第六章回归分析1
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第六章 相关分析与回归分析
b＜0,y 有随 x 的增加而减少的趋势
●●●回归直线一定通过由观测值的平均值（x,y ）所组成的点：
∵ yˆ a bx
a y bx
∴ yˆ y bx bx y b(x x)
当 xx 时， yˆ y，即回归直线通过点（x,y ）
●直线回归方程配置的实例
实例：对表 6-1 的北碚大红番茄果实横径与果重进行回归分析
| r |愈接近于 1，相关愈密切 | r |愈接近于 0，相关愈不密切 0＜r＜1 时，为正相关 －1＜r＜0 时，为负相关 ●相关系数计算的实例： 实例：表 6-1 为番茄果实横径与果实重的观测值，求其相关性。
表 6-1 北碚大红番茄果实横径与果实重
果实横径（cm）
果重（g）
x
y
10.0
140
其中： r
n
[ x2 ( x)2 ][ y 2 ( y)2 ]
n
n
x、y——为两个变数的成对观测值 n——为观测值的对数（样本容量）
●●相关系数的性质：
●●●r 的符号取决于 x、y 离均差的乘积和（lxy 或 SP）；符号的
性质表示两个变数之间的相关性质，即
r＞0，表示正相关
r＜0，表示负相关
∑y2=133071.0
n=10
a=-23.834
b=16.425
r=0.9931
结论：北碚大红番茄果实横径与果实重量的回归方程为：
yˆ 23.834 16.425 x
●回归关系的显著性测定——有 3 种方法。 ●●直线回归方程的方差分析
●●●y 的总变异的分解
SS y lyy ( y y)2 [( y yˆ) ( yˆ y)]2 ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 2 ( y yˆ)(yˆ y) ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 其中： 2 ( y yˆ )( yˆ y) =0
第六章 多元回归分析
2
可决系数
ESS RSS R 1 TSS TSS
2
该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
调整的可决系数（adjusted coefficient of determination） 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使 得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和 与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除 变量个数对拟合优度的影响:
[ RSS ( RSS1 RSS2 )] / k F ~ Fk ,n1 n2 2 k ( RSS1 RSS2 ) /(n1 n2 2k )
例6-1：在一个F3，60分布中5%的临界值和拒绝域
面积＝0.95
面积＝0.05
0 2.76 拒绝区域
例6-2：考虑如下解释主要俱乐部棒球运动员薪水的模型：
6.2 参数的最小二乘估计
拟合值和残差的重要性质
（1）残差的样本均值为0； （2）每个自变量和OLS残差之间的样本协方差为0；拟合
值与残差之间的样本协方差也为0；
（3）点( X 2 , X 3 ,
, X k , Y ) 总位于OLS回归线上；
ˆ ˆ X ˆX Y 1 2 2 3 3
（i=2，3…k）
注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致
一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0： 2=0 进行检验;
另一方面，两个统计量之间有如下关系：
F
e
2 ˆ y i 2 i
n2 ˆ 2
e
ˆ 2 x2 2 i
2 i2) xi2
ˆX k k
随机误差项的均值为0，方差的估计量为：
ee ˆ nk
2
6.3 最小二乘估计量的性质
概率论 高等院校概率论课件JXHD6-1
第六章回归分析回归分析是研究变量间相关关系的一个统计分支，它主要解决以下面几个问题：（1）确定几个特定的变量之间是否存在相关关系，如果存在，找出它们之间合适的数学表达式；（2）根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且要知道这种预测或控制可达到什么样的精确度；（3）进行因素分析，在共同影响一个变量的许多变量(因素)之间找出哪些因素重要，哪些因素次要，这些因素之间有什么关系等。
回归分析一元线性回归多元线性回归逐步回归非线性回归与回归诊断一元线性回归建立模型参数估计显著性检验预测预报一.建立模型引例1.一个作匀速直线运动的质点，在时刻t 的位置是S ，则S a bt =+,其中 a 为质点在t =0时刻的初始位置,b 为平均速度。
观测到的数据是ε+=s y ,其中ε是随机误差（测量误差）。
于是我们有ε+=s y ε++=bt a （6-1） 其中t 是非随机的，ε是随机的，通常认为E ε=0，显然y 也是随机的。
为了估计a 、b ，现在 n 个不同时刻作观察，得n 组观察值)(i i y t ，n i ,21 ，，=。
即 y i =i i bt a ε++ (i n =12，，， )用向量矩阵形式表示如下：εβ+=X Y 其中，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y Y 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n εεεε 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n t t t X 21111，⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a β。
