有理数知识点梳理学生版

第一章有理数

一、有理数的意义

1、正数和负数

知识点1 负数的引入

我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的。

习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

知识点2 正数和负数的概念

1、58等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比01）像3、1.5、（2大。1?、－584等在正数前面加“－”(2（）像－3、－1.5、读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。2（3）零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。

1注意：（、＋1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”号，例如：3、1.5、可以写作＋3、＋1.521。2（2）带“＋”号的数不一定是正数，带“－”号的数不一定是负数。

知识点3 有理数的有关概念

（1）有理数：整数和分数统称为有理数。

注：（1）有时整数也可以看作是分母为1的数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。

（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。

（2）整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。

131333、－0.6等等。）分数包括正分数和负分数，例如：、－、－、、0.6（34224 4 有理数的分类知识点21（）按整数、分数的关系分类：（）按正数、负数与0的关系分类：?正整数??正整数???正有理数0整数????正分数????负整数有理数???有理数0??正分数???负整数?分数??负有理数??负分数???负分数??

注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然?0是负数；a是正数；a<0表明aa>0数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则表明a?0表明a是非正数。a表明是非负数；a

2、数轴

知识点1 数轴的概念

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴

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数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）；四，注意下标单位，上标数。

-5-4-3-2-1O12345数轴的画法知识点2

（1）画一条直线（一般画成水平的直线）。

（2）在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。

（3）确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。

（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点。

注（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；

（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点。知识点3 数轴上的点与有理数的关系

所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。

知识点4 利用数轴比较有理数的大小

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。

知识点5 数形结合思想解决问题

数轴是将有理数具体化的工具，主要用于研究距离问题。

相反数、3知识点1 相反数的概念

（1）相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

（2）相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

知识点2 相反数的表示方法

一般地，数a的相反数是－a。这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者0。

知识点3 多重符号的化简

（1）在一个数的前面添上一个“＋”号，仍然与原数相同。

（2）在一个数的前面添上一个“－”号，就成为原数的相反数。

绝对值、4知识点1 绝对值的概念

（1）绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝

对值记作a?a?a。”；有“（2）绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即

a, （a?0)?a，（a?0）??a?0, (a?0) 或a???－a。（a?0）??-a。(a?0)?知识点2 两个负数大小的比较

两个负数，绝对值大的反而小。

比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝对值的大小；三、根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。

知识点3 有理数大小的比较法则

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

- 2 - / 4 a?b的几何意义知识点4

a?b?ba?b?a。 a的点与表示数b的点的距离，因此有是表示数二、有理数的运算1、有理数的加法

知识点1 有理数的加法

把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。

相加的两个有理数有以下几种情况：（1）两数都是正数；（2）两数都是负数；（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；（4）一个是正数，一个是0；（5）一个是负数，一个是0；（6）两个都是0。

知识点2 有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

知识点3 有理数加法的运算定律

a?b?b?a(a?b)?c?a?(b?c)。（1）加法交换律：。（2）加法结合律：2、有理数的减法

知识点1 有理数减法的意义

有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。

知识点2 有理数减法法则

a?b?a?(?b)减去一个数，等于加上这个数的相反数，即3、有理数的加减混合运算

知识点1 有理数加减法统一成加法的意义

对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。

知识点2 有理数加减混合运算的方法

一、运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

二、运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。

4、有理数的乘法

知识点1 有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。

知识点2 有理数乘法法则的推广

（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

（2）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。

知识点3 有理数乘法的运算定律

ab?ba(ab)c?a(bc)a(b?c)?ab?ac。）分配律：。（）乘法结合律：。（23）乘法交换律：（1

5、有理数的除法

知识点1 倒数的概念

乘积是1的两个数互为倒数。

11??1a(a?0)，所以当a是不为0的有理数时，a的倒数是。若由于a、b互为倒数，则ab＝1。

aa知识点2 有理数除法法则

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1(b??0)a?b?a。一、除以一个数等于乘以这个数的倒数。即b。的数，都得0二、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 、有理数的乘方6有理数乘方的意义知识点1

nn aa?a??a?a aa中，”。乘方的结果叫做幂。在记作“个相同因数的积的运算，叫乘方。求n an个nmnmn a a a)?(a的nn叫做底数，叫做指数，次方，读作。