贝叶斯论文
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
借一斑ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ窥全豹 ——贝叶斯公式教学研探
张卓 尹晓丽
(山西大学商务学院 基础教学部 山西 太原 030031） 摘要：本文通过一个医疗决策方面的典型例子复习全概率公式，引导学生自己证
明贝叶斯公式， 体会其应用背景及先验概率和后验概率这两个重要概念。使学生 领悟到数学来源于实践，又服务于实践，得到了良好的教学效果。 关键词： 贝叶斯公式，全概率公式，先验概率，后验概率 中图分类号： 在概率论中,全概率公式与贝叶斯公式是十分重要的一组公式,它们是处理复 杂随机事件有关概率问题的得力工具。教学中即是重点也是难点，以下通过一则 实例展开教学初探。 【实例】某地区肝癌发病率为0.04%。在该地区进行血检，肝癌患者化验呈 阳性概率为99%，健康人化验呈阳性概率为0.1%。现从中随机抽查一人，求化验 为阳性的概率。 【初窥】化验呈阳性有两种可能：患者化验呈阳性或正常人化验呈阳性。所 以，呈现阳性这一结果确实是受多种因素影响的复杂随机事件，将其设为B。导 致B发生的原因设为完备事件组。设A：在该地区随机抽查一人为患者。 A ：在 该地区随机抽查一人为健康人。由全概率公式可知，由全概率公式可知，B事件 的概率可拆分为两个互斥的，受单因素影响的事件概率之和，即：
p(B) p( A) p(B A) p( A) p(B A) 0.0004 0.99 0.9996 0.001 0.0013956
【再窥】事实上，普查的目的并不在此，而是想知道化验为阳性的人是否真 的患病。故提出新问题： “已知某人检查结果呈阳性，求其确为癌症患者的概率” 即，已知结果事件B发生了，求事件A发生的概率，这样的问题属于贝叶斯理论 研究的范畴。下面我们来看贝叶斯公式：
是逆向思维，又称为逆概公式，是质的飞跃。 下面利用贝叶斯公式来解决以上提到的新问题“已知化验结果呈阳性，问确 实为癌症患者的概率” 。 依照贝叶斯公式， 代入数据可得， 结果为 p( A B) 0.2846 。 这表明医务工作者仅凭一次化验为阳性就判断此人为癌症患者的把握并不到 3 成。于是建议此人复查。若化验结果仍为阳性，则几乎可以认定他是患者，而不 是怀疑。 如何解释态度的转变呢？下面我们将其量化，具体计算第二次试验为阳 性的条件下此人为患者的概率。 注意此时我们就不能再利用 p( A) 0.04% 来计算 分母了。因为此人第一次化验结果呈阳性，有了这一新信息的加入，判断他患病 的可能性就增大至0.2846，而非对自然人群患病率的判断0.04%。再次使用贝叶 斯公式，代入数值计算可得结果为0.997。 【三窥】这三个概率的关系：本例中患病的概率 P ( A) 先于试验，是在没有已 知任何复杂事件是否发生的情况下人们通过已有的经验给出的，称为先验概率。
P( A | B) 是在增加了结果（检验出阳性）发生的这个新信息后，对原因事件发生
概率 P ( A) 的重新判断，后于试验，称为后验概率。故，贝叶斯公式的作用可看 作是由先验概率获得后验概率， 再由后验概率修正先验概率。 比如第一次做化验 后，医务人员就用后验概率0.2846修正了先验概率0.0004从而怀疑此人患病。复 查后医务人员对其患病这一事件态度的转变正是源于用第二次试验后的后验概 率0.997修正了先验概率0.2846.，是对先验概率的重新认识。只要细心观察，贝 叶斯公式无处不在，马航搜救正是利用了贝叶斯理论，在获得新信息后不断修正 并确定新的搜救范围来寻找失联客机。 【总结】全概率公式与贝叶斯公式都是原有知识的重组，是条件概率、乘法 概率公式结合的产物，它们的应用背景都是处理受多重因素影响的复杂随机事 件。不同之处在于由因索果用全概，执果溯因用逆概。 参考文献 [1]吴赣昌.概率论与数理统计.中国人民大学出版社,2006 [2]盛骤.概率论与数理统计.高等教育出版社，2007:22-26. To see the whole from one ——Bayes formula teaching research Zhang zhuo (Department of Science, Shanxi University Business School, Taiyuan 030031China) Abstract: In this paper we use a typical example of medical decisions to review the Whole probability formula and guide students to prove the Bayes formula. After understanding its application background, Prior probability and Posterior probability, the students know that maths comes from practice and serves practice. Key words: Prior probability; Posterior probability; Bayes formula; Whole probability formula
设 A1, A2 An 是一个完备事件组,且 p( B) 0 , p( Ai ) 0 (i 1,2,) ，
P( Ai | B) P( Ai ) P( B | Ai )
P( A ) P( B | A )
i i i
, i 1,2,, n,
此处引导学生自己推导：等号左侧为条件概率，按公式展开，分母按照全概 率公式展开，考虑各个情形下事件B发生的概率，分子按照乘法公式展开，考虑 单一因素影响下事件B发生的概率，即可得贝叶斯公式。 贝叶斯公式貌似简单，就是条件概率公式，乘法公式，全概率公式的重组， 但它的出现引发了概率界的巨大变化，出现了贝叶斯学派，贝叶斯统计。这是因 为在此之前的概率， 均为正向概率， 如分母上的全概率公式， 是计算结果的概率， 是从原因到结果的正向思维。 而贝叶斯公式是在结果发生后， 反推其原因的概率，
