浙江省丽水市2020-2021学年高二下学期期末数学试题

浙江省丽水市【最新】高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．2cos3π=（ ）A ．12B C ．12-D ．2．直线+1y =的倾斜角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．34π 3．双曲线22134x y -=的焦点坐标是（ ）A ．(0,1)±B ．(1,0)±C ．(0,D ．(4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm5．已知实数x 、y 满足不等式组11x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．函数2()(R)xf x a x a=∈+的图象不．可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知F 是椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于,A B两点，且60AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．1)B ．(0C ．1(0)2，D ．1(1)2，9．在梯形ABCD 中，2AB DC =，13BE BC =，P 为线段DE 上的动点（包括端点），且AP AB BC λμ=+（λμ∈，R ），则2λμ+的最小值为（ ）A ．119B ．54C ．43D ．594810．已知数列{}n a 满足1a a =（R a ∈），2122+n n n a a a =+-（*n ∈N ），则下列说法中错误．．的是（ ） A ．若1a >，则数列{}n a 为递增数列 B ．若数列{}n a 为递增数列，则1a > C ．存在实数a ，使数列{}n a 为常数数列 D ．存在实数a ，使12n a +≤恒成立二、双空题11．已知集合{}240A x x =-<，{}1B x x =>，则AB =____，A B =____.12．已知函数2log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1()=2f ____；若1()<2f x ，则x 的取值范围是____.13．已知直线1:230l x ay a ++=，2:(1)370l a x y a -++-=，若12l l //，则=a ____；若12l l ⊥，则=a ____.14．定义二元函数(,)2,f x y x y =-则不等式(1)1f y ≤,的解集是____；若不等式(,1)+(,2)f x f x m -≥对任意实数x 恒成立，则实数m 的最大值是____.三、填空题15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，且8a c +=，则AC 边上中线长的最小值是____.16．在矩形ABCD 中，2AB AD =，E 是CD 的中点，将ADE 沿AE 折起，则在翻折过程中，异面直线AD 与BE 所成角的取值范围是____.17．若对任意[]02b ∈，，当11x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)a 时，不等式214ax bx x +-≤恒成立，则实数a 的取值范围是____.四、解答题18．已知函数()()cos sin f x x x x =. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若角(0,)απ∈，3()25=αf 2sin(+)3πα的值. 19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，24BC AD ==，AB CD ==.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若AP ，求BC 与平面PBD 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，正项等比数列{}n b 满足11b =，且39b 是22a b 与31a b +的等差中项．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．21．如图，直线l 与抛物线22y x =相交于,A B 两点，与x 轴交于点Q ，且OA OB ⊥，OD l ⊥于点(,)D m n .（1）当1n =时，求m 的值；（2）当13,22m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求ODQ 与OAB 的面积之积ODQOABSS⋅的取值范围.22．已知函数2()f x x x=+，2()2g x x ax =-+，R a ∈. （1）若函数(())y g f x =存在零点，求a 的取值范围；（2）已知函数(),()()()(),()()f x f xg x m x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，若()m x 在区间(1,4)上既有最大值又有最小值，求实数a 的取值范围.参考答案1．C 【分析】根据特殊角三角函数值即可得解. 【详解】21coscos cos 3332ππππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】此题考查求特殊角的三角函数值，可以根据诱导公式化简求值，熟记常见特殊角三角函数值便于解题. 2．C 【分析】根据倾斜角的正切值等于直线的斜率求解即可. 【详解】设直线+1y =的倾斜角为θ则tan θ=[)0,θπ∈，故3πθ=.故选：C 【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题. 3．D 【分析】根据双曲线方程求出2,a b c ==. 【详解】双曲线22134x y -=中，易得2,a b c ==x 轴，所以焦点坐标为：(. 故选：D 【点睛】此题考查根据双曲线方程求双曲线的焦点坐标，关键在于熟练掌握双曲线的标准方程，准确计算.4．B 【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）． 考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式. 5．