问题:如何利用Y X 、的观测值来估计参数a 、b ，进一步预测未来时刻t 质点的位置。
引例2.在硝酸钠（3NaNO ）的溶解度试验中，测得在不同温度C X 0下溶解于100份水中的硝酸钠份数y 数据见下表:x i 0 4 10 15 21 29 36 51 68y i 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125试找出X 与Y 之间的关系。
图6-1bx a +εy =+(6-2)20406080100120140020406080 Y X =+βε 问题：如何利用观测值来估计参数a 、b ，从而确定y 与x 的近似线性关系。
第六章 回归分析
第六章Excel在回归分析中的应用6.1 概述现实世界中大多数现象表现为相关关系，人们通过大量观察，将现象之间的相关关系抽象概括为函数关系，并用函数形式或模型来描述与推断现象间的具体变动关系，用一个或一组变量的变化来估计与推算另一个变量的变化。
这种分析方法称为回归分析。
回归分析的主要内容▪回归参数估计▪方程拟合效果评价▪回归参数的推断6.2 图表分析与回归函数分析例近年来国家教育部决定将各高校的后勤社会化。
某从事饮食业的企业家认为这是一个很好的投资机会，他得到十组高校人数与周边饭店的季销售额的数据资料，并想根据高校的数据决策其投资规模。
操作过程：①打开“饭店.xls”工作簿，选择“饭店”工作表，如下图所示。
②从“插入”菜单中选择“图表”选项，打开“图表向导”对话框如下图所示。
在“图表类型”列表中选择XY散点图，单击“下一步”按钮。
③在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产生在——列”，如下图所示，单击“下一步”按钮。
④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如下图所示。
⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图所示。
250200150100500510********⑥如图1所示，用鼠标激活散点图，把鼠标放在任一数据点上，单击鼠标右键，打开菜单，在菜单栏里选择“填加趋势线”选项，打开趋势线对话框如图2所示。
⑦打开“类型”页面，选择“线性”选项，Excel将显示一条拟合数据点的直线。
⑧打开“选项”页面如图3所示，在对话框下部选择“显示公式”和“显示R平方根”选项，单击“确定”按钮，便得到趋势回归图如图4所示。
y = 5x + 60R 2 = 0.9027501001502002500510********回归分析中的工作表函数▪截距函数INTERCEPT功能：利用已知的x 值与y 值计算回归直线在y 轴的截距。
语法结构：INTERCEPT(known_y's,known_x's)▪斜率函数SLOPE功能：返回根据known_y‘s 和known_x’s 中的数据点拟合的线性回归直线的斜率。
生统：第六章一元回归及简单相关分析
S XX
17 . 92
a y b x 108 . 57 11 . 16 2 . 4 81 . 79
2回0归21方/6程/19：
Yˆ 81 . 79 11 . 16 X
20
• 图10-4为该例的散点图和回归线。
2021/6/19
21
• 例：下表为某品系小麦的穗长与穗重的数据，根据 表中数据求回归方程，并预测穗长40厘米的麦穗 重。
2021/6/19
6
2021/6/19
7
2021/6/19
8
图a和b两变量间关系是直线型，图c曲线型。图a的两个变 量关系较图b密切，且正向，图b负向。
散点图表示两个变量间关系的定性研究。
2021/6/19
9
P177-179
表10-1、图10-1单位叶面积干物质和NaCl含量之 间呈直线关系，点不完全在一直线上。 表10-2、图10-2增加每一NaCl含量下的观测次数， 取平均数做散点图基本为一直线。 实际中，不能进行多次的重复，在有限点上，用回 归方法将其理论关系推导出来。
间的关系。
2021/6/19
1
1、按两变量相关的程度分类
（1）完全相关：一变量的值定后，另一变量的值可 通过某公式求出来，即一个变量的值可由另一个变 量所完全决定。
（2）不相关：变量之间完全没有任何关系。一个变 量的值不能提供另一个变量的任何信息。
（3）统计相关(不完全相关) ：介于上述两种情况之
12
回归分析需满足以下假定：
(1) X 的任一观测值都对应着 一个 Y的分布，
Y ~ N （ X , 2） （2）随机误差 是给定 X ， Y的观测值与直
线 Y .X 的离差 , 是相互独立 , 且作正态分布。
第6章回归分析
2019/7/30
《统计学》第3章参数估计
6-13
表 6.3 初一男生身高、体重和肺活量偏相关系数表
Correlations
Control Variables
x 身高，cm y 肺活量，L
z 体重，kg x 身高，cm Correlation
1.000
.186
Significance (2-tailed)
《统计学》第3章参数估计
6-12
表 6.2 初一男生身高、体重和肺活量的相关系数表
Correlations
x 身高，cm z 体重，kg y 肺活量，L
x 身高，cm Pearson Correlation
1
.810**
.650**
Sig. (2-tailed)
.000
.006
z 体重，kg
N Pearson Correlation
y
ˆ1x
(6.12)
2019/7/30
《统计学》第3章参数估计
6-21
记回归残差 ei yi yˆi ，可以求得随机 误差项的方差的 LSE 为
n
ei2
ˆ 2 i1
n2
(6.15)
2019/7/30
《统计学》第3章参数估计
