第三章 立体的投影最新版本
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九年级数学下册 第3章《投影与视图》课件 (新版)湘教版
底面是正多边形的棱柱叫作正棱柱.
例一个食品包装盒如图所示。它的底面是边长
（的1投）影当的线大段小A关B平系行为于AB投_影__=面__PA时1B，1；它的正投影是线段A1B1，线段与它 （的2投）影当的线大段小A关B倾系斜为于AB投_影__面>__P_时A，2B它2; 的正投影是线段A2B2，线段与它
（3）当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个__点_A_3_(B_3_) _
（3）当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为___一__条__线__段______．
当物体的某一个面平行于投影面时这个面的正投影与 该面的形状、大小完全相同.
例：按照箭头所指的投影方向画出长方形的正投影 并标明尺寸:
5 （1）
4 4
3
4
5
3
（2）
4
3
解(1)正（投1）影是一个矩形 （2）正投影是一个矩形
如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置；
（1）铁丝平行于投影面； （2）铁丝倾斜于投影面； （3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）． 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
A
A1
p
BA B1 A2Leabharlann A BBB2
B3
A
B
A
BA
A1
p
B1 A2
B
B2
A3(B3)
通过观察，我们可以发现：
做一做
如图，把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放在三个不同位置：
（1）纸板平行于投影面； （2）纸板倾斜于投影面； （3）纸板垂直于投影面． 三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
D
D
C
D
C AC
例一个食品包装盒如图所示。它的底面是边长
（的1投）影当的线大段小A关B平系行为于AB投_影__=面__PA时1B，1；它的正投影是线段A1B1，线段与它 （的2投）影当的线大段小A关B倾系斜为于AB投_影__面>__P_时A，2B它2; 的正投影是线段A2B2，线段与它
（3）当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个__点_A_3_(B_3_) _
（3）当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为___一__条__线__段______．
当物体的某一个面平行于投影面时这个面的正投影与 该面的形状、大小完全相同.
例：按照箭头所指的投影方向画出长方形的正投影 并标明尺寸:
5 （1）
4 4
3
4
5
3
（2）
4
3
解(1)正（投1）影是一个矩形 （2）正投影是一个矩形
如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置；
（1）铁丝平行于投影面； （2）铁丝倾斜于投影面； （3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）． 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
A
A1
p
BA B1 A2Leabharlann A BBB2
B3
A
B
A
BA
A1
p
B1 A2
B
B2
A3(B3)
通过观察，我们可以发现：
做一做
如图，把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放在三个不同位置：
（1）纸板平行于投影面； （2）纸板倾斜于投影面； （3）纸板垂直于投影面． 三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
D
D
C
D
C AC
第三章_立体的投影
20319/.10/2完4 善轮廓。
工业制图课件
一、平面与圆锥相交所得截交线形状
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
2019/10/24
工业制图课件
抛物线加直线段
二、圆锥的截断
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。
PV
PV θ
PV
PV
PV θ
垂直于轴线 θ = 90°
圆2019/10/24
e
●
●
●
db
工业制图课件
例例1:1圆: 圆锥锥被被正正垂垂面面截截断断，， 完成完三成视三图视。图。
1' 7‘ (8') 3‘(4’) 5' (6 ')
9‘ (10')
2'
1• 0 6• • 4 • 8
1 2
2019/10/24
9•
•
5
•
3
•7
1"
如何找椭圆另一根
4"8"• 6" •
• 7" 轴的端点（即最前、
2019/10/24
工业制图课件
取点的方法
1）轮廓线上取点 2）利用积聚投影 3）纬圆上取点
面上取点必需先取线。取线为圆的这一方法， 对于回转面来说，具有普遍的意义。
2019/10/24
工业制图课件
4.42..22.2 曲曲面面体体的的截截交交
