[数学]材料力学能量法新02
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14
先加F1后加F2 F1
F2
先加F2后加F1 F1
F2
不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载， 外力同时达到最终值，即比例加载，外力功不变。
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15
三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理 线弹性体上，作用有载荷F1,F2 , … Fi, … Fn 与外力方向相应的位移为D1, D2, … Di, … Dn 由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数
……
Di*= di1F1 * +di2 F2 * + … +diiFi * … +dinFn *= lDi
……
注意：带星号上标的载荷和位移都是中间值，所 以是变数，随着l的变化而变化。
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18
Ve
W
n i 1
1 2
Fi Di
线弹性体的外力功或变形能等于每一外力与其 对应位移乘积之半的总和。
20
组合变形
M
据Clapeyron原理，
微段dx上
dVe
dW
1 2
FNd (Dl )
1 Mdq
2
1 Tdj
2
FN2dx M 2dx T 2dx
dx
2EA 2EI 2GIP
整个杆件的应变能为
Ve
FN2
(
x
)
dx
l 2EA
M2 (x)
dx l 2EI
T2 (x)
dx l 2GIP
T
FN
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已知：EI = 常数，用功能原理
F
计算A点的挠度。
A
B
解：①建立坐标系
wA
材料力学能量法
限制条件：不适 用于求解动力学 问题如振动、冲 击等
适用范围：适用 于求解线性问题 如弹性、塑性等
限制条件：不适 用于求解非线性 问题如塑性、蠕 变等
材料力学能量法的发展趋势和未来 展望
材料力学能量法的发展趋势
计算方法：发展高效、准确 的数值计算方法
应用领域：拓展应用领域如 航空航天、生物医学等
柱的压缩问题
问题描述：柱在轴向 压力作用下的压缩问 题
应用实例：桥梁、建 筑等结构中的柱在受 压时的变形和破坏
能量法分析：利用能 量法分析柱的受压变 形和破坏过程
结论：能量法在柱的 压缩问题中的应用可 以有效地预测柱的变 形和破坏情况为工程 设计提供依据。
弹性体的振动问题
添加 标题
弹性体振动问题的背景：在工程中弹性体的振动问题非常常见如桥梁、建筑物、机械设备等。
定义和原理
材料力学能量法： 一种研究材料力学 问题的方法通过分 析能量变化来求解 问题。
基本概念：能量、 应力、应变、位移 等。
原理：根据能量守 恒定律材料的变形 和破坏过程中能量 会发生变化通过分 析这些变化可以求 解问题。
应用：广泛应用于 结构分析、优化设 计等领域。
能量法的应用范围
结构力学：分析结构受力、变形和稳定性 材料力学：分析材料应力、应变和断裂 流体力学：分析流体流动、压力和速度 热力学：分析热传导、对流和辐射 电磁学：分析电磁场、电磁波和电磁感应 声学：分析声波传播、反射和吸收
能量法的基本假设
材料是连续、均匀、各向同性的
材料是线弹性的应力与应变成正 比
添加标题
添加标题
材料是弹性的满足胡克定律
添加标题
添加标题
材料是各向同性的应力与应变的 关系与方向无关
材料力学课件：能量法(一) (2)
公式中k为广义力Fk的相应广义位移
公式中的广义力Fk为相互独立的变量
14
能量法(一）
卡氏第二定理要早于克罗第—恩格塞定理
卡氏第二定理的证明：
Fk
F1 F2 Fk Fn A
1、 各Fi作用下梁的总外力功 B 2、给Fk一微增量Fk后的外力功增量
1 2 k
n
3、改变加载次序(先加Fk，后)
加Fi)的总外力功
bh5/ 2
l h/2
Vc V vcdV 2 0 0 vcbdydx
Vc F
25 F 2l 4 2c 2b 2 h 5
19
能量法(一）
➢
卡氏定理的应用：
k
V FkBiblioteka 例1：求A端的挠度P
A l
x
l M 2(x)
V 0
dx 2 EI
M(x) Px
Pl3 f A 3EI
