利用函数图像解方程,不等式
九年级数学下册30、5二次函数与一元二次方程的关系第2课时用二次函数的图像解一元二次方程授课课件新版
知1－讲
例1 求方程x2－2x－6＝0的近似值．(结果精确到0.1)
解：如图 ，画出二次函数 y＝x2－2x－6的图像. 观察画出的抛物线，设它与 x轴的交点的横坐标为x1和x2， 不妨设 x1＜x2. 现在来求x1的近似值.
知1－讲
(1) 容易看出：当 x＝－2 时，y＞0； 当x＝－1时，y＜0，且在－2＜x＜－1范围内， y随x的增大二减小，所以－2＜x1＜－1
知1－练
4 【中考·兰州】下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的 自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( C )
A．1
B．1.1
C．1.2
D．1.3
知1－练
5 【中考·包头】已知一次函数y1＝4x，二次函数y2＝ 2x2＋2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个
况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax2＋bx＋ c＝0的根．
知1－练
1 求例题中x2精确到0.1的近似值.
解：如图 ，画出二次函数 y＝x2－2x－6的图像. 观察画出的抛物线，现在求x2 的近似值． (1)容易看出：当x＝3时，y＜0，当x＝4时，y＞0，且 在3＜x＜4范围内，y随x的增大而增大，∴3＜x2＜4.
知1－讲
例2 利用函数的图像，求方程x2＋2x－3＝0的根．
解：先把方程化成x2＝－2x＋3. 如图，在同一直角坐标系中 分别画出函数y＝x2和 y＝－2x＋3的图像，得到它 们的交点为(－3，9)和(1，1)， 则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.
总结
知1－讲
利用图像交点法求一元二次方程的根的步骤： (1)将ax2＋bx＋c＝0化为ax2＝－bx－c的形式； (2)在同一坐标系中画出y＝ax2与y＝－bx－c的图像； (3)观察图像：两图像的公共点情况即为方程的根的情
中职数学教案：一元二次不等式(全3课时)
中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称基础模块（上）所在年级一年级主备教师授课教师授课系部现代服务部授课班级授课日期课题§2.3一元二次不等式（1）教学目标1.了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；2. 掌握一元二次不等式的图像解法．重点方程、不等式、函数的图像之间的联系难点一元二次不等式的解法教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一回顾思考复习导入问题一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？解决观察函数26y x=-的图像：方程260x-=的解3x=恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x轴上方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x->的解集{|3}x x>；在x轴下方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是不等式260x-<的解集{|3}x x<．()0或()0(a≠感受新知二次函数的图像、一元二次方程与一元二次不等式之间存在着哪些联系？中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称基础模块（上）所在年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题§2.3一元二次不等式（2）教学目标1.了解方程、不等式、函数的图像之间的联系2. 掌握一元二次不等式的图像解法．重点方程、不等式、函数的图像之间的联系难点一元二次不等式的解法．教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、动脑思考探索新知解法利用一元二次函数2y ax bx c=++()0a>的图像可以解不等式20ax bx c++>或20ax bx c++<．（1）当240b ac∆=->时，方程20ax bx c++=有两个不相等的实数解1x和2x12()x x<，一元二次函数2y ax bx c=++的图像与x轴有两个交点1(,0)x，2(,0)x (如图（1）所示)．此时，不等式20ax bx c++<的解集是()12,x x，不等式20a x bx c++>的解集是12(,)(,)x x-∞+∞；（1）（2）（3）0(,)x +∞24b ac ∆=-一元二次函数y ax =）所示）．此时，不等式2(,)x +∞0(,)x +∞0([)2,x +∞R 0< 12,)x∅]2,x }0x224,b ac x -． 例题讲解解下列各一元二次不等式：0． 首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解+∞．(3,)）29x<可化为，且方程2x()-．3,33）53x x-0．故方程22xx+的解集为300的解集为．是什么实数时，2x-有意义．0．解方程．由于二次项系数为[)1,+∞．[)-有意义．1,+∞时，20．、本节课主要学习了一元二次不等式解法；、一元二次不等式的特点及解的过程中注意事项；中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称基础模块（上）所在年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题§2.3一元二次不等式（3）教学目标1. 掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法。
函数、方程、不等式以及它们图像_课件
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解： 由于x的任意性，则只有当 T1的时候可能恒成立 ①当 T1时，sik ( n x 1 ) sik n x k () sik nx 恒成立 k2m ，mZ
②当T1时，
sik (n x 1 ) sik n x k () sikn 恒x 成立
20
解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ xR，都有 2x x 1 ）
2 xR有 f(2x)f(x)
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解： 又f(x)是R上的偶函数 f(x)f(x) f[2(x) ]f(x) f(2x)f(x)
f(2x)f(x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
abc2c，且 ab1c
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解： 即a,b是一元二次方程 x2(1c)xc2c0的两个不相等 的根，且两根都大于c，令 f(x)x2(1c)xc2c，则图像与 x轴有两个交点且都在 (c,) 内， 又图像开口向上
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解：
函数、方程、不等式 以及它们的图像
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1
函数是中学数学的一个重要概念。函数 的思想，就是用运动变化的观点，分析和 研究具体问题中的数量关系，建立函数关 系，运用函数的知识，使问题得到解决。
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2
和函数有必然联系的是方程，方程
f(x) 0的解就是函数 yf(x) 的图像 与x轴的交点的横坐标，函数 yf(x)
2
f(x)f(y)f1xxyy 。（1）证明： f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
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32
（2）对于数列 {x n } ，若
人教版九年级上册数学课件：一元二次不等式的解法(共29张PPT)
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
Y △＜0
△=0 △＞0
O
X
探究：利用二次函数图像解一元二次不等式
根据 y x2 2x 3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y=0？
y
1、当 x 取何值时，y＜0？
2、当 x 取何值时，y＞0？
-1
能否用含有x的不等式来描
3
x
述两个问题？
y＝x2－2x－3
探利究用：二次你函能数用图二像解次一函元数二y次=不x2等-2式x-3的
图象求解不等式 x2-2x-3>0和x2-2x-
3 ＜ y04 吗？ 3 2
N1
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1
-2
-3
利用二次函数图像解一元二次不等式
－3x2 ＋6x － 2＞0
方 程3 x 2 6 x 2 0的 解 是
y
1
3 3
x
x1 1
3 3
,
x2 1
3 3
原不等式的的解集是
o 1
3 3
x 1
3 3
{x1
3 3
x 1
3 3
}
3) 4x2 －4x ＋ 1＞0
解 ： 0
方 程4 x 2 4 x 1 0的 解 是
探究
已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图；