(1) 曲面体截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由直线 和曲线围成）。
第3章-基本立体的投影
第3章 基本立体的投影
3.2.2 圆锥
1. 圆锥面的形成 圆锥面是由一条直母线绕与它相交的轴线旋转而 成的。圆锥体由圆锥面和底面组成。 2. 圆锥的投影 图3-4表示一直立圆锥，它的正面投影和侧面投影 为同样大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圆锥面 的最左和最右素线的投影，它们把圆锥面分为前、后 两半；侧面投影s″c″和s″d″是圆锥面最前和最后素线的 投影，它们把圆锥面分为左、右两半。
第3章 基本立体的投影
图3-4(b)中，已知K点的正面投影k′，求点 K的其他两个投影。可用辅助圆法作图，即过 点K在锥面上作一水平辅助纬圆，该圆与圆锥 的轴线垂直，点K的投影必在纬圆的同面投影 上。作图时，先过k′作平行于X轴的直线，它 是纬圆的正面投影，再作出纬圆的水平投影。 由k′向下作垂线与纬圆交于点k，再由k′及k求 出k″。因点K在锥面的右半部，所以k″不可见。第3章 基ຫໍສະໝຸດ 立体的投影2. 棱柱表面上的点
在平面立体表面上的点，实质上就是平面上的点。 正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上的 点可利用平面投影的积聚性来作图。
如已知棱柱表面上M点的正面投影m′，求水平、侧 面投影m、m″。由于正面投影m′是可见的，因此M点必 定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD为铅垂 面，水平投影abcd具有积聚性，因此m必在abcd上。根 据m′和m，由点的投影规律可求出m″，如图3-1(b)所示。
第3章 基本立体的投影
3.2 曲面立体
由一母线绕轴线回转而形成的曲面称为回转面， 由回转面或回转面与平面所围成的立体称为曲面立体。 母线在回转面上的任一位置称为素线。常见的曲面立 体有圆柱、圆锥和圆球等。
第3章 基本立体的投影
3.2.1 圆柱 1. 圆柱面的形成 圆柱面是由一条直母线绕与它平行的轴线旋转而
第三章 立体的投影
重点掌握：
基本体的三面投影的画法及面上找点的方法。 ⒈ 平面体表面找点，利用平面上找点的方法。 ⒉ 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。 ⒊ 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。 ⒋ 球体表面找点，用辅助圆法。
画法几何与工程制图
3.3 切割体的投影
一、切割体及截交线的概念
截交：立体被平面所截。
截平面 : 用以截切物体的 平面。
③ 最后将锥顶S与点A、B、C的同面投影相连， 即得到三棱锥的投影图。
④ 最后检查清理底稿，按规定线型加深。
3. 在棱锥表面上取点
a
一般采用辅助线法。
a
判别可见性
S
K
N
C
A
B
s
s
k n
b
s
n
k
k (n)
c a(c) b c
b
画法几何与工程制图
3.２ 回转体的投影
画法几何与工程制图
第三章 立体的投影
3.1 平面立体的投影 3.2 回转体的投影 3.3 切割体的投影 3.4 相贯体的投影
画法几何与工程制图
概述
立体可分为平面立体和曲面立体两种。表面都是由平面围成的立体，称 为平面立体。
表面由平面和曲面或曲面围成的立体，称为曲面立体。 下面分别介绍它们的投影画法及表面取点。
2.截交线的形状：
其形状取决于平面体的形状及截平面 对平面体 的 截切位置。
根据上述截交线的性质，求截交线的 方法可归结为求截平面与立体表面一系列 共有点的问题，也就是表面取点法。
●
K
3. 轮廓线素线的投影与曲面的可见性的判断
圆锥面是由直线SA绕与它相交的轴线OO1旋 转而成。
基本体的三面投影的画法及面上找点的方法。 ⒈ 平面体表面找点，利用平面上找点的方法。 ⒉ 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。 ⒊ 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。 ⒋ 球体表面找点，用辅助圆法。
画法几何与工程制图
3.3 切割体的投影
一、切割体及截交线的概念
截交：立体被平面所截。
截平面 : 用以截切物体的 平面。
③ 最后将锥顶S与点A、B、C的同面投影相连， 即得到三棱锥的投影图。
④ 最后检查清理底稿，按规定线型加深。
3. 在棱锥表面上取点
a
一般采用辅助线法。
a
判别可见性
S
K
N
C
A
B
s
s
k n
b
s
n
k
k (n)
c a(c) b c
b
画法几何与工程制图
3.２ 回转体的投影
画法几何与工程制图
第三章 立体的投影
3.1 平面立体的投影 3.2 回转体的投影 3.3 切割体的投影 3.4 相贯体的投影
画法几何与工程制图
概述
立体可分为平面立体和曲面立体两种。表面都是由平面围成的立体，称 为平面立体。
表面由平面和曲面或曲面围成的立体，称为曲面立体。 下面分别介绍它们的投影画法及表面取点。
2.截交线的形状：
其形状取决于平面体的形状及截平面 对平面体 的 截切位置。
根据上述截交线的性质，求截交线的 方法可归结为求截平面与立体表面一系列 共有点的问题，也就是表面取点法。
●
K
3. 轮廓线素线的投影与曲面的可见性的判断
圆锥面是由直线SA绕与它相交的轴线OO1旋 转而成。
