二阶矩阵和常见的平面变换

二阶矩阵和常见的平面变换

江苏省天一中学沈钰

一．教学目标

1.知识与技能：

通过这节课的复习，使学生进一步理解和掌握六种常见的平面变换的矩阵表示及其几何意义，及矩阵的一些相关知识，如行，列，零矩阵，会用矩阵表示一些问题

2.过程与方法：

通过以平面变换为载体的复习过程，培养学生从特殊到一般，从直观到抽象的学习过程，提高学生学习数学的能力

3.情感态度与价值观：

通过生动通俗的语言和丰富有趣的实例来循序渐进的展开教学过程，激发学生的兴趣与求知欲；通过师生互动的合作交流，营造和谐的教学氛围；通过设置思考或探究的问题，给学生创设思考与探究的空间。

二．教学手段

多媒体

三．教学过程

（一）情节创设

新的一年马上来临了，在上课之前首先播放了一段动画祝大家新年快乐。

〔问题〕：大家知道动画是运用什么知识形成的吗？

计算机动画是指用绘制程序生成的一系列景物画面，其中后一帧画面是对前一帧画面的部分修改，就是几何变换，在平面或空间中物体（图片）的移动就由相应的矩阵乘法来实现。而且每个动画过程背后都涉及数量惊人的矩阵运算，当然计算机的速度是动画的关键。不仅如此矩阵在图论、线性规划、大型工程的计算、信息安全加密等问题中都有重要的运用。为了使我们的生活更加美好，我们应该认真学习矩阵知识。

〔设计意图〕：通过贴近大家生活的动画演示，○1可以激发学生的求知欲，提高学生学习数学的兴趣，○2教师对学生的新年祝福增进了师生情感，○3让学生了解矩阵在现实生活的广泛运用，有利于增强学生的数学应用意识，○4使学生很自然的就进入了今天学习的主题。

（二）活动探究

例 1.已知变换

'32

'02

x x x

y y y

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

→=

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

,将它写成坐标变换的形式是

___________________.

变式○1已知T,)(',')

x y x y y x

→=

：（，将它写成矩阵乘法形式

____________________. 〔问题〕：这两题说明了一个什么问题？

学生进行观察分析概括

○

1二阶矩阵与平面中的坐标变换是一一对应； ○

2矩阵和坐标变换都是平面中的几何变换的代数表示。 变式○2求直线210x y -+=经过二阶矩阵 3 20 2⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

的变换后的图形的方程式 〔问题1〕：你是用什么方法来解决的？

（代入法求轨迹）

〔问题2〕：我们发现在这题中直线在矩阵 3 20 2⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

的变换下变成了直线，那么在此题变式○1

的变换下是否也是直线呢？

〔问题3〕：变式○

1是否是用代入法来解决的呢？ （不一定，可以用反射变换0 11 0⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

的角度来解决）

〔问题4〕：我们知道平面上的点在二阶矩阵的变换下变成平面上的另一点，那么是否直线

在二阶矩阵的变换下都是变成直线呢？

一般的矩阵变换是一种特殊的线性变换 —— 把直线变成直线（或点）

即表达式：

〔设计意图〕：○

1让学生进一步理解矩阵变换是一种特殊的线性变换，○2研究平面变换可以从代数和几何的二个角度来研究，○

3使学生学会运用“从特殊一般”的数学思想方法，自主的去发现问题，分析问题并对问题进行归纳和提炼，提高学生的数学学习能力○

4为下一题的解答作铺垫。

〔问题〕：由上题可得一般的直线在二阶矩阵的变换下变成了直线，所以我们在平面研究

多边形在二阶矩阵的变换下一般只要考虑谁的变换即可？ （多边形的顶点） 请看下面一题

例2．分别给出下列矩阵表示的变换，其中(2,0),(0,1),(2,0)A B C -

求出对A B C ∆的作用结果A 'B 'C '∆

（1） 1 00 -2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）1 -10 1⎡⎤⎢⎥

⎣⎦ （3）1 -221 22⎤

⎥⎢⎢⎢⎣⎦

()M M M λαμβλαμβ+=

＋

学生自己动手画图，观察分析概括 〔问题1〕：这三道题分别用什么方法解决？是否用的是同一种方法？

（代入法和几何方法都可以解决） 〔问题2〕： （3）用哪一种方法比较好？ 〔问题3〕：除了这几种平面变换，还有哪些平面变换？

学生回答后，可用几何画板演示，突出变换前后的关系 演示（1）

〔问题4〕：这里的两种几何变换是否可以互换？

学生进行自主研究，得出结论（在此题中满足交换律） 〔问题5〕：是否两个矩阵的乘法都满足交换律？

演示（2）

演示（3）

结论：从例二可以看出平面变换的求解一般可以从几何和代数两个方面解决，但是由（3）

→

→

可知在实际解决的过程中要择优解决。

〔设计意图〕：让学生进一步理解○

1矩阵变换是一种线性变换，所以多边形的变换只要研究顶点的变换；○

2平面变换可以从数和形两个方面来解决。○3复习六种常见的平面变换－恒等变换、旋转变换、伸压变换、反射变换、投影变换、切变变换。

本题的学生自主研究是本节课的重点，可以让学生在原有知识的基础上进行自主总结，培养学生自我主动建构的能力，在复习旧知的基础上探索新知。

上面我们研究了直线以及多边形的变换，下面我们来研究曲线的平面变换。 例3．设椭圆

2

2

116

4

x

y

+

=，在二阶伸缩变换矩阵M 变换下变为圆22

1x y +=，求M

〔设计意图〕：○1熟练两种方法的解题过程；○2改变问题的方式方法，从不同的层面和角度进行数学思想方法；○

3从直线到多边形到曲线的变换循序渐进，使学生进一步理解和掌握知识，并且会灵活的运用数学思想方法，培养学生的数学思维的深刻性。

三．反馈练习

1. 设矩阵

A 为二阶矩阵，且规定其元素,1,2;1,2,ij a i j i j =+==则

A=_________________ 2. 设矩阵4 33 4A ⎡⎤=⎢

⎥-⎣⎦， b c d a B ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

，若,AB E b c =+=则______________.

3. 曲线C 在伸压变换' 2 0'0 1x x x y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

→=⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

作用下得到2sin y x =的图像，则曲线C 的方程为____________________________

4. 将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，

然后对它做关于y 轴的对称变换，再将它绕原点逆时针旋转45度，则如此平面变换所对应的二阶变换矩阵为_______________________

〔设计意图〕：提高学生的熟练性及掌握例题以外的知识，做到复习的全面性。也促使学生对所学过的知识进行反思，在反思中提升数学能力。

四．回归提升

○1六种常见的平面变换－恒等变换、旋转变换、伸压变换、反射变换、投影变换、切变变换。

○2二阶矩阵与平面中的坐标变换是一一对应。而且矩阵和坐标变换都是平面中的几何变换

的代数表示。

○

3矩阵变换是一种特殊的线性变换 —— 把直线变成直线（或点）