6-22
定理 6.1 在模型(6.8)下，最小二乘估计具有以下性质
nˆ0
nx ˆ1
ny
nx
ˆ0
n
xi2ˆ1
n
xi yi
i 1
i 1
(6.11)
方程组(6.11)称为正规方程组，解这个方程组容易求得
第六章回归分析误差理论与数据处理费业泰-PPT课件
第一节
回归分析的基本概念
二、回归分析思路
1、由数据确定变量之间的数学表达式－回归方程或经 验公式； 2、 对回归方程的可信度进行统计检验； 3、 因素分析。
合肥工业大学
误差理论与数据处理
第二节
一、回归方程的确定
19.1
76.30
一元线性回归
一元线性回归：确定两个变量之间的线性关系，即 直线拟合问题。
N
一元线性回归
x
t 1 N t 1
N
t
y
t
t
(x
t 1 N
x)
2
N
t 1
1 N xt ( xt ) 2 N t 1
2
(x
t 1 N
t
x )( yt y )
N
t 1
N 1 N x t y t ( x t )( y t ) N t 1 t 1
Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残 余误差，即其它因素对y变差的影响。
合肥工业大学 误差理论与数据处理
第二节
一元线性回归
（二）回归方程显著性检验— F检验法 基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，U越 大Q越小说明y与x的线性关系愈密切。 计算统计量F
U / U F Q / Q
例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：
25.0
77.80
30.1
79.75
36.0
80.80
40.0
82.35
46.5
83.90
50.0
85.10
散点图：
84 82 80 78 76 2025 30 35 40 45 50 误差理论与数据处理
06第六章 相关与回归分析
3 r — 只是对线性相关关系的 度量 。
2014-3-30
第六章 相关与回归分析
17
2.2 相关系数的特征及判别标准
2. 相关关系密切程度的划分 — 无直线相关； 1 r 0 . 3 2 0 . 3 r 0 . 5 — 低度相关； 3 0 . 5 r 0 . 8 — 显著相关 — 高度相关 4 r 0 . 8
2
y y
0.1017 0.00937 0.0827 0.0677 -0.0143 0.0207 -0.0373 -0.0913 -0.0763 -0.1453
y y x x y y
2
0.01034289 0.00877969 0.00651249 0.00458329 0.00020449 0.00042849 0.00139129 0.00833567 0.00582169 0.02111209
ˆ yi
x n ，y n
残差平方和
Q x1 ，y1
0
2014-3-30
y
i
ˆ yi
2
2 ˆ ˆ yi yˆ y ！！！ β0 β2 xi i i — 1最小的直线
x
第六章 相关与回归分析
29
3.2 一元线性回归模型的参数估计
最小二（平方）乘法：
别 自、因变量—随机变量 因变量是随机变量
2014-3-30
第六章 相关与回归分析
12
1.5 相关分析与回归分析的关系
注意：
1. 进行相关和回归分析时要坚持定性分
析和定量分析相结合的原则，在定性 分析的基础上开展定量分析。
2. 只有当变量间存在高度相关时，才进
第六章相关与回归分析
80 可支配收
60
入
18 25 45 60 62 75 88 92 99 98
40
20
0
0
20
40
60
80
可支配收入
2019/8/7
10
如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量 的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
任务二 进行相关分析
2.1 相关关系的测定 2.2 相关系数 2.3 相关系数的特点
2.1 相关关系的测定 P189
1. 单相关系数的定义 X 、Y 的协方差
总体 相关系数：
CovX ，Y VarX VarY
样本
r
X
的标准n1差
x x Yy的 标y 准差
相关系数：
1
n
xx
2
1 n
y y
2
2019/8/7
13
2.2 相关系数 P222
120
100
80
60
300
400
500
600
700
800
2019/8/7
人均 收入
900
5
1.2 相关关系的种类 P188
分类标志
类别
相关程度 完全相关 不完全相关 不相关
相关方向 正相关 负相关
相关形式 线性相关 非线性相关
变量多少 单相关 复相关 偏相关
2019/8/7
6
1.3 相关分析和回归分析 P189 相关分析 — 用一个指标来表明现象间相
互依存关系的密切程度。
相关系数 r
r
较大 — 现象间依存关系强
第六章 多元回归分析
预测对数模型中的 y（续）
• 如果u 不服从正态分布, E(exp(u)) 就必须 用辅助回归来进行估计 • 计算 ln(y)的预测值的指数函数, 然后用y 对 它做不含截距项的回归 • 回归结果中的系数就是E(exp(u)) 估计值， 可以用来乘以 ln(y) 的预测值的指数函数来 得到y 的预测值
重新定义变量
• • • • 表6.1、数据测度的影响 对参数估计的影响 对R2 、t检验、F检验的影响 各种不同的函数形式的影响
– – – – y = β0 + β1x1+ u y = β0 + β1 ln x1 +u lny = β0 + β1x1+ u lny = β0 + β1 ln x1+ u
T 1⎡ T s s 2 T a a 2 s a s a s s ⎤ = ⎢∑Yt −Y ) +∑Yt −Y ) +T(Y −Y ) +2(Y −Y )∑Yt −Y )⎥ ( ( ( T ⎣ t=1 t=1 t=1 ⎦
