[数学]材料力学能量法新02

2
§13-2 杆件应变能计算
一、轴向拉伸和压缩
1 Pl 1 U W P l 2 P EA 2
P
P l N l 2 EA 2 EA
N ( x) U dx 2 EA ( x ) l
2
2
2
P
l
l
二、扭转
m

m

2
Leabharlann Baidu

2
1 1 ml m l T l U W m m 2 2 G I p 2G I p 2 G I p
移，所作的功为
总变形能为
改变加力次序，先作用Qi组力,该组力
所作的功为
后作用Pi组力,该组力所作的功为
作用Pi组力时, Qi作用点产生新的位
移，所作的功为
总变形能为
显然，U1=U2 ，得
功的互等定理:
第一组力在第二组力施加时所产生的位 移上所作的功等于第二组力在第一组力 施加时所产生的位移上所作的功
例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功
能原理求自由端B的挠度。
解：
M ( x) P x
2 3 ( Px ) 2 M ( x) P l dx dx 2 E I 2E I 6 EI 0
2
U

l
l
1 W P vB 2
Pl 由 U W，得 v B 3EI
3
例：试求图示梁的变形能，并利用功能原
当T=T(x)或截面变化 A=A(x)时，可取微段：
T ( x) U dx 2G I p ( x ) l
2
三、弯曲
2 2 ml 1 1 m l M l 纯弯曲： U W m m 2 EI 2 2E I 2E I
横力弯曲：U
M ( x) 2 E I ( x ) dx l
3 P 2 R 3 P 2 R 3 4GI p 4E I 1 W P AV 2
由U W，得：
AV 3 PR PR 2GI p 2 EI
3 3

R
§13.3
变形能的普遍表达式
一.一般情况下变形能不符合叠加原理 变形能是广义力(或广义位移)的二次函数，所以不能 随意叠加。 二.克拉贝依隆原理 若弹性体上作用着n 个广义力Pi，则Pi对应的广义位移di 不仅与Pi有关，与n个力可能都有关系，因此算功困难。 而由力的独立作用原理，多个外力的总功与加载次序无 关，所以可以设想一个便于计算变形能的加载次序“比例 加 载”，即：各力从零开始同时按比例增加，最后同时到达 终
2 2
2
3
1 W P BV 2
由U W，得：
R

BV
PR
4 EI
3
例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端
的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的
垂直位移。已知GIp、EI为常量。
解：T ( ) PR(1 cos ) ,
M ( ) PR sin
T 2 ( ) M 2 ( ) U Rd Rd 2G I p 2E I l l
1 W P vC 2
由U W，得： Pa 2b 2 vC 3EI l
例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，
并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI
为常量。
解： M ( ) PR sin

U

l
M 2 ( ) Rd 2E I
( PR sin ) P R 2 E I Rd 8 EI 0
（1）线弹性体；非线性弹性体
（2）静定问题；超静定问题
（3）是有限单元法的重要基础
三.功能原理在弹性变形中的应用 在缓慢加载(静载)的条件下，外力所做的功W全部转 化为弹性体的变形能U，即：W = U； 在弹性范围内，外力逐渐解除时，变形能又全部转变 为功。 四.作用在弹性体上的功的计算 (在线弹性范围内) 1.一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功： W 1 Pd 这里 P是广义力， d 是对应的广义位移 (1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移； (2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角； (3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移； (4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。
各力按比例b增长,则当b有一增量db时
外力所作的总功为
根据功能原理，应有
对组合变形而言，应变能为
其中
积分可得总变形能
§13.4 互等定理 —— 力在其它力引起的位移上所 做的功之间的关系
一.功的互等定理 1.力 Pi 在力 Pj 的作用点引起的位移是 dji 。 2.功的互等定理：
Pidij = Pjdji
2
四: 作用在弹性体上力的功的计算 (在线弹性范围内)
使用广义力、广义位移的概念，则
一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功： W 1 Pd
2
这里 P是广义力， d 是对应的广义位移 (1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移； (2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角； (3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移； (4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。
推广：第一组力在第二组力引起的位移上所做的功等于
第二组力在第一组力引起的位移上所做的功。
二.位移互等定理
若 Pi = Pj (仅指数值相等) ，则由功的互等定理可得：
dij = dji
(仅数值相等)
两组力Pi,Qi
单独作用Pi组力,该组力所作的功为
后作用Qi组力,该组力所作的功为
作用Qi组力时, Pi作用点产生新的位
第十三章
能量方法
大纲要求
一.掌握弹性体的外力功和杆件基本变形能的计算方法。 二.了解两个互等定理。 三.能应用功能原理计算位移。 四. 熟练运用卡氏第二定理计算位移。 五.熟练运用单位载荷法与图乘法计算位移。
§13－1 概 述
一.能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形 固体的位移、变形和内力等的方法。 二.能量法的应用范围：
理求C截面的挠度。
解：
U

l
Pb Pa x1 x2 2 a b M ( x) l l dx dx1 dx 2 2E I 2E I 2E I 0 0
2 2 3 2 2 3
2 2 2
2
2
P b a P a b P a b 2 2 6 EI l 2 EI l 3 2 EI l 3