高中一年级数学反函数教学设计

高中一年级数学反函数教学设计

一、教材分析：

1、教材的地位与作用

“反函数”一节课是《高中代数》第一册的重要内容。这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。

2、重点与难点：反函数的定义和求法

二、教学目标分析：

(1)知识与技能：使学生接受、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；使学生能够求出指定函数的反函数，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；

(2)能力与方法：培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力；

(3)情感与态度：使学生树立对立统一的辩证思维观点。

三、学情分析：

学生已经学习了函数的基本概念和表示法，掌握了函数的基本知识，理解反函数的概念及互为反函数的两个函数的性质和特征，更有助于学生将函数的思想理解得更透彻。

四、教学过程设计

1、创设问题情境：

导入阶段的教学中，抓住反函数也是函数这一实质，以对函数概念的复习来引出反函数。指明函数是一种映射的实质，分析原函数中映射的具体情况，进而引导学生考虑，若将定义域、值域互换，此时映射还是不是一个函数呢？

首先提问学生函数基本概念，使学生明白函数是一种单值对应，即映射。再出示电脑动画，以函数y=2x来具体分析，结合图象引导学生注意：在定义域内所有自变量，都能在值域内找到唯一确定的一个函数值，即存在x→y的单值对应，例如：１→２，２→４，３→６，……若将定义域与值域互换，则对应变为２→１，４→２，６→３，…这种对应是否构成单值对应，即映射呢？这种对应是否构成函数呢？至此，引出反函数的概念，为概念的新授做好准备。

设计意图：这样的引入方式，抓住了反函数概念的实质，确保学生不会产生概念上的偏差。此外，可以使学生明白新知识来源于旧知识，促使学生主动运用函数的研究方法去学习反函数，为顺利完成教学任务做好思维上的准备。

2、知识建构：

给出概念后，必须防止学生对于反函数f-1(y)形式的误解（以为是1/f(x)）。此外，还

要学生理解：最终的表达形式写为y=f -1(x)是顺应习惯，并且也为后面的图象研究提供方便，y 实际上是原函数中的x ，x 是原函数中的y 。对于这一问题可以引导学生从图象观察得出。

进一步深化对概念的理解，出示电脑幻灯，设置疑问：（1）反函数是不是函数；（2）反函数有没有三要素？如何确定？

引导学生思索，学生逐渐会认识到：反函数也是函数，其定义域是原函数的值域，对应法则可由原函数得到，值域则是原函数的定义域。

这时，给出电脑动画，指明反函数与原函数的关系。澄清学生对于概念的认识，抓住问题的关键。

但是，具体怎样求一个函数的反函数呢？

这些问题，必须通过实例解决，于是进入例题解答过程。

例一：求下列函数的反函数。

（1）y=3x-1(x ∈R)； (2)y=x 3+1； （3）23(1)1

x y x R x x +=∈≠-且 通过例1，要使学生明白具体求反函数的过程。以达到突出重点、突破难点的目的。

设计意图：通过例题，启发学生：既然反函数也存在三要素，那如何一一求出，得到具体的反函数呢？这时结合第（1）小题，让学生思考问题。引导学生找出关键 通过解关于x 的方程，将x 用y 表达，以得到反函数的表达式。这个表达式中的x 、 y 表示什么？这和我们通常的函数表达式有什么区别？进而引导学生想到交换x 、 y 得到我们习惯使用的函数表达式。再考虑：反函数的定义域、值域怎么求？是怎样来的？学生思考后，可得出通过求原函数值域来得到反函数的定义域的方法。

此时，引导学生比较三道小题的解题步骤，师生共同小结出求反函数的三部曲：反解（把解析式看作x 的方程，求出反函数的解析式）--→互换（求出所给函数的值域并把它改换成反函数的定义域）--→改写（将函数写成y=f -1

(x)的形式）。

教师在这一部分教学中，抓住反函数是函数这一本质问题，突出了反函数与原函数之间的联系，给出了具体求解的过程，使学生掌握了重点问题的解决方法。教师以一个个问题来引导学生逐步“发现”解决问题的方法，符合学生的认知水平。在教师创设的问题情境中，学生的认识达到了第一次平衡。

“反函数的概念已经理解，反函数也会求了，任务已基本完成，该休息了”，有的学生会这样想。这时，出示第二道例题，打破平衡，激起学生的疑难。

例2、（1）y=x 2(x ∈R)的反函数

（2）y=x 2(x ≥0)的反函数是

（3）y=x 2(x<0)的反函数是 相当一部分同学会按部就班求出第（1）小题的“反函数” y= (x ∈R)。这对不对2

x

呢？出示电脑动画，引导学生观察图象，从函数的概念出发，必须存在x →y 的单值对应，但反过来呢？y →x 存不存在单值对应呢？适当的引导提问，使学生抓住了问题的关键：在原函数的定义域内必须存在y →x 的单值对应，这是反函数存在的前提。认清这一问题后，引导学生进一步分析，y=x 2(x ∈R)不存在反函数，在定义域的局部存不存在反函数呢？让学生借助图形发现答案，并且进一步得出y=x 2(x ≥0)，y=x 2(x<0)两个函数的反函数。这样，就突破了主要难点，澄清了概念，并为以后反正弦函数的教学做好理论准备。

设计意图：（1）通过函数图像来研究问题，直观形象，符合学生的认识水平，并且为后续的互为反函数的函数图像关系问题做好铺垫。（2）对于反函数的存在性问题，不能回避，必须使学生理解其内在含义，由具体的二次函数结合图像解决这一问题，可以澄清的学生的疑问，达到教学目标。

此时，趁学生对于概念有了一个比较清晰的认识，出示幻灯，从函数概念、反函数的存在性、反函数的求法三方面进行简单的归纳，突出重点，突破难点。

3、能力提升

（1）函数y=2|x|在下列哪个定义区间内不存在反函数？ （ ）

（A ）[2，4]； （B ）[-4，4] （C ）（0，+∞] （D ）（-∞，0]

(2)求反函数：5()253

x y x R x x =∈≠-+且

（3）已知y =5

[0,]2x ∈,求出它的反函数，并指明定义域。

第一道题是概念题，使学生对于反函数的概念有更清晰的认识，使学生对于反函数的存在条件认识更深刻。第二道题使学生熟悉反函数的求法，突出重点。第三道题使学生加深对于概念的理解，弄清反函数与原函数的内在关系。

4、课后作业：

（1）求函数 211x y --=（-1

（2）已知)(x f = 2x -2x(x ≥2),求)(1x f -.

5、总结和评估：

理解反函数概念并求出函数的反函数是高一代数教学的重要内容，这建立在对函数概念的真正理解的基础上，必须使学生对于函数的基本概念有清醒的认识。引导发现法作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。课堂不再成为“一言堂”，学生也不会变成教师注入知识的“容器”。