B 【分析】由题意得出1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，利用待定系数法得出()()31222x y x y x y +=++-，然后利用不等式的基本性质可求得2x y +的取值范围，进而得解. 【详解】由题意得出1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，设()()()()2x y m x y n x y m n x m n y +=++-=++-，则21m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得3212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，()()31222x y x y x y +=++-，由于()()333222111222x y x y ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩，可得222x y -≤+≤，因此，2x y +的最大值是2.故选：B. 【点睛】本题考查利用不等式的基本性质求代数式的最值，解答的关键就是利用待定系数法求得()()31222x y x y x y +=++-，考查计算能力，属于中等题. 6．D 【分析】根据函数解析式，分别讨论0a =，0a ≠两种情况，根据函数零点，以及函数的性质，即可判断出结果. 【详解】当0a =时，21()x f x x x==，是反比例函数，其图象为B 选项； 当0a ≠时，由()0f x =得0x =，即函数仅有一个零点，故D 不可能；又2()()x f x f x x a --==-+，所以函数2()x f x x a=+为奇函数； 若0a >，当0x >时，21()x f x a x a x x==≤++A 选项有可能；若0a <，当0x >时，21()x f x a x a x x ==++，所以0a x x+≠，即x ≠因为ay x x =+单调递增，所以函数2()x f x x a=+在(上单调递减，在)+∞上单调递减；即C 选项有可能. 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的基本性质即可，属于常考题型. 7．A 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项. 【详解】方程2222530x y mx m m +---+=表示圆需满足()()22245+30,3m m m m ---->∴<-或1>2m ，所以“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查圆的一般方程和充分条件与必要条件的判断，属于基础题. 8．A 【分析】将,A B 与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围. 【详解】如图设1，F F 分别为椭圆的左、右焦点，设直线y kx =与椭圆相交于,A B ，连接11,,,AF AF BF BF .根据椭圆的对称性可得：四边形1AF BF 为平行四边形.由椭圆的定义有：12,AF AF a +=12,FF c =1120F AF ∠=︒ 由余弦定理有：2221112cos120FF AF AF AF AF =+-⋅︒即()()2221211142AF AF c AF AF AF AF AF AF ⎛⎫+=+-⋅≥+- ⎪⎝⎭所以()221222214432AF AF c AF AFa a a ⎛⎫+≥+-=-= ⎪⎝⎭当且仅当1AF AF =时取等号，又y kx =的斜率存在，故A B ，不可能在y 轴上.所以等号不能成立,即即2234c a >，所以1e >>故选：A【点睛】本题考查椭圆的对称性和焦点三角形，考查利用椭圆的定义和余弦定理、重要不等式求椭圆的离心率的范围，属于难题. 9．A 【分析】如图，设(0m 1)EP mED =≤≤，化简得到112(1)()233AP m AB m BC =-++，即得到112=1,233m m λμ-=+，所以22114(01)433m m m λμ+=-+≤≤，利用二次函数求出最小值得解. 【详解】如图，设(0m 1)EP mED =≤≤，由题得1()3AP AE EP AB BE mED AB BC m EC CD =+=++=+++, 所以121112(1)()332233AP AB BC mBC mAB m AB m BC ==++-=-++，所以112=1,233m m λμ-=+，所以22114(01)433m m m λμ+=-+≤≤，二次函数图象的对称轴为23m =，所以当23m =时，2λμ+的最小值为119.故选：A. 【点睛】本题主要考查向量的运算法则和平面向量基本定理，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．B 【分析】对于A 选项，作差得+1n n a a -21924n a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由此可判断； 对于B 选项，得219024n a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，由此可求出参数的范围，从而进行判断；对于C 选项，得()()120n n a a -+=，解出即可判断； 对于D 选项，由C 选项可得，当1a =时，符合12n a +≤． 【详解】解：对于A 选项，若1a >，则212n n nn a a a a -=+-+21924n a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2191024⎛⎫>+-= ⎪⎝⎭，∴1n n a a >+，即数列{}n a 为递增数列，则A 对；对于B 选项，若数列{}n a 为递增数列，则212n n nn a a a a -=+-+219024n a ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭， ∴1322n a +<-，或1322n a +>，即2n a <-，或1n a >， ∴2a <-，或1a >，则B 错；对于C 选项，要使数列{}n a 为常数数列，则212n n n n a a a a -=+-+()()120n n a a =-+=，∴1n a =，或2n a =-，即存在实数1a =或2a =-，使数列{}n a 为常数数列，则C 对； 对于D 选项，由C 选项可得，当1a =时，数列{}n a 为常数数列，即1112n a +=+=， 则存在实数1a =，使12n a +≤恒成立，则D 对； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查数列的单调性的判断，考查数列的递推公式的应用，属于中档题． 