【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
三角形“四心“的向量统一形式及证明
三角形“四心“的向量统一形式及证明三角形的“四心”是指三角形内部的四个特殊点：重心、外心、垂心和内心。
以三角形的三个顶点A、B、C为坐标原点，分别取AD、BE、CF 为坐标轴，其中D、E、F分别为BC、AC、AB的三个中点。
则A、B、C的坐标分别为A(0, 0)B(1, 0)C(k, m)其中k、m为未知数，待求。
重心的坐标为三个顶点坐标的平均值，即G((0+1+k)/3, (0+0+m)/3) = (1/3*k, m/3)外心的坐标可以通过垂直平分线的交点求得。
设AB的垂直平分线为x=1/2，AC的垂直平分线为y=mx+b，交点为(Ox, Oy)。
由于垂直平分线是两条对称轴，所以可以得到下面两个方程：(1/2 + k) / 2 = Oxm * Ox + b = Oy解方程可以得到Ox = 1/4 + k/2Oy = m/4 + b垂心的坐标可以通过高的垂直线交点求得。
设高的垂直线分别为x=c1和y=mc2+b2，两条垂直线的交点为(Hx, Hy)。
由于高的垂直线是两条轴线，所以可以得到下面两个方程：c1 = 0mc2 + b2 = 0解方程可以得到Hx = 0Hy = -b2/m内心的坐标可以通过三条角平分线的交点求得。
设角A的平分线为y=mx+b1，角B的平分线为y=mx+b2，角C的平分线为y=mx+b3，三条平分线的交点为(Ix, Iy)。
由于角平分线相交于内心，所以可以得到下面三个方程：Ix = (k+b2-b1) / (2*m)Iy = m * Ix + b2由以上分析可以得到“四心”的坐标：重心G：(1/3*k, m/3)外心O：(1/4 + k/2, m/4 + b)垂心H：(0, -b2/m)内心I：((k+b2-b1) / (2*m), m * ((k+b2-b1) / (2*m)) + b2)证明这些点的向量统一形式，可以分别计算这些点和三个顶点之间的向量，观察它们是否有统一的形式。
三角形四心与向量(最新整理)
-2-
A．内心
B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知 O 到 ABC 的三顶点距离相等。故 O 是 ABC 的外心 ，选 B。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例 8．已知向量 OP1 ， OP2 ， OP3 满足条件 OP1 + OP2 + OP3 =0，| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1，
向量 ( AB AC )( 0) 所在直线过 ABC 的内心(是 BAC 的角平分线所在直 B
| AB | | AC |
线)；
范例
(一)将平面向量与三角形内心结合考查
A
e1
C
P
e2
C C
例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0,
例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ABC 的（D ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
解析:由 PA PB PB PC得PA PB PB PC 0 .即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0
（B ）
A.AB 边中线的中点
B.AB 边中线的三等分点（非重心）
C.重心
D.AB 边的中点
1. B 取 AB 边的中点 M，则 OA OB 2OM ，由 OP = 1 ( 1 OA + 1 OB +2 OC )可得 3 OP 3OM 2MC ，
32
2
∴
MP
2 3
三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下：一． 知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 例(一)．将平面向量与三角形心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）BCHA图6（A ）外心（B ）心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(四大题型)(课件)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)
5
又 = 12 + 2 = 3，∴ = 9 ，
1
2
5
9
5
9
∵ = + = + ，∴ = = +
5
5
5
∴ + = 9 + 18 = 6．
5
，∴
18
5
5
= ， = 18，
9
典型例题
题型三：外心定理
【典例3-1】（2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知点 O是△ABC的外心，AB＝4，AC
2
1
则 × 4 × = × 6 × 4 × 2 + 16 ，得3 + 4 = 2②，
4
1
4
1
11
①②联立解得 = 9， = 6，所以 + = 9 + 6 = 18．故选：C．
典型例题
题型三：外心定理
【变式3-1】（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知点 O是△ABC
，
+ ��
sin
= || ( + ) = 2|| ，
所以点在三角形的中线 上，则动点P的轨迹一定经过△ 的重心．故选：D．
典型例题
题型二：内心定理
【典例2-1】（2024·高一课时练习）已知点O是边长为 6的等边△ABC的内心，
则 + ⋅ + ＝
1
2
1
1
1
+ 3 ⋅ = 2 ⋅ + 3 2 = 30；
所以 2 = 45，由 = 30 2可得 = 2 10，即2 = 40；
三角形四心的向量性质及证明
三角形四心的向量性质及证明符号说明：“AB”表示向量，“|AB|”表示向量的模【一些结论】：以下皆是向量1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=02 若P是△ABC的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积）3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是△ABC的外心|PA|=|PB|=|PC|（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞) 经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,∠C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+(aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)}, 求证P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP*BC=入{(AB*BC /|AB|＾2*sin2B)+AC*BC /(|AC|＾2*sin2C)}, AP*BC=入{|AB|*|BC|cos(180° -B) /(|AB|＾2*sin2B) +|AC|*|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP*BC=入{-|AB|*|BC| cos B/(|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|*|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP*BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB) +|BC|/(|AC|*2sinC )},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC ∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，即AP*BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3. OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线 AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三角形重心。
【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下：一． 知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心BCHA图6解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)[1]2
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三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下：一． 知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOCsin S S S A OB A OC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是内心ABC ∆的充要条件是)|CB |CB |CA |CA (OC )|BC |BC |BA |BA (OB )ACAC |AB |AB (OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (O C )e e (O B )e e (O A 322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心ACB1e 2e PBCHA图6解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选 D.变式：若H 为△ABC 所在平面内一点，且222222AB HC CA HB BC HA +=+=+ 则点H 是△ABC 的垂心证明: 2222BC CA HB HA -=-BA CB CA BA HB HA ∙+=∙+∴)()(（平方差公式） =∙--+BA CB CA HB HA )(得0 即=∙+BA HC HC )(0HC AB ⊥∴同理HB AC ⊥，HA BC ⊥ 故H 是△ABC 的垂心(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3ABCE DO由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++= 得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD = ，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
三角形四心的向量性质及应用(教师用标准答案版)
