人教版数学高一-指数函数 测试

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高一数学指数与指数函数试题答案及解析

高一数学指数与指数函数试题答案及解析

高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.设函数(x)=,则满足的的取值范围是().A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)【答案】D.【解析】当时,,,解得,因此,当时,,解得,因此,综上【考点】分段函数的应用.2.设函数则使得成立的的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】当时,由,可得,即;当时,由,可得,即,综上.故选C【考点】函数的求值.3.已知定义在R上的函数满足,当时,,且.(1)求的值;(2)当时,关于的方程有解,求的取值范围.【答案】(1),(2)【解析】(1)由可知,代入表达式可求得的值.又,可求出的值;(2)由(1)可知方程为,对x进行讨论去绝对值符号,可得,据结合指数函数,二次函数的性质可求得的取值范围.试题解析:解:(1)由已知,可得又由可知 . 5分(2)方程即为在有解.当时,,令,则在单增,当时,,令,则,,综上: . 14分【考点】本题主要考查指数函数,二次函数求值域和分类讨论的数学思想方法.4.函数的图象必经过定点___________.【答案】【解析】∵指数函数过定点,∴函数过定点.【考点】函数图象.5.已知,,且,则与的大小关系_______.【答案】【解析】由,又由,所以,所以由可得,所以,,所以即.【考点】1.分数指数幂的运算;2.对数的运算;3.指数函数的单调性.6.函数在上的最大值比最小值大,则 .【答案】【解析】因为,根据指数函数的性质可知在单调递增,所以最大值为,最小值为,依题意有即,而,所以.【考点】指数函数的图像与性质.7.设,则的大小关系是()A.B.C.D.【答案】B【解析】把看成函数当时的函数值,因为,所以;把看成函数当时的函数值,因为,所以;把看成函数当时的函数值,因为 ,所以 .综上, ,故选B【考点】1、指数函数的性质;2、对数函数的性质.8.若,则__________.【答案】【解析】【考点】指数函数的运算法则9.已知,则的大小关系是.【答案】【解析】因为指数函数在R上单调递减,所以。

高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)

高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)

课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算( 1)根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1,且 nN ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. 当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用符号 na 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示,负的 n 次方根用符号na表示; 0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根.②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当n 为奇数时, a 为随意实数;当 n 为偶数时, a.③根式的性质: (na )n a ;当 n 为奇数时, n a n a ;当 n 为偶数时, n a n | a |a (a 0) .a (a 0)( 2)分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是:a n 0, m,n N , 且 n 1) .0 的正分数指数幂等于0.②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是:a n)n n (0, m, n N , 且 n1) .0 的负分数指aa数幂没存心义. 注意口诀: 底数取倒数,指数取相反数.( 3)分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质( 4)指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域(0,+ ∞)过定点 图象过定点(0,1 ),即当 x=0 时, y=1.奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y > 1(x > 0), y=1(x=0), 0< y < 1(x < 0)y > 1(x < 0), y=1(x=0), 0< y < 1(x > 0)变化状况a 变化对在第一象限内, a 越大图象越高,越凑近 y 轴; 在第一象限内, a 越小图象越高,越凑近 y 轴; 图象影响在第二象限内,a 越大图象越低,越凑近x 轴.在第二象限内,a 越小图象越低,越凑近x 轴.三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析: A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析: 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= [ f(x) ] nD.f [ (xy) n ] =[ f(x) ] n [ f(y) ] n (n ∈ N * )分析: 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f [(xy)n] =a (xy)n , 而[ f(x) ] n ·[f(y) ] n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析: a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析: 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析: 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. [ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析: 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ] ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析: 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈[ -1,1]时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______[ -5,1 ] ___________.3分析: f(x) 在[ -1,1 ]上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析: (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩[ 2,+ ∞]=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈[ -3,2]的最大值和最小值 .解: 设 2-x=t, 由 x ∈[ -3,2 ]得 t ∈[ 1,8 ] , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解: ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. [ 1,2]B.[ 2,3]C.(-∞ ,2]D.[ 2,+∞ )分析: 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈[ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为[ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. [ -1,+∞ )B. [ -1,63)C.[ 0,+∞ )D.(0,63 ]分析: 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= [ f(x)-1 ]2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈[ 1,9 ].2.1 指数函数练习1.以下各式中建立的一项A . ( n)71n 7 m 7B .12 ( 3)433m3C . 4 x 3y 3( x y) 4D .393321111 1 52.化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D . 9a 2 A . 6aB . aC . 9a3.设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ,则以下等式中不正确的选项是f (x) A . f(x+y)=f(x) ·f(y)B . f ( x y )f ( y)C . f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D . f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4.函数 y (x5) 0 ( x 2)2A . { x | x 5, x 2}B . { x | x 2}C . { x | x 5}D . { x | 2 x 5或 x 5}()()()(n N )( )5.若指数函数 y a x 在 [- 1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数 a 等于 ()A .15 B .1 5 C .15D .5 122 226.当 a0 时,函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是()7.函数 f ( x)2 |x| 的值域是()A . (0,1]B . (0,1)C . (0, )D . R8.函数 f ( x)2 x 1, x 0,知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x()A . ( 1,1)B . ( 1, )C . { x | x 0或 x2}D . { x | x 1或 x1}9.函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2()A .[ 1,1]B . ( , 1]C .[2,)D .[ 1,2]2exe x210.已知 f ( x)()2 ,则以下正确的选项是A .奇函数,在 R 上为增函数B .偶函数,在 R 上为增函数C .奇函数,在 R 上为减函数D .偶函数,在 R 上为减函数11.已知函数 f (x)的定义域是(1, 2),则函数 f (2 x ) 的定义域是.12.当 a >0 且 a ≠1 时,函数 f (x)=a x -2- 3 必过定点.三、解答题:13.求函数 y1的定义域 .x5 x 1114.若 a >0, b > 0,且 a+b=c ,求证: (1) 当r >1时, a r +b r < c r ; (2) 当r < 1时, a r +b r > c r .a x 1 15.已知函数 f ( x)(a >1) .a x1( 1)判断函数 f (x) 的奇偶性;( 2)证明 f (x)在 (-∞, +∞ )上是增函数 .xa16.函数 f(x) = a (a>0 ,且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2,求 a 的值.参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11. (0,1);12. (2,- 2) ;三、 13. 解:要使函数存心义一定:x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 : x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114. 解:ba,c rcccc.r >1 ,a rb ra b 1,r r r当因此+b< c ;时c c c crrrrr当 r < 1 时, aba b1, 因此 a +b >c .ccc c15. 解 :(1)是奇函数 .(2) 设x <x ,则 f (x 1 )ax11 ax21 。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(18)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(18)

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷(共22题)一、选择题(共10题)1. 下面关于函数 f (x )=log 12x ,g (x )=(12)x和 ℎ(x )=x −12 在区间 (0,+∞) 上的说法正确的是( ) A . f (x ) 的递减速度越来越慢,g (x ) 的递减速度越来越快,ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 B . f (x ) 的递减速度越来越快,g (x ) 的递减速度越来越慢,ℎ(x ) 的递减速度越来越快 C . f (x ) 的递减速度越来越慢,g (x ) 的递减速度越来越慢,ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 D . f (x ) 的递减速度越来越快,g (x ) 的递减速度越来越快,ℎ(x ) 的递减速度越来越快2. 甲用 1000 元人民币购买了一手股票,随即他将这手股票卖给乙,获利 10%,而后乙又将这手股票卖给甲,但乙损失了 10%,最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙.在上述股票交易中 ( ) A .甲刚好盈亏平衡 B .甲盈利 9 元 C .甲盈利 1 元D .甲亏本 1.1 元3. 若 a =0.32,b =log 20.3,c =20.3,则 a ,b ,c 三者的大小关系是 ( ) A . b <c <a B . b <a <c C . a <c <b D . a <b <c4. 已知当 x ∈[0,1] 时,函数 y =(mx −1)2 的图象与 y =√x +m 的图象有且只有一个交点,则正实数 m 的取值范围是 ( ) A . (0,1]∪[2√3,+∞) B . (0,1]∪[3,+∞) C . (0,√2]∪[2√3,+∞) D . (0,√2]∪[3,+∞)5. 已知函数 f (x )={15x +1,x ≤1lnx,x >1,则方程 f (x )=kx 恰有两个不同的实根时,实数 k 的取值范围是 ( ) A . (0,1e )B . (0,15)C . [15,1e )D . [15,1e ]6. 若函数 f (x )=2x +a 2x −2a 的零点在区间 (0,1) 上,则 a 的取值范围是 ( ) A . (−∞,12)B . (−∞,1)C . (12,+∞)D . (1,+∞)7. 已知定义在 R 上的函数 f (x )={x 2+2,x ∈[0,1)2−x 2,x ∈[−1,0),且 f (x +2)=f (x ).若方程 f (x )−kx −2=0 有三个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是 ( )A . (13,1)B . (−13,−14)C . (−1,−13)∪(13,1)D . (−13,−14)∪(14,13)8. 定义域为 R 的偶函数 f (x ),满足对任意的 x ∈R 有 f (x +2)=f (x ),且当 x ∈[2,3] 时,f (x )=−2x 2+12x −18,若函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 R 上至少有六个零点,则 a 的取值范围是 ( ) A . (0,√33) B . (0,√77) C . (√55,√33)D . (0,13)9. 方程 log 3x +x =3 的解所在的区间是 ( ) A . (0,1) B . (1,2) C . (2,3) D . (3,+∞)10. 函数 f (x )=√1−x 2lg∣x∣的图象大致为 ( )A .B .C .D .二、填空题(共6题)11. 已知函数 f (x )={√4−x 2,x ∈(−2,2]1−∣x −3∣,x ∈(2,4],满足 f (x −3)=f (x +3),若在区间 [−4,4] 内关于x 的方程 3f (x )=k (x −5) 恰有 4 个不同的实数解,则实数 k 的取值范围是 .12. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2+(2m −1)x +m 2=0 有两个实数根 x 1 和 x 2,当 x 12−x 22=0时,m 的值为 .13. 已知 A ={x∣ 3x <1},B ={x∣ y =lg (x +1)},则 A ∪B = .14. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0,若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解,则实数 k 的取值范围是 .15. 设函数 f (x )={−4x 2,x <0x 2−x,x ≥0,若 f (a )=−14,则 a = ,若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根,则实数 b 的取值范围是 .16. 设函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0,则 f [f (0)]= ,若方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根,则实数 b 的取值范围是 .三、解答题(共6题)17. 如图,直角边长为 2 cm 的等腰直角三角形 ABC ,以 2 cm/s 的速度沿直线向右运动.(1) 求该三角形与矩形 CDEF 重合部分面积 y (cm 2)与时间 t 的函数关系(设 0≤t ≤3). (2) 求出 y 的最大值.(写出解题过程)18. 已知函数 f (x )=a x +k 的图象过点 (1,3),它的反函数的图象过点 (2,0).(1) 求函数 f (x ) 的解析式; (2) 求 f (x ) 的反函数.19. 已知函数 g (x )=log a x ,其中 a >1.(注:∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1=∣m (x 1)−m (x 0)∣+∣m (x 2)−m (x 1)∣+⋯+∣m (x n )−m (x n−1)∣) (1) 当 x ∈[0,1] 时,g (a x +2)>1 恒成立,求 a 的取值范围;(2) 设 m (x ) 是定义在 [s,t ] 上的函数,在 (s,t ) 内任取 n −1 个数 x 1,x 2,⋯,x n−2,x n−1,且 x 1<x 2<⋯<x n−2<x n−1,令 x 0=s ,x n =t ,如果存在一个常数 M >0,使得 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立,则称函数 m (x ) 在区间 [s,t ] 上具有性质 P . 试判断函数 f (x )=∣g (x )∣ 在区间 [1a ,a 2] 上是否具有性质 P ?若具有性质 P ,请求出 M的最小值;若不具有性质 P ,请说明理由.20. 已知函数 g (x )=ax 2−2ax +1+b (a ≠0,b <1),在区间 [2,3] 上有最大值 4,最小值 1,设f (x )=g (x )x.(1) 求常数 a ,b 的值;(2) 方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的解,求实数 k 的取值范围.21. 已知函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2.(1) 求实数 m ,n 的值;(2) 若不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立,求实数 k 的取值范围.22. 已知函数 f (x )=(12)ax,a 为常数,且函数的图象过点 (−1,2).(1) 求 a 的值;(2) 若 g (x )=4−x −2,且 g (x )=f (x ),求满足条件的 x 的值.答案一、选择题(共10题)1. 【答案】C【解析】观察函数f(x)=log12x,g(x)=(12)x和ℎ(x)=x−12在区间(0,+∞)上的图象(图略),由图可知:函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢.同样,函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢.函数ℎ(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢.【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】C【解析】由题意知甲两次付出为1000元和(1000×1110×910)元,两次收入为(1000×1110)元和(1000×1110×910×910)元,因为1000×1110+1000×1110×910×910−1000−1000×1110×910=1,所以甲盈利1元.【知识点】函数模型的综合应用3. 【答案】B【解析】因为0<a=0.32<0.30=1,b=log20.3<log21=0,c=20.3>20=1,所以b<a<c.【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质4. 【答案】B【解析】应用排除法.当m=√2时,画出y=(√2x−1)2与y=√x+√2的图象,由图可知,两函数的图象在[0,1]上无交点,排除C,D;当m=3时,画出y=(3x−1)2与y=√x+3的图象,由图可知,两函数的图象在[0,1]上恰有一个交点.【知识点】函数的零点分布5. 【答案】C【解析】因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根,所以y=f(x)与y=kx有2个交点,又因为k表示直线y=kx的斜率,x>1时,y=f(x)=lnx,所以yʹ=1x;设切点为(x0,y0),则k=1x0,所以切线方程为y−y0=1x0(x−x0),又切线过原点,所以y0=1,x0=e,k=1e,如图所示:结合图象,可得实数k的取值范围是[15,1e ).【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】C【解析】因为f(x)单调递增,所以f(0)f(1)=(1−2a)(2+a2−2a)<0,解得a>12.【知识点】零点的存在性定理7. 【答案】C【知识点】函数的零点分布8. 【答案】A【解析】当x∈[2,3]时,f(x)=−2x2+12x−18=−2(x−3)2,图象为开口向下,顶点为(3,0)的抛物线.因为函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,令g(x)=log a(∣x∣+1),因为f(x)≤0,所以g(x)≤0,可得0<a<1.要使函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,如图要求g(2)>f(2).log a(2+1)>f(2)=−2⇒log a3>−2,可得3<1a2⇒−√33<a<√33,a>0,所以 0<a <√33.【知识点】函数的零点分布9. 【答案】C【解析】把方程的解转化为函数 f (x )=log 3x +x −3 对应的零点.令 f (x )=log 3x +x −3,因为 f (2)=log 32−1<0,f (3)=1>0,所以 f (2)f (3)<0,且函数 f (x ) 在定义域内是增函数,所以函数 f (x ) 只有一个零点,且零点 x 0∈(2,3),即方程 log 3x +x =3 的解所在的区间为 (2,3). 故选C .【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】B【解析】(1)由 {1−x 2≥0,∣x ∣≠0且∣x ∣≠1, 得 −1<x <0 或 0<x <1,所以 f (x ) 的定义域为 (−1,0)∪(0,1),关于原点对称.又 f (x )=f (−x ),所以函数 f (x ) 是偶函数,图象关于 y 轴对称,排除A ; 当 0<x <1 时,lg ∣x ∣<0,f (x )<0,排除C ;当 x >0 且 x →0 时,f (x )→0,排除D ,只有B 项符合. 【知识点】对数函数及其性质、函数图象、函数的奇偶性二、填空题(共6题) 11. 【答案】 (−2√217,−38)∪{0}【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 14【解析】由题意得 Δ=(2m −1)2−4m 2=0,解得 m ≤14. 由根与系数的关系,得 x 1+x 2=−(2m −1),x 1x 2=m 2.由 x 12−x 22=0,得 (x 1+x 2)(x 1−x 2)=0. 若 x 1+x 2=0,即 −(2m −1)=0,解得 m =12. 因为 12>14,可知 m =12 不合题意,舍去;若 x 1−x 2=0,即 x 1=x 2,由 Δ=0,得 m =14.故当 x 12−x 22=0 时,m =14.【知识点】函数零点的概念与意义13. 【答案】 R【解析】由 3x <1,解得 x <0,即 A =(−∞,0). 由 x +1>0,解得 x >−1,即 B =(−1,+∞). 所以 A ∪B =R .【知识点】对数函数及其性质、交、并、补集运算14. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时,f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1, 当 0<x <1 时,f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ,当 x ≥1 时,f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3,设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣,则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1,f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点, 若 g (x ) 一个零点位于 (0,1),即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1),若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞),即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2),可知 g (x ) 在 (0,1),[1,+∞) 内不可能同时存在零点,即当 k ∈(−32,2) 时,g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点;当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时,g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点, ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时,(1)当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时,k =−2 或 k =−10, 此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点, 所以不满足 g (x ) 有两个零点;(2)当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,即 k <−10 或 k >−2 时, 只需 g (0)=−k −1<0,即 k >−1,所以当 k >−1 时,g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点, 因为 k ∈(−32,2) 时,g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点, 所以 k ∈(−1,2) 时,g (x ) 有且仅有 2 个零点;② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时,只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1],因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时,g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点, 所以 k ∈(−2,−32] 时,g (x ) 有且仅有 2 个零点, 综上所述:k ∈(−2,−32]∪(−1,2).【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 −14或 12; (−14,0)【解析】若 −4a 2=−14,解得 a =−14; 若 a 2−a =−14,解得 a =12,故 a =−14或12;当 x <0 时,f (x )<0;当 x >0 时,f (x )=(x −12)2−14,f (x ) 的最小值是 −14,若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根,则 b =f (x ) 有 3 个交点,故 b ∈(−14,0).【知识点】函数的零点分布、分段函数16. 【答案】 14; (14,12)【解析】函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0,则 f [f (0)]=f (e 0)=f (1)=14.x ≤0 时,f (x )≤1;x >0,f (x )=−x 2+x +14,对称轴为 x =12,开口向下;函数的最大值为 f (12)=12,x →0 时,f (0)→14.方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根,则实数 b 的取值范围是 (14,12).【知识点】函数的零点分布、分段函数三、解答题(共6题) 17. 【答案】(1) 依题意:当 0≤t ≤1 时,重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形, 此时:y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2),当 1<t <2 时,重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形, 此时:y =12×2×2=2(cm 2),当 2≤t ≤3 时,重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形, 去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形, 此时:y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6,综上:y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3.(2) 依题意:当 0≤t ≤1 时,重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形, 此时:y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2),当 1<t <2 时,重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形, 此时:y =12×2×2=2(cm 2),当 2≤t ≤3 时,重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形, 去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形, 此时:y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6, 综上:y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3.当 0≤t ≤1 时,y max =2×12=2,当 1<t <2 时,y max =2,当 2≤t ≤3 时,对称轴 t 0=2,则 t =2 时,y max =2,综上:y max =2.【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) f (x )=2x +1.(2) f −1(x )=log 2(x −1)(x >1).【知识点】反函数、指数函数及其性质19. 【答案】(1) 当 x ∈[0,1] 时,g (a x +2)>1 恒成立,即 x ∈[0,1] 时,log a (a x +2)>1 恒成立,因为 a >1,所以 a x +2>a 恒成立,即 a −2<a x 在区间 [0,1] 上恒成立,所以 a −2<1,即 a <3,所以 1<a <3,即 a 的取值范围是 (1,3).(2) 函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P .因为 f (x )=∣g (x )∣ 在 [1,a 2] 上单调递增,在 [1a ,1] 上单调递减,对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2,当存在某一个整数 k ∈{1,2,3,⋯,n −1},使得 x k =1 时,∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (1a )−f (1)]+[f (a 2)−f (1)]=1+2= 3. 当对于任意的 k ∈{1,2,3,…,n −1},x k ≠1 时,则存在一个实数 k 使得 x k <1<x k+1 时,∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (x 0)−f (x k )]+∣f (x k )−f (x k+1)∣+f (x n )−f (x k+1). ⋯⋯(∗)当 f (x k )>f (x k+1) 时,(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k+1)=3−2f (x k+1)<3,当 f (x k )<f (x k+1) 时,(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k )=3−2f (x k )<3,当 f (x k )=f (x k+1) 时,(∗)式=f (x n )+f (x 0)−f (x k )−f (x k+1)=3−f (x k )−f (x k+1)<3,综上,对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2,均有 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤3,所以存在常数 M ≥3,使 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立,所以函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ,此时 M 的最小值为 3.【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质、函数的最大(小)值、对数函数及其性质20. 【答案】(1) 因为 a ≠0,所以 g (x ) 的对称轴为 x =1,所以 g (x ) 在 [2,3] 上是单调函数,所以 {g (2)=1,g (3)=4 或 {g (2)=4,g (3)=1,解得 a =1,b =0 或 a =−1,b =3(舍). 所以 a =1,b =0.(2) f (x )=x 2−2x+1x =x +1x −2.令 ∣2x −1∣=t ,显然 t >0, 所以 t +1t −2+k (2t −3)=0 在 (0,1) 上有一解,在 [1,+∞) 上有一解.即 t 2−(2+3k )t +1+2k =0 的两根分别在 (0,1) 和 [1,+∞) 上.令 ℎ(t )=t 2−(2+3k )t +1+2k ,若 ℎ(1)=0,即 1−2−3k +1+2k =0,解得 k =0,则 ℎ(t )=t 2−2t +1=(t −1)2,与 ℎ(t ) 有两解矛盾.所以 {ℎ(0)>0,ℎ(1)<0,即 {1+2k >0,−k <0, 解得 k >0. 所以实数 k 的取值范围是 (0,+∞).【知识点】函数的最大(小)值、函数的零点分布21. 【答案】(1) 由函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2,可得 {1−3m +n =0,4−6m +n =0, 解得 {m =1,n =2.(2) 由(1)可得 f (x )=x 2−3x +2,由不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立,可得不等式 f (x )>k 在 x ∈[0,5] 上恒成立,可将 f (x )=x 2−3x +2 化为 f (x )=(x −32)2−14,所以 f (x )=x 2−3x +2 在 x ∈[0,5] 上的最小值为 f (32)=−14,所以 k <−14.【知识点】函数的最大(小)值、函数的零点分布22. 【答案】(1) 由已知得 (12)−a=2,解得 a =1.(2) 由(1)知 f (x )=(12)x,又 g (x )=f (x ),所以 4−x −2=(12)x,即 (14)x −(12)x−2=0,即 [(12)x ]2−(12)x−2=0,令 (12)x=t (t >0),则 t 2−t −2=0,所以 t =−1 或 t =2,又 t >0,所以 t =2,即 (12)x=2,解得 x =−1.【知识点】指数函数及其性质。

