高三数学测试题(含答案)

33
3
3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( A )
(A) y x3 , x R (B) y sin x , x R (C) y x , x R (D) y
4. 已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当 0 x 1 时， f ( x) lg x. 设 a
c
f
5 (
),
则(
D
)
2
x2＋ 3y2＝ 4
由
，得 4x2＋ 6mx＋ 3m2－ 4＝ 0.
y＝x＋m
2
因为 A，B 在椭圆上，所以 Δ＝ －12m ＋ 64＞ 0.
设 A，B 两点坐标分别为 (x1，y1)，(x2， y2)，
3m
3m2－4
则 x1＋ x2＝ － 2 ， x1x2＝ 4 ，
所以 |AB|＝ 2＝
32－ 6m2 2.
5
又 f (1) 4, f (x ) 在[－3 ，1] 上最大值是 13 。
（3 ）因为 y=f(x) 在 [－ 2， 1] 上单调递增，
所以 f ( x)
3
2
x
2ax b
0 在[ －2 ，1] 上恒成立 ,
由①知 2a+b=0, 所以 3x2 bx b 0 在[ －2 ，1] 上恒成立 ,
3x2 bx b min 0 , 利用动轴定区间讨论法得
9. 设 a
0, b
0. 若 3 是 3a 与 32b 的等比中项 , 则 2
1 的最小值为 ( A )
ab
(A)8
(B) 4
(C) 1
(D) 1 4
10. 在进行一项物理实验中 , 要先后实施 6 个程序 , 其中程序 A 只能出现在第一或最后一步 , 程
序 B 和 C在实施时必须相邻 , 则实验顺序的编排方法共有 ( C )
一选择题 :
高三数学测试题
1.已知集合 A
x
yy 2 ,B
xy
2 log 2
x ,A
B
(D
)
2x
(A) 0,2
(B) 1,2
(C)
,2
(D) 0,2
2. 函数 f (x)
3x2 lg(3 x 1) 的定义域是 ( B )
1x
(A) (
1 ,
)
(B)
1 ( ,1)
(C)
3
3
11 ( ,)
(D)
1 (,)
解: (1) ∵ AA1C1C 为正方形 ,
A1A AC ,
又面 AA1C1C ⊥面 ABC ,
又面 AA1C1C ∩面 ABC = AC ∴AA1⊥平面 ABC. (2) ∵ AC=4,AB=3,BC=5, ∴ AC 2 AB 2 BC 2 , ∴∠ CAB=90 , 即 AB⊥AC,
又由 (1) ∴AA1⊥平面 ABC.知 A1A AB ,
25 25 25
故在线段 BC 1 存在点 D，使得 AD⊥ A1B，且 BD = 9 . BC1 25
20. 已 知 函 数 f ( x) x3 ax2 bx c 过 曲 线 y f ( x) 上 的 点 P( 1,f ( 1)的) 切 线 方 程 为 y=3 x +1 。 （1 ）若函数 f (x)在x 2 处有极值，求 f (x ) 的表达式；
①
故1 a b c 31 1
②
12 4a b 0
③
由①②③得 a=2 ，b= －4 ，c=5
∴ f (x ) x 3 2x 2 4x 5.
（2 ） f (x ) 3x 2 4 x 4 (3 x 2 )( x 2).
当3 x
2时, f (x ) 0;当 2 x 2 时, f (x ) 0; 3
当 2 x 1时, f (x ) 0. f (x )极大 f ( 2) 13 3
2
2a
1
0 的两根
均大于 3,若 p , q 都为真命题 ,则实数 a 的取值范围是
; 3 a, 7 2
三.解答题
17.
在△ ABC 中， a、b、c 分别为角
A、B、C 的对边，且
4sin2B＋2
C －
cos2A＝72.
(1)求∠ A 的度数；
(2)若 a＝ 3， b＋ c＝3，求 b、c 的值 .