三角形四心的向量性质及应用(教师用答案版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等； (3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 证明：延长AO 交BC 于D ，如图必有：||||OA OD S S S OAB OCA OBC =+∆∆∆，||||BC BD S S S OAB OCA OAB =+∆∆∆，||||BC CD S S S OAB OCA OCA =+∆∆∆； ---（*）由D O A ,,共线，得：0||||=+OD ODOA OA进而得：0||||=+⋅OD OA OA OD ----------------① 由C D B ,,共线，得：OC BC BD OB BC CD OD ⋅+⋅=|||||||| ----------② 由①②得：OA OA OD ⋅||||0||||||||=⋅+⋅+OC BC BD OB BC CD 代入（*）结论 得+⋅+∆∆∆OA S S S OAB OCA OBC +⋅+∆∆∆OB S S S OAB OCA OCA 0=⋅+∆∆∆OC S S S OABOCA OAB消去分母得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 证毕.另证：作AC OG AB OH //,//，如图：AGOH 为平行四边形；由OC S OB S OA S OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅∆∆∆)()(AC OA S AB OA S OA S OAB OCA OBC +⋅++⋅+⋅=∆∆∆ AC S AB S OA S OAB OCA ABC ⋅+⋅+⋅=∆∆∆)(AC S SAB S S OA S ABCOAB ABC OCA ABC ⋅+⋅+=∆∆∆∆∆ )(AC ACAHAB AB AG OA S ABC ⋅+⋅+=∆ )(AH AG OA S ABC ++=∆ 0)(=+=∆AO OA S ABC ．AB CODAB CODHFEG反方向思考：设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 必有：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''OB A OA C OC B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS S S S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S S S S ∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ． 验证式思考：先证引理：若b a ,不共线，对p ，有0=⋅p a 且0=⋅p b ，必有.0=p证明：若.0≠p 必有p a ⊥且p b ⊥，得b a //，与题设矛盾，故必有.0=p 再证：设α=∠BOC ，β=∠COA ，则βαπ--=∠2AOB ； 由)(OC S OB S OA S OA OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅∆∆∆OC OA S OB OA S OA S OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅=∆∆∆2ββαπβαπβαcos )2sin(21)2cos(sin 21sin 212⋅⋅⋅--⋅⋅+--⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=OC OA OB OA OB OA OA OC OA OC OB ]cos )sin()cos(sin [sin 212ββαβαβα+-++⋅⋅=OC OB OA )]}(sin[{sin 212βαβα+-+⋅⋅=OC OB OA 0)]sin([sin 212=-+⋅⋅=ααOC OB OA ； 有对称性知：0)(=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OB OAB OCA OBC ，又OA ，OB 不共线， 故：必有0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 成立． 一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)略证：1:1:1::=∆∆∆GAB GCA GBC S S S ，得：0=++GC GB GA ．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔=='A 'B 'C OABCABCO02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S OAB OCA OBC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S HAB HCA HBC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=． 又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a cb a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．ABDOHCE略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ， 则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 3．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)cos cos (CAC AC BAB AB OA OP ++=λ，R ∈λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 4．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)sin sin (CAC AC BAB AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，R ∈λ， 则点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足])21()1()1[(31OC OB OA OP λλλ++-+-=，*R ∈λ ， 则点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AB 边的中点 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( ) A ．2 B ．23C ．3D ．6 10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S ∆∆=2λ，ABC PAB S S∆∆=3λ．BCA M N G定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 且21||||=⋅AC AC AB AB , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．既非等腰又非直角三角形二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 4 ． 19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 20．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 22．在ABC ∆中，1,3,==⊥AD BD BC AB AD ，则=⋅AD AC3 ．三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB =u u u u v u u u v ，AN y AC =u u u v u u u v ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线，得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''OB A OA C OC B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP从而得：3211)(||2121222121=⋅-+=-==OP OP OP OP P P P P 同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值． 解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521221|)(|21||22=++=+⋅+=+=b b a a b a AD221162025214421|)2(|21||22=+-=+⋅-=-=b b a a b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=⋅>=<BE AD BEAD BE AD'A 'B 'C OABCA BED C27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
「必修四向量」三角形“重心、垂心、内心、外心”向量结论与证明
「必修四向量」三角形“重心、垂心、内心、外心”向量结论
与证明
一、三角形的重心、垂心、内心、外心的定义
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、三角形的四心与向量的结合的结论和性质
•三角形重心的性质:
•三角形四“心”向量形式的充要条件
三角形四心的向量结论与证明
三角形四心的向量结论的经典例题解析。
三角形四心的向量性质练习.doc
三角形“四心”的向量一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知 A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内一点，若uuur uuur uuur0．则 G 是△ABC 的重心．GA GB GCuuur uuur uuur证明：如图 1 所示，因为GA GB GC 0，所以uuur uuur uuur GA (GB GC) ．uuur uuur以 GB ， GC 为邻边作平行四边形 BGCD ，uuur uuur uuur uuur uuur则有 GD GB GC ，所以 GD GA ．又因为在平行四边形BGCD 中， BC 交GD 于点E，uuur uuur uuur uuur所以 BE EC，GE ED ．所以 AE 是△ABC的边BC的中线．故G是△ABC的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例 1uuur uuurb ，如图 2 所示，△ABC的重心为G，O为坐标原点，OA a ， OBuuur uuurOC c ，试用 a， b， c 表示 OG ．解：设 AG交 BC于点M，则M是 BC的中点，a OG GAb OG GBc OG GC图 2a b c OG GA GB GC而 a b c 3OG0a b cOG3变式：已知 D ，E ，F分别为 △ABC 的边 BC ，AC ，AB 的中点．则uuur uuur uuur AD BE CF0．证明：如图的所示，AD3GA2BE3 GB 2 CF3 GC2AD BE CF3 (GA GB GC)2GA GB GC 0uuur uuur uuurAD BE CF 0 ．．图 3变式引申：如图 4，平行四边形 ABCD 的中心为 O ，P 为该平面上任意一点，uuur 1 uuur uuur uuur uuur 则 PO ( PA PB PC PD)．4uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 证明： Q PO (PA PC) ， PO 2 (PB PD) ，2uuur 1 uuur uuur uuur uuurPO 4 (PA PB PC PD) ．点评：（ 1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法 2 运用了向量加法的平行四边形法则． （ 2）若 Puuur uuur uuur uuur与 O 重合，则上式变为 OA OB OC OD 0．例 2. 已知 O 是平面内一点，A, B,C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足OP1 ，0,，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的OAABBC2A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题 2：已知 O 是平面上一定点， A、B、 C 是平面上不共线的三个点，动点P 满uuur uuur uuur uuur[0, ) .则P点的轨迹一定通过△ABC的( ) 足 OP OA (AB AC),A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心uuur uuur uuur解：由已知得 AP (AB AC ) ，设BC的中点为D，则根据平行四边形法则知点 P 在 BC的中线 AD 所在的射线上，故 P 的轨迹过△ ABC的重心，选 C.题 3：已知 O 是平面上的一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点Puuur uuuruuur uuur( uuurABuuurAC) ,[0, ) ,则动点P的轨迹一定通过满足OP OA| AB | sin B| AC | sin C△ABC的()A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心uuuruuur uuur( uuurABuuurAC) ，解：由已知得 AP| AB | sin B | AC | sin Cuuur uuur uuuruuur uuur uuur由正弦定理知 | AB | sin B | AC | sin C ，∴ AP ( AB AC) ，| AB |sin B设 BC的中点为 D，则由平行四边形法则可知点 P 在 BC 的中线 AD 所在的射线上，所以动点 P 的轨迹一定通过△ ABC的重心，故选 A .题 7：已知 A、B、C 是平面上不共线的三点， O 为△ ABC的外心，动点 P 满足uuur uuur(1 uuur(1 2uuurR, 0) ，则P的轨迹一定OP 1 [(1 )OA )OB )OC] (3通过△ ABC的( )A. 内心B. 垂心C. 