高一数学指数与指数函数试题答案及解析

高一数学指数与指数函数试题答案及解析

高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.函数的图像过一个定点,则定点的坐标是【答案】(2,2)【解析】当x=2时,f(2)=a2-2+1=a0+1=2,∴函数y=a x-2+1的图象一定经过定点(2,2).故答案为:(2,2).【考点】含有参数的函数过定点的问题.2.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于()A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】由数形结合可知,两函数图像在直线两侧各有4个交点,其两两关于对称。

不妨令。

则所有交点横坐标之和为。

故C正确。

【考点】1函数图像;2余弦函数的周期;3数形结合思想。

3.已知幂函数的图象过点,则.【答案】4【解析】因为为幂函数,所以设因为过点,所以本题易错点在将幂函数的定义写成指数函数的形式,即【考点】幂函数定义,指数的运算4.(1)计算.(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)利用对数恒等式、换底公式、对数的运算性质进行计算;(2)首先对已知等式进行平方求得的值,再对其平方可求得的值,最后代入所求式即可求得结果.试题解析:(1)原式=.(2)∵,∴,∴,∴,∴,∴原式.【考点】1、对数的运算性质;2、对数的换底公式;3、指数的运算性质.5.已知函数,则=.【答案】【解析】根据题题意:,,故.【考点】1.分段函数;2.指数、对数运算.6.三个数,,的大小顺序是 ( )A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,,,所以,故选C.【考点】1.指数函数的单调性;2.对数函数的单调性.7.计算的值为_________.【答案】2【解析】原式【考点】根式、指数、对数的运算8.三个数大小的顺序是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得,.,,,,故选A【考点】考察指数函数,和对数函数,分别与1和0的之对比.9.若实数,满足,则关于的函数的图象形状大致是()【答案】B【解析】由等式,可得,根据指数函数的图像可知(或者根据函数的奇偶性、单调性、特殊值来判断),正确答案为B.【考点】1.对数式与指数式的互化;2.指数函数图像、奇偶性、单调性.10.若a<0,>1,则( )A.a>1,b>0B.a>1,b<0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0【答案】D【解析】是上的增函数,由,所以是上的减函数, 由,所以故选D【考点】指数函数,对数函数的单调性.11.三个数的大小关系为()A.B.C.D.【答案】D【解析】判断几个数的大小多用构造函数单调性来解题.因为是上的减函数,所以因为是上的减函数,所以因为是上的增函数,所以故选D【考点】用指数函数与对数函数单调性比较大小,转化思想应用.12.若,则函数的图象一定过点_______________.【答案】【解析】由函数过定点,令,即时,恒等于-3,故函数图像过定点;故答案为:.【考点】指数函数的图像和性质.13.设,,,则的大小关系是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由对数函数的性质知:,所以答案选.【考点】1.指数大小比较;2.对数函数的性质.14.计算:(1);(2)【答案】(1)6;(2).【解析】(1)直接采用换底公式计算即可;(2)利用指数幂的运算性质逐个运算即可.试题解析:(1)原式=(2)原式=【考点】1.换底公式的应用;2.指数幂的化简求值.15.函数的图象一定过点()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意,由于函数,令x-1=0,x=1,可知函数值为2,故可知函数一定过点,选B.【考点】指数函数点评:本试题主要是考查了指数函数恒过(0,1)点的运用,属于基础题。

高一数学指数运算及指数函数试题(有答案)

高一数学指数运算及指数函数试题(有答案)