11．{}12x x << {}2x x >- 【分析】求出集合A ，利用交集和并集的定义可分别求出集合A B ，A B .【详解】{}{}24022A x x x x =-<=-<<，{}1B x x =>，{}12A B x x ∴⋂=<<，{}2A B x x ⋃=>-.故答案为：{}12x x <<；{}2x x >-. 【点睛】本题考查交集和并集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.12．1- ()(,1-∞-⋃ 【分析】根据函数的表达式，将12x =代入即可.分0x >和0x ≤两种情况代出()f x 的解析式，解不等式即可． 【详解】 由函数2log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩， 所以211()log 122f ==- 当0x >时，21()log <2f x x =，解得02x .当0x ≤时，1()2<2xf x =，解得1x <-. 所以当1()<2f x 时，02x或1x <-故答案为：1-； ()(,1-∞-⋃ 【点睛】本题主要考查函数值的求法，本题考查分段函数,解不等式，考查运算求解能力，属于基础题. 13．3 25【分析】直接根据两直线平行与垂直的公式进行求解． 【详解】解：∵1:230l x ay a ++=，2:(1)370l a x y a -++-=， 若12l l //，则()2310a a ⨯--=，即()()320a a -+=，∴3a =，或2a =-，经检验，当2a =-时，两直线重合，应舍去， ∴3a =；若12l l ⊥，则()2130a a -+=， ∴25a =； 故答案为：3；25． 【点睛】本题主要考查两直线平行于垂直的计算公式，属于基础题． 14．{}13y y ≤≤ 3 【分析】根据定义得21y -≤，去掉绝对值解出即可；由定义得21+22x x m -+≥恒成立，利用绝对值三角不等式即可求出答案． 【详解】解：∵(,)2,f x y x y =-(1)1f y ≤,，∴21y -≤，即121y -≤-≤，则13y ≤≤， ∴不等式(1)1f y ≤,的解集是{}13y y ≤≤； 又(,1)+(,2)f x f x m -≥对任意实数x 恒成立， 即21+22x x m -+≥对任意实数x 恒成立，即12+12m x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭对任意实数x 恒成立， 由绝对值三角不等式可得，()112+121322x x x x ⎛⎫⎛⎫-+≥--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3m ≤；故答案为：{}13y y ≤≤；3． 【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用，属于中档题．15．【分析】根据等差中项的性质，结合正弦定理化简可得3B π=，再利用平面向量的线性运算可得12BD BA BC =+，再平方利用基本不等式求解最值即可. 【详解】由题，2cos cos cos b B a C c A =+，根据正弦定理有：()2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A A C =+=+，故2sin cos sin B B B =.又sin 0B ≠，故1cos 2B =，又()0,B π∈，故3B π=.设AC 中点为D ，则AC 边上中线长为12BD BA BC =+，平方可得()()()2222221112444BD BA BC BA BC c a ac a c ac ⎡⎤=++⋅=++=+-⎣⎦()()()22213124416a c a c a c ⎡⎤+≥+-=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当4a c ==时取等号.故2BD 的最大值为12，即AC 边上中线长的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理边角互化的运用，同时也考查了利用基本不等式求最值的问题，同时在处理三角形中线的时候可以用平面向量表示从而简化计算.属于中档题. 16．42ππ⎛⎤⎥⎝⎦， 【分析】先由题意，取AB 中点为F ，DE 中点为M ，AE 中点为N ，连接FN ，FM ，MN ，得到MNF ∠即为异面直线AD 与BE 所成角，或所成角的补角，记异面直线AD 与BE 所成角为θ，则cos cos MNF θ=∠，根据题意，画出图形，结合翻折过程求出临界值，再由余弦定理，即可求出结果. 【详解】由题意，取AB 中点为F ，DE 中点为M ，AE 中点为N ，连接FN ，FM ，MN ，则//MN AD ，//FN BE ，将ADE 沿AE 折起，在翻折过程中，始终有//MN AD ，//FN BE ； 所以MNF ∠即为异面直线AD 与BE 所成角，或所成角的补角， 记异面直线AD 与BE 所成角为θ，则cos cos MNF θ=∠因为2AB AD =，不放设2AD =，则4AB =，1MN =，BE ==所以FN =，由题意可得，在翻折过程中，FM 逐渐减小，当D 点与F 重合时，FM 最小，如图2； 此时1FM =；翻折前，FM 取最大，如图1；此时FM ==，所以1FM ≤≤由余弦定理可得：22222cos2MN NF MF MNF MN NF +-∠===⋅，因为215MF ≤≤，所以222-≤≤，即cos 22MNF ⎡∠∈-⎢⎣⎦，所以cos cos MNF θ⎡=∠∈⎢⎣⎦，因此,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 又翻折前，以及点D 点与F 重合，这两种情况下，AD 与BE 是相交直线，所以cos 2θ≠，即4πθ≠；故42ππθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，. 故答案为：42ππ⎛⎤⎥⎝⎦，.【点睛】本题主要考查求异面直线所成角的范围，熟记异面直线所成角的概念，灵活运用立体几何的方法求解异面直线所成的角即可，属于常考题型.17．](13，【分析】将不等式转化为14ax b x-+≤恒成立，结合函数单调性转化求解. 