20
能量法(一）
例2：求A端的转角
P
A l
P
M
x
k
V Fk
l M 2(x)
V 0
dx 2 EI
M(x) Px M
A
V M
M 0
附加力法：先假设一附加力，对被积函数求导后，令附加力等于零
21
能量法(一）
例3：EI为常数，求fA，A
k
V Fk
fA
V P
A
V ( Pa )
Pa
B
aC a
A
V
1( 2EI
a 0
和均取绝对值。求A端的挠度。
k
Vc Fk
F
A l
弹性体余能：Vc V vcdV
不考虑剪力的影响：微体处于单向
材料力学 能量法
FN1 = F sinα ( 拉) , FN2 = F tanα ( 压 )
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
11章-材料力学中的能量法
第11章 材料力学中的能量法
TSINGHUA UNIVERSITY
应用更广泛的能量方法，可以确定:
构件或结构上加力点沿加力方向的位移; 构件或结构上任意点沿任意方向的位移; 不仅可以确定特定点的位移，而且可以 确定梁的位移函数。
第11章 材料力学中的能量法
本章将介绍：
☆ 功和能的基本概念； ☆ 虚位移原理；
第11章 材料力学中的能量法
基本概念
对于承受弯曲的梁
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d
ห้องสมุดไป่ตู้
忽略剪力影响，微段的应变能为
d Vε 1 M d 2
其中dθ 为微段两截面绕中性轴相对转过的 角度，
d2w M d d x dx EI dx 2
M dx
M
代入上式积分后，得到梁的应变能的表达 式
功的互等定理(reciprocal theorem of work)
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FP1 FP2 FPm
… FP 系统
FS2 FSn
FS1
…
SP2
SPm
SP1
FS 系统
F P 1Δ S P 1 F P 2 Δ S P 2 F P m Δ S P m
功的互等定理：一个力系的力在另一个力系引起 的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一 个力系引起的相应的位移上所作之功。
第11章 材料力学中的能量法
互等定理
功的互等定理的证明
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FP1 FS1
P1 SP1 S1
FP2
FS2
P2
FPm
Pm
FSn
材料力学II能量法的应用补充
压杆的临界载荷——极值点失稳问题
压杆的临界载荷——极值点失稳问题
曲线OA部分为稳定平衡，极值点以后部 分为不稳定平衡。A点为临界状态。
对于受轴向压力P作用的扁锥，力P与轴 向位移间的关系如图b所示。不仅存在相 对极大值A点，还存在相对极小值B点。 这类无分支点的稳定问题也称为跳跃 (snap)问题。
能量法的应用
能量法研究梁的横向剪切效应 能量法研究杆件的冲击应力 能量法研究压杆的临界载荷 能量法研究梁柱纵横弯曲变形与应力计
算等问题 此外，另一重要应用为求解静不定问题。
梁的横向剪切效应
梁的横向剪切效应
梁的横向剪切效应
梁的横向剪切效应
梁的横向剪切效应
梁的横向剪切效应
将（a）式代入到公式（5）可得临界载荷为
Fcr
EIw''2 dx
l
w'2 dx
l
l
EI(
a
l2
2
sin
x
l
)2
dx
( a cos x )2 dx
2EI l2
ll
l
所得解答与精确解相同。之所以如此，是因为 假设的挠曲线方程就是真实的挠曲线方程。
例 2 如图所示细长 压杆，一端固定、另 一端自由，承受集度 为q的轴向均布载荷 作用。试用能量法确 定载荷q的临界值qcr。
平衡；
若ΔΠ<0，原始状态ΔΠ=max，属于不稳
定平衡；
若ΔΠ=0，势能不变，属于随遇平衡。
平衡相关物理概念从数学观点看可以归 结为寻求势能函数的极小值和极大值的 微分或变分问题。
压杆的临界载荷
两类失稳形式： 弹性体的平衡问题，其稳定性取决于结
材料力学第8章-能量法
能量原理的应用
能量原理可以应用于弯曲、拉伸、压缩等各种不同的力学问题。通过计算系统的势能和应变能，可以分 析材料的应力分布、变形情况和稳定性。
弹性势能和弹性材料的能量原 理
弹性势能是指弹性材料在外力作用下产生的能量。通过应变能和弹性势能之 间的关系，可以推导出弹性材料的力学性质和变形方程。