y
(1)x方=程-1-,xx2+=34x+4=0的解
4
是__ ___
八上 一次函数与方程组、不等式 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
例1 从2014年起，中国的鞋号已“变脸”，新的国家标准要求鞋号用毫米数标注．据了解大多数市民还不了解此新标准，小明对新旧鞋号的标注变化进行了对比研究，发现新标准鞋子毫米数y与旧鞋号x之间存在着一次函数关系，并得到相关数据如下：旧鞋号 x 36 38 40新标准毫米数y230 240 250（1）请你帮助小明根据上述数据归纳出新标准毫米数与旧鞋号标注之间的换算关系式，并用一句简明的数学语言来表示；（2）如果小明的爸爸穿的一双42号凉鞋坏了，准备买一双同样尺寸的新凉鞋，那么应买一双多少毫米数的新凉鞋？例2 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，•油箱中的余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，如图所示．（1）求y与x的函数解析式．（2）一箱油可供拖位机工作几小时？知识点2 图像法解决实际问题注：读图时一定要明确横纵坐标表示的量所代表的意义。
例3 某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，如图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求yl 与y2的函数表达式；（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案．二、典型例题题型1 运用一次函数的关系解决生活中的实际问题例 1 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数表达式；（2）若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度；（3）若桌面上有若干个饭碗，整齐叠放成一摞，已测得它的高度为37.5cm，你能求出此时有多少个饭碗吗？题型2利用图表信息解决实际问题例2 某厂家生产两种款式的布质环保购物袋，每天共生产4500个，两种购物袋的成本和售价如下表，设每天生产A种购物袋x个，每天共获利y元．(1)求y与x的函数关系式；(2)如果该厂每天最多投入成本10000元，那么每天最多获利多少元？题型3 建立一次函数模型解决实际问题例3 某下岗职工购进一批苹果到农贸市场零售，已知买出的苹果数量x（kg）与收入y（元）的关系如下表：在平面直角坐标系中描点，观察点的分布情况，探求收入y（元）与买出数量x（kg）之间的函数关系式。
专题05 二次函数与一元二次方程、不等式的关系(知识串讲+7大考点)(解析版)
专题05 二次函数与一元二次方程、不等式的关系考点类型知识串讲（一）二次函数与一元二次方程的关系a>0(示意图)a<0(示意图)一元二次方程根的情况有两个不相等的实数根b2-4ac>0b2-4ac=0有两个相等的实数根无实数根b2-4ac<0（二）利用函数图像解不等式考点训练考点1：求抛物线与x轴的交点典例1：（2022秋·九年级单元测试）已知函数y=x2―6x+5的部分图象（如图），满足y<0的x的取值范围是____．【答案】1<x<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，再根据图象即可求解．【详解】解：由y=x2―6x+5，当x=0时，x2―6x+5=0解得：x1=1,x2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1，5，∵该抛物线的开口向上，∴当y<0时，x的取值范围是1<x<5，故答案为：1<x<5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．【变式1】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2―2x―3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P是二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC=S△APB．（1）点C的坐标为__________．（2）点P的坐标为__________．【答案】(0,―3)(4,5)【分析】（1）因为与y轴交于点C，所以横坐标为0，代入后即可得到纵坐标；（2）先让纵坐标为0，求出点A，B的横坐标，进而求出直线BC的表达式，再依据S△APC=S△APB，求出直线AP的表达式，再联立方程组，得到点P的坐标，注意两个答案排除一个．【详解】（1）∵y=x2―2x―3与y轴交于点C∴当x=0时，y=―3∴C(0,―3)故填：(0,―3)．（2）∵因为y=x2―2x―3与x轴交于点A，B∴当y=0时，x2―2x―3=0∴x1=3，x2=―1∴A(―1,0),B(3,0)∵C(0,―3),B(3,0),设直线BC为y=kx+b∴b=―3 3k+b=0∴b=―3 k=1∴直线BC为y=x―3∵S△APC=S△APB∴AP∥BC∴设直线AP为y=x+m ∵A(―1,0)∴直线AP为y=x+1∵解方程组y=x2―2x―3y=x+1得，x=―1y=0或x=4y=5∴P(―1,0)（舍去）,P(4,5)故填：(4,5)．【点睛】本题考查了二次函数与两坐标轴交点坐标的求法，待定系数法，利用坐标求三角形面积等，解题时要应用数形结合思想．【变式2】（2022秋·九年级单元测试）抛物线y=(x―3)(x+2)与x轴的交点坐标是____．【答案】(3,0)，(―2,0)【分析】令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到答案；【详解】解：令y=0，则：(x―3)(x+2)=0解得：x1=3，x2=―2∴抛物线y=(x―3)(x+2)与x轴的交点坐标是(3,0)，(―2,0)；故答案为：(3,0)，(―2,0)．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点问题，解题的关键在于能够熟知二次函数y=ax2+bx +c(a≠0)与x轴交点的横坐标是令y=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的解．【变式3】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）将抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为_____．【答案】6【分析】根据平移规律得出平移后的二次函数的解析式为y=x2―9，令x2―9=0，求其解即可得抛物线与x轴的交点坐标，进而可得答案．【详解】解：将抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后其解析式为y=x2―9，当x2―9=0时，解得：x1=―3，x2=3，∴抛物线y=x2―9与x轴的交点为―3，0，3，0，∴抛物线y=x2―1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．考点2：求抛物线与y轴的交点典例2：（2023·上海·一模）抛物线y=―x2―3x+3与y轴交点的坐标为____．【答案】(0,3)【分析】把x=0代入抛物线y=―x2―3x+3，即得抛物线y=―x2―3x+3与y轴的交点．【详解】解：∵当x=0时，抛物线y=―x2―3x+3与y轴相交，∴把x=0代入y=―x2―3x+3，求得y=3，∴抛物线y=―x2+3x―3与y轴的交点坐标为(0,3)．故答案为：(0,3)．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．【变式1】（2023·上海·一模）抛物线y=(x+1)2―2与y轴的交点坐标是_________．【答案】(0,―1)【分析】求出x=0时y的值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．【详解】解：当x=0时，y=(x+1)2―2=1―2=―1，所以抛物线与y轴的交点坐标是(0,―1)，故答案为：(0,―1)．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．【变式2】（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2+b，若AB长为4，则图中CD的长为______．故答案为：(0,3)；(2,―1)【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，二次函数的图像与性质，明确抛物线与y轴的交点的横坐标为0与将抛物线的一般式化为顶点式是解题的关键．考点3：由函数值求自变量x的值【答案】―2+22或5【答案】4【分析】先求得点C的坐标，然后由标代入函数解析式求得m【详解】解：当x＝0时，【答案】2【分析】根据题意，将y=4分别代入进而即可求得BC的长．【详解】解：∵x≥0，则y y【答案】x1=―3，x2=1【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．【详解】解：由图象可知，关于x的方程ax2―bx―c=0的解，就是抛物线y=ax2（a≠0）与直线y=bx+ c（b≠0）的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)的横坐标，即x1=―3，x2=1．故答案为：x1=―3，x2=1．【点睛】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题．【变式2】（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）设一元二次方程(x+1)(x―3)=m(m>0)的两实数根分别为α、β且α<β，则α、β满足_____．