij
线性规划问题求解的基本方法
线性规划问题求解的基本方法线性规划是一种重要的数学方法，可用来解决许多实际问题。
它的核心是寻找目标函数下的最优解，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。
在实际应用中，我们通常使用线性规划求解器来解决这些问题。
本文将介绍线性规划问题求解的基本方法。
一、线性规划问题的标准形式线性规划问题可以写成如下的标准形式：$$ \begin{aligned} &\text{最小化} \quad \mathbf{c}^T \mathbf{x} \\ &\text{满足} \quad A \mathbf{x} = \mathbf{b}, \mathbf{x} \geq\mathbf{0} \end{aligned} $$其中，$ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $ 是一个 $ n $ 维向量，$ \mathbf{c} \in \mathbb{R}^n $ 是目标函数的系数向量，$ A \in\mathbb{R}^{m \times n} $ 是约束条件矩阵，$ \mathbf{b} \in\mathbb{R}^m $ 是约束条件的右侧向量。
二、线性规划问题的求解方法1. 单纯形法单纯形法是求解线性规划问题最常用的方法，基本思想是不断循环迭代，利用基变量与非基变量的互换来寻找可行解，并逐步靠近最优解。
具体步骤如下：（1）将标准形式化为相应的单纯形表。
（2）从单纯形表的行中选择一个入基变量，使目标函数值减小。
（3）从入基变量所在列中选择一个出基变量。
（4）用入基变量和出基变量生成一个新的单纯形表。
（5）重复上述步骤直到达到最优解。
单纯形法的优点在于可以找到最优解，但当变量数量增多时，计算时间随之增加。
因此，对于大规模问题来说，单纯形法可能不是最优的求解方法。
2. 内点法内点法是一种比单纯形法更高效的求解线性规划问题的方法。
它选取一个内点作为初始点，逐步靠近最优解。
具体步骤如下：（1）选取一个内点作为初始点。
线性规划问题的四种求解方法
可画出直线
l0
:y
=-
2 3
x
,
把直线
l0
向右上方
平移 , 当经过可行域上点 B 时 , 直线的截距最
大 .此时 z = 12x +18y 取最大值 .解方程组
z =6x +3y +5[ 300 -(x +y)] +5(200 -x ) +9(450 -y)+6(100 +x +y)=2 x -5y +
解 设每天生产甲 、乙产品的件数分别是
维生素 B (单位 / 千克) 800 400 500
成本(单位 / 千克) 11 9 4
某食物营养所想用 x 千克甲种食物 , y 千 克乙种食物 , z 千克丙种食物配成 100 千克混合 物 , 并使混合物至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B
问题的最优解具有十分重要的现实意义 .现介
二 、等值线法
绍几种求解线性规划问题的最优解的策略 .
所谓等值线是指直线上任一点的坐标(x ,
一 、截距法
y )都使 F(x , y)=Ax +By 取等值C 的直线l :
例 1 某厂需从国外引进两种机器 .第一 Ax +By = C(A 、B 不同时为零).通过比较等
7150 作出以上不等式组所表示的平面区域即可
x +2y 4x +y
=13得 =24
B(5 , 4).故当
x
=5, y
=4
行域 .令 z = 0 , 则可画出 直线 l 0 :2x -5y + 7150 =0 .画出一组与 l 0 平行的等值线 , 比较等
第4章线性规划
f ( X ) 5 x1 4 x 2 4 x1 x 2 60 x1 x 2 24 x1 0 x2 0
(1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
例题21： • 首先由(4)，(5)二式（x1≥ 0、x2 ≥ 0）知， 其解
在第一象限所在的范围，所以在画图时将第二、
产品Ⅰ 产品Ⅱ 资源总量
设 备（台时）
原料A（公斤） 原料B（公斤）
1
4 0
2
0 4
8
16 12
利 润（百元）
2
3
线性规划范例
• 例B. 任务分配问题
表2
产品
1 23
2 21
3 19
4 17
某公司拟生产4种产品， 可分配给下属的3个工厂 生产，由于工厂的地理位 置和设备不同，每个工厂 生产每种产品的成本不相 同，加工能力也不相同。 有关数据分别由表2和表3 给出。公司应如何给下属 各工厂分配任务，才能在 保证完成每种产品的任务 的条件下，使得公司所花 费的成本最少？
例 : x2 0 y 0, y x2
对于无限制变量的处理：同时引进两个非负变量， 然后用它们的差代替无限制变量。
例 : x2无限制 x2 y1 y2 y1 , y2 0
例题20： 将下述线性规划问题化为标准形
m i n s .t . f ( X ) x1 2 x 2 3 x 3 2 x1 x 2 x 3 9 3 x1 x 2 2 x 3 4 3 x1 2 x 2 3 x 3 6 x1 0, x 2 0, x 3无限制
含量限制 原 A B C 加工费（元/kg） 料 纱线1 ≥60% 无 ≤20% 1.5 纱线2 ≥15% ≥10% ≤60% 1.2 纱线3 无 无 50% 0.9 （元/kg） 6 4.5 3 （kg/月） 2000 2500 1200 原料成本 原料限量
计量地理学第四章——线性规划和多目标规划
目标：用料最少
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划数学模型
以上例子表明，线性规划问题具有以下特征： ①每一个问题都用一组未知变量（x1，x2，…，xn）表示某一规 划方案，其一组定值代表一个具体的方案，而且通常要求这些未 知变量的取值是非负的。
②每一个问题的组成部分：一是目标函数，按照研究问题的不同， 常常要求目标函数取最大或最小值；二是约束条件，它定义了一 种求解范围，使问题的解必须在这一范围之内。
二 线性规划的标准形式
（二）化为标准形式的方法
2.约束方程化为标准形式的方法
若第k个约束方程为不等式，即
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn ()bk
引入松弛变量 x nk 0, K个方程改写为：
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn () xnk bk
则目标函数标准形式为：
非负约束
xij 0(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
mn
z
cij xij min
i1 j1
目标：总运费最小
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例 资源利用问题 假设某地区拥有m种资源，其中，第i种资源在规
划期内的限额为bi(i=1，2，…，m)。这m种资源可用 来生产n种产品，其中，生产单位数量的第j种产品需 要 消 耗 的 第 i 种 资 源 的 数 量 为 aij(i=1 ， 2 ， … ， m ； j=1,2, …,n)，第j种产品的单价为cj(j=1，2， …，n)。 试问如何安排这几种产品的生产计划，才能使规划期 内资源利用的总产值达到最大?