弹塑性材料的能量原理
材料力学第8章-能量法
材料力学的能量法是研究材料变形和力学行为的重要方法，它具有广泛的应 用。本章将介绍能量法的基本概念和应用，以及弹性和弹塑性材料的能量原 理。
能量法的基本概念
能量法是一种力学分析方法，通过考虑系统的能量变化，推导出材料的力学 性质和变形行为。能量法的基本概念包括势能和应变能的概念，以及能量守 恒定律。
通过能量法，我们可以分析臂梁在外力作用下的弯曲行为。通过计算和优化梁的几何参数和材料性质， 可以设计出更加稳定和高效的悬臂梁结构。
总结和要点
能量法是一种重要的材料力学分析方法，它通过考虑材料的能量变化，分析 材料的力学性质和变形行为。
对于弹塑性材料，除了考虑弹性势能外，还需要考虑应变能和塑性势能的贡献。能量原理可以用来分析 弹塑性材料的强度和变形行为。
能量法在材料力学中的重要性
能量法是材料力学中的一种基本方法，它可以用来分析各种不同类型的力学问题，包括材料的变形、破 坏和失稳行为。掌握能量法对于研究和设计材料结构至关重要。
应用实例：悬臂梁弯曲问题的分析
[数学]材料力学能量法新02
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当T=T(x)或截面变化 A=A(x)时，可取微段：
T ( x) U dx 2G I p ( x ) l
2
三、弯曲
2 2 ml 1 1 m l M l 纯弯曲： U W m m 2 EI 2 2E I 2E I
横力弯曲：U
M ( x) 2 E I ( x ) dx l
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四: 作用在弹性体上力的功的计算 (在线弹性范围内)
使用广义力、广义位移的概念，则
一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功： W 1 Pd
2
这里 P是广义力， d 是对应的广义位移 (1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移； (2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角； (3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移； (4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。
i=1
n
将P1, P2, ……, Pn看作第一组力, Pi看 作第二组力,由功的互等定理,有
di Pi =S Pi di
i=1
n
所以有 因此
U = di Pi
U di = —— Pi
取极限得
常见情况的卡氏定理
U di = —— Pi
M M di dx l EI x
V d i 注意到上式与下式在数值上相等 d V i V 从而有： F i （卡氏第一定理 ） i
注意： •卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线 性弹性体。 •式中Fi及i分别为广义力、广义位移。
dW F i d i
•必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。
• 由于通常不知道位移函数， 因而卡氏第一定理不很有用
T ( x) U dx 2G I p ( x ) l
2
三、弯曲
2 2 ml 1 1 m l M l 纯弯曲： U W m m 2 EI 2 2E I 2E I
横力弯曲：U
M ( x) 2 E I ( x ) dx l
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四: 作用在弹性体上力的功的计算 (在线弹性范围内)
使用广义力、广义位移的概念，则
一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功： W 1 Pd
2
这里 P是广义力， d 是对应的广义位移 (1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移； (2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角； (3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移； (4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。