【答案】α<―1且β>3【分析】方程的两实数根α、β可看作抛物线y=(x+1)(x―3)与直线y=m的两交点的横坐标，然后画出导致图象可确定正确选项．【详解】方程(x+1)(x―3)=m(m>0)的两实数根α、β可看作抛物线y=(x+1)(x―3)与直线y=m的两交点的横坐标，而抛物线y=(x+1)(x―3)与x轴的交点坐标为―1，0和3，0，如图，典例5：（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A (―3,―6)，B(1,―2)，则关于x的不等式ax2+bx>mx+n的解集为__________．【答案】―3<x<1【答案】―1<x<4/4>x>―【分析】观察图象，当抛物线位于直线的下方时，即可求得【详解】解：由图象知，当―1故答案为：―1<x<4．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象，数形结合是关键．（1）二次函数y=ax2+bx+（2）不等式ax2+bx+c≥0的解集是)【答案】(―1,―43【分析】（1）根据抛物线的对称轴和抛物线过点范围即可．【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=―1，与x轴的一个交点坐标为(3,0)，∴与x轴的另一个交点坐标为(―5,0)，∴y>0时，x的取值范围为：―5<x<3，故答案为：―5<x<3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大．考点6：利用不等式求自变量、函数值的范围【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再利用二次函数的增减性即可得出结论．【详解】解：∵y=x2+2x―3=(x+1)2―4，∴该抛物线的对称轴为直线x=―1，当x=―3时，y=9―6―3=0，当x=―1时，最小值为y=―4，当y=1时，y=1+2―3=0，∴―4≤y<0，故答案为：―4≤y<0．【点睛】本题主要考查二次函数的增减性和最值，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物线的增减性．考点7：抛物线与x轴的交点问题【答案】49【分析】过点C作CD⊥x轴于点=4，设点A的坐标为(m,0)，则式和顶点式，即可求解．【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与AB=3，∴AD=BD=12∵AC=5，∴CD=AC2―AD2=4，设点A的坐标为(m,0)，则B(m同步过关一、单选题1．（2023·安徽·九年级专题练习）已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）A．k≥3B．k＜3C．k≤3且k≠2D．k＜2【答案】C【分析】根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：∵二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1=0有解，∴k―2≠0△=22―4(k―2)=12―4k⩾0，解得：k≤3且k≠2．故选C．【点睛】考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式△≥0结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．2．（2022·浙江·九年级专题练习）二次函数y=x2-x-12与y轴的交点坐标为（）A．-3，0B．6，0C．0，-12D．2，16【答案】C【分析】图象与y轴相交则x=0，代入得到y的值，即可解答．【详解】解：由图象与y轴相交则x=0，代入得：y=-12，∴与y轴交点坐标是0，-12；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．3．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期末）抛物线y=x2+x―2与y轴的交点坐标是（）A．（0，2）B．（0，－2）C．（-2，0）D．（－2，0）、（1，0）【答案】B【分析】令x＝0，求出y的值即可．【详解】解：令x＝0，则y＝−2，∴抛物线y＝x2＋x−2与y轴的交点坐标是（0，−2）．故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．4．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市第九中学校考阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣2，0），（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个解是（ ）A．x1＝﹣2，x2＝5B．x1＝2，x2＝﹣5C．x1＝﹣2，x2＝﹣5D．x1＝2，x2＝5∵抛物线与y轴的交点为（∴当y＝3时x的值为0∴当函数值y＜3时，0＜故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴和与【详解】当x=0时，y=2×(0―1)×(0―m―3)=2m+6，∵函数图像与y轴的交点坐标是（0，2m+6）.∵该函数图象与y轴交点在x轴上方，∴2m+6>0，∴m>―3.故选B.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图像与与坐标轴的交点是解答本题的关键.13．（2023秋·安徽淮北·九年级阶段练习）已知函数与x轴交点是（m，0），（n，0），则的值是（）A．2013B．2014C．2015D．2023【答案】B【详解】试题分析：∵抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0），∴,且m,n是一元二次方程的两个根∴．故选B考点：抛物线与x轴的交点点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义14．（2023·山东临沂·统考模拟预测）关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（ ）A．对任意实数k，函数图象与x轴都没有交点B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大二、填空题16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(―4,―1)、B(0,2)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是______．【答案】―4<x<0【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】由图象可知，当―4<x<0时，抛物线在直线的上方，∴关于x的不等式ax2+b+c>kx+m的解集是―4<x<0，故答案为：―4<x<0．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．17．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如果二次函数y=mx2―2mx―3m的图象与y轴的交点为(0,3)，那么m=______________．【答案】-1【分析】把(0,3)代入函数解析式即可求出m的值．【详解】解：把(0,3)代入y=mx2―2mx―3m得，3=―3m，解得m=―1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是把点的坐标代入求未知系数的值．18．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是________．【答案】m＜9【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，可知b2﹣4ac＞0，从而可以求得m的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，∴Δ=b2―4ac=（﹣6）2﹣4m＞0，解得：m＜9，故答案为：m＜9．【点睛】此题考查了二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数与x轴的交点个数和判别式的关系．抛物线与x轴交点个数由Δ决定：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．19．（2022秋·九年级单元测试）如果抛物线y=(x―2)2+k不经过第三象限，那么k的值可以是______．（只需写一个）【答案】k=2（答案不唯一）【分析】抛物线y=(x―2)2+k不经过第三象限，可得抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴或原点，可得4+k≥0,从而可得答案.【详解】解：∵抛物线y=(x―2)2+k的开口向上，又不经过第三象限，∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴或原点，而当x=0时，y=4+k,∴4+k≥0,解得：k≥―4,所以当k=2时，符合题意，故答案为：k=2（答案不唯一）【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握“抛物线与y轴的交点的位置与图象的关系”是解本题的关键. 20．（2023秋·九年级单元测试）二次函数y=x2+x―2与x轴交于点________，与y轴交于点________．（填点的坐标）【答案】(―2, 0)(1, 0),(0, ―2)【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程x2＋x−2＝0可得到二次函数图象与x轴的交点坐标，然后计算自变量为0时的函数值可确定二次函数图象与y轴的交点坐标．