陕西省西安地区2020-2021学年高三上学期第一次八校联考理科数学试题
陕西省部分重点高中2020-2021学年高三上学期12月联考理科数学试题
高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分 1.设集合()(){}380A x x x =++<，则A Z =∩A . {}83x x -<<-B . {}4,5,6,7C . {}38x x << D .{}7,6,5,4----2.若z =，则A . 2z 的实部为1B . 2z 的实部为1-C . 2z 的虛部为-D . 2z 的虚部为3.某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是A .从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势B .这10天白天的平均气温的极差大于6℃C .这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大D .这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天 4.若函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则A . ()1f x +为偶函数B . ()1f x -为偶函数C . ()1f x +为奇函数D . ()1f x -为奇函数 5.在平行四边形ABCD 中，7CD ED =，且BE AD DE λμ=+，则λμ+= A . 5- B . 6- C .5 D .6 6.函数()()22sin 2cos sin f x x x x =-的最小正周期为A .4π B . 2πC . πD . 34π7.若随机变量X 的分布列为则DX =A .16B .32C .18D .648.在ABC ∆中，3B π=，且ABC ∆的面积为，则ABC ∆外接圆的半径的最小值是A .B .6C .D .129.若从1，3，5，7中选取两个数，从0，2，4，6，8中选取两个数，将这四个数组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的总个数为A .1296B .1320C .1440D .1524 10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A .12 B .1. C .32D .2 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置. 11.若1tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=- . 12.椭圆22149x y +=上一点到两焦点的距离之和为 . 13.若函数()()991log 2log 4f x x x x ⎛⎫=+->⎪⎝⎭），则()f x 的值域为 . 14.已知底面为矩形的四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上， PA AD ⊥，PA AB =，PB =，且BC =.若球O 的体积为323π，则棱PB 的中点到平面PCD 的距离为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15-19题为必考题，每个试题考生都必须作答.第20，21题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分15.（12分）在递增的等比数列{}n a 中，39a =，2430a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 16.（12分）某公司销售部门对某产品在某地区的广告投入与纯利润之间的关系进行研究，记录了2020年6月份到10月份的广告费与纯利润，得到如下资料表：（1）根据6至10月份的数据，求出v 关于u 的线性回归方程；（2）该公司销售部门打算11月份对该地区投入广告费15万元，但公司决策部门规定，当纯利润预测不低于35万元时才能对该地区继续投人广告，否则终止投入广告，试判断销售部门对该地区是否继续投入广告.附：回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ni i i nii x y nxyb x nx==-∑=-∑，a y bx =-.17.（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点E ，8BD =，6AC =，将ACD ∆沿AC 折到PAC ∆的位置使得4PD =.（1）证明：PB AC ⊥.（2）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 18.（12分）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点,22p E ⎛⎫-⎪⎝⎭，EF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，当E 到l 的距离最大时，求EPQ ∆的面积. 19.（12分） 已知函数()ln x f x x e=-. （1）若曲线()y f x =存在一条切线与直线y ax =垂直，求a 的取值范围. （2）证明：()23ln sin 4f x x x x <--. （二）选考题：共10分.请考生从第20，21两题中任选-题作答. 如果多做，则按所做的第一个题目计分. 20.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） x = 4cos a ，在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{4cos 44sin x y αα==-+（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 4sin m ρθρθ+=. （1）求C 的极坐标方程；（2）若l 与C 相交，求m 的取值范围. 21.[选修4- 5：不等式选讲]（10分） 已知函数()3f x x a x a =-+-. （1）求不等式()1f x x a >+-的解集；（2）若()f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案（理科）1.D 因为{}83A x x =-<<-，所以{}7,6,5,4A Z =----∩.2.B 因为21z =--，所以2z 的实部与虚部分别为1-，-3.D 从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势这10天白天的平均气温的极差大于6℃.这10天中白天的平均气温为26℃的频率为0. 3，比其他平均气温的频率都要大.这10天中白天的平均气温大于26℃的只有4天.故选D .4.C 因为函数()f x 的图象关于点()1,0对称，所以将()f x 的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，故选C .5.A 因为7CD ED =，所以6CE DE =-，则6BE BC CE AD DE =+=-，所以165λμ+=-=-.6.A ()1sin 2cos 2sin 42f x x x x ==，因为sin 4y x =的最小正周期为242ππ=，所以()f x 的最小正周期为4π. 7.D ∵100.3200.5300.116EX =⨯+⨯+⨯=，∴2222160.160.340.5140.164DX =⨯+⨯+⨯+⨯=.8.A由三角形的面积公式可得1sin 24ac B ==36ac =.由余弦定理可得222b a c =+-2cos 236ac B ac ac ac -==≥，即6b ≥，则ABC ∆外接圆的半径2sin 32bR B==⨯（当且仅当6a c ==时，等号成立）.9.A 若0被选中，则不同的四位数的个数211314433C C C A 432N ==；若0不被选中，则不同的四位数的个数2241444C C A 864N ==.故不同的四位数的总个数为4328641296+=.10.B 由三视图可知，该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点，另外两个顶点是正方体棱的中点，其直观图如图所示.正视图的面积为1132222111222⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=，故该三棱锥的体积为一132132⨯⨯=.11. 13 1sin cos tan 1123sin 2cos tan 232αααααα---===---12.6 因为49<，所以29a =，所以椭圆22149x y +=上一点到两焦点的距离之和为26a =. 13.()0,1 因为()9922log log 1x f x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又2119x <+<，所以()f x 的值域为()0,1.14∵PA AB =，PB =，∴PA AB ⊥，又PA AD ⊥，AD AB A =∩， ∴PA ⊥平面ABCD .∵底面ABCD 为矩形，∴侧棱PC 为球O 的直径.设球O 的半径为R ，则343233R ππ=，即2R =，又2R ==，解得2AB =.如图，过A 作AG PD ⊥于G ，取棱PA 的中点F ，连接EF .易证CD ⊥平面APD ，则CD AG ⊥，从而AG ⊥平面PCD .由等面积法可得AG ==，则F 到平面PCD PCD的距离为123AG =∵EF AB CD ∥∥，∴EF CD ∥，则E 到平面PCD PCD 的距离等于F 到平面PCD 的距离， 故棱PB 的中点到平面PCD的距离为315.解：（1）由题意可得231324113301a a q a a a q a q q ⎧==⎪+=+=⎨>⎪⎩，解得11a =，3q =.故1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得2123n n a -=，则32log 21n n b a n ==-，故()2121135212n n n S n n +-=++++-==.16.解：（1）由表中数据可得()1101113129115u =⨯++++=， ()12325302616245v =⨯++++=，515222151351511243.16155115i i i i i u v uvb u u==-∑-⨯⨯===-⨯-∑， 24 3.11110.1a v bu =-=-⨯=-，故v 关于u 的线性回归方程为 3.110.1v u =-. （2）当15u =时， 3.11510.136.435v =⨯-=>， 所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告. 17.（1）证明：因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 则BE AC ⊥，PE AC ⊥.因为BE ⊂平面PBE ，PE ⊂平面PBE ，且BE PE E =∩，所以AC ⊥平面PBE . 因为PB ⊂平面PBE ，所以PB AC ⊥.（2）解：取DE 的中点O ，连接OP ，取CD 的中点F ，连接OF . 因为8BD =，所以4DE PE ==.因为4PD =，所以PD PE =，所以PO DE ⊥.由（1）可知AC ⊥平面PBE ，所以平面PBD ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD .故以O 为坐标原点，OF ，OD ，OP 的方向分别为x，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题中数据可得()3,2,0A --，()0,6,0B -，()3,2,0C -，()0,2,0D，(0,0,P ，则()3,4,0AB DC ==-，(BP =，(0,DP =-.设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，则11134060m AB x y m BP y ⎧⎪⋅=-=⎨⋅=+=⎪⎩，令4x =，得(4,3,m =-. 设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，则22234020n DC x y n DP y ⎧⎪⋅=-=⎨⋅=-+=⎪⎩，令4x =，得(n =.n . DP =-2y2+2/3z2=0，设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ， 则cos m nm nθ⋅===. 18.解：（1）因为,22p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，EF =，=解得4p =，故抛物线C 的方程为28y x =. （2）由题意知，()2,0F ，因为直线l 过点F ， 所以当EF l ⊥时，点E 到l 的距离最大. 因为201222EF k -==---，所以直线l 的斜率为2，联立方程组()2228y x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 得2640x x -+=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则126x x +=， 所以126410PQ x x p =++=+=.因为EF =，所以EPQ ∆的面积为1102⨯⨯=19.（1）解：()11f x x e'=-. 因为()f x 的定义域为()0,+∞，所以111x e e->-. 因为曲线()y f x =存在一条切线与直线y ax =垂直，所以11a e->-， 解得0a <或a e >，则a 的取值范围为()(),0,e -∞+∞∪.（2）证明： ()11e x x e x f x e'-=-=. 当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<. 所以()()max ln 0ef x f e e e==-=. 设函数()2ln g x x x =-，则()21212x g x x x x-'=-=.当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时， ()0g x '<；当2x ⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>.所以()min 11111ln ln 222222g x g ==-=+⎝⎭.因为1ln 22>=， ()min 34g x >. 因为333sin ,444x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以23ln sin 04x x x -->. 又()()max 0f x f x =≤，所以()23ln sin 4f x x x x <--. 20.解：（1）由{4cos 44sin x y αα==-+，得()22416x y ++=，即2280x y y ++=，则C 的极坐标方程为28sin 0ρρθ+=， 即8sin 0ρθ+=（或8sin ρθ=-）. （2）因为l 的极坐标方程为340x y m +-=， 所以l 的直角坐标方程为340x y m +-=.由（1）知，曲线C 表示圆心()0,4C -，半径为4的圆，则C 到l 的距离1645m d +=<， 解得364m -<<，即m 的取值范围为()36,4-.21.解：（1）由()1||f x x a >+-，得31x a ->， 则31x a -<-或31x a ->， 即31x a <-或31x a >+，故不等式()1f x x a >+-的解集为()(),3131,a a -∞-++∞∪. （2）因为()()1332f x x a x a x a a >+----=≥， 所以()f x 的最小值为2a .因为()f x >x ∈R 2a <， 又180a +≥，所以[)918,2,4a ⎛⎤∈--⋃+∞⎥⎝⎦.。
2020届陕西省西安地区八校联考数学理科试题
2020届陕西省西安地区八校联考数学理科试题数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上． 2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}10A x Z x =∈+≥，(){}lg 3B x y x ==-，则A B ⋂=（ ）． A ．{}0,1,2B ．{}13x x -≤<C ．{}0,1,3,1,2-D ．{}1,2,1,0-2．已知复数z 在复平面上对应的点为()1,2-，i 为虚数单位，则zi=（ ）． A ．2i --B ．12i -+C ．2i -D ．12i --3．函数()3234f x x x =+-的零点个数为（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．34．若已知实数,x y 满足()22,20,13,y x x y y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩则241z x y =++的最小值为（ ）．A ．2-B ．3-C ．5-D ．05．从6男4女中任选2男2女担任,,,A B C D 四种互不相同的工作，且每人担任其中的一项工作．若女甲不能担任工作C ，则不同的选派方案种数为（ ）． A ．1800B ．1890C ．2160D ．22106．已知()622a a Z a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项是160-，则函数()af x x =是（ ）． A ．定义域为R 的奇函数 B ．在()0,+∞上递减的奇函数 C ．定义域为R 的偶函数D ．在()0,+∞上递增的偶函数7．已知点()2,3A 到抛物线()20y px p =>的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（ ）． A ．（2，0）B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（0，2）D ．10,32⎛⎫⎪⎝⎭8．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，侧棱长为在同一球面上，则该球的表面积为（ ）．A ．20πB ．16πC ．12πD ．9．若x x ≤≤223x x+≤≤”成立的（ ）． A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．函数()22cos212sin 2f x x x x =+-的单调递增区间为（ ）． A ．(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．(),21223k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．(),612k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．(),123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦11．已知双曲线C ：()2210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被双曲线C e 为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ）．A ．3y x =±B ．5y x =±C ．35y x =±D ．5y x =±12．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30，现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44]．由此求得爱看人数比y 关于年龄段x 的线性回归方程为0.4188y kx =-．则年龄在[60，64]的10000人中，爱看秦腔的人数约为（ ）． A ．4200B ．3900C ．3700D ．3500第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，把答案填在答题卷中相应的横线上） 13．已知平面向量(),2a m =，()2,b m =，且//a b a -，则m =______．14．在3与156之间插入50个数，使这52个数成等差数列，则插入的50个数的和等于______．15．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．16．金石文化，是中国悠久文化之一．“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件．在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是(()28dm +，则该工艺品共有______个面，表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()(222a b c bc --=，2sin sin cos 2CA B =，BC 边上的中线AM ． （Ⅰ）求角A 、C 的大小； （Ⅱ）求ABC △的面积．18．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为平行四边形，M 为CD 的中点，N 为PD 上一点，且12DN NP =（如图）．（Ⅰ）证明：//PB 平面AMN ；（Ⅱ）当平面PAB ⊥平面ABCD ，55566PA PB AD AB ====，120BAD ∠=︒时，求二面角B AM N --的余弦值．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设()()22nn n f n a S =-+-．（Ⅰ）若11a =，23a =，且数列(){}f n 为等差数列，求数列(){}f n 的通项公式； （Ⅱ）若()0f n =对任意n N +∈都成立，求当n 为偶数时n S 的表达式． 20．己知函数()()2sin f x mx x m R =+∈．（Ⅰ）若()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，求m 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 的图像在原点处的切线也与函数()ln 1g x x x =+的图像相切，求m 的值．21．已知A ，B ，C 顺次是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆E的离心率2e =12AB AC ⋅=． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若斜率为1111k k ⎛-<< ⎝⎭的直线l 过点()()0,4m m k ≠-，直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆经过点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy 中，直线l经过点()P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线S的参数方程为1x ky ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （Ⅰ）求曲线S 的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围． 23．[选修4—5：不等式选讲] 已知函数()25f x x x x =---． （Ⅰ）求不等式()238f x x ≥-的解集；（Ⅱ）若存在[]00,6x ∈，使()042f x a ≥--成立，求a 的取值范围．。
陕西省西安市八校2020-2021学年高三上学期第一次联考理科数学试题
故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有 种，
故答案为：45．
16．
【分析】
由零点存在性定理得出关于 的不等式组，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.