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例
资源利用问题
设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，则上述资源问题就是：
第4章线性规划求解的基本方法
min z’= - 2x1- 3x2
2x1+2x2+x3
x1+2x2 s.t. 4x1 4x2 xj≥0 j=1,2,…,6 +x4 +x5
= 12
=8 =16 +x6 =12
s.t. 4x1 ≤16 4x2 ≤12
x1,x2≥0
2 1 A 4 0 2 2 0 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
cn+1
xn+1 1 0 0 0 0
cn+2
xn+2 0 1 0 0 0
…
cn+m
xn+m 0 0 0 1 0
… … … … … …
i
bi aik
1 2
…
0
…
…
j0 c j z j 0
cn+m xn+m
10 20 ... n0
m
z j cBi aij
§２.2单纯形法的计算步骤
引例说明： 向量形式：
P1x1+P2x2+P3x3+P4x4+P5x5=B
x1 x2 x3 1 14 7 x1 x2 x4 1 7 12 x1 x2 x5 8 x1 , x2 .....x5 0
1 P1 7 1
1 14
( (3)若某个Ｑ列的 ZQk ) 0且某些元素 I 有 aiQ 0 ，则选定Q列所对 应的变量XQ作为替换的非基本变量,求新的基本可行解.
k
(4)再计算每一列的检验数,再判断,如此迭代直至找到最优解.
19
武汉理工大学
求解线性规划的方法
求解线性规划的方法
线性规划的方法包括以下几种：
1. 单纯形法：单纯形法是最常用的线性规划求解方法，通过不断优化目标函数来找到最优解。
2. 对偶理论：对偶理论将原问题转化为对偶问题，通过对偶问题的求解来获取原问题的最优解。
3. 整数规划：如果线性规划中的变量属于整数集合，那么就需要使用整数规划方法进行求解。
4. 分枝定界法：将线性规划问题分解为多个子问题，然后逐一求解每个子问题，最终得到原问题的最优解。
5. 网络流法：将线性规划问题转换为图论问题，然后通过构造最大流或最小费用最大流的方法来求解。
6. 内点法：内点法可以处理线性规划中变量约束为非负的情况，并且对于高维稀疏的问题有较好的求解效果。
每个方法都有其特点和适用情况，选择合适的求解方法可以提高求解效率和精度。
线性规划课件ppt
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
线性规划图解法
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
精选课件
图解法
Page 2
一、线性规划的图解法（解的几何表示）
对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标 平面上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
L0： 0=5X1+4X2
精选课件
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
Page 18
x1
图解法
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
X = X1 + (1- ) X2 则必定有X = X1 = X2，则称X为S的一个顶点。
精选课件
图解法
Page 24
可以证明，线性规划的可行域以及最优解有以下 性质：
（1）、若线性规划的可行域非空，则可行域必定为一凸集；
（2）、线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点；
（3）、若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优，或在可行域的某个顶点（唯一最 优解）或在某两个顶点及其连线上（无穷多最优解）得到。
2x1+ x2 50 z = 50x1+30x2= 1350
z = 50x1+30x2= 900
(15, 20)
线性规划模型的求解方法
线性规划模型的求解方法线性规划是数学中的一个分支，是用来解决优化问题的方法。
一般来说，它适用于那些具有一定限制条件，但是希望达到最优解的问题。
在实际应用中，无论是在工业、商业还是管理等领域，都可以使用线性规划模型来进行求解。
本文将详细介绍线性规划模型的求解方法，包括单纯形算法、内点法和分支定界法。
1、单纯形算法单纯形算法是线性规划求解中最常用的方法，它是基于不等式约束条件的优化算法，主要是通过这些不等式约束来定义一些可行域并寻找最优解。
单纯形算法的基本思路是将约束条件重写为等式，然后再将变量从这些等式中解出来，最后根据这些解来判断是否找到最优解。
举例来说，假设有如下线性规划的问题：$$\begin{aligned}\text { maximize } \quad &60 x_{1}+40 x_{2} \\\text { subject to } \quad &x_{1}+x_{2} \leq 100 \\&2 x_{1}+x_{2} \leq 150 \\&x_{1}+2 x_{2} \leq 120 \\&x_{1}, x_{2} \geq 0\end{aligned}$$我们可以将这些约束条件重写为等式：$$\begin{aligned}x_{3} &=100-x_{1}-x_{2} \\x_{4} &=150-2 x_{1}-x_{2} \\x_{5} &=120-x_{1}-2 x_{2}\end{aligned}$$然后我们可以利用这些等式来解出每个变量的取值，从而得到最优解。
通常情况下，单纯形算法利用较小的限制空间集合来缩小可行的解空间集合，并通过一定的规则，比如说乘子法则来找到最优的解。