【详解】当y＝0时，x2＋x−2＝0，解得x1＝−2，x2＝1，则二次函数图象与x轴的交点坐标为（−2，0），（1，0）；当x＝0时，y＝x2＋x−2＝−2，则二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，−2）．故答案为（−2，0），（1，0）；（0，−2）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题是解决本题的关键．21．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）若抛物线y=x2―2x+k―1与x轴有交点，则k的取值范围是令y=0，则x2+4x―12=0，解得，x1=―6，x2=2，∵图象与x轴的一个交点坐标是(2,0)，∴它与x轴的另一个交点坐标是(―6,0)，故答案为：(―6,0)．【点睛】本题考查了求解二次函数交点坐标，正确理解交点坐标的特征是解题关键，另外，此题还可以运用韦达定理求解．三、解答题26．（2022春·九年级课时练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的根；（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；（3）若方程ax2+bx+c=k无实数根，写出k的取值范围．【答案】（1）x1=0，x2=2；（2）x<0或x>2；（3）k>2【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；（3）根据图象可以看出k取值范围．【详解】解：（1）观察图象可知，方程ax2+bx+c=0的根，即为抛物线与x轴交点的横坐标，∴x1=0，x2=2．（2）观察图象可知：不等式ax2+bx+c<0的解集为x<0或x>2．（3）由图象可知，k>2时，方程ax2+bx+c=k无实数根．【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．（1）求a的值和该抛物线顶点（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线经过原点，并写出平移后抛物线的解析式．【答案】（1）a=1，P【分析】（1）把C（5,4（2）根据原点坐标(0，【详解】（1）把C（5,42-5x＋4=(x―29．（2022秋·河南新乡·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线y=x2与直线y=―x+2交于A、B两点．(1)求交点A、B的坐标；(2)直接写出不等式x2≤―x+2的解集．【答案】(1)A―2，4，B1，1(2)―2≤x≤1【分析】（1）将抛物线y=x2与直线y=―x+2联立解方程组y=x2y=―x+2即可得到A、B的坐标；（2）直接观察图象，抛物线在直线下方的符合题意，即可得到答案．【详解】（1）解：解方程组y=x2y=―x+2得：x1=―2y1=4，x2=1y2=1，∴A―2，4，B1，1；（2）解：由图象观察可得：不等式x2≤―x+2的解集为：―2≤x≤1．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，函数图象的性质，解题的关键是列出方程组y=x2y=―x+2，解方程组得到点A、B的坐标．30．（2022秋·广东广州·九年级广州市第三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2+x +m(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点，与直线y2=―x―4交于点A、B，其中点B坐标为(0,―4)，点C坐标为2，0(1)求此抛物线的函数解析式．（3）由图象可得，当―1【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键．32．（2022秋·北京朝阳·九年级北京市陈经纶中学校考期中）在初中阶段的函数学习中我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程分过程，请按要求完成下列各小题（1）自变量x的取值范围是全体实数，与（3）根据函数图象，下列关于该函数性质的说法正确的有①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为②该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，但有最小值③当x=―2时，函数取得最小值0④当x<―2或x>0时，y随x的增大而减小；当（4）在同一坐标系中作出函数y=x解__________________.（保留1位小数，误差不超过【答案】（1）1.5，（2）画图见解析；（2）描点：(―1，0.5)，(0,0),(1,1.5),(2,4),再用平滑的曲线连接各点补全图像如下：（3）由函数的图像可得：该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线x=―1,故①错误；该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，但有最小值，说法正确，故②正确；当x=―2或x=0时，函数取得最小值0，故③正确；当x<―2或―1＜x＜0，y随x的增大而减小，当-2＜x＜―1或x＞0时，y随x的增大而增大，故④错误；综上：正确的有：②③．故答案为：②③．（4）∵函数y=x+1,令y=0,则x=―1,令x=0,则y=1,∴函数y=x+1过(―1,0),(0,1),画出函数图像如图示：x2+x|=x+1时，由图像可得：当|12x≈―0.3或x≈1.4.故答案为：x≈―0.3或x≈1.4.【点睛】本题考查的是探究绝对值函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，同时考查描点法画函数图像，利用函数图像求解方程的近似解，掌握以上知识是解题的关键．33．（2022秋·吉林长春·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线点A和点B（点A在点B的左侧），第一象限内的点。
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精讲)(解析版)
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法【考纲要求】1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用.5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.【知识清单】1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3．不等式的性质(1)性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性质6：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (7)性质7：如果a >b >0，那么a n >b n ，(n ∈N ，n ≥2)． (8)性质8：如果a >b >0，那么n a >nb ，(n ∈N ，n ≥2)． 4．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式：①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)； ②ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)； ③ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)； ④ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. 5．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为__分式不等式__. f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ⇔f (x )·g (x )__>__0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝0g (x )≠0.f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0⇔f (x )·g (x )__<__0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝0g (x )≠0. 6．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 7.不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧ a >0Δ<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧a <0Δ<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式．则可以转化为函数值域求解． 设f (x )的最大值为M ，最小值为m .(1)k <f (x )恒成立⇔k <m ，k ≤f (x )恒成立⇔k ≤m . (2)k >f (x )恒成立⇔k >M ，k ≥f (x )恒成立⇔k ≥M . 8．绝对值不等式的解法1．形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． 2．