【详解】
二次函数 有两个零点 ，且
则 ，
画出不等式组表示的平面区域，如图阴源自部分，由图可知， ，联立 ，解得 ．
直线 的斜率为 ，
15．将摆放在编号为 五个位置上的 件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为_________．（用数字作答）
16．已知函数 有两个零点 且 ，则直线 的斜率的取值范围是_________．
三、解答题
17．已知{an}为等差数列，各项都为正数的等比数列{bn}的前n项和为Sn，且 ， ， ， ．
（1）求 ､ 的通项公式；
（2）求和 ．
18．已知正四面体 分别在棱 上，且 为棱 上任意一点（不 与 重合）．
（Ⅰ）求证：直线 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．已知椭圆 ，F1､F2分别为椭圆C的左､右焦点，P为椭圆C上的任一点，且|PF2|的最大值和最小值分别为3和1，过F2的直线为l．
，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
19．（1） ；（2）3．
陕西省西安地区八校联考2020届高三数学(理科)试题(无答案)
2020届高三年级数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合()(){}140A x x x =+-<，{}2B x x =>，则A B =（ ）． A ．()4,4-B ．()1,2-C ．()2,4D ．()2,+∞2．已知数列{}n a 满足120n n a a ++=且22a =，则{}n a 的前10项的和等于（ ）．A ．10123-B ．10123--C ．1021-D ．1012-3．已知i 为虚数单位，若复数()1z a a i =+-（a ∈R ），z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z =（ ）． A ．12i -+B ．12i --C ．2i -D ．23i -+4．已知m 、n 为直线，α、β为平面，给出下列命题：①//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；③//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩． 其中的正确命题序号是（ ）． A ．②③B ．③④C ．①②D ．①②③④5．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）．A ．()cos xf x e x =⋅B ．()ln cos f x x x =⋅C ．()cos xf x e x =+D ．()ln cos f x x x =+6．设1e 、2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，122AC be e =-（0a >，0b >），若A 、B 、C 三点共线，则12a b+的最小值是（ ）． A ．2B ．4C ．6D ．87．已知p ：1a =±，q ：函数()(ln f x x =为奇函数，则p 是q 成立的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知圆222x y r ++（0r >）与抛物线22y x =交于A 、B 两点，与抛物线的准线交于C 、D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于（ ）． A．2BC．2D9．已知sin α、cos α是方程2520x -=的两个实根，且()0,πa ∈，则πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）． AB． CD． 10．对于函数()2cos cos f x x x x =，x ∈R ，下列命题错误的是（ ）． A ．函数()f x 的最大值是32B ．不存在05π4π,63x ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得()00f x = C ．函数()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 11．已知1F 、2F 是双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的下、上两个焦点，过1F 的直线与双曲线的下、上两支分别交于点A 、B ，若2ABF △为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）． A．y =B．y =C．y =D．y x = 12．已知函数()10,1,0,x x f x xe x -≤=+>⎪⎩点A 、B 是函数()f x 图象上不同两点（A 、B 两点位于y 轴的两侧），则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ）． A ．π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（把答案填在答题卷中相应的横线上）13．设实数x 、y 满足不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最小值为______．14．从13，12，2，3，5，9中任取两个不同的数，分别记为m 、n ，则“log 0m n >的概率为______． 15．已知点A 、B 、C 在球心为O 的球面上，若5AB AC ==，6BC =，球心O 到截面ABC 的距离为1，则该球的表面积为______．16．在ABC △中，内角A 、C 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，D 是AB 的中点，若1CD =且()()1sin sin sin 2a b A b c C B ⎛⎫-=+-⎪⎝⎭，则ABC △面积的最大值是______． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：17．已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．（Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ；（Ⅱ）若二面角P CD B --为45︒，2AD =，3CD =，求PD 与平面PCE 所成角的正弦值．18．已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且11a =，2211n n S S +=+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()1nnnb a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．为调查某校学生每周体育锻炼落实情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h ）．根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间z 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ． ①求P （0.88.3Z <<）；②若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间()0.8,8.3的人数为ξ，求()E ξ．2.5≈；若(),ZN μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，()220.9545P Z μσμσ-<<+=．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为3，直线l 和椭圆C交于A 、B 两点．当直线l 过椭圆C 的焦点且与x 轴垂直时，23AB =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在与x 轴不垂直的直线l ，使弦AB 的垂直平分线过C 的右焦点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．设函数()()()2ln 102xf x ax a x =+->+． （Ⅰ）讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x 、2x ，且()()120f x f x +>，求a 的取值范围．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求点Q 轨迹的极坐标方程． 23．【选修4—5：不等式选讲】 已知函数()1f x x =-．（Ⅰ）求不等式()()212f x f x -+≥的解集；（Ⅱ）若0a >，0b >，且()3a b f +=≤。
《精编》陕西省西安市八校高三数学联考(三)试题 文 新人教A版.doc
2021届高三年级数学(理科)试题第一卷 〔选择题共50分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1. 如果复数2()(1)m i mi ++是实数，那么实数m =〔 〕 A. 2- B. 2 C. 1- D. 12. 直角ABC ∆中，(1,1),(2,)AB AC k ==，那么实数k 的值为〔 〕A. 0B. 2-或0C. 2-D. 23. 条件:p 关于x 的不等式210x mx ++>〔m R ∈〕的解集为R ；条件:q 指数函数()f x (3)x m =+为增函数， 那么p 是q 的〔 〕A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件4. 一个几何体的三视图如以以下图，那么该几何体的体积为〔 〕 A.23 B. 13Ｃ. 2 D. 15. 某同学忘记了自己的QQ 号，但记得QQ 号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ 号最多尝试次数为〔 〕 A. 18 B. 24 C. 6 D. 126. 假设函数21()log ()2a f x x ax =-+有最小值，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. 2) B. [2,)+∞ C. (0,1) D. (0,1)(1,2)7. 在数列{}n a 中，11a =，25a =，21n n n a a a ++=-〔*n N ∈〕，那么2007a =〔 〕 A. 4 B. 1- C. 1 D. 58. 如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及两条直线2212:,a a l x l c c=-=，其中22c a b -且12,l l 分别交x 轴与,C D 两点。
从1l 上一点A 发出一条光线经过椭圆的左焦点F 被x 轴反射后与2l 交于点B 。
陕西省西安市八校2021届高考数学联考试卷(理科)(一)(含答案解析)
陕西省西安市八校2021届高考数学联考试卷(理科)(一)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|x <−1或x ≥3}，则∁R A 等于( )A. {x|x <3}B. {x|x >−1}C. {x|−1≤x <3}D. ⌀2.下列函数为偶函数且在[0,+∞)上为增函数的是( )A. y =xB. y =x 2C. y =2xD. y =−x 23.下列各式中，值为的是( )A. sin15cos15B.C.D.4.将正整数排列如下：则在表中数字2013出现在( )A. 第44行第78列B. 第45行第78列C. 第44行第77列D. 第45行第77列5.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，直线x =a 2c与两条渐近线分别交于P ，Q 两点，若△PFQ 是直角三角形，则双曲线的离心率为( )A. √2B. 2C. 2√33D. 536.把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量．设e⃗ =(A,B)是直线l 的一个方向向量，那么n ⃗ =(−B,A)就是直线l 的一个法向量．借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离．已知P 是直线l 外一点，n ⃗ 是直线l 的一个法向量，在直线l 上任取一点Q ，那么PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 在法向量n ⃗ 上的投影向量为(|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ)·n⃗⃗ |n ⃗⃗ |(θ为向量n ⃗ 与PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角)，其模就是点P 到直线l 的距离d ，即d =|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |.据此，请解决下面的问题：已知点A(−4,0)，B(2,−1)，C(−1,3)，则点A 到直线BC 的距离是 ( )A. 8B. 7C. 275D. 2157.已知直线l 经过点P(1,1)，倾斜角α=π6，设直线l 与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则点P 与A ，B 两点的距离之积为( )A. 1B. 2C. √3+1D. 48.有如下命题：命题p ：设集合M ={x|0<x ≤3}，N ={x|0<x ≤2}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分而不必要条件；命题q ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−1>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2−x −1≤0”，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. p ∧(￢q)C. p ∨qD. p ∨(￢q)9.函数y =2sinx +cosx ，当x =φ时函数取得最大值，则cosφ=( )A. √55B. 2√55C. 2√23D. 1310. 若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )A. 4π2B. 3π2C. 2π2D. π211. (x +1)4的展开式中x 2的系数为( )A. 4B. 6C. 10D. 2012. 函数f(x)在定义域R 内可导，f(x)=f(2−x)，当x ∈(1,+∞)时，(x −1)f′(x)<0，设a =f(log 32)，b =f(log 52)，c =f(log 25)，则( )A. c <a <bB. c <b <aC. a <b <cD. b <a <c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若抛物线上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到轴的距离为______________ ．14. 若复数z =a 2−1+(a +1)i(a ∈R)是纯虚数，则a =_____ ；|z|=_____ ．15. 安排5个党员(含小吴)去3个不同小区(含M 小区)做宣传活动，每个党员只能去1个小区，且每个小区都有党员去宣传，其中至少安排2个党员去M 小区，但是小吴不去M 小区，则不同的安排方法数为______ ．16. 若实数x ，y 满足{x +y ≥02x −y ≥0x ≤1，则z =3x +2y 的最大值是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设复数z n =x n +i ⋅y n ，其中x n y n ∈R ，n ∈N ∗，i 为虚数单位，z n+1=(1+i)⋅z n ，z 1=3+4i ，复数z n 在复平面上对应的点为Z n ． (1)求复数z 2，z 3，z 4的值；(2)是否存在正整数n 使得OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；(3)求数列{x n ⋅y n }的前102项之和．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB =2，E 为PE 中点． (Ⅰ)证明：PB//平面AEC ； (Ⅱ)证明：平面PCD ⊥平面PAD ； (Ⅲ)求EA 和平面ABCD 所成的角； (Ⅳ)求二面角E −AC −D 的正切值．19. 设F 1(−c,0)、F 2(c,0)分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：(1)PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0；(2)tan∠PF 1F 2=√312；(3)PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为2√3．(Ⅰ)求椭圆的离心率及椭圆方程；(Ⅱ)过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由．20. 栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒．叶，四季常绿；花，芳香素雅．绿叶白花，格外清丽．某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取100棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图(单位：m)，其中不大于1.50(单位：m)的植株高度茎叶图如图所示．(1)求植株高度频率分布直方图中a ，b ，c 的值；(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值．21. (本题满分15分) 已知函数．(Ⅰ)若无极值点，但其导函数有零点，求的值；(Ⅱ)若有两个极值点，求的取值范围，并证明的极小值小于．22. 在平面直角坐标系中，以圆点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρ=2acosθ+2asinθ(a >0)，直线l 的参数方程为：{x =−1+√22ty =−2+√22t(l 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(Ⅱ)设点P(−1,−2)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23. 已知函数f(x)=|3x +2|． (1)解不等式f(x)<4−|x −1|；(2)已知2m +n =1(m,n >0)，若|3x −a|−f(x)≤1m +2n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A={x|x<−1或x≥3}，∴∁R A={x|−1≤x<3}．故选：C．根据全集R及A，求出A的补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：函数y=x的一次项系数1>0，故函数y=x在[0,+∞)上为增函数，但函数为奇函数；y=x2的图象是开口朝上且以y轴为对称轴的抛物线，故函数为偶函数且在[0,+∞)上为增函数；y=2x在[0,+∞)上为增函数，但函数为非奇非偶函数；函数y=−x2的图象是开口朝下且以y轴为对称轴的抛物线，故函数为偶函数，但在[0,+∞)上为减函数；故选B根据一次函数，二次函数，指数函数的图象和性质，逐一分析四个答案中四个函数的奇偶性及在[0,+∞)上的单调性，可得答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，熟练掌握基本初等函数的奇偶性和单调性是解答的关键．3.答案：C解析：解：A选项，sin15°×cos15°=12sin30°=14，不正确；B选项，cos2π12−sin2π12=cosπ6=√32，不正确；C选项，tan22.5∘1−tan222.5∘=12×tan45∘=12，正确；D选项，√1+cosπ62=√1+√322≠12，不正确．综上知C选项正确故选C4.答案：D解析：解：依题意可知第n行有2n−1个数字，前n行的数字个数为1+3+5+⋯+(2n−1)=n2个，∵442=1836，452=2025，且1836<2013，2025>2013，∴2013在第45行，又2025−2013=12，且第45行有2×45−1=89个数字，∴2013在第89−12=77列．故选：D．根据题意确定出第n行有2n−1个数字，根据前n行数字个数确定出数字2013所在的行，进而确定出所在的列即可．