1⎡ s a T a a T s s a a ⎤ −2 ⎢(Y −Y )∑Yt −Y ) +∑Yt −Y )( t −Y )⎥ ( ( Y T⎣ t=1 t=1 ⎦ 1T s s2 1T a a2 s a 1T s s a a = ∑Yt −Y ) + ∑Yt −Y ) +(Y −Y ) −2 ∑Yt −Y )( t −Y ) ( ( ( Y T t=1 T t=1 T t=1 1T s s a a ∑(Yt −Y )(Yt −Y ) 1 T s s 2 1 T a a 2 T t=1 2 2 s a 2 =σs +σa +(Y −Y ) −2 ∑(Yt −Y ) ×T ∑(Yt −Y ) T T T t=1 t=1 1 s s 2 1 a a 2 (Yt −Y ) × ∑Yt −Y ) ( ∑ T t=1 T t=1 =σs2 +σa2 +(Y s −Y a )2 −2ρσσa =(σs −σa )2 +(Y s −Y a )2 +2(1−ρ)σsσa s
实验数据分析方法_回归分析
0.10
0.9877 0.9000 0.8054 0.7293 0.6694 0.6215 0.5822 0.5494 0.5214 0.4973 0.4762 0.4575 0.4409 0.4259 0.4124 0.4000 0.3887 0.3783 0.3687 0.3598 0.3233 0.2960 0.2746 0.2573 0.2428 0.2306 0.2108 0.1954 0.1829 0.1726 0.1638
上式右边第二项是回归值ŷ与平均值 y 之差的平方和，我们
称它为回归平方和，并记为U： U (y ˆ k y ) 2 ( b 0 b x k b 0 b x ) 2
k
b2 (xkx)2.
— 可以看出，回归平方和U是由于x的变化而引起的。因
此U反映了在y的总的变化中由于x和y的线性关系而引起
解之可得:
b
xkyk
xk yk N
(xk x)(yk y)
xk2N 1( xk)2
(xk x)2
b0N 1( ykb xk)ybx,
实验数据分析方法_Chap.6
8
其中 1 N
1N
xNk1xk,
y Nk1
yk.
在给定参数估计值b, b0后，可得到相应的回归方程 (或回归函数)为: yˆ b0 bx.
0.05
0.9969 0.9500 0.8783 0.8114 0.7545 0.7067 0.6664 0.6319 0.6021 0.5760 0.5529 0.5324 0.5139 0.4973 0.4821 0.4683 0.4555 0.4438 0.4329 0.4227 0.3809 0.3494 0.3246 0.3044 0.2875 0.2732 0.2500 0.2319 0.2172 0.2050 0.1946
统计学实验—SPSS与R软件应用与实例-第6章回归分析-SPSS
（2）计算简单相关系数，分析身高x、体 重z和肺活量y的之间是否存在直线相关关 系；
（3）计算偏相关系数，分析身高x、体重z 和肺活量y的之间的偏相关关系。
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【统计理论】
给定容量为n的一个样本 ，样本简单相关 系数（correlation coefficient）r的计算公 式如下
(6.9)
2019/8/8
yˆ0t2(n2)ˆ 11 nn(x(0x i xx )2)2 i1 《统计学实验》第6章回归分析
(6.10)
（1） 绘制变量散点图计算相关系数和一元 线性回归
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【菜单方式】
打开数据文件li6.2.sav 选择Graphs→Legacy Diaglogs→ Scatter/Dot →Simple Scatterplot 将y选入Y Axis，将x选入X Axis→点击OK，即
( 6 . 6 )
对于一元线性回归来说，有两种等价的方法，即 F检验和t检验。F检验的统计量为:
F SSR SSE/(n2)
(6.7)
t检验的统计量如下:
t
ˆ
ˆ 1
n
(xi x)2
i1
(6.8)
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【统计理论】
yˆ0t2(n2)ˆ 1 nn(x(0x ixx)2)2 i1
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【软件操作】
选择Analyze→Correlate→Partial 将身高x和肺活量y两个变量同时选入
Variables 再将控制变量体重z选入Controlling for中，
（3）计算偏相关系数，分析身高x、体重z 和肺活量y的之间的偏相关关系。
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【统计理论】
给定容量为n的一个样本 ，样本简单相关 系数（correlation coefficient）r的计算公 式如下
(6.9)
2019/8/8
yˆ0t2(n2)ˆ 11 nn(x(0x i xx )2)2 i1 《统计学实验》第6章回归分析
(6.10)
（1） 绘制变量散点图计算相关系数和一元 线性回归
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【菜单方式】
打开数据文件li6.2.sav 选择Graphs→Legacy Diaglogs→ Scatter/Dot →Simple Scatterplot 将y选入Y Axis，将x选入X Axis→点击OK，即
( 6 . 6 )
对于一元线性回归来说，有两种等价的方法，即 F检验和t检验。F检验的统计量为:
