第六章回归分析1

第一节 回归分析
回归分析就是应用数学的方法,对大量的观测数据进 行处理，从而得出比较符合事物内部规律的数学表达式。
回归分析(Regression Analysis)是英国生物学家兼 统计学家高尔顿(Galton)在1889年出版的《自然遗传》 一书中首先提出的。
回归分析是数理统计中的一个重要分支，在工农业 生产和科学研究中有着广泛的应用。当今在实验数据 处理、经验公式的求得、因家分析、仪器的精度分析、 产品质量的控制、某些新标准的制定、气象及地震预 报、目动控制中的数学模型的制定及其他许多场合中， 回归分析往往是一种很有用的工具。
回归方程显著性检验通常采用F检验法。
残余方差与残余标准差
残余方差： 残余标准差：
方差分析表
重复试验
为了检验一个回归方程拟合得好坏，可以做些重复 试验，从而获得误差平方和QE和失拟平方和QL(它反映 了非线性及其它未加控制的因素的影响)，用误差平方和 对失拟平方和进行F检验,就可以确定回归方程拟合得好 坏。
，即 ，试求y对x
第四节 一元非线性回归
在实际问题中，有时两个变量之间的内在关系并不 是线性关系，而是某种曲线关系．这时若求所需的回归 线，一般地说，可以分两步进行：
①确定函数类型; ②求解相关函数中的未知参数。 用最小二乘法直接求解非线性回归方程是非常复杂 的，通常是通过变量代换把回归曲线转换成回归直线， 继而用前面给出的方法求解；或者把回归曲线展成回归 多项式，直接用回归多项式来描述两个变量之间的关系。
例题
用标准压力计对莱固体压力传感器进行检定，检 定所得数据如表所示.表中xt为标准压力，yti为传感器 输出电压，yt为四次读数的算术平均值。试对仪器定标 并分折仪器的误差。
重复试验
在一般情况下，重复试验可将误差平方和与失拟 平方和从残余平方和中分离出来，这对统计分析是有 好处的。同时，在精密测试仪器中，通常失拟平方和 及误差平方和分别与仪器的原理误差(定标误差、非线 性误差)及仪器的随机误差相对应。
回归曲线函数类型的选取和检验
直接判断法:
观察法:
回归曲线函数类型的选取和检验
直线检验法:
①将预选的回归曲线f(x,y,a,b)=0 写成Z1=A+BZ2 ②求出几对与x、y相对应的Z1和Z2的值，这几对值 以选择x、y值相距较远为好。 ③以Z1和Z2为变量画图，若所得图形为一直线，则 证明原先所选定的回归曲线类型是合适的。
例题
用直线检验法说明下列一组数据是否可用
表示.
回归曲线函数类型的选取和检验
表差法: ①用试验数据画图。 ②自图上根据定差 ，列出 各对应值。 ③根据 的读出值作出差值 ，而
例题
检验表中所示观测数据是否可用
表示。
化曲线回归为直线回归问题
为了测定椭圆齿轮流量计在介质粘度变化时的误 差，先测定10号变压器油的粘度y与温度x的变化曲线， 以便试验时测出油温就可以知道粘Fra Baidu bibliotek。通过试验获得 如下一组数据：
应用这种方法可以将系统误差与随机误差分离开 来，并可用回归分析方法进一步找出仪器的误差方程， 从而可以对仪器的误差进行修正。
回归直线的简便求法
分组法:
用分组法求回归方程
中的系数 和 的
具体作法是：将自变量数据按由小到大的次序安排，
分成个数相等或近于相等的两个组:
第一组为
第二组为
例题
测量某导线在一定温度x下的电阻值y如表中所示， 用分组法求回归方程。
分析： 最小二乘法
回归方程的稳定性
回归方程的稳定性是指回归值的波动大小，被动愈 小，回归方程的稳定性愈好。 的波动大小用 的标准 差 来表示。
回归方程的方差分析
总的离差平方和
回归方程的方差分析
自由度
回归方程的方差分析
回归方程显著性检验
由回归平方和与残余平方和的意义可知：一个回归 方程是否显著，也就是y与x的线性关系是否密切，取决 于U及Q的大小，U愈大Q愈小说明y与x的线性关系愈密 切。
然而， x的测量也可能是不精确的，存在试验误差。 现在我们考察另一种极端情况,即y没有误差，而所有误 差都归结于x 。在这种情况下，一元线性回归方程的数 学模型是
戴明(Deming)解法
若
分别具有误差
假定 之间为线性关系，其数学模型为
例题
通过试验测量某量x、y的结果如下：
由重复测量已估计出 的回归直线方程.
第六章
回归分析
第一节 回归分析
测量与数据处理的目的并不在于被测量的估计值， 而是为了寻求两个变量或多个变量之间的内在关系。
表达变量之间关系的方法有散点图、表格、曲线、 数学表达式等，其中数学表达式能较客观地反映事物的 内在规律性，形式紧凑，且便于从理论上作进一步分析 研究。数学表达式的获得是通过回归分析方法完成的。
回归直线的简便求法
图解法:
把N对观测数据于坐标纸上画出散点图，假如画出 的点群形成一直线带，就在点群中画一条直线，使得 多数点位于直线上或接近此线并均匀地分布在直线的 两边。
这条直线可以近似地作为回归直线，回归系数可以 直接由图中求得。利用此直线也可在坐标纸上直接进 行预报。
由于作图时完全凭经验画直线，主观性较大，精度 较低，但此法非常简单，精度要求不高时可采用。
例题
用x光机检查镁合金焊接件及铸件内部缺陷时．为 达到最佳灵敏度，透照电压y应随被透照件厚度x而改变。 经试验得如下一组数据:
第三节 两个变量都具有误差时 线性回归方程的确定
上面用最小二乘法求得的回归方程, 一般认为是最佳 的，但它是假设x是没有误差或误差可以忽略的，其所 有误差都归结在y方向。
回归曲线方程的效果与精度
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
第五节 多元线性回归
回归方程的显著性和精度
第二节 一元线形回归
一元回归是处理两个变量之间的关系，即两个变 量x和y之间若存在一定的关系，则通过试验，分析 所得数据，找出两者之间关系的经验公式。假如两 个变量之间的关系是线性的就称为一元线性回归， 这就是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。
例题
测量某导线在一定温度x下的电阻值y如表中所示， 试找出它们之间的内在关系。