工程制图课件——第3章 立体的投影
1′ 3′ a
⑵ 圆柱体的三视图
2′ 4′
⑶ 轮圆廓柱线面素的线俯的视投图影积分聚析成与一曲
⑷个 两 示圆个。圆面，方柱的在 向面可另 的上见两 轮取性个 廓点的视素判图线断上的分投别影以表
1(2)
a3(4)
O A
O1 A1 1″ 3″ a
2″ 4″
利用投影 的积聚性
已知圆柱表面上的点M及N正面投影m′和n′，求它们 的其余两投影。
• 平面与立体表面的交线，称为截交线； 当平面切割立体时，由截交线围成的平 面图形，称为断面。 • 用平面与立体相交，截去体的一部分—截切。
• 用以截切立体的平面——截平面。
五棱柱被切割后的三面投影
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4)2 3
4● ●1 ● 2 ● 3
ⅣⅠ
Ⅱ Ⅲ
4
●
3
三视图
（2）正面与侧面投影 是以轴线为对称线的、 大 小完全相同的矩形。
投影特性
圆
圆 锥
底 成下 看面 是底 成圆围 由圆面 是锥成 一柱围 由是。 直由成 一由圆 母圆。 直圆锥 线柱圆 母锥面面柱 线A面可和A面BB绕和看上可绕、
⑴ 棱柱的组成
由两个底面和若干侧棱面
组成。侧棱面与侧棱面的交线
叫侧棱线，侧棱线相互平行。
⑵ 棱柱的三视图
⑶ 棱在柱图示面位上置取时点，六棱柱
的点两的底可面见为性水规平定面：，在俯视 图中反若映由点实于所形棱在。柱的前的平后表面两面的侧都投棱 面影是是可正平见平面，面，点，所的其以投余在影四棱也个柱可侧的见棱； 面若是表平铅面面垂上的面取投，点影它与积们在聚的平成水面直平上线投， 影点都取的积点投聚的影成方也直法可线相见，同。与。六边形 的边重合。
机械制图 第三章 立体的投影
平面立体截交线的特点： 截交线是一个封闭的平面 多边形。多边形的各边是截平 面与立体各棱面的交线。 多边形的顶点是截平面与各 条棱线的交点。 A B 求截交线的关键： 求截平面与棱线的交点，截平面与棱面的交线 Ⅰ S
Ⅲ
Ⅱ
C
（二）求截切立体投影的方法与步骤
1.先画立体未被切的投影图 2.再画截交线的投影图 3.擦掉被切的轮廓线
例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 s' s" 3' 1' a' a 2´ b' 1 Ⅲ s 2 3 c A Ⅰ c' a" S
1. 找出有积聚性的投影 2. 从已知投影开始， 确定各棱线的交点1` 2`3`。 3. 用线上取点的方法求 C 得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线并 判断可见性。
宽 宽
4. 棱柱的投影的特征和几何含义
一个投影为多边形，另外两个投影为小 矩形组成的大矩形。
棱锥
锥顶 侧棱面
棱线
棱锥的棱线相交于锥顶
底面
底边
（二）、三棱锥
1.三棱锥的组成
棱锥由一个底面 和三个侧棱面组成， 侧棱线汇交于有限远 一点----锥顶。
2.棱锥投影时的安 放位置 底面平行水平 投影面，使一个侧 棱面垂直正立投影 面或侧立投影面。
O
平行V面的最大圆
平行W面的最大圆
V
W
a' c"
O
平行H面的最大圆
b
外形轮廓线投 影的对应关系
球面投影 可见性判断
圆球表面取点取线
例 圆球表面一点N，已知n′，求n ，n"
O n' (n" )
N
O
第三章 平面立体的投影及线面投影分析-第一讲
侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
Z
a
b Z
a(b)
V
a
b ab
A B O W
X
O b YH
YW
X
a
Ha
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投 影及正面投影平行于OX轴，且 反映实长。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下： （1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点； （2）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应 的投影轴，且都等于该直线的实长。 事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平 行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间 直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必 垂直于积聚投影所在的投影面。
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
直线的分类
直线与投影面的夹角，称为直线与投影面的倾角。对水平投影面的倾 角叫水平倾角，用α表示；对正立投影面的倾角叫正面倾角，用β表示； 对侧立投影面的倾角叫侧面倾角，用γ表示。 投影面垂直线
特殊位置直线 直 线 一般位置直线
直线在投影图上表现出来的特性，常与直线对投影面的倾斜状态有 关。根据直线与投影面的倾斜状态，直线分为三种类型：投影面平行线、 投影面垂直线、任意倾斜直线。
根据从属性判断点与直线的相对位置
V
n'
m'
N A
a'
M X B
n' b'
m'
a'
b'
X
O
O
b
n
m
a
H
a m b n
注意：对于侧平线还需考察侧面投影。
第三章-立体的投影PPT课件
1″ 7″
9″
