第四章 非线性规划约束极值问题

第四章 非线性规划

⎧⎪

⎧⎨

⎨⎪⎩⎩

无约束最优化问题线性规划约束最优化问题非线性规划

⎧⎨

⎩凸规划约束最优化问题非凸规划

⎧⎨

⎩直接解法约束最优化问题求解方法间接解法

间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于这类方法可以选用有效的无约束优化方法，且易于处理同时具有不等式约束和等式约束的问题，因而在工程优化中得到了广泛的应用。

直接解法是在满足不等式约束的可行设汁区域内直接按索问题的约束最优解。

第一节 目标函数的约束极值问题

所谓约束优化设计问题的最优性条件．就是指在满足等式和不等式约束条件下，其目标函数值最小的点必须满足的条件，须注意的是，这只是对约束的局部最优解而言。

对于带有约束条件的目标函数，其求最优解的过程可归结为：

一、约束与方向的定义 一）起作用约束与松弛约束

对于一个不等式约束()0g X ≤来说，如果所讨论的设计点()

k X 使该约束()0g X =(或

者说()

k X

当时正处在该约束的边界上)时，则称这个约束是()

k X

点的一个起作用约束或紧约

束，而其他满足()0g X <的约束称为松弛约束。

冗余约束

4

0g ≤

当一个设计点同时有几个约束起作用时，即可定义起作用约束集合为

{}()()()|()0,1,2,

,k k u I X u g X u m ===

其意义是对()

k X

点此时所有起作用约束下标的集合。

二）冗余约束

如果一个不等式约束条件的约束面(即()0g X =)对可行域的大小不发生影

响，或是约束面不与可行域D 相交，即此约束称为冗余约束。

三）可行方向

可行方向：一个设计点()k X 在可行域内，沿某一个方向S 移动，仍可得到一个属于可行域的新点，则称该方向为可行方向。

1）设计点为自由点 设计点()

k X 在可行域内是一个自由点，在各个方

向上都可以作出移动得到新点仍属于可行域，如图所示。

2）设计点为约束边界点

当设计点()k X 处于起作用约束i g 上时，它的移动就会受到可行性的限制。此时，()k X 点的可行方向S 必满足条件：

()0T k i S g X ∇≤

（解释：()()cos ,()T k k T k i i i S g X S g X S g X ∇=∇∇，,()90T k i S g X ∇≥︒））

当,()90T k i S g X ∇=︒时，方向S 是约束函数i

g 在()k X 点处的切线方向，即()0T k i S g X ∇=。

当某个设计点x 同时有几个约束起作用时(如

图中的x 点是约束10g =和约束20g =约束面的交点)，其可行方向集合为：

{}()1()|()0,()T k k u V X S S g X u I X =∇≤∈

即图中阴影部分的任一方向都是可行方向。

同理，对于有不等式约束起作用约束集合和等式约束的情况，其可行方向的集合为：

()

1|()0,()()|()0)T k k u T k

v S S g X u I X V X S S h X ⎧⎫∇≤∈⎪⎪

=⎨⎬∇=⎪⎪⎩⎭

四）下降可行方向

沿某一个可行方向S 移动一个微小距离δ>0，有()()()()k k f X S f X δ+<

,（亦即f （()k X ）的方

向导数小于0），则称S 为下降可行方向。

对于一个求目标函数极小化问题，当沿某个可行方向向量作出微小的移动时，其目标函数的变化为：

(1)()()()()()()()k k k T k f X f X S f X S f X αα+=+≈+∇

对于充分小()

0k α

>，若存在方向，使得

()(1)()()[()()]/0T k k k S f X f X f X α+∇=-<

成立，则()

k X

不是函数的局部极小点，因为沿着S 方向存在目标函数值更小的点。

反之，若对于任何可行方向S 均有

()(1)()()[()()]/0T k k k S f X f X f X α+∇=-≥

成立，则()

k X 是函数的局部极小点，因为沿着任意S 方向找不到一个目标函数值更小

的点。

()()0T k S f X ∇=刚好是上式的一种极限情况。

根据以上分析，对于点()

k X

的可行方向()

1()k S V X

∈，若满足()()0T k S f X ∇<（或

[()]0T k S f X -∇>，此时方向向量与负梯度方向夹角小于90︒）的条件，则称此可行方向S

为目标函数的下降可行方向，并定义

{}{}2()|()0|[()]0T k T k V X S S f X S S f X =∇<=-∇>

为()

k X

点的目标函数下降可行方向集合。

二、约束问题的最优解条件 一）约束极值问题的不同情况

在约束条件下的优化问题比无约束条件下的优化问题更为复杂，因为约束最优点不仅与目标函数本身的性质有关，而且还与约束函数的性质有关。在存在约束的条件下，为了要满足约束条件的限制，其最优点即约束最优点，不一定是目标函数的自然极值点，如图所示。