此题考查了归纳推理，弄清题中的规律是解本题的关键．5.答案：A解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于较易题．利用直线x=a2c与两条渐近线分别交于P，Q两点，若△PFQ是直角三角形，推出渐近线的夹角，然后求解离心率即可．解：因为△PFQ是直角三角形，所以，又因为直线x=a2c与两条渐近线分别交于P，Q两点，设PQ与x轴的交点为A，根据双曲线的渐近线的对称性可得FP=FQ，所以，所以△PAF是等腰直角三角形，所以PA=AF，因为双曲线的渐近线方程为y=±bax，所以P点坐标为(a 2c ,abc)，所以PA=abc ，所以abc=c−a2c，即c2−a2=ab，所以b2=ab，a=b，所以e2=c2a2=a2+b2a2=2a2a2=2，所以e=√2．故选A．6.答案：D解析：本题考查了向量的数量积、直线上向量的坐标及其运算．先求得直线BC的一个法向量，再求得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，由题意中的公式可得点A到直线BC的距离．解：因为BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，故可得直线BC的一个法向量n⃗=(−4,−3)，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−1)，故可得点A 到直线BC 的距离d =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=215，故选D ．7.答案：B解析：解：由已知得直线l 的参数方程为{x =1+tcosπ6y =1+tsin π6(t 为参数)，即{x =1+√32t y =1+12t(t 为参数)， 把直线的参数方程代入圆x 2+y 2=4，得(1+√32t)2+(1+12t)2=4，整理得：t 2+(√3+1)t −2=0， ∴t 1t 2=−2，则点P 到A ，B 两点的距离之积为2． 故选B先根据题意表示出直线l 的参数方程，再将直线的参数方程代入圆方程，得到一个关于t 的二次方程，最后结合参数t 的几何意义利用根与系数之间的关系即可求得距离之积．本小题主要考查圆的参数方程、参数方程的概念、一元二次方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．8.答案：C解析：解：命题p ：设集合M ={x|0<x ≤3}，N ={x|0<x ≤2}， 则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分而不必要条件． p 是假命题．命题q ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−1>0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2−x −1≤0”， 则：q 是真命题． 所以：p ∨q 是真命题． 故选：C ．首先判断出命题p 的真假，进一步判断出命题q 的真假，最后利用真值表求出结论 本题考查的知识要点：命题真假的判断，及真值表的应用．属于基础题型．9.答案：A解析：解：当x =φ时，函数f(x)=2sinx +cosx =√5(2√55sinx +√55cosx)=√5sin(x +α)取得最大值，(其中，cosα=2√55，sinα=√55)，∴φ+α=2kπ+π2，k∈z，即θ=2kπ+π2−α，k∈z，∴cosφ=cos(2kπ+π2−α)=cos(π2−α)=sinα=√55，故选：A．利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式，再利用诱导公式求得cosθφ的值．本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．10.答案：A解析：解：由题意可得侧面展开图的边长为2π×1=2π，所以侧面展开图的面积为(2π)2=4π2，故这个圆柱的侧面积是4π2．故选：A．根据侧面展开图的面积就是圆柱的侧面积求解即可．本题考查了圆柱的侧面积的求法，关键是对圆柱侧面展开图的理解，属于基础题．11.答案：B解析：(x+1)4的展开式中x 2的系数为=6．12.答案：B解析：判断f(x)的单调性，比较三个对数的大小关系，根据f(x)的对称性得出答案．本题考查了函数单调性与对称性的应用，对数的大小比较，属于中档题．∵x∈(1,+∞)时，(x−1)f′(x)<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在(1,+∞)单调递减．∵f(x)=f(2−x)，∴f(x)的图象关于x=1对称，∵0<log52<log32<1<2<log25，∴f(log25)<f(log52)<f(log32)．故选：B．13.答案：2解析：解：∵抛物线方程为y 2=4x∴焦点为F(1,0)，准线为l ：x =−1 设所求点坐标为M(x,y) 作MQ ⊥l 于Q根据抛物线定义可知M 到准线的距离等于M 、Q 的距离 即x +1=3，解之得x =2， 代入抛物线方程求得y =±4 故点M 坐标为：(2,y) 即点M 到y 轴的距离为2 故答案为：214.答案：1;2解析：解：由于z 是纯虚数，所以{a 2−1=0a +1≠0，解得a =1，所以z =2i ， 所以|z|=2， 故答案为1；2．利用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0列出式子，求出a ；利用复数模的公式求出复数的模． 本题考查纯虚数的定义、考查复数的模的公式．15.答案：44解析：解：根据题意，分2种情况讨论：①M 小区安排2人，需要在其他4人中选出2人安排到M 小区，将剩下3人分为2组，安排到其他2个小区，有C 42C 32A 22=36种安排方法，②M 小区安排3人，需要在其他4人中选出3人安排到M 小区，将剩下2人安排到其他2个小区，有C 43A 22=8种安排方法，则有36+8=44种不同的安排方法， 故答案为：44．根据题意，按分到M 小区的人数分2种情况讨论，求出每种情况安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.答案：7解析：解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =12x −y =0，解得A(1,2)，化目标函数z =3x +2y 为y =−32x +z2，由图可知， 当直线y =−32x +z2过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 取最大值为3×1+2×2=7． 故答案为：7．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．17.答案：本题(18分)，第1小题(4分)，第2小题(6分)，第3小题(8分)．解：(1)z 2=(1+i)(3+4i)=−1+7i ，z 3=−8+6i ，z 4=−14−2i.…(4分) (算错一个扣(1分)，即算对一个得(2分)，算对两个得3分) (2)若OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则存在实数λ，使得OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故z n =λ⋅z 1， 即(x n ,y n )=λ(x 1,y 1)，…(3分)又z n+1=(1+i)z n ，故z n =(1+i)n−1z 1，即(1+i)n−1=λ为实数，…(5分)故n−1为4的倍数，即n−1=4k，n=4k+1，k∈N.…(6分)(3)因为z n+4=(1+i)4z n=−4z n，故x n+4=−4x n，y n+4=−4y n，…(2分)所以x n+4y n+4=16x n y n，…(3分)又x1y1=12，x2y2=−7，x3y3=−48，x4y4=28，x1y1+x2y2+x3y3+⋯+x100y100=(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)+(x5y5+x6y6+x7y7+x8y8)+⋯+(x97y97+x98y98+x99y99+x100y100)=(12−7−48+28)⋅1−16251−16=1−2100，…(6分)而x101y101=1625x1y1=12×2100，x102y102=1625x2y2=−7×2100，…(7分)所以数列{x n y n}的前102项之和为1−2100+12×2100−7×2100=1+2102.…(8分)解析：(1)利用已知条件之间求解z2，z3，z4．(2)求出z n=(1+i)n−1z1，利用复数的幂运算，求解即可．(3)通过z n+4=(1+i)4z n=−4z n，推出x n+4=−4x n，y n+4=−4y n，得到x n+4y n+4=16x n y n，然后求解数列的和即可．本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ)证明：设BD∩AC=O，则由四边形ABCD为正方形，可得O为BD的中点，再根据E为PE中点，可得OE为△PBD的中位线，故有OE//PB．而OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB//平面AEC．(Ⅱ)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又正方形ABCD中，AD⊥CD，且PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．再根据CD⊂平面PCD，可得平面PCD⊥平面PAD．(Ⅲ)取AD得中点H，则EH是△PAD的中位线，故有EH//PA．由PA⊥平面ABCD可得EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为EA和平面ABCD所成的角．由PA=AB=2，可得EH=1，AH=1，∴tan∠EAH=EHAH =1，∴∠EAH=π4，即EA和平面ABCD所成的角为π4．(Ⅳ)作HM⊥AC，M为垂足，由三垂线定理可得EM⊥AC，∠EMH为二面角E−AC−D的平面角．由于HM=12DO=√22，∴tan∠EMH=EHHM=√22=√2．解析：(Ⅰ)设BD ∩AC =O ，则由题意可得OE 为△PBD 的中位线，故有OE//PB ，根据直线和平面平行的判定定理证得PB//平面AEC ．(Ⅱ)证明PA ⊥CD ，且AD ⊥CD ，证得CD ⊥平面PAD.再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面PCD ⊥平面PAD ．(Ⅲ)取AD 得中点H ，证得∠EAH 为EA 和平面ABCD 所成的角．由条件求得tan∠EAH =EHAH =1，可得∠EAH 的值．(Ⅳ)作HM ⊥AC ，M 为垂足，可得∠EMH 为二面角E −AC −D 的平面角．再根据tan∠EMH =EH HM ，计算求的结果．本题主要考查直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理，直线和平面所成的角、二面角的定义和求法，属于中档题． 19.答案：解：(Ⅰ)∵PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴△PF 2F 1为直角三角形， ∴P(c,b 2a )，∴tan∠PF 1F 2=b 2a2c=b 22ac=√312， ∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为2√3， ∴2c =2√3，即c =√3， ∵a 2=b 2+c 2， ∴a =2，b =1，∴椭圆的离心率为e =ca =√32，椭圆方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)设满足条件的直线为l ，其方程为x =my −√3，两交点坐标为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)， 设线段AB 为直径的圆与y 相切于点D ，由{x =my −√3x 24+y 2=1，消去x 得：(m 2+4)y 2−2√3my −1=0， ∴y 1+y 2=2√3m 4+m ，y 1y 2=−14+m 2，x 1+x 2=m(y 1+y 2)−2√3=−8√34+m ，所以AB 的中点到y 轴的距离d =|x 1+x 2|2=4√34+m 2，所以弦长|AB|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√12m 2(4+m 2)2−4⋅−14+m 2=4⋅1+m 24+m 2=2d =8√34+m 2， 解得m 2=2√3−1，所以m =±√2√3−1直线方程为x =√2√3−1y −√3，或x =−√2√3−1y −√3， 即x −√2√3−1y +√3=0或x +√2√3−1y +√3=0．解析：(Ⅰ)根据题目的三个条件可得c =√3，b 22ac =√312，a 2=b 2+c 2，解得即可； (Ⅱ)由(Ⅰ)可得焦点F 1的坐标，设直线l 的方程与由、椭圆联立求出两根之和及两根之积，设A ，B 的坐标，及切点D 的坐标，由题意可得DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出参数及D 的坐标，可得直线l 的方程． 本题主要考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题．20.答案：解：(1)由茎叶图知，a =51000.1=0.5,b =101000.1=1．由频率分布直方图知0.5×0.5+1.45×1+1.55×3+1.65×4+c ×0.1+3×0.1+4×0.1=1， 所以c =1.5．(2)这批栀子植株高度的平均值的估计值为：(1.35×0.5+1.45×1+1.55×3+1.65×4+1.75×1.5)×0.1=1.60． 解析：(1)由茎叶图的性质能求出a ，b ，由频率分布直方图的性质能求出c ． (2)由频率分布直方图的性质能求出这批栀子植株高度的平均值的估计值．本题考查频率、平均数的求法，考查茎叶图、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.答案：解(Ⅰ)首先，--------1分---------------3分有零点而无极值点，表明该零点左右同号，故，且的由此可得----------6分(Ⅱ)由题意，有两不同的正根，故．解得：----------------8分 设的两根为，不妨设，因为在区间上，，而在区间上，，故是的极小值点.-------10分因在区间上是减函数，如能证明则更有---------------13分由韦达定理，，令其中设，利用导数容易证明当时单调递减，而，因此，即的极小值-------15分 (Ⅱ)另证：实际上，我们可以用反代的方式证明的极值均小于．由于两个极值点是方程的两个正根，所以反过来，(用表示的关系式与此相同)，这样即，再证明该式小于是容易的(注意，下略)．解析：解析：略22.答案：解：(Ⅰ)∵ρ=2acosθ+2asinθ(a >0)，∴ρ2=2aρcosθ+2aρsinθ；化为普通方程是x 2+y 2=2ax +2ay ， 即C ：(x −a)2+(y −a)2=2a 2；直线l 的参数方程{x =−1+√22ty =−2+√22t(l 为参数)， 化为普通方程是y =−2+(x +1)， 即y =x −1；(Ⅱ)把直线l 的参数方程{x =−1+√22ty =−2+√22t (l 为参数)代入C ：x 2+y 2=2ax +2ay 中， 化简得t 2−3√2t +5=−6a +2√2at ， 即t 2−√2(3+2a)t +5+6a =0；∵△=[√2(3+2a)]2−4(5+6a)>0，且a >0， 解得a >12；由根与系数的关系，得t 1+t 2=√2(3+2a)，t 1t 2=5+6a ；又∵|MN|2=|PM|⋅|PN|， ∴|t 1−t 2|2=t 1⋅t 2， 即(t 1+t 2)2=5t 1⋅t 2； ∴[√2(3+2a)]2=5(5+6a)， 整理，得8a 2−6a −7=0， 解得a =3+√658．解析：(Ⅰ)利用极坐标公式把曲线C 的极坐标方程化为普通方程， 消去参数t ，把直线l 的参数方程化为普通方程；(Ⅱ)把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得到关于t 的一元二次方程， 由△>0，且|MN|2=|PM|⋅|PN|，结合根与系数的关系，求出a 的值．本题考查了直线与圆的参数方程和极坐标的应用问题，解题时应熟练地进行参数方程、极坐标与普通方程的互化，理解直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．23.答案：解：(1)不等式：f(x)<4−|x −1|可写成，|3x +2|+|x −1|<4，用“零点分段法”解答如下： ①当x ≥1时，3x +2+x −1<4，x ∈⌀；②当−23≤x <1时，3x +2−x +1<4，解得，−23≤x <12； ③当x <−23时，−3x −2−1+x <4，解得，−54<x <−23， 综合以上讨论得，不等式的解集为：{x|−54<x <12}； (2)因为2m +1=1，且m >0，n >0， 所以，1m +2n =(1m +2n )(2m +n)=2+2+nm +4m n≥8，即1m +2n 的最小值为8，根据题意问题等价为：|3x −a|−f(x)≤8恒成立， 即|3x −a|−|3x +2|≤8对任意实数x 恒成立， 再由绝对值三角不等式得， |3x −a|−|3x +2|≤|a +2|≤8， 解得，a ∈(0,6]，所以，实数a 的取值范围为：(0,6]．解析：(1)直接运用零点分段法求解含绝对值不等式；(2)先求出1m +2n的最小值为8，再用绝对值三角不等式将问题等价为：|a+2|≤8，解出即可．本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用和不等式恒成立问题的解法，考查了分类讨论与等价转化思想，属于中档题．。
2020年陕西省西安市八校高考(理科)数学联考试卷 (解析版)
