金融经济学第二讲01 二期证券市场的基本模型和线性定价法则

• 模仿 Debreu 的警句，我们可以说：金融学数学 化成功的基本原因是：portfolio 与 linear combination 之间有对应关系。即证券组合的价 值等于证券价值的线性组合。
• 这一“对应关系”被当作“不证自明”的公理。
• 因此，“未来未定权益空间”首先形成一个线性 空间。这个线性空间可能是有限维的，也可以是 无限维的。
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时间价值和风险价值
• 上述观念的最大问题是不能解释证券的时间 价值和风险价值。
• 经过长时期的金融学研究，人们最后发现， 应该把 p(x)=E[x] 取代为 p(x)=E[mx]. 其中 m 称为随机折现因子。
• m 也可看作对概率测度的一种变换，即在另 一种概率测度下，可以有 E*[x]=E[mx], 整个 理论又可回归到原来。
• 定价问题则是两个线性空间之间建立对应关系。
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最早的“金融资产定价”研究
• 历史上最早的“金融资产定价”研究紧密联系 着概率论的早期历史。当时研究的“金融资产 ”就是赌博。
• 从“定价”（“下赌注”）的角度来看，赌博 与金融资产一样，要确定“未来”价值不确定 的“赌局”的“当前”价值。
当前确定价值 (实数域)
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经济学使高维空间普及化
“商品空间有实向量 空间结构这一事实是经济 学数学化成功的基本原 因。”
G. Debreu (1921-2004), 1983 年诺贝尔经济奖获得者
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－－G. Debreu 1983 年 诺贝尔经济奖演说
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金融学数学化成功的基本原因
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Bachelier 的观念
• Pascal-Fermat 的观念被 Bachelier 用到证券市场 的定价上。
• 如果证券的未来价值是 随机变量 x, 那么其当前 价值就是 p(x)=E[x], 或 者 x=p(x)+, 其中 E[]=0.
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• 概率论最早的著作就是关于赌博的一些通信。
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概率论的早期历史
1654 年 Pasቤተ መጻሕፍቲ ባይዱal 与 Fermat 的 五封通信，奠定概率论的 基础。他们当时考虑一个 掷骰子问题，开始形成数 学期望的概念，并以“输 赢的钱的数学期望”来为 赌博“定价”。
Blaise Pascal (1623-1662)
无套利假设的五个层次
1. 未来价值一样的组合，当前应该有一样的 定价。
2. 组合的若干倍的当前价值应该等于该组合 的当前价值的同样倍数。
3. 组合的买价与卖价应该一致。
4. 组合的当前价值应该等于其组合成分的当 前价值之和。
5. 未来值钱 (价值为正) 的组合，当前也值钱 。
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2.1无不确定性的无套利假设定价法则
第二讲 二期证券市场的基本模型
和线性定价法则
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“均衡定价论”的资产定价
• 上述“期权定价”是一种“相对定价”的方 法。其中没有涉及任何经济活动者的市场行 为。
• 考虑“经济者行为”的是“均衡定价论”。 这是一种“绝对定价”的方法。(见讲义中的 例子)
• 这些“定价理论”都不考虑信息的作用。
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无套利假设
• 解决金融资产定价问题的出发点是无套利假 设。
• 无套利假设的简单说法就是“无钱投入就无 钱产出”。它相当于在普通商品经济中的“ 无投入就无产出”假设对金融商品的要求。
• 数学公理化的方法就是要把一些作为假设的 想法，用一个数学模型把它表达出来。
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随机游走、布朗运动和鞅
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有效市场理论的先驱
• 这几个概念虽然都是后人提出的，但都起 源于 Bachelier 1900 年的论文，而其更早 的根源是 17 世纪的 Pascal-Fermat 的观念 。
• 这样的观念也成为有效市场理论的先驱； 不过后人发现：把上述价格序列代换为价 格的对数序列更符合实际。早期有效市场 理论就企图验证这样的结果。
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“圣彼德堡悖论”问题
• 有这样一场赌博：第一次赢得 1 元，第 一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三 次赢得 4 元，……一般情形为前 n-1 次 输，第 n 次赢得 2 n 1 元。问：应先付多 少钱，才能使这场赌博是“公平”的？
• 如果用数学期望来定价，答案将是无穷 ！
•K种证券的总体用它们的未来随机价值来表示, 可看作一个K维随机列向量
x(x1,,xK)T
•证券组合或投资策略是一个K维行向量 θ(1,,k)
• 模型假定:
–二期模型.只有“当前”与“未来”两个时刻
–证券市场可看成由K种基本证券及其各种组合所组成的集合
–K种证券可以用代表它们的未来的价格的正实数来表示。
•其总体则可看作一个K维列向量
x(x1,,xK)T
•证券组合
θ x 1 x 1 2 x 2 K x K
• 证券定价:
已知一个证券组合未来的价值，要确定该组合当前的价值
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金融资产定价问题
• 金融经济学的基本问题是在不确定市场环境 下对金融资产定价。
• 这大致可表达为这样的一个问题：已经知道 一种金融资产在未来各种可能的价值，要问 它当前的价值是多少。
• 前面讨论过的“期权定价问题”就是这样的 问题。
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二期资产定价模型
未来未定权益空间 定价
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•收益率
r
θ gx P (θ gx )
•净收益率
r' r 1
•当前价值为正的组合的收益率也可以看作某个组合的 未来价值。其特征是它所对应的当前价值一定为1
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2.2带不确定性的无套利假设定价法则
模型假定：
•证券的未来不确定价格用概率论中的随机变量来描述
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Pierre de Fermat (1601-1665)
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Pascal - Fermat 问题
• 二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者 赢。有一次，A 掷满 4 次双 6 点，B 掷满 3 次双 6 点。由于天色已晚，两人无意再 赌下去，那么该怎样分割赌注？
• 答案：A 得 3/4, B 得 1/4. • 结论：应该用数学期望来定价。