重心D. AB 边的中点uuur uuur uuur 1 uuur uuur2(1 uuur解： CP OP OC = [(1 )OA (1 )OB )OC]31 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur= [( OA OC) (OB OC)] = (CA CB) ,由平行四边形法则3 3uuur uuur0 ，所以 P 的轨迹在 AB 边的中线上，知 CA CB 必过 AB 边的中点，注意到但不与重心重合，故选 D.uuur uuur uuur题 8：已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点，若 OA OB OC =0, 则 O 点是△ABC的 ()A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur解：若 OA OB OC =0, 则 OA OBOC ，以 OA 、 OB 为邻边作平行四边形 OAC 1 ，设 1 与 交于点 ，则为的中点，有 uuur uuur uuuur ， AB D AB OA OB OC 1 B OC Duuuur uuur 得 OC 1 OC ，即 C 、O 、D 、 C 1 四点共线，同理 AE 、BF 亦为△ ABC 的中线，所以 O 是△ABC 的重心 . 选 C .uuur1 uuur uuur uuur题 9：已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点，若 PO(PAPBPC)(其中 P 为平面上任意一点 ), 则 O 点是△ ABC 的()3A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心uuur uuuruuur uuur uuuruuur uuur 解：由已知得 3POOA OP OB OPOC OP ，uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur∴ 3PO 3OP OA OB OC ，即 OA OB OC = 0，由上题的结论知 O 点是△ ABC 的重心 . 故选 C .例 4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案
三角形“四心”向量形成的充耍条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以员课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。
现旧纳总结如下:一.知识点总结____________________1 ） 0 是AABC 的重心 <=> OA+OB + OC=0若0 是AABC 的重° , | SaBOC = SaaOC = SaaOB = 3 Smbc jj OA+OB+OC = 0 PG = ^（PA + PB + PC） OG为AABCtf｝重心.2）o 是AABC的垂心<=>OA 6B = OB OC = OC OA若0 是AABC（非直角三角形）的垂心，U| S ABOC5S AAOCS S AZ\OB =tan A：tan B：tan C故tan AOA + tan BOB + tan COC = 63 ）0 是AABC 的外心<=> IOAI=IOBI=IOCI（或=而2 =疋2）若0是AABC的外心则S ABOC：S AAOC： S M（）B = slnZBOC:sinZAOC ：sinZAOB = sin2A : sln2B : sin2C故sin2AOA + sln2BOB + sin2COC = 64）0是心AABC的充要条件是贰（亘-亘）=而（亘-匹）=显（亘-JL）=oIABI AC I BA I IBCI I CAI ICBI引IS单位向量，使条件变鶴更简洁。
如果记入瓦说，不的单位向量为兀瓦恳，则刚才0是AABC 心的充要条件可以写成:OA.（e[+e^） = OB.（e[ + e^） = OC.（e^ + e^） = 00是AABC心的充要条件也可以是aOA + bOB + cOC = 0若0 是AABC 的心，则S AB（）c：S AA<）c： Su（）B=a： b： c故aOA + bOB + cOC = OggsinAOA + slnBOB + sinCOC = 6.\AB\PC+\BC\PA+\CA\PB = O^ P ^ABC的心；向量兄（輕+姿）（几工0）所在直线il AABC的心（是ABAC的角平分线IABI IACI所在直线）；(-).将平面向量与三角形心结合考查例1・0是平面上的一罡点，ABC是平面上不共线的三f点，动点P满竺+丝），几w[o,p ）则P 点的珈迷一定通11MBC 的（ KI（A ）外心（B ）心（C ）重心（D ）垂心解析：因为丝是向量丽的单位向量设丽与疋方向上的单位向量分别为勺和J, JHI 一〜OP-dA = AP原式可化为AP = A （e { +勺），由菱形的基本性质知AP 平分ABAC, SI ）么在A4BC中，AP 平分Z3AC,则知选B.点评：2ii®给人的M 象当然是“新颖、陌生J 首先箔是什么？没见过！想想，一个非零M向量除以它的模不就是单位向量?此题所用的部必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量 的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉，乂能迅速地wtiiffg 到一起, 解fiiii-^rnjg 也没有。
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)--高一数学微专题
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB =PC⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.【典型例题】题型一：重心定理1(2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AM =xAB ,AN =yAC ，则1x +1y的值为()A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】设MG =λMN ，则AG =AM +MG =AM +λMN =AM +λAN -AM=1-λ AM +λAN =x 1-λ AB +yλAC，又因为G 是△ABC 的重心，故AG =13AB +13AC，所以有x 1-λ =13yλ=13⇒1x +1y =31-λ +3λ=3.故选：A2(2024·全国·高一随堂练习)已知△ABC 中，点G 为△ABC 所在平面内一点，则“AB +AC -3AG=0”是“点G 为△ABC 重心”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】依题意AB +AC -3AG =AG +GB +AG +GC -3AG =GA +GB +GC =0，则G 是△ABC 重心，即充分性成立；若G 是△ABC 重心时，GA +GB +GC =0，可得GA +GB +GC =AG +GB +AG +GC -3AG =AB +AC -3AG =0所以AB +AC -3AG =0 ，必要性成立，故选：C .3(2024·全国·高一专题练习)已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足OP =OA+λAB AB sin B +AC AC sin C λ≥0 ，则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的()A.内心 B.外心C.垂心D.重心【答案】D【解析】记E 为BC 的中点，连接AE ，作AD ⊥BC ，如图，则AB sin B =AC sin C =AD ，AB +AC =12AE ，因为OP =OA +λAB AB sin B +ACAC sin C，所以AP =OP -OA =λAB AB sin B +ACACsin C=λ|AD |(AB +AC )=λ2|AD |AE，所以点P 在三角形的中线AE 上，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：D .题型二：内心定理1(2024·全国·高一专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为．【答案】3-32【解析】延长AO 交BC 于D ，设BC 与圆O 相切于点E ，AC 与圆O 相切于点F ，则OE =OF ，则OE ≤OD ，设AD =λAO =λxAB +λyAC ，因为B 、C 、D 三点共线，所以λx +λy =1，即x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE OA=11+OF OA =11+sin A 2，因为cos A =1-2sin 2A 2=13，0<A <π,0<A 2<π2，所以sin A 2=33，所以x +y ≤11+33=3-32．故答案是：3-322(2024·江苏南通·高一如皋市第一中学期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-3723(2024·广西柳州·高一统考期末)设O 为△ABC 的内心，AB =AC =5，BC =8，AO =mAB +nBCm ,n ∈R ，则m +n =【答案】56【解析】取BC 中点D ，连接AD ，作OE ⊥AB ，垂足分别为E ，∵AB =AC ，∴AD 为∠BAC 的角平分线，∴O ∈AD ；又AB =5，BD =12BC =4，∴sin ∠BAD =45，则tan ∠BAD =43；∵△ABC 周长L =5+5+8=18，面积S =12BC ⋅AD =12×8×52-42=12，∴△ABC 内切圆半径r =OE =2S L =2418=43，∴AE =rtan ∠BAD=1，又OA =12+r 2=53，∴AO =59AD ，∵AD =AB +BD =AB +12BC ，∴AO =59AD =59AB +518BC ，∴m =59，n =518，∴m +n =59+518=56.故答案为：56.题型三：外心定理1(2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习)已知点O 是△ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM ⋅AO=．【答案】5【解析】如图所示，取AB 的中点E ，连接OE ，因为O 为△ABC 的外心，则OE ⊥AB ，所以AB ⋅AO =|AB ||AO |cos <AB ,AO >=|AB |×12|AB |=12×42=8，同理：AC ⋅AO =12|AC |2=12×22=2，所以AM ⋅AO =12(AB +AC )⋅AO =12AB ⋅AO +12AC ⋅AO =12×8+12×2=5.故答案为：5.2(2024·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期末)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +OB 2+λCA CA cos A +CBCB cos B ，λ∈R ，则P 的轨迹一定经过△ABC 的．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写)【答案】外心【解析】如图所示：D 为AB 中点，连接CD ，CA CA cos A +CB CB cos B⋅BA =CA ⋅BA CA cos A +CB ⋅BACB cos B=BA -BA =0，OP -OA +OB 2=OP -OD =DP ，故DP ⋅BA =λCA CA cos A +CB CBcos B ⋅BA =0，即DP ⊥BA ，故P 的轨迹一定经过△ABC 的外心.故答案为：外心3(2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习)已知△ABC 中，∠A =60°，AB =6，AC =4，O 为△ABC 的外心，若AO =λAB +μAC，则λ+μ的值为()A.1 B.2C.1118D.12【答案】C【解析】由题意可知，O 为△ABC 的外心，设外接圆半径为r ，在圆O 中，过O 作OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，则D ，E 分别为AB ，AC 的中点，因为AO =λAB +μAC ，两边乘以AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ，AO ,AB 的夹角为∠OAD ，而cos ∠OAD =AD AO=62r =3r ，则r ×6×3r =36λ+μ×4×6×12，得6λ+2μ=3①，同理AO =λAB +μAC 两边乘AC ，即AO ⋅AC =λAB ⋅AC +μAC 2，cos ∠OAC =2r，则r ×4×2r =λ×6×4×12+16μ，得3λ+4μ=2②，①②联立解得λ=49，μ=16，所以λ+μ=49+16=1118．故选：C ．题型四：垂心定理1(2024·江苏泰州·高一统考期末)已知△ABC 的垂心为点D ，面积为15，且∠ABC =45°，则BD ⋅BC=；若BD =12BA +13BC ，则BD=.