i=1
n
将P1, P2, ……, Pn看作第一组力, Pi看 作第二组力,由功的互等定理,有
di Pi =S Pi di
i=1
n
所以有 因此
U = di Pi
U di = —— Pi
取极限得
常见情况的卡氏定理
U di = —— Pi
M M di dx l EI x
V d i 注意到上式与下式在数值上相等 d V i V 从而有： F i （卡氏第一定理 ） i
注意： •卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线 性弹性体。 •式中Fi及i分别为广义力、广义位移。
dW F i d i
•必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。
• 由于通常不知道位移函数， 因而卡氏第一定理不很有用
材料力学能量法
材料力学能量法材料力学能量法是材料力学中的一种重要分析方法，它通过能量原理来研究材料的力学性能和行为。
能量法在工程应用中具有广泛的意义，可以用于解决各种复杂的材料力学问题。
本文将对材料力学能量法进行详细介绍，包括其基本原理、应用范围和计算方法等内容。
首先，我们来看一下材料力学能量法的基本原理。
能量法是以能量守恒原理为基础的一种力学分析方法，它认为在任何力学系统中，系统的总能量始终保持不变。
在材料力学中，通过能量方法可以方便地求解结构的变形、应力分布和稳定性等问题。
能量法的基本原理为系统的总能量等于外力对系统做功的总和，即系统的内能和外力对系统做功的总和保持恒定。
其次，材料力学能量法的应用范围非常广泛。
它可以用于分析材料的弹性、塑性、断裂等力学性能，也可以用于研究材料的疲劳、蠕变、冷却等行为。
在工程实践中，能量法可以应用于各种材料的设计、优化和性能评估，如金属材料、复合材料、土木工程材料等。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学行为，为工程设计和材料选型提供科学依据。
最后，我们来介绍一下材料力学能量法的计算方法。
能量法的计算方法主要包括弹性能量法、弹塑性能量法和断裂能量法等。
在应用中，需要根据具体问题选择合适的能量方法，并结合数值计算和实验验证进行分析。
在计算过程中，需要考虑材料的本构关系、加载条件和边界约束等因素，以确保计算结果的准确性和可靠性。
综上所述，材料力学能量法是一种重要的力学分析方法，具有广泛的应用前景和深远的理论意义。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学性能和行为，为工程实践提供科学依据。
在今后的研究和应用中，我们需要进一步深入理解能量法的基本原理和计算方法，推动其在材料力学领域的发展和应用。
材料力学第8章-能量法
能量法/超静定问题 力法
能量法/超静定问题 力法
A
B
F
C
A
B
F
X1
A
B
F
X1
例 如图超静定梁, EI为常数,试求B点的约束反力。
解: (1) 判断超静定次数:
一次超静定!
(2) 解除多余约束,构造静定基:
B. 解除B点的可动铰支座,补充横向集中反力
A. 解除A点固定端的转动约束变为固定铰支座, 补充反力偶作用
单位力偶作用下的弯矩图
力F作用下的弯矩图
能量法/超静定问题 力法
Fa/2-Fa2/[4(a+b)]
Fa2/[4(a+b)]
1
1
1
Fa/2
根据力法正则方程：
M10
MF
根据图形互乘法：
所以有：
则：
弯矩图如图所示
能量法/超静定问题 力法
A，B两点有无相对水平位移？如何计算？
F
X1
X1
F/2
F/2
能量法/超静定问题 力法
qa2/2
qa2/2
a
a
1
a
1
解：为两次超静定问题。解除A点的约束， 并作用水平和铅垂的单位集中力。
在静定基上分别作均布力和两个单位集中 力的弯矩图如下图所示。
令水平力为‘第一’个未知反力，铅垂力为第二个。
能量法/超静定问题 力法
根据图形互乘法有：
1
代入力法正则方程：
2
有：
3
能量法/超静定问题 力法
F/2
F/2
结构由三次超静定转化为一次超静定问题。
能量法/超静定问题 力法
1
1
1
能量法/超静定问题 力法
A
B
F
C
A
B
F
X1
A
B
F
X1
例 如图超静定梁, EI为常数,试求B点的约束反力。
解: (1) 判断超静定次数:
一次超静定!