F SSR SSE/(n2)
(6.7)
t检验的统计量如下:
t
ˆ
ˆ 1
n
(xi x)2
i1
(6.8)
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【统计理论】
yˆ0t2(n2)ˆ 1 nn(x(0x ixx)2)2 i1
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【软件操作】
选择Analyze→Correlate→Partial 将身高x和肺活量y两个变量同时选入
Variables 再将控制变量体重z选入Controlling for中，
数理统计第六章第一节 一元线性回归分析
4
后代的身高有向身高平均值靠拢的趋向. 离开均值 越远，所受到回归的压力也越大。“回归”这个词 就由此而来。
5
输入
X1
输出
X2 …
系统
y
xp
理论模型 Y f (x1, x2 ,..., xp )
观测模型 Y f (x1, x2 ,..., xp )
6
** *
*
* **
* *
* *
*
* ** *
i 1
i 1
n
(bˆ)2 (xi x )2
i 1
S yy 2bˆSxy (bˆ)2 Sxx
由于 Sxy bˆSxx 所以 Qe Syy (bˆ)2 Sxx
18
1.3 线性假设的显著性检验
1) T检验法
对线性假设y=a+bx+进行检验，线性系数
b不应当为0 原假设 H0：b=0 备择假设 H1：b0
Qe的简单计算公式
n
Qe
yi yˆi 2 Syy (bˆ)2 Sxx
i 1
17
证明 n
n
Qe yi yˆi 2 ( yi y) ( yˆi y)2
i 1
i 1
n
(
yi
y
)
bˆ( xi
x
2
)
i 1
n
n
( yi y)2 2bˆ ( yi y)(xi x )
15
2） 2的点估计
对每一个xi，由回归方程有 yˆi aˆ bˆxi
xi处的残差为 yi yˆi
残差平方和
n
n
Qe yi yˆi 2
yi aˆ bˆxi 2
i 1
i 1
后代的身高有向身高平均值靠拢的趋向. 离开均值 越远，所受到回归的压力也越大。“回归”这个词 就由此而来。
5
输入
X1
输出
X2 …
系统
y
xp
理论模型 Y f (x1, x2 ,..., xp )
观测模型 Y f (x1, x2 ,..., xp )
6
** *
*
* **
* *
* *
*
* ** *
i 1
i 1
n
(bˆ)2 (xi x )2
i 1
S yy 2bˆSxy (bˆ)2 Sxx
由于 Sxy bˆSxx 所以 Qe Syy (bˆ)2 Sxx
18
1.3 线性假设的显著性检验
1) T检验法
对线性假设y=a+bx+进行检验，线性系数
b不应当为0 原假设 H0：b=0 备择假设 H1：b0
Qe的简单计算公式
n
Qe
yi yˆi 2 Syy (bˆ)2 Sxx
i 1
17
证明 n
n
Qe yi yˆi 2 ( yi y) ( yˆi y)2
i 1
i 1
n
(
yi
y
)
bˆ( xi
x
2
)
i 1
n
n
( yi y)2 2bˆ ( yi y)(xi x )
15
2） 2的点估计
对每一个xi，由回归方程有 yˆi aˆ bˆxi
xi处的残差为 yi yˆi
残差平方和
n
n
Qe yi yˆi 2
yi aˆ bˆxi 2
i 1
i 1
第六章回归分析
2. 对每一个自变量都要单独进行检验 3. 应用 t 检验 4. 在多元线性回归中，回归方程的显著性检验不再等价于
回归系数的显著性检验
回归系数的显著性检验
1. 提出假设
– H0： i = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) – H1： i 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系)
2. 计算检验的统计量 t
3. 确定显著性水平，并进行决策
▪ tt2，拒绝H0； t<t2，接受H0
异方差性
多元回归 中的问题
• 方差不齐性：随机误差项的方差不齐性 • 异方差性带来的问题： • 参数估计值不是有效的
– 参数的显著性检验失效 – 回归方程的应用效果极不理想 • 诊断：残差图分析法 • 处理方法：加权最小二乘法
误差等分散性假设： 特定X水平的误差，除了应呈随机
化的常态分布，其变异量也应相等，称为误差等分散性。
一元线性回归模型的假定
Yˆ1
f ( y) uY (x1)
E( ) 0
2 2 2
y ( x1)
y ( x2 )
y ( xi )
y
x0 x x1 x x2 x x3
Yˆ a bX
x
一元线性回归分析
共线性分析表
共线性问题
残差值统计量，包括预测值、残差值、 标准化预测值、标准化残差。观察是
否在三个标准差以内
满足残 差为正 态分布 的假设
Y值为预测值 的累积比率， X轴为观测值 的累积比率， 散点图最好呈 直线分布而满 残差为正态分
布的假设
Y轴为标准化残差，用于观测残差是否随因变量而变化， 如果随之发生变化，表明方差不齐性
2. 检验方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和 (SSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是 否显著 – 如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系 – 如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系
回归系数的显著性检验
回归系数的显著性检验
1. 提出假设
– H0： i = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) – H1： i 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系)