【答案】 3025【解析】如图，AH 是△ABC 的BC 边上的高，则AH ⋅BC =0；设AD =λAH ，因为∠ABC =45°，面积为15，所以12BABC sin45°=15，即BA BC =302；BD ⋅BC =BA +AD ⋅BC =BA +λAH ⋅BC =BA ⋅BC +λAH ⋅BC =BA BCcos45°=30.由第一空可知BD ⋅BC =30，所以BD ⋅BC =12BA+13BC ⋅BC =12BA ⋅BC +13BC 2=30；所以BC 2=45，由BA BC =302可得BA =210，即BA 2=40；因为BD =12BA +13BC ，所以BD 2=14BA 2+19BC 2+13BA ⋅BC =14BA 2+19BC2+10=10+5+10=25；故答案为：30 25.2(2024·湖北黄冈·高一校联考期末)若O 为△ABC 的垂心，2OA +3OB +5OC =0 ，则S△AOB S △AOC=，cos ∠BOC =．【答案】 53-217/-1721【解析】因为2OA +3OB +5OC =0，所以2OA +OC =-3OB +OC ，设M 为AC 的中点，N 为BC 的中点，则OA +OC =2OM ，OB +OC =2ON，所以2OM =-3ON ，所以MN 为△ABC 的中位线，且OM ON=32，所以O 为CD 的中点，所以S △AOC =S △AOD ，又OM AD =12，ON DB =12，所以AD DB =32，所以S △AOD S △BOD =32，所以S △AOB S △AOC=53，同理可得S △BOC S △AOC=23，所以S △AOB S △ABC =12，S △AOC S △ABC =310，又O 为△ABC 的垂心，OD =OC ，设OD =x ，OB =y ，则OC =x ，OE =3y7，所以cos ∠BOD =x y =cos ∠COE =3y7x ，即x 2=37y 2，所以x 2y 2=37，则x y =217所以cos ∠BOD =217，所以cos ∠BOC =cos π-∠BOD =-217，故答案为：53；-2173(2024·山西·高一校联考阶段练习)已知H 为△ABC 的垂心(三角形的三条高线的交点)，若AH=13AB+25AC ，则sin ∠BAC =.【答案】63/136【解析】因为AH =13AB +25AC，所以BH =BA +AH =-23AB+25AC ，同理CH =CA +AH =13AB -35AC ，由H 为△ABC 的垂心，得BH ⋅AC =0，即-23AB+ 25AC ⋅AC =0，可知25AC 2=23ACAB cos ∠BAC ，即cos ∠BAC =3AC5AB ，同理有CH ⋅AB =0，即13AB - 35AC ⋅AB =0，可知13AB 2=35ACAB cos ∠BAC ，即cos ∠BAC =5AB 9AC，所以cos 2∠BAC =13，sin 2∠BAC =1-cos 2∠BAC =1-13=23，又∠BAC ∈0,π ，所以sin ∠BAC =63．故答案为：63.【过关测试】一、单选题1(2024·全国·高一专题练习)在直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的重心、外心、垂心、内心分别为G 1，G 2，G 3，G 4，若AG i =λi AB +μi AC(其中i =1,2,3,4)，当λi +μi 取最大值时，i =()A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】直角三角形ABC 中，A =90°，D 为BC 中点，△ABC 的重心为G 1，如图所示，AG 1 =23AD =23×12AB +AC =13AB+13AC ，则λ1=μ1=13，λ1+μ1=23；直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的外心为G 2，则G 2为BC 中点，如图所示，AG 2 =12AB +AC ，则λ2=μ2=12，λ2+μ2=1；直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的垂心为G 3，则G 3与A 点重合，AG 3 =0，则λ3=μ3=0，λ3+μ3=0；直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的内心为G 4，则点G 4是三角形内角平分线交点，直角三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，设内切圆半径为r ，则S △ABC =12bc =12a +b +c r ，得r =bca +b +c，AG 4 =bc a +b +c ⋅AB AB +bc a +b +c ⋅AC AC =bc a +b +c ⋅AB c +bc a +b +c ⋅ACb =b a +b +cAB +ca +b +cAC ，λ=b a +b +c ,μ=c a +b +c ，λ+μ=b a +b +c +c a +b +c =b +ca +b +c <1.λ2+μ2=1最大，所以当λi +μi 取最大值时，i =2.故选：B .2(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习)若O 是△ABC 所在平面上一定点，H ，N ，Q 在△ABC 所在平面内，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACAC，λ∈0,+∞ ，则直线AP 一定经过△ABC 的心，点H 满足HA = HB = HC ，则H 是△ABC 的心，点N 满足NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的心，点Q 满足QA ·QB =QB ·QC =QC ·QA ，则Q 是△ABC 的心，下列选项正确的是()A.外心，内心，重心，垂心B.内心，外心，重心，垂心C.内心，外心，垂心，重心D.外心，重心，垂心，内心【答案】B【解析】OP =OA +λAB AB +AC AC ，变形得到AP =λAB AB +ACAC，其中AB AB ,ACAC 分别代表AB ,AC 方向上的单位向量，故AB AB +ACAC所在直线一定为∠BAC 的平分线，故直线AP 一定经过△ABC 的内心，HA = HB = HC，即点H 到△ABC 三个顶点相等，故点H 是△ABC 的外心，因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，如图，取AB 的中点D ，连接ND ，则NA +NB =2ND ，所以NC =-2ND ，故C ,N ,D 三点共线，且CN =2ND ，所以N 是△ABC 的重心，由QA ·QB =QB ·QC 可得QA ·QB -QB ·QC =QA -QC ·QB =CA ·QB=0，故CA ⊥QB ，同理可得CB ⊥QA ,BA ⊥QC ，故Q 为△ABC 三条高的交点，Q 为△ABC 的垂心.故选：B 二、多选题3(2024·河南郑州·高一校联考期末)点O 为△ABC 所在平面内一点，则()A.若OA +OB +OC =0 ，则点O 为△ABC 的重心B.若OA ⋅AC AC -AB AB =OB ⋅BC BC -BABA=0，则点O 为△ABC 的垂心C.若OA +OB ⋅AB =OB +OC ⋅BC=0．则点O 为△ABC 的垂心D.在△ABC 中，设AC 2 -AB 2 =2AO ⋅BC，那么动点O 的轨迹必通过△ABC 的外心【答案】AD【解析】A ．由于OA =-OB +OC =-2OD ，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，故O 为△ABC 的重心；选项A 正确.B ．向量AC AC ，ABAB，分别表示在边AC 和AB 上取单位向量AC 和AB ，它们的差是向量B C，当OA ⋅AC AC-AB AB =0，即OA ⊥B C 时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB ⋅BC BC -BABA =0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；选项B 错误.C ．OA +OB 是以OA ，OB 为边的平行四边形的一条对角线的长，而AB 是该平行四边形的另一条对角线的长，OA +OB ⋅AB =0表示这个平行四边形是菱形，即OA =OB ，同理有OB =OC，故O 为△ABC 的外心．选项C 错误.对于D ，设M 是BC 的中点，AC 2-AB 2=AC +AB ⋅AC -AB =2AO ⋅BC =2AM ⋅BC，即AO -AM ⋅BC =MO ⋅BC =0，所以MO ⊥BC ，所以动点O 在线段BC 的中垂线上，故动点O 的轨迹必通过△ABC 的外心.选项D 正确.故选：AD .4(2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若AM =12AB +12AC ，则点M 是边BC 的中点B.若AM =2AB -AC ，则点M 是边BC 的三等分点C.若AM =-BM -CM ，则点M 是边△ABC 的重心D.若AM =xAB +yAC ，且x +y =13，则△MBC 的面积是△ABC 面积的23【答案】ACD【解析】对于A 中，根据向量的平行四边形法则，若AM =12AB +12AC =12(AB +AC)，则点M 是边BC 的中点，所以A 正确；对于B 中，由AM =2AB -AC ，则AM -AB =AB -AC ，即BM =CB，则B 为CM 的中点，所以B 错误；对于C 中，如图所示，由AM =-BM -CM ，可得AM +BM +CM =0，取BC 的中点D ，可得MA =-2MD，则点M 为△ABC 的重心，所以C 正确；对于D 中，由AM =xAB +yAC ，且x +y =13，所以3AM =3xAB +3yAC且3x +3y =1，设AN =3AM ，可得AN =3xAB +3yAC ，且3x +3y =1，所以N ,B ,C 三点共线，因为AN =3AM ，所以M 为AN 的一个三等分点(靠近A )，如图所示，所以S △MBC =23S △ABC ，即则△MBC 的面积是△ABC 面积的23，所以D 正确.故选：ACD .5(2024·山东枣庄·高一校考阶段练习)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O 、G 、H 分别是△ABC 的外心、重心、垂心，且M 为BC 的中点，则()A.OH =OA +OB +OCB.S △ABG =S △BCG =S △ACGC.AH =3OMD.AB +AC =4OM +2HM【答案】ABD【解析】A . ∵OG =12GH ,∴OG =13OH ,∵G 为重心，所以GA +GB +GC =0,所以OA -OG +OB -OG +OC -OG =0 ,所以OG =13(OA +OB +OC ),∴13OH=13(OA +OB +OC ),所以OH =OA +OB +OC ，所以该选项正确.B .S △BCG =12×BC ×h 1,S △ABC =12×BC ×h 2，由于G 是重心，所以h 1=13h 2，所以S △BCG =13S △ABC ，同理S △ABG =13S △ABC ,S △ACG =13S △ABC ,所以S △ABG =S △BCG =S △ACG ，所以该选项正确.C .AH =AG +GH =2GM +2OG =2(OG +GM )=2OM,所以该选项错误.D .OH =3OG ,∴MG =23MO +13MH ,∴GM =23OM +13HM ,所以AB +AC =2AM =6GM =623OM +13HM =4OM +2HM ,所以该选项正确.故选：ABD6(2024·安徽池州·高一统考期末)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法正确的是()A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BC D.OD +OE +OF =0【答案】ACD【解析】对于A ，因为D 为△OAB 中AB 的中点，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确；对于B ，因为△ABC 为正三角形，所以OA ⋅OB =OA 2cos120°=-12OA 2，所以OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-32OA2，所以B 不正确；对于C ，因为AO ⋅AB -AC =AO ⋅CB=0，所以OA ⊥BC ，所以C 正确；对于D ，因为O 为△ABC 的重心，D ,E ,F 分别为边AB ,BC ,CA 的中点，所以CO =2OD ，即2OD +OC =0 ，所以OD +OE +OF =12OA +OB +12OB +OC +12OA+OC=OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，所以D 正确.故选：ACD .7(2024·广东广州·高一校考期末)下列命题正确的是()A.若A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上，且AB =CD ，则AB =CDB.