高一数学指数运算及指数函数试题一.选择题1.若xlog 23=1,则3x+9x的值为(B)A.3B.6C.2D.解:由题意x=,所以3x==2,所以9x=4,所以3x+9x=6故选B2.若非零实数a、b、c满足,则的值等于(B)A.1B.2C.3D.4解答:解:∵,∴设=m,a=log5m,b=log2m,c=2lgm,∴==2lgm(log m5+log m2)=2lgm•log m10=2.故选B.3.已知,则a等于()A.B.C. 2 D. 4解:因为所以解得a=4故选D4.若a>1,b>1,p=,则a p等于()A.1B.b C.l og b a D.a log b a解:由对数的换底公式可以得出p==log a(log b a),因此,a p等于log b a.故选C.5.已知lg2=a,10b=3,则log125可表示为(C)A.B.C.D.解:∵lg2=a,10b=3,∴lg3=b,∴log125===.故选C.6.若lgx﹣lgy=2a,则=(C)A.3a B.C.a D.解:∵lgx﹣lgy=2a,∴lg﹣lg=lg﹣lg=(lg﹣lg)=lg=(lgx﹣lgy)=•2a=a;故答案为C.7.已知函数,若实数a,b满足f(a)+f(b﹣2)=0,则a+b= A.﹣2 B.﹣1 C.0D.2解:f(x)+f(﹣x)=ln(x+)+ln(﹣x+=0∵f(a)+f(b﹣2)=0∴a+(b﹣2)=0∴a+b=2故选D.8.=()A.1B.C.﹣2 D.解:原式=+2×lg2+lg5=+lg2+lg5=+1=,故选B.9.设,则=()A.1B.2C.3D.4解:∵,∴==()+()+()==3故选C10.,则实数a的取值区间应为(C)A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)解:=log34+log37=log328∵3=log327<log328<log381=4∴实数a的取值区间应为(3,4)故选C.11.若lgx﹣lgy=a,则=(A)A.3a B.C.a D.解:=3(lgx﹣lg2)﹣3(lgy﹣lg2)=3(lgx﹣lgy)=3a故选A.12.设,则()A.0<P<1 B.1<P<2 C.2<P<3 D.3<P<4 解:=log112+log113+log114+log115=log11(2×3×4×5)=log11120.∴log1111=1<log11120<log11121=2.故选B.13.已知a,b,c均为正数,且都不等于1,若实数x,y,z满足,则abc的值等于(A)A.1B.2C.3D.4解:∵a,b,c均为正数,且都不等于1,实数x,y,z满足,∴设a x=b y=c z=k(k>0),则x=log a k,y=log b k,z=log c k,∴=log k a+log k b+log k c=log k abc=0,∴abc=1.故选A.14.化简a2•••的结果是(C)A.a B.C.a2D.a3解:∵a2•••=a2•••==a2,故选C15.若x,y∈R,且2x=18y=6xy,则x+y为()A.0B.1C.1或2 D.0或2解:因为2x=18y=6xy,(1)当x=y=0时,等式成立,则x+y=0;(2)当x、y≠0时,由2x=18y=6xy得,xlg2=ylg18=xylg6,由xlg2=xylg6,得y=lg2/lg6,由ylg18=xylg6,得x=lg18/lg6,则x+y=lg18/lg6+lg2/lg6=(lg18+lg2)/lg6=lg36/lg6=2lg6/lg6=2.综上所述,x+y=0,或x+y=2.故选D.16.若32x+9=10•3x,那么x2+1的值为(D)A.1B.2C.5D.1或5解:令3x=t,(t>0),原方程转化为:t2﹣10t+9=0,所以t=1或t=9,即3x=1或3x=9所以x=0或x=2,所以x2+1=1或5故选Dx x2A.﹣2<a<2 B.C.D.解;令t=2x,则t>0若二次函数f(t)=t2﹣at+a2﹣3在(0,+∞)上有2个不同的零点,即0=t2﹣at+a2﹣3在(0,+∞)上有2个不同的根∴解可得,即故选D18.若关于x的方程=3﹣2a有解,则a的范围是(A)A.≤a<B.a≥C.<a<D.a>解:∵1﹣≤1,函数y=2x在R上是增函数,∴0<≤21=2,故0<3﹣2a≤2,解得≤a<,故选A.二.填空题19.,则m=10.解:由已知,a=log2m,b=log5m.∴+=log m2+log m5=log m10=1∴m=10故答案为:10.20.已知x+y=12,xy=9,且x<y,则=.解:由题设0<x<y∵xy=9,∴∴x+y﹣2==12﹣6=6x+y+2==12+6=18∴=,=∴=故答案为:21.化简:=(或或).解:====.故答案为:(或或).22.=1.解:===1.故答案为:1.23.函数在区间[﹣1,2]上的值域是[,8].解:令g(x)=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,对称轴为x=1,∴g(x)在[﹣1,1]上单调减,在[1,8]上单调递增,又f(x)=2g(x)为符合函数,∴f(x)=2g(x)在[﹣1,1]上单调减,在[1,,2]上单调递增,∴f(x)min=f(1)==;又f(﹣1)==23=8,f(2)==1,∴数在区间[﹣1,2]上的值域是[,8].故答案为:[,8].24.函数的值域为(0,8].解:令t=x2+2|x|﹣3==结合二次函数的性质可得,t≥﹣3∴,且y>0故答案为:(0,8].25.函数(﹣3≤x≤1)的值域是[3﹣9,39],单调递增区间是(﹣2,+∞)..解:可以看做是由y=和t=﹣2x2﹣8x+1,两个函数符合而成,第一个函数是一个单调递减函数,要求原函数的值域,只要求出t=﹣2x2﹣8x+1,在[1,3]上的值域就可以,t∈[﹣9,9]此时y∈[3﹣9,39]函数的递增区间是(﹣∞,﹣2],故答案为:[3﹣9,39];(﹣2,+∞)三.解答题26.计算:(1);(2).解:(1)==(2)===2+2﹣lg3+lg2+lg3﹣lg2+2=627.(1)若,求的值;(2)化简(a>0,b>0).解:(1)∵,∴x+x﹣1=9﹣2=7,x2+x﹣2=49﹣2=47,∴==3×6=18,∴==.(2)∵a >0,b >0,∴====.28.已知函数f (x )=4x ﹣2x+1+3. (1)当f (x )=11时,求x 的值;(2)当x ∈[﹣2,1]时,求f (x )的最大值和最小值.解:(1)当f (x )=11,即4x ﹣2x+1+3=11时,(2x )2﹣2•2x ﹣8=0 ∴(2x ﹣4)(2x +2)=0 ∵2x >02x +2>2,∴2x ﹣4=0,2x =4,故x=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分) (2)f (x )=(2x )2﹣2•2x +3 (﹣2≤x ≤1) 令∴f (x )=(2x ﹣1)2+2当2x =1,即x=0时,函数的最小值f min (x )=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)当2x =2,即x=1时,函数的最大值f max (x )=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)29.已知函数||22)(x x x f -=. (1)若2)(=x f ,求x 的值;(2)若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立,求实数m 的取值范围。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(11)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(11)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷(共22题)一、选择题(共10题)1.设全集为R,函数f(x)=0√2−x的定义域为M,则∁RM=( )A.{x∣ x≥2}B.{x∣ x<2且x≠−1}C.{x∣ x≥2或x=−1}D.{x∣ x>2或x=−1}2.设α∈{−1,1,12,3},则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( ) A.1,3B.−1,1C.−1,3D.−1,1,33.若函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数,则实数b的取值范围是( )A.b≥0B.b≤0C.b>0D.b<04.如果函数f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[12,2]上单调递减,则mn的最大值为( )A.16B.18C.25D.8125.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数,且f(x)⋅f(f(x)+1x)=1,则f(1)等于( )A.1+√52B.1−√52C.1+√52或1−√52D.√56.定义在R上的函数f(x)满足:f(x−2)的对称轴为x=2,f(x+1)=4f(x)(f(x)≠0),且f(x)在区间(1,2)上单调递增,已知α,β是钝角三角形中的两锐角,则f(sinα)和f(cosβ)的大小关系是( )A.f(sinα)>f(cosβ)B.f(sinα)<f(cosβ)C.f(sinα)=f(cosβ)D.以上情况均有可能7.已知函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,下列说法一定正确的是( )A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.f(x)+1为奇函数D.f(x)+1为偶函数8.已知函数y=f(x)的定义域为[−6,1],则函数g(x)=f(2x+1)x+2的定义域是( ) A.(−∞,−2)∪(−2,3]B.[−11,3]C.[−72,−2]D.[−72,−2)∪(−2,0]9.已知R上的奇函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增,且f(−2)=0,则不等式f(x)≤0的解集为( )A.[−2,2]B.(−∞,−2]∪[0,2]C.(−∞,−2]∪[2,+∞)D.[−2,0]∪[2,+∞)10.已知函数f(x)=−x2+4x+a(x∈[0,1]),若f(x)有最小值−2,则f(x)的最大值为( )A.−1B.0C.1D.2二、填空题(共6题)11.在平面直角坐标系xOy中,对于点A(a,b),若函数y=f(x)满足:∀x∈[a−1,a+1],都有y∈[b−1,b+1],则称这个函数是点A的“界函数”.已知点B(m,n)在函数y=−12x2的图象上,若函数y=−12x2是点B的“界函数”,则m的取值范围是.12.已知f(x)=x3+3x,x∈R,且f(a−2)+f(a2)<0,则实数a的取值范围是.13.设函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0,g(x)=x2⋅f(x−1),则函数g(x)的递减区间是.14.若函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(x)的图象连续不间断,则函数f(x)的最值必在处取得.15.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,若f(a+1)≤f(4),则实数a的取值范围是.16.若函数y=a∣x−b∣+2在区间(0,+∞)上是增函数,则实数a,b满足的条件为.三、解答题(共6题)17.如图,用长为1的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形框架,若半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数式y=f(x),并写出它的定义域.18.中国茶文化博大精深.小明在茶艺选修课中了解到,不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别,达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温,小明联想到牛顿提岀的物体在常温环境下温度变化的冷却模型;如果物体的初始温度是θ1,环境温度是θ0,则经过时间t(单位:分)后物体温度θ将满足:θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt,其中k为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98∘C的水在19∘C室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示:从98∘C到90∘C所用时间1分58秒从98∘C到85∘C所用时间3分24秒从98∘C到80∘C所用时间4分57秒(参考数据:ln79=4.369,ln71=4.263,ln66=4.190,ln61=4.111,ln56=4.025)(1) 请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t(单位:分)关于冷却后水温θ(单位:∘C)的函数关系,并选取一组数据求出相应的k值.(精确到0.01)(2) “碧螺春”用75∘C左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮,口感最佳.在(1)的条件下,200ml水煮沸后在19∘C室温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡,请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上,并说明理由.A.5B.7C.1019.解答下列问题:(1) 函数的积的定义:一般地,已知两个函数y=f(x)(x∈D1),y=g(x)(x∈D2),设D=D1∩D2,并且D不是空集,那么当x∈D时,y=f(x)与y=g(x)都有意义.于是把函数叫做函数y=f(x)与y=g(x)的积.(2) 如何研究和函数与积函数.20.函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式.21.对于函数y=f(x)与常数a,b,若f(2x)=af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”,设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(1)=3.(1) 若(a,b)是f(x)的一个“P数对”,且f(2)=6,f(4)=9,求常数a,b的值;(2) 若(1,1)是f(x)的一个“P数对”,且f(x)在[1,2]上单调递增,求函数f(x)在[1,8]上的最大值与最小值;(3) 若(−2,0)是f(x)的一个“P数对”,且当x∈[1,2)时,f(x)=k−∣2x−3∣,求k的值及f(x)在区间[1,2n)(n∈N+)上的最大值与最小值.22.某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x元时,销售量可达到(15−0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价格.问:(1) 每套丛书售价定为100元时,书商所获得的总利润是多少万元?(2) 每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大?答案一、选择题(共10题)1. 【答案】C【解析】由题意得{x+1≠0,2−x>0,解得x<2且x≠−1,所以M={x∣ x<2且x≠−1},故∁RM={x∣ x≥2或x=−1}.【知识点】函数的定义域的概念与求法2. 【答案】A【解析】当α=−1,1,3时幂函数为奇函数,当α=−1时定义域不是R,所以α=1,3.【知识点】幂函数及其性质3. 【答案】A【解析】因为y在[0,+∞)上为单调函数,所以x=−b2≤0,即b≥0.【知识点】函数的单调性4. 【答案】B【解析】m≠2时,抛物线的对称轴为x=−n−8m−2.据题意,当m>2时,−n−8m−2≥2即2m+n≤12.因为√2m⋅n≤2m+n2≤6,所以mn≤18.由2m=n且2m+n=12得m=3,n=6.当m<2时,抛物线开口向下,据题意得,−n−8m−2≤12即m+2n≤18.因为√2n⋅m≤2n+m2≤9,所以mn≤812.由2n=m且m+2n=18得m=9>2,故应舍去.要使得mn取得最大值,应有m+2n=18(m<2,n>8).所以mn=(18−2n)n<(18−2×8)×8=16,所以最大值为18.【知识点】函数的单调性、函数的最大(小)值5. 【答案】B【解析】令x=1,得f(1)f(f(1)+1)=1,令t=f(1),则tf(t+1)=1,所以 f (t +1)=1t .令 x =t +1,则 f (t +1)f (f (t +1)+1t+1)=1t ⋅f (1t +1t+1)=1, 所以 f (1t +1t+1)=t =f (1).因为函数 f (x ) 为定义在 (0,+∞) 上的增函数, 所以 1t +1t+1=1,变形可得 t 2−t −1=0, 解得 t =1+√52或 t =1−√52.所以 f (1)=1+√52或 f (1)=1−√52.令 x =2,得 f (2)f (f (2)+12)=1, 令 s =f (2),则 sf (s +12)=1, 所以 f (s +12)=1s , 令 x =s +12,则 f (s +12)⋅f (f (s +12)+1s+12)=1sf (1s+22s+1)=1,则 f (1s +22s+1)=s =f (2). 所以 1s +22s+1=2,所以 4s 2−2s −1=0, 解得 s =1−√54或 s =1+√54,所以 f (2)=1−√54或 f (2)=1+√54.因为 f (1)<f (2), 所以 f (1)=1−√52.【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性6. 【答案】A【知识点】抽象函数、函数的单调性7. 【答案】C【解析】方法一:对任意的x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,取x1=x2=0得f(0)=−1,取x1=x,x2=−x得,f(0)=f(x)+f(−x)+1,所以f(x)+1=−f(−x)=−[f(−x)+1],所以f(x)+1为奇函数.方法二:由已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,设x1=x2=0,则f(0)=2f(0)+1,解得:f(0)=−1,又设x1=x,x2=−x,则x1+x2=x−x=0,所以f(0)=f(x)+f(−x)+1,所以f(x)+f(−x)+1+1=0,所以[f(x)+1]+[f(−x)+1]=0,由奇函数定义可知,f(x)+1为奇函数.【知识点】抽象函数、函数的奇偶性8. 【答案】D【解析】因为f(x)的定义域为[−6,1],所以−6≤x≤1,,因为g(x)=f(2x+1)x+2所以−6≤2x+1≤1且x≠−2,≤x≤0且x≠−2,所以−72,−2)∪(−2,0].所以x∈[−72【知识点】函数的定义域的概念与求法9. 【答案】B【解析】因为函数在(−∞,0)上单调递增,且f(−2)=0,所以当x∈(−∞,−2]时,f(x)≤0;当x∈(−2,0)时,f(x)>0.又函数是奇函数,奇函数的图象关于原点对称,f(0)=0,且f(2)=0,所以当x∈(0,2]时,f(x)≤0;当x∈(2,+∞)时,f(x)>0.所以f(x)≤0的解集是(−∞,−2]∪[0,2].故选B.【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性10. 【答案】C【解析】函数f(x)=−x2+4x+a的图象开口向下,对称轴为直线x=2,于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,从而f(0)=−2,即a=−2,于是最大值为f(1)=−1+4−2=1.【知识点】函数的最大(小)值二、填空题(共6题)11. 【答案】[−12,1 2 ]【解析】B(m,n)在y=−12x2上,所以n=−12m2,所以∀x∈[m−1,m+1],都有y∈[−12m2−1,12m2+1],即都有y max≤12m2+1,y min≥12m2−1,所以下面讨论13x∈[m−1,m+1]时,y的最值,① m≤−1时,m+1≤0,所以单调减,所以y max=−12(m+1)2,y min=−12(m−1)2,所以{−12(m+1)2≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,无解.② −1<m≤0时,0<m+1≤1,−2<m−1≤−1,所以y max=0,y min=−12(m−1)2(取不到),所以{0≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,所以−12≤m≤0.③ 0<m≤1时,1<m+1≤2,−1<m−1≤0,所以y max=0,y min=−12(m+1)2,所以 {0≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,所以 0<m ≤12.④ m >1 时,m −1>0,所以 y max =−12(m −1)2 (取不到),y min =−12(m +1)2,所以 {−12(m −1)2≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,无解.综上:−12≤m ≤12.【知识点】函数的最大(小)值12. 【答案】 (−2,1)【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性13. 【答案】 [0,1)【解析】由题意知 g (x )={x 2,x >10,x =1−x 2,x <1,函数图象如图所示,其递减区间是 [0,1).【知识点】函数的单调性14. 【答案】端点【知识点】函数的最大(小)值15. 【答案】 [−5,3]【解析】函数 y =f (x ) 是定义在 R 上的偶函数,且在 [0,+∞) 上是增函数, 可得 f (x )=f (∣x ∣),则f(a+1)≤f(4),即为f(∣a+1∣)≤f(4),可得∣a+1∣≤4,即−4≤a+1≤4,解得−5≤a≤3,则实数a的取值范围是[−5,3].【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性16. 【答案】a>0,b≤0【知识点】函数的单调性三、解答题(共6题)17. 【答案】AB=2x,CD⏜=πx,于是AD=1−2x−πx2,因此y=2x⋅1−2x−πx2+πx22,即y=−π+42x2+x,由{2x>0,1−2x−πx2>0,得0<x<1π+2,函数的定义域为(0,1π+2)【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的模型及其实际应用18. 【答案】(1) 由θ−θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt得e−kt=θ−θ0θ1−θ0,即−kt=lnθ−θ0θ1−θ0,t=1klnθ1−θ0θ−θ0,在环境温度为θ0=19∘C,选取从θ=98∘C下降到θ=90∘C所用时间约为2分钟这组数据有2=1k ln7971,即k=ln79−ln712≈0.05;选取从θ=98∘C降到θ=85∘C期时间的为3.4分钟这组数据有3.4=1k ln7966,即k=ln79−ln663.4≈0.05;选取从们θ=98∘C得到θ=80∘C所期时的为5分钟这组数据有5=1k ln7961,即k=ln79−ln615≈0.05;故 k ≈0.05.(2) B200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟左右冲泡口感最佳,故选B .理由如下:由(1)得 t =20ln 79θ−79,当 θ=75∘C 时,有 t =20×(ln79−ln56)≈6.88.所以 200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟冲泡“碧螺春”口感最佳.【知识点】函数模型的综合应用19. 【答案】(1) y =f (x )⋅g (x )(x ∈D )(2) 首先要确定和函数与积函数的定义域,然后化简整理和(积)函数的解析式,结合解析式研究函数的性质.【知识点】函数的相关概念20. 【答案】根据幂函数的定义得 m 2−m −1=1,解得 m =2 或 m =−1.当 m =2 时,f (x )=x 3 在 (0,+∞) 上是增函数;当 m =−1 时,f (x )=x −3 在 (0,+∞) 上是减函数,不符合要求.故 f (x )=x 3.【知识点】幂函数及其性质21. 【答案】(1) 由题意知 {af (1)+b =f (2),af (2)+b =f (4).即 {3a +b =6,6a +b =9.解得 {a =1,b =3.(2) 因为 (1,1) 是 f (x ) 的一个“P 数对”,所以 f (2x )=f (x )+1,所以 f (2)=f (1)+1=4,f (4)=f (2)+1=5,f (8)=f (4)+1=6.因为 f (x ) 在 [1,2] 上单调递增,所以当 x ∈[1,2] 时,f (x )max =f (2)=4,f (x )min =f (1)=3,所以当 x ∈[1,2] 时,3≤f (x )≤4;当 x ∈[2,4] 时,x 2∈[1,2],3≤f (x 2)≤4,所以 4≤f (x )=f (x 2)+1≤5;当 x ∈[4,8] 时,x 2∈[2,4],4≤f (x 2)≤5, 所以 5≤f (x )=f (x 2)+1≤6.综上,当 x ∈[1,8] 时,3≤f (x )≤6.故 f (x ) 在 [1,8] 上的最大值为 6,最小值为 3.(3) 当 x ∈[1,2) 时,f (x )=k−∣2x −3∣,令 x =1,可得 f (1)=k −1=3,解得 k =4, 所以 x ∈[1,2) 时,f (x )=4−∣2x −3∣,故 f (x ) 在 [1,2) 上的取值范围是 [3,4].又 (−2,0) 是 f (x ) 的一个“P 数对”,所以 f (2x )=−2f (x ) 恒成立,当 x ∈[2k−1,2k )(k ∈N +) 时,x 2k−1∈[1,2),f (x )=−2f (x 2)=4f (x 4)=⋯=(−2)k−1⋅f (x 2k−1),故 k 为奇数时,f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [3×2k−1,2k+1];当 k 为偶数时,f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [−2k+1,−3×2k−1].所以当 n =1 时,f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 4,最小值为 3;当 n 为不小于 3 的奇数时,f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n+1,最小值为 −2n ;当 n 为不小于 2 的偶数时,f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n ,最小值为 −2n+1.【知识点】函数的最大(小)值、抽象函数22. 【答案】(1) 每套丛书售价定为 100 元时,销售量为 15−0.1×100=5 (万套),所以每套丛书的供货价格为 30+105=32 (元),故书商所获得的总利润为 5×(100−32)=340 (万元).(2) 每套丛书售价定为 x 元时,由 {15−0.1x >0,x >0,得 0<x <150 . 设单套丛书的利润为 P 元,则 P =x −(30+1015−0.1x )=x −100150−x −30,因为 0<x <150,所以 150−x >0,所以 P =−[(150−x )+100150−x ]+120, 又 (150−x )+100150−x ≥2√(150−x )⋅100150−x =2×10=20, 当且仅当 150−x =100150−x ,即 x =140 时等号成立,所以 P max =−20+120=100 .故每套丛书售价定为 140 元时,单套丛书的利润最大,为 100 元.【知识点】函数的模型及其实际应用、函数的最大(小)值、均值不等式的应用。

高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题及解析

高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题及解析

高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题(满分:150分;考试时间:100分钟)一、选择题(本大题共10小题. 每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个项是符合题目要求的) 1.指数函数y=a x 的图像经过点(2,16)则a 的值是 ( )A .41 B .21C .2D .4 2.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果 ( )A .a 6B .a -C .a 9-D .29a3.在区间),0(+∞上不是增函数的是 ( )A.2x y =B.x y log 2=C.xy 2= D.122++=x x y 4.式子82log 9log 3的值为 ( ) A .23 B .32C .2D .3 5.已知0ab >,下面四个等式中:①lg()lg lg ab a b =+; ②lg lg lg a a b b=-;③b ab a lg )lg(212= ;④1lg()log 10ab ab =.其中正确命题的个数为 ( )A .0B .1C .2D .36.已知2log 0.3a =,0.32b =,0.20.3c =,则c b a ,,三者的大小关系是( ) A .a c b >> B .c a b >> C .c b a >> D .a b c >> 7.已知函数)(x f y =的反函数)21(log )(211-=-x x f,则方程1)(=x f 的解集是( )A .{1}B .{2}C .{3}D .{4} 8.图中曲线分别表示l g a y o x =,l g b y o x =,l g c y o x =, l g d y o x =的图象,,,,a b c d 的关系是( )A. 0<a <b <1<d<cB. 0<b<a <1<c<dC. 0<d<c<1<a<bD. 0<c<d <1<a<bx9.函数y= | lg (x-1)| 的图象是 ( )10.给出幂函数①f (x )=x ;②f (x )=x 2;③f (x )=x 3;④f (x )=x ;⑤f (x )=1x .其中满足条件f 12()2x x + >12()()2f x f x + (x 1>x 2>0)的函数的个数是 ( )A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题(.每小题5分,共20分) 11.函数21()log (2)f x x =-的定义域是 .12.当a >0且a ≠1时,函数f (x )=a x -2-3必过定点 .13.函数)x 2x (log y 221-=的单调递减区间是_________________.14.关于函数21()lg (0,R)||x f x x x x +=≠∈有下列命题:①函数()y f x =的图象关于y 轴对称;②在区 间(,0)-∞上,函数()y f x =是减函数;③函数()y f x =的最小值为lg 2;④在区间(1,)+∞上,函 数()y f x =是增函数.其中正确命题序号为_______________. 三、解答题(6小题,共80分)15.(本小题满分12分)4160.2503432162322428200549-⨯+--⨯--()()()()16. (本小题满分12分)设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩,求满足()f x =41的x 的值.C17.(本小题满分14分)已知()2xf x =,()g x 是一次函数,并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上,点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上,求()g x 的解析式.18.(本小题满分14分)若0≤x ≤2,求函数y=523421+⨯--x x 的最大值和最小值.19.(本小题满分14分)光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为x 块玻璃后强度为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式;(2)通过多少块玻璃后,光线强度减弱到原来的13以下? ( lg30.4771)≈20.(本小题满分14分)已知定义域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数.(1)求b 的值;(2)判断函数()f x 的单调性;(3)若对任意的R t ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围.高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题参考答案及解析一、选择题1.D 解析:由a 2=16且a >0得a =42.C 解析:原式a ab ba9990653121612132-=-=-=-+-+3.C 解析:根据反比例函数的性质4.A 解析:因log 89=22232log 32log 3log 23=,故原式=23 5.B 解析:ab >0,故a 、b 同号;当a 、b 同小于0时,①②不成立;当ab =1时,④不成立,故只有③对。