2、内点法内点法则是比单纯形算法更快的一个线性规划求解方法，它通过不停地迭代，将可行域中的点从内部向最优解方向移动，从而找到最优解。
在实际应用中，内点法通常能够达到非常高的精确度，而且与单纯型算法相比，它在数值计算方面更加稳定。
线性规划问题的基本概念及求解方法
线性规划问题的基本概念及求解方法线性规划是一种优化方法，用于找到一个线性方程的最大或最小值，同时满足一组线性约束条件。
线性规划问题广泛应用于经济、工业、运输、物流等各个领域。
本文将讲述线性规划问题的基本概念和求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划问题可表示为：$\max_{x} z = c^Tx$$\text{s.t.} \qquad Ax \leq b$其中，x表示决策变量，z表示目标函数，c和b为常数系数，A为系数矩阵。
目标函数表示要最大化或最小化的数量，约束条件表示限制决策变量取值的条件。
二、线性规划的求解方法线性规划问题的求解方法有两种，即图形法和单纯形法。
1. 图形法图形法是一种用图形的方式来求解线性规划问题的方法。
它可以用于二元线性规划问题求解，但对于多元线性规划问题，它的应用受到了限制。
对于二元线性规划问题，我们可以将目标函数表示为直线，约束条件表示为线段，然后在可行域内寻找能让目标函数最大或最小的点。
2. 单纯形法单纯形法是一种通过交换决策变量的取值来寻找最优解的方法。
它通过构建初始单纯形表格，逐步利用高斯消元法将问题转化为标准型，然后不断交换基变量和非基变量，直到找到最优解。
单纯形法在求解多元线性规划问题时具有广泛的应用，因为它能够较快地寻找最优解。
但是，它也存在一些问题，例如当问题的维度较高时，算法的计算复杂度会相应增加，计算机的处理能力也会受到限制。
三、线性规划的应用线性规划在各个领域中都有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例：1. 运输问题运输问题是一种线性规划问题，旨在确定一组产品从生产场所运往销售场所的最优方案。
这种问题通常涉及到对物流成本、物流时间等多种因素的优化。
2. 设备维护问题设备维护问题是一种线性规划问题，旨在通过优化设备的维护策略来最大化设备的使用寿命和效益。
这种问题通常涉及到对机器的使用寿命、维修成本、机器停机时间等多种因素的优化。
3. 生产计划问题生产计划问题是一种线性规划问题，旨在通过对原材料和生产线的安排来优化产品的生产过程。
线性规划的解法
线性规划的解法线性规划（Linear Programming）是数学优化的一个重要分支，旨在寻求一组最优解，以满足一系列线性约束条件。
在实际问题中，线性规划方法被广泛应用于资源分配、生产调度、运输计划等领域。
本文将介绍线性规划的解法及其应用。
一、线性规划问题的描述与模型建立线性规划问题可以用数学模型来描述，一般表示为：$max\{c^Tx | Ax \leq b, x \geq 0\}$其中，$c$表示目标函数的系数向量，$x$表示决策变量的值向量，$A$和$b$分别表示约束条件的系数矩阵和常数向量。
解决线性规划问题的关键是确定目标函数和约束条件，以及求解最优解的方法。
二、单纯形法（Simplex Method）单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一，由乔治·丹尼格（George Dantzig）于1947年提出。
该方法基于下面的原理：从一个顶点出发，沿着边界不断移动到相邻的顶点，直到找到目标函数的最大（或最小）值。
具体而言，单纯形法的步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式（如果不满足标准形式）。
2. 选择一个初始基本可行解。
3. 判断当前解是否为最优解，若是，则结束；否则，进行下一步。
4. 选择一个进入变量和一个离开变量，即确定下一个顶点。
5. 进行变量的调整，即计算新的基本可行解。
6. 重复3-5步，直到找到最优解。
三、内点法（Interior Point Method）内点法是另一种常用的线性规划求解方法，其优点是能够在多项式时间内找到最优解。
与单纯形法相比，内点法不需要从一个顶点移动到相邻的顶点，而是通过在可行域内搜索，在每次迭代中逐渐接近最优解。
内点法的基本思路是通过寻找原问题的拉格朗日对偶问题的最优解来解决线性规划问题。
它通过引入一个额外的人工变量，将原问题转化为一个等价的凸二次规划问题，并通过迭代的方式逐步逼近最优解。
四、应用举例线性规划方法在各个领域都有广泛的应用。
线性规划问题的求解方法与实践
线性规划问题的求解方法与实践线性规划是一种常见的优化问题，可以用来研究诸如资源分配、生产优化等问题。
线性规划问题的求解方法也十分重要，常用的方法有单纯形法、内点法、整数规划等。
本文将从理论和实践两个层面讨论线性规划问题的求解方法。
一、单纯形法单纯形法是一种求解线性规划问题的标准算法，在实践中得到广泛应用。
其基本思想是将线性规划问题转化为标准型，并通过不断的迭代来达到最优解。
标准型是指将目标函数和限制条件均转化为等式的形式。
具体来说，假设有线性规划问题：max c1*x1 + c2*x2 + … + cn*xns.t.a11*x1 + a12*x2 + … + a1n*xn ≤ b1a21*x1 + a22*x2 + … + a2n*xn ≤ b2…am1*x1 + am2*x2 + … + amn*xn ≤ bm其中，x1~xn为决策变量，c1~cn为目标函数的系数，a11~amn 为各限制条件的系数，b1~bm为约束条件的右值。
将其转化为标准型：max cxs.t.Ax = bx ≥ 0其中，x = (x1, x2, …, xn)T，c和x为向量，A为mxn的矩阵，b为m维的向量。
线性规划问题的解可以存在于顶点中，而顶点又可以表示为n-m个线性约束的交点。
