【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：

一． 知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;

若O 是ABC ∆的重心，则

ABC AOB AOC BOC S 31

S S S ∆∆∆∆=

==故0OC OB OA =++;

1()3

PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.

2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;

若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：

：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++

3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或2

2

2

OC OB OA ==)

若O 是ABC ∆的外心

则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：

：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++

4）O 是内心ABC ∆的充要条件是

|

CB ||

CA |OC |

BC ||

BA |OB AC

|

AB |OA =-

⋅=-

⋅=-

⋅

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是

ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆

故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;

向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分

线所在直线)；

二． 范例

(一)．将平面向量与三角形内心结合考查

例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P

满足OA OP +

+=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）

（A ）外心（

B ）内心（

C ）重心（

D ）垂心 解析：因为

是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又

AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆

中，AP 平分BAC ∠，则知选B.

点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么？没见过！想想，一个非零

向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,

同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））

例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.

即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.

点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直

” 等相关知识巧妙结合。

变式：

若H 为△ABC

== 则点H 是△ABC 的垂心

证明: 2

2

2

2

BC CA HB HA -=-

BA CB CA BA HB HA •+=•+∴)()( =•--+BA CB CA HB HA )(得0

即=•+BA HC HC )(0

HC AB ⊥∴

同理HB AC ⊥，HA BC ⊥

故H 是△ABC 的垂心

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.

证明 作图如右，图中GE GC GB =+

连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.

将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，

得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））

例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(3

1PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心

∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(3

1

PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））

例6若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心

解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则

OB OC OD +=，由平行四边形性质知1

2

OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，

所以是重心，选D 。

点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三

角形中线的内分点，所分这比为2

1

λ=。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形

的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。

变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0． 证明：

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

-=-=-=GC

CF GB

BE GA AD 232323 )(2

3

GC GB GA CF BE AD ++-=++∴

0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．

变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，

A

B

C

E D

O