4(2)
6(8)
3(1) 5(7)
10(9)
可编辑课件PPT
35
可编辑课件PPT
36
可编辑课件PPT
37
可编辑课件PPT
38
3.3 曲面立体
曲面立体：所有表面都是由曲面或曲面和平面 所围成的立体称为曲面立体。它们通常被称为 回转体。
一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回 转面。不动线称为回转轴，动线称为母线，母 线在回转面上的任意位置称为素线。
4(8) 3(7) 2(6)
1(5)
可编辑课件PPT
68
二、 平面与圆锥相交
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状 2. 例题
可编辑课件PPT
69
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状
圆
过锥顶的两直线
小小规定
可编辑课件PPT
5
一、 棱柱
1. 棱柱的组成
正面投影
由两个底面和几个侧 面组成。侧面与侧面 的交线叫侧棱，侧棱 相互平行。
2. 棱柱的投影
侧面投影
水平投影
可编辑课件PPT
在图示位置时，六棱 柱的两底面为水平面， 在水平投影中反映实 形。前后两侧面是正 平面，其余四个侧面 是铅垂面，它们的水 平投影都积聚成直线， 与六边形的边重合。
s
1
4 2 ●
●
●
解题步骤
1.空间分析：截平面与 四条侧棱均相交，因此 截交线是一个四边形。
3
● 3
2.投影分析：截平面为
正垂面，截交线的正面
投影已知，水平投影和
侧面投影未知；
4 ●
3
1
●
s●
2●
第三章曲线曲面和立体的投影
曲线的投影
曲线是动点运动的轨迹，也可以说是一系列连续点的集合。 因此，绘制曲线的投影时，只要能作出曲线上一系列点的投 影，并把它们的同面投影依次光滑地连接起来，即得曲线的 投影。这是绘制曲线投影的一般方法。 但是，如能根据曲线的投影特性，预先对曲线投影的形状或 特点作出判断，则可以使图形准确作图简化。现将曲线的主 要投影特性分述如下：
在图示位置时，六棱柱的两 点的可见性规定： 底面为水平面，在俯视图中反映 由于棱柱的表面都是平 若点所在的平面的投影 实形。前后两侧棱面是正平面， 面，所以在棱柱的表面上取 可见，点的投影也可见；若 其余四个侧棱面是铅垂面，它们 点与在平面上取点的方法相 平面的投影积聚成直线，点 的水平投影都积聚成直线，与六 同。 的投影也可见。 边形的边重合。
截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 分别求出截平面与棱面的交 的投影特性 线，并连接成多边形。
环面投影可见性的判别
由上向下看，此部分可见
由前向后看，此部分可见
（三）非回转直线面 1、柱面
（1）柱面的形成 由直母线AA1沿着一曲导线A1B1C1A1，且平行于另一直导 线MN运动而形成的曲面。 （2）柱面的投影 画出直母线、曲导线以及外形 轮廓素线和其它必要的素线 （3）柱面的种类
柱面投影种类
纬圆、赤道圆与径圆
回转面按旋转运动的 特性，母线上任意一点 的旋转轨迹都是一个垂 直于轴线的圆，称为纬 圆，纬圆的半径等于该 点到轴线的距离。其中 比相邻两侧的纬圆都大 的，称为赤道圆；比相 邻两侧的纬圆都小的， 称为径圆或喉圆。
第三章 立体的投影
第三章立体的投影立体按照其表面的性质，可分为平面立体和曲面立体两大类。
表面全部由平面围成的立体称为平面立体，表面由平面和曲面围成,或全部由曲面围成的立体称为曲面立体。
§3.1 平面立体一、平面立体的投影及其表面上的点平面立体的各个表面均为平面多边形，多边形的边即为各表面的交线（棱线），因此，绘制平面立体的投影可归结为绘制它的所有棱线及各棱线交点（顶点）的投影，然后判断可见性，将可见的棱线投影画成粗实线；不可见的棱线投影则画成虚线；当粗实线与虚线重合时，应画粗实线。
常见的平面立体是棱柱和棱锥。
1．棱柱（1）棱柱的投影（a）（b）图3-1 正六棱柱的投影图3-1所示为一个正六棱柱的立体图和投影图。
从本章开始，在投影图中不再画投影轴，但各点的三面投影仍要遵守正投影规律：水平投影和正面投影位于铅垂的投影连线上；正面投影和侧面投影位于水平的投影连线上；水平投影和侧面投影应保持前后方向的宽度一致及前后对应。
图3-1a 所示的正六棱柱，它的上、下底面均为水平面，六个棱面中，前后两个为正平面，其余四个为铅垂面。
作投影图时，先画上、下底面的投影：水平投影反映实形且两面重影；正面、侧面投影都积聚成直线段。
再画六条棱线：水平投影积聚在六边形的六个顶点上；正面、侧面投影均反映实长。
最后由读者自己分析各棱线和棱面的可见性。
要特别注意水平投影与侧面投影之间必须符合宽度相等和前后对应的关系，作图时可直接用分规量取距离，如图3-1b所示；但也可用添加45°辅助线的方法作图，如图3-2b。
（2）棱柱表面上的点棱柱体表面上取点和平面上取点的方法相同，先要确定点所在的平面并分析平面的投影特性。
如图3-1b，已知棱柱表面上点M的正面投影m＇和N点的水平投影n，求作其它两个投影。
因为m＇可见，它必在侧棱面ABB1A1上，其水平投影m必在有积聚性的投影上，由m＇和m可求得m＂, 因点M所在的表面A B B1A1的侧面投影可见，故m＂可见；由于N点的水平投影可见，它必在顶面ABCDEF上，而顶面的正面投影和侧面投影都有积聚性，因此n＇、n＂必在顶面的同面投影上。
2024九年级数学下册第3章投影与视图3.1投影课件新版湘教版
一个点 A3( B3)
AB>A2B2
感悟新知
示意图 如图 3.1- 12.