2. 计算检验的统计量 t
3. 确定显著性水平，并进行决策
▪ tt2，拒绝H0； t<t2，接受H0
异方差性
多元回归 中的问题
• 方差不齐性：随机误差项的方差不齐性 • 异方差性带来的问题： • 参数估计值不是有效的
– 参数的显著性检验失效 – 回归方程的应用效果极不理想 • 诊断：残差图分析法 • 处理方法：加权最小二乘法
误差等分散性假设： 特定X水平的误差，除了应呈随机
化的常态分布，其变异量也应相等，称为误差等分散性。
一元线性回归模型的假定
Yˆ1
f ( y) uY (x1)
E( ) 0
2 2 2
y ( x1)
y ( x2 )
y ( xi )
y
x0 x x1 x x2 x x3
Yˆ a bX
x
一元线性回归分析
共线性分析表
共线性问题
残差值统计量，包括预测值、残差值、 标准化预测值、标准化残差。观察是
否在三个标准差以内
满足残 差为正 态分布 的假设
Y值为预测值 的累积比率， X轴为观测值 的累积比率， 散点图最好呈 直线分布而满 残差为正态分
布的假设
Y轴为标准化残差，用于观测残差是否随因变量而变化， 如果随之发生变化，表明方差不齐性
2. 检验方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和 (SSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是 否显著 – 如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系 – 如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系
第六章相关分析与回归分析
+
-
x+x0
+yy0
+
Ⅳ
－
0
x
x
第六章 相关分析与回归分析
STAT
coxv,y()0则r>0，说明x和y之间为正线性
相关；
coxv,y()0则r<0，说明x和y之间为负线性
相关；
coxv,y()0则r=0，说明x和y之间不存在线
性相关。
第六章 相关分析与回归分析
2、标准差 x 和 y 的作用
第六章 相关分222470， 64098 y26383 .48 ， 7 5x7y1114.448633 STAT
r
nxyxy
nx2(x)2 ny2(y)2
1011144.486133371.785276.127
三、相关表和相关图
STAT
相关表
将某一变量x按其数值大小顺序排 列，然后再将与其相关的另一个变量y 对应值平行排列，观察x由小到大变化 时，y的变化情况。
第六章 相关分析与回归分析
八个同类工业企业的月产量与生产费用
企业编号
1 2 3 4 5 6 7 8
月产量（千吨）X
1.2 2.0 3.1 3.8 5.0 6.1 7.2 8.0
联系
STAT
（1）有函数关系的变量间，由于有测 量误差及各种随机因素的干扰，可表 现为相关关系；
（2）对具有相关关系的变量有深刻了 解之后，相关关系有可能转化为或借 助函数关系来描述。
第六章 相关分析与回归分析
• 例：判断下列关系是什么关系？ • 1）物体体积随温度升高而膨胀，随压力加大而STAT
第六章 相关分析与回归分析
正相关
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然而， x的测量也可能是不精确的，存在试验误差。 现在我们考察另一种极端情况,即y没有误差，而所有误 差都归结于x 。在这种情况下，一元线性回归方程的数 学模型是
戴明(Deming)解法
若
分别具有误差
假定 之间为线性关系，其数学模型为
Hale Waihona Puke 例题通过试验测量某量x、y的结果如下：
由重复测量已估计出 的回归直线方程.
第一节 回归分析
回归分析就是应用数学的方法,对大量的观测数据进 行处理，从而得出比较符合事物内部规律的数学表达式。
回归分析(Regression Analysis)是英国生物学家兼 统计学家高尔顿(Galton)在1889年出版的《自然遗传》 一书中首先提出的。
回归分析是数理统计中的一个重要分支，在工农业 生产和科学研究中有着广泛的应用。当今在实验数据 处理、经验公式的求得、因家分析、仪器的精度分析、 产品质量的控制、某些新标准的制定、气象及地震预 报、目动控制中的数学模型的制定及其他许多场合中， 回归分析往往是一种很有用的工具。
第二节 一元线形回归
一元回归是处理两个变量之间的关系，即两个变 量x和y之间若存在一定的关系，则通过试验，分析 所得数据，找出两者之间关系的经验公式。假如两 个变量之间的关系是线性的就称为一元线性回归， 这就是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。
例题
测量某导线在一定温度x下的电阻值y如表中所示， 试找出它们之间的内在关系。
例题
用标准压力计对莱固体压力传感器进行检定，检 定所得数据如表所示.表中xt为标准压力，yti为传感器 输出电压，yt为四次读数的算术平均值。试对仪器定标 并分折仪器的误差。
重复试验
在一般情况下，重复试验可将误差平方和与失拟 平方和从残余平方和中分离出来，这对统计分析是有 好处的。同时，在精密测试仪器中，通常失拟平方和 及误差平方和分别与仪器的原理误差(定标误差、非线 性误差)及仪器的随机误差相对应。
例题
用x光机检查镁合金焊接件及铸件内部缺陷时．为 达到最佳灵敏度，透照电压y应随被透照件厚度x而改变。 经试验得如下一组数据:
第三节 两个变量都具有误差时 线性回归方程的确定
上面用最小二乘法求得的回归方程, 一般认为是最佳 的，但它是假设x是没有误差或误差可以忽略的，其所 有误差都归结在y方向。
例题
用直线检验法说明下列一组数据是否可用
表示.