高一数学必修 指数函数试题及答案

高一数学必修 指数函数试题及答案

高一数学必修1指数函数试题及答案1.已知集合M={-1,1},N=x12<2x+1<4,x∈Z,则M∩N等于( ) A.{-1,1} B.{-1}C.{0} D.{-1,0}【解析】因为N={x|2-1<2x+1<22,x∈Z},又函数y=2x在R上为增函数,∴N={x|-1<x+1<2,x∈Z}={x|-2<x<1,x∈Z}={-1,0}.∴M∩N={-1,1}∩{-1,0}={-1}.故选B.【答案】 B2.设14<14b<14a<1,那么( )A.aa<ab<ba B.aa<ba<abC.ab<aa<ba D.ab<ba<aa【解析】由已知及函数y=14x是R上的减函数,得0<a<b<1.由y=ax(0<a<1)的单调性及a<b,得ab<aa.由0<a<b<1知0<ab<1.∵aba<ab0=1.∴aa<ba.故选C.也可采用特殊值法,如取a=13,b=12.【答案】 C3.已知函数f(x)=a-12x+1,若f(x)为奇函数,则a=________. 【解析】解法1:∵f(x)的定义域为R,又∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,即a-120+1=0.∴a=12.解法2:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即a-12-x+1=12x+1-a,解得a=12.【答案】124.函数y=2-x2+ax-1在区间(-∞,3)内递增,求a的取值范围.【解析】对u=-x2+ax-1=-x-a22+a24-1,增区间为-∞,a2,∴y的增区间为-∞,a2,由题意知3≤a2,∴a≥6.∴a的取值范围是a≥6.一、选择题(每小题5分,共20分)1.设y1=40.9,y2=80.48,y3=(12)-1.5,则( )A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2【解析】y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=(12)-1.5=21.5,∵y=2x在定义域内为增函数,且1.8>1.5>1.44,∴y1>y3>y2.【答案】 D2.若142a+1<143-2a,则实数a的取值范围是( )A.12,+∞B.1,+∞C.(-∞,1) D.-∞,12【解析】函数y=14x在R上为减函数,∴2a+1>3-2a,∴a>12.故选A.【答案】 A3.设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有( )A.f(13)<f(32)<f(23)B.f(23)<f(32)<f(13)C.f(23)<f(13)<f(32)D.f(32)<f(23)<f(13)【解析】因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(13)=f(53),f(23)=f(43),因为函数f(x)=3x-1在[1,+∞)上是增函数,所以f(53)>f(32)>f(43),即f(23)<f(32)<f(13).故选B.【答案】 B4.如果函数f(x)=(1-2a)x在实数集R上是减函数,那么实数a的取值范围是( ) A.(0,12) B.(12,+∞)C.(-∞,12) D.(-12,12)【解析】根据指数函数的概念及性质求解.由已知得,实数a应满足1-2a>01-2a<1,解得a<12a>0,即a∈(0,12).故选A.【答案】 A二、填空题(每小题5分,共10分)5.设a>0,f(x)=exa+aex(e>1),是R上的偶函数,则a=________.【解析】依题意,对一切x∈R,都有f(x)=f(-x),∴exa+aex=1aex+aex,∴(a-1a)(ex-1ex)=0.∴a-1a=0,即a2=1.又a>0,∴a=1.【答案】 16.下列空格中填“>、<或=”.(1)1.52.5________1.53.2,(2)0.5-1.2________0.5-1.5.【解析】(1)考察指数函数y=1.5x.因为1.5>1,所以y=1.5x在R上是单调增函数.又因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.(2)考察指数函数y=0.5x.因为0<0.5<1,所以y=0.5x在R上是单调减函数.又因为-1.2>-1.5,所以0.5-1.2<0.5-1.5.【答案】<,<三、解答题(每小题10分,共20分)7.根据下列条件确定实数x的取值范围:a<1a1-2x(a>0且a≠1).【解析】原不等式可以化为a2x-1>a12,因为函数y=ax(a>0且a≠1)当底数a大于1时在R上是增函数;当底数a大于0小于1时在R上是减函数,所以当a>1时,由2x-1>12,解得x>34;当0<a<1时,由2x-1<12,解得x<34.综上可知:当a>1时,x>34;当0<a<1时,x<34.8.已知a>0且a≠1,讨论f(x)=a-x2+3x+2的单调性.【解析】设u=-x2+3x+2=-x-322+174,则当x≥32时,u是减函数,当x≤32时,u是增函数.又当a>1时,y=au是增函数,当0<a<1时,y=au是减函数,所以当a>1时,原函数f(x)=a-x2+3x+2在32,+∞上是减函数,在-∞,32上是增函数.当0<a<1时,原函数f(x)=a-x2+3x+2在32,+∞上是增函数,在-∞,32上是减函数.9.(10分)已知函数f(x)=3x+3-x.(1)判断函数的奇偶性;(2)求函数的单调增区间,并证明.【解析】(1)f(-x)=3-x+3-(-x)=3-x+3x=f(x)且x∈R,∴函数f(x)=3x+3-x是偶函数.(2)由(1)知,函数的单调区间为(-∞,0]及[0,+∞),且[0,+∞)是单调增区间.现证明如下:设0≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=3x1+3-x1-3x2-2-x2=3x1-3x2+13x1-13x2=3x1-3x2+3x2-3x13x13x2=(3x2-3x1)?1-3x1+x23x1+x2.∵0≤x1<x2,∴3x2>3x1,3x1+x2>1,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函数在[0,+∞)上单调递增,即函数的单调增区间为[0,+∞).。

人教版高中数学必修一第四单元(指数函数)知识点测试卷

人教版高中数学必修一第四单元(指数函数)知识点测试卷
(Ⅲ)求证:f(x)>0.
知识点:指数类型函数的值域
题型:解答题
难易程度:较难
解析:(Ⅰ)由2x-1≠0,得x≠0,∴函数的定义域为{x|x≠0,x∈R}.…………………2分
(Ⅱ)在定义域内任取x,则-x在定义域内,
f(-x)=( + )(-x)=( + )(-x)= =
= = = = ,……………4分
第四单元测试卷(指数函数)
(时间90分钟,满分100分)
1、选择题:共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 等于
A. B. C. D.
知识点:根指数运算
题型:选择题
难易程度:容易
答案:C
解析:原式= .
2.函数 在R上是减函数,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
题型:填空题
难易程度:较难
答案:1
解析:如图满足条件的区间[a,b],当a=-1,b=0或a=0,
b=1时区间长度最小,最小值为1,当a=-1,b=1时区间
长度最大,最大值为2,故其差为1.
三、解答题:本大题共4小题,共10分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
13.(本小题满分10分)
(Ⅰ)计算:
知识点:指数函数单调性
题型:选择题
难易程度:容易
答案:D
解析:根据指数函数单调性可知 即 .
3.若 ,且 ,则 的值等于
A. B. C. D.2
知识点:指数运算
题型:选择题
难易程度:中档
答案:C
解析:
.
4.函数y= 的值域是
A. B.
C. D.
知识点:根指数运算
题型:选择题

高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第四章 指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名:___________考号:___________一、单选题1.某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠,超市规定:①如一次性购物不超过200元不予以折扣;②如一次性购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;③如一次性购物超过500元的,其中500元给予9折优惠,超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款( )A .608元B .591.1元C .582.6元D .456.8元2.德国天文学家,数学家开普勒(J. Kepier ,1571—1630)发现了八大行星的运动规律:它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比.已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍,土星的公转时间约为10753d .则天王星的公转时间约为( )A .4329dB .30323dC .60150dD .90670d3.函数()f x = )A .()1,0-B .(),1-∞-和()0,1C .()0,1D .(),1-∞-和()0,∞+4.将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售价a (元/个)的取值范围应是( )A .90100a <<B .90110a <<C .100110a <<D .80100a <<5.某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加,其中2018年的年增长率为p ,2019年的年增长率为q ,则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为( )A .2p q +;B .()()1112p q ++-;C ;D 1.6.某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准,需要加入某种药剂,加入该药剂后,药剂的浓度C (单位:3mg/m )随时间t (单位:h )的变化关系可近似的用函数()()()210010419t C t t t t +=>++刻画.由此可以判断,若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值,需经过( )A .3hB .4hC .5hD .6h7.某同学参加研究性学习活动,得到如下实验数据:以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是( )A .129y x =+B .245y x x =-+C .112410x y =⨯- D .3log 1y x =+ 8.某种植物生命力旺盛,生长蔓延的速度越来越快,经研究,该一定量的植物在一定环境中经过1个月,其覆盖面积为6平方米,经过3个月,其覆盖面积为13.5平方米,该植物覆盖面积y (单位:平方米)与经过时间x (x ∈N )(单位:月)的关系有三种函数模型x y pa =(0p >,1a >)、log a y m x =(0m >,1a >)和y nx α=(0n >,01α<<)可供选择,则下列说法正确的是( )A .应选x y pa =(0p >,1a >)B .应选log a y m x =(0m >,1a >)C .应选y nx α=(0n >,01α<<)D .三种函数模型都可以9.已知函数()21,1,8, 1.x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()8f x =,则x =( ) A .3-或1 B .3- C .1 D .310.函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为( ) A . B .C .D .二、填空题11.2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕.研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新.香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据,它表示在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ,信道内部的高斯噪声功率N 的大小,其中S N 叫作信噪比.若不改变信道带宽W ,而将信噪比S N从11提升至499,则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍(结果保留1位小数).(参考数据:2log 3 1.58≈和2log 5 2.32≈)12.已测得(,)x y 的两组值为(1,2)和(2,5),现有两个拟合模型,甲21y x =+,乙31y x =-.若又测得(,)x y 的一组对应值为(3,10.2),则选用________作为拟合模型较好.13.半径为1的半圆中,作如图所示的等腰梯形ABCD ,设梯形的上底2BC x =,则梯形ABCD 的最长周长为_________.三、解答题14.如图,某中学准备在校园里利用院墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD ,已知院墙MN 长为25米,篱笆长50米(篱笆全部用完),设篱笆的一面AB 的长为x 米.(1)当AB 的长为多少米时,矩形花园的面积为300平方米?(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米,当 x 为何值时, S 有最大值,最大值是多少?15.以贯彻“节能减排,绿色生态”为目的,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(提示:平均处理成本为y x) (2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元? 16.如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系O xyz -,点P 在线段AB 上,点Q 在线段DC 上.(1)当2PB AP =,且点P 关于y 轴的对称点为M 时,求PM ;(2)当点P 是面对角线AB 的中点,点Q 在面对角线DC 上运动时,探究PQ 的最小值.17.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品.以X (单位: t ,100150)X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T 表示为X 的函数;(2)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量[100X ∈,110),则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T 的分布列.18.为发展空间互联网,抢占6G 技术制高点,某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解,该企业研发部原有100人,年人均投入()0a a >万元,现把研发部人员分成两类:技术人员和研发人员,其中技术人员有x 名(*x ∈N 且4575x ≤≤),调整后研发人员的年人均投入增加4x %,技术人员的年人均投入调整为275x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入,则调整后的技术人员最多有多少人?(2)是否存在实数m 同时满足两个条件:①技术人员的年人均投入始终不减少;②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.19.某公司今年年初用81万元收购了一个项目,若该公司从第1年到第x (N x +∈且1x >)年花在该项目的其他费用(不包括收购费用)为()20x x +万元,该项目每年运行的总收入为50万元.(1)试问该项目运行到第几年开始盈利?(2)该项目运行若干年后,公司提出了两种方案:①当盈利总额最大时,以56万元的价格卖出;②当年平均盈利最大时,以92万元的价格卖出.假如要在这两种方案中选择一种,你会选择哪一种?请说明理由.20.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P (单位:毫克/升)与过滤时间t (单位:小时)之间的函数关系为0ekt P P -=⋅(k 为常数,0P 为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,那么要能够按规定排放废气,还需要过滤n 小时,求正整数n 的最小值.21.某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元,除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x (0200x <,N x ∈)台,若年产量不足70台,则每台设备的额外成本为11402y x =+万元;若年产量大于等于70台不超过200台,则每台设备的额外成本为2264002080101y x x =+-万元.每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (台)的关系式;(2)当年产量为多少台时,年利润最大,最大值为多少?22.为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律,某旅游风景区以“绿水青山”为主题,特别制作了旅游纪念章,决定近期投放市场,根据市场调研情况,预计每枚该纪念章的市场价y (单位:元)与上市时间x (单位:天)的数据如下表:(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由:①(0)y ax b a =+≠,②()20y ax bx c a =++≠,③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠,④(0)a y b a x=+≠; (2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价;(3)利用你选取的函数,若存在()10,x ∈+∞,使得不等式()010f x k x -≤-成立,求实数k 的取值范围.四、多选题23.函数()()22x x af x a R =+∈的图象可能为( )A .B .C .D .五、双空题24.某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.25.已知长为4,宽为3的矩形,若长增加x ,宽减少2x ,则面积最大,此时x =__________,面积S =__________.参考答案与解析1.【答案】B【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价,再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款441元,实际标价为10441=4909元 如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5000.9+1660.85=591.1元.故选:B.2.【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T ',距离太阳的平均距离为r 和r ',根据2323T r T r =''2r r '= 结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ,距离太阳的平均距离为r土星的公转时间为T ',距离太阳的平均距离为r '由题意知2r r '= 10753T d '= 所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=故选:B.3.【答案】B【分析】分别讨论0x ≥和0x <,利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x ≥时()f x 210x -+≥解得11x -≤≤,又21y x =-+为开口向下的抛物线,对称轴为0x =,此时在区间()0,1单调递减当0x <时()f x == ()21y x =+为开口向上的抛物线,对称轴为1x =-,此时在(),1-∞-单调递减综上所述:函数()f x =(),1-∞-和()0,1.故选:B.4.【答案】A【分析】首先设每个涨价x 元,涨价后的利润与原利润之差为y 元,结合条件列式,根据0y >,求x 的取值范围,即可得到a 的取值范围.【详解】设每个涨价x 元,涨价后的利润与原利润之差为y 元则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加,则必须使0y >,即2100x x -<,得010,9090100x x <<∴<+<,所以a 的取值为90100a <<.故选:A5.【答案】D【分析】设出平均增长率,并根据题意列出方程,进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ,则由题意得:()()()2111x p q +=++解得11x =,21x =因为20x <不合题意,舍去 故选D .6.【答案】A【分析】利用基本不等式求最值可得.【详解】依题意,0t >,所以11t +>所以()()()()()()221001100110010010164191012116121t t C t t t t t t t ++===≤==++++++++++ 当且仅当1611t t +=+,即t =3时等号成立,故由此可判断,若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值,需经过3h .故选:A .7.【答案】D 【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.【详解】根据表格所给数据可知,函数的增长速度越来越慢A 选项,函数129y x =+增长速度不变,不符合题意. BC 选项,当3x ≥时,函数245y x x =-+、112410x y =⨯-增长越来越快,不符合题意. D 选项,当3x ≥时,函数3log 1y x =+的增长速度越来越慢,符合题意.故选:D8.【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快,而x y pa =(0p >,1a >)的增长速度越来越快 log a y m x =(0m >,1a >)和y nx α=(0n >,01α<<)的增长速度越来越慢故应选择x y pa =(0p >,1a >).故选:A.9.【答案】B【分析】根据分段函数的解析式,分段求解即可.【详解】根据题意得x ≤1x2−1=8或188x x >⎧⎨=⎩ 解得3,x =-故选:B10.【答案】B【分析】结合图象,先判断奇偶性,然后根据x 趋近0时判断排除得选项.【详解】解:()e 1sin 2e 1x x f x x +=⋅-的定义域为()(),00,∞-+∞()()()e 1e 1sin 2sin 2e 1e 1x x x xf x x x f x --++-=⋅-=⋅=⎡⎤⎣⎦-- ()f x ∴是偶函数,排除A ,C . 又0x >且无限接近0时,101x x e e +>-且sin 20x >,∴此时()0f x >,排除D故选:B .11.【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为1C ,提升后最大信息传递速率为2C ,根据题意求出21C C ,再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为1C ,提升后最大信息传递速率为2C ,则由题意可知()122log 111log 12C W W =+= ()222log 1499log 500C W W =+= 所以()()232322222222122222log 25log 500log 2log 523log 523 2.328.96 2.5log 12log 2log 32log 32 1.58 3.58log 23C W C W ⨯+++⨯====≈=≈+++⨯所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍.故答案为:2.512.【答案】甲【分析】将3x =分别代入甲乙两个拟合模型计算,即可判断.【详解】对于甲:3x =时23110y =+=,对于乙:3x =时8y =因此用甲作为拟合模型较好.故答案为:甲13.【答案】5【分析】计算得出AB CD ==ABCD 的周长为y,可得出22y x =++()0,1t,可得出224y t =-++,利用二次函数的相关知识可求得y 的最大值.【详解】过点B 、C 分别作BE AD ⊥、CF AD ⊥垂足分别为E 、F则//BE CF ,//BC EF 且90BEF ∠=,所以,四边形BCFE 为矩形所以2EF BC x ==AB CD =,BAE CDF ∠=∠和90AEB DFC ∠=∠= 所以,Rt ABE Rt DCF ≅所以12AD EF AE DF x -===-,则OF OD DF x =-= CF =AB CD ∴===设梯形ABCD 的周长为y ,则2222y x x =++=++其中01x <<令()0,1t =,则21x t =-所以()2222212425y t t t ⎛=+-+=-++=-+ ⎝⎭所以,当t =y 取最大值,即max 5y =. 故答案为:5.【点睛】思路点睛:解函数应用题的一般程序:第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型;第三步:求模——求解数学模型,得到数学结论;第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义;第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.14.【答案】(1)15米;(2)当 x 为12.5米时, S 有最大值,最大值是312.5平方米.【分析】(1)设篱笆的一面AB 的长为 x 米,则(502)m BC x =-,根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程,求解即可;(2)根据题意,可得(502)S x x =-,根据二次函数最值的求法求解即可.(1)设篱笆的一面AB 的长为 x 米,则(502)m BC x =-由题意得(502)300x x -=解得1215,10x x ==50225x -≤12.5x ∴≥15x ∴=所以,AB 的长为15米时,矩形花园的面积为300平方米;(2)由题意得()()22502250212.5312.5,12.525S x x x x x x =-=-+=--+≤<12.5x ∴=时, S 取得最大值,此时312.5S =所以,当 x 为12.5米时, S 有最大值,最大值是312.5平方米.15.【答案】(1)400吨 (2)最小值800百元,最大值1400百元【分析】(1)求出平均处理成本的函数解析式,利用基本不等式求出最值;(2)利用二次函数单调性求解最值.(1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为18002200y x x x =+-,显然[]400,600x ∈由基本不等式得:1800222200y x x x =+-≥= 当且仅当1800200x x =,即400x =时,等号成立 故每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低;(2)212800200y x x =-+ 对称轴220012200x -=-=⨯ 函数212800200y x x =-+在[400,600]单调递增 当400x =时,则2min 14002400800800200y =⨯-⨯+= 当600x =时,则2max 160026008001400200y =⨯-⨯+= 答:该单位每月处理成本y 的最小值800百元,最大值1400百元.16.【答案】【分析】(1)根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标,再由2PB AP =求得121,,33OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭,得到P 与M 的坐标,再利用两点距离公式求解即可;(2)由中点坐标公式求得111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,再根据题意设点(,1,)Q a a ,最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求PQ 的最小值.(1)所以()22211222131133333PM ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)因为点P 是面对角线AB 的中点,所以111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,而点Q 在面对角线DC 上运动,故设点(,1,)Q a a[0,1]a ∈则(PQ a ===[0,1]a ∈所以当34a =时,PQ 取得最小值33,1,44Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 17.【答案】(1)80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧=⎨∈⎩(2)0.7(3)59400 【分析】(1)由题意先分段写出,当[100x ∈,130)和[130x ∈,150)时的利润值,利用分段函数写出即可;(2)由(1)知,利润T 不少于57000元,当且仅当120150x ,再由直方图知需求量[120X ∈,150]的频率为0.7,由此估计得出结论;(3)先求出利润与X 的关系,再利用直方图中的频率计算利润分布列,最后利用公式求其数学期望.(1)解:由题意得,当[100X ∈,130)时500300(130)80039000T X X X =--=-当[130X ∈,150]时50013065000T =⨯=80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩(2)解:由(1)知,利润T 不少于57000元,当且仅当120150X .由直方图知需求量[120X ∈,150]的频率为0.7所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7;(3)解:由题意及(1)可得:所以T 的分布列为:18.【答案】(1)最多有75人 (2)存在 7m =【分析】(1)根据题目要求列出方程求解即可得到结果(2)根据题目要求①先求解出m 关于x 的取值范围,再根据x 的取值范围求得m 的取值范围,之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m 的取值范围,综上取交集即可 (1)依题意可得调整后研发人员有()100x -人,年人均投入为()14%x a +万元则()()10014%100x x a a -+≥,解得075x ≤≤.又4575x ≤≤,*x ∈N 所以调整后的奇数人员最多有75人.(2)假设存在实数m 满足条件.由条件①,得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,得2125x m ≥+. 又4575x ≤≤,*x ∈N 所以当75x =时,2125x +取得最大值7,所以7m ≥. 由条件②,得()()210014%25x x x a a m x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭,不等式两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,整理得100325x m x ≤++因为10033725x x ++≥=,当且仅当10025x x =,即50x =时等号成立,所以7m ≤. 综上,得7m =.故存在实数m 为7满足条件.19.【答案】(1)第4年 (2)选择方案②,理由见解析【分析】(1)设项目运行到第x 年的盈利为y 万元,可求得y 关于x 的函数关系式,解不等式0y >可得x 的取值范围,即可得出结论;(2)计算出两种方案获利,结合两种方案的用时可得出结论.(1)解:设项目运行到第x 年的盈利为y 万元则()25020813081=-+-=-+-y x x x x x由0y >,得230810x x -+<,解得327x <<所以该项目运行到第4年开始盈利.(2)解:方案①()22308115144=-+-=--+y x x x当15x =时,y 有最大值144.即项目运行到第15年,盈利最大,且此时公司的总盈利为14456200+=万元方案②818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当81x x=,即9x =时,等号成立. 即项目运行到第9年,年平均盈利最大,且此时公司的总盈利为12992200⨯+=万元.综上,两种方案获利相等,但方案②时间更短,所以选择方案②.20.【答案】10【分析】由题可得()400180%e k P P --=,求得ln 54k =,再由000.5%e kt P P -≥可求解. 【详解】由题意,前4个小时消除了80%的污染物因为0e kt P P -=⋅,所以()400180%ek P P --= 所以40.2e k -=,即4ln0.2ln5k -==-,所以ln 54k =则由000.5%e kt P P -≥,得ln 5ln 0.0054t ≥- 所以4ln 20013.2ln 5t ≥≈ 故正整数n 的最小值为14410-=.21.【答案】(1)2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩;(2)当年产量为80台时,年利润最大,最大值为1320万元.【分析】(1)根据题意,分段表示出函数模型,即可求解;(2)根据题意,结合一元二次函数以及均值不等式,即可求解.(1)当070x <<,*N x ∈时 211100406006060022W x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭; 当70200x ≤≤,*N x ∈时26400208064001001016001480W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴.2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩; (2)①当070x <<,*N x ∈时 221160600(60)120022W x x x =-+-=--+ ∴当60x =时,y 取得最大值,最大值为1200万元.②当70200x ≤≤,*N x ∈时6400148014801320W x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当6400x x =,即80x =时,y 取得最大值1320∵13201200>∴当年产量为80台时,年利润最大,最大值为1320万元.22.【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠,理由见解析(2)当该纪念章上市10天时,市场价最低,最低市场价为每枚70元(3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系,由此选择对应的函数关系;(2)由已知数据求出函数解析式,再结合函数性质求其最值;(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-,由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦,利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值,由此可得k 的取值范围. (1)由题表知,随着时间x 的增大,y 的值随x 的增大,先减小后增大,而所给的函数(0)y ax b a =+≠ ()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)a y b a x =+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数,不满足题意,故选择()20y ax bx c a =++≠.(2)得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴当10x =时,y 有最小值,且min 70y =.故当该纪念章上市10天时,市场价最低,最低市场价为每枚70元.(3)令()()()1701010210f x g x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+因为存在()10,x ∈+∞,使得不等式()0g x k -≤成立则()min k g x ≥.又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减,在()10++∞上单调递增 ∴当10x =+()g x取得最小值,且最小值为(10g +=∴k ≥23.【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式,以及图象的特征,合理给a 赋值,判断选项.【详解】当0a =时()2x f x =,图象A 满足; 满足;图象C 过点()0,1,此时0a =,故C 不成立.故选:ABD【点睛】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.24.【答案】2ln2 1024【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=12e k ,∴k=2ln 2,∴y=e 2t ln 2 当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024.25.【答案】1 1212【详解】S =(4+x) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-22x +x +12=-12 (x 2-2x)+12=-12 (x -1)2+252. 当x =1时,S max =252,故填1和252.。