在△ABC 中，若O 点满足OA +OB +OC =0，则O 点是△ABC 的重心C.若a =(1,1)，把a 右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3,1)D.在△ABC 中，若CP =λCA |CA |+CB|CB |，则P 点的轨迹经过△ABC 的内心【答案】BD【解析】对于A ，依题意如图，但AB ≠CD，故选项A 错误；对于B ，设BC 的中点为D ，由于OA +OB +OC =0 ，即OA =-(OB +OC )，所以OA =-2OD ，所以O 点是△ABC 的重心，故选项B 正确；对于C ，向量平移后不改变方向和模，为相等向量，故选项C 错误；对于D ，根据向量加法的几何意义知，以CA |CA |和CB|CB |为邻边的平行四边形为菱形，点P 在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，故P 点的轨迹经过△ABC 的内心，故选项D 正确.故选：BD8(2024·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习)点O 在△ABC 所在的平面内，则下列结论正确的是()A.若OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ，则点O 为△ABC 的垂心B.若OA +OB +OC =0 ，则点O 为△ABC 的外心C.若2OA +OB +3OC =0，则S △AOB :S △BOC :S △AOC =3:2:1D.若AO ⋅AB AB =AO ⋅AC AC 且CO ⋅CA CA =CO ⋅CB CB ，则点O 是△ABC 的内心【答案】ACD【解析】对A ：如图所示，OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA，则(OA -OC )⋅OB =CA ⋅OB =0，(OB -OC )⋅OA =CB ⋅OA =0，(OB -OA )⋅OC =AB ⋅OC =0，∴OB ⊥CA ,OA ⊥CB ,OC ⊥AB ，∴O 为△ABC 的垂心，A 正确；对B ：如图，取AB 的中点D ，连接OD ，由OA +OB +OC =0 ，则OA +OB =2OD =-OC ，∴O ，D ，C 三点共线，又CD 是△ABC 的中线，且|OC |=2|OD |，∴O 为△ABC 的重心，B 错误；对C ：如图：D ，E 分别是AC ，BC 的中点，由2OA +OB +3OC =0 ，∴2(OA +OC )+(OB +OC )=0 ，∴4OD +2OE =0 ，∴OE =-2OD ，∴OD =13DE =16AB ，OE =23DE =13AB ，则S △AOC =16S △ABC ，S △BOC =13S △ABC ，S △AOB =12S △ABC ，则S △AOB :S △BOC :S △AOC =3:2:1，C 正确；对D ：如图，∵AO ⋅AB |AB |=AO ⋅AC|AC |，∴|AO ||AB |cos ∠BAO |AB |=|AO ||AC |cos ∠CAO |AC|，∴cos ∠BAO =cos ∠CAO ，∴∠BAO =∠CAO ，即AO 为∠BAC 的平分线，同理由CO ⋅CA |CA |=CO ⋅CB|CB|得∠ACO =∠BCO ，即CO 为∠ACB 的平分线，∴O 为△ABC 的内心，D 正确．故选：ACD 三、填空题9(2024·甘肃武威·高一校联考期末)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若O 为△ABC 的重心，OB ⊥OC ,3b =4c ，则cos A =.【答案】56【解析】连接AO ，延长AO 交BC 于D ，由题意得D 为BC 的中点，OB ⊥OC ，所以OD =BD =CD =12a ，AD =32a .因为∠ADB +∠ADC =π，所以cos ∠ADB +cos ∠ADC =94a 2+14a 2-c 22×32a ×12a +94a 2+14a 2-b 22×32a ×12a =0，得b 2+c 2=5a 2.故cos A =b 2+c 2-a 22bc=b 2+c 2-15b 2-15c 22bc=25b c +c b=25×34+43 =56.故答案为:56.10(2024·全国·高一专题练习)点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上△ABC 的三个顶点，∠B 、∠C 分别是边AC 、AB 的对角，以下命题正确的是(把你认为正确的序号全部写上)．①动点P 满足OP =OA +PB +PC，则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC|AC |(λ>0)，则△ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中；③动点P 满足OP =OA +λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C(λ>0)，则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足OP =OA+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，则△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，则△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合中．【答案】①②③④⑤【解析】对于①，因为动点P 满足OP =OA +PB +PC，∴AP =PB +PC ，则点P 是△ABC 的重心，故①正确；对于②，因为动点P 满足OP =OA+λAB |AB |+AC |AC |(λ>0)，∴AP =λAB |AB |+AC |AC |(λ>0)，又AB |AB |+AC |AC |在∠BAC 的平分线上，∴AP与∠BAC 的平分线所在向量共线，所以△ABC 的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；对于③，动点P 满足OP =OA +λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C(λ>0)，∴AP =λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C，(λ>0)，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则|AB |sin B =|AC|sin C =AD ，AP =λAD(AB +AC )，向量AB +AC 与BC 边的中线共线，因此△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；对于④，动点P 满足OP =OA +λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，∴AP =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，∴AP ⋅BC =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C⋅BC =λ(|BC |-|BC |)=0，∴AP ⊥BC ，所以△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，设OB +OC2=OE，则EP =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C，由④知AB |AB |cos B +AC|AC|cos C⋅BC =0，∴EP ⋅BC=0，∴EP ⊥BC ，∴P 点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线；所以△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．故答案为：①②③④⑤．11(2024·辽宁·高一校联考期末)某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=3，则sin∠PAC=；若AC:AB:BC=6:5: 4，则PA+PB+PC的值为.【答案】74234/5.75【解析】设外接圆半径为R，则R=2，由正弦定理，可知ABsin∠ACB=3sin∠ACB=2R=4，即sin∠ACB=34，由于∠ACB是锐角，故cos∠ACB=74，又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即AP⊥BC,故∠PAC=π2-∠ACB，所以sin∠PAC=cos∠ACB=7 4；设∠CAB=θ,∠CBA=α,∠ACB=β，则∠PAC=π2-β,∠PBA=π2-θ,∠PAB=π2-α，由于AC:AB:BC=6:5:4，不妨假设AC=6,AB=5,BC=4，由余弦定理知cosθ=62+52-422×6×5=34,cosα=42+52-622×4×5=18,cosβ=42+62-522×4×6=916，设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于∠ECB+∠EBC=π2,∠PCD+∠CPD=π2,故∠EBC=∠CPD ,则得∠APC=π-∠CPD=π-∠EBC=π-∠ABC，所以PCsinπ2-β=PAsinπ2-θ=ACsin∠APC=ACsin∠ABC=2R=4，同理可得PBsinπ2-α=ABsin∠APB=ABsin∠ACB=2R=4，所以PA+PB+PC=4cosθ+cosα+cosβ=434+18+916=234,故答案为：74；23412(2024·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末)已知P 为△ABC 所在平面内一点，有下列结论：①若P 为△ABC 的内心，则存在实数λ使AP =λAB |AB |+AC|AC |；②若PA +PB +PC =0 ，则P 为△ABC 的外心；③若PA =PB =PC ，则P 为△ABC 的内心；④若AP =13AB +23AC ，则△ABC 与△ABP 的面积比为2:3．其中正确的结论是．(写出所有正确结论的序号)【答案】①【解析】设AB 中点D ，对于①若P 为△ABC 的内心，所以P 在∠BAC 的角平分线上，因为AB |AB |为AB 方向上的单位向量，AC|AC |为AC 方向上的单位向量，令AE =AB |AB |+AC|AC |，所以AE 在∠BAC 的角平分线上，即AE 与AP共线，所以存在实数λ使AP =λAE ，即AP =λAB |AB |+AC|AC |，故①正确；对于②，若PA +PB +PC =0，则2PD +PC =0 ，所以P 在中线CD 上且CP =2PD ，即P 为三角形重心，故②错误；对于③，PA =PB =PC，所以P 为△ABC 的外心，故③错误；若AP =13AB +23AC ，则13(AB -AP )+23(AC -AP )=0 ，即PB +2PC =0 ，所以P 为BC 上靠近C 的三等分点，所以BP =2PC ，故△ABC 与△ABP 的面积比为3:2，故④错误．故答案为：①13(2024·广西河池·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，已知AB =5，AC =3，A =2π3，I 为△ABC 的内心，CI 的延长线交AB 于点D ，则△ABC 的外接圆的面积为，CD =.【答案】 49π3/493π；372/327.【解析】由余弦定理得BC 2=25+9-2×5×3×-12=49，∴BC =7.设三角形的外接圆的半径为R , 所以732=2R ，∴R =733,所以△ABC 的外接圆的面积为π×7332=493π.由余弦定理得cos ∠ACB =49+9-252×7×3=1114=1-2sin 2∠ACD ,所以sin ∠ACD =2114，cos ∠ACD =5714.所以sin ∠ADC =sin (∠A +∠ACD )=32×5714-12×2114=217.由正弦定理得3217=CD 32,∴CD =327.故答案为：49π3；372.14(2024·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +ACAC cos C ，λ∈0,+∞ ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的(填序号)．①内心 ②垂心 ③ 重心 ④外心【答案】④【解析】设BC 的中点为D ，∵OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +AC AC cos C，∴OP =OD +λAB AB cos B +ACAC cos C ，即DP =λAB AB cos B +ACAC cos C，两端同时点乘BC ，∵DP ⋅BC =λAB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCAC cos C =λAB ⋅BC cos π-B AB cos B +AC ⋅BC cos C ACcos C=λ-BC +BC=0，所以DP ⊥BC ，所以点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过△ABC 的外心故答案为：④.15(2024·高一课时练习)已知O 为△ABC 的内心，∠BAC =π3，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为．