陕西省西安地区2020-2021学年高三上学期第一次八校联考理科数学试题
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【详解】
从6男4女中任选2男2女，共有 种可能情况，
2男2女担任 、 、 、 四种互不相同的工作，共有 种方式，
故从6男4女中任选2男2女担任 、 、 、 四种互不相同的工作，不同的选派方案种数为 ，
三、双空题
16．金石文化，时中国悠久文化之一.“金”是指“铜”,“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件.在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形(如图)，若一个三视图(即一个正八边形)的面积是 ，则该工艺品共有___个面，表面积是_____
四、解答题
17．已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ， ， 边上的中线 的长为 .
（1）求角 、 的大小；
（2）求 的面积.
18．已知四棱锥 中，底面四边形 为平行四边形， 为 的中点， 为 上一点，且 （如图）．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）当平面 平面 ， ， 时，求二面角 的余弦值．
2．A
【分析】
本题首先可根据题意得出复数 ，然后根据复数的运算法则对 进行转化，即可得出结果.
【详解】
因为复数 在复平面上对应的点为 ，
所以复数 ， ，
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的几何意义以及复数的运算法则，若复数 ，则复数 在复平面上对应的点为 ，考查计算能力，是简单题.
3．C
【分析】
先求导，令 ，再根据极值点的正负进一步判断零点个数即可
（1）求曲线 的普通方程和极坐标方程；
（2）若直线 与曲线 有公共点，求 的取值范围.
23．已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若存在 ，使 成立，求 的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
解不等式求出集合 ，求定义域得出 ，再根据交集的定义写出 ．
【详解】
解：集合 ，
，
则 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．
19．已知数列 的前 项和为 ，设 .
（1）若 ， ，且数列 为等差数列，求数列 的通项公式；
（2）若 对任意 都成立，求当 为偶函数时 的表达式.
20．已知函数 在区间 上单调递减.
（1）求 的最大值；
（2）若函数 的图像在原点处的切线也与函数 的图像相切，求 的值.
21．已知 ， ， 顺次是椭圆 ： 的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆 的离心率 ，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若斜率为 的直线 过点 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且以 为直径的圆经过点 ，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
22．在直角坐标系 中，直线 经过点 ，其倾斜角为 ，以原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 .
A． B． C． D．
3．函数 的零点个数为（）
A．0B．1C．2D．3
4．若实数 满足 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
5．从6男4女中任选2男2女担任 、 、 、 四种互不相同的工作，且每人担任其中的一项工作．若女甲不能担任工作 ，则不同的选派方案种数为（）．
A．1800B．1890C．2160D．2210
A． B． C． D．
12．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30，现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44]．由此求得爱看人数比 关于年龄段 的线性回归方程为 ．则年龄在[60，64]的10000人中，爱看秦腔的人数约为（）．
6．已知 的展开式中第 项是 ，则函数 是（）．
A．定义域为 的奇函数B．在 上递减的奇函数
C．定义域为 的偶函数D．在 上递增的偶函数
7．已知点 到抛物线 的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（）
A． B． C． D．
8．已知正三棱锥 的底面边长为3，侧棱长为 ，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）
故选：A．
【点睛】
本题考查简单的线性规划．解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
5．B
【分析】
本题首先可以求出从6男4女中任选2男2女担任 、 、 、 四种互不相同的工作时不同的选派方案种数，然后求出任选的2男2女中一定有女甲且女甲担任工作 时不同的选派方案种数，最后两者相减，即可得出结果.
A． B． C． D．
9．若 为实数，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．函数 的单调递增区间为（）．
A． B．
C． D．
11．已知双曲线 的左焦点为 、过 且垂直于 轴的直线被双曲线 截得的弦长为 （ 为双曲线的离心率），则双曲线 的渐近线方程为
陕西省西安地区2020-2021学年高三上学期第一次八校联考理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．已知复数 在复平面上对应的点为 ， 为虚数单位，则 （）．
【详解】
由 ，令 得 或 ，
当 时， 单调递增，当 时，函数单调递减，
，画出函数图像，如图所示：
故函数图像有两个零点
故选：C
【点睛】
本题考查导数研究函数零点个数，属于基础题
4．A
【分析】
作出可行域，作出直线源自文库，平移该直线可得目标函数的最优解．
【详解】
作出可行域，如图四边形 内部（含边界），作直线 ，向下平移直线 ， 减小，因此当直线 过点 时， 取得最小值 ，
A．4200B．3900C．3700D．3500
二、填空题
13．已知平面向量 ， ，且 ，则 ______．
14．在 与 之间插入 个数，使这 个数成等差数列，则插入的 个数的和等于
__
15．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．
从6男4女中任选2男2女，共有 种可能情况，
2男2女担任 、 、 、 四种互不相同的工作，共有 种方式，
故从6男4女中任选2男2女担任 、 、 、 四种互不相同的工作，不同的选派方案种数为 ，
三、双空题
16．金石文化，时中国悠久文化之一.“金”是指“铜”,“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件.在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形(如图)，若一个三视图(即一个正八边形)的面积是 ，则该工艺品共有___个面，表面积是_____
四、解答题
17．已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ， ， 边上的中线 的长为 .