回归曲线函数类型的选取和检验
表差法: ①用试验数据画图。 ②自图上根据定差 ，列出 各对应值。 ③根据 的读出值作出差值 ，而
例题
检验表中所示观测数据是否可用
表示。
化曲线回归为直线回归问题
为了测定椭圆齿轮流量计在介质粘度变化时的误 差，先测定10号变压器油的粘度y与温度x的变化曲线， 以便试验时测出油温就可以知道粘度。通过试验获得 如下一组数据：
回归直线的简便求法
图解法:
把N对观测数据于坐标纸上画出散点图，假如画出 的点群形成一直线带，就在点群中画一条直线，使得 多数点位于直线上或接近此线并均匀地分布在直线的 两边。
这条直线可以近似地作为回归直线，回归系数可以 直接由图中求得。利用此直线也可在坐标纸上直接进 行预报。
由于作图时完全凭经验画直线，主观性较大，精度 较低，但此法非常简单，精度要求不高时可采用。
回归曲线方程的效果与精度
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
回归方程的显著性和精度
分析： 最小二乘法
回归方程的稳定性
回归方程的稳定性是指回归值的波动大小，被动愈 小，回归方程的稳定性愈好。 的波动大小用 的标准 差 来表示。
回归方程的方差分析
总的离差平方和
回归方程的方差分析
自由度
回归方程的方差分析
回归方程显著性检验
由回归平方和与残余平方和的意义可知：一个回归 方程是否显著，也就是y与x的线性关系是否密切，取决 于U及Q的大小，U愈大Q愈小说明y与x的线性关系愈密 切。
回归曲线函数类型的选取和检验
直接判断法:
观察法:
回归曲线函数类型的选取和检验
直线检验法:
①将预选的回归曲线f(x,y,a,b)=0 写成Z1=A+BZ2 ②求出几对与x、y相对应的Z1和Z2的值，这几对值 以选择x、y值相距较远为好。 ③以Z1和Z2为变量画图，若所得图形为一直线，则 证明原先所选定的回归曲线类型是合适的。
回归方程显著性检验通常采用F检验法。
残余方差与残余标准差
残余方差： 残余标准差：
方差分析表
重复试验
为了检验一个回归方程拟合得好坏，可以做些重复 试验，从而获得误差平方和QE和失拟平方和QL(它反映 了非线性及其它未加控制的因素的影响)，用误差平方和 对失拟平方和进行F检验,就可以确定回归方程拟合得好 坏。
，即 ，试求y对x
第四节 一元非线性回归
在实际问题中，有时两个变量之间的内在关系并不 是线性关系，而是某种曲线关系．这时若求所需的回归 线，一般地说，可以分两步进行：
①确定函数类型; ②求解相关函数中的未知参数。 用最小二乘法直接求解非线性回归方程是非常复杂 的，通常是通过变量代换把回归曲线转换成回归直线， 继而用前面给出的方法求解；或者把回归曲线展成回归 多项式，直接用回归多项式来描述两个变量之间的关系。
应用这种方法可以将系统误差与随机误差分离开 来，并可用回归分析方法进一步找出仪器的误差方程， 从而可以对仪器的误差进行修正。
回归直线的简便求法
分组法:
用分组法求回归方程
中的系数 和 的
具体作法是：将自变量数据按由小到大的次序安排，
分成个数相等或近于相等的两个组:
第一组为
第二组为
例题
测量某导线在一定温度x下的电阻值y如表中所示， 用分组法求回归方程。
第六章
回归分析
第一节 回归分析
测量与数据处理的目的并不在于被测量的估计值， 而是为了寻求两个变量或多个变量之间的内在关系。
表达变量之间关系的方法有散点图、表格、曲线、 数学表达式等，其中数学表达式能较客观地反映事物的 内在规律性，形式紧凑，且便于从理论上作进一步分析 研究。数学表达式的获得是通过回归分析方法完成的。
戴明(Deming)解法
若
分别具有误差
假定 之间为线性关系，其数学模型为
Hale Waihona Puke 例题通过试验测量某量x、y的结果如下：
由重复测量已估计出 的回归直线方程.