(1) n 2 2
1 ( 1)n 1 2 1
1 2
2 2( 1) n 1 2
3
又∵ b1=1，∴ bn=3-2( 1 )n-1(n=1， 2，3，…）
2
(Ⅲ )∵ cn=n(3-bn)=2n( 1 )n-1
2
∴ Tn=2[( 1 )0+2( 1 )+3( 1 )2+…+(n-1)( 1 )n-2+n( 1 )n-1] ①
1 2，
又 0°<A<180°，∴ A＝ 60°.
b2＋ c2－a2 (2)由 A＝ 60°，根据余弦定理 cosA＝ 2bc ，
b2＋c2－a2 即 2bc ＝
12，∴b2＋
c2－ bc＝
3，
①
又 b＋ c＝ 3，
②
∴ b2＋ c2＋ 2bc＝ 9.
③
2
① － ③ 整理得： bc＝ 2.
④
b＝ 1， 解②④联立方程组得
解
(1)∵ B＋
C＝
π－
B＋ C A，即 2 ＝
π 2－
A 2，
由
4sin2B＋2
C －
cos2A＝
7 2，得
4cos2
A 2－
cos2A＝
7 2，
即 2(1＋ cosA)－ (2cos2A－1)＝ 72，整理得 4cos2A－ 4cosA＋1＝ 0，
即 (2cosA－ 1)2＝
0.∴ cos A＝
21. 已知△ ABC 的顶点 A， B 在椭圆 x2＋3y2＝4 上， C 在直线 l ：y＝x＋2 上，且 AB∥l. (1)当 AB 边通过坐标原点 O 时，求 AB 的长及△ ABC 的面积； (2)当∠ ABC＝ 90°，且斜边 AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程．
【解析】 (1)因为 AB∥l ，且 AB 边通过点 (0,0)，所以 AB 所在直线的方程
所以建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 A1(0,0,4), C1(4,0,4), B1(0,3,4),B(0,3,0)
设面 A1 C B1与面 B C1 B1的法向量分别为 n ( x, y, z) , m (a,b, c) ,
n A1C1 0
由
,得
n A1B 0
4x 0 ,令 y 1,则 n
3y 4z 0
2
1 2n
(n=1， 2，3，… )
19. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AA1C1C 是边长为 4 的正方形 .
平面 ABC⊥平面 AA1C1C， AB=3 ，BC=5.
（Ⅰ）求证： AA1⊥平面 ABC； （Ⅱ）求二面角 A 1-BC1-B1 的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段 BC1 存在点 D，使得 AD⊥ A1B，并求 BD 的值 . BC1
因为 C1 , D, B 三点共线 ,所以设 BD
x4 所以 y 3
z4
3 , (1)
BC1 ,即 ( x, y 3, z)
( 4, 3,4) ,
由 AD A1 B 0 得 3y 4z 0 (2)
由(1)(2) 求得
9 ,x
36 ,y
48 ,z
36 ,
即 D ( 36 , 48 , 36 ) ,
25 25 25 25
3 (0,1, 4 ) ,
3 同理 , m ( ,1,0) ,
4
4
cos n, m
n m 1 16
,
nm
25 16
25
由图知 ,所求二面角为锐二面角 ,所以二面角 A 1-BC1-B 1 的余弦值为 16 . 25
(3)证明 : 设 D( x, y, z) , ,则 AD ( x, y, z) , A1B (0,3, 4) , BC1 (4, 3,4) ,
为 y＝ x.
设 A，B 两点坐标分别为 (x1，y1)，(x2， y2)．
x2＋ 3y2＝ 4
由
，得 x＝ ±1.
y＝x
所以 |AB|＝ 2|x1－ x2|＝ 2 2.
又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离， 1
所以 h＝ 2， S△ABC＝ 2|AB| ·h＝ 2.
(2)设 AB 所在直线的方程为 y＝ x＋ m，
c＝ 2，
b＝2， 或
c＝1.
18. 设数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn=2-a n，n=1，2，3，… .
( Ⅰ) 求数列 {a n} 的通项公式；
( Ⅱ) 若数列 {b n} 满足 b1=1，且 bn+1=bn+an，求数列 {b n} 的通项公式；
( Ⅲ) 设 cn=n(3-b n) ，求数列 {c n} 的前 n 项和 Tn.
