常用积分公式

28．
(ax
2
dx x 1 dx ＝ 2 2 b) 2b( ax b) 2b ax 2 b
2
（五）含有 ax bx c ( a 0) 的积分
2 2 ax b arctan C ( b 2 4 ac) 2 2 4ac b dx 4ac b 29． 2 ＝ ax bx c 1 2 ax b b 2 4 ac ln C ( b 2 4 ac) b 2 4ac 2ax b b 2 4ac
77．
c bx ax 2 dx ＝ x c bx ax
2
78．
dx ＝
（十）含有
xa 或 ( x a )(b x ) 的积分 x b x b )C
79．

xa xa dx ＝ ( x b ) (b a ) ln( x a xb xb
32．
(x a ) x x a x
2 2
2 3
＝
a
2
x2 a2
33．
dx ＝ x 2 a 2 C dx ＝ 1 x2 a2 C
34．
( x 2 a 2 )3 x2
35．
x 2 a2 2 dx ＝ x a ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 2 2 x a
65．
＝
1 a a2 x2 ln C a x a2 x2 C a2x
66．
a2 x2
＝
67． 68．
a 2 x 2 dx ＝
x 2 a2 x a x 2 arcsin C 2 2 a
x 3 x ( a 2 x 2 ) 3 dx ＝ (5a 2 2 x 2 ) a 2 x 2 a 4 arcsin C 8 8 a 1 2 2 (a 2 x 2 )3 C 69． x a x dx ＝ 3
2
7．
(ax b) dx ＝ a
2
(ln ax b
b )C ax b
8．
1 b2 x2 ＝ ( ax b 2 b ln ax b )C d x (ax b) 2 a3 ax b
9．
x(ax b)
dx
2
＝
1 1 ax b 2 ln C b(ax b) b x
10．
ax bdx ＝
13．

2 x dx ＝ 2 ( ax 2b) ax b C 3a ax b
1
14．

2 x2 (3a 2 x 2 4abx 8b 2 ) ax b C dx ＝ 3 15a ax b 1 ln b ax b b C ( b 0) ax b b
21．
dx 1 xa = ln C 2 a 2a x a
2
（四）含有 ax b(a 0) 的积分
1 a arctan x C ( b 0) b dx ab 22． 2 ＝ ax b 1 a x b ln C ( b 0) 2 ab a x b x 1 dx ＝ ln ax 2 b C 23． 2 ax b 2a
3
ln 2ax b 2 a ax 2 bx c C
75．

x ax bx c
2
dx ＝
1 ax 2 bx c a b 2 a
3
dx c bx ax 2
ln 2ax b 2 a ax 2 bx c C
76．

＝
1 2 ax b arcsin C a b 2 4ac 2ax b b 2 4ac 2ax b c bx ax 2 arcsin C 4a 8 a3 b 2 4ac 1 b 2 ax b c bx ax 2 arcsin C 3 a 2 a b 2 4ac
x 2 a2 x a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2
x 3 ( x 2 a 2 ) 3 dx ＝ (2 x 2 5a 2 ) x 2 a 2 a 4 ln( x x 2 a 2 ) C 8 8 1 2 2 ( x 2 a 2 )3 C 41． x x a dx ＝ 3
2
72．
（九）含有 ax bx c ( a 0) 的积分 73．

dx ax bx c
2
＝
1 ln 2ax b 2 a ax 2 bx c C a 2ax b ax 2 bx c 4a
6
74．
ax 2 bx c dx ＝

4ac b 2 8 a
（二）含有 ax b 的积分
2 ( ax b) 3 C 3a 2 (3ax 2b) ( ax b) 3 C 11． x ax b dx ＝ 2 15a 2 2 (15a 2 x 2 12abx 8b 2 ) ( ax b) 3 C 12． x ax b dx ＝ 105a 3
48．
( x 2 a 2 )3
4
49．
x x
x2 x2 a2 x2
2
dx ＝
x 2 a2 x a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 x x a
2 2
50．
(x a ) dx x2 a2 dx
2 3
dx ＝
ln x x 2 a 2 C
42． x

2
x a4 x 2 a 2 dx ＝ (2 x 2 a 2 ) x 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 8 8
43．

x2 a2 a x2 a2 2 2 ＝ x a a ln C dx x x x2 a2 x2 a2 ＝ d x ln( x x 2 a 2 ) C 2 x x x 2 a 2 ( a 0) 的积分
x (a x ) x2 a2 x2 x2 (a 2 x 2 )3 dx a2 x2 dx
2 2 2 3
dx ＝
1 a x2
2
C
63．
dx ＝ dx ＝
x 2 a2 x a x 2 arcsin C 2 2 a x a2 x2 arcsin x C a
64．
24．
x2 x b dx ax 2 bdx ＝ a a ax 2 b
2
25．