2020年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣2103．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．87．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954520．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，故选：C．2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣210【分析】通过a n+1+2a n＝0可确定数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，进而通过a2＝2可知首项a1＝﹣1，利用等比数列的求和公式计算即得结论．解：∵a n+1+2a n＝0，∴数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，∴a2＝（0﹣a4）＝﹣1，故选：B．3．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i【分析】由已知求解a的范围，再由z•＝|z|2＝5列式求解a值．解：z＝a+（1﹣a）i的共轭复数＝a+（a﹣1）i，对应点的坐标为（a，a﹣1），又z•＝|z|2＝a8+（a﹣1）2＝3，解得a＝﹣1（a＜0）．故选：A．4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．解：或n⊂α，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选：A．5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x【分析】采用排除法排除A，B，C．解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）＝e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞3，故可排除C．故选：D．6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【分析】利用向量共线定理推出a，b的关系，进而解出的最小值解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，可解得，b＝2﹣2a∴＝＝故选：B．7．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝lna＝0，解得a．即可判断出结论．解：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝ln（﹣x+）+ln（x+）＝lna＝0，∴p是q成立的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．【分析】先得C的坐标，根据ABCD为矩形得A的坐标，再代入抛物线可得．解：易得C（﹣，），则A（，），将A点坐标代入y2＝2x得r2﹣＝1，解得r＝，故选：C．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据根与系数的关系求出sinα+cosα以及sinαcosα的值，结合α的范围联立解得sinα，cosα的值，再用两角和的余弦公式代入计算即可求出值．解：∵sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），∴sinα+cosα＝，sinαcosα＝﹣，∴cos（α+）＝cosα﹣sinα＝（cosα﹣sinα）＝×（﹣﹣）＝﹣．故选：D．10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称【分析】化简函数f（x）的解析式得f（x）＝sin（2x+）+，由三角函数的性质逐个加以判断即可得出答案．解：f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R＝cos2x+sin2x+＝sin（2x+）+，所以f（x）的最大值为，故A正确，所以2x+＝+7kπ或2x+＝﹣+2kπ，k∈Z，故不管k为何整数，上式解都不在区间（，）内，C．由2kπ+≤2x+≤+2kπ，k∈Z，即f（x）在[，]上单调递减，D．把f（）＝sin n（2×+）+＝≠0，故选：D．11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2＝120°，利用余弦定理算出c2＝7a2，结合双曲线渐近线方程即可的结论．解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF8|＝|AB|，又∵|AF2|﹣|AF1|＝2a，∵△AF1F2中，|AF6|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，即4c2＝4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）＝28a2，由此可得双曲线C的渐近线方程为x＝±y＝±y，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]【分析】当x≤0时，函数f（x）是双曲线得到渐近线的斜率k＝﹣3，当x＞0时，求函数过原点的切线，根据直线的夹角公式进行求解即可．解：当x≤0时，由y＝得y2﹣9x2＝1，（x≤8），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y＝﹣3x，此时渐近线的斜率k1＝﹣3，当x＞0时，f（x）＝1+xe x﹣1，当过原点的直线和f（x）相切时，设切点为（a，6+ae a﹣1），则切线斜率k2＝f′（a）＝（a+7）e a﹣1，即y＝（1+a）e a﹣1（x﹣a）+1+ae a﹣1，即a2e a﹣1+ae a﹣1＝1+ae a﹣1，则切线和y＝﹣5x的夹角为θ，故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（0，），故选：A．二、填空题（共4小题）.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为1．【分析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数z的最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示；设z＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，∴z最小值＝3﹣2＝1．故答案为：1．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．【分析】基本事件总数N＝6×5＝30，log m n＞0包含的基本事件个数M＝2×1+4×3＝14，由此能求出“log m n＞0”的概率．解：∵从、、2、4、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，基本事件总数N＝6×5＝30，从5，3，5，9中取两个数，则“log m n＞0”的概率为P＝＝．故答案为：．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．【分析】根据球的截面圆性质、截面ABC的距离为1，求解△ABC外接圆的半径r，构造勾股定理即可求解．解：由AB＝AC＝5，BC＝6，可知△ABC是等腰三角形，作BC的高线h，可得h＝4，那么sin B＝；可得△ABC外接圆的半径r＝，那么球的R＝＝故答案为：16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．【分析】利用正弦定理可得：a2+b2﹣c2＝ab，①，cos C＝，sin C＝，利用2＝+可得a2+b2+ab＝4，②，由①②可得ab＝4﹣c2，所以面积S＝（4﹣c2）×，再根据c2＝a2+b2﹣ab≥2ab ﹣＝ab＝（4﹣c2），得c2≥，从而可得S的最大值．解：∵，∴由正弦定理可得：，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，可得：sin C＝＝，由①②得ab＝4﹣c2，S△ABC＝ab sin C＝（4﹣c2）×，∴S△ABC＝（4﹣c2）×≤（4﹣）×＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（1）作PC的中点G，连结FG，EG，证明四边形AEGF为平行四边形，推出AF∥平面PCE．（2）法一：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，设D 到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE，求出h，然后求解PD与平面PCE所成角的正弦值．法二：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：作PC的中点G，连结FG，EG，△PCD中，FG为中位线，FG ∥CD且，由AE∥CD且得四边形AEGF为平行四边形，AF∥EG，∴AF∥平面PCE……………………………（4分）∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，∴∠PDA＝45°……………………………………（8分）设D到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE得：S△PCE•h＝S△BCE•PA，（也可以得出二面角为∠PDA后，借助AF⊥平面PCD得EG⊥平面PCD，法二：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以PD与平面PCE所成角的正弦值为．……………………………………（12分）18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由等差数列的定义，以及通项公式可得所求；（2）由数列的递推式求得a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），又a1＝S1＝1，所以a n ＝﹣，b n＝＝＝（﹣1）n（+），分别讨论n为奇数或偶数，由裂项相消求和可得所求和．解：（1）a1＝1，S n+12＝S n2+1，所以{S n2}是首项为5，公差为1的等差数列，因为{a n}各项都为正数，（2）a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），b n＝＝＝（﹣1）n（+），当n为偶数时，T n＝﹣1++1﹣（+）+…﹣（+）+（+）＝．所以{b n}的前n项和T n＝（﹣1）n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545【分析】（Ⅰ）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；（Ⅱ）（i）利用正态分布的对称性即可求得P（0.8＜X≤8.3）；（ii）由（i）知学生假期日平均数学学习时间位于（0.8，8.3）的概率为0.8186，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．解：（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数═1×0.05+3×0.2+2×0.30+7×0.25+9×0.15+11×3.05＝5.8；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知X服从正态分布N（5.8，6.16），且σ＝≈2.5，（ii）由（i）知每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.7）的概率为0.8186，∴E（ξ）＝5000×0.8186＝4093．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）假设存在直线l，设方程为y＝kx+m，k≠0，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得AB中点坐标，写出AB的垂直平分线方程，把右焦点坐标代入，结合判别式大于0可得结论．解：（1）由已知可得，，解得a＝2，b＝1，c＝．∴椭圆C的方程为；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＝324k2m2﹣36（1+9k2）（m2﹣1）＞5，即9k2+1＞m2，设AB的中点坐标为M（x0，y0），∴M（﹣，），∵弦AB的垂直平分线过E的右焦点（，0），代入9k2+1＞m2，得，∴不存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导得f'（x）＝，易知（1+ax）（x+2）2＞0，于是分0＜a＜1和a≥1两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a≥1不符合题意，必有0＜a＜1，且x1、x2是方程ax2+4a﹣4＝0的两个不同实根，由函数的定义域可推出a∈（0，）∪（，1）；将f（x1）+f（x2）化简为ln（2a﹣1）2+﹣2；利用换元法构造新函数g（t）＝lnt2+﹣2，然后分﹣1＜t＜0和0＜t＜1两类讨论g（x）的单调性，并求出相应的最值即可得解．解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln（1+ax）﹣，∴f'（x）＝﹣＝．∴（1+ax）（x+2）2＞0，于是f'（x）的正负性由ax2+4a﹣4决定．②当4＜a＜1时，令ax2+4a﹣4＞0，得x＞，∴f'（x）＞8，f（x）单调递增；综上所述，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（x）存在两个极值点x1、x2，∵函数f（x）的定义域为（，﹣8）∪（﹣2，+∞），f（x1）+f（x2）＝ln（1+ax1）﹣+ln（1+ax2）﹣＝ln（8a﹣1）2﹣＝ln（2a﹣3）2+﹣2．设g（t）＝lnt2+﹣2，①当﹣1＜t＜5时，g（t）＝2ln（﹣t）+﹣2，∴g'（t）＝＝＜0，∴g（t）在（﹣1，0）上单调递减，即当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0，不符合题意．②当8＜t＜1时，g（t）＝2lnt+﹣2，∴g'（t）＝＝＜8，∴g（t）在（0，1）上单调递减，即当＜a＜8时，f（x1）+f（x2）＞0，符合题意．a的取值范围为（，1）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，利用互化公式可得直线l的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2＝|OR|•|OQ|，即可得出．解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝3．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，直线l的极坐标方程ρ＝．因为，∴ρ＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．【分析】解法一：（1）去掉绝对值符号，利用分类讨论思想求解不等式的解集即可．（2）要证成立，只需证成立，利用分析法证明求解即可．解法二：（1）作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）利用数形结合转化求解即可．（2）利用综合法转化求解证明成立．【解答】选修4﹣5：不等式选讲，满分（10分）．解法一：（1）因为f（x）＝|x﹣1|，所以，解得x≤﹣1或x∈∅或x≥3，所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．……………（4分）所以要证成立，即证，因为a＞0，b＞0，所以根据基本不等式成立，解法二：（3）因为f（x）＝|x﹣1|，作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）的图象（如下图）因为直线y＝2和函数g（x）图象的交点坐标为A（﹣1，4），B（3，2）．……………………………（4分）（2）a+b＝f（3）＝2，……………………………（4分）所以，，……………………………（8分）所以成立．……………………………（10分）。
2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(一)(含解析)
2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(一)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知I 为实数集，P ={x|x 2−2x <0}，Q ={y|y =2x +1,x ∈R}，则P ∩(∁I Q)=( )A. {x|0<x <1}B. {x|0<x ≤1}C. {x|x <1}D. ⌀2. 已知，函数f(x)=x 2−ax +b 在(−∞,1)是单调递减，函数g(x)=log a 1−x1+x ，当x 1，x 2∈(−1,1)且x 1+x 2>0时，g(x 1)+g(x 2)的值为( )A. 正数B. 负数C. 零D. 前面的结果都有可能3. 函数y =3−2sin 22x 的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π4. 观察下列等式：√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，…… 计算：√13+23+33+43+⋯+93的值为( )A. 37B. 45C. 55D. 665. 已知双曲线C ：x 227−y 29=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，若△POQ 为直角三角形，则|PQ|=( )A. 2B. 3C. 6D. 96. 已知点A ，B 分别在直线x =1，x =3上，O 为坐标原点，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.当|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 67. 若直线y =x +b 与曲线y =√4−x 2有两个交点，则实数b 的取值范围是( )A. (2,2√2)B. [2,2√2)C. (−2,2√2)D. (−2√2,2√2)8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中c =3，a =3√2，cosB =√24，则sinA =( ) A. 724B. 3√78 C. √24 D. √1449. 函数f(x)=√1−cos2x +cosx ，则f(x)的最大值是( )A. √3B. √2C. 1D. 210. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的十二条棱中，与面对角线AC 垂直且异面的棱的条数是( )A. 2B. 4C. 6D. 811.下列命题中正确的是()A. 若“p∨q”为真命题则“p∧q”为真命题B. .已知a，b，m∈R，命题“若am2<bm2，则a<b”的否命题．C. .l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l//α．D. .命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”12.若函数的图象在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是()A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知圆C：，圆心在抛物线上，经过点，且与抛物线的准线相切，则圆的方程为．14.已知复数z满足等式|z−1−i|=1，则|z−3|的最大值为______．15.设函数f(x)={x 2−2x+2,x≥0log2(x+2)+1,x<0，则f(f(−1))=______ ，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，则x1+x2+x3的取值范围是______ ．16.计算：=．设是纯虚数，其中是虚数单位，则．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为全等的正方形(边长为2)，侧视图为等腰直角三角形(直角边的长为2)，则该几何体的表面积是．已知满足，若目标函数的最小值是，则的值为．平面内两定点和，动点满足，动点的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①，使曲线E 过坐标原点； ②对，曲线E 与轴有三个交点；③曲线E 只关于轴对称，但不关于轴对称； ④曲线E 上与不共线的任意一点关于原点对称的另外一点为，则四边形的面积不大于 其中真命题的序号是 .(填上所有真命题的序号)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设等比数列{a n }的每一项都为正数，且a 1+a 2=12，a 3+a 4=18．(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设{a n }的前n 项和为S n ，若S n >58，求n 的最小值．18. 已知四棱锥P −ABCD 中底面四边形ABCD 是正方形，各侧面都是边长为2的正三角形，M 是棱PC 的中点．建立空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题： (1)求证：PA//平面BMD ；(2)求二面角M −BD −C 的平面角的大小．19.学校组织学生参加模块测试，测试后随机抽查部分学生的成绩，成绩的频率分布直方图如图5，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，低于60分的人数是6人(1)被抽查的学生有多少人？(2)从被抽查低于60分的6人中随机选取2人，求这2人在同一分数组的概率．20. 已知椭圆W 中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e =√32，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为1．(1)求椭圆W 的标准方程；(2)椭圆上一动点P(x 0,y 0)关于直线y =2x 的对称点为P 1(x 1,y 1)，求3x 1−4y 1的取值范围． (3)设椭圆W 的左右顶点分别为A 、B ，点S 是椭圆W 上位于x 轴上方的动点，直线AS 、BS 与直线l ：x =103分别交于M 、N 两点，求线段MN 的长度的最小值．21. 已知函数f(x)=ax 2−e x (a ∈R)，f′(x)是f(x)的导数(e 为自然对数的底数)．(Ⅰ)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (Ⅱ)若当x ≥0时，不等式f(x)≤−x −1恒成立，求实数a 的取值范围22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =sinθ+cosθy =sin2θ(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−√2．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离．23.