形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集(2)|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 9．绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【考点梳理】考点一 ：用不等式表示不等关系【典例1】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 【答案】见解析【解析】提价后杂志的定价为x 元，则销售的总收入为(8－x －2.50.1×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20.【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．【变式探究】某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式． 【答案】见解析 【解析】分析：应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．详解：设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，依题意，可得不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 0003x ≥yx ≥0y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤403x ≥y x ≥0y ≥0考点二：比较数或式子的大小【典例2】(1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小； (2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a 的大小．【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0， ∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a.【领悟技法】 1.比较大小的常用方法 (1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 【变式探究】已知x ＜y ＜0，比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小． 【答案】见解析【解析】∵x ＜y ＜0，xy ＞0，x －y ＜0，∴(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝－2xy (x －y )＞0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． 考点三：不等式性质的应用【典例3】（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））对于任意实数a b c d ,,,，下列正确的结论为（ ） A ．若,0a b c >≠，则ac bc >； B ．若a b >，则22ac bc >； C ．若a b >，则11a b <； D ．若0a b <<，则b a a b<． 【答案】D 【解析】A ：根据不等式的基本性质可知：只有当0c >时，才能由a b >推出ac bc >，故本选项结论不正确；B ：若0c时，由a b >推出22ac bc =，故本选项结论不正确；C ：若3,0a b ==时，显然满足a b >，但是1b没有意义，故本选项结论不正确； D ：22()()b a b a b a b a a b ab ab-+--==，因为0a b <<，所以0,0,0b a ab a b ->>+<， 因此0b a b aa b a b-<⇒<，所以本选项结论正确. 故选：D【典例4】 若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 【答案】B【解析】方法一 易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln44ln3＝log 8164＜1，所以a ＞b ； b c ＝5ln44ln5＝log 6251 024＞1，所以b ＞c .即c ＜b ＜a . 方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x2， 易知当x ＞e 时，函数f (x )单调递减． 因为e ＜3＜4＜5，所以f (3)＞f (4)＞f (5)， 即c ＜b ＜a .【典例5】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4”，则f (－2)的取值范围是 ． 【答案】[5,10]【解析】方法一(待定系数法)设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 方法二(解方程组法)由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， ⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例． 2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 3．求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定． 【变式探究】1.（2020·陕西省西安中学高二期中（文））已知0a b <<，则下列不等式成立的是 （ ） A ．22a b < B ．2a ab <C ．11a b< D ．1ba< 【答案】D 【解析】22a b -=22)()0,,a b a b a b +->∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的.11a b -=110,.b a ab a b ->∴>所以C 选项是错误的. 1b a -=0, 1.b a b a a -<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.2. （2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））下列结论正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D <a b >【答案】C 【解析】对于A 选项，若0c <，由ac bc >，可得a b <，A 选项错误；对于B 选项，取2a =-，1b =，则88a b >满足，但a b <，B 选项错误； 对于C 选项，若a b >，0c <，由不等式的性质可得ac bc <，C 选项正确；对于D a b >，D 选项错误.故选：C. 3.已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及ab的取值范围．【错解】∵12<a <60,15<b <36，∴12－15<a －b <60－36，1215<a b <6036，∴－3<a －b <24，45<a b <53.【辨析】错解中直接将12<a <60,15<b <36相减得a －b 的取值范围，相除得ab 的取值范围而致错．【正解】∵15<b <36，∴－36<－b <－15.∴12－36<a －b <60－15， 即－24<a －b <45.又15<b <36，∴136<1b <115.又12<a <60，∴1236<a b <6015，即13<a b <4.综上，－24<a －b <45，13<ab <4.【易错警示】错用不等式的性质致错. 考点四：一元二次不等式的解法【典例6】（2020·全国高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D. 【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 【易错警示】忽视二次项系数的符号致误 【变式探究】1．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．2. （2020·黑龙江省大庆实验中学高三一模（文））已知集合1|03x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，集合{|15}B x N x =∈-≤≤，则A B =（ ）A ．{0,1,4,5}B ．{0,1,3,4,5}C ．{1,0,1,4,5}-D ．{1,3,4,5}【答案】A 【解析】 因为集合{1|033x A x x x x -⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭或}1x ≤， 集合{|15}{0,1,2,3,4,5}B x N x =∈-≤≤=，所以A B ={0,1,4,5}.故选：A考点五：绝对值不等式的解法【典例7】（2020·江苏省高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x <<所以解集为：2(2,)3-【典例8】（2020·周口市中英文学校高二月考（文））(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值.【答案】(1) {x |x ≤－3或x ≥2} (2) a ＝－3 【解析】(1)当x <－2时,不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5,解得x ≤－3； 当－2≤x <1时,不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5,即3≥5,无解； 当x ≥1时,不等式等价于x －1＋x ＋2≥5,解得x ≥2. 综上,不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3,∴－1<ax <5. 