知4－讲
感悟新知
(2)平面图形的正投影分三种情况：
知4－讲
①当纸板 ABCD 平行于投影面时，纸板的正投影与纸
板的形状、大小一样 . ②当纸板 ABCD 倾斜于投影面时，
纸板的正投影与纸板的形状、大小不完全一样 . ③当纸板
答案：D
感悟新知
知1－练
特别提醒 投影是生活中一种常见的现象，没有特殊说明时，
本章中的投影问题均指在平面上形成的投影 .
感悟新知
知1－练
例2 如图 3.1-1，能近似反映冬季上午 10 时你所在学校的 旗杆与其影子的位置关系的是( )
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣“投影的特征”并结合生活体验 进行判断 .
一时刻，在太阳光下，它们的影子长相等.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图 3.1-2 ②所示，同
一时刻，在太阳光下，它们的影子长相等，并且影子的长等
于物体本身的长度 .
感悟新知
(3)在太阳光下，不同时刻，同一地点、同一物体的影知子2－不讲 仅方向在改变，而且长度一般也不同，从早晨到傍晚，物体 影子的指向的变化是正西→西北→正北→东北→正东(北半球 北回归线以北地区) . 一天之中，同一物体的影子的长短的变 化规律是长→短→最短→短→长 .
◆例 7 中，侧棱 AA1在投影面上的正投影应为 EF 这 条线段 . 因为侧棱 AA1能够被看到，所以它的正投 影应画成实线，不要画成虚线或漏画.
投影
物体的 投影线 投影 的特征
平行投影
投影线垂直 于投影面
中心投影
正投影
(4)在太阳光下，不同时刻，同一物体的影子长度不同； 同一时刻，不同物体本身的高度与它们的影子长度成正比 .
计算机CAD 第3章立体投影3.1 (教师专用课件!!!)
投影面
积聚性
投影面
投影面
• 一个投影面能不能确定的表达空间物体的形状呢？ • 怎样能够用投影图唯一的表达空间物体的形状呢？
3.三视图的形成及其投影规律
A. 三投影面体系
由三个垂直相交的投影面构成
侧面投影面W Z 正投影面V
v
ⅡⅠ Ⅲ Ⅳ H
水平投影面H X O
Y
B. 三视图的形成 将物体正放在三投 影面体系中，用正 投影法向三个投影 面投影，就得到了 物体的三面投影， 也叫三视图。 V ——主视图
例12：试判断点K和点M是否属于△ABC所确定的平 面。
（2）平面上取直线 必须过平面内的两个已知点；或者过平面内的一 个已知点，且平行于此平面内的另一条直线。
例13：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平 面内任作一条直线。
解法一：
b
解法二：
d b
m
a
n c
a
cma源自b n c a例1：已知点的两个面的投影，求第三投影。
解法一: a● ax az
●
a
通过作45° 线使aaz=aax
a● ax az
●
a●
解法二:
a
a● 用圆规直接量 取aaz=aax
例2：已知空间点A（20、10、15），试作它的三面 投影图。
解:
练习1：已知各点的两个投影，求其第三投影。
a c
(d ’’ )
a
b
c ） （d
一般位置 铅垂
练习3： 已知直线AB、AC的二投影，求二直线的第三投影, 并说明其空间位置和反映实长的投影。
b c a Z
b
c
a
c a
b
AB 是 正平线
工程图学基础第3章 立体的投影
1.平面与棱锥相交
图3-14 平面与三棱锥相交
2.平面与棱柱相交
例3-10 画出截切五棱柱的三面投影(图3-15)。 解 五棱柱被正垂面P截切，所得截交线为五边形。正面投影积聚在PV上，截平面与 侧表面CC1B1B，BB1A1A，AA1E1E、EE1D1D的交线的水平投影积聚在各自侧表面的 水平投影上。截平面与顶面ABCDE均垂直于V面，则交线为一正垂线，正面投影积聚 为一点。水平投影反映实长。截交线的侧面投影可由正面投影和水平投影求出。作图 步骤如下(图31)画出五棱柱的投影。 2)根据题目给定条件画出截平面的正面迹线PV。 3)求出截交线的水平投影五边形gfjih和侧面投影五边形g″f″j″i″h″。 4)去掉截切部分多余的轮廓线AF、BG、EJ及顶面上五边形BAEIH的投影，并判别投 影图的可见性。
(1)圆柱
图3-4 圆柱的三面投影
(2)圆锥
3-5 圆锥的三面投影
(3)圆球
图3-6 圆球的三面投影
(4)圆环
图3-7 圆环的三面投影
2.曲面立体表面上的点、线
(1)圆柱表面上的点、线 当圆柱轴线垂直于某一投影面时，圆柱面对其投影有积聚 性，利用积聚性确定属于圆柱表面上的点。 (2)圆锥表面上的点、线 为了确定属于圆锥面上的点，根据圆锥面的性质可过圆锥 顶点作辅助直线，或者过给定点作辅助圆，如图3-10a所示。 (3)圆球表面上的点、线 由于圆球面上不存在直线。
(1)棱锥Байду номын сангаас投影
图3-1 三棱锥的投影
(2)棱柱的投影
图3-2 正五棱柱的投影
2.平面立体投影图的可见性判断
平面立体投影图的可见性判断实质上是判别立 体各棱线投影的可见性。通常采用分析立体表 面可见性的方法解决。判断立体表面可见性时， 应遵循的原则是：共一个棱线的两个表面对某 一投影面投影时，只要其中一个表面可见，则 该棱线的投影可见，如果两个投影均不可见， 则该棱线的投影不可见。
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精品课件