【详解】对任意[]02b ∈，，当11x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)a 时，不等式214ax bx x +-≤恒成立， 即14ax b x-+≤恒成立， []02b ∈，，当11x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)a 时，1y ax b x =-+单调递增， []11,1ax b a b a b x-+∈-+-+，14ax b x -+≤(1)a只需14,14a b a b -+≤-+≤对[]02b ∈，恒成立， 124a -+≤且1a >，解得13a.故答案为：](13，【点睛】此题考查不等式恒成立求参数取值范围，关键在于熟练掌握不等式性质和函数单调性，结合恒成立求解参数.18．（1）T π=；单调递增区间为51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，，；（2）23sin(+)310πα-=【分析】（1）利用降幂公式结合辅助角公式进行三角恒等变换得到()sin(2)32f x x π=++，由222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得单调增区间；（2）根据3()25=αf 3sin()35πα+=，由2sin(+)sin()333πππαα=++结合两角和的正弦公式即可得解. 【详解】（1）2()sin cos f x x x x =+1sin 222x x =+sin(2)3x π=++T π∴=令222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，，（2）因为3()25=αf ，所以3sin()+3252πα++= 故3sin()35πα+= (0)απ∈，，4()333πππα+∈，又3sin()35πα+=，4cos()35πα∴+=-2sin(+)sin()333πππαα∴=++sin(+)cos cos()sin 3333ππππαα=++3143525210-=⨯-⨯=即2sin(+)3πα=【点睛】此题考查三角函数综合应用，涉及三角恒等变换，求三角函数的最小正周期和单调区间，利用和差公式解决给值求值的问题，属于中档题.19．（1）证明见解析；（2）4【分析】（1）通过证明BD AC ⊥，PA BD ⊥即可得证；（2）利用等体积法求出点C 到平面BDP 的距离即可求得BC 与平面PBD 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：作,2,4DE BC AD BC ⊥==1,3CE DE BE ∴===45DBC ACB ︒∴∠=∠=∴BD AC ⊥又PA ⊥平面ABCD ，PA BD ∴⊥， P A ，AC 是平面PAC 内两条相交直线，BD ∴⊥平面PAC ；（2）Rt PAB ∆中，4PA AB PB ==∴=Rt PAD ∆中，2,PA AD PD ==∴=PBD CBD ∴∆≅∆又C PBD P BCD V V --=，∴点C 到平面BDP的距离h PA ==BC ∴与平面BDP 所成角α的正弦为sin 4h BC α==. 【点睛】此题考查线面垂直的证明和线面角的求法，常利用等体积法求点到平面距离再求出线面角的正弦值.20．（1）21n a n =-；123n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）()1215104()3n n T n -=-+⨯．【分析】 （1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出n a ，设数列{}n b 的公比为q ，根据等比数列的通项公式和等差中项的定义列出方程，由此可求出答案；（2）由（1）有12(21)3n n n a b n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，然后根据错位相减法求和即可．【详解】解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，21n a n ∴=-， 2335a a ∴==，，设数列{}n b 的公比为q ，由题意可得：21836q q =+，解得23q =，或12q =-（舍去），123n n b -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，∴21n a n =-，123n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）由（1）有12(21)3n n n a b n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，∴112233n n n T a b a b a b a b =++++，23122221135()7()(21)()3333n n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯，2341222222213()5()7()(23)()(21)()3333333n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯， 两式相减有：23112222212()()()(21)()333333n n n T n -⎡⎤=+⨯++++--⨯⎢⎥⎣⎦122144()(21)()33n n n -=+-⨯--⨯110425()333n n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，∴()1215104()3n n T n -=-+⨯．【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法，考查错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题． 21．（1）1m =；（2）.【分析】（1）设直线AB 方程为x ty b =+，与抛物线联立，11()A x y ，，22()B x y ，，利用韦达定理，代入12120x x y y +=，可得b ，再根据OD DQ ⊥，利用斜率乘积为-1，列方程求解即可；（2）由（1）可得12y y -，再根据ODl ⊥，求出n t m=-，结合（1）中的2(2)n m m =-消去n ，通过三角形面积公式可得ODQ S ∆，OAB S ∆=二次函数的最值求解即可. 