2
2
(Ⅱ )∵bn+1=bn+an(n=1， 2，3，…）
∴ bn+1-bn=( 1 )n-1
2
得 b2-b1=1
b3-b2= 1
2
b4-b3=( 1 )2
2
……
bn-bn-1=( 1 )n-2(n=2，3，… )
2
将这 n-1 个等式累加，得
bn-b1=1+ 1 ( 1 )2 ( 1) 3
22 2
（2）在（ 1）的条件下，求函数 y f (x ) 在[－ 3， 1] 上的最大值；
（3）若函数 y f (x ) 在区间 [－2 ，1] 上单调递增，求实数 b 的取值范围
解：（ 1 ） f ( x) 3x2 2ax b. 由已知
f ' (1) 3 f (1) 3 1 1 f ' ( 2) 0
3 2a b 3
|2－ m|
又因为 BC 的长等于点 (0， m)到直线 l 的距离，即 |BC|＝
解： (Ⅰ )∵ n=1 时， a1+S1=a1+a1=2 , ∴ a1=1
∵Sn=2-an 即 an+Sn=2 , ∴an+1+Sn+1=2
两式相减： an+1-an+Sn+1-Sn=0
即 an+1-an+an+1=0, 2an+1=an
∵ an≠ 0 ∴ an 1 1 (n∈N*)
an 2
所以，数列 {an} 为首项 a1=1，公比为 1 的等比数列 .an= ( 1) n 1(n∈N*)
2
2
2
2
2
而
1
Tn=2[(
1
)+2(
1
)2+3(
1
)3+…+(n-1)
1 (
)n
1
n( 1 )n ]
②
2
Baidu Nhomakorabea
2
2
2
2
2
① - ②得：
1 Tn
2[( 1) 0
( 1) 1 ( 1) 2
2
222
( 1) n 1] 2n( 1 )n
2
2
1 (1)n
Tn= 4
2 1
1
2
4n(1 ) n 2
8 8 2n
4n( 1 ) n =8-(8+4n)
(B)
1 (0, )
3
(C) [ 1 , 1) 73
(D) [ 1 ,1) 7
1
8.给定函数 : ① y x2 , ② y log 1 ( x 1) , ③ y x 1 , ④ y 2 x 1 , 其中在区间 (0,1) 上单调递
2
减的函数的序号是 ( C )
(A) ①②
(B) ②③
(C) ③④
(D) ①④
(A) a b c
(B) b a c
(C) c b a
(D) c
( 1 )x , x 2 6
f ( ), b 5
ab
R 3
f ( ), 2
5. 已知函数 f ( x)
3x 1, x 0
log
x 2
,
x
，若 f ( x0 ) 0
3 , 则 x0 的取值范围是 ( A )
(A) x0 8 (B) x0 0 或 x0 8 (C) 0 x0 8 (D) x0 0 或 0 x0 8
① 当 x b 1时, f ( x)min f (1) 3 b b 0, b 6 ；
6
②当 x b 2时, f ( x)min f ( 2) 12 2b b 0, b ；
6
③当 2
6 1时 , f ( x ) min
b
12b b2 12
0,则0 b 6.
综上所述，参数 b 的取值范围是 [ 0, )
12
15. 已知双曲线 x2 y2 1的右焦点 F, 与抛物线 y 2
4b
;m 1 12 x 的焦点重合 , 过双曲线的右焦点 F 作其
渐近线的垂线 , 垂足为 M,则点 M的纵坐标为 ;
25
3
16.已知 p : f (x)
(2 a
6) x 在 R 上是单调减函数
; q : 关于
x 的方程
2
x
3ax
(A)34
(B) 48
(C) 96
(D)144
11. 已知命题 p :存在 x ( , ), cos x 1 ; 命题 q : x ( ,0),2 x 3x , 则下列命题为真命题
22
1
的是 ( D ) (A) p q
(B) ( p) q
(C) ( p) q
(D) p q
12. 若 p:
k , k z, q : f (x) sin( x )(
2
0) 是偶函数 , 则 p是 q 的 ( A )
(A) 充分必要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也必要条件
二填空题
13.已知 P x x a , Q y y sin , R ,若 P Q ,则实数 a 的取值范围是
;a 1
14. 已知 f ( x) m 2 x x 1 是 R 上的奇函数 ,则 m =
6. 若 x 是 f ( x) 6
(A)4
(B) 8
3 sin x cos x 的图象的一条对称轴 , 则 可以是 ( C )
(C) 2
(D)1
7. 已知 f (x) (3a 1)x 4a, x 1 是 ( , ) 上的减函数，则 a 的取值范围是 ( C )
log a x, x 1
(A) (0,1)