1 x2 dx ln C ＝ x (ax 2 b) 2b ax 2 b 1 a dx dx 2 ＝ 2 bx b ax b (ax b)
26．
x
2
ax 2 b dx a 1 27． 3 ＝ 2 ln C 2 2 x (ax b) 2b x 2bx 2
ax bdx ＝ a
x
1
2
1 1 x2 ( ax b) 2 2b( ax b) b 2 ln ax b C ax bdx ＝ a 3 2
5．
x(ax b) ＝ b ln x
2
dx
1
ax b C x
6．
1 a ax b dx ＝ 2 ln C bx b x (ax b) x 1
51．
＝
1 a arccos C a x
52．
2
x2 a2 ＝ C a2x x2 a2 x 2 a2 x a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2
53． 54．
x 2 a 2 dx ＝
x 3 ( x 2 a 2 ) 3 dx ＝ (2 x 2 5a 2 ) x 2 a 2 a 4 ln x x 2 a 2 C 8 8 1 2 2 ( x 2 a 2 )3 C 55． x x a dx ＝ 3
dx 15． ＝ x ax b
16．
2 ax b arctan C ( b 0) b b
x
2
dx ax b a dx ＝ bx 2b x ax b ax b
17．
ax b dx dx ＝ 2 ax b b x x ax b ax b ax b a dx dx ＝ 2 x x 2 x ax b
常 用 积 分 公 式
（一）含有 ax b 的积分( a 0 ) 1．
ax b ＝ a ln ax b C

dx
1
2． ( ax b) dx ＝ 3． 4．
1 ( ax b) 1 C （ 1 ） a ( 1) ( ax b b ln ax b ) C
30．
ax
2
x 1 b dx dx ＝ ln ax 2 bx c 2 bx c 2a 2a ax bx c x 2 a 2 ( a 0) 的积分
＝ arsh
（六）含有 31．
dx x a dx
2 2 2
x C1 ＝ ln( x x 2 a 2 ) C a x C
80．
xa xa xa dx ＝ ( x b ) (b a ) arcsin C bx bx bx dx xa ＝ 2 arcsin C bx ( x a )(b x ) ( a b)
81．
82．
2x a b (b a ) 2 xa ( x a )(b x )dx ＝ ( x a )(b x ) arcsin C 4 4 bx ( a b)
3
36．
x x
x2 (x a ) dx x2 a2 dx
2 2 2 3
dx ＝
x x a
2 2
ln( x x 2 a 2 ) C
37．
＝
1 x2 a2 a ln C a x x2 a2 C a2x
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38．
x2 a2
＝
39． 40．
x 2 a 2 dx ＝
56． x

2
x a4 x 2 a 2 dx ＝ (2 x 2 a 2 ) x 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 8 8
57．

a x2 a2 dx ＝ x 2 a 2 a arccos C x x x2 a2 x2 a2 ＝ d x ln x x 2 a 2 C 2 x x
70． x

2
x a4 x a 2 x 2 dx ＝ (2 x 2 a 2 ) a 2 x 2 arcsin C 8 8 a
71．

a a2 x2 a2 x2 C dx ＝ a 2 x 2 a ln x x a2 x2 a2 x2 x ＝ d x arcsin C 2 x x a
2 2
58．
（八）含有 a x ( a 0) 的积分 59．

dx a2 x2 dx
＝ arcsin
x C a x C
60．
(a 2 x 2 )3 x a x
2 2
＝
a2 a2 x2
61．
dx ＝ a 2 x 2 C
5
62．
x x
＝
44．
（七）含有 45．

dx x 2 a2 dx
2
x x arch C1 = ln x x 2 a 2 C x a
＝
46．
x a
2
(x a ) x x a x
2 2
2 3
x2 a2
C
47．
dx ＝ x 2 a 2 C dx ＝ 1 x2 a2 C
2 2
18．
（三）含有 x a 的积分 19． 20．
x
2
dx 1 x = arctan C 2 a a a
2
(x x
2
dx x 2n 3 dx = 2 n 2 2 2 n 1 2 2 a ) 2( n 1)a ( x a ) 2( n 1)a ( x a 2 ) n 1