【详解】解：（1）当直线l 与抛物线22y x =相交于,A B 两点时，斜率不为零， 设直线AB 方程为x ty b =+，其中0b ≠由22x ty b y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2220y ty b --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则有122y y b =-，2212121()4x x y y b ==， OA OB ⊥，12120x x y y ∴+=，即220b b ，2b ∴=，直线l 为：2x ty =+，点(20)Q ，， OD DQ ⊥，12n nm m∴⨯=--，即2(2)n m m =- 而1n = 解得1m =；（2）由（1）得122y y t +=，124y y =-，12y y ∴-==(20)Q ，，且13,22m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以直线OD 与直线l 斜率均存在， 又OD l ⊥，11n m t ∴⋅=-，即nt m=-，又由（1）2(2)n m m =- 22221n t m m∴==-，12ODQ S OQ n n ∆=⋅==1212OAB S OQ y y ∆=⋅-==ODQ OAB S S ∆∆∴⋅== 13,22m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当23m =时，ODQ OAB S S ∆∆⋅，当32m =时，ODQ OAB S S ∆∆⋅ODQ OAB S S ∆∆∴⋅的取值范围为. 【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查抛物线中的三角形面积问题及最值问题，考查学生计算能力和分析能力，是一道中档题.22．（1）a ≤-或a ≥（2）7368a ≤<. 【分析】（1）先由()0g x =求得10x =，22a x =，由基本不等式求出2()f x x x=+的值域，根据题意，只需2a 在2()f x x x=+的值域范围内即可； （2）先由题意，得到要使()m x 在区间(1,4)上有最大值，则必须2()2g x x ax =-+在(1,4)上取得最大值，列出不等式，求出616a ≤<，判断出()()11g f >，从而得到要使()m x 在区间(1,4)上存在最小值，必须有()()44g f <，进一步求得738a <，令22a t -=，此时 ()()0g t f t ->，根据()()44g f <，得出()()1144022a a g f g f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⋅-<⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，判断出函数单调性，从而可得出结果.【详解】（1）令()0g x =，即220x ax -+=，解得：10x =，22a x =， 又2()f x x x =+，当0x >时，2()f x x x =+≥， 当且仅当2x x=，即x = 当0x <时，()22()f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； 当且仅当2x x-=-，即x =所以()()22+f x ⎡∈-∞-∞⎣，，； 要使函数(())y g f x =存在零点，只需2a ≤-或2a ≥即a ≤-或a ≥（2）由（1）知：函数2()f x x x=+在区间(1,4)有最小值，无最大值； 而二次函数2()2g x x ax =-+在对称轴4a x =处取得最大值； 因此要使()m x 在区间(1,4)上有最大值，则必须2()2g x x ax =-+在(1,4)上取得最大值，因此()14444a a g f ⎧<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，即2416982a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得616a ≤<； 当616a ≤<时，()()12431g a f =-≥>=，所以要使()m x 在区间(1,4)上存在最小值，必须有()()44g f <，即94322a -<，解得738a <； 当7368a ≤<时，241222a a f a -⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭，()1122a g g a ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭， 令22a t -=，有57216t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，此时222()()0t g t f t t t t--=-=>；又由()()44g f <得，()()1144022a a g f g f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⋅-<⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴在1,42a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在0x ，使00()()g x f x =， ()m x ∴在14a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递增，0,4a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，()0,4x 上递增； ()g x ∴在44a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，()11122a a g g f ⎛⎫⎛⎫-=>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()m x ∴在区间(14)，有最大值4a m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，最小值0()m x ； 即当7368a ≤<时，()m x 在区间(14)，上既有最大值又有最小值. 【点睛】本题主要考查由函数零点求参数，以及由函数存在最值求参数的问题，重点考查函数基本性质的综合，以及零点存在性定理，难度较大.。