频域分析方法

解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)
∴F.T{r(t)}= F.T{e(t)⊗h(t)}= F.T{e(t)}F.T{h(t)}
§4-2 信号通过系统的频域分析方法
一、系统对周期性信号的稳态响应
1、基本思路： 周期性信号可以表示（分解）成若干个（复）
正弦函数之和。只要分别求出了系统对各个（复） 正弦函数的响应（这一点已经在电路分析课程中 做了充分讨论），就可以得到全响应。 稳态响应：周期信号是一个无始无终的信号，可 以认为在很远的过去就已经加到系统上，系统的 响应已经进入了一个稳定的状态——响应中只 存在稳态响应。
2） 求出系统转移算子 H ( p) ，将其中的算子 p 用 jω 替代后得到 H ( jω) = H ( jω) e jϕ(ω) 。
3） 求系统对各个频率点上的信号的响应：
ri (t) = H ( jω) cos(ωt + ϕ(ω))
4） 将各个频率点上的响应叠加，得到全响应。 求系统对各个频率点上的信号的响应：
H (− jω ) 。如果微分方程中的系数都是实数，
则可以得到 H (− jω) = H *( jω) 。
假设：
H ( jω) = H ( jω) e jϕ(ω)
则系统对正弦信号的响应为：
r(t) = H ( jω )e jωt + H (− jω )e− jωt 2
[ ] = H ( jω)e jωt + H ( jω)e jωt * 2
相位特性的符号相反。 两种定义中，第一种定义数学上比较直接；
第二种定义在画相频特性曲线时比较方便：因
为实际系统的 H ( jω ) 相位在 ω > 0 时一定是
负数——它只可能将信号延时，而不会将信号
提前。
二、系统对非周期信号的零状态响应
非周期信号通过线性系统的 rzs 的求解方 法的基本思想与周期信号相似，都是将信号分
可以得到：
( ) ( jω)n + an−1( jω)n + ... + a1( jω) + a0 R( jω) ( ) = bm ( jω)m + bm−1( jω)m−1 + ... + b1( jω) + b0 E( jω)
所以，
R( jω)
=
bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0 ( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0
a1
d dt
r(t)
+
a0 r (t )
=
bm
dm dt m
e(t)
+
bm−1
d m−1 dt m−1
e(t)
+ ... +
b1
d dt
e(t)
+
b0e(t)
假设激励信号 e(t)的傅利叶变换为 E( jω ) ， 响应信号 r(t)的傅利叶变换为 R( jω ) 。对上式等式
两边同时求傅利叶变换，利用傅利叶变换的性质，
系统的相频特性 ϕ(ω ) 有两种定义方法。第一 种 是 直 接 定 义 为 H ( jω) 的 相 角 ， 即 令 H ( jω ) = H ( jω ) e jϕ(ω) ； 第 二 种 是 定 义 为 H ( jω ) 的 相 角 的 负 数 ， 即 令 H ( jω ) = H ( jω ) e− jϕ(ω) 。在这两种定义下的
由此可以得到根据微分方程求解系统对周期 信号响应的方法： 1） 将周期信号分解为复数傅利叶级数的和；
2） 求出系统转移算子 H ( p) ，将其中的算子 p 用 jω 替代后得到 H ( jω) 。
3） 求系统对各个复频率点上的信号的响应：
R( jωi ) = H ( jωi )E( jωi )
4） 将各个频率点上的响应叠加，得到全响应。
( ) = H ( jω ) e jϕ(ω )e jωt + e e − jϕ(ω ) − jωt 2
= H ( jω) cos(ωt + ϕ(ω))
所以， H ( jω) 同时也反映了系统对频率为ω
的实正弦信号的幅度和相位的影响。这就是电路
正弦稳态分析中的结论。所以，这里的第二步也
可以改为：
1） 将周期信号分解为实数傅利叶级数的和；
这里的结论和方法与电路稳态分析中的结论 相似，只不过在正弦稳态分析中讨论的是信号
对于实正弦信号的响应，而这里讨论的是对复
正弦信号的响应。
实数正弦信号可以表示为两个幅正弦信号的
和： cos(ωt) =
e jωt
+ e− jωt 2
。系统对这两个基
本点复正弦信号的传输函数分别为 H ( jω ) 和
例：P167， 例题 4-1
某些由周期性信号组成的非周期信号（或概周 期信号）也可以用这种分析方法。例如信号：
e(t) = cos t + cosπt
虽然不是周期信号，但是也可以分解成为周期信 号的和，从而也可以用这种方法求解。
3、通过微分方程求系统对周期信号的响应： 在很多场合，已经给出了系统的微分方程，
第四章 系统的频域分析法
§4-1 概述 系统的频域分析法，是将通过傅利叶变换， 将信号分解成多个正弦函数的和（或积分），得到 信号的频谱；然后求系统对各个正弦分量的响应， 得到响应的频谱；最后通过傅利叶反变换，求得 响应。 频域分析法避开了微分方程的求解和卷积积 分的计算，容易求得系统的响应。但是它必须经 过两次变换计算，计算量比较大。但是在很多情 况下，直接给定激励信号的频谱，且只需要得到 响应信号的频谱，这时就可以不用或少用变换。 频域分析法只能求解系统的稳态响应或零状 态响应。
将各个子信号的响应相叠加，求和（积分）：
∑ ∫ ∴r(t) = R& (ω)ejωt = +∞H( jω)E( jω) ejωtdω
ω
−∞
2π
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∫ = 1
+∞
H(
jω)E(
jω)e
jωtdω
2π −∞
= I.F.T.{H( jω)E( jω)}
或：∴R( jω) = F.T.{r(t)}= H( jω)E( jω)
4）通过 I.F.T，求 r(t) ：
∫ r(t) = I.F.T {R( jω )}= 1
+∞
R(
jω
)e
jωt dω
2π −∞
周期性信号与非周期信号分析方法比较： 相同：
通过变换，将以时间为自变量的信号，变为 以频率为变量的函数。避免求解微分方程，但 是增加了 F.T. 和 I.F.T. 计算。 差异：
E( jω )
ω = nΩ
R( jnΩ) 各分量相加
r(t)
R( jω ) I．F．T
r(t)
非周期信号的分析方法，也可以从数学的角 度，通过对微分方程两边同时求取傅利叶变 换而得到。
对于用微分方程描述的一般系统，有：
dn dt n
r(t)
+
an−1
d n−1 dt n−1
r(t)
+ ... +
如何求解系统对周期信号的响应？
（1） 对于用微分方程描述的一般系统，有：
dn dt n
r(t)
+
an−1
d n−1 dt n−1
r(t)
+ ... +
a1
d dt
r(t)
+
a0 r (t )
=
bm
dm dt m
e(t)
+
bm−1
d m−1 dt m−1
e(t)
+ ... +
b1
d dt
e(t)
+
b0e(t)
数表达式，可以应用所有的代数运算法则。 这时候，激励和响应的复振幅之间的关系可