人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数综合检测基础卷(含详细解析)

人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数综合检测基础卷(含详细解析)

第4章指数函数与对数函数(原卷版)本卷满分150分,考试时间120分钟。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知75x =,则x 的值为ABC .D .2.函数f (x )=2x 与g (x )=-2-x 的图象关于A .x 轴对称B .y 轴对称C .原点对称D .直线y =x 对称3.已知32log log (0)x =,那么x =A .1B .2C .3D .44.设0m >,下列计算中正确的是A .330m m -=B .4334m m m ÷=C .2323m m m ⋅=D .251542()m m--=5.设a ,1b >,且满足1log 2>a b ,则A .a b <B .a b >C .2a b <D .2a b >6.若lg 2,lg 3a b ==,则12log 5=A .12a a b -+B .2a b a b++C .12a a b-+D .2a b a b++7.如果0a b >>,那么下列不等式一定成立的是A .22log log a b<B .1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .11a b<D .22a b <8.已知函数21,2()5,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩,若关于x 的方程()0f x m -=恰有两个不同的实数解,则实数m 的取值范围是A .(0,1)B .[1,3)C .(1,3){0}⋃D .[1,3){0}⋃二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设0a >,则下列运算中正确的是A .4334a a a ⋅=B .5233a a a÷=C .55330a a-⋅=D .5335a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭10.若10a =4,10b =25,则A .a +b =2B .b ﹣a =1C .ab >8lg 22D .b ﹣a >lg611.在同一坐标系中,()f x kx b =+与()log b g x x =的图象如图,则下列关系不正确的是A .0k <,01b <<B .0k >,1b >C .()100f x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭,()()00g x x >>D .1x >时,()()0f xg x ->12.已知函数()f x 是定义在R 上的减函数,实数a ,b ,()c a b c <<满足()()()0f a f b f c <,若0x 是函数()f x 的一个零点,则下列结论中可能成立的是A .0x a <B .0a x b <<C .0b x c<<D .0x c>三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13112220.160.363-⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭____________.14.已知函数()2120log 0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩,, ,则()()2f f -=____________.15.已知1log ,log 32aa m n ==,求2m n a +的值____________.16.函数()2()445f x xx =--的单调递减区间为____________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(1)120.5037(27)0.1(2)39π--++-;(2)2115113366221()(3)()3a b a b a b ⋅-÷.18.(12分)计算求值:(1)()11.530.0014-+(2)(42log 923lg 2lg 250082log 9log 4⨯+⨯++⋅.19.(12分)已知函数()154262xx f x +=-⋅-,其中[]0,3x ∈.(1)求()f x 的最大值和最小值;(2)若实数a 满足()0f x a +≥恒成立,求实数a 的取值范围.20.(12分)已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--,其中0a >且1a ≠.(1)判断()f x 的奇偶性,并说明理由;(2)若3()25f =,求使()0f x >成立的x 的集合.21.(12分)每年3月3日是国际爱耳日,2020年的主题是“保护听力,终生受益”.声强级是表示声强度相对大小,其值为y (单位dB ),定义0lgIy I =10,其中I 为声场中某点的声强度,其单位为/W m 2(瓦/平方米)12010I -=/W m 2为基准值.(1)如果一辆小轿车内声音是50dB ,求相应的声强度;(2)如果飞机起飞时的声音是120dB ,两人正常交谈的声音是60dB ,那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍?22.(12分)已知函数()12(log 94343)x x f x +=-⨯+,函数()222log 7g x x mx =-+.(1)求不等式()4f x ≤的解集;(2)若[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈,使()()12f x g x ≥,求实数m 的取值范围.第4章指数函数与对数函数(解析版)本卷满分150分,考试时间120分钟。

人教版A版(2019)高中数学必修第一册: 第四章 指数函数与对数函数 综合测试(附答案与解析)

人教版A版(2019)高中数学必修第一册: 第四章 指数函数与对数函数 综合测试(附答案与解析)
知识像烛光,能照亮一个人,也能照亮无数的人。--培根
第四章综合测试
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的)
1.已知集合 M = x | x <3 , N = x | log3 x<1 ,则 M N 等于( )
A.
B.x | 0<x<3

R
上有最大值,则
a

取值范围为( )
A.

2 2
,

1 2
B.
−1,

1 2
C.

2 2
,

1 2
D.

2 2
,
0
0,
1 2
11.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元,在此基 础上,每年投入的研发资金比上一年增加 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 (参考数据: lg1.12 0.05,lg1.3 0.11,lg 2 0.30 )( )
【解析】 Q f (x) = log2 (ax −1) 在 (−3, −2) 上为减函数,
a<0 且 ax −1>0 在 (−3, −2) 上恒成立,−2a −1≥0 ,
a≤ − 1 . 2

g(
x)

R
上有最大值,且
g
(x)

−,
1 2
上单调递增,
g
(
x)

1 2
,
+
上单调递减,且
log
,当
log z
x
=

高一数学指数与指数函数试题答案及解析

高一数学指数与指数函数试题答案及解析

高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.设,则的大小关系是().A.B.C.D.【解析】,,,因此.【考点】指数函数和对数函数的性质.2.若点在函数的图象上,则的值为.【答案】【解析】由点在函数的图象上得,所以,故应填入.【考点】指数函数及特殊角的三角函数.3.设,则下列不等式成立的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】A【解析】对于A,B考查函数f(x)=2x+2x,g(x)=2x+3x的单调性与图象:可知函数f(x)、g(x)在R上都单调递增,若2a+2a=2b+3b,则a>b,因此A正确;对于C,D分别考查函数u(x)=2x-2x,v(x)=2x-3x单调性与图象:当时,u′(x)<0,函数u(x)单调递减;当时,u′(x)>0,函数u(x)单调递增.故在x=取得最小值.当0<x<时,v′(x)<0,函数v(x)单调递减;当x>时,v′(x)>0,函数v (x)单调递增.故在x=取得最小值,据以上可画出图象.据图象可知:当2a-2a=2b-3b,a>0,b>0时,可能a>b或a<b.因此C,D不正确.综上可知:只有A正确.故答案为A.【考点】用导数研究函数的单调性和图象;命题的真假判断与应用.4.若,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】由得,所以.【考点】指对数式的互化,指数运算法则.5.若函数的图像与轴有公共点,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】函数与轴有公共点,即设函数,,有交点,函数如图: ,即,故选B.【考点】函数图像6.三个数的大小关系为()A.B.C.D.【答案】D【解析】;;。

所以,故D正确。

【考点】指数对数函数的单调性。

7.已知幂函数的图象过点,则.【答案】4【解析】因为为幂函数,所以设因为过点,所以本题易错点在将幂函数的定义写成指数函数的形式,即【考点】幂函数定义,指数的运算8.如图,在平面直角坐标系中,过原点O的直线与函数的图象交于A,B两点,过B作y轴的垂线交函数的图象于点C,若AC平行于y轴,则点A的坐标是.【答案】【解析】设,则,因为AC平行于y轴,所以,因此.又三点三点共线,所以由得,因此.【考点】指数函数运算,向量共线.9.已知指数函数(且)的图像过点,则实数___________.【答案】【解析】因为指数函数(且)的图像过点,则,得.【考点】指数函数的定义.10.我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长,专家预测经过年可能增长到原来的倍,则函数的图像大致为()【答案】D【解析】设初始年份的荒漠化土地面积为,则1年后荒漠化土地面积为,2年后荒漠化土地面积为,3年后荒漠化土地面积为,所以年后荒漠化土地面积为,依题意有即,,由指数函数的图像可知,选D.【考点】1.指数函数的图像与性质;2.函数模型及其应用.11.若,则下列结论正确的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】指数函数、对数函数的底数大于1 时,函数为增函数,反之,为减函数,对于幂函数而言,当时,在上递增,当时,在上递减,而,所以,故选C.【考点】1.指数函数;2.对数函数;3.幂函数的性质.12.设函数,如果,求的取值范围.【答案】【解析】对分段函数需分情况讨论,再解指数及对数不等式时,需将实数转化为同底的指数或对数,然后根据指数、对数的单调性解不等式。

第四章 指数函数与对数函数 章末测试(提升)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

第四章 指数函数与对数函数 章末测试(提升)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

若 f (x) log2 (x2 mx 1) 的值域为 R,则 x2 mx 1 0 在 R 上有解,
所以 (m)2 4 0 ,解得 m (, 2] [2, ) ,故 D 正确.
故选:ABD. 三、填空题(每题 5 分,4 题共 20 分)
13.(2023 秋·黑龙江
)已知函数
f
x
2x
x
12 1,
2, x 0
x
0
,若函数
g
x
f
x a 有两个零点,则实数 a
的取值范围是
.
【答案】1, 0 1
【解析】
如图所示,根据二次函数及指数函数的图象和性质可作出分段函数 f x 的图象,
可知 y x 12 1 1 x 0, y 2x 2 1 x 0
而 g x f x a 有两个不同零点等价于函数 y f x 与函数 y a 有两个不同交点,
像, 则 y loga (x) 在 (, 0) 上单调递减且过点 (1, 0) ,故 A 符合题意; 当 0 a 1 时, b 1, 同理可得,指数函数 y bx 在 R 上单调递增,且过点(0,1),
y loga (x) 在 (, 0) 上单调递增且过点 (1, 0) ,故 B 符合题意;
2 k 1 ,故 D 错误.
2 故选:BC
11.(2023·广东深圳)以下说法正确的是( )
A. a 1 a a
B.若定义在 R 上的函数 y f (x) 是奇函数,则 y f ( f (x)) 也是奇函数
C.
log2 32
4 log2 3 4
log2
1 2 3
D.已知 y m2 3m 3 x m 是幂函数,则 m 的值为 4
利用对数函数单调性可知 x log2 3 log2