当a >0时,15x a a -<< , 153a -=-,且513a =无解； 当a ＝0时,x ∈R ,与已知条件不符； 当a <0时,51x a a <<-,553a =-,且113a -=, 解得a ＝－3. 【规律方法】形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解． 【变式探究】1.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项. 2.（2014·广东高考真题（理））不等式的解集为 .【答案】(][),32,-∞-⋃+∞. 【解析】令()12f x x x =-++，则()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>，（1）当2x <-时，由()5f x ≥得215x --≥，解得3x ≤-，此时有3x ≤-； （2）当21x -≤≤时，()3f x =，此时不等式无解；（3）当1x >时，由()5f x ≥得215x +≥，解得2x ≥，此时有2x ≥； 综上所述，不等式的解集为(][),32,-∞-⋃+∞.考点六：绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．【典例9】（2020·陕西省西安中学高二期中（理））已知不等式53m x x ≤-+-对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．2m ≤B ．2m ≥C ．8m ≤-D ．8m ≥-【答案】A【解析】()()-+-≥---=，∴根据题意可得2x x x x53532m≤.故选：A【典例10】（2018年理新课标I卷）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【答案】(1).(2)．【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利用绝对值的几何意义. 【变式探究】1．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知函数()|21||2|f x x x =-+-． (1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成立，求实数a 的值范围．【答案】(1) 17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2) 15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤；当122x <<时，14x +<恒成立，解得122x <<； 当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<.综上有3137x -<<.故实数x 的取值范围为17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当12x ≤时，()1322f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭；当122x <<时，()332f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最小值为32.故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<.故实数a 的值范围为15,44⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知函数f(x)=|x−1|．（1）解不等式f(x)+f(x+4)≥8；（2）若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba)．【答案】(1) {x|x≤−5或x≥3} (2)见解析【解析】（1）f(x)+f(x+4)=|x−1|+|x+3|={−2x−2,x<−3, 4,−3≤x≤1, 2x+2,x>1,当x<−3时，由−2x−2≥8，解得x≤−5；当−3≤x≤1时，f(x)≥8不成立；当x>1时，由2x+2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤−5或x≥3}.（2）f(ab)>|a|f(ba)，即|ab−1|>|a−b|．因为|a|<1，|b|<1，所以|ab−1|2−|a−b|2=(a2b2−2ab+1)−(a2−2ab+b2)=(a2−1)(b2−1)>0，所以|ab−1|>|a−b|，故所证不等式成立．。
人教版八年级下册19.2.3一次函数和方程和不等式的关系(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数、方程和不等式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
(3)针对实际问题的抽象，教师需要引导学生关注问题中的数量关系，如“速度与时间的关系”，并指导学生将其转化为一次函数模型。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“一次函数和方程和不等式的关系”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数之间的关系的问题？”（例如：两个物品的价格和数量关系）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数、方程和不等式的奥秘。
(2)通过绘制一次函数图像，让学生观察并理解不等式kx+b>0或kx+b<0的解集与图像的关联。
(3)结合实际例题，如“某商品的售价与成本之间的关系”，让学生学会建立一次函数模型，并求解相关问题。
2.教学难点
-掌握一次函数图像与一元一次方程、不等式之间的转换关系，特别是不同情况下的图像特征。
-理解在图像上如何判断方程的根以及不等式的解集，尤其是在k、b取值不同的情况下。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握一次函数与一元一次方程之间的关系，能够运用一次函数图像求解方程。
-学会利用一次函数图像解一元一次不等ห้องสมุดไป่ตู้，并能解释图像与不等式解集的关系。
高中数学《函数的图像》教案设计
高中数学《函数的图像》教案设计[最新考纲] 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，并运用函数的图像解简单的方程(不等式)问题．1．利用描点法作函数的图像方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线．2．利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换(2)对称变换关于x轴对称y＝－f(x)的图像；①y＝f(x)的图像―――――――→②y ＝f (x )的图像―――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图像； ③y ＝f (x )的图像―――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图像；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像．(3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图像―――――――――――――――――――――――→a ＞1，横坐标缩短为原来的1a，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )的图像；②y ＝f (x )的图像――――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图像．(4)翻转变换 ①y ＝f (x )的图像――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图像；②y ＝f (x )的图像――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图像．[常用结论]1．关于对称的三个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图像关于直线x ＝a 对称． (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图像关于点(a ，b )中心对称．(3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．2．函数图像平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图像，可由y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到．( )(2)函数y＝f(x)的图像关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称．( )(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图像与y＝|f(x)|的图像相同．( )(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改编1．函数f(x)＝1x－x的图像关于( )A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称C[∵f(x)＝1x－x是奇函数，∴图像关于原点对称．]2．李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．