设(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集是非空集合，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵Q={y|y=2x+1,x∈R}，∴y=2x+1>1，∴Q={y|y>1}．∵I为实数集，∴∁I Q={y|y≤1}．∵P={x|x2−2x<0}，∴P={x|0<x<2}．∴P∩(∁I Q)={x|0<x≤1}．故答案为：B．本题可以先对集合化简，再利用补集定义求出相应的补集，最后求出P∩(∁I Q)，得到本题结论．本题考查了集合的补集运算、集合的交集运算，本题难度不大，属于基础题．2.答案：B解析：解：根据题意，函数f(x)=x2−ax+b在(−∞,1)是单调递减，则有a2≥1，即a≥2，函数g(x)=log a1−x1+x ，有1−x1+x>0，解可得−1<x<1，即函数g(x)的定义域为(−1,1)，关于原点对称，又由g(−x)=log a1+x1−x =−loga a1−x1+x=−g(x)，即函数g(x)为奇函数，令t=1−x1+x =2x+1−1，则t为减函数，而y=log a t为增函数，故g(x)=log a1−x1+x定义在(−1,1)上的减函数，当x1，x2∈(−1,1)且x1+x2>0时，即x1>−x2，又由g(x)为减函数，则有g(x1)<g(−x2)=−g(x2)，则有g(x1)+g(x2)<0；故选：B．根据题意，由二次函数的性质分析可得a≥2，分析可得函数g(x)为奇函数，且在(−1,1)上是减函数，分析可得：若x1，x2∈(−1,1)且x1+x2>0时，即x1>−x2，结合g(x)的奇偶性与单调性可得g(x1)<g(−x2)=−g(x2)，变形可得g(x1)+g(x2)<0，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数g(x)=log a1−x1+x的奇偶性与单调性．3.答案：A解析：解：由题意可得：f(x)=2+cos4x，所以周期为T=2π4=π2．故选：A．先将函数运用二倍角公式化简为y=Asin(wx+φ)的形式，再利用正弦函数的性质可得答案．本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．一般都要把三角函数化简为y=Asin(wx+φ)的形式再解题．4.答案：B解析：本题考查归纳推理，属于中档题．由√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，……我们发现，等式左边都是从1开始，连续n个正整数的立方和的算术平方根，右边都是从1开始，连续n个正整数的和的形式．故我们可以由此推断出一般性结论．解：由已知中等式：√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，……归纳可得：等式左边都是从1开始，连续n个正整数的立方和的算术平方根，右边都是从1开始，连续n个正整数的和的形式．故√13+23+33+43+⋯+93=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，故选：B．解析：解：由对称性，不妨设点P 在第一象限，点Q 在第四象限，∠OPQ =90°， 如图所示： ∵双曲线C ：x 227−y 29=1，∴渐近线方程为：y =√33x ，∴∠POF =30°，又∵|OF|=6，∴|PF|=3，|OP|=3√3， 由对称性可知．∠POQ =60°，∴tan60°=|PQ||OP|，∴|PQ|=3√3×√3=9， 故选：D ．由对称性，不妨设点P 在第一象限，点Q 在第四象限，∠OPQ =90°，画出图形，因为渐近线方程为：y =√33x ，所以∠POF =30°，从而求出|PF|=3，|OP|=3√3，|PQ|=3√3×√3=9．本题主要考查了双曲线的定义，是中档题．6.答案：A解析：解：如图所示， 设A(1,s)，B(3,t)． ∵|OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4． ∴|(1,s)−(3,t)|=|(−2,s −t)|=√(−2)2+(s −t)2=4， ∴(s −t)2=12．|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|(4,s +t)|=√16+(s +t)2≥4，当且仅当s +t =0时取等号．因此|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值4时，s +t =0， ∴(−t −t)2=12，得到t 2=3． ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3+st =3−3=0．利用向量的坐标运算法则，及当|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值时，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出． 本题考查了向量的坐标运算法则、向量数量积的性质等基础知识，考查了计算能力，属于中档题．7.答案：B解析：解：曲线y =√4−x 2表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x 轴上边的部分，如图所示，当直线与半圆相切时，b =2√2，∴直线y =x +b 与曲线y =√4−x 2有两个交点，实数b 的取值范围是[2,2√2). 故选：B ．曲线y =√4−x 2表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x 轴上边的部分，结合图形，即可求出实数b 的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，属于中档题．8.答案：D解析：解：∵在△ABC 中，c =3，a =3√2，cosB =√24，∴b 2=a 2+c 2−2accosB =(3√2)2+32−2×3√2×3×√24=18，解得b =3√2． ∵B ∈(0,π)， ∴sinB =√1−cos 2B =√144． 由正弦定理可得：asinA =bsinB ， 可得：sinA =asinB b=3√2×√1443√2=√144．故选：D．利用余弦定理可得b，再利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：A解析：解：f(x)=√2sin2x+cosx=√2|sinx|+cosx=±√3sin(x+φ)≤√3，时取等号．可得f(x)的最大值是√3，当cosx=√33故选：A．f(x)=√2sin2x+cosx=√2|sinx|+cosx=±√3sin(x+φ)≤√3，即可得出最大值．本题考查了三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱有：BB1和DD1，∴与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是2．故选：A．作出图形，列举出与面对角线AC垂直且异面的棱．本题考查满足条件的棱的条数的求法，考查长方体的结构特征等基础知识，考查数形结合思想，是基础题．11.答案：D解析：解：对于A，若“p∨q”为真命题，可得p，q至少有一个为真命题，则“p∧q”不一定为真命题，故A错；对于B，已知a，b，m∈R，命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b，则am2<bm2”为假命题，比如m=0，逆命题不成立，由逆命题和否命题等价，可得否命题也为假命题，故B错；对于C，l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l//α或l⊂α，故C错；对于D，命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”，故D对．故选：D．运用复合命题的真值表，即可判断A；由四种命题和等价命题，即可判断B；运用线面平行和垂直的判定和性质，即可判断C；由全称命题的否定为特称命题，即可判断D．本题考查命题的真假判断，主要是复合命题的真值表和四种命题的真假和关系、命题的否定和线面的位置关系的判断，考查判断能力，属于基础题．12.答案：D解析：试题分析：当且时，则有，且函数在区间上恰有一个极大值和一个极小值，则有且有，解得，故选D．考点：三角函数的极值13.答案：．解析：试题分析：抛物线的准线为，所以；又该圆经过点，所以；圆心在抛物线上，所以，联立解方程组得.所以所求圆的方程为．考点：圆与抛物线．14.答案：√5+1解析：解：|z−1−i|=1的几何意义为复平面内动点到定点(1,1)距离为1的点的轨迹，如图：由图可知，|z−3|的最大值为√(3−1)2+(0−1)2+1=√5+1．故答案为：√5+1．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．15.答案：1 (1,2)解析：解：函数f(x)={x 2−2x +2,x ≥0log 2(x +2)+1,x <0，所以f(−1)=log 21+1=1，则f(f(−1))=f(1)=1−2+2=1；作出函数f(x)的图象如图所示，因为互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)， 不妨设x 1<x 2<x 3，当x ≥0时，f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1，图象的对称轴为x =1，所以x 2+x 3=2，当x =1时，f(x)=1，令log 2(x +2)+1=1，解得x =−1， 由图象可知−1<x 1<0，所以则x 1+x 2+x 3的取值范围是(1,2)． 故答案为：1；(1,2)．先求出f(−1)，再求解f(f(−1))即可；作出函数f(x)的图象，利用二次函数的对称性得到x 2+x 3=2，由对数的运算以及函数图象可得−1<x 1<0，求解即可．本题考查了分段函数的综合应用，分段函数的求值问题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，分段函数问题的一般解题方法是：数形结合法以及分类讨论法，属于中档题．16.答案：【小题1】 6【小题2】1【小题3】 【小题4】【小题5】①④解析： 11、考查的对数运算性质，需熟记公式．解：，故答案为6．12、考查复数的定义，理解纯虚数的定义，需实部为0，虚部不为0．解：由题得：a²−1=0且a+1≠0解得：a=1．故答案为1．13、考查空间几何体的三视图，关键是通过观察与想象还原得出原几何体．解：通过观察得知，原几何体是一个三棱柱，面ADFC⊥面ABED，，且四边形ADFC，ABED均为全等正方形.△ABC，△DEF均为等腰三角形.如图所示：．故答案为．14、考查的线性规划.先根据不等式组作出可行域，由题意分析z=y−x的最小值为4，应该在哪个点取得，求出k．解：作出不等式组表示的可行域如下图中的三角形ABC及其内部(图中阴影部分)：由z=y−x，得y=x+z，做直线l:y=x，平移直线l，可知当l经过点B(，0)时，y=x+z截距最小，z取得最小值．故有：−4=0−().解得．故答案为．15、由平面内两定点M(0,−2)和N(0,2)，动点P(x,y)满足||⋅||=m(m≥4)，得.对选项进行分析，即可得出结论．解：由平面内两定点M(0,−2)和N(0,2)，动点P(x,y)满足||⋅||=m(m≥4)，得①(0,0)代入，可得m =4，∴①正确；②令y =0，可得x2+4=m ，∴对于任意m ，曲线E 与x 轴有三个交点，②不正确； ③曲线E 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称，故③不正确；④曲线E 上与M 、N 不共线的任意一点G 关于原点对称的点为H ，则四边形GMHN 的面积为2S △MNG =|GM||GN|sin∠MGN ≤m ，∴四边形GMHN 的面积最大为不大于m ，④正确． 故答案为①④．21.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q >0，由题意，得a 1(1+q)=12，a 1q 2(1+q)=18， 联立解得a 1=13，q =12． ∴a n =13×(12)n−1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：S n =13(1−12n )1−12=23(1−12n )，由23(1−12n )>58，得2n >16，解得n >4． ∴n 的最小值为5．解析：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q >0，由题意，得a 1(1+q)=12，a 1q 2(1+q)=18，联立解得a 1，q.即可得出a n ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：S n =23(1−12n )，由23(1−12n )>58，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：证明：(1)连结AC 、BD 交于点O ，连结OP ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ∵PA =PC ，∴OP ⊥AC ， 同理OP ⊥BD ，以O 为原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ，P(0,0,√2),A(√2,0,0),B(0,√2,0),M(−√22,0,√22)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−√2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,0),OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,√22)， 设平面MBD 的法向量为n⃗ =(x,y,1) {√2y =0,−√22x +√22=0,⇒{y =0,x =1, 所以平面BMD 的法向量为n⃗ =(1,0,1)， ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，又PA ⊄平面BMD ， ∴PA//平面BMD ．解：(2)平面ABCD 的法向量为a ⃗ =(0,0,1)， 二面角M −BD −C 的平面角为α， 则cosα=√2=√22，α=45°，∴二面角M −BD −C 的平面角45°．解析：(1)连结AC 、BD 交于点O ，连结OP ，以O 为原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能证明PA//平面BMD ．(2)求出平面ABCD 的法向量和平面MBD 的法向量，利用向量法能求出二面角M −BD −C 的平面角．本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．23.答案：解：(1)由频率分布直方图知低于60分的频率为：0.005×20+0.01×20=0.3，∴被抽查的学生有6÷0.3=20(人)．(2)由(1)知，[20,40)分数组的学生有20×(0.005×20)=2(人)，[40,60)分数组的学生有4人，记这6人分别为a1、a2，b1、b2、b3、b4(a、b表示不同分类组)，从中随机选取2人，不同的选法有a1a2、a1b1、a1b2、a1b3、a1b4、a2b1、a2b2、a2b3、a2b4、b1b2、b1b3、b1b4、b2b3、b2b4、b3b4，共15种，2人在同一分数组的选法有a1a2、b1b2、b1b3、b1b4、b2b3、b2b4、b3b4，共7种，∵不同选法等可能，∴2人在同一分数组的概率P=715．解析：本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．(1)由频率分布直方图求出低于60分的频率，由此利用已知条件能求出被抽查的学生人数．(2)由(1)知，[20,40)分数组的学生有2人，[40,60)分数组的学生有4人，由此能求从被抽查低于60分的6人中随机选取2人，求这2人在同一分数组的概率．24.答案：解：(1)椭圆W中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=√32，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为1．∴ca =√32，并且2b2a=1，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=√3，∴椭圆W的标准方程：x24+y2=1(2)∵点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1,∴{y0−y1x0−x1×2=−1y0+y12=2×x0+x12，解得：x1=4y0−3x05，y1=3y0+4x05．∴3x1−4y1=−5x0．∵点P(x0,y0)在椭圆C：x24+y2=1上，∴−2≤x0≤2，则−10≤−5x0≤10．∴3x1−4y1的取值范围为[−10,10]．(3)直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为y =k(x +2)， 从而M(103,163k)．由{y =k(x +2)x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0． 设S(x 1,y 1)，则(−2)⋅x 1=16k 2−41+4k2得x 1=2−8k 21+4k2，从而y 1=4k1+4k 2． 即S(2−8k 21+4k 2,4k 1+4k 2)，又B(2,0)由{y =−14k ( )x −2x =103得{x =103y =−13k ，∴N(103,−13k)， 故|MN|=|16k 3+13k|，又k >0，∴|MN|=163k +13k ≥2√16k 3⋅13k =83.当且仅当16k 3=13k，即k =14时等号成立 ∴k =14时，线段MN 的长度取最小值83．解析：(1)依题意知，e =√32，椭圆的通经为1，由此可求出椭圆C 的方程．(2)点P(x 0,y 0)关于直线y =2x 的对称点为P 1(x 1,y 1，由题设条件能推出3x 1−4y 1=−5x 0.再由点P(x 0,y 0)在椭圆W ：x 24+y 2=1上，能够铁推出3x 1−4y 1的取值范围．(3)设直线AS 的方程为y =k(x +2)，从而M(103,163k).由题设条件可以求出N(103,−13k)，所以|MN|=|163k +13k|，再由均值不等式进行求解．本题考查椭圆的基本性质及其应用，考查椭圆与直线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．25.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=x 2−e x ，f′(x)=2x −e x ，则f(0)=0−e 0=−1，f′(0)=0−e 0=−1，所以切线方程为：y +1=−1(x −0)，即x +y +1=0；(Ⅱ)当x ≥0时，f(x)≤−x −1恒成立，即：ax 2−e x +x +1≤0在[0,+∞)上恒成立， 设g(x)=ax 2−e x +x +1，则g′(x)=2ax −e x +1， 令ℎ(x)=2ax −e x +1，x ≥0， 则ℎ′(x)=2a −e x ． ①当a ≤12时，2a ≤1，此时e x ≥e 0=1，则ℎ′(x)≤0，当且仅当a =12，x =0时等号成立，可知g′(x)在[0,+∞)上单调递减，则g′(x)≤g′(0)=0， 所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，所以g(x)≤g(0)=0，即f(x)≤−x −1恒成立， 所以a ≤12满足题意; ②当a >12时，令ℎ′(x)=0，解得：x =ln2a ， 当x ∈(0,ln2a)时，ℎ′(x)>0，则g′(x)单调递增， 此时g′(x)>g′(0)=0，则g(x)在(0,ln2a)上单调递增， 所以g(x)>g(0)=0，即当x ∈(0,ln2a)时，f(x)>−x −1， 即f(x)≤−x −1不恒成立，可知a >12不合题意 综上所述，a ∈(−∞,12]．解析：本题考查了导数的几何意义和导数中的恒成立问题，属于难题．(Ⅰ)对f(x)求导，求出切线的斜率k =f′(0)和f(0)，然后用点斜式写出曲线的切线方程； (Ⅱ)构造函数g(x)=ax 2−e x +x +1，然后对a 进行分类讨论即可求解．26.答案：解：(Ⅰ)∵曲线C 1的参数方程为{x =sinθ+cosθy =sin2θ(θ为参数)，∴x 2=(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=1+y ，∴曲线C 1的普通方程为：y =x 2−1，x ∈[−√2,√2].…………(3分) ∵曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−√2， ∴√22ρ(sinθ+cosθ)=−√2，∴曲线C 2的直角坐标方程x +y +2=0.………(5分) (Ⅱ)直线C 2：x +y =−2，设C 1(x 0,x 02−1)，|x 0|≤√2，则d =020√2=(x +12)2+34√2≥3√28， 当x 0=−12时取等号，满足|x 0|≤√2，所以曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离为3√28.…………(10分)解析：(Ⅰ)曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程转化为√22ρ(sinθ+cosθ)=−√2，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．(Ⅱ)直线C2：x+y=−2，设C1(x0,x02−1)，|x0|≤√2，则d=(x+12)2+34√2≥3√28，由此能求出曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离．本题考查曲线的普通方程和直角坐标方程的求法，考查两曲线上的动点的距离的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．27.答案：(1)(2)解析：试题分析：(1)转化为时；当时；当时，综上可知解集为(2)函数整理为，函数值域，考点：绝对值不等式与分段函数点评：求解绝对值不等式的通常思路是分情况去掉绝对值符号，将其转化为多个一般不等式，求解一般不等式然后求其交集，。