单纯形法就是借助这一点来求解问题，每次从一个顶点出发，向相邻的顶点移动，最终找到全局最优解。
二、内点法内点法是求解线性规划问题的另一种常见方法，也被称为封闭框架法。
其基本思想是通过构造一个特殊的迭代序列，将问题转化为无约束的非光滑的优化问题，然后使用牛顿迭代等方法求解。
内点法的优点在于可以直接求解非线性约束和整数规划问题，同时有较好的收敛性和鲁棒性。
内点法的基本思路是将约束条件改写为一组等效条件，并考虑在这些等效条件内部寻找最优解。
这些等效条件称为“内点”，表示在这些条件下寻找的最优解都在可行域内部。
例如，在松弛的线性规划问题中，对于每个限制条件，都可以构造一个内点，使得其满足该约束条件，并使用初始可行解来初始化算法。
4线性规划的基本理论
第四章 线性规划本章主要内容：线性规划的基本理论 线性规划的单纯形法 线性规划的对偶理论 线性规划的对偶单纯形法教学目的及要求：理解线性规划的基本理论；掌握线性规划的单纯形法；理解线性规划的对偶理论；掌握线性规划的对偶单纯形法。
教学重点：线性规划的单纯形法． 教学难点：线性规划的对偶单纯形法． 教学方法：启发式．教学手段：多媒体演示、演讲与板书相结合． 教学时间：6学时． 教学内容：§4.1 线性规划的基本理论考虑线性规划问题11min ;,1,2,,,0,1,2,,.nj j j n ij j i j j c x a x b i m x j n ==⎧⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥=⎪⎩∑∑s.t. (LP)或min ;,0.T c x Ax b x ⎧⎪=⎨⎪≥⎩s.t. 其中 121212(,,,),(,,,),(,,,),(),T T T n n m ij m n x x x x c c c c b b b b A a ⨯====A 称为约束矩阵，Ax b =称为约束方程组，0x ≥称为非负约束．假定：rank()A m =．定义 在（LP ）中，满足约束方程组及非负约束的向量x 称为可行解或可行点；所有可行解的全体称为可行解集或可行域，记作K ，即{,0}K Ax b x ==≥．使目标函数在K 上取到最小值的可行解称为最优解；最优解对应的目标函数值称为最优值．定义 在（LP ）中，约束矩阵A 的任意一个m 阶满秩子方阵B 称为基，B 中m 个线性无关的列向量称为基向量，x 中与B 的列对应的分量称为关于B 的基变量，其余的变量称为关于B 的非基变量．任取（LP ）的一个基12(,,,)m j j j B p p p =，记12(,,,)m T B j j j x x x x =，若令关于B 的非基变量都取0，则约束方程Ax b =变为B Bx b =．由于B 是满秩方阵，因此B Bx b =有唯一解1B x B b -=．记121(,,,)m T j j j B b x x x -=，则由12,1,2,,,0,{1,2,,}{,,,}k k j j j m x x k m x j n j j j ===∀∈-所构成的n 维向量x 是Ax b =的一个解，称之为（LP ）的关于B 的基本解．基本解满足约束方程组，但不一定满足非负约束，所以不一定是可行解．若10B b -≥，即基本解x 也是可行解，则称x 为（LP ）的关于基B 的基本可行解，相应的基B 称为（LP ）的可行基；当10B b ->时，称此基本可行解x 是非退化的，否则，称之为退化的．若一个（LP ）的所有基本可行解都是非退化的，则称该（LP ）是非退化的，否则，称它是退化的．例1 求下列线性规划问题的所有基本可行解．12123124min 44;4,2,0,1,2,3,4.j x x x x x x x x x j -⎧⎪-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥=⎩s.t. 解 约束矩阵的4个列向量依次为12341110,,,1101p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．全部基为113214323424534(,),(,),(,),(,),(,),B p p B p p B p p B p p B p p =====对于1B ，1x 和3x 为基变量，2x 和4x 为非基变量．令2x =4x =0，有1314,2,x x x +=⎧⎨-=⎩ 得到关于1B 的基本解(1)(2,0,6,0)T x =-，它不是可行解．对于2B ，1x 和4x 为基变量，2x 和3x 为非基变量．令2x =3x =0，有1144,2,x x x =⎧⎨-+=⎩ 得到关于2B 的基本解(2)(4,0,0,6)T x =，它是一个非退化的基本可行解．同理，可求得关于345,,B B B 的基本解分别为(3)(4)(5)(0,2,6,0),(0,4,0,6),(0,0,4,2)T T T x x x ==-=，显然，(3)x 和(5)x 均是非退化的基本可行解，而(4)x 不是可行解．因此，该问题的所有基本可行解为(2)(3)(5),,x x x ．此外，因为这些基本可行解都是非退化的，所以该问题是非退化的．定理1 设x 为（LP ）的可行解，则x 为（LP ）的基本可行解的充要条件是它的非零分量所对应的列向量线性无关．证明 不妨设x 的前r 个分量为正分量，即12(,,,,0,,0),0(1,2,,).T r j x x x x x j r =>=若x 是基本可行解，则取正值的变量12,,,r x x x 必定是基变量，而这些基变量对应的列向量12,,,r p p p 是基向量．故必定线性相关．反之，若12,,,r p p p 线性无关，则必有0r m ≤≤．当r m =时，12(,,,)r B p p p =就是一个基；当r m <时，一定可以从约束矩阵A 的后n r -个列向量中选出m r -个，不妨设为12,,,r r m p p p ++，使121(,,,,,,)r r m B p p p p p +=成为一个基．