解斜三角形.ppt

北 A α O
观察者
东 β B 南
自动卸货汽车的车厢采用液压机构. 例1 自动卸货汽车的车厢采用液压机构. 设计时 需要计算油泵顶杆BC的长度. BC的长度 需要计算油泵顶杆BC的长度. 已知车厢的最大仰角 油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m, 为60◦，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m, AB与水平线之间的夹角为 20’， AC长为 与水平线之间的夹角为6 长为1.40m, AB与水平线之间的夹角为6◦20 ， AC长为1.40m, 计算BC的长（保留三位有效数字）. 计算BC的长（保留三位有效数字） BC的长 C
已知△ 已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°， 中 ＝ ， ＝ ， ＝ ° 求AC． ． 如图） 解：（如图）在△ABC中， 中 由正弦定理可得： 由正弦定理可得： BC sin C 85 × sin 80o sin A = = = 0.2462 AB 340 因为BC＜ ，所以A为锐角 因为 ＜AB，所以 为锐角 ， A＝14°15′ ＝ ° ′ ∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′ ＝ ° ＋ ） ° 又由正弦定理： 又由正弦定理： AB sin B 340 × sin 85o 45′ AC = = = 344.3( mm ) sin C 0.9848
学习目标
• 1：了解有关解三角形的常用术语 ： • 2：掌握利用正、余弦定理解决实际 ：掌握利用正、 问题的步骤 • 3：熟练运用正、余弦定理解决距离 ：熟练运用正、 测量问题和高度计算问题
一、名称术语
1.坡角和坡度 坡角和坡度
坡面与水平面的夹角叫坡角. 坡面与水平面的夹角叫坡角 如图角A是斜坡 的坡角 的坡角. 如图角 是斜坡AB的坡角 A
P22 :1、2、3
谢谢各位同学配合！ 谢谢各位同学配合！
再见
ABsin(α – β) hsin(α – β) ( BC = sinβ = sinβ
β
)
解法二： 解法二：BC = HC – HB = h·cotβ– h·cotα.
3. 当倾斜角等于12◦30’的山坡上竖立一根旗杆. 当太阳的仰角是37◦40’时，旗杆在山坡上的影子 的长是31.2m, 求旗杆的高. 解：在三角形ABC中， 在三角形 中 ∵∠ACB = 37◦40’ ∠B = 90◦, ∴ ∠A = 52◦20’. 12◦30’ ∵∠DCB = 12◦30’ ∴ ∠ACD = 25◦10’ 又∵ CD = 31.2, CD·sin∠ACD ∠ = 16.8. ∴ AD = sinA C 旗杆的高为16.8m. 答：旗杆的高为
∴
A0 A = A0C − AC = ( AB + BC ) − AC
= (340 + 85) − 344.3 = 80.7 ≈ 81(mm)
答：活塞移动的距离为81mm． 活塞移动的距离为 ．
2. 从高为h的气球上测铁 桥长，测得桥头B 桥长，测得桥头B的俯角是 桥头C的俯角是β α，桥头C的俯角是β，求 该桥长. 该桥长. h 解法一： AB= sin α α H h AC= sin β . BC2 = AB2+AC2 – 2AB·ACcos(α – β).