高一数学必修1《指数函数》单元测试题

高一数学必修1《指数函数》单元测试题

高一数学必修1:《指数函数》单元测试题班级 姓名一、选择题1、 若指数函数y a x=+()1在()-∞+∞,上是减函数,那么( ) A 、01<<-a B 、 01<<a C 、 a =-1 D 、 a <-12、已知310x =,则这样的( ) A 、 存在且不只一个 B 、 存在且只有一个 C 、 存在且x <2D 、 根本不存在 3、下列函数图象中,函数y a a a x=>≠()01且,与函数y ax =-()1的图象只能是( ) y y y yO x O x O x O x A B C D 11114、函数f x x ()=-23在区间()-∞,0上的单调性是( )A 、 有时是增函数有时是减函数B 、常数C 、增函数D 、减函数5、函数f x x ()=-21,使f x ()≤0成立的的值的集合是( ) A 、 {}xx =0 B 、 {}xx <1 C 、{}xx <0 D 、 {}xx =16、若函数(1)x y a b =+-(0a >且1a ≠)的图象不经过第二象限,则有 ( )A 、1a >且1b <B 、1a >且0b ≤C 、01a <<且0b >D 、01a <<且1b ≤7、函数fx g x x x ()()==+22,,使f x gx ()()=成立的x 的值的集合( ) A 、是φ B 、有且只有一个元素 C 、有两个元素 D 、有无数个元素 8、知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +1,x <1x 2+ax ,x ≥1,若f [f (0)]=4a ,则实数a 等于( )A.21B.54 C .9 D .2 9、f(x+1)的定义域是[-1,2],则)(1-2f x 的定义域是( )A 、[0,2]B 、[21-,3]C 、[43-,1] D 、[0,1]10、已知集合M ={-1,1},N =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<+Z x x x ,42211,则M ∩N 等于( )A 、{-1,1}B 、{-1}C 、{0}D 、{-1,0}11、设y 1=40.9,y 2=80.48,y 3=(12)-1.5,则( ) A 、y 3>y 1>y 2 B 、y 2>y 1>y 3 C 、y 1>y 3>y 2 D 、y 1>y 2>y 312、若(12)2a +1<(12)3-2a ,则实数a 的取值范围是( ) A 、(-∞,12) B 、 (-∞,1) C 、(1,+∞) D 、(12,+∞) 二、填空题 13、 函数y x =-322的定义域是_________。

高中数学高一人教A版必修成长训练指数函数含解析

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思路解析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断
3
对应的曲线. 由 0<m<n<1可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是 C 或 D,进而再判断①②与 n 和 m
的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令 x=1,①②对应的函数值分别为 m 和 n, 由 m<n可知应选 C. 答案: C
∴f(0)+f(1)+f(2)=12. 答案:12 15. 下列命题
①2
1 2
<3
1 3
<
3 2
ax a x
< ;②函数 f(x)=
2
2
(a>0,a≠1)是奇函数;③方程 5 x-1·10 3x=8 x的
解为 x= 1 ;④若 2 2x+4=5·2 x,则 x 2+1的值为 1 或 5.其中正确命题的个数有( ) 4
答案: C
8. 当 x∈[-2,2)时,y=3 -x-1的值域是( )
8 A.[- 9 , 8]
8 B. (- 9 , 8)
1 C. ( 9 , 9)
D.[
1 9
,
9]
思路解析:
1
8
由 y=3 -x为减函数,x∈[-2,2),可知 <3 -x≤9,所以- <3 -x-1≤8.
9
9
答案: B
9. 指数函数①f(x)=mx;②g(x)=nx 满足不等式 1>n>m>0,则它们的图象是( )
或 x2+1=5.
因此④也是正确的.故选 D.
答案: D
16. 要使函数 y=1+2 x+4 x·a在(-∞,1)上 y>0恒成立,求 a 的取值范围.

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(21)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(21)

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷(共22题)一、选择题(共10题)1. 设 f (x ) 是定义在 R 上的周期函数,周期 T =4,对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x ),且当 x ∈[−2,0] 时,f (x )=(12)x−1,若在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实根,则 a 的取值范围是 ( ) A . (1,2)B . (2,+∞)C . (1,√43)D . (√43,2)2. 已知 log x 3=3,log y 7=6,z =717,则实数 x ,y ,z 的大小关系是 ( ) A . x <z <y B . z <x <y C . x <y <z D . z <y <x3. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足:①f (x )+f (2−x )=0;②f (x −2)=f (−x );③ 当 x ∈[−1,1] 时,f (x )={√1−x 2,x ∈[−1,0]cos (π2x),x ∈(0,1];则函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 ( ) A . 5B . 6C . 7D . 84. 在同一坐标系中函数 y =2−x 与 y =log 2x 的图象是 ( )A .B .C .D .5. 设 a 是函数 f (x )=2x −log 12x 的零点,若 x 0>a ,则 f (x 0) 满足 ( )A . f (x 0)=0B . f (x 0)>0C . f (x 0)<0D .以上都有可能6. 在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线 y =f (x ),另一种是平均价格曲线 y =g (x ),如 f (2)=3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格为 3 元;g (2)=3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元,下面给出了四个图象,实线表示 y =f (x ),虚线表示 y =g (x ),其中可能正确的是 ( )A .B .C .D .7. 已知偶函数 f (x ) 的定义域为 R ,对 ∀x ∈R ,f (x +2)=f (x )+f (1),且当 x ∈[2,3] 时,f (x )=−2(x −3)2,若函数 F (x )=log a (∣x∣+1)−f (x )(a >0,a ≠1) 在 R 上恰有 6 个零点,则实数 a 的取值范围是 ( ) A . (0,√55)B . (√55,√33)C . (√55,1)D . (√33,1)8. 方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在区间 [−2,4] 上的根必定在 ( ) A . [−2,1] 内 B . [52,4] 内C . [1,74] 内D . [74,52] 内9. log 212 的值为 ( ) A . √2B . −√2C . 1D . −110. 若 log a b +3log b a =132,则用 a 表示 b 的式子为 ( )A . b =a 6B . b =√aC . b =a 6 或 b =√aD . b =a 6 且 b =√a二、填空题(共6题)11. 已知函数 f (x )={log 2x,x >04x ,x ≤0,若函数 g (x )=f (x )−k 存在两个零点,则实数 k 的取值范围是 .12. 函数 f (x )=log a (x −2)+1(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 P ,则点 P 的坐标是 .13. 若正数 a ,b 满足 log 2a =log 5b =lg (a +b ),则 1a +1b 的值为 .14. 对于实数 a 和 b ,定义运算“∗”:a ∗b ={a (a −b )3,a ≤bb (b −a )3,a >b,设 f (x )=(2x–1)∗(x–1),若函数 g (x )=f (x )−mx 2(m ∈R ) 恰有三个零点 x 1,x 2,x 3,则 m 的取值范围是 ;x 1x 2x 3 的取值范围是 .15. 函数 f (x )=log a (x +2)+3(a >0,且 a ≠1)的图象恒过定点 .16. 如果函数 y =lg (x 2−ax +1) 的值域为 R ,那么实数 a 的取值范围是 .三、解答题(共6题)17. 某地区今年 1 月,2 月,3 月患某种传染病的人数分别为 52,54,58,为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型 f (x )=ax 2+bx +c ,乙选择了模型 y =p ⋅q x +r ,其中 y 为患病人数,x 为月份数,a ,b ,c ,p ,q ,r 都是常数,结果 4 月,5 月,6 月份的患病人数分别为 66,82,115.(1) 你认为谁选择的模型较好?(需说明理由)(2) 至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过 2000 人?试用你认为比较好的模型解决上述问题.18. 若存在常数 k (k >0),使得对定义域 D 内的任意 x 1,x 2(x 1≠x 2),都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立,则称函数 f (x ) 在其定义域 D 上是“k − 利普希兹条件函数”. (1) 若函数 f (x )=√x (1≤x ≤4) 是“k − 利普希兹条件函数”,求常数 k 的取值范围; (2) 判断函数 f (x )=log 2x 是否是“2− 利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由;(3) 若 y =f (x )(x ∈R ) 是周期为 2 的“1− 利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数 x 1,x 2,都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤1.19. 求下列函数的零点:(1) f (x )=−x 2−4x −4 (2) f (x )=(x−1)(x 2−4x+3)x−3(3) f (x )=2x +x −1 (4) f (x )=log 3(x +1)20. 零点存在定理一般地,如果函数 y =f (x ) 在区间 [a,b ] 上的图象是一条连续不断的曲线,且有 f (a )⋅f (b )<0,那么在区间 (a,b ) 内至少存在一个实数 c ,使得 f (c )=0,即 y =f (x ) 在 (a,b ) 上至少有一个零点.如何理解零点存在性?21. 计算:(1) (−78)0+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5.(2) lg25+lg2×lg50+(lg2)2.22. 已知 f (x )=log a (a x −1)(a >0 且 a ≠1).(1) 求证:函数 y =f (x ) 的图象在 y 轴的一侧; (2) 求证:函数 y =f (x ) 在定义域上是增函数.答案一、选择题(共10题) 1. 【答案】D【解析】因为对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x ),所以函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数,因为在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实数解, 所以函数 y =f (x ) 与 y =log a (x +2) 在区间 (−2,6] 上有三个不同的交点, 因为当 x ∈[−2,0] 时,f (x )=(12)x−1, 故函数图象如图所示, 又 f (−2)=f (2)=f (6)=3, 则有 log a 4<3,且 log a 8>3,解得 √43<a <2.故 a 的取值范围是 (√43,2).【知识点】函数的奇偶性、函数的周期性、函数的零点分布2. 【答案】D【解析】因为 log x 3=3,所以 x =313,同理可得:y =716=(√7)13, 因为函数 y =7x为单调增函数,且 16>17,故 716>717,即 z >y ,因为函数 y =x 13为单调增函数,且 3>√7, 所以 313>(√7)13,即 x >y , 所以综上,x >y >z .【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质3. 【答案】A【解析】由 ①f (x )+f (2−x )=0, 可得 f (x ) 的图象关于点 (1,0) 对称,由 ②f (x −2)=f (−x ),可得 f (x ) 的图象关于直线 x =−1 对称, 作出 f (x ) 在 [−1,1] 的图象,再由对称性,作出 f (x ) 在 [−3,3] 的图象, 作出函数 y =(12)∣x∣在 [−3,3] 的图象,由图象观察可得它们故有 5 个交点,即有函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 5.【知识点】函数的零点分布4. 【答案】A【解析】因为 y =2−x 为减函数,y =log 2x 在 (0,+∞) 上为增函数. 【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质5. 【答案】B【解析】画出 y =2x 与 y =log 12x 的图象(图略),可知当 x 0>a 时,2x 0>log 12x 0,故f (x 0)>0.【知识点】零点的存在性定理6. 【答案】C【知识点】函数模型的综合应用7. 【答案】B【解析】令 x =−1,则 f (1)=f (−1)+f (1)=2f (1),所以 f (1)=0, 所以 f (x +2)=f (x ),即函数的周期为 2.若 F (x )=f (x )−log a (∣x∣+1) 恰有 6 个零点,则 0<a <1, 则 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 有 6 个不同的交点,因为 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 均为偶函数且 f (0)=f (2)=−2≠0=log a (∣x∣+1), 故 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 在 (0,+∞) 上有三个不同的交点. 画出函数 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 的图象如下图所示,由图可知: f (2)=−2=log a 3,得 a =√33,f (4)=−2=log a 5,得 a =√55, a ∈(√55,√33).(或 {f (2)<log a 3,f (4)>log a 5即 {−2<log a 3,−2>log a 5, 故 a ∈(√55,√33))【知识点】函数的零点分布8. 【答案】D【解析】令 f (x )=x 3−2x 2+3x −6, 因为 f (−2)=−28<0,f (4)=38>0,且 f (−2+42)=f (1)=−4<0,所以 f (x ) 的零点在区间 [1,4] 内. 又 f (1+42)=f (52)=378>0,所以 f (x ) 的零点在区间 [1,52] 内. 又 f (1+522)=f (74)=−9764<0,所以 f (x ) 的零点在区间 [74,52] 内,即方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在 [−2,4] 上的根在 [74,52] 内. 【知识点】零点的存在性定理9. 【答案】D【解析】 log 212=log 22−1=−1.【知识点】对数的概念与运算10. 【答案】C【解析】由 log a b +3log b a =132 得 log a b +3logab=132,即 2(log a b )2−13log a b +6=0,解得 log a b =6 或 log a b =12,所以 b =a 6 或 b =√a . 【知识点】对数的概念与运算二、填空题(共6题)11. 【答案】0<k≤1【解析】由g(x)=f(x)−k=0,得f(x)=k,令y=k与y=f(x),作出函数y=k与y=f(x)图象如图:当x≤0时,0<f(x)≤1;当x>0时,f(x)∈R.所以要使函数g(x)=f(x)−k存在两个零点,则k∈(0,1].【知识点】函数的零点分布12. 【答案】(3,1)【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】1【解析】设log2a=log5b=lg(a+b)=k,所以a=2k,b=5k,a+b=10k,所以ab=10k,所以a+b=ab,则1a +1b=1.【知识点】对数函数及其性质14. 【答案】{14};{0}【知识点】二次函数的性质与图像、函数的零点分布、分段函数15. 【答案】(−1,3)【解析】本题考查对数函数的图象.当x+2=1时,x=−1,f(−1)=log a(−1+2)+3=3,所以函数f(x)=log a(x+2)+3的图象恒过定点(−1,3).【知识点】对数函数及其性质16. 【答案】(−∞,−2]∪[2,+∞)【解析】由题意知x2−ax+1应能取到大于0的一切实数,因此g(x)=x2−ax+1应与x轴有交点,所以Δ=a2−4≥0.【知识点】对数函数及其性质三、解答题(共6题)17. 【答案】(1) 由题意,把 x =1,2,3 代入 f (x ) 得:{a +b +c =52,4a +2b +c =54,9a +3b +c =58,解得 a =1,b =−1,c =52,所以 f (x )=x 2−x +52,所以 f (4)=42−4+52=64,f (5)=52−5+52=72,f (6)=62−6+52=82, 则 ∣f (4)−66∣=2,∣f (5)−82∣=10,∣f (6)−115∣=33; 把 x =1,2,3 代入 y =g (x )=p ⋅q x +r ,得:{pq +r =52,pq 2+r =54,pq 3+r =58,解得 p =1,q =2,r =50,所以 g (x )=2x +50,所以 g (4)=24+50=66,g (5)=25+50=82,g (6)=26+50=114, 则 ∣g (4)−66∣=0,∣g (5)−82∣=0,∣g (6)−115∣=1.因为 g (4),g (5),g (6) 更接近真实值,所以应将 y =2x +50 作为模拟函数.(2) 令 2x +50>2000,解得 x >log 21950≈10.9, 所以至少经过 11 个月患该传染病的人数将会超过 2000 人.【知识点】函数模型的综合应用18. 【答案】(1) 由题意得:对任意 x 1,x 2∈[1,4],x 1≠x 2,都有 ∣∣√x 1−√x 2∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立, 所以 k ≥√x +√x .因为 x 1,x 2∈[1,4],x 1≠x 2, 所以√x +√x <12,所以常数 k 的取值范围是 [12,+∞).(2) 取 x 1=18,x 2=1,则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=3,而 2∣∣x 1−x 2∣=74, 所以 x 1=18,x 2=1 不满足 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤2∣∣x 1−x 2∣, 所以函数 f (x )=log 2x 不是“2− 利普希兹条件函数”.(3) 若 x 1,x 2∈[0,2],①当 ∣x 1−x 2∣≤1 时,∣f (x 1)−f (x 2)∣≤∣x 1−x 2∣≤1, ②当 ∣x 1−x 2∣>1 时,设 0≤x 1<1<x 2≤2,则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=∣f (x 1)−f (0)+f (2)−f (x 2)∣≤∣f (x 1)−f (0)∣+∣f (2)−f (x 2)∣≤∣x 1∣+∣2−x 2∣=x 1+2−x 2<1.因此对任意x1,x2∈[0,2],都有∣f(x1)−f(x2)∣≤1,因为y=f(x)(x∈R)周期为2,所以对任意x1,x2∈R,都存在p1,p2∈[0,2],使f(x1)=f(p1),f(x2)=f(p2),所以∣f(x1)−f(x2)∣=∣f(p1)−f(p2)∣≤1.【知识点】对数函数及其性质、函数的周期性、幂函数及其性质19. 【答案】(1) 令−x2−4x−4=0,解得x=−2,所以函数f(x)的零点为−2.(2) 令(x−1)(x2−4x+3)x−3=0,解得x=1,所以函数f(x)的零点为1.(3) 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=−x+1的图象,由图可知函数f(x)的零点为0.(4) 令log3(x+1)=0,解得x=0,所以函数f(x)的零点为0.【知识点】函数零点的概念与意义20. 【答案】(1)当函数y=f(x)同时满足:①函数的图象在[a,b]上是连续曲线;② f(a)⋅f(b)<0.则可判定函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,但是不能明确肯定有几个零点,也不是说可能有1个、2个、3个、4个、⋯⋯零点.(2)不满足零点存在性定理并不能说明不存在零点,即当函数y=f(x)的图象在[a,b]上是连续的曲线,但是不满足f(a)⋅f(b)<0时,函数y=f(x)在区间(a,b)内可能存在零点,也可能不存在零点.【知识点】零点的存在性定理21. 【答案】(1)(−78)+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5=1+2+34×√49−(14)12=1+2+34×23−12=1+2+12−12.(2)lg25+lg2×lg50+(lg2)2 =2lg5+lg2×(lg50+lg2) =2lg5+lg2×lg(2×50) =2lg5+lg2×lg100=2lg5+2lg2=2×(lg5+lg2)= 2.【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算22. 【答案】(1) 当0<a<1时,定义域为(−∞,0),当a>1时,定义域为(0,+∞),所以y=f(x)的图象总在y轴的一侧.(2) 当0<a<1时,y=a x−1在区间(−∞,0)上是严格减函数,又0<a<1,y=f(x)在区间(−∞,0)上是严格增函数.当a>1时,y=a x−1在区间(0,+∞)上是严格增函数,又a>1,y=f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数.【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性11。