(2) 解除多余约束,构造静定基:
B. 解除B点的可动铰支座,补充横向集中反力
A. 解除A点固定端的转动约束变为固定铰支座, 补充反力偶作用
单位力偶作用下的弯矩图
力F作用下的弯矩图
能量法/超静定问题 力法
Fa/2-Fa2/[4(a+b)]
Fa2/[4(a+b)]
1
1
1
Fa/2
根据力法正则方程：
M10
MF
根据图形互乘法：
所以有：
则：
弯矩图如图所示
能量法/超静定问题 力法
A，B两点有无相对水平位移？如何计算？
F
X1
X1
F/2
F/2
能量法/超静定问题 力法
qa2/2
qa2/2
a
a
1
a
1
解：为两次超静定问题。解除A点的约束， 并作用水平和铅垂的单位集中力。
在静定基上分别作均布力和两个单位集中 力的弯矩图如下图所示。
令水平力为‘第一’个未知反力，铅垂力为第二个。
能量法/超静定问题 力法
根据图形互乘法有：
1
代入力法正则方程：
2
有：
3
能量法/超静定问题 力法
F/2
F/2
结构由三次超静定转化为一次超静定问题。
能量法/超静定问题 力法
1
1
1
材料力学2--能量法
因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量, 而与其余各荷载相应 的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量d i ，仅Fi 作了外 力功，外力功的变化为：
d W Fi di
注意到上式与下式在数值上相等
V d V d i i
从而有：
V Fi i
（卡氏第一定理 ）22l l 2 l l 2 FN EA
F F F Fl FN 2 sin 2 tan 2 l 2
F 代入前一式得： l EA
3
F F= ( /l )3 EA
或： F EA
l
3
（几何非线性弹性问题）
O
其F-间的非线性关系曲线为： 应变能为：
所以有
V vV v Al
应变能的特征：
（1）应变能恒为正的标量，与坐标系的选取无关； （2）由能量守恒原理可以证明：应变能仅与荷载的 最终值有关，而与加载的顺序无关； （3）在线弹性范围之内，应变能为内力（或位移） 的二次函数，因此力的叠加原理不再适用；
例1：弯曲刚度为 EI 的简支梁受均布荷载 q 作用，如图所 示。 试求梁内的应变能 。
由于外力余功在数值上等于余能，得
d V c d Wc
V c 解得： i Fi
（称为“余能定理”）
特别：对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能 V 在数值上等于余能V c ， 此时上式变为：
V i Fi
（称为“卡氏第二定理”）
式中的Fi 和i分别为广义力和广义位移。
应用卡氏第一定理得
V EA 4 2 2 ( 1 2) 0 1 2l 2 2 V EA 2 ( 1 2) F 2 2l 2
材料力学能量法第2节 莫尔定理
yC l
M0(x)M (x) dx EI
• 莫尔定理：上述方法叫做单位 载荷法，是由德国人Christian Otto Mohr 于1882年首先提出 的，故又称莫尔定理，或莫尔
积分。莫尔曾设计了不少一流
的钢桁架结构和德国一些最著 名的桥梁。他是 19 世纪欧洲最 杰出的土木工程师之一。
承受弯曲的杆件 某截面 C 的转角
在梁的 B 截面施加顺时 针转向的单位力偶，此时 梁的弯矩方程
M 0 (x) 1
（2）计算 B 截面转角 B
M 0 (x) 1
M (x) 1 q(l x)2 2
B
l
M0(x)M (x) dx EI
q 2EI
l
0
(l
x)2 dx
ql3 6EI
顺时针转向
例11-6 如图所示简支梁，已知梁的抗弯刚度为EI，
所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功 的量纲；
M1 (x) 与 M 0 (x) 的坐标系必须一致，每段杆的坐
标系可自由建立；
莫尔积分必须遍及整个结构。
例11-5 如图所示悬臂梁，已知梁的抗弯刚度为EI， 试用莫尔定理计算自由端 B 截面的挠度 yB和转角B。
解：q作用下梁的弯矩方程 M (x) 1 q(l x)2 2
（1）计算 C 截面挠度 yC
yC
l
M0 (x)M (x) dx EI
1 EI
l/2
0
x 2
( ql 2
x
qx2 2
)dx
1 EI
l
l /
2
l
2
x
(
ql 2
《材料力学(II)》第三章能量法
vc
1 d
0
余功与外力功
W 1 Fd 之和等于矩形面积 0
F11
F
F
曲线与纵 F1
dF
轴围成的
F
面积
11
o
1
材料力学Ⅱ电子教案
第三章 能量法
例题 图示等截面悬臂梁，E, I, A已知。在自由端受集中力F 和集中力偶M作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。 考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响.