则与以上事件吻合最好的图像是( )A BC DC[距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快．]3．如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．(－1，1][在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图像(如图)．由图像知不等式的解集是(－1，1]．]考点1 作函数的图像函数图像的常用画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点，进而直接作出图像．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图像．(3)图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图像变换作出．作出下列函数的图像： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.[解] (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 的图像，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 图像中x ≥0的部分，再作出y＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 的图像中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x |的图像，如图①实线部分．① ②(2)将函数y ＝log 2x 的图像向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像，如图②.(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图像可由y ＝1x 图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.③ ④(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图④.(1)画函数的图像一定要注意定义域．(2)利用图像变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．考点2 函数图像的辨识辨析函数图像的入手点(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性．(4)从函数的周期性，判断图像的循环往复．(5)从函数的特征点，排除不合要求的图像．(1)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin x＋xcos x＋x2在[－π，π]的图像大致为( )A BC D(2)已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝－f(2－x)的图像为( )A BC D(3)如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P以1 cm/s的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S＝f(t)，则f(t)的图像大致为( )A B C D(1)D(2)B(3)A[(1)∵f(－x)＝sin－x－xcos－x＋－x2＝－sin x＋xcos x＋x2＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．又∵f(π)＝sin π＋πcos π＋π2＝π－1＋π2＞0，∴选D.(2)当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项可知，应选B.(3)当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，此时PB＝6－t，CQ＝8－2t，则S＝f(t)＝12QC×BP＝12(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；当4＜t≤6时，点P在AB上，点Q在CA上，此时AP＝t，P到AC的距离为45t，CQ＝2t－8，则S＝f(t)＝1 2QC×45t＝12(2t－8)×45t＝45(t2－4t)；当6＜t≤9时，点P在BC上，点Q在CA上，此时CP＝14－t，QC＝2t－8，则S＝f(t)＝12QC×CP sin∠ACB＝12(2t－8)(14－t)×35＝35(t －4)(14－t )．综上，函数f (t )对应的图像是三段抛物线，依据开口方向得图像是A ，故选A.]由实际情景探究函数图像，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．1.(2019·全国卷Ⅲ)函数y ＝2x 32x ＋2－x在[－6,6]的图像大致为( )A B C DB [设f (x )＝2x 32x ＋2－x (x ∈[－6,6])，则f (－x )＝2－x32－x ＋2x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除选项C ；当x ＝－1时，f (－1)＝－45＜0，排除选项D ；当x ＝4时，f (4)＝12816＋116≈7.97，排除选项A.故选B.]2.如图，圆与两坐标轴分别切于A ，B 两点，圆上一动点P 从A 开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回到A 点，则与△OBP 的面积随时间变化的图像相符合的是( )A B C DA [当P 从A 运动到B 的过程中，△OBP 的面积逐渐减小，在点B 处，△OBP 的面积为零，当P 从B 运动到圆的最高点的过程中，△OBP 的面积又逐渐增大，且当P 位于圆的最高点时，△OBP 的面积达到最大值，当P 从最高点运动到A 点的过程中，△OBP 的面积又逐渐减小，故选A.]考点3 函数图像的应用利用函数图像的直观性求解相关问题，关键在于准确作出函数图像，根据函数解析式的特征和图像的直观性确定函数的相关性质，特别是函数图像的对称性等，然后解决相关问题．研究函数的性质(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) (2)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________．(1)C (2)32[(1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，画出函数f (x )的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的图像如图所示，由图像可得，其最小值为32. ]利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系．如：图像的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．解不等式设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx ＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)D [因为f (x )为奇函数，所以不等式f x －f －xx ＜0可化为f xx ＜0，即xf (x )＜0，f (x )的大致图像如图所示．所以xf (x )＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．]当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解． 求参数的取值范围(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．(1)(0,1] (2)[－1，＋∞) [(1)作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图像，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．(2)如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像，观察图像可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．]当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图像的变化确定参数的取值范围．1.(2019·贵阳市监测考试)已知函数f(x)＝2xx－1，则下列结论正确的是( )A．函数f(x)的图像关于点(1,2)中心对称B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数C．函数f(x)的图像上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴D．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称A[因为y＝2xx－1＝2x－1＋2x－1＝2x－1＋2，所以该函数图像可以由y＝2x的图像向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图像关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误；易知函数f(x)的图像是由y＝2x的图像平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．故选A.]2.已知函数y＝f(x)的图像是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)＞f(－x)－2x的解集是________．(－1,0)∪(1，2][由图像可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)＞－x.在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图像，由图像可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．]3．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1 [先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1.]。