2020届陕西省西安市高三年级第一次质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届陕西省西安市高三年级第一次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|||1}A x x =<，{|lg 0}B x x =<则A B =I （ ） A ．(,1)-∞ B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,1)-【答案】B【解析】根据绝对值不等式的解法以及对数不等式的解法，结合交集的概念，可得结果. 【详解】由题得{|11}A x x =-<<，{|01}B x x =<<， 所以(0.1)A B ⋂=， 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式，对数不等式的解法，还考查交集的概念，属基础题. 2．若i 为虚数单位，则1ii-=（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．1i --D ．1i -【答案】C【解析】根据复数的除法、乘法运算法则，可得结果. 【详解】1111i ii i -+==--- 故应选：C 【点睛】本题主要考查复数的运算，属基础题.3．已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b k =-r ，若a r 与b r共线，则|3|a b +=r r （ ）A ．3B ．4C D ．5【答案】C【解析】根据向量共线的坐标表示，可求得k ，进一步可得3a b +r r，最后利用向量模的坐标表示，可得结果.∵a r 与b r共线∴12(2)04k k ⨯-⨯-=⇒=-，∴3(1,2)a b +=r r ，|3|a b +=r r故应选：C 【点睛】本题主要考查向量共线以及向量模的坐标表示，属基础题.4．6x⎛ ⎝展开式中含3x 项的系数为（ ）A ．60-B ．60C ．120-D ．120【答案】B【解析】利用二项式的通项公式1rr n r r n T C x -+⎛= ⎝，可得结果【详解】616rr r r T C x -+⎛= ⎝，即()362162r rrr TC x-+=-令36322rr -=⇒= 3x 项的系数为226(2)60-=C .故选：B 【点睛】本题主要考查二项式的通项公式的应用，属基础题.5．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程ˆ2yx a =-+，预测当气温为-4℃时用电量度数为（ ） A ．68B ．67C ．65D ．64【解析】根据回归直线方程过样本中心点(),x y ，计算出,x y 并代入回归直线方程，求得a 的值，然后将4x =-代入回归直线方程，求得预测的用电量度数. 【详解】 解：()1813101104x +++-==，24343864404y +++==，2402060a y x =+=+=，线性回归方程为：260y x =-+$， 当4x =-时，86068y =+=$， 当气温为4C -o 时，用电量度数为68， 故选A ． 【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点(),x y ，考查方程的思想，属于基础题. 6．若，且满足，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】通过反例可依次排除选项；根据不等式的性质可判断出正确.【详解】 选项：若，，则，可知错误； 选项：若，，则，可知错误； 选项：又，可知正确；选项：当时，，可知错误.本题正确选项： 【点睛】本题考查不等式性质的应用，解决此类问题通常采用排除法，利用反例来排除错误选项即可，属于基础题.7．设,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面.给定下列命题：①//m n n m αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭②l m l n l m n αα⊥⋅⊥⎫⇒⊥⎬⋅⊂⎭③//m a m αββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭④////m n m n αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭⑤l l ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭其中为假命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】采用排除法，结合线面垂直，面面垂直，面面平行，线面平行的判定定理以及面面平行的性质定理，可得结果. 【详解】对于①，是错误的，//m n n m αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭，n 可以在平面α内： 对于②，是错误的，根据线面垂直的判定定理知，当一条直线和面内 两条相交直线垂直的时候，才能推出线面垂直； 对于③根据面面平行的判定定理的推论知其结果正确； 对于④直线m 和n 可以是异面直线.故错误； 对于⑤根据而面垂直的判定定理得到其正确. 故应选：C . 【点睛】本题考查线线，面面，线面位置关系，属基础题.8．经过点2(4)P -，的抛物线的标准方程是（ ） A ．2y x =或2x y = B ．2y x =或28x y = C ．2x y =或28y x =- D ．2y x =或28x y =-【答案】D【解析】由于点()4,2P -在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向上．故可设抛物线的标准方程为22y px =或22x my =-，把点()4,2P -代入方程可得p 或者m 的值，即得抛物线方程．【详解】由于点()4,2P -在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向上． 故可设抛物线的标准方程为22y px =，或22x my =-， 把点()4,2P -代入方程可得12p =或 4m =， 故抛物线的标准方程2y x =或28x y =-，故选D ．【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查抛物线的标准方程以及简单性质的应用，可设抛物线的标准方程为22y px =或22x my =-，考查计算能力，是简单题． 9．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断错误的是（ ）A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C【解析】由三角函数的图象变换，得到()g x 的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐一判定，即可得到答案。
陕西省西安市八所重点中学2021-2022学年高三上学期联考(一)理科数学试题
由①得 ，由②得 ，由③得 ，由④ .
∴不等式 得解集为 或 .
所以不等式 的解集为 或 .
由
所以满足 的正整数n的最小值是9
故答案为：9
15．4
【分析】
设 ，联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，再利用韦达定理求出 即得解.
【详解】
解：由题得 ，所以抛物线的焦点 .
所以直线 的方程为 ，
设 ，联立方程得 ，所以 ，
所以 .
由题得线段 的中点到抛物线C的准线的距离是 ,
.
故答案为：4
16． ##
化简集合 即得解.
【详解】
解：由题得集合 ，
所以 .
故选：A
3．C
【分析】
根据复数的除法运算，即可求出结果.
【详解】
， .
故选：C.
4．B
【分析】
根据 求出正方形边长，利用面积之比即可求出.
【详解】
由题可得 ，所以 ，
设正方形的边长为 ，则 ，解得 （舍负），
则豆子落在正方形 区域内的概率 .
故选：B.
（2）由条件 可求出角 的值，然后通过分类讨论，利用余弦定理可求出 的值，从而根据公式 即可求出答案.
（1）
.
∵ 的最小正周期是 ，∴ ，又因为 ，所以 .
（பைடு நூலகம்）
由（1）得 .
所以由 ，得 ，又因为 ，所以 .
∴ 或 ，即 或 .
①当 时，由余弦定理得 ，
又因为 ，
∴ ，得 .
∴ ；
②当 时，同理，由余弦定理得 ，
∴ .
综上所述，当 时， ；当 时， .
18．
（1） ；
（2） .
2021年高三数学上学期第一次八校联考试题 理
232021年高三数学上学期第一次八校联考试题 理考试时间：xx 年12月7日下午15:00—17:00 试卷满分150分 考试用时120分钟注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合22{230},{log (1)2}A x x x B x x =--≥=-<，则A ．B ．C ．D ． 2．命题“若，则”的否命题为A ．若，则且B ．若，则或C ．若，则且D ．若，则或3．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．函数则A ．B ．C ．D ． 5．等差数列前项和为，且，则数列的公差为A ．B ．C ．D ． 6．若 ，则的大小关系A ．B ．C ．D ． 7．已知，则A ．B ．C ．D ．8．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的第16题图第19题图第18题图 体积等于A ．B ．C ．D ．9．已知函数的周期为，若将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则实数的最小值为A ．B ．C ．D ．10．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，点P 是△CDE 内(包括边界)的一个动点， 设，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．11．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为A ．B ．C ．D ． 12．关于函数，下列说法错误的是 A ．是的极小值点B ．函数有且只有1个零点C ．存在正实数，使得恒成立D ．对任意两个正实数，且，若，则第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知平面直角坐标系中，，，则向量在向量的方向上的投影是________． 14．若函数，为偶函数，则实数_________．15．设实数x ，y 满足约束条件则的最大值为________． 16．如图所示，已知中，，，为边上的一点， 为上的一点，且，则________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在等比数列中，． (Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，且为递增数列，若，求证：．18．(本小题满分12分)如图，中，三个内角、、成等差数列，且． (Ⅰ)求的面积； (Ⅱ)已知平面直角坐标系，点,若函数()sin()(0,0,)2f x M x M π=ω+ϕ>ω>ϕ<的图象经过、、三点，且、为的图象与轴相邻的两个交点，求的解析式．19． (本小题满分12分)如图，已知长方形中，，，为的中点．将沿折起，使得平面⊥平面． (Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若点是线段上的一动点，问点在何位置时， 二面角的余弦值为．第10题图第8题图第22题图20． (本小题满分12分)小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，x 轴在地平面上的球场中轴线上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．(Ⅰ)求发射器的最大射程；(Ⅱ)请计算在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标最大为多少？并请说明理由．21． (本小题满分12分)已知函数．(Ⅰ)若直线与的反函数的图象相切，求实数k 的值；(Ⅱ)设，且()()()(),,,,22f a f b f a f b a b a b A f B C a b +-+⎛⎫≠===⎪-⎝⎭试比较三者的大小，并说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲如图，是圆的直径，点在弧上，点为弧的中点，作于点，与交于点，与交于点． (Ⅰ)证明：； (Ⅱ)若，求圆的半径．23．(本小题满分10分)选修4-4极坐标与参数方程已知曲线的极坐标方程为,将曲线（为参数）经过伸缩变换后得到曲线．(Ⅰ)求曲线的参数方程； (Ⅱ)若点在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值．24．(本小题满分10分)选修4-5不等式证明选讲 已知函数，且满足（）的解集不是空集．(Ⅰ)求实数的取值集合； (Ⅱ)若求证：．第20题图 图1图2湖北省 八校 xx 届高三第一次联考 数学试题（理科）参考答案一、选择题 ADBAB DCCDB AC 二、填空题 10 三、解答题 17. （1）时，； ………………2分 时， ………………4分 （2）由题意知： ………………6分 ∴∴ ………………8分 ∴111111()2(2n 2)4(n 1)41n c n n n n ===-⋅+⋅++ ………………10分∴ ………………12分18. （1）在△ABC 中， ………………1分 由余弦定理可知：………………2分 ∴………………4分 又∵125(522ABCS∴=+⨯=. ………………6分 (2)T=2×（10+5）=30,∴ ………………8分 ∵ ， ，。
陕西省2021届高三上学期八校联考数学试题
高三数学试题（理科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：高考全部内容（除计数原理、概率、随机量变及其分布、统计与统计案例）.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}13A x x =-≤，{}2450B x x x =--≤，则A B =（ ）A. {}21x x -≤≤- B. {}14x x -≤≤ C. {}25x x -≤≤D. {}45x x ≤≤2. 若复数()()31z a i a R =+-∈在复平面内对应的点在直线2y x =+上，则a =（ ） A. 1B. 2C. 5D. 63. 命题“对任意0x >，都有0x x e +>”的否定为（ ） A. 对任意0x >，都有0x x e +≤ B. 对任意0x ≤，都有0x x e +≤ C. 存在0x >，使得0x x e +≤D. 存在0x ≤，使得0x x e +≤4. 已知函数2,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，则不等式()()265f x f x ->的解集是（ ）A. ()(),61,-∞-+∞B. ()(),16,-∞-+∞C. ()1,6-D. ()6,1-5. 若实数x ，y 满足约束条件3020380x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则z x y =+的取值范围为（ ）A. []1,5-B. []1,2-C. [)5,+∞D. [)2,+∞6. 已知O 为ABC △所在平面内一点，若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，6AB =，4AC =，则AO BC ⋅=（ ）A. -5B. -10C. 10D. 57. 在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线1A M 与BN 所成角的正切值为（ ）A.B. 1C.D.8. 下列函数图象不可能是函数()()xf x x eZ αα=∈的图象的是（ ）A.B. C. D.9. 已知p ：201x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，q ：{}0B x x a =-<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. (),1-∞D. (],1-∞10. 如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则621mx nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A. 15B. -15C.1354D. 1354-11. 如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A ，B ，C 点，令1AF BF λ=，2BC BFλ=，则当3πα=时，12λλ+的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 612. 已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，若存在120x x π≤<≤，满足()()1234f x f x ==，则()12cos x x -=（ ）A. -B.34C.D. 34-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，52a =-，816a =，则6S =________.14.)44d x x -=⎰________.15. 已知113k ≤<，函数()311x k f x k =--+的零点分别为()1212,x x x x <，函数()3121x kg x k =--+的零点分别为()3434,x x x x <，则()()4321x x x x -+-的最小值为________.16. 已知双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是双曲线C 左支上的点，12MF F △的周长是9，动点P 在双曲线C 的右支上，则1MF P △面积的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22212a cb ac +-=. （1）求2sin cos 22A CB ++的值； （2）若2b =，求ABC △面积的最大值. 18. 已知数列{}n a 中，11a =，()*13nn n a a n N a +=∈+. （1）证明：数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列.（2）若数列{}n b 满足()312n n n nn b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC AA ===，AC =点D ，E 分别为AC 和11B C 的中点.（1）棱1AA 上是否存在点P ，使得平面PBD ⊥平面ABE ？若存在，求出PA 的长，并证明你的结论﹔若不存在，请说明理由.（2）求二面角A BE D --的余弦值.20. 