第三章 能量法
例题 线弹性材料悬臂梁，受力如图所示，若F、EI、l等
均为已知，试用卡氏第二定理求： 1.加力点A处的挠度； 2.梁中点B处的挠度。
解：
F
x
1.加力点A处的挠度 C
B
l/2
l/2
A
弯矩： M Fx
Vε
M2 dx
l 2EI
F2 2EI
l 0
x 2dx
F 2l3 6EI
wA
Vε F
卡氏第二定理
i
V Fi
——卡氏第二定理
线弹性范围内，杆件的应变能对于杆件上某
一荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。
28
材料力学Ⅱ电子教案
第三章 能量法
III. 卡氏第一定理和余(Δ1, Δ2 ,, Δi ,, Δn ) Vc f (F1, F2 ,, Fi ,, Fn )
(1 2
Δ12
Δ1 Δ2
1 2
Δ22 )
由卡氏第一定理，得
AB Δ1
Vε EA ( 4 Δ1 2l 2
2 Δ1
2 2
Δ2 )
0
BC
2 2
(1
2
)
Vε Δ2
材料力学( 最新 )能量法
U W
• 10-2
杆件变形能的计算
P P
•轴向拉压 •轴力P与轴向变形成正比 •当轴力N沿轴向为变量时
N 2 ( x)dx dU udV dV Pl 2 2 EA N 2 ( x)dx dU 2 EA N 2 ( x)dx U dU l l 2 EA
' 4
1 1 U b P 3 P4 4 3 2 2
P3
P 4
A
B
1'
' 2
3
4
• 10-4
P 1
互等定理
P 2
A
P3
P 4
B
' 4 4
1
' 1
2
' 2
3
' 3
1 1 1 1 ' U1 P 1 P2 2 P 3 P4 4 P 1' P2 2 1 3 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ' ' U 2 P 1 P2 2 P 3 P4 4 P 3 P4 4 1 3 3 2 2 2 2
U1 U 2
P 1' P2 2' P3 3' P4 4' 1
•功的互等定理
P P P P
' 1 1 ' 2 2 ' 3 3 ' 4 4
•第一组力在第二组力引起的位移上做的功，等 于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功
' 当P2和P4等于零时 P 1' P3 3 1
V wA ε FP
FP2l 3 x 2dx 0 6 EI
l
FP l 3 wA () 3EI
材料力学_能量法_课件
拉压杆
E
u
1 0
1 2 d E1 2 2E
2 1
扭转杆
G
u
1
0
1 1 2 d G 1 2 2G
2
例 题： 水平杆系如图所示 ，两杆的长度均为 l,横截面面积
为A，弹性模量为E，且均为线弹性。试计算在P1作用下的
应变能。
l
2
2
（3）弯曲梁内的变形能（略去剪力的影响）
1 M l l M ( x )dx U m 0 2 2EI 2EI
（4）组合变形的变形能
N ( x )dx T ( x )dx M ( x )dx U l l l 2 EA 2GI p 2 EI
2 2 2
2
2
2、非线性弹性体，通过 比能 求应变能
1 1
d
3
1 P1d 1 4
二. 余能 1、非线性弹性 材料（拉杆）
P
P1
1
O
P
1
O
ε1
ε
P
P1
dP
P
P1
O
1
Δ1 Δ dP + 0 PdΔ 0
=矩形面积
余功公式
P1 W C 0 Δ dP
P
P1
dP
P
O
1
余能公式
UC W C 0 Δ dP
P1
UC V ucdV
§3.1
概述
可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。 对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于
积蓄在物体内的应变能。
U=W
能量方法 ： 利用功能原理 U = W 来求解可变形固体 的位移、变形和内力等的方法。
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各力按比例b增长,则当b有一增量db时
外力所作的总功为
根据功能原理，应有
对组合变形而言，应变能为
其中
积分可得总变形能
§13.4 互等定理 —— 力在其它力引起的位移上所 做的功之间的关系
一.功的互等定理 1.力 Pi 在力 Pj 的作用点引起的位移是 dji 。 2.功的互等定理：
Pidij = Pjdji
推广：第一组力在第二组力引起的位移上所做的功等于
第二组力在第一组力引起的位移上所做的功。
二.位移互等定理
若 Pi = Pj (仅指数值相等) ，则由功的互等定理可得：
dij = dji
(仅数值相等)
两组力Pi,Qi
单独作用Pi组力,该组力所作的功为
后作用Qi组力,该组力所作的功为
作用Qi组力时, Pi作用点产生新的位
例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功
能原理求自由端B的挠度。
解：
M ( x) P x
2 3 ( Px ) 2 M ( x) P l dx dx 2 E I 2E I 6 EI 0
2
U
l
l
1 W P vB 2
Pl 由 U W，得 v B 3EI
3
例：试求图示梁的变形能，并利用功能原
3 P 2 R 3 P 2 R 3 4GI p 4E I 1 W P AV 2
由U W，得：
AV 3 PR PR 2GI p 2 EI
3 3