（1）求角 、 的大小；
（2）求 的面积.
18．已知四棱锥 中，底面四边形 为平行四边形， 为 的中点， 为 上一点，且 （如图）．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）当平面 平面 ， ， 时，求二面角 的余弦值．
2．A
【分析】
本题首先可根据题意得出复数 ，然后根据复数的运算法则对 进行转化，即可得出结果.
【详解】
因为复数 在复平面上对应的点为 ，
所以复数 ， ，
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的几何意义以及复数的运算法则，若复数 ，则复数 在复平面上对应的点为 ，考查计算能力，是简单题.
3．C
【分析】
先求导，令 ，再根据极值点的正负进一步判断零点个数即可
（1）求曲线 的普通方程和极坐标方程；
（2）若直线 与曲线 有公共点，求 的取值范围.
23．已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若存在 ，使 成立，求 的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
解不等式求出集合 ，求定义域得出 ，再根据交集的定义写出 ．
【详解】
解：集合 ，
，
则 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．
19．已知数列 的前 项和为 ，设 .
（1）若 ， ，且数列 为等差数列，求数列 的通项公式；
（2）若 对任意 都成立，求当 为偶函数时 的表达式.
20．已知函数 在区间 上单调递减.
（1）求 的最大值；
（2）若函数 的图像在原点处的切线也与函数 的图像相切，求 的值.
21．已知 ， ， 顺次是椭圆 ： 的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆 的离心率 ，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若斜率为 的直线 过点 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且以 为直径的圆经过点 ，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
22．在直角坐标系 中，直线 经过点 ，其倾斜角为 ，以原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 .
A． B． C． D．
3．函数 的零点个数为（）
A．0B．1C．2D．3
4．若实数 满足 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
5．从6男4女中任选2男2女担任 、 、 、 四种互不相同的工作，且每人担任其中的一项工作．若女甲不能担任工作 ，则不同的选派方案种数为（）．
A．1800B．1890C．2160D．2210
A． B． C． D．
12．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30，现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44]．由此求得爱看人数比 关于年龄段 的线性回归方程为 ．则年龄在[60，64]的10000人中，爱看秦腔的人数约为（）．
6．已知 的展开式中第 项是 ，则函数 是（）．
A．定义域为 的奇函数B．在 上递减的奇函数
C．定义域为 的偶函数D．在 上递增的偶函数
7．已知点 到抛物线 的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（）
A． B． C． D．
8．已知正三棱锥 的底面边长为3，侧棱长为 ，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）
故选：A．
【点睛】
本题考查简单的线性规划．解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
5．B
【分析】
本题首先可以求出从6男4女中任选2男2女担任 、 、 、 四种互不相同的工作时不同的选派方案种数，然后求出任选的2男2女中一定有女甲且女甲担任工作 时不同的选派方案种数，最后两者相减，即可得出结果.
A． B． C． D．
9．若 为实数，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．函数 的单调递增区间为（）．
A． B．
C． D．
11．已知双曲线 的左焦点为 、过 且垂直于 轴的直线被双曲线 截得的弦长为 （ 为双曲线的离心率），则双曲线 的渐近线方程为
陕西省西安地区2020-2021学年高三上学期第一次八校联考理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．已知复数 在复平面上对应的点为 ， 为虚数单位，则 （）．
【详解】
由 ，令 得 或 ，
当 时， 单调递增，当 时，函数单调递减，
，画出函数图像，如图所示：
故函数图像有两个零点
故选：C
【点睛】
本题考查导数研究函数零点个数，属于基础题
4．A
【分析】
作出可行域，作出直线源自文库，平移该直线可得目标函数的最优解．
【详解】
作出可行域，如图四边形 内部（含边界），作直线 ，向下平移直线 ， 减小，因此当直线 过点 时， 取得最小值 ，
A．4200B．3900C．3700D．3500
二、填空题
13．已知平面向量 ， ，且 ，则 ______．
14．在 与 之间插入 个数，使这 个数成等差数列，则插入的 个数的和等于
__
15．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．