由于x 是可行解，因此1rj j j x p b ==∑，从而必有1mj j j x p b ==∑．由此可知x 是关于B 的基本可行解．定理2 x 是（LP ）的基本可行解的充要条件是x 为（LP ）的可行域的极点． 证明 由定理4.1.1和定理2.2.2知结论成立． 例2 求下列线性规划问题的可行域的极点．1212314min ;22,2,0,1,2,3,4.j x x x x x x x x j -⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩s.t. 解 因为约束矩阵的4个列向量依次为12341210,,,1001p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．全部基为112213314424534(,),(,),(,),(,),(,),B p p B p p B p p B p p B p p =====求得关于基12345,,,,B B B B B 的基本解分别为(1)(2)(3)(4)(5)(2,0,0,0),(2,0,0,0),(2,0,0,0),(0,1,0,2),(0,0,2,2)T T T T Tx x x x x =====显然，(1)(2)(3),,x x x 均为退化的基本可行解，(4)(5),x x 是非退化的基本可行解．可行域有三个极点：(2,0,0,0)T ，(0,1,0,2)T ，(0,0,2,2)T ．定理3 若（LP ）有可行解，则它必有基本可行解． 证明 由定理2.2.1及定理4.1.2知结论成立．定理4 若（LP ）的可行域K 非空有界，则（LP ）必存在最优解，且其中至少有一个基本可行解为最优解．证明 根据推论2.2.6，（LP ）的任一可行解x 都可表示为（LP ）的全部基本可行解12,,,k x x x 的凸组合，即1,ki i i x x x K λ==∀∈∑，其中10(1,2,,),1ki i i i k λλ=≥==∑．设s x 是使（LP ）中目标函数值达到最小的基本可行解，即 1min T T s i i kc x c x ≤≤=，则11,kkTTT T i i i s s i i c x c x c x c x x K λλ===≥=∀∈∑∑．这表明，基本可行解s x 为（LP ）的最优解．定理5 设（LP ）的可行域K 无界，则（LP ）存在最优解的充要条件是对K 的任一极方向d ，均有0T c d ≥．证明 根据定理2.2.10，（LP ）的任一可行解x 都可写成11kli i j j i j x x d λμ===+∑∑，其中12,,,k x x x 为（LP ）的全部基本可行解，12,,,l d d d 为K 的全部极方向，且10(1,2,,),1,0(1,2,,)ki i j i i k j l λλμ=≥==≥=∑．于是，（LP ）等价于下面以0(1,2,,)0(1,2,,)i j i k j l λμ≥=≥=和为决策变量的线性规划问题111min ()();1,0,1,2,,,0,1,2,,.k lT T i i j j i j k i i i j c x c d i k j l λμλλμ===⎧+⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪≥=⎪≥=⎪⎩∑∑∑s.t. 由于j μ可以任意大，因此若存在某个j d ，使0T j c d <，则上述问题的目标函数无下界，从而不存在最优解，从而（LP ）不存在最优解．若1,2,,j l ∀=，均有0T j c d ≥，设1min T T s i i kc x c x ≤≤=，则11()(),k lTTT T i i j j s i j c x c x c d c x x K λμ===+≥∀∈∑∑．所以基本可行解s x 是（LP ）的最优解．推论6 若（LP ）的可行域K 无界，且（LP ）存在最优解，则至少存在一个基本可行解为最优解．证明 由定理4.1.5的证明过程可知结论成立． 定理7 设在（LP ）的全部基本可行解12,,,k x x x 中，使目标函数值最小者为12,,,s i i i x x x ；在K 的全部极方向12,,,l d d d 中，满足0T j c d =者为12,,,t j j j d d d ．若（LP ）存在最优解，则x 为（LP ）的最优解的充要条件是存在10(1,2,,),1,0(1,2,,)pp q si i j p p s q t λλμ=≥==≥=∑使11p p q q sti i j j p q x x d λμ===+∑∑． （*）证明 因为（LP ）存在最优解，所以由定理4.1.4和推论4.1.6及其证明知，基本可行解12,,,s i i i x x x 是（LP ）的最优解．设x 具有（*）式的形式，则由推论2.2.6和定理2.2.10知，x 为（LP ）的可行解，从而由（*）式知，111p p q q stTTT T i i j j i p q c x c x c d c x λμ===+=∑∑因此，x 为（LP ）的最优解．反之，设x 为（LP ）的任一最优解，则x 为可行解，于是由推论2.2.6和定理2.2.10知，存在 10(1,2,,),1,0(1,2,,)ki i j i i k j l λλμ=≥==≥=∑，使 11kli i j j i j x x d λμ===+∑∑． （**）根据定理1.1.5，有 0,1,2,,T j c d j l ≥=， 且由1i x 为最优解知1,1,2,,T T i i c x c x i k ≥=．从而由上述两式容易用反证法证明：若（**）式中某个0i λ>，则i x 必为（LP ）的最优解；若（**）式中某个0j μ>，则必有0T j c d =。
线性规划问题的求解方法
xi 0,i 1, 2,3, 4
min=4*x+9*y;
P75 T2（5） P75 T2（6）
min S 3x1 2x2 x3
2x1 x2 x3 5
s.t.