人教A版必修第一册高一数学4.1指数与指数函数同步培优题典(含详细解析)

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人教A 版必修第一册高一数学4.1指数与指数函数同步培优题典(原卷版)姓名:__________________班级:______________得分:_________________注意事项:本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共16题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2017·内蒙古集宁一中高一期中(文))()()3343112222--⎛⎫⎛⎫--+-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值()A .374B .8C .24-D .8-2.(2020·大连市普兰店区第一中学高二期末)计算232a a a⋅的结果为()A .32aB .16aC .56a D .65a 3.(2020·全国高一专题练习)若103,104x y ==,则3210x y -=()A .1-B .1C .2716D .9104.若a >1,b >0,a b +a -b =22,则a b -a -b 等于()A .4B .2或-2C .-2D .25.设x ,y 是正数,且x y =y x ,y =9x ,则x 的值为()A.91B .43C .1D .396.已知f (x )是奇函数,当x >0时,f (x )=x ·2x +a -1,若f (-1)=43,则a 等于()A .-3B .-2C .-1D .07.(多选)(2019·广东禅城佛山一中高一月考)下列运算结果中,一定正确的是()A .347a a a ⋅=B .()326a a -=C .88a a =D .()55ππ-=-8.(多选下列各式中一定成立的有()A .7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B .()431233-=C .()33344x y x y +=+D .3393=二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)9.(2020·上海高一开学考试)当2x <时,3838(2)(2)x x -+-=_______________.10.(2020·全国高一课时练习)设0a >,将232a a a⋅表示成分数指数幂的形式,其结果是________.11.(一题双空)已知12a a+=,则1a a+=______;当0a <时,化简3231a a a -⋅⋅=______.12化简:3216842111111111111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅+= ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.三、解答题(本大题共4小题,共40分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)13.(2020·全国高一课时练习)将下列根式化成分数指数幂的形式.(1)13·a a (a >0);(2)()()252310x xx >;(3)23243b--⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(b >0).14.(2020·全国高一课时练习)若本例变为:已知a ,b 分别为x 2-12x +9=0的两根,且a <b ,求11221122a b a b-+的值.15.已知2a ·3b =2c ·3d =6,求证:(a -1)(d -1)=(b -1)(c -1).16.(2020·黑龙江萨尔图�大庆实验中学高一期末)已知()442xx f x =+.(1)求()()1f a f a +-(0a >且1a ≠)的值;(2)求12320182019201920192019f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.专题4.2指数函数姓名:__________________班级:______________得分:_________________注意事项:本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共16题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020·全国高一课时练习)若函数()21xy a =-(x 是自变量)是指数函数,则a 的取值范围是()A .0a >且1a ≠B .0a ≥且1a ≠C .12a >且1a ≠D .12a ≥2.(2020·全国高一课时练习)已知函数1()4x f x a +=+的图象经过定点P ,则点P 的坐标是()A .(-1,5)B .(-1,4)C .(0,4)D .(4,0)3.(2020·全国高一课时练习)函数f (x )=a x -b 的图象如图,其中a ,b 为常数,则下列结论正确的是()A .a >1,b <0B .a >1,b >0C .0<a <1,b >0D .0<a <1,b <04.(2020·陆良县联办高级中学高一开学考试)函数112xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是()A .()0,+∞B .(),0-∞C .[)0,+∞D .(],0-∞5.(2020·内蒙古集宁一中高二月考(文))若a =12⎛⎫ ⎪⎝⎭23,b =15⎛⎫ ⎪⎝⎭23,c =12⎛⎫ ⎪⎝⎭13,则a ,b ,c 的大小关系是()A .a <b <cB .c <a <bC .b <c <aD .b <a <c6.(2020·浙江高一单元测试)函数1()31xf x =+的值域是().A .(,1)-∞B .(0,1)C .(1,)+∞D .(,1)(1,)-∞⋃+∞7.(多选)(2020·全国高一课时练习)设函数||()x f x a -=(0a >,且1a ≠),若(2)4f =,则()A .(2)(1)f f ->-B .(1)(2)f f ->-C .()1)(2f f > D.(4)(3)f f ->8.(多选)(2020·山东临沂�高一期末)如图,某池塘里浮萍的面积y (单位:2m )与时间t (单位:月)的关系为t y a =.关于下列说法正确的是()A .浮萍每月的增长率为2B .浮萍每月增加的面积都相等C .第4个月时,浮萍面积不超过280m D .若浮萍蔓延到22m 、24m 、28m 所经过的时间分别是1t 、2t 、3t ,则2132t t t =+二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)9.(2019·定远县育才学校高一月考)若函数()xf x a =(0a >且1a ≠)在[]1,2上最大值是最小值的2倍,则a =______.10.(2020·江苏秦淮�高三期中)不等式21124x x-⎛⎫>⎪⎝⎭的解集为_________.11.(2019·深州长江中学高一期中)函数28212x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为_________.12.(一题两空)(2020·上海高一课时练习)函数2x y =的图象与函数2x y -=的图象关于________对称,它们的交点坐标是_________.三、解答题(本大题共4小题,共40分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)13.(2020·浙江高一课时练习)已知函数21,0()21,1x c cx x cf x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩,满足928c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求常数c 的值.(2)解关于x 的不等式2()18f x >+.14.(2019·陕西临渭�高一期末)已知函数()2121x x f x -=+.(1)判断并证明函数()f x 的奇偶性;(2)判断并证明()f x 在其定义域上的单调性.15.(2019·黑龙江松北�哈九中高一期末)已知函数()1124x xf x a =--.(1)若1a =时,求满足()11f x =-的实数x 的值;(2)若存在[]0,1x ∈,使()0f x >成立,求实数a 的取值范围.16.(2019·安徽合肥�高二开学考试)设函数()(2)x x f x a k a -=-+(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数.(1)求实数k 的值;(2)若3(1)2f =,22()2()x xg x a a mf x -=+-,且()g x 在[1,)+∞上的最小值为1,求实数m 的值.人教A 版必修第一册高一数学4.1指数与指数函数同步培优题典(解析版)姓名:__________________班级:______________得分:_________________注意事项:本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共16题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2017·内蒙古集宁一中高一期中(文))()()3343112222--⎛⎫⎛⎫--+-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值()A .374B .8C .24-D .8-【答案】C【解析】原式111682488⎛⎫=-----=- ⎪⎝⎭.故选:C.2.(2020·大连市普兰店区第一中学高二期末)计算232a a a ⋅的结果为()A .32aB .16aC .56a D .65a【答案】C【解析】因为7522226627132362a a a aa a aa aa-====⋅⋅,故选:C3.(2020·全国高一专题练习)若103,104x y ==,则3210x y -=()A .1-B .1C .2716D .910【答案】C【解析】依题意,()()333322221010327101041610x xx yy y -====.故选:C.4.若a >1,b >0,a b +a -b =22,则a b -a -b 等于()A .4B .2或-2C .-2D .2【答案】D【解析】设a b -a -b =t .∵a >1,b >0,∴a b >1,a -b <1.∴t =a b -a -b >0.则t 2=(a b -a -b )2=(a b +a -b )2-4=(22)2-4=4.∴t =2.5.设x ,y 是正数,且x y =y x ,y =9x ,则x 的值为()A.91B .43C .1D .39【答案】B【解析】∵x y =y x ,y =9x ,∴x 9x =(9x )x ,∴(x 9)x =(9x )x ,∴x 9=9x .∴x 8=9.∴x =4839=.6.已知f (x )是奇函数,当x >0时,f (x )=x ·2x +a -1,若f (-1)=43,则a 等于()A .-3B .-2C .-1D .0【答案】A【解析】∵f (-1)=43,∴f (1)=-f (-1)=-43,即21+a -1=-43,即1+a =-2,得a =-3.7.(多选)(2019·广东禅城佛山一中高一月考)下列运算结果中,一定正确的是()A .347a a a ⋅=B .()326a a -=C .88a a =D .()55ππ-=-【答案】AD【解析】34347a a a a +==,故A 正确;当1a =时,显然不成立,故B 不正确;88a a =,故C 不正确;()55ππ-=-,D 正确,故选AD.8.(多选下列各式中一定成立的有()A .7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B .()431233-=C .()33344x y x y +=+D .3393=【答案】BD【解析】777n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭,A 错误;()143312333-==,B 正确;()1333344x y x y+=+,C 错误;11112333329993⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,D 正确故选:BD二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)9.(2020·上海高一开学考试)当2x <时,3838(2)(2)x x -+-=_______________.【答案】22-【解析】根据指数运算公式:(),nnnna a a a ==,因为2x <,所以原式=2222x x -+-=-.故答案为:22-.10.(2020·全国高一课时练习)设0a >,将232a a a⋅表示成分数指数幂的形式,其结果是________.【答案】76a【解析】∵0a >,∴117222361231223a a aa aa a b--⋅===.故答案为:76a .11.(一题双空)已知12a a+=,则1a a+=______;当0a <时,化简3231a a a -⋅⋅=______.【答案】2;a -.【解析】12a a +=2212a a ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭124a a ∴++=12a a∴+=,32311a a a a a a a--⋅⋅⨯⨯==0a <3231a a a a-∴⋅⋅=-故答案为:2;a-12化简:3216842111111111111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅+= ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.【答案】63122-【解析】原式43216821111111111111122222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⋅+-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭321682421111111111112222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⋅-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭32164481111111111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3216881111111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3216161111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-⨯ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32321111222⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭641122⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭63122=-.三、解答题(本大题共4小题,共40分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)13.(2020·全国高一课时练习)将下列根式化成分数指数幂的形式.(1)13·a a (a >0);(2)()()252310x xx >;(3)23243b--⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(b >0).【答案】(1)512a;(2)35x-;(3)19b .【解析】(1)原式=1132·a a=56a =1526a ⎛⎫⎪⎝⎭=512a.(2)原式=23251·()x x =4351·x x=9351x=91531()x =351x=35x -.(3)原式=[2134()b -]23-=212()343b -⨯⨯-=19b .14.(2020·全国高一课时练习)若本例变为:已知a ,b 分别为x 2-12x +9=0的两根,且a <b ,求11221122a b a b-+的值.【答案】-33.【解析】11221122a b a b-+=1122211112222()()()a b a b a b -+-=12()2()a b ab a b +--.①∵a ,b 分别为x 2-12x +9=0的两根,∴a +b =12,ab =9,②∴(a -b )2=(a +b )2-4ab =122-4×9=108.∵a <b ,∴a -b =-63.③将②③代入①,得11221122a b a b -+=12122963-⨯-=-33.15.已知2a ·3b =2c ·3d =6,求证:(a -1)(d -1)=(b -1)(c -1).证明:∵2a ·3b =6,∴2a -1·3b -1=1.∴(2a -1·3b -1)d -1=1,即2(a-1)(d -1)·3(b-1)(d -1)=1.①又∵2c ·3d =6,∴2c -1·3d -1=1.∴(2c -1·3d -1)b -1=1,即2(c-1)(b -1)·3(d-1)(b -1)=1.②由①②知2(a-1)(d -1)=2(c-1)(b -1),∴(a -1)(d -1)=(b -1)(c -1).16.(2020·黑龙江萨尔图�大庆实验中学高一期末)已知()442xx f x =+.(1)求()()1f a f a +-(0a >且1a ≠)的值;(2)求12320182019201920192019f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【答案】(1)1;(2)1009.【解析】(1)()442xxf x =+,()()()1111444441424242442a a a a aa a a aa f a f a ----⨯∴+-=+=++++⨯+()444442142424424242224a a a a a a a a a =+=+=+=++⨯++++;(2)原式120182201710091010201920192019201920192019f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1009=.专题4.1.2指数函数姓名:__________________班级:______________得分:_________________注意事项:本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共16题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020·全国高一课时练习)若函数()21xy a =-(x 是自变量)是指数函数,则a 的取值范围是()A .0a >且1a ≠B .0a ≥且1a ≠C .12a >且1a ≠D .12a ≥【答案】C【解析】由于函数()21xy a =-(x 是自变量)是指数函数,则210a ->且211a -≠,解得12a >且1a ≠.故选:C.2.(2020·全国高一课时练习)已知函数1()4x f x a +=+的图象经过定点P ,则点P 的坐标是()A .(-1,5)B .(-1,4)C .(0,4)D .(4,0)【答案】A【解析】当10x +=,即1x =-时,011x a a +==,为常数,此时()415f x =+=,即点P 的坐标为(-1,5).故选:A.3.(2020·全国高一课时练习)函数f (x )=a x -b 的图象如图,其中a ,b 为常数,则下列结论正确的是()A .a >1,b <0B .a >1,b >0C .0<a <1,b >0D .0<a <1,b <0【答案】D【解析】由f (x )=a x -b 的图象可以观察出,函数f (x )=a x -b 在定义域上单调递减,所以0<a <1.函数f (x )=a x -b 的图象是在f (x )=a x 的基础上向左平移得到的,所以b <0.故选:D.4.(2020·陆良县联办高级中学高一开学考试)函数112xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是()A .()0,+∞B .(),0-∞C .[)0,+∞D .(],0-∞【答案】C【解析】要是函数有意义须满足1102x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,即011122x ⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得0x ≥,因此,函数112xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为[)0,+∞.故选:C.5.(2020·内蒙古集宁一中高二月考(文))若a =12⎛⎫ ⎪⎝⎭23,b =15⎛⎫ ⎪⎝⎭23,c =12⎛⎫ ⎪⎝⎭13,则a ,b ,c 的大小关系是()A .a <b <cB .c <a <bC .b <c <aD .b <a <c【答案】D【解析】∵y =x 23(x >0)是增函数,∴a =12⎛⎫⎪⎝⎭23>b =15⎛⎫ ⎪⎝⎭23.∵y =12⎛⎫ ⎪⎝⎭x 是减函数,∴a =12⎛⎫ ⎪⎝⎭23<c =12⎛⎫ ⎪⎝⎭13,∴b <a <c .故本题答案为D.6.(2020·浙江高一单元测试)函数1()31x f x =+的值域是().A .(,1)-∞B .(0,1)C .(1,)+∞D .(,1)(1,)-∞⋃+∞【答案】B【解析】∵30x >∴311x +>,∴10131x<<+,∴函数值域为(0,1).故选:B 7.(多选)(2020·全国高一课时练习)设函数||()x f x a -=(0a >,且1a ≠),若(2)4f =,则()A .(2)(1)f f ->-B .(1)(2)f f ->-C .()1)(2f f > D.(4)(3)f f ->【答案】AD【解析】由2(2)4f a -==得12a =,即||||1()22x x f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭,故(2)(1)f f ->-,(2)(1)f f >,(4)(4)(3)f f f -=>,所以AD 正确.故选:AD8.(多选)(2020·山东临沂�高一期末)如图,某池塘里浮萍的面积y (单位:2m )与时间t (单位:月)的关系为t y a =.关于下列说法正确的是()A .浮萍每月的增长率为2B .浮萍每月增加的面积都相等C .第4个月时,浮萍面积不超过280mD .若浮萍蔓延到22m 、24m 、28m 所经过的时间分别是1t 、2t 、3t ,则2132t t t =+【答案】AD【解析】将点()1,3的坐标代入函数t y a =的解析式,得13a =,函数的解析式为3t y =.对于A 选项,由13323n nn+-=可得浮萍每月的增长率为2,A 选项正确;对于B 选项,浮萍第1个月增加的面积为()12332m-=,第2个月增加的面积为()212336m -=,26≠,B 选项错误;对于C 选项,第4个月时,浮萍的面积为438180=>,C 选项错误;对于D 选项,由题意可得132t =,234t =,338t =,2428=⨯,()2122333t t t ∴=⨯,即132233t t t +=,所以,2132t t t =+,D 选项正确.故选:AD.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)9.(2019·定远县育才学校高一月考)若函数()xf x a =(0a >且1a ≠)在[]1,2上最大值是最小值的2倍,则a =______.【答案】2或12【解析】当01a <<时,函数()xf x a =为R 上的减函数,故()()122f f =,即22a a =,解得12a =.当1a >时,函数()xf x a =为R 上的增函数,故()()221f f =,即22a a =,解得2a =.故a 的值为2或12.故填:2或12.10.(2020·江苏秦淮�高三期中)不等式21124x x-⎛⎫>⎪⎝⎭的解集为_________.【答案】(1,2)-【解析】22111()242x x-⎛⎫>=⎪⎝⎭,化为220x x --<,解得12x -<<,所以不等式的解集是(1,2)-.故答案为:(1,2)-.11.(2019·深州长江中学高一期中)函数28212x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭的单调递增区间为_________.【答案】[)1,-+∞【解析】函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减,函数228y x x =--+的对称轴是1x =-,且在(],1-∞-上递增,在[)1,-+∞上递减.根据复合函数单调性同增异减可知:函数28212x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭的单调递增区间为[)1,-+∞.故填:[)1,-+∞.12.(一题两空)(2020·上海高一课时练习)函数2x y =的图象与函数2x y -=的图象关于________对称,它们的交点坐标是_________.【答案】y 轴()0,1【解析】函数2x y =的图象与函数2x y -=的图象如下:由指数函数的性质可知,函数2x y =的图象与函数2x y -=的图象关于y 轴对称,它们的交点坐标是()0,1.故答案为:y 轴;()0,1.三、解答题(本大题共4小题,共40分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)13.(2020·浙江高一课时练习)已知函数21,0()21,1x c cx x cf x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩,满足928c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求常数c 的值.(2)解关于x 的不等式2()18f x >+.【答案】(1)12;(2)2548xx ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭.【解析】(1)由928c f ⎛⎫=⎪⎝⎭,得9128c c ⋅+=,解得12c =.(2)由(1)得4111,022()121,12x x x f x x -⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+≤<⎪⎩.由2()18f x >+得,当102x <<时,121128x +>+,解得2142x <<;当112x ≤<时,422118x -+>+,解得1528x ≤<.综上,不等式2()18f x >+的解集为2548x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭.14.(2019·陕西临渭�高一期末)已知函数()2121x x f x -=+.(1)判断并证明函数()f x 的奇偶性;(2)判断并证明()f x 在其定义域上的单调性.【答案】(1)详见解答;(2)详见解答.【解析】(1)()f x 的定义域为实数集R ,2112()()2112x x x xf x f x -----===-++,所以()f x 是奇函数;(2)()21212121x x x f x -==-++,设12x x <,12121212222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-+=+++⋅+,12121212,022,220,()()x x x x x x f x f x <<<-<<,所以()f x 在实数集R 上增函数.15.(2019·黑龙江松北�哈九中高一期末)已知函数()1124x x f x a =--.(1)若1a =时,求满足()11f x =-的实数x 的值;(2)若存在[]0,1x ∈,使()0f x >成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)12log 3x =(2)34a >【解析】(1)当1a =时,()1111124x x f x =--=-,令()102x t t =>,则2120t t +-=,解得3t =或4t =-(舍),由132x=,得12log 3x =,所以12log 3x =.(2)由已知,存在[]0,1x ∈,使()0f x >成立可转化为存在[]0,1x ∈,使得1124x x a >+,只需求出函数11()24x x h x =+的最小值即可,令12x t =,∴1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则2y t t =+,易知2y t t =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以2min 113()224y =+=,∴min 3()4h x =,∴34a >.16.(2019·安徽合肥�高二开学考试)设函数()(2)x x f x a k a -=-+(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数.(1)求实数k 的值;(2)若3(1)2f =,22()2()x x g x a a mf x -=+-,且()g x 在[1,)+∞上的最小值为1,求实数m 的值.【答案】(1)1-;(2)1312.【解析】(1)因为()f x 是定义域为R 的奇函数,所以(0)0f =,所以1(2)0k -+=,即1k =-,当1k =-时,()))((()x x x x x x f f x a a f x a a a x a ---⇒=---=-=-=-符合条件.(2)因为13(1)2f a a =-=,所以22320a a --=,解得2a =或12a =-(舍).故()()()222()22222222222x x x x x xx x g x m m ----=+--=---+,令22x x t -=-,由1x ≥,故113222t -≥-=,所以2322,2y t mt t =-+≥函数222y t mt =-+图象的对称轴为t m =,①32m ≥时,22min 221y m m =-+=,解得1m =±(舍去);②32m <时,min 93214y m =-+=,解得133122m =<.所以,1312m =.。