视线
如图所示， 如图所示，在同一铅 垂面内， 垂面内，在目标视线与水 平线所成的夹角中， 平线所成的夹角中，目标 视线在水平线的上方时叫 仰角， 仰角，目标视线在水平线 的下方时叫俯角. 的下方时叫俯角
仰角 水平线 俯角
视线
3.方位角： 方位角： 方位角
以指北方向为始边， 以指北方向为始边，顺时 针方向旋转到目标方向线的水 平角叫方位角．如图所示A的 平角叫方位角．如图所示 的 方位角为 α，B的方位角为 β . 的方位角为 方位角的范围为 ( 0, 2π ) . B
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练习
1. 已知从烟囱底部在同一水平线上的C、D两处，测 已知从烟囱底部在同一水平线上的C 得烟囱的仰角分别是α 35°12’ =49°28’ 得烟囱的仰角分别是α= 35°12 、 β=49°28 、 CD间的距离是 间的距离是11.12m 测角仪高1.52m. 1.52m.求烟囱的 CD间的距离是11.12m, 测角仪高1.52m.求烟囱的 高. 解： C1BD1= β – α ∠ = 14°16’, ° C1D1sin α BD1 = sin ∠C1BD1 ≈26.01. A1B=BD1sin β ≈19.77, AB=A1B+AA1 ≈21.29(m). 烟囱的高约为21.29m. 答：烟囱的高约为
解斜三角形的应用举例
我国古代很早就有测 量方面的知识， 量方面的知识，公元一世 纪的《周髀算经》 纪的《周髀算经》里，已 有关于平面测量的记载， 有关于平面测量的记载， 公元三世纪， 公元三世纪， 我国数学 家刘徽在计算圆内接正六 边形、 边形、正十二边形的边长 时，就已经取得了某些特 殊角的正弦……
BC2 = AB2 +AC2 –2AB·ACcosA
B
∴
答：顶杆BC约长1.89m.
二、解斜三角形的一般步骤： 解斜三角形的一般步骤：
弄清已知和所求； 1、理清题意，弄清已知和所求； 画出示意图； 2、根据题意，画出示意图； 将实际问题转化为数学问题， 3、将实际问题转化为数学问题，即将 问题归纳到一个或几个三角形中， 问题归纳到一个或几个三角形中，并写 出已知所求； 出已知所求； 正确运用正、余弦定理进行解答． 4、正确运用正、余弦定理进行解答．
60◦ A
6◦20’
C
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B
A
已知 ABC中，AB = 1.95, AC = 1.40, ∠CAB = C 60◦ + 6◦20’ = 66◦ 20’, 求BC的长.
解：∠CAB = 60◦ + 6◦20’ = 66 ◦ 20’ 3.571 BC ≈1.89(m).
≈ A
60◦
6◦20’
坡面
B h C
L
水平面
坡面的垂直高度h和水平宽度 的比叫坡度 表示. 坡面的垂直高度 和水平宽度L的比叫坡度 用i表示 和水平宽度 的比叫坡度,用 表示 如图所示：坡度i=h/L. 如图所示：坡度 根据定义可知：坡度是坡角的正切， 根据定义可知：坡度是坡角的正切， 即i=tanA.
2 .俯角、仰角 俯角、 俯角
例2．如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转 如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄 绕 点旋转 的传递， 时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在 通过连杆 的传递 活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 在 处 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连 杆AB长为 长为340mm，由柄CB长为 ，由柄 长为85mm，曲柄自CB按顺时针方 ，曲柄自 按顺时针方 长为 长为 向旋转80° 求活塞移动的距离（即连杆的端点 移动的距 向旋转 °，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距 离 A0 A ）（精确到 ）（精确到 精确到1mm） ）
37◦40’
A D B
三、小结
解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素． 、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素． 2、要明确题目中一些名词、术语的意义．如 、要明确题目中一些名词、术语的意义． 视角，仰角，俯角，方位角等等． 视角，仰角，俯角，方位角等等． 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 将已知和未知集中到一个三角形中解决． 将已知和未知集中到一个三角形中解决． 4、计算要认真，可使用计算器．
A
4 .象限角 象限角
以观察者位置为原点， 以观察者位置为原点，东、 南 、 西 、 北四个方向把平面 分成四个象限， 分成四个象限 ， 以正北或正 西 南方向为始边旋转到目标方 向线的锐角称为象限角． 向线的锐角称为象限角 ． 如 右图所示， 右图所示 ， 称 A在 O的北偏东 在 的北偏东 α处，B在Ο的南偏东 处． 的南偏东β处 处 在 的南偏东