R
§13.3
变形能的普遍表达式
一.一般情况下变形能不符合叠加原理 变形能是广义力(或广义位移)的二次函数，所以不能 随意叠加。 二.克拉贝依隆原理 若弹性体上作用着n 个广义力Pi，则Pi对应的广义位移di 不仅与Pi有关，与n个力可能都有关系，因此算功困难。 而由力的独立作用原理，多个外力的总功与加载次序无 关，所以可以设想一个便于计算变形能的加载次序“比例 加 载”，即：各力从零开始同时按比例增加，最后同时到达 终
1 W P vC 2
由U W，得： Pa 2b 2 vC 3EI l
例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，
并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI
为常量。
解： M ( ) PR sin
U
l
M 2 ( ) Rd 2E I
( PR sin ) P R 2 E I Rd 8 EI 0
2 2
2
3
1 W P BV 2
由U W，得：
R
BV
PR
4 EI
3
例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端
的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的
垂直位移。已知GIp、EI为常量。
解：T ( ) PR(1 cos ) ,
M ( ) PR sin
T 2 ( ) M 2 ( ) U Rd Rd 2G I p 2E I l l
2
四: 作用在弹性体上力的功的计算 (在线弹性范围内)
使用广义力、广义位移的概念，则
一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功： W 1 Pd
2
这里 P是广义力， d 是对应的广义位移 (1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移； (2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角； (3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移； (4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。
第十三章
能量方法
大纲要求
一.掌握弹性体的外力功和杆件基本变形能的计算方法。 二.了解两个互等定理。 三.能应用功能原理计算位移。 四. 熟练运用卡氏第二定理计算位移。 五.熟练运用单位载荷法与图乘法计算位移。
§13－1 概 述
一.能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形 固体的位移、变形和内力等的方法。 二.能量法的应用范围：
理求C截面的挠度。
解：
U
l
Pb Pa x1 x2 2 a b M ( x) l l dx dx1 dx 2 2E I 2E I 2E I 0 0
2 2 3 2 2 3
2 2 2
2
2
P b a P a b P a b 2 2 6 EI l 2 EI l 3 2 EI l 3
（1）线弹性体；非线性弹性体
（2）静定问题；超静定问题
（3）是有限单元法的重要基础
三.功能原理在弹性变形中的应用 在缓慢加载(静载)的条件下，外力所做的功W全部转 化为弹性体的变形能U，即：W = U； 在弹性范围内，外力逐渐解除时，变形能又全部转变 为功。 四.作用在弹性体上的功的计算 (在线弹性范围内) 1.一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功： W 1 Pd 这里 P是广义力， d 是对应的广义位移 (1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移； (2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角； (3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移； (4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。
当T=T(x)或截面变化 A=A(x)时，可取微段：
T ( x) U dx 2G I p ( x ) l
2
三、弯曲
2 2 ml 1 1 m l M l 纯弯曲： U W m m 2 EI 2 2E I 2E I
横力弯曲：U
M ( x) 2 E I ( x ) dx l
2
§13-2 杆件应变能计算
一、轴向拉伸和压缩
1 Pl 1 U W P l 2 P EA 2
P
P l N l 2 EA 2 EA
N ( x) U dx 2 EA ( x ) l
2
2
2
P
l
l
二、扭转
mLeabharlann m2
2
1 1 ml m l T l U W m m 2 2 G I p 2G I p 2 G I p
移，所作的功为
总变形能为
改变加力次序，先作用Qi组力,该组力
所作的功为
后作用Pi组力,该组力所作的功为
作用Pi组力时, Qi作用点产生新的位
移，所作的功为
总变形能为
显然，U1=U2 ，得
功的互等定理:
第一组力在第二组力施加时所产生的位 移上所作的功等于第二组力在第一组力 施加时所产生的位移上所作的功