高一上学期数学(必修一)《第四章 指数函数》同步练习题及答案-人教版

高一上学期数学(必修一)《第四章 指数函数》同步练习题及答案-人教版

高一上学期数学(必修一)《第四章指数函数》同步练习题及答案-人教版学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、单选题1.若关于x的方程(14)|x|+a−2=0有解,则实数a的取值范围是()A.[0,1)B.[1,2)C.[1,+∞)D.(2,+∞)2.设集合M={x∈Z∣100<2x<1000},则M的元素个数为()A.3 B.4 C.9 D.无穷多个3.已知函数f(x)=ex+π,g(x)=(πe)x(e为自然对数的底数),则()A.∀x∈(0,+∞),f(x)>g(x)B.∃x0∈(eπ,eπ)当x=x0时C.∀x∈(eπ,eπ) f(x)<g(x)D.∃x0∈(e2π,+∞)当x>x0时4.若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为()A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c5.函数f(x)=xe x|x|的大致图象为()A.B.C.D.6.已知集合M={x|xx−1≤0},N={x|(23)x>1},则M∩N=()A.∅B.{x|x<0}C.{x|0≤x<1}D.{x|0<x<1}7.已知f(x)=a x(a>0,且a≠1),且f(2)>f(3),则实数a的取值范围是( )A.0<a<1 B.a>1 C.a<1 D.a>08.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,那么t分钟后物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有一个60℃的物体,放在10℃的空气中冷却,2分钟后物体的温度是50℃,那么4分钟后该物体的温度是()A.42℃B.45℃C.46℃D.47℃二、多选题9.若函数f(x)=a x−b(a>0且a≠1)的图像经过第一、二、三象限,则()A.0<a b<1B.0<b a<1C.a b>1D.b a>110.已知函数y=a x,y=b x(a,b>0且a≠1,b≠1)的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.a>b>1B.0<a<b<1C.2a<2b D.b>a>111.设集合A={x|12<2x<7},下列集合中,是A的子集的是()A.{x|−1<x<1}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x<2}D.∅12.关于函数f(x)=4x−14x+1−a⋅2x,下列结论中正确的是()A.当a=0时,f(x)是增函数B.当a=0时,f(x)的值域为(−1,+∞)C.当a=1时,f(x)是奇函数D.若f(x)的定义域为R,则a<2三、填空题13.若函数f(x)=a x+2+b(a>0,且a≠1)的图象经过点(−2,3),则b=.14.无论a为何值,函数y=a x−3+1(a>0,a≠1)的图象恒经过一个定点,该定点坐标为.15.已知a 是正实数,若a 3>a π,则a 的取值范围是 .16.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=4x +3x +b (b 为常数),则f(x)在[−3,−1]上的最大值为 .四、解答题17.已知函数f(x)=a x +b(0<a <1)的图象经过点(0,−1).(1)求实数b ;(2)若f(x 2−2x)<f(3),求x 的取值集合.18.已知定义在R 上的函数f(x)=13x +1−a(a ∈R)为奇函数.(1)求a 的值,试判断f(x)的单调性,并用定义证明;(2)若f(2x −1)<f(x +3),求x 的取值范围.19.已知函数f(x)=|2x −12x +1|.(1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若存在正实数x 1,x 2且x 2>x 1,使得f(x)在区间[x 1,x 2]上的值域为[a 2x 1+1−3,a2x 2+1−3],求实数a 的取值范围.20.某医学研究所研发一种药物,据监测,如果成人在2h 内按规定的剂量注射该药,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.每毫升血液中的药物含量y (μg )与服药后的时间t (h )之间近似满足如图所示的曲线,其中OA 是线段,曲线段AB 是函数y =ka t (t ≥2,a >0,k ,a 是常数)的图象,且A(2,8),B(4,2).(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量y 关于时间t 的函数关系式;(2)据测定:每毫升血液中药物含量不少于1μg 时治疗有效,如果某人第一次注射药物为早上8点,为保持疗效,第二次注射药物最迟是当天几点钟?(3)若按(2)中的最迟时间注射第二次药物,则第二次注射后再过1.5h,该人每毫升血液中药物含量为多少μg(精确到0.1μg)?参考答案1.B2.A3.D4.D5.B6.A7.A8.A9.B,C10.C,D11.A,C,D12.A,C,D13.214.(3,2)15.0<a<116.-617.(1)解:函数f(x)=a x+b经过点(0,−1),则−1=a0+b(0<a<1)所以b=−2.(2)解:因为0<a<1,所以函数f(x)在(−∞,+∞)上为减函数又因为f(x2−2x)<f(3),所以x2−2x>3,即(x−3)(x+1)>0,解得x<−1或x>3所以x的取值集合为(−∞,−1)∪(3,+∞).18.(1)解:因为函数f(x)为R上的奇函数,则f(−x)=−f(x),即f(−x)+f(x)=0即13−x+1+13x+1−2a=3x3x(3−x+1)+13x+1−2a=1−2a=0,解得a=12所以,f(x)=13x+1−12,则函数f(x)为R上的减函数,证明如下:任取x1、x2∈R且x1>x2,则3x1>3x2>0所以,f(x1)−f(x2)=(13x1+1−12)−(13x2+1−12)=3x2−3x1(3x1+1)(3x2+1)<0则f(x1)<f(x2),所以,函数f(x)为R上的减函数;(2)解:由f(2x−1)<f(x+3)且函数f(x)为R上的减函数则2x −1>x +3,解得x >4因此,满足不等式f(2x −1)<f(x +3)的x 的取值范围是(4,+∞).19.(1)解:函数f(x)为偶函数,理由如下:由题知函数f(x)的定义域为R因为f(−x)=|2−x −12−x +1|=|1−2x2x +1|=|2x −12x +1|=f(x)所以函数f(x)为偶函数.(2)解:因为x >0,2x −1>0所以,当x >0时f(x)=2x −12x +1=1−22x +1设x 2>x 1>0,则2x 1−2x 2<0,2x 1+1>0,2x 2+1>0所以f(x 1)−f(x 2)=(1−22x 1+1)−(1−22x 2+1)=22x 2+1−22x 1+1=2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)<0 所以f(x 1)−f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2)所以,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增因为在正实数x 1,x 2且x 2>x 1,使得f(x)在区间[x 1,x 2]上的值域为[a 2x 1+1−3,a 2x 2+1−3]所以{f(x 1)=1−22x 1+1=a 2x 1+1−3f(x 2)=1−22x 2+1=a 2x 2+1−3,即方程2x −12x +1=a2x+1−3有两个不相等的正实数根 所以,方程a =(2x −1)(2x+1−3)2x +1有两个不相等的正实数根 令2x =t >1所以,方程a =(t−1)(2t−3)t+1有两个均大于1且不相等的正实数根所以,2t 2−(5+a)t +3−a =0两个均大于1且不相等的正实数根 令g(t)=2t 2−(5+a)t +3−a所以,g(t)=2t 2−(5+a)t +3−a 两个均大于1且不相等的零点所以,{Δ=(5+a)2−8(3−a)>05+a 4>1g(1)=2−(5+a)+3−a >0,即{a 2+18a +1>05+a >4−2a >0,解得−9+4√5<a <0 所以,实数a 的取值范围是(−9+4√5,0)20.(1)解:当0≤t ≤2时y =4t ;当t ≥2时,把A(2,8),B(4,2)代入y =ka t (t ≥2,a >0,k ,a 是常数)得{ka 2=8ka 4=2,解得{a =12k =32,故y ={4t ,0≤t ≤232×(12)t ,t >2.(2)解:设第一次注射药物后最迟过t 小时注射第二次药物,其中t >2. 则32×(12)t ≥1,解得t ≤5即第一次注射药物5h 后开始第二次注射药物,即最迟13点注射药物.(3)解:第二次注射药物1.5h 后每毫升血液中第一次注射药物的含量y 1=32×(12)6.5=√24每毫升血液中第二次注射药物的含量y 2=4×1.5=6μg所以此时两次注射药物后的药物含量为√24+6≈6.4μg . 故该人每毫升血液中药物含量为√24+6≈6.4μg .。

人教版数学高一必修一同步训练 指数函数与对数函数的关系

人教版数学高一必修一同步训练  指数函数与对数函数的关系

3.2.3 指数函数与对数函数的关系一、基础过关1.函数y =3x (-1≤x <0)的反函数是( )A .y =log 13x (x >0)B .y =log 3x (x >0)C .y =log 3x (13≤x <1) D .y =log 13x (13≤x <1) 2.已知函数y =e x 的图象与函数y =f (x )的图象关于直线y =x 对称,则( ) A .f (2x )=e 2x (x ∈R )B .f (2x )=ln 2·ln x (x >0)C .f (2x )=2e x (x ∈R )D .f (2x )=ln 2+ln x (x >0)3.已知函数y =log a x 与其反函数的图象有交点,设交点的横坐标为x 0,则有( ) A .a >1且x 0>1B .0<a <1且0<x 0<1C .a >1且0<x 0<1D .0<a <1且x 0>14.已知a >0且a ≠1,函数y =a x 与y =log a (-x )的图象可能是 ( )5.函数y 1=log 3x 与函数y 2=3x ,当x 从1增加到m 时,函数的增量分别是Δy 1与Δy 2,则Δy 1________Δy 2.(填“>”,“=”或“<”)6.已知函数f (x )=x 2-2x +3,x ∈(-∞,-10,16,+∞)7.解 因函数y =log 2x +2的反函数的定义域为(3,+∞),所以该函数的值域为(3,+∞), 所以log 2x +2>3,所以log 2x >1,即x >2,所以函数y =log 2x +2的定义域为(2,+∞).8.解 ∵y =12x +a 的反函数为y =2x -2a 应与函数y =3-bx 为同一函数,∴-2a =3,且2=-b ,∴a =-32,b =-2. 9.B 10.B11.12,1)∪(1,2 12.解 将方程整理得2x =-x +3,log 2x =-x +3. 如图可知,a 是指数函数y =2x 的图象与直线y =-x +3交点A 的横坐标,b 是对数函数y =log 2x 的图象与直线y =-x +3交点B 的横坐标. 由于函数y =2x 与y =log 2x 互为反函数, 所以它们的图象关于直线y =x 对称,由题意可得出A 、B 两点也关于直线y =x 对称, 于是A 、B 两点的坐标为A (a ,b ),B (b ,a ). 而A 、B 都在直线y =-x +3上,∴b =-a +3(A 点坐标代入),或a =-b +3(B 点坐标代入),故a +b =3.13.解 (1)要使f (x )有意义,需2x -1>0,所以x >12,故函数f (x )的定义域为(12,+∞),值域为R .(2)由f (x )=log a (2x -1),得2x -1=a y .所以x =12a y +12,所以f -1(x )=12a x +12(x ∈R ) . (3) 函数f -1(x )在R 上是增函数.证明如下:任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,f -1(x 2)-f -1(x 1)=12ax 2+12-12ax 1-12=12(ax 2-ax 1). ∵a >1,x 1<x 2,∴ax 2>ax 1,ax 2-ax 1>0, ∴f -1(x 2)>f -1(x 1).∴函数f -1(x )在R 上是增函数.。

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2.1 指数函数
一、选择题
1.函数f (x )=(a 2-1)x 在R 上是减函数,则a 的取值范围是( )
A 、1>a
B 、2<a
C 、a<2
D 、1<2<
a
2.下列函数式中,满足f(x+1)=2
1f(x)的是( ) A 、 21(x+1) B 、x+4
1 C 、2x D 、2-x
3.下列f(x)=(1+a x )2x a -⋅是( )
A 、奇函数
B 、偶函数
C 、非奇非偶函数
D 、既奇且偶函数
4.函数y=1
212+-x x 是( ) A 、奇函数 B 、偶函数
C 、既奇又偶函数
D 、非奇非偶函数
5.函数y=1
21-x 的值域是( ) A 、(-1,∞) B 、(-,∞0)⋃(0,+∞)
C 、(-1,+∞)
D 、(-∞,-1)⋃(0,+∞)
6.下列函数中,值域为R +的是( )
A 、y=5x -21
B 、y=(3
1)1-x C 、y=1)21
(-x
D 、y=x 21-
7.已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x +b 的图像必定不经过( )
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
二、填空题
8.函数y=11
51--x x 的定义域是 9.函数y=(3
1)1822+--x x (-31≤≤x )的值域是 10.直线x=a(a>0)与函数y=(
31)x ,y=(21)x ,y=2x ,y=10x 的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点,则这四点从上到下的排列次序是
11.函数y=3
232x -的单调递减区间是
12.若f(52x-1)=x-2,则f(125)=
三、解答题
13、已知关于x 的方程2a 22-x -7a 1-x +3=0有一个根是2, 求a 的值和方程其余的根
14、设a 是实数,)(122)(R x a x f x ∈+-
=试证明对于任意a,)(x f 为增函数
15、已知函数f(x)=
9
|1|2--a a (a x -a x -)(a>0且a ≠1)在(-∞, +∞)上是增函数, 求实数a 的取值范围
参考答案
一、选择题
1、D ;
2、D ;
3、B ;
4、A ;
5、D ;
6、B ;
7、A
二、填空题
8.(-∞,0)⋃(0,1) ⋃(1,+ ∞)
9.[(31
)9,39]
10.D 、C 、B 、A 。

11.(0,+∞)
12.0
三、解答题
13、解: 2a 2-7a+3=0, ⇒a=21
或a=3. a=21
时, 方程为: 8·(21
)x 2-14·(21
)x +3=0⇒x=2或x=1-log 23
a=2时, 方程为: 21
·2x 2-27
·2x +3=0⇒x=2或x=-1-log 32
14、证明:设21,x x ∈R,且21x x < 则)
12)(12()
22(222122)
122
()122
()()(2121122121++-=-+=+--+-=-x x x x x x x x a a x f x f
由于指数函数 y=x 2在R 上是增函数,且21x x <,
所以2122x x <即2122x x -<0,
又由x 2>0得12x +1>0, 22x +1>0
所以)()(21x f x f -<0即)()(21x f x f <
因为此结论与a 取值无关,所以对于a 取任意实数,)(x f 为增函数
15、解: 由于f(x)递增, 若设x 1<x 2,
则f(x 1)-f(x 2)=9|1|2--a a [(a 1
x
-a 1x -)-(a 2x -a 2x -)]=9|1|2--a a (a
1
x -
a 2x )(1+a 1x -·a 2x -)<0, 故(a 2-9)( (a 1x -a 2x )<0.
(1)⎩⎨⎧>->091
2a a , 解得a>3; (2) ⎩⎨⎧<-<<091
02a a , 解得0<a<1.
综合(1)、(2)得a ∈(0, 1)⋃(3, +∞)。

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