直线AA1称为母线,母线在廻转面 的任一位置称为素线 。圆柱面上的素 线都是平行于轴线的直线。
（1） 圆柱的投影
OO
A A
圆柱面的俯视图积聚成 一个圆，在另两个视图上分 别以两个方向的轮廓素线的 投影表示。
轮廓素线的投影与曲面 可见性的判断
最左素线
a
最右素线 OO1 1 A1
最后素线
a
最前素线
其余四个侧棱面是 铅垂面，它们的水平投影 都积聚成直线，并与正六 边形的边线重合，在正面 投影和侧面投影面上的投 影为类似形（矩形）。
六棱柱的六条棱线 均为铅垂线，在水平投影 面上的投影积聚成一点， 正面投影和侧面投影都互 相平行且反映实长。
精品课件
动画演示
☆ 作图步骤：
① 先用点画线画出水平投影 的中心线，正面投影和侧面投 影的对称线;
3.1பைடு நூலகம்基本体的投影及其表面取点
精品课件
一、平面立体的投影及其表面取点
➢ 平面立体：表面由若干多边形所围成的立体。 ➢ 平面立体投影的绘制：
将组成立体的平面和棱线表示出来，然后判别其 可见性，可见的棱线用粗实线表示，不可见的棱线画 成虚线。
➢常用的平面立体：棱柱、棱锥。
➢立体表面取点：
已知立体表面上点的一个投影，求其余两个投影。
界
圆
动画演示
小结
重点掌握：
基本体三面投影的画法及表面取点的方法。 ⒈ 平面体表面取点，利用平面上找点的方法。 ⒉ 圆柱体表面取点，利用投影的积聚性。 ⒊ 圆锥体表面取点，用辅助线法和辅助圆法。 ⒋ 球体表面取点，用辅助圆法。
精品课件
3.2 截切体
3.2.1 截切平面立体的三视图 3.2.2 截切曲面立体的三视图
3.1 基本体的投影及其表面取点
3.2 平面与立体表面的交线—截交线
3.3 两回转体表面的交线—相贯线
精品课件
立体——表面由若干面围成的几何体。 几何体可分为平面立体和曲面立体两种。 表面都是由平面围成的立体，称为平面立体。 表面由平面和曲面或曲面围成的立体，称 为曲面立体。
基本几何体——基精本品课件体
精品课件
（1）球的投影
三个视图分别为三个 前
和圆球的直径相等的圆， 后
它们分别是圆球三个方向 分
转向轮廓线的投影。
界 k
球轮面廓上平线行的于投V面影的与最大圆圆
曲面可见性的判断
球面上平行于H面的最大圆
（2） 球表面取点 k 辅助圆法
精品课件
K
左
右
分
界
k 圆
圆的球面半上径平？行于
上 W面的最大圆
下
分
K
的正面投影和侧面投影，它们分
C N
A
别积聚成水平直线段；
B
② 根据锥高再画顶点S的三面投影； s
s
③ 最后将锥顶S与点A、B、
C的同面投影相连，即得到三 棱锥的投影图。 ④ 最后检查清理底稿，按 规定线型加深。
（2） 棱锥表面取点
k n
k (n)
a b c a(c) b
a
c
s
n
k
一般采用辅助线法。 判精品别课件可见性 b
A
（方向2）的两圆条锥轮面廓上素取线的点投影。 s● 最左素线
最右素线
(N)
● ●
K
O1●s
最前素线
★辅助素线法 过锥顶S和点K作一辅助素线。
最后素线
k(n)
●(n) k
★辅助圆法
过N点作一平行于底面的 水平辅助圆，该圆的正面投影 为过n 且平行底面的直线段。
精品课件
ns●
k
圆的半径？
3. 球
球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋 转而成。
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S
C B
棱面SAC为 侧垂面，侧面投 影积聚成直线段, 正面投影和水平
a′
投影为类似形。
另两个棱面 （SAB,SBC)为 一般位置平面， 三投影均不反映 实形。
s′
b′
A
a
精品课件
S
c′
C
B
c s
b
s〞 a〞
(c〞)
b〞
☆ 作图步骤：
S
① 画反映实形的底面的水平投
影（等边三角形），再画ΔABC
➢常用的表面取点方法：积聚性法 精品课件辅助直线法
1、 棱柱
（1）棱柱的投影 以正六棱柱为例 由顶面和底面及六个侧棱面
组成。侧棱面与侧棱面的交线叫 侧棱线，侧棱线相互平行。
六棱柱的顶面和底面为水平面，水 平投影反映实形，正面投影和侧面投影 都积聚成直线段。
精品课件
前、后两棱面是正平 面，正面投影反映实形，水 平投影和侧面投影积聚成直 线段。
② 画正六棱柱的水平投影 （正六边形），根据正六棱柱 的高度画出顶面和底面的正面 投影和侧面投影。
③ 根据投影规律，再连接顶 面和底面的对应顶点的正面 投影和侧面投影，即为棱线, 棱面的投影。
④ 最后检查清理底稿，按
规定线型加深。
精品课件
动画演示
（2）棱柱表面取点
a、确定点所在的平面并分析该平
面的投影特性；
动画演示
二、曲面立体及其表面取点
表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体， 常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。
曲面可看作由一条运动的线按一定的规律运动所 形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线 称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。
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1. 圆 柱
圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直线 绕与它相平行的轴线旋转而成。
（2） 圆柱面上取点
利用投影的积聚性
a
精品课件
圆柱表面取点
()
()
c”
精品课件
(D)
C AB
2. 圆 锥
圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它相 交的轴线旋转而成。
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（1）S称圆为锥锥体顶的，直投线影SA称为母线。
SO
圆面性为底锥 的该的等面面素圆腰的判轮上线锥三 投断廓过。俯角 影锥素视形 ，顶图线， 两的为三 腰的任一角 分投一圆形别影直。的为与线另底圆曲称两边锥为面个为面圆视可圆不锥图锥同见
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截交线
截交线的概念
截平面
平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面 称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线 上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上又 在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截 交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲线 和直线组成的平面图形或多边形。
b、根据投影规律作出点的投影，
并判别可见性
点的可见性判断：
a
点所在表面的投影可见, (b)
点的投影也可见；若点所在
表面的投影不可见，点的投
b
影也不可见；若点所在表面
的投影积聚成直线，点的投 a
影认为可见。
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A (B)
a
b
动画演示
2. 棱锥
(1) 棱锥的投影
以正三棱锥为例 由一个底面和三个侧棱 面组成。侧棱线交于有限远的 一点 — 锥顶。 棱锥处于图示位置时，其 A 底面ABC是水平面，在俯视图上 反映实形，正面投影和侧面投影 积聚成水平直线段 。
直线AA1称为母线,母线在廻转面 的任一位置称为素线 。圆柱面上的素 线都是平行于轴线的直线。
（1） 圆柱的投影
OO
A A
圆柱面的俯视图积聚成 一个圆，在另两个视图上分 别以两个方向的轮廓素线的 投影表示。
轮廓素线的投影与曲面 可见性的判断
最左素线
a
最右素线 OO1 1 A1
最后素线
a
最前素线
其余四个侧棱面是 铅垂面，它们的水平投影 都积聚成直线，并与正六 边形的边线重合，在正面 投影和侧面投影面上的投 影为类似形（矩形）。
六棱柱的六条棱线 均为铅垂线，在水平投影 面上的投影积聚成一点， 正面投影和侧面投影都互 相平行且反映实长。
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动画演示
☆ 作图步骤：
① 先用点画线画出水平投影 的中心线，正面投影和侧面投 影的对称线;
3.1பைடு நூலகம்基本体的投影及其表面取点
精品课件
一、平面立体的投影及其表面取点
➢ 平面立体：表面由若干多边形所围成的立体。 ➢ 平面立体投影的绘制：
将组成立体的平面和棱线表示出来，然后判别其 可见性，可见的棱线用粗实线表示，不可见的棱线画 成虚线。
➢常用的平面立体：棱柱、棱锥。
➢立体表面取点：
已知立体表面上点的一个投影，求其余两个投影。
界
圆
动画演示
小结
重点掌握：
基本体三面投影的画法及表面取点的方法。 ⒈ 平面体表面取点，利用平面上找点的方法。 ⒉ 圆柱体表面取点，利用投影的积聚性。 ⒊ 圆锥体表面取点，用辅助线法和辅助圆法。 ⒋ 球体表面取点，用辅助圆法。
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3.2 截切体
3.2.1 截切平面立体的三视图 3.2.2 截切曲面立体的三视图
3.1 基本体的投影及其表面取点
3.2 平面与立体表面的交线—截交线
3.3 两回转体表面的交线—相贯线
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立体——表面由若干面围成的几何体。 几何体可分为平面立体和曲面立体两种。 表面都是由平面围成的立体，称为平面立体。 表面由平面和曲面或曲面围成的立体，称 为曲面立体。
基本几何体——基精本品课件体
精品课件
（1）球的投影
三个视图分别为三个 前
和圆球的直径相等的圆， 后
它们分别是圆球三个方向 分
转向轮廓线的投影。
界 k
球轮面廓上平线行的于投V面影的与最大圆圆
曲面可见性的判断
球面上平行于H面的最大圆
（2） 球表面取点 k 辅助圆法
精品课件
K
左
右
分
界
k 圆
圆的球面半上径平？行于
上 W面的最大圆
下
分
K
的正面投影和侧面投影，它们分
C N
A
别积聚成水平直线段；
B
② 根据锥高再画顶点S的三面投影； s
s
③ 最后将锥顶S与点A、B、
C的同面投影相连，即得到三 棱锥的投影图。 ④ 最后检查清理底稿，按 规定线型加深。