已知中心为坐标原点的椭圆C的一个焦点为)F，且经过点1,2M ⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）若不经过点F 的直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切，试探究ABF △的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由. 21. 已知函数()ln f x x =.（1）设函数21()(2)2()2t x x a x af x =-++，讨论()t x 的单调性. （2）函数()3()0g x xx =>的图象在点P 处的切线为l ，是否存在这样的点P 使得直线l 与曲线()y f x =也相切？若存在，判断满足条件的点P 的个数；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，点P 是曲线1C ：112x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数）上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 3cos ρθθ=-.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值以及取得最小值时P 的直角坐标. 23. [选修4—5：不等式选讲] 设函数()2()0f x x x a a a=-++>. （1）证明：()f x ≥（2）当()0,1x ∈时，()3f x ≤恒成立，求a 的取值范围.高三数学试题参考答案（理科）一、选择题1. B 依题意可得{}24A x x =-≤≤，{}15B x x =-≤≤，所以{}14AB x x =-≤≤，故选B.2. D 复数()31z a i =+-在复平面内对应的点()3,1a -在直线2y x =+上，132a -=+，6a =，故选D.3. C 命题的否定为存在0x >，使得0xx e +≤，故选C.4. D 由题知函数()f x 在R 上单调递增，则265x x ->，解得61x -<<，故选D.5. D 画出满足条件的平面区域，如图所示，作出直线0x y +=并平移.易知目标函数z x y =+在点A 处取得最小值，没有最大值.联立30380x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩.此时2x y +=，所以z x y =+的取值范围为[)2,+∞，故选D.6. B 由已知得，()()()()0OA OB OB OA OB OC OC OB +⋅-=+⋅-=22220OB OA OC OB OA OB OC ⇔-=-=⇔==，则O 为ABC △的外心.设OD AB ⊥，OE AC ⊥，垂足分别为D ，E （图略）.根据两个向量数量积的几何意义，可知()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-10AO AC AO AB AE AC AD AB =⋅-⋅=⋅-⋅=-，故选B.7. C 如图，取1AA 的中点P ，连接PN ，PB .由直三棱柱的性质可知1//A M PB ，则PBN ∠为异面直线1A M 与BN 所成的角（或其补角）.设三棱柱的棱长为2，则PN =，PB =，BN =222PN BN PB +=，所以90PNB ∠=︒.在Rt PBN △中，tanPN PBN BN ∠===，故选C.8. C 对于A ，图象中函数的定义域为R ，函数是偶函数，则当α为正偶数时，满足对应图象；对于B ，图象中函数的定义域为{}0x x ≠，函数是偶函数，则当α为负偶数时，满足对应图象；对于C ，图象中函数的定义域为R ，函数是奇函数，且为增函数，递增的速度越来越慢，没有符合条件的α；对于D ，图象中函数的定义域为R ，函数是奇函数，且为增函数，递增的速度越来越快，则当α为正奇数时，满足对应图象.故选C.9. D ∵()(){}{}210121A x x x x x x x =--≥≠=≥<且或，{}B x x a =<，又p 是q 的必要不充分条件，∴BA .由数轴可得1a ≤，故选D.10. A 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，所以圆柱的体积23122V R R R ππ=⨯=，球的体积3243V R π=，所以313223423V R m V R ππ===.又圆柱的表面积为2212226S R R R R πππ=⨯+=，球的表面积为224S R π=，所以21226342S R n S R ππ===，1m n =，662211m x x nx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常数项为()42426115x Cx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 11. C 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124162sin 603x AB x =++==︒，12103x x +=.又21214p x x ==，可得13x =，213x =，所以1313113AF BF λ+===+=. 同理可得22BC BFλ==，所以125λλ+=.12. B 由图象知函数的周期13721212T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，2ω=， 713551212sin 21266f f ππππϕ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫==⨯+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，∴53232k ππϕπ+=+， 即26k πϕπ=-，k Z ∈.∵ϕπ<，∴6πϕ=-，()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵条件存在120x x π≤<≤，满足()()1234f x f x ==， ∴1112666x πππ-≤-≤，则1126x πθ=-，2226x πθ=-关于2π对称， 即12226622x x πππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，得2123x x π=-，且13sin 264x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()1212cos cos 23x x x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭.设126x πα-=，则126x πα=+，即3sin 4α=， 则()121223cos cos 2cos sin 3634x x x πππαα⎛⎫⎛⎫-=-=+-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 二、填空题 13.218∵{}n a 为等比数列，∴385a a q =，∴31682q ==--，∴2q =-.∵451a a q =，∴121168a -==-，∴()661611(2)12181128a q S q ⎡⎤----⎣⎦===-+. 14. 8π因为)44444d d x x x x x ---=-⎰⎰⎰，而4x -⎰由定积分的几何意义知其为半径为4的半圆，面积为8π，42444d 02x x x --==⎰，所以48x π-=⎰.15. 35log 2 因为12x x <，所以113111x k k k =-=++，2213111xk k k k +=+=++. 又因为34x x <，所以33121x k k =-+，43121xk k =++，所以21321x xk -=+，433131x x k k -+=+，所以()()4321(21)(31)31x x x x k k k -+-++=+.令1k t +=，4,23t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1k t =-，所以(21)(31)(21)(32)2671k k t t t k t t++--==+-+.设2()67h t t t =+-，4,23t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则222262'()60t h t t t -=-=>，()h t 在4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以5(),62h t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()()432153,62x x x x -+-⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故()()4321335log ,log 62x x x x ⎡⎫-+-∈⎪⎢⎣⎭.16. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭∵M 是双曲线C 左支上的点，∴212MF MF -=.∵12MF F △的周长是9， ∴21129MF MF F F ++=.∵124F F =，∴132MF=，272MF =.设()00,M x y ，则132MF ===，解得054x =-，0y =.根据双曲线的对称性，不妨取0y =，则54M ⎛-⎝⎭，∴1MF k =1MF 的方程为)2y x =+.∵直线1MF 与渐近线y=平行，∴双曲线C的右支上任意一点到直线1MF的距离都大于两平行线间的距离，即都大11124MF PMS F>=△.三、解答题17. 解：（1）在ABC△中，由余弦定理可知2222cosa cb ac B+-=，由题意知22212a cb ac+-=，∴1cos4B=.又在ABC△中，A B Cπ++=，∴22sin cos2sin cos222A C BB Bπ+-+=+ 2221cos cos1cos cos22cos12cos2222B B BB B B+=+=+-=+-.又1cos4B=，∴21sin cos224A CB++=-.（2）∵2b=，22212a cb ac+-=，∴22142a c ac+-=，即1242ac ac≥-，∴83ac≤.∵1cos4B=，∴sin B=∴118sin22343ABCS ac B=⋅≤⨯⨯=△，∴ABC△面积的最大值为3.18.（1）证明：由()*13nnnaa n Na+=∈+，知11111322n na a+⎛⎫+=+⎪⎝⎭，又111322a+=，∴112na⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列.（2）解：由（1）知111333222nnna-+=⨯=，∴231n na=-，12n nnb-=.0122111111123(1)22222n n nT n n--=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，121111112(1)22222nn nTn n-=⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得012111111222222222nn n nT nn-+=++++-⨯=-，∴1242n n n T -+=-. 19. 解：（1）存在点P 满足题意，且34PA =. 证明如下：如图，取11A C 的中点F ，连接EF ，AF ，DF ， 则11////EF A B AB ，∴AF ⊂平面ABE . ∵AB BC =，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥.在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11A ACC ，且交线为AC ， ∴BD ⊥平面11A ACC ，∴BD AF ⊥. 在平面11A ACC内，∵2AP AD AD DF ==，90PAD ADF ∠=∠=︒， ∴Rt PAD Rt ADF △△，从而可得AF PD ⊥.又∵PDBD D =，∴AF ⊥平面PBD .∵AF ⊂平面ABE ，∴平面PBD ⊥平面ABE .（2）如图，以D 为坐标原点，以DB ，DC ，DF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 易知()0,0,0D ，1,0,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，0,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴14BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，12AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02DB ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，则10441022m BE x y z m AB x y ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩， 取2y =，得(2m =-，同理可求得平面BDE 的一个法向量为(0,4,n =， 则c 111912os ,m n m n m n⋅===，由图可知二面角A BE D --为锐角，∴其余弦值为1119.20. 解：（1）设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，由题可知另一个焦点为()'F .由椭圆的定义可知42'F aMF M ===+， 所以2a =.因为c =222b a c =-，所以1b =， 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）因为直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得 ()222418440k x kmx m +++-=，所以()2221641480k m k ∆=-+=>，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+. 所以AB ==， 又221m k =+，所以A B =.因为A F =122x ==-，同理22F x B =，所以()1242F F x A B x =-++2284424141km k k =+=+++，所以22444141k AF BF k AB ++=+-=++， 故ABF △的周长为定值4.21. 解：（1）因为21()(2)2ln 2t x x a x a x =-++， 所以2(2)()'()(2)a x x a t x x a x x --=-++=. 所以①当0a ≤时，()t x 在(]0,2上为减函数，在[)2,+∞为增函数；②当02a <<时，()t x 在(]0,a 上为增函数，在[],2a 上为减函数，在[)2,+∞上为增函数； ③当2a =时，()t x 在()0,+∞上为增函数；④当2a >时，()t x 在(]0,2上为增函数，在[]2,a 上为减函数，在[),a +∞上为增函数.（2）设()()3000,0P x x x >. 因为2'()3g x x =，所以()200'3g x x =，所以直线l 的方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-①. 假设直线l 与()f x 的图象也相切，切点为()11,ln x x . 因为1'()f x x=，所以()111'f x x =， 所以直线l 的方程也可以写为()1111ln y x x x x -=-. 又因为20113x x =，即12013x x =， 所以直线l 的方程为20220011ln 333y x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即20032ln ln 31y x x x =---②. 由①②得3002ln ln 312x x ---=-，即30022ln 1ln 30x x ---=.令()()3000022ln 1ln300m x x x x =---=>， 所以()20002'6m x x x =-.令()20002'60m x x x =-≥，得0x ≥ 所以()0m x在⎛ ⎝]单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递增， 所以()0min 121ln 33m x m ==⨯--11ln 3033=--<. 又因为当0x →时，()0m x →+∞；当x →+∞时，()0m x →+∞.所以()300022ln 1ln30m x x x =---=在()0,+∞有且只有两个实数根. 故存在这样的点P 使得直线l 与函数()f x 的图象也相切，这样的点P 有且只有两个.22. 解：（1）由1C ：112x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩消去参数t ，得到22221142y x t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴1C ：221416x y -=，∴2C ：sin 3cos 2ρθρθ-=，∴32y x -=. （2）设11,2P t t t t ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则P 到直线2C ：32y x -=的距离为d ，d PQ ==≥∵522t t ++≥，522t t++≤-，∴PQ ≥，此时t =,55P ⎛-- ⎝⎭. 23.（1）证明：因为0a >，所以()22()f x x x a x x a a a=-++≥--+， 所以2()f x a a ≥+.因为0a >，2a a+≥()f x ≥ （2）解：因为0a >，所以当()0,1x ∈时，2()3f x x x a a =-++≤， 即233x a x x a a+-≤-≤--恒成立，所以23223aaaa⎧-≤-⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩，解得12a≤≤.综上，a的取值范围是[]1,2.。
陕西省西安交大附中、龙岗中学2021届高三上学期第一次联考数学(理)试题
陕西省西安交大附中、龙岗中学2021届高三上学期第一次联考数学（理）试题一、选择题 本大题共12道小题。