4xx11
3x2 x3 3 x2 x3 2
xi 0,i 1, 2,3
min S x1 3x2 x3
2x1 x2 x3 8
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq)
min S f * X
AX b
s.t.
AeqX
beq
LB X UB
格式为：x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)
注：这里x、b不要求非负
1. max或min后面跟着等号＝； 2. 不区分大小写字母，变量必须以字母开头； 3. 模型中已经假设所有的变量非负； 4. 变量可以放在约束条件的右边，数字可在左边； 5. 每个语句都以分号“ ；”结尾； 6. 以感叹号“ ！”开始的是说明语句。
例1 max=3*x1+2*x2; x1+2*x2<=200; 3*x1+x2<=240;
例2 min=4*x+9*y; 9*x+7*y>=56; 7*x+20*y>=70;
例3 max=8*x+5*y+4*z; x+y+z<=9; 8*x+5*y+4*z<=45; x<=1; y<=5; z<=5; @gin(x); @gin(y); @gin(z);
例4 model: max=5*x1+7*x2; x1+x2<=20; 3*x1+7*x2<=80; end
线性规划的基本概念与解法
优势：线性规划可以帮助企业快速找到最优的生产计划方案，提高生产效率，降低成本， 增加利润。
运输问题
添加项标题
定义：在多个供应点和需求点之间，如何分配有限的资源以达到 最大效益或满足某些特定条件的问题。
06
线性规划的发展趋势与展望
线性规划算法的改进与优化
算法优化：提高求解速度和精度，减少计算量 混合整数规划：将整数条件引入线性规划，解决更复杂的问题 启发式算法：采用启发式策略加速求解，适用于大规模问题 并行计算：利用多核处理器并行计算，提高求解效率
大数据背景下线性规划的应用拓展
线性规划在大数据时代的应用场景 线性规划在数据挖掘和机器学习中的应用 大数据对线性规划算法的挑战和机遇 线性规划在大数据分析中的未来展望
线性规划的数学模型
目标函数：要求最大或最小化 的线性函数
约束条件：决策变量的限制条 件，一般为线性不等式或等式
定义域：决策变量的取值范围
线性规划问题：在满足约束条 件下，求目标函数的最大或最 小值
线性规划的几何意义
线性规划问题可以转化为在可行域内寻找一组最优解 线性规划的目标函数可以表示为可行域上的一组直线 最优解通常位于可行域的顶点或边界上 线性规划问题可以转化为求解一系列线性方程组
人工智能与线性规划的结合展望
人工智能技术在 优化问题中的应 用
线性规划问题在 人工智能领域的 实际应用
人工智能算法与 线性规划算法的 结合方式
未来人工智能与 线性规划结合的 发展趋势和展望
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初始解的调整：如果初始基本可行解不满足最优性条件，需要进行调整以获得更好的解。
线性规划单纯形法
线性规划单纯形法线性规划是一种优化问题求解方法，它通过建立数学模型，来寻找使目标函数达到最优的决策变量取值。
线性规划的主要特点是目标函数和约束条件都是线性的。
单纯形法是线性规划中最常用的求解方法之一，它是由美国数学家Dantzig在1947年提出的。
单纯形法通过迭代计算的方式，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解为止。
单纯形法的步骤如下：1. 建立线性规划模型：确定决策变量、目标函数和约束条件，并确定它们的线性关系。
2. 初始可行解：选择一个初始可行解，使得所有的约束条件都得到满足。
一般来说，可以通过将约束条件全部转化为等式约束，从而求解出一个初始可行解。
3. 判断最优解：计算当前可行解对应的目标函数值，判断是否是最优解。
如果是最优解，则终止算法；如果不是最优解，则进入下一步。
4. 寻找进入变量：选择一个进入变量，即目标函数可以通过增加该变量的值而增大。
5. 寻找离开变量：选择一个离开变量，即通过增加进入变量来保持其他约束条件满足的同时，尽可能减小目标函数的值。
6. 更新可行解：根据进入变量和离开变量的取值更新可行解，并转化为下一个迭代的初始可行解。
7. 重复以上步骤，直到找到最优解为止。
单纯形法的优势在于它可以在有限的迭代次数内找到最优解。
然而，单纯形法的缺点也是显著的，它在处理大规模问题时计算复杂度很高，可能需要大量的计算时间。
总结来说，线性规划单纯形法是一种求解线性规划问题的有效方法。
通过迭代计算，单纯形法不断改进可行解，最终找到使目标函数达到最优的决策变量取值。
虽然单纯形法在处理大规模问题时存在一定的局限性，但在许多实际问题中仍然得到广泛应用。
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第四章 线性规划的求解法当线性规划的变量和约束条件比较多， 而初始基本可行解又不知道时，是不容易用尝试的方法得到初始基本可行解的，何况有可能基本可行解根本就不存在。
在此时， 大M 法可能是应付此类情况的一个行之有效的算法。