（2） 棱锥表面取点
k n
k (n)
a b c a(c) b
a
c
s
n
k
一般采用辅助线法。 判精品别课件可见性 b
A
（方向2）的两圆条锥轮面廓上素取线的点投影。 s● 最左素线
最右素线
(N)
● ●
K
O1●s
最前素线
★辅助素线法 过锥顶S和点K作一辅助素线。
最后素线
k(n)
●(n) k
★辅助圆法
过N点作一平行于底面的 水平辅助圆，该圆的正面投影 为过n 且平行底面的直线段。
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ns●
k
圆的半径？
3. 球
球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋 转而成。
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S
C B
棱面SAC为 侧垂面，侧面投 影积聚成直线段, 正面投影和水平
a′
投影为类似形。
另两个棱面 （SAB,SBC)为 一般位置平面， 三投影均不反映 实形。
s′
b′
A
a
精品课件
S
c′
C
B
c s
b
s〞 a〞
(c〞)
b〞
☆ 作图步骤：
S
① 画反映实形的底面的水平投
影（等边三角形），再画ΔABC
➢常用的表面取点方法：积聚性法 精品课件辅助直线法
1、 棱柱
（1）棱柱的投影 以正六棱柱为例 由顶面和底面及六个侧棱面
组成。侧棱面与侧棱面的交线叫 侧棱线，侧棱线相互平行。
六棱柱的顶面和底面为水平面，水 平投影反映实形，正面投影和侧面投影 都积聚成直线段。
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前、后两棱面是正平 面，正面投影反映实形，水 平投影和侧面投影积聚成直 线段。
② 画正六棱柱的水平投影 （正六边形），根据正六棱柱 的高度画出顶面和底面的正面 投影和侧面投影。
③ 根据投影规律，再连接顶 面和底面的对应顶点的正面 投影和侧面投影，即为棱线, 棱面的投影。
④ 最后检查清理底稿，按
规定线型加深。
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（2）棱柱表面取点
a、确定点所在的平面并分析该平
面的投影特性；
动画演示
二、曲面立体及其表面取点
表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体， 常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。
曲面可看作由一条运动的线按一定的规律运动所 形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线 称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。
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1. 圆 柱
圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直线 绕与它相平行的轴线旋转而成。
（2） 圆柱面上取点
利用投影的积聚性
a
精品课件
圆柱表面取点
()
()
c”
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(D)
C AB
2. 圆 锥
圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它相 交的轴线旋转而成。
精品课件
（1）S称圆为锥锥体顶的，直投线影SA称为母线。
SO
圆面性为底锥 的该的等面面素圆腰的判轮上线锥三 投断廓过。俯角 影锥素视形 ，顶图线， 两的为三 腰的任一角 分投一圆形别影直。的为与线另底圆曲称两边锥为面个为面圆视可圆不锥图锥同见
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截交线
截交线的概念
截平面
平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面 称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线 上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上又 在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截 交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲线 和直线组成的平面图形或多边形。
b、根据投影规律作出点的投影，
并判别可见性
点的可见性判断：
a
点所在表面的投影可见, (b)
点的投影也可见；若点所在
表面的投影不可见，点的投
b
影也不可见；若点所在表面
的投影积聚成直线，点的投 a
影认为可见。
精品课件
A (B)
a
b
动画演示
2. 棱锥
(1) 棱锥的投影
以正三棱锥为例 由一个底面和三个侧棱 面组成。侧棱线交于有限远的 一点 — 锥顶。 棱锥处于图示位置时，其 A 底面ABC是水平面，在俯视图上 反映实形，正面投影和侧面投影 积聚成水平直线段 。