【答案】23【解析】如图，延长AO 交BC 于D ，设BC ,AC 分别与圆切于点E ,F ，则OE =OF ，OE ≤OD ，设AD =λAO ，则AD =λxAB +λyAC ，因为B ,D ,C 三点共线，所以λx +λy =1，x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE AO =11+OF AO =11+sin A 2=11+sin π6=23，当且仅当D ,E 重合时等号成立．所以x +y 的最大值为23．故答案为：23．16(2024·高一课时练习)已知A ，B ，C 是平面内不共线的三点，O 为ΔABC 所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足OP =132-2λ OD +1+2λ OCλ∈R ，则点P 的轨迹一定过△ABC 的(填“内心”“外心”“垂心”或“重心”).【答案】重心【解析】根据已知条件判断P ,C ,D 三点共线，结合重心的定义，判断出P 的轨迹过三角形ABC 的重心.∵点P 满足OP =132-2λ OD +1+2λ OC λ∈R ，且132-2λ +131+2λ =1，∴P ，C ，D 三点共线.又D 是AB 的中点，∴CD 是边AB 上的中线，∴点P 的轨迹一定过ΔABC 的重心.故答案为：重心17(2024·高一课时练习)已知点O 是ΔABC 的内心，若AO =37AB +17AC，则cos ∠BAC =.【答案】16【解析】因为-OA =37OB -OA +17OC-OA ，即OC =-3OA +OB ，取AB 中点D ，连接OD ，则OA +OB =2OD ，故OC =-6OD，故点C ,O ,D 共线，又∠ACO =∠BCO ，故AC =BC ，且CD ⊥AB ，所以cos ∠BAC =DA CA=OD OC =16.故答案为：16.18(2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习)已知点O 是△ABC 的外心，AB =6，BC =8，B =2π3，若BO =xBA +yBC ，则3x +4y =．【答案】7【解析】如图，∵AB =6，BC =8，B =2π3，且BO =xBA +yBC ，∴BO ⋅BA =|BO |⋅|BA |⋅cos ∠ABO =12|BA |2=18，BO ⋅BC =|BO ||BC |⋅cos ∠CBO =12|BC |2=32，BA ⋅BC =6×8×-12 =-24，∴BO ⋅BA =xBA 2+yBA ⋅BC BO ⋅BC =xBA ⋅BC +yBC2 ，∴18=36x -24y 32=-24x +64y ，整理得，6x -4y =38y -3x =4 ，∴(6x -4y )+(8y -3x )=3x +4y =7．故答案为：719(2024·湖北武汉·高一期末)△ABC 中，AB =2，BC =26，AC =4，点O 为△ABC 的外心，若AO =mAB +nAC ，则实数m =．【答案】45/0.8【解析】由BC =AC -AB 可得BC 2=AC -AB 2=AC 2+AB 2-2AB ⋅AC =4+16-2AB ⋅AC =24，所以，AB ⋅AC =-2，同理可得BA ⋅BC =6，CA ⋅CB =18，故AB AC cos A <0即cos A <0，而A ∈0,π ，故A 为钝角.如下图所示：取线段AC 的中点E ，连接OE ，由垂径定理可得OE ⊥AC ，则AO ⋅AC =AE +EO ⋅AC =AE ⋅AC +EO ⋅AC =12AC 2，同理可得AO ⋅AB =12AB 2，因为AO =mAB +nAC ，则AO ⋅AC =mAB +nAC ⋅AC =mAB ⋅AC +nAC 2=-2m +16n =12AC 2=8；AO ⋅AB =mAB +AC ⋅AB =mAB 2+nAB ⋅AC =12AB 2，即4m -2n =2，故m =45故答案为：45.20(2024·湖北·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，已知AB =2,AC =5,∠BAC =60°，P 是△ABC 的外心，则∠APB 的余弦值为.【答案】1319【解析】BC 2=AB 2+AC 2-2AB ⋅AC cos60°=4+25-10=19，故BC =19，设△ABC 的外接圆半径为R ，则R =BC 2sin60°=573，△APB 中，cos ∠APB =R 2+R 2-42R 2=1-2R 2=1319.故答案为：1319.21(2024·四川达州·高一达州中学校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若b =3，c =5，则OA ⋅BC =．【答案】8【解析】如图所示，因为O 为△ABC 的外心，取AB 中点E ，则OE ⊥AB ，则AO ⋅AB =OA AB cos ∠OAB =AB OA cos ∠OAC =AB ⋅12AB =12c 2=252，同理AO ⋅AC =12b 2=92，所以OA ⋅BC =OA ⋅AC -AB =-AO ⋅AC -AB =-AO ⋅AC +AO ⋅AB =-92+252=8．故答案为：822(2024·广东汕头·高一金山中学校考期末)已知O 为△ABC 的外心，若AO ⋅BC =4BO ⋅AC ，则cos A 最小值.【答案】34【解析】∵O 为△ABC 的外心，若AO ⋅BC =4BO ⋅AC ，∴AO ⋅AC -AB =4BO ⋅BC -BA ,∴AO ⋅AC -AO ⋅AB =4BO ⋅BC -4BO ⋅BA ，∴12AC 2-12AB 2=4×12BC 2-4×12BA 2,即b 2-c 2=4a 2-4c 2，即b 2+3c 2=4a 2，∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-b 2+3c 242bc=3b 2+c 28bc ≥23bc 8bc=34,当且仅当3b =c 时取等号，∴cos A 的最小值为34.故答案为:34.23(2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末)某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O 是△ABC 内的一点，且存在x ,y ,z ∈R ，使得xOA +yOB +zOC =0 ，则S △AOB :S △AOC :S △COB =z :y :x ．请以此结论回答：已知在△ABC 中，∠A =π4，∠B =π3，O 是△ABC 的外心，且AO =λAB +μAC λ,μ∈R ，则λ+μ=．【答案】33/133【解析】如图，因为O 是△ABC 的外心，所以∠BOC =2∠BAC =π2,∠AOC =2∠ABC =2π3,∠BOA =2∠BCA =5π6，由结论可得S △BOC ⋅OA +S △AOC ⋅OB +S △BOA ⋅OC =0 ，即12R 2sin ∠BOC ⋅OA +12R 2sin ∠AOC ⋅OB +12R 2sin ∠BOA ⋅OC =0 ，可得sin π2⋅OA +sin 2π3⋅OB +sin 5π6⋅OC =0 ，即OA +32OB +12OC =0 .因为AO =λAB +μAC =λ(OB -OA )+μ(OC -OA )，所以(1-λ-μ)OA +λOB +μOC =0 ，所以λ1-λ-μ=32μ1-λ-μ=12 ，即λ+μ1-λ-μ=3+12，即1-(λ+μ)λ+μ=3-1，解得λ+μ=33.故答案为：33.24(2024·辽宁大连·高一育明高中校考期末)已知点P 在△ABC 所在的平面内，则下列各结论正确的有①若P 为△ABC 的垂心，AB ⋅AC =2，则AP ⋅AB =2②若△ABC 为边长为2的正三角形，则PA ⋅PB +PC 的最小值为-1③若△ABC 为锐角三角形且外心为P ，AP =xAB +yAC 且x +2y =1，则AB =BC④若AP =1AB cos B +12 AB +1AC cos C +12AC ，则动点P 的轨迹经过△ABC 的外心【答案】①③④【解析】对于①，若P 为△ABC 的垂心，则AB ⋅PC =0，又AB ⋅AC =2，所以AP ⋅AB =AB ⋅AC +PC =AB ⋅AC +AB ⋅PC =2+0=2，①正确；对于②，取CB 的中点O ，连接OA ，以O 为坐标原点，BC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，则B -1,0 ,C 1,0 ,A 0,3 ，设P m ,n ，则PA ⋅PB +PC =-m ,3-n ⋅-2m ,-2n =2m 2+2n 2-23n =2m 2+2n -32 2-32，故当m =0,n =32时，PA ⋅PB +PC =2m 2+2n -32 2-32取得最小值，最小值为-32，②错误；对于③，有题意得AP =xAB +yAC =1-2y AB +yAC ，则AP -AB =y -2AB +AC ，即BP =y BA +BC ，如图，设D 为AC 的中点，则BA +BC =2BD ，故BP =2yBD ，故B ,P ,D 三点共线，因为P 是△ABC 的外心，所以BD 垂直平分AC ，所以AB =BC ，③正确；对于④，AP =AB AB cos B +AC AC cos C +12AB +AC ，AP ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BC AC cos C +12AB +AC ⋅BC=AB ⋅BC cos π-B AB cos B +AC ⋅BC cos C AC cos C +12AB +AC ⋅BC =-BC +BC +12AB +AC ⋅BC =12AB +AC ⋅BC ，所以2AP ⋅BC =AB +AC ⋅BC ，如图，设E 是BC 的中点，则AB +AC =2AE ，故2AP ⋅BC =2AE ⋅BC ，即AP -AE ⋅BC =EP ⋅BC =0，故则动点P 的轨迹经过△ABC 的外心，④正确.故答案为：①③④25(2024·全国·高一专题练习)(1)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC )，λ∈(0,+∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的(填“内心”“外心”“重心”或“垂心” )．(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC |AC |，λ∈(0,+∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的．(填“内心”“外心”“重心”或“垂心” )【答案】 重心内心【解析】空1：由已知，AP =λ(AB +AC )，根据平行四边形法则，设△ABC 中BC 边的中点为D ，知AB +AC =2AD ，∴AP =2λAD ，∴AP ⎳AD ，则A ，P ，D 三点共线，∴点P 的轨迹必过△ABC 的重心；空2：由已知，AP =λAB |AB |+AC |AC |，而AB |AB |表示与AB 同向的单位向量，AC |AC |表示与AC 同向的单位向量，∴AP 在∠BAC 的角平分线上，∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．故答案为：重心；内心．四、解答题26(2024·全国·高一专题练习)已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，AP =pPB ，AQ =qQC .(1)求GA +GB +GC ；(2)求证：1p +1q=1.(3)求S 1S 2的取值范围.【解析】(1)延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，∴GB +GC =2GD ，∵G 是重心，∴GA =-2GD ，∴GA +GB +GC =-2GD +2GD =0 ；(2)设AB =a ,AC =b ，∵AP =pPB ，∴AP =p 1+p a ，∴a =1+p p AP ∵AQ =qQC ，∴AQ =q 1+q b ，∴b =1+q q AQ ∵AG =23AD =23⋅12(AB +AC )=13a +b =13⋅1+p p AP +13⋅1+q qAQ 且P ,G ,Q 三点共线，∴13⋅1+p p +13⋅1+q q =1，∴1p +1 +1q+1 =3即1p +1q =1；(3)由(2)AP =p 1+p AB ，AQ =q 1+q AC ，∴S 1S2=12AP ⋅AQ ⋅sin ∠BAC 12AB ⋅AC ⋅sin ∠BAC =AP ⋅AQ AB ⋅AC =p 1+p ⋅q 1+q ，∵1 p +1q=1，q=pp-1，可知p>1，∴S1S2=p1+p⋅q1+q=p1+p⋅p2p-1=p22p2+p-1=1-1p2+1p+2=1-1p-122+94，∵p>1，∴0<1p<1，则当1p=12时，S1S2取得最小值49，当1p=1时，S1S2取得最大值12，∵1 p ≠1，则S1S2的取值范围为49,12.。