§ 4.1 大M 法的原理当初始基本可行解不知道时，则1.，2.两个特点不能兼得，即下列两条件不能兼得:1. 中心部位具有单位子块;2. 右列元素非负；式（4.1 ）和（4.2 ）的约束方程组并不同解，但（4.1 ）的解和（4.2 ）中x 4 = x 5 = 0的解是相对应的。
只要找到以（4.2 ）为约束条件，且人工变量 x 4, x 5均为自由变量的基本可行 解，也就找到了（ 4.1 ）的基本可行解，于是，要设法迫使X 4 =X 5 =0。
以上途径通过修改（4.1 ）的目标函数来实现。
具体修改为：m in z = _3 人 x 2 2 x 3 M x 4 - M x 5 这时可以先用容许的运算使由列为非负, 然后在中心部位人为添加一个单位子块。
如下例所述: 例4.1min z = -3洛亠 x 2 亠 2x 3 s.t.3x ! 2x 2 —3x 3 = 6-x<| ■' 2 x^ _ X 3 = _4洛，X 2, X 3 _ 0(4.1.1 )列成表格:3 2 -36 32 -3 6 3 2 -3 1 0 6 ■1 2 -1 -4 => 1-2 1 4 => 1 -2 1 014 ■3 1 2 0-31 2 0 -3 1 2上述第三张表中人工增加了两个变量 X 4, X 5，称为人工变量，即把原来的约束条件改为:s.t. 3x ! 2 x 2 -3 x 3 x 4 = 6為-2X 2 X 3 X 5 =4(4.1.2)X 1，X 2，X 3，X 4, X 5 -0(4.1.3 )其中M为足够大的正数，然后以（4.2 ）为约束条件，求（4.3 ）的最小值。
只要x4,x5不为零，就一定为正数，于是目标函数的值就会增加它们和的M倍。
由于M为足够大的正数，所以只要原问题有基本可行解，就不会在x4,x5取正值时达到最小值。
本例中把表改为:3 2-31 -2 1-3 1 2形法的步骤求解:③2-3 1 061-210 14-3-4 M”12+2M0 010M由于M为足够大的正数, 所以-3-4M应视为负数，故选它。
经过一次迭代：12/3-11/3020-8/3②-1/3128*40 3 +-M_1 _2M 1 +-M0 6 _2M33再经过一次迭代：1-2/301/3030-4/31-1/31/215105/30-+M一+M762这时表已经具备四个特点，且人工变量x4, x5亦已成为自由变量，所以从表上可直接读出（4.1 ）的最优解：X t = 3, x2= 0, x3= 1，且x4= x5= 0。
把引进的自由变量略去，则最优解为x^（3, 0,1）T，最优值为z* - -7。
§ 4.2 两阶段法的原理使用单纯形方法，需要给定一个初始基本可行解，以便从这个基本可行解出发，求改进的基本可行解，最终达到最优解。
下面介绍如何求出一个初始基本可行解，设标准形式的线性规划问题. Tmin z = c xs.t. Ax =b(4.2.1)x > 0其中 A 是m X n 矩阵，b >0。
若A 中含有m 阶单位矩阵，则初始基本可行解立即可得。
比如:A= [l m ，N ]=[B , N ]，那么■x B !x— 1 —? N J!。
一就是一个基本可行解。
若 A 中不包含m 阶单位矩阵，则可从两阶段法入手，先求得 个初始基本可行解。
先引入人工变量的概念。
设 A 中不包含m 阶单位矩阵，为了使约束方程的系数矩阵中 含有m 阶单位矩阵，把每一个方程增加一个非负变量，令Ax x a = b X _ 0, x a _ 0即■x ]（A ,1 m ） I l=b/ a一x - 0, x a 二 0显然（x T i b j是（423 ）的一个基本可行解。
当然式子（423 ）已经不是原来的约束，构造（423 ）式的意义在于，若从（423） 式的已知的基本可行解出发，能够求出一个使得x a = 0的基本可行解，那么也就可以得到（4.2.1 ）式的一个基本可行解。
向量x a -0是人为引进的，它的每个分量称为人工变量。
人工变量与前面介绍的松弛变量是两个不同的概念。
松弛变量的作用是把不等式约束改写为等式约束，改写前后的两个问题是等价的。
松弛变量的取值能够表达现行的可行点是在可行域的内部还是在其边界。
也就是说，在此可行解处，原来的约束是严格不等式成立还是等式成立的区别。
因此松弛变量是“合法”的变量。
而人工变量的引进，改变了原来的约束条件，从这个意义上讲，它们是(422)(423)“不合法”的变量。
两阶段法的 第一阶段 是用单纯形法消去人工变量，即把人工变量都变换成非基变量， 求出原问题的一个基本可行解。
m in f = e x a s.t. Ax 亠x a = b（4.2.4 ）x _ 0, x a _0其中e =（1,1,...,1） T 是分量全是1的m 维列向量，x a =（X n 1,..., x n ,m ）T 是人工变量构成 的m 维列向量。
由于X =0,x a =b 是线性规划（4.2.4 ）的一个基本可行解，目标函数在可 行域上有下界，因此问题（4.2.4 ）必存在最优基本可行解。
设最优基本可行解是（x T , x T ）T ，这时有三种情况。
1、x a - 0，这时线性规划（4.2.1 ）无可行解，因为如果线性规划（4.2.1 ）存在可行解x ，则是线性规划（4.2.4 ）的可行解，在这一点上，问题（4.2.4 ）的目标函数的值是线性规划（4.2.4 ）的基本可行解，因此, 行解。
3、/a =0且x a 的某些分量都是非基变量，些非基变量进基，替换出基变量中的人工变量，再开始两阶段法的第二阶段。