1.下列说法正确的是（ ）A. 若“p 且q ”为真命题，则,p q 中至少有一个为真命题B. 命题“2000,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”C. 命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆否命题为真命题D. 命题“若21a =，则1a =”的否命题为“若21≠a ，则1a ≠”答案及解析：1.D 【分析】由复合命题的真假性及真值表，即可判断选项A ；由存在性命题的否定为全称命题，即可判断选项B ；先判断原命题的真假，再由互为逆否命题等价，即可判断选项C ；由命题的否命题，即对条件否定，又对结论否定，即可判断选项D ；【详解】对于选项A ：若“p 且q ”为真命题，则,p q 都为真命题，故选项A 不正确；对于选项B ：命题“2000,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+-≥”，故选项B 不正确；对于选项C ：由于正弦函数具有周期性，所以命题“若sin sin x y =，则x y =”为假命题，则它的逆否命题也是假命题；故选项C 不正确；对于选项D ：一个命题的否命题是将条件和结论同时否定，命题“若21a =，则1a =”的否命题为“若答案第2页，总27页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………21≠a ，则1a ≠”，故选项D 正确；故选：D【点睛】本题主要考查了符合命题的真假以及四大命题的形式和真假判断，注意命题的否定和否命题的区别，属于基础题. 2.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段1AC 上有两个动点E 、F ，且3EF =，给出下列四个结论错误的选项是（ ）A. CE BD ⊥B. 点C 到平面BEF 2C. BEF ∆在底面ABCD 内的正投影是面积不是定值的三角形D. 在平面ABCD 内存在无数条与平面1DEA 平行的直线答案及解析：2.C 【分析】利用BD ⊥平面1ACC ，即可证明CE BD ⊥，即可判断选项A ；利用等体积即可求点C 到平面BEF 的距离，即可判断选项B ；利用正投影特点即可判断选项C ；利用线面平行的性质定理即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：由BD AC ⊥且1BD CC ⊥，1AC CC C =，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，可得CE BD ⊥，故选项A 正确； 对于选项B ：因为点C 到直线EF 263=，3EF ，所以○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………13622336CEF S ∆=⨯⨯=为定值，点B 到平面CEF 距离是1222DB =，所以三棱B CEF -体积是122136218⨯⨯=，因为三棱锥118C BEF B CEF V V --==，BEF CEF S S =△△为，所以点C 到平面BEF 的距离为22，故选项B 正确； 对于选项C ：线段EF 在底面ABCD 内的正投影是GH ，所以BEF ∆在底面ABCD 内的正投影是BGH ∆，因为线段EF 的长是定值，所以线段GH 的长也是定值，所以BGH ∆的面积是定值，故选项C 不正确；多于选项D ：设平面ABCD 与平面1DEA 的交线为l ，则在平面ABCD 内与直线l 平行的直线有无数条，故选项D 正确， 故选：C【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，通常采用三棱锥等体积，转化为棱锥的高，也可以采用空间向量的方法求出线面角以及斜线的的长度，也可求点到面的距离. 3.甲､乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率0.6，乙命中目标概率0.5，假设甲､乙两人射击命中率互不影响.射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为（ ） A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.48答案及解析：3.B答案第4页，总27页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【分析】先求出目标至少被命中一次的概率,再求出目标至少被命中一次甲命中目标概率，利用概率公式即可求解.【详解】目标至少被命中一次，包括甲中乙中，甲中乙不中，乙中甲不中三种情况， 所以目标至少被命中一次的概率为10.60.50.60.50.40.50.8P =⨯+⨯+⨯=， 目标至少被命中一次甲命中目标包括甲中乙中，甲中乙不中二种情况，所以目标至少被命中一次甲命中目标的概率为：20.60.50.60.50.6P =⨯+⨯=， 所以甲命中目标概率为0.60.750.8P ==， 故选：B【点睛】本题主要考查了相互独立事件和互斥事件的概率，属于基础题. 4.函数2sin ()cos x xf x x x-=+的大致图象是（ ） A. B.C. D.答案及解析：4.B 【分析】根据函数为奇函数可排除D ，根据()0f π>排除C ，根据当(0,)2x π∈时，()1f x <排除A 得到答案.【详解】因为22sin()sin ()()()cos()cos x x x xf x f x x x x x----+-===--+-+，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故D 不正确；因为2()01f πππ=>-，所以C 不正确；当(0,)2x π∈时，3(,)444x πππ+∈，sin cos )4x x x π+=+∈， 所以2211cos sin ())244x x x x x x π+-+=--++131044>-+=>， 所以2cos sin x x x x +>-，又根据,A B 选项的图象可知sin 0x x ->， 所以2sin ()1cos x xf x x x-=<+，故A 不正确.故选：B 5.在复平面内，复数z a bi =+(),a R b R ∈∈对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+,则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦ ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦,则512⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭（ ） A.122- B. 122-- C.12+ D. 12-+ 答案及解析：5.A 【分析】 先将复数122z =+化为cos sin 33z i ππ=+的形式，然后再根据由棣莫弗定理得到的复数的乘方公式计算即可．【详解】由题意得复数12z =+可化为cos sin 33z i ππ=+， 所以551551cos sin cos sin 233332i i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．答案第6页，总27页故选A ．【点睛】本题以复数的运算为载体考查新信息问题，解题的关键是通过理解题意得到复数三角形式的乘方公式，考查计算和阅读理解的能力，属于基础题． 6.若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]0.10,0.11=-=-），数列{a n }满足：13a =，122n n a a n +-=+，则2020a ⎡+++=⎣（ ）A. 10102021⨯B. 10102020⨯C. 10092021⨯D. 10092020⨯答案及解析：6.A 【分析】由递推公式利用累加法即可求得数列{}n a 的通项公式，由()22211n n n n <++<+可得n ==，再利用等差数列求和公式求和即可. 【详解】122n n a a n +-=+，()-12122n n a a n n --+∴==，1222n-n-a n a =--，，326a a -=，214a a -=，累加可得()()()121424622222n n n a a n n n n -+-=+++-+==+-，又13a =，()2*1n a n n n N ∴=++∈，()22211n n n n <++<+，n ∴==， 2020202020211232020101020212a ⨯⎡⎤+++=++++==⨯⎣⎦.故选：A【点睛】本题考查数列创新问题、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 7.若实数数列：1，a ，81成等比数列，则圆锥曲线221y x a+=的离心率是（ ）A.或3B.3C.3D.13或10答案及解析：7.A【分析】由等比数列的性质可得a的值，分类讨论可求曲线的离心率．【详解】由1，a，81成等比数列有：281a=，所以9a=±，当9a=时，方程为2219yx+=，表示焦点在y轴的椭圆，其中13a=，1c==，故离心率113cea==；当9a=-时，方程为2219yx-=，表示焦点在x轴的双曲线，其中21a=，2c=，故离心率22cea==,故选择A.【点睛】本题考查知识点有等比数列的性质和圆锥曲线的离心率，属于综合题型，根据题意得出未知量代入圆锥曲线方程即可求离心率，难度不大，注重基础的应用，属于简单题.8.已知双曲线221mx ny+=与抛物线28x y=有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（）A.2213yx-= B.2213xy-=C.2215yx-= D.2215xy-=答案及解析：8.A【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，可得114-=，求出渐近线方程，利用点到直线距离公式列关于,m n的答案第8页，总27页方程，解方程组即可得到结果.【详解】抛物线28x y=的焦点坐标为()0,2F ,可得双曲线221mx ny +=的焦点为()0,2F ,化221mx ny +=为22111y x n m-=- ,得2211,a b n m ==-, ∴双曲线的一条渐近线方程为y x ==，由点F 到双曲线渐近线的距离等于1， 得1= , 即= 又 222+=a b c ，即114n m-=，② 联立①②解得1,13n m ==-， ∴双曲线的方程为2213y x -=，故选A .【点睛】本题主要考查抛物线、双曲线的方程及简单性质,是中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 9.已知集合{}2,A y y x x B ==∈，{}(1)0B x x x =-<，则（ ） A. B A ⊆ B. A B ⊆ C. =A BD. AB =∅答案及解析：9.C 【分析】先求集合B ，再求集合A ，即可判断四个选项的正误.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【详解】{}{}(1)001B x x x x x =-<=<<， 因为01x <<，所以()20,1y x =∈，所以{}01A y y =<<， 所以=A B ， 故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，属于基础题. 10.研究汽车急刹车的停车距离对汽车刹车设计和路面交通管理非常重要，急刹车停车距离受诸多因素影响，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶速度，设d 表示停车距离，1d 表示反应距离，2d 表示制动距离，则12d=d d +，如图是根据美国公路局公布的实验数据制作的停车距离示意图.图中指针所指的内圈数值表示对应的车速v (km/h ).根据该图数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型①：.d=av b +模型②：2.d=av bv +模型③：.b d=av v +模型④：2.bd=av v+(其中,a b 为待定参数)进行拟合，则拟合效果最好的函数模型是（ ）A. .d=av b +B. 2.d=av bv +C. .bd=av v+ D. 2.b d=av v+答案及解析：10.B答案第10页，总27页【分析】分析图中数据，分别判断1d 、2d 与车速的关系，即可得解.【详解】分析图中数据可得，车速每增加10千米/小时，反应距离1d 增加的数量大体不变， 且0v =时，10d =，所以可拟合为1d bv =； 分析车速v 和制动距离()122d d d d =-可得22d v稳定在一个常量附近， 且0v =时，20d =，所以可拟合为22d av =；所以拟合效果最好的函数模型是2.d=av bv + 故选：B. 11.设函数()sin ,f x x x x ωω=∈R ，其中0>ω．在函数()y f x =和y =中，相邻两个交点之间距离的最小值为6π，则下列说法错误的是（ ） A. f (x )的最大值为2 B.2ω=C. f (x )图象的对称轴方程为,26k k x ππ+=∈Z D. f (x )的一个增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案及解析：11.C 【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式为()2sin()3f x x πω=+，再结合三角函数的最值、单调性、对称性对选项逐个加以判断即可得出答案．【详解】()1sin 2sin 2sin 223f x x x x x x πωωωωω⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()f x 得最大值为2，A 正确．由2sin 3x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得sin 32x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 得233x k ππωπ+=+或22,33x k k ππωπ+=+∈Z ． 令0k =，得10x =或23x πω=， 由126x x π-=可得2ω=，B 正确．令2,32x k k πππ+=+∈Z ，得,212k x k ππ=+∈Z ，故C 不正确． 令222,232k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，令0k =，得51212x ππ-≤≤，55,0,121212πππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故D 正确． 故选：C ．【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，熟练应用三角函数的性质是解题的关键，属于中档题． 12.不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A. (,1]e -∞-B. 2(,2]e -∞-C. (,2]-∞-D. (,3]-∞-答案及解析：12.D 【分析】本题首先可以将“不等式3ln 1xx e a x x --≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立”转化为“31ln x x e x a x---≤对()1,x ∀∈+∞恒成立”，然后求出方程31ln x x e x y x---=，()1,x ∈+∞的最小值即可得出结果．【详解】题意即为3ln 1x a x x e x -≤--对()1,x ∀∈+∞恒成立，答案第12页，总27页即31ln x x e x a x ---≤对()1,x ∀∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x ---=，()1,x ∈+∞的最小值，而33ln 3ln 3ln 1x x x x x x e e e e x x ---==≥-+故313ln 113ln x x e x x x x x ---≥-+--=-即313ln 3ln ln x x e x xx x----≥=-当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在()1,+∞内有根，故3min13ln x x e x x -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，所以3a ≤-，故选D ．【点睛】本题主要考查不等式的相关性质，在利用不等式求参数的取值范围时，可以先将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围，考查函数方程思想，考查计算能力，是难题． 一、填空题 本大题共4道小题。
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二、填空题
13．已知平面向量 ， ，且 ，则 ______．
14．在 与 之间插入 个数，使这 个数成等差数列，则插入的 个数的和等于
__
15．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．
【详解】
从6男4女中任选2男2女，共有 种可能情况，
2男2女担任 、 、 、 四种互不相同的工作，共有 种方式，
故从6男4女中任选2男2女担任 、 、 、 四种互不相同的工作，不同的选派方案种数为 ，
四、解答题
17．已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ， ， 边上的中线 的长为 .
（1）求角 、 的大小；
（2）求 的面积.
18．已知四棱锥 中，底面四边形 为平行四边形， 为 的中点， 为 上一点，且 （如图）．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）当平面 平面 ， ， 时，求二面角 的余弦值．
【详解】
由 ，令 得 或 ，
当 时， 单调递增，当 时，函数单调递减，
，画出函数图像，如图所：
故函数图像有两个零点
故选：C
【点睛】
本题考查导数研究函数零点个数，属于基础题
4．A
【分析】
作出可行域，作出直线 ，平移该直线可得目标函数的最优解．
【详解】
作出可行域，如图四边形 内部（含边界），作直线 ，向下平移直线 ， 减小，因此当直线 过点 时， 取得最小值 ，
（1）求曲线 的普通方程和极坐标方程；
（2）若直线 与曲线 有公共点，求 的取值范围.
23．已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若存在 ，使 成立，求 的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
解不等式求出集合 ，求定义域得出 ，再根据交集的定义写出 ．
【详解】
解：集合 ，
，
则 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．
A． B． C． D．
12．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30，现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44]．由此求得爱看人数比 关于年龄段 的线性回归方程为 ．则年龄在[60，64]的10000人中，爱看秦腔的人数约为（）．
三、双空题
16．金石文化，时中国悠久文化之一.“金”是指“铜”,“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件.在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形(如图)，若一个三视图(即一个正八边形)的面积是 ，则该工艺品共有___个面，表面积是_____
19．已知数列 的前 项和为 ，设 .
（1）若 ， ，且数列 为等差数列，求数列 的通项公式；
（2）若 对任意 都成立，求当 为偶函数时 的表达式.
20．已知函数 在区间 上单调递减.
（1）求 的最大值；
（2）若函数 的图像在原点处的切线也与函数 的图像相切，求 的值.
21．已知 ， ， 顺次是椭圆 ： 的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆 的离心率 ，且 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查简单的线性规划．解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
5．B
【分析】
本题首先可以求出从6男4女中任选2男2女担任 、 、 、 四种互不相同的工作时不同的选派方案种数，然后求出任选的2男2女中一定有女甲且女甲担任工作 时不同的选派方案种数，最后两者相减，即可得出结果.
A． B． C． D．
9．若 为实数，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．函数 的单调递增区间为（）．
A． B．
C． D．
11．已知双曲线 的左焦点为 、过 且垂直于 轴的直线被双曲线 截得的弦长为 （ 为双曲线的离心率），则双曲线 的渐近线方程为
陕西省西安地区2020-2021学年高三上学期第一次八校联考理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．已知复数 在复平面上对应的点为 ， 为虚数单位，则 （）．
6．已知 的展开式中第 项是 ，则函数 是（）．
A．定义域为 的奇函数B．在 上递减的奇函数
C．定义域为 的偶函数D．在 上递增的偶函数
7．已知点 到抛物线 的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（）
A． B． C． D．
8．已知正三棱锥 的底面边长为3，侧棱长为 ，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）
A． B． C． D．
3．函数 的零点个数为（）
A．0B．1C．2D．3
4．若实数 满足 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
5．从6男4女中任选2男2女担任 、 、 、 四种互不相同的工作，且每人担任其中的一项工作．若女甲不能担任工作 ，则不同的选派方案种数为（）．
A．1800B．1890C．2160D．2210
2．A
【分析】
本题首先可根据题意得出复数 ，然后根据复数的运算法则对 进行转化，即可得出结果.
【详解】
因为复数 在复平面上对应的点为 ，
所以复数 ， ，
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的几何意义以及复数的运算法则，若复数 ，则复数 在复平面上对应的点为 ，考查计算能力，是简单题.
3．C
【分析】
先求导，令 ，再根据极值点的正负进一步判断零点个数即可
（1）求椭圆 的方程；
（2）若斜率为 的直线 过点 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且以 为直径的圆经过点 ，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
22．在直角坐标系 中，直线 经过点 ，其倾斜角为 ，以原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 .