三角形的“四心” 定理的平面向量表达式及其证明
三角形的“四心” 定理的平面向量表达式及其证明①O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PPP ∆三边) 证明：充分性1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心 若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP ，2OP 为邻边作平行四边形132'OP P P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OP OP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
必要性：O 是123PP P ∆的重心⇒1230OP OP OP ++=如图，延长1PO 交23P P 于P ，则P 为23P P 的中点，由重心的性质得12POOP =. ∵()12323122()2=-=-⨯+=-+OP OP OP OP OP OP ∴1230OP OP OP ++= ②点O是123PP P ∆的垂心⇔122O POP O P O P O PO P⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OP PP ⊥,123OP P P ⊥31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅. ③点O 是123PP P ∆的外心⇔23OP OPOP ==． 证明：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等)⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线的交点)P 12PP 3OPABCDO④O 是123PP P ∆的内心⇔1230a OP b OP c OP ⋅+⋅+⋅=。
高考数学二级结论快速解题：专题09 三角形”四心“向量形式的充要条件(解析版)
专题09三角形”四心“向量形式的充要条件一、结论1、三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
2、设O 为ABC 所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则（1）O 为ABC 的外心 ||||||2sin aOA OB OC A.（2）O 为ABC 的重心 0OA OB OC.（3）O 为ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA.（4）O 为ABC 的内心 0aOA bOB cOC.3、奔驰定理奔驰定理：设O 是ABC 内一点，BOC ,AOC ,AOB 的面积分别记作A S ,B S ,C S 则0A B C S OA S OB S OC.说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：①O 是ABC 的重心 ::1:1:1A B C S S S 0OA OB OC.②O 是ABC 的内心 ::::A B C S S S a b c 0aOA bOB cOC.③O 是ABC 的外心::sin 2:sin 2:sin 2A B C S S S A B C sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC.OAB CASCS BS④O 是ABC 的垂心::tan :tan :tan A B C S S S A B C tan tan tan 0A OA B OB C OC.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.二、典型例题1．（2022·四川西昌·高二期末（理））在平面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC则O 为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【解析】记点O 到AB 、BC 、C A 的距离分别为123h h h ，，，212OBC S a h ，312OAC S b h ，112OAB S c h ，因为0OBC OAC OAB S OA S OB S OC △△△，则233111=0222a h OAb h OBc h OC ，即2310a h OA b h OB c h OC ，又因为0a OA b OB c OC，所以123h h h ，所以点P 是△ABC 的内心.故选：B【反思】设O 为ABC 所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则O 为ABC 的内心 0aOA bOB cOC .利用结论可直接得到O 为ABC 的内心.2．（2021·全国·高一课时练习）已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC 0，则点O 是△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C 【解析】作BD ∥OC ，CD ∥OB ，连接OD ，OD 与BC 相交于点G ，则BG=CG (平行四边形对角线互相平分)，∴OB OC OD ，又OA OB OC 0，可得OB OC =-OA ，∴OD =-OA ，∴A ，O ，G 在一条直线上，可得AG 是BC 边上的中线，同理，BO ，CO 也在△ABC 的中线上.∴点O 为三角形ABC 的重心.故选：C.【反思】设O 为ABC 所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则O 为ABC 的重心 0OA OB OC.利用结论可直接得到O 为ABC 的重心.3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）在ABC 所在平面内有三点O ，N ，P ，则下列说法正确的是（）A．满足||||||OA OB OC，则点O 是ABC 的外心B ．满足0NA NB NC，则点N 是ABC 的重心C ．满足PA PB PB PC PC PA，则点P 是ABC 的垂心D ．满足(0||||AB AC BC AB AC，且12||||AB AC AB AC ，则ABC 为等边三角形【答案】ABCD 【解析】解：对于A ，因为||||||OA OB OC，所以点O 到ABC 的三个顶点的距离相等，所以O 为ABC 的外心，故A 正确；对于B ，如图所示，D 为BC 的中点，由0NA NB NC 得：2ND NA，所以||:||2:1AN ND ，所以N 是ABC 的重心，故B 正确；对于C ，由PA PB PB PC 得：()0PA PC PB ，即0AC PB，所以AC PB ；同理可得：AB PC ，所以点P 是ABC 的垂心，故C 正确；对于D ，由()0||||AB AC BC AB AC得：角A 的平分线垂直于BC ，所以AB AC ；由12||||AB AC AB AC得：1cos 2A ，所以3A ，所以ABC 为等边三角形，故D 正确．故选：ABCD ．【反思】设O 为ABC 所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则（1）O 为ABC 的外心 ||||||2sin aOA OB OC A.（2）O 为ABC 的重心 0OA OB OC.（3）O 为ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA.4.已知G 是ABC 的重心，且满足56sin 40sin 35sin 0A GA B GB C GC，则B =.【答案】3【分析】要牢记,,OA OB OC前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】∵G 是ABC 的重心，∴0GA GB GC∴56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C ∴sin :sin :sin 5:7:8A B C 由正弦定理，::sin :sin :sin 5:7:8a b c A B C 由余弦定理，2222225871cos 22582a cb B ac∵(0,)B ，∴3B.【反思】利用奔驰定理在三角形四心中的具体形式：O 是ABC 的重心::1:1:1A B C S S S 0OA OB OC，可得到56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C ，通过进一步利用三角形的正余弦定理，求出角B .三、针对训练举一反三一、单选题1．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））ABC 中，a ､b ､c 分别是BC ､AC ､AB 的长度，若a OA b OB c OC O，则O 是ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【详解】,OB OA AB OC OA AC 0aOA bOB cOCOA AB aOA b c OA ACa b c OA b AB c AC||||bAB cAC bc AB AC OA a b c a b cAB ACOA 在BAC 的角平分线上，同理OB在ABC 的角平分线上，点O 为三角形ABC 的角平分线的交点故点O 是三角形的内心.故选：B.2．（2021·山东枣庄·高一期中）已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0GA GB GC，则G 点是三角形ABC 的（）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D【详解】因为0GA GB GC，所以GA GB GC CG ，以GA ､GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O，如图所示：则CG GD，所以13GO CO ，点O 是AB 边的中点，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，所以G 点是三角形ABC 的重心.故选：D .3．（2021·福建·厦门市湖滨中学高二开学考试）若O 是平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足OP OC CB CA（R ），则P 点的轨迹一定过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C【详解】因为OP OC CB CA（R ），所以CP CB CA ，所以CB CA在ABC 的边AB 上的中线所在直线上，则CB CA在ABC 的中线所在直线上，所以P 点的轨迹一定过ABC 的重心，故选：C4．（2021·全国·高一课时练习）若O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面内不共线的三点，若点P 满足2OB OC OP +λAP(λ∈(0，+∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C 【详解】设线段BC 的中点为D ，则有1(2OD OB OC)，因此由已知得OP OD +λAP ，即OP OD =λAP ，于是DP =λAP，则//DP AP ，因此P 点在直线AD 上，又AD 是△ABC 的BC 边上的中线，因此点P 的轨迹一定经过三角形ABC 的重心．故选：C5．（2022·全国·高三专题练习）设O 是平面上一定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()AB AC OP OA AB AC， 0, ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【详解】因为()AB ACOP OA AB AC，所以()AB ACAP AB AC，如图，设,AB ACAE AF ABAC都是单位向量，则由向量的加法法则可得四边形AETF 是菱形，所以AP AT，AT 平分BAC ，所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选：B6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，CB a =，CA b=，且sin sin a b OP OC m a B b A=+，m R ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心【答案】A 【详解】过C 作CH AB ，交AB 于H ，取AB 中点D ，连接CD，如图所示：根据三角函数定义可得sin sin a B b A CH，因为sin sin a b OP OC m a B b A=+，所以=+m OP OC a b CH，即2m CP CD CH，即点P 的轨迹在中线CD 上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，所以点P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：A 二、多选题7．