应当指出，为替换出基变量中的人工变量而采用的主元消去法，并不要求遵守单纯形 法确定的离基进基变量的规则。
两阶段法的第二阶段，用单纯形法求线性规划（4.2.1 ）的最优解，初始的基本可行解=0 $ 亠 e T .0 ::: e T x这和e T x a 是目标函数的最优值矛盾。
2、x a =0且x a 的分量都是非基变量，这时 m 个基变量都是原来的变量，又知:x = x 是线性规划（4.2.1 ）的一个基本可这时可以用主元消去法， 使原来变量中的某就是从第一阶段所得到的基本可行解。
例4.2用两阶段法求下列线性规划问题的最优解:max z =2x 1 -x 2 s.t. x 1x 2 _ 2石「x 2 _1x 1 _ 3X t , x 2 _ 0先引进松弛变量x 3,x 4,x 5，把问题化为标准形式。
由于标准形式中约束方程的系数矩阵并不包含三阶单位矩阵，因此还要引进人工变量x 6,x 7。
下面先求解第一阶段的问题:m in 淫亠x 7X 5X i ，X 2，X 3，X 4,卷彳6, X 7变换，使X 6，X 7所对应的底行单位子块位置的元素为0。
得:11 -1 0 0 1 02 ①-1 0 -1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 3 * -2110 0-3由单纯形法（或主元消去法），得:0 ②-1 1 0 1 -1 1 1 -1 0 -1 0 0 1 1 01 0 1 1 0 -12 0*-21-1 0 0 2 -1再进行一次:0 1 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2 1/2 1 0 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2 3/2 01/2 1/2 1 -1/2 -1/2 3/2 0 0111 1 -1 0 0 1 02 1 -1 0 -1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 03 011用表格形式表示:为了满足单纯形法的第三个特点： 底行相应于单位子块位置的元素为(4.2.5)s.t.X i X 2 _X 3 X 6 =2 - x 2- x 4X 7 =1 0,对上表做初等这时已经满足单纯形法的全部条件，达到最优解。
在第一阶段的最优解中，人工变量x6, x7都是非基变量，这样得到初始基本可行解为:I 3 1 3 ）（人，X2, X3, X4, X5） = —，一，0, 0, —^2 2 2 J阶段的迭代，即求目标函数min f n/x,・x2。
01-1/21/201/210-1/2-1/203/2001/21/213/2-210000同理，为了满足单纯形法的第三个特点：底行相应于单位子块位置的元素为0,对上表做初等变换，使x,,x2所对应的底行单位子块位置的元素为0。
得:01-1/201/210-1/2-1/203/2001/21/213/200-1/2*-3/205/2上表已经具备单纯形法的三个特点，于是在底行中任选个负兀素，02-110111-10020-1①01103*-2004再进行一次迭代，得：0101121000130-11011010026上表已满足单纯形法的四个特点，从而得到线性规划（4.2.5 ）的最优解（x「x2）=（3, 0），目标函数的最优值f max=6。
§ 4.3 灵敏度分析通过一个案例来理解灵敏度的问题。
第一阶段结束后，修改最后的单纯形表，去掉人工变量x6,x7下面的列，然后开始第二例4.3 设某厂在资源甲、乙的限制下，考虑制定能使总利润达到最大的三种产品 的生产计划，其有关数据如下：解 以x 1,x 2,x 3分别表示A 、B 、C 的产量，则问题的数学模型为:m ax z = 3x t 亠 x 2 亠 4 x 3 s.t.6x 1 3x 2 5x 3 _ 45 3x 1 4x 2 5x 3 _ 30 X i ,X 2,X 3 _0化为标准形式:s.t. 6x 1 3x 2 5x 3 x 4 二 453x 1 -^4x 2 亠 5x 3 亠 x 5 =30其中x 4,x 5分别是关于资源甲、乙而引进的松弛变量，列成表格:6 3 5 1 0 45 3 4 5 0 1 30 -3-1-4用单纯形法经过两次迭代即可终止, 得1 -1/3 0 1/3 -1/3 5 0 1 1 -1/5 2/5 3 021/53/527读出的最优解为：X t = 5, x 2 = 0, x 3 = 3, x 4 = 0, x 5 = 0，标准形的最优值为f = -27，即原问题 的最大利润为z =27。
最优解为x ^(5, 0, 3) T ，即产品A 生产5吨，产品B 生产0吨，产品C 生产3吨，这时的综合利润最大，为27千元在此基础上进一步考虑一些问题，例如1、两种资源中哪种资源的拥有量是制约利润进一步提高的因素?以 x^5, x 2 = 0, x 3 =3 代入(4.4 )约束：(4.3.1 )(4.3.2)X i X 2,X 3,X 4, x 5 _0s.t.6x13x2• 5x3乞45 （资源甲的约束）3x14x2-5X3^30 （资源乙的约束）我们发现，约束条件中的不等式全部变成了等式，这说明在此生产计划下的两种资源均已用尽，故两种资源的拥有量均是制约利润进一步提高的因素。