利用二次函数图像解一元二次不等式
一元二次不等式及其解法知识点：1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．同步练习：1、不等式2654x x +<的解集为（ ） A ．41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭3、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-4、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ab 的值是（ ）A ．6-B ．5-C ．6D ．55、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a 6、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．14- B ．14 C ．10- D ．107、不等式222693191122x x x x -+++⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集是（ ）A ．[]1,10-B ．()[),110,-∞-+∞C ．RD ．(][),110,-∞-+∞ 8、不等式()()120x x --≥的解集是（ ）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x x ≥≤或C ．{}12x x <<D ．{}12x x x ><或 9、不等式()20ax bx c a ++<≠的解集为∅，那么（ ）A ．0a <，0∆>B ．0a <，0∆≤C ．0a >，0∆≤D ．0a >，0∆≥11、若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（ ） A ．1a x a<<B ．1x a a<< C ．x a <或1x a>D ．1x a<或x a >12、不等式()130x x ->的解集是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()1,00,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭13、二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是____________________________．14、若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________．15、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．16、不等式2230x x -->的解集是___________________________． 17、不等式2560x x -++≥的解集是______________________________． 18、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________． 19、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________． 20、求下列不等式的解集：⑴ ()()410x x +--<； ⑵ 232x x -+>； ⑶ 24410x x -+>．22、已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 、b 的值．23、已知集合{}290x x A =-≤，{}2430x x x B =-+>，求A B ，A B ．。
借助二次函数图像解不等式
借助二次函数图像解不等式作者：陶建燕来源：《初中生世界·九年级》2019年第12期我们知道，函数、方程、不等式之间存在联系，研究三者之间的联系绕不开对函数图像的研究，今天我们来“透过现象看本质”，借助函数图像解不等式。
例1 已知：如图1，抛物线y=x2-2x-3。
（1）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标。
（2）x取何值时，y>0？图1追问：结合图像，你能描述（1）（2）在函数图像中的意义吗？【解析】（1）求二次函數的图像与x轴交点坐标，只需令y=0，将二次函数转化为一元二次方程x2-2x-3=0，求出方程的解x1=3，x2=-1，即交点坐标为A（-1，0），B（3，0）;或者将x轴看成直线y=0，只需求方程组[y=0，y=x2-2x-3]的解即可。
（2）我们知道，只要令y>0，即可将二次函数转化为不等式x2-2x-3>0，可如何解这个不等式呢？目前我们没有研究过如何解这样的不等式，因此我们只有借助二次函数图像。
从上下方向看，y>0表示在x轴（直线y=0）上方的图像，从左右方向看，y>0表示在交点A的左侧、交点B的右侧的图像。
为了直观地表示出应变量y>0对应的图像，采用“划线分区”的方法，即分别过交点A、B 作平行于y轴的直线，将图像分为三个区域：A点左侧，A、B两点之间，B点右侧。
其中抛物线在x轴（直线y=0）上方的是A点左侧和B点右侧部分。
这一方法是依据对应的函数图像和交点的位置关系产生的，因此应用时关键要找准交点再划线分区。
图2由图2知，x的取值为x3。
【小结】“数形结合”最能展现二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系：[数形 y=x2-2x-3赋; 今y=0值; 今y=0x2-2x-3=0 抛物线与直线的两个交点 y=x2-2x-3赋; 今y>0值; 今y>0范; 今y>0围; 今y>0x2-2x-3=0 部分函数图像 ]理解了二次函数与一元二次方程、不等式之间的本质联系，掌握了“划线分区”的小妙法，你会解这一类不等式吗？我们来试试看。
图像法解一元二次不等式
方法二 运用图像分析
回忆：a>0与a<0的图像区别在于开口的方向
y
y
y
x1`
x2`
x xx
11
a<0
xx1
xx2
xx
1
2
a>0
同理利用第三部分 2 所学分析左2 图可知，不等式ax2 +bx+c>0(a<0)的解在两根之间，即｛x|x1`<x<x2`｝
六 思考 ax +bx2+c>0(a<0)的解法
问题：会求解a>0时不等式的解，当a<0时解？ 思考：a>0与a<0的区别在于符号的方向 想法一 利用不等式的性质，给不等式的两边同乘以一 负数，符号反向.
因为a<0，所以-a>0, 求ax +2 bx+c>0(a<0）的解 即求-ax –bx2-c<0(a<0）的解
同理先求方程-ax –bx-c=0的两根x1` x2`，在利用第三 部分 1 所学就可知解为｛x|x1`<x<x2`｝
综上可知：不等式的解为｛x|x1<x<x2｝
四 总结
y=ax2+2 bx+c(a>0)图像如下所示：
y
x
x
xx
1
2
• ax2+bx+c>0(a>0)解为｛x|x<x1或x>x2｝
在两根之外如
所示部分
• ax2+bx+c<0(a>0)解为｛x|x1<x<x2｝
在两根之间如
所示部分
五 拓展 ax2+bx+c>0(a<0)的解法
利用函数图象解一类不等式
利用函数图像解一类不等式桐乡市濮院桐星学校 潘铁丰 课堂教学研究一、教学目标1、知识与技能：理解函数图像的意义，能用函数图像解特殊不等式。
2、方法与过程： 把不等式问题转化成函数问题，并结合图像分析解答。
4、情感态度与价值观：体验图象解题的优越性，增强学生应用数形结合思想的意识。
二、教学重难点重点：掌握用函数图像解不等式问题的方法。
难点：如何把不等式问题转化成函数图像问题。
三、课堂设计：1、探究活动一：利用图象解不等式此不等式中含有分式，是一类特殊的不等式，如何求解学生不甚明白。
引导学生其求解方法可以分为两种：一、把分式方程转化为整式方程，但需要进行分类讨论；二、转化成函数问题，结合图像进行求解。
因为利用图像后问题变得直观、简单，故我们选择后者。
引导学生如何利用图像解不等式：①设函数②画草图③选图像（选择符合条件的那部分图像）④ 定范围（定出选取图象的自变量取值范围）让学生理解不等式问题是如何转化成函数问题是一个难点，对于 学生可能会不理解，所以在下面又给出解释，即自变量x 取何值时，函数值y>4。
不等式问题又转变成已知函数值范围，求自变量范围的问题。
要解决自变量x 取何值时，函数值y>4,必须先找到y>4的那部分图像，然后根据图像再去求出自变量x 的范围，这其中包含了逆向思维，学生其实很难想到，也是本节课的又难点。
探究活动二：解不等式: 本题作为上一题的巩固提高,其基本过程和上题一样：①设函数44>x 4)4(>=x y xx 32<+②画草图③选图像（选择符合条件的那部分图像）④定范围（定出选取图象的自变量取值范围）同样要先找到y1<y2时的图像，再确定自变量x的取值范围，此处特别强调根据反比例函数的性质，x=0是取不到的，因此y轴也是分界线。
四、总结反思对于初中生来说函数是一个比较难以理解的概念，很多学生函数题会做，但不见得就理解，本节课正是想通过不等式、函数表达式、函数图像，让学生有机会去体验他们各自的意义，为以后的数学学习打好基础。