第一节 回归分析
回归分析就是应用数学的方法,对大量的观测数据进 行处理，从而得出比较符合事物内部规律的数学表达式。
回归分析(Regression Analysis)是英国生物学家兼 统计学家高尔顿(Galton)在1889年出版的《自然遗传》 一书中首先提出的。
回归分析是数理统计中的一个重要分支，在工农业 生产和科学研究中有着广泛的应用。当今在实验数据 处理、经验公式的求得、因家分析、仪器的精度分析、 产品质量的控制、某些新标准的制定、气象及地震预 报、目动控制中的数学模型的制定及其他许多场合中， 回归分析往往是一种很有用的工具。
第二节 一元线形回归
一元回归是处理两个变量之间的关系，即两个变 量x和y之间若存在一定的关系，则通过试验，分析 所得数据，找出两者之间关系的经验公式。假如两 个变量之间的关系是线性的就称为一元线性回归， 这就是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。
例题
测量某导线在一定温度x下的电阻值y如表中所示， 试找出它们之间的内在关系。
例题
用标准压力计对莱固体压力传感器进行检定，检 定所得数据如表所示.表中xt为标准压力，yti为传感器 输出电压，yt为四次读数的算术平均值。试对仪器定标 并分折仪器的误差。
重复试验
在一般情况下，重复试验可将误差平方和与失拟 平方和从残余平方和中分离出来，这对统计分析是有 好处的。同时，在精密测试仪器中，通常失拟平方和 及误差平方和分别与仪器的原理误差(定标误差、非线 性误差)及仪器的随机误差相对应。
例题
用x光机检查镁合金焊接件及铸件内部缺陷时．为 达到最佳灵敏度，透照电压y应随被透照件厚度x而改变。 经试验得如下一组数据:
第三节 两个变量都具有误差时 线性回归方程的确定
上面用最小二乘法求得的回归方程, 一般认为是最佳 的，但它是假设x是没有误差或误差可以忽略的，其所 有误差都归结在y方向。
例题
用直线检验法说明下列一组数据是否可用
表示.
回归曲线函数类型的选取和检验
表差法: ①用试验数据画图。 ②自图上根据定差 ，列出 各对应值。 ③根据 的读出值作出差值 ，而
例题
检验表中所示观测数据是否可用
表示。
化曲线回归为直线回归问题
为了测定椭圆齿轮流量计在介质粘度变化时的误 差，先测定10号变压器油的粘度y与温度x的变化曲线， 以便试验时测出油温就可以知道粘度。通过试验获得 如下一组数据：
回归直线的简便求法
图解法:
把N对观测数据于坐标纸上画出散点图，假如画出 的点群形成一直线带，就在点群中画一条直线，使得 多数点位于直线上或接近此线并均匀地分布在直线的 两边。
这条直线可以近似地作为回归直线，回归系数可以 直接由图中求得。利用此直线也可在坐标纸上直接进 行预报。
由于作图时完全凭经验画直线，主观性较大，精度 较低，但此法非常简单，精度要求不高时可采用。
回归曲线方程的效果与精度
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
回归方程的显著性和精度
分析： 最小二乘法
回归方程的稳定性
回归方程的稳定性是指回归值的波动大小，被动愈 小，回归方程的稳定性愈好。 的波动大小用 的标准 差 来表示。
回归方程的方差分析
总的离差平方和
回归方程的方差分析
自由度
回归方程的方差分析
回归方程显著性检验
由回归平方和与残余平方和的意义可知：一个回归 方程是否显著，也就是y与x的线性关系是否密切，取决 于U及Q的大小，U愈大Q愈小说明y与x的线性关系愈密 切。
回归曲线函数类型的选取和检验
直接判断法:
观察法:
回归曲线函数类型的选取和检验
直线检验法:
①将预选的回归曲线f(x,y,a,b)=0 写成Z1=A+BZ2 ②求出几对与x、y相对应的Z1和Z2的值，这几对值 以选择x、y值相距较远为好。 ③以Z1和Z2为变量画图，若所得图形为一直线，则 证明原先所选定的回归曲线类型是合适的。
回归方程显著性检验通常采用F检验法。
残余方差与残余标准差
残余方差： 残余标准差：
方差分析表
重复试验
为了检验一个回归方程拟合得好坏，可以做些重复 试验，从而获得误差平方和QE和失拟平方和QL(它反映 了非线性及其它未加控制的因素的影响)，用误差平方和 对失拟平方和进行F检验,就可以确定回归方程拟合得好 坏。
，即 ，试求y对x
第四节 一元非线性回归
在实际问题中，有时两个变量之间的内在关系并不 是线性关系，而是某种曲线关系．这时若求所需的回归 线，一般地说，可以分两步进行：
①确定函数类型; ②求解相关函数中的未知参数。 用最小二乘法直接求解非线性回归方程是非常复杂 的，通常是通过变量代换把回归曲线转换成回归直线， 继而用前面给出的方法求解；或者把回归曲线展成回归 多项式，直接用回归多项式来描述两个变量之间的关系。
应用这种方法可以将系统误差与随机误差分离开 来，并可用回归分析方法进一步找出仪器的误差方程， 从而可以对仪器的误差进行修正。
回归直线的简便求法
分组法:
用分组法求回归方程
中的系数 和 的
具体作法是：将自变量数据按由小到大的次序安排，
分成个数相等或近于相等的两个组:
第一组为
第二组为
例题
测量某导线在一定温度x下的电阻值y如表中所示， 用分组法求回归方程。
第六章
回归分析
第一节 回归分析
测量与数据处理的目的并不在于被测量的估计值， 而是为了寻求两个变量或多个变量之间的内在关系。
表达变量之间关系的方法有散点图、表格、曲线、 数学表达式等，其中数学表达式能较客观地反映事物的 内在规律性，形式紧凑，且便于从理论上作进一步分析 研究。数学表达式的获得是通过回归分析方法完成的。