（2021·广东广州·高一期末）已知O ，N ，P ，I 在ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是（）A ．若||||||OA OB OC ，则O 是外心B ．若PA PB PB PC PC PA u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则P 是垂心C ．若0NA NB NC，则N 是重心D ．若0CB IA AC IB BA IC，则I 是内心【答案】ABC 【详解】根据外心的定义，易知A 正确；对B ，0PB PA PC PB CA PB CA，同理可得：,PA CB PC AB ，所以P 是垂心，故B 正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意2NA NB ND NC，则||2||NC ND ，同理可得：||2||,||2||NA NE NB NF ，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，,,CB IA AC IB BA IC ，则I 是垂心，故D 错误.故选：ABC.8．（2021·重庆实验外国语学校高一期中）对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，内心为Q ，则下列结论正确的是（）A ．212AO AB ABB ．GA GB GA GC GB GCC ．0HA HB HC D ．若A P Q 、、三点共线，则存在实数 使||||AB AC AP AB AC【答案】AD 【详解】解：对于A ：给定的ABC ，其外心为O ，所以2211()22AO AB AD DO AB AB DO AB AB，故A 正确；对于B ：由于点G 为给定的ABC 的重心，故0GA GB GA GC GA CB，故B 错误；对于C ：点H 为给定的ABC 的垂心，所以()0AH HB HC AB HC，因为重心为G ，则有 11,33AG AB AC BG BA BC ，13CG CA CB ，所以0GA GB GC，若0HA HB HC，则点H 为重心，与题意矛盾，因为故C 错误；对于D ：由于点P 在A 的平分线上，所以AB AC AB AC 和为单位向量，所以||||AB AC AB AC 在A 的平分线上，所以存在实数 使()||||AB ACAP AB AC，故D 正确．故选：AD ．9．（2021·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）点O 在ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（）A ．若0OA OB OC ，则点O 是ABC 的重心．B ．若0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA，则点O 是ABC 的内心．C．若()()0OA OB AB OB OC BC ，则点O 是ABC 的外心．D ．若OA OB OB OC OC OA，则点O 是ABC 的垂心．【答案】ABCD 【详解】对A ，设D 为BC 中点，由于()2OA OB OC OD，所以O 为BC 边上中线的三等分点（靠近点D ），所以点O 是ABC 的重心，故A 正确；对B ，向量,||||AC ABAC AB分别表示在边AC 和AB 上的单位向量AC 和 AB ，记它们的差为向量B C ，则当0||||AC AB OA AC AB时，即OA B C 时，点O 在BAC 的平分线上，同理由0||||BC BA OB BC BA可得点O 在ABC 的平分线上，所以点O 是ABC 的内心，故B 正确；对C ，OA OB 是以OA OB ，为邻边的平行四边形的一条对角线，而AB是另一条对角线，则由()0OA OB AB 可得该平行四边形为菱形，即||||OA OB，同理由()0OB OC BC 可得||OC OB ∣∣，所以点O 是ABC 的外心，故C 正确；对D ，由OA OB OB OC 得0OA OB OB OC，则0OB CA ，所以OB CA ，同理可得,OA BC OC AB ，所以点O 是ABC 的垂心，故D 正确.故选：ABCD.三、填空题10．（2020·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C， 0, ，则动点P 的轨迹一定通过ABC 的________(填序号）．①内心②垂心③重心④外心【答案】④设BC 的中点为D ，∵2cos cosOB AB A O OC AB C A B C P C ，∴cos cos AB AC O C OD B P AB A C ，即cos cosAB AC DP AB C A B C ，两端同时点乘BC ，∵ BC DP =cos cos B AB AC A C B AC BC BC = cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B AC C =BC BC =0，所以DP BC ，所以点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过△ABC 的外心故答案为：④.四、解答题11．（2021·全国·高一课时练习）已知三角形的三条中线交于一点G （也称为三角形的重心），且点G 将每条中线分为2:1的两段（如图，:2:1AG GM ）．设ABC 三个顶点分别为 11,A x y ， 22,B x y ， 33,C x y ，求证：(1)点G 的坐标为123123,33x x x y y y；(2)0GA GB GC ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)设 ,G x y ， 22,B x y ∵， 33,C x y 且M 为BC 中点，2323,22x x y y M又 11,A x y ∵ 11=,GA x x y y ，2323,22x x y y GM x y:2:1AG GM ∵=2GA GM 232311,2,22x x y y x x y y x y2312312222x x x x x y y y y y12312333x x x x y y y y G 的坐标为123123,33x x x y y y (2)M ∵为BC 中点，+=2GB GC GM =2GA GM ∵0GA GB GC。
三角形四心的向量表示
3.（2006陕西）已知非零向量AB与 A满C足
( AB AC ) BC 0且 AB AC 1 ,
| AB | | AC |
| AB | | AC | 2
则△ABC为（ ） D A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
2.在 ABC中，给出 AD 1 AB AC , 2 等于已知AD是 ABC 中 BC边的中线;
3. O是ABC 的重心 OA OB OC 0
4.PG
1 3
(PA
PB
PC)
G
为 ABC 的重心.
例1． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心
a2b1
|
【总结】(1).是用数量积给出的三角形面积公式; (2).则是用向量坐标给出的三角形面积公式.
例5.如图,在ABC内求一点P,使得: |AP|2 +|BP|2 +|CP|2 的值最小.
解:设AP=m,AB=a,AC=b,则BP=m-a,CP=m-b.
| AP |2 | BP |2 | CP |2
三角形“四心”的向量表 示
一、 外心
三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O，
则有OA=OB=OC，
A
故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等，
A
故点O是ΔABC外接圆的圆心．
O
因而称为外心．
O
B
C
B
C
若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
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三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下：一． 知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |OC |BC ||BA |OB AC|AB |OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。
变式：若H 为△ABC== 则点H 是△ABC 的垂心证明: 2222BC CA HB HA -=-BA CB CA BA HB HA •+=•+∴)()( =•--+BA CB CA HB HA )(得0即=•+BA HC HC )(0HC AB ⊥∴同理HB AC ⊥，HA BC ⊥故H 是△ABC 的垂心(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为21λ=。
本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。
变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0． 证明：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GCCF GBBE GA AD 232323 )(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，ABCE DOA B(x 1,0C(x 2,y 2)yxH Q GD E F 则1()4PO PA PB PC PD =+++．证明：1()2PO PA PC =+，1()2PO PB PD =+， 1()4PO PA PB PC PD ∴=+++．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则， 证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变OA OB OC OD +++=0．(四)．将平面向量与三角形外心结合考查例7若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC ==，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。
故O 是ABC ∆ 的外心 ，选B 。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题）证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =21-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-，∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |. 即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。
求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。
设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222x x x y x y E F +D （、、由题设可设1324,)(,)2x Q y H x y （、,122(,)33x x y G +212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--， 212(,)BC x x y =-2212422142()0()AH BCAH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-212223221232()()0222()22QF ACx x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+121221224323()(,),)22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--2（22y 2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321=3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH+--∴=--=------=--=--222（62y 66y 22y即=3QH QG ，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。