张卓 尹晓丽
(山西大学商务学院 基础教学部 山西 太原 030031） 摘要：本文通过一个医疗决策方面的典型例子复习全概率公式，引导学生自己证
明贝叶斯公式， 体会其应用背景及先验概率和后验概率这两个重要概念。使学生 领悟到数学来源于实践，又服务于实践，得到了良好的教学效果。 关键词： 贝叶斯公式，全概率公式，先验概率，后验概率 中图分类号： 在概率论中,全概率公式与贝叶斯公式是十分重要的一组公式,它们是处理复 杂随机事件有关概率问题的得力工具。教学中即是重点也是难点，以下通过一则 实例展开教学初探。 【实例】某地区肝癌发病率为0.04%。在该地区进行血检，肝癌患者化验呈 阳性概率为99%，健康人化验呈阳性概率为0.1%。现从中随机抽查一人，求化验 为阳性的概率。 【初窥】化验呈阳性有两种可能：患者化验呈阳性或正常人化验呈阳性。所 以，呈现阳性这一结果确实是受多种因素影响的复杂随机事件，将其设为B。导 致B发生的原因设为完备事件组。设A：在该地区随机抽查一人为患者。 A ：在 该地区随机抽查一人为健康人。由全概率公式可知，由全概率公式可知，B事件 的概率可拆分为两个互斥的，受单因素影响的事件概率之和，即：
p(B) p( A) p(B A) p( A) p(B A) 0.0004 0.99 0.9996 0.001 0.0013956
【再窥】事实上，普查的目的并不在此，而是想知道化验为阳性的人是否真 的患病。故提出新问题： “已知某人检查结果呈阳性，求其确为癌症患者的概率” 即，已知结果事件B发生了，求事件A发生的概率，这样的问题属于贝叶斯理论 研究的范畴。下面我们来看贝叶斯公式：
是逆向思维，又称为逆概公式，是质的飞跃。 下面利用贝叶斯公式来解决以上提到的新问题“已知化验结果呈阳性，问确 实为癌症患者的概率” 。 依照贝叶斯公式， 代入数据可得， 结果为 p( A B) 0.2846 。 这表明医务工作者仅凭一次化验为阳性就判断此人为癌症患者的把握并不到 3 成。于是建议此人复查。若化验结果仍为阳性，则几乎可以认定他是患者，而不 是怀疑。 如何解释态度的转变呢？下面我们将其量化，具体计算第二次试验为阳 性的条件下此人为患者的概率。 注意此时我们就不能再利用 p( A) 0.04% 来计算 分母了。因为此人第一次化验结果呈阳性，有了这一新信息的加入，判断他患病 的可能性就增大至0.2846，而非对自然人群患病率的判断0.04%。再次使用贝叶 斯公式，代入数值计算可得结果为0.997。 【三窥】这三个概率的关系：本例中患病的概率 P ( A) 先于试验，是在没有已 知任何复杂事件是否发生的情况下人们通过已有的经验给出的，称为先验概率。
P( A | B) 是在增加了结果（检验出阳性）发生的这个新信息后，对原因事件发生
概率 P ( A) 的重新判断，后于试验，称为后验概率。故，贝叶斯公式的作用可看 作是由先验概率获得后验概率， 再由后验概率修正先验概率。 比如第一次做化验 后，医务人员就用后验概率0.2846修正了先验概率0.0004从而怀疑此人患病。复 查后医务人员对其患病这一事件态度的转变正是源于用第二次试验后的后验概 率0.997修正了先验概率0.2846.，是对先验概率的重新认识。只要细心观察，贝 叶斯公式无处不在，马航搜救正是利用了贝叶斯理论，在获得新信息后不断修正 并确定新的搜救范围来寻找失联客机。 【总结】全概率公式与贝叶斯公式都是原有知识的重组，是条件概率、乘法 概率公式结合的产物，它们的应用背景都是处理受多重因素影响的复杂随机事 件。不同之处在于由因索果用全概，执果溯因用逆概。 参考文献 [1]吴赣昌.概率论与数理统计.中国人民大学出版社,2006 [2]盛骤.概率论与数理统计.高等教育出版社，2007:22-26. To see the whole from one ——Bayes formula teaching research Zhang zhuo (Department of Science, Shanxi University Business School, Taiyuan 030031China) Abstract: In this paper we use a typical example of medical decisions to review the Whole probability formula and guide students to prove the Bayes formula. After understanding its application background, Prior probability and Posterior probability, the students know that maths comes from practice and serves practice. Key words: Prior probability; Posterior probability; Bayes formula; Whole probability formula
设 A1, A2 An 是一个完备事件组,且 p( B) 0 , p( Ai ) 0 (i 1,2,) ，
P( Ai | B) P( Ai ) P( B | Ai )
P( A ) P( B | A )
i i i
, i 1,2,, n,
此处引导学生自己推导：等号左侧为条件概率，按公式展开，分母按照全概 率公式展开，考虑各个情形下事件B发生的概率，分子按照乘法公式展开，考虑 单一因素影响下事件B发生的概率，即可得贝叶斯公式。 贝叶斯公式貌似简单，就是条件概率公式，乘法公式，全概率公式的重组， 但它的出现引发了概率界的巨大变化，出现了贝叶斯学派，贝叶斯统计。这是因 为在此之前的概率， 均为正向概率， 如分母上的全概率公式， 是计算结果的概率， 是从原因到结果的正向思维。 而贝叶斯公式是在结果发生后， 反推其原因的概率，