三视图和表面积体积

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高考数学一轮复习-81-空间几何体的三视图-直观图-表面积与体积课件-新人教A

设球的半径为 R，则 R2＝AO22＝AO2＋OO22＝13a2＋14a2
＝172a2.所以 S 球＝4πR2＝4π×172a2＝73πa2.
(2)这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．
根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 2，高为 3，母线长为 2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为 S＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12 ×(2＋4)× 3＝112π＋3 3. 答案 (1)B (2)112π＋3 3
可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体
不可能是棱柱或棱台，排除选项A，B，故选D.
(2)如图，在原图形OABC中，应有 OD＝2O′D′＝2×2 2 ＝4 2(cm)， CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝ OD2＋CD2 ＝（4 2）2＋22＝6(cm)， ∴OA＝OC，故四边形 OABC 是菱形．答案 (1)D (2)C
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是
棱柱．
(×)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是
棱锥．
( ×)
(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．
(×)
(4)圆柱的侧面展开图是矩形．
(√)
2．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几
(2)画出坐标系 x′O′y′，作出△OAB 的直观图 O′A′B′(如图)．D′为 O′A′的中点．易知 D′B′＝12DB(D 为 OA 的中点)， ∴S△O′A′B′＝12× 22S△OAB＝ 42× 43a2＝ 166a2.

三视图及表面积、体积汇编

三视图及表面积、体积由三视图还原几何体的方法：也可以根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题．常见的有以下几类：（1）三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；（2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；（3）三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；（4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；（5）三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；（6）三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱；1．【2017·全国卷】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B 2．【2017·浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是A ．12+πB ．32+πC ．123+πD ．323+π3．【2017·北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A ．23B ．32C ．22D ．2【答案】B4．【2016·全国卷Ⅱ】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．π20B ．π24C ．π28D ．π32【答案】C5．【2016·北京卷】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．61B ．31C ．21D ．1【答案】A6．【2015·陕西卷】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．π3B ．π4C ．42+πD ．43+π【答案】D7．【2016·全国卷Ⅲ】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A ．53618+B ．51854+C ．90D ．81【答案】B8．【2015·全国卷Ⅱ】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．81B ．71C ．61D ．51 【答案】D9．【2016·山东卷】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为A ．π3231+B ．π3231+C ．π6231+D ．π621+ 【答案】C10．【2014·全国卷】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为A ．26B ．24C ．6D ．4【答案】Ｂ11．【2015·浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是A ．38cmB ．312cmC ．3332cmD ．3340cm 【答案】C12．【2015·重庆卷】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．π+31B ．π+32C ．π231+D ．π232+ 【答案】A13．【2014·安徽卷】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A ．321+B ．318+C ．21D ．18【答案】A 14．【2014·湖北卷】在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是)2,0,0(，)0,2,2(，)1,2,1(，)2,2,2(，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和② 【答案】D15．【2015·北京卷】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是11俯视图侧(左)视图21A ．52+B ．54+C ．522+D ．5 【答案】C16．【2016·四川卷】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．正视图331【答案】3317．【2016·浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______2cm ，体积是______3cm ．【答案】72 3218．【2016·天津卷】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______3m ．【答案】219．【2015·天津卷】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m ． 1侧视图俯视图11112111111【答案】π3820．【2017·全国卷Ⅲ】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．π43C ．2πD ．4π21．【2017·全国卷Ⅱ】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A ．π90B ．π63C ．π42D ．π36【答案】B22．【2017·天津卷】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______．【答案】π29 23．【2016·全国卷】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A ．π17B ．π18C ．π20D ．π28【答案】A 24．【2014·北京卷】如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，动点E 、F 在棱11B A 上，动点P 、Q 分别在棱AD 、CD 上．若1=EF ，x E A =1，y DQ =，z DP =（x ，y ，z 大于零），则四面体EFQ P -的体积A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关25．【2014·湖南卷】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 26．【2015·山东卷】在梯形ABCD 中，2π=∠ABC ，BC AD //，222===AB AD BC ．将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A ．32π错误!未指定书签。

2019数学(理)二轮精选讲义专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积含答案

专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一空间几何体的三视图与直观图1．三视图的排列规则俯视图放在正（主)视图的下面,长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正(主）视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝错误!S。

[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(）［解析］两个木构件咬合成长方体时，小长方体（榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A.故选A。

[答案］A2．（2018·河北衡水中学调研）正方体ABCD－A1B1C1D1中,E 为棱BB1的中点(如图),用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）[解析］过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C。

［答案］C3．（2018·江西南昌二中模拟）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为()A．8 B．4 C．4错误!D．4错误![解析］由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB ＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP ＝12，S△BCD＝错误!×4错误!×2＝4错误!，故选D。

［答案]D4．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析]直观图的面积S′＝错误!×（1＋1＋错误!)×错误!＝错误!.故原平面图形的面积S＝错误!＝2＋错误!.[答案]2＋错误![快速审题］（1)看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(2）看到平面图形直观图的面积计算，想到斜二侧画法,想到原图形与直观图的面积比为错误!.由三视图还原到直观图的3步骤(1）根据俯视图确定几何体的底面．(2）根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．（3）确定几何体的直观图形状．考点二空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式（1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高）；(2)S锥侧＝错误!ch′(c为底面周长,h′为斜高)；(3）S台侧＝错误!（c＋c′）h′（c′,c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高）；(2)V锥体＝错误!Sh（S为底面面积，h为高）；(3)V台＝错误!(S＋错误!＋S′）h(不要求记忆）．3．球的表面积和体积公式S表＝4πR2(R为球的半径）,V球＝43πR3(R为球的半径）．[对点训练]1．(2018·浙江卷）某几何体的三视图如图所示(单位:cm）,则该几何体的体积(单位:cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8［解析]由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm，2 cm，高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V＝1＋22×2×2＝6 cm3.[答案]C2．（2018·哈尔滨师范大学附中、东北师范大学附中联考）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（)A.错误!＋2B.错误!＋2C.错误!＋3 D。

2020届高考数学(理)课标版二轮课件：重难考点专题三第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积

为 7 ,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5 15,则该圆锥的侧面积
8
为
.
答案 40 2 π
解析因为母线SA与圆锥底面所成的角为45°,所以圆锥的轴截面为等腰直
角三角形.设底面圆的半径为r,则母线长l= 2 r.在△SAB中,cos∠ASB= 7 ,所以
8
sin∠ASB= 15 .因为△SAB的面积为5 15,即 1 SA·SBsin∠ASB=1 · 2 r·2 r×
A.20π C.28π
B.24π D.32π
答案 C 由三视图知圆锥的高为2 3,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所
以圆锥的侧面积为 1 ×4π×4=8π.圆柱的底面积为4π,圆柱的侧面积为4×4π=
2
16π,从而该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π,故选C.
2.(2018课标全国Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值
BC=3,AA1=5.设△ABC内切圆半径为r,则S△ABC=
1 2
×3×4=
1 2
×(3+4+5)r,解得r=1,
所以内切球最大半径为1,直径为2,由AA1=5得,最多可加工出2个球.
2.(2019洛阳联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切,则球O的体积为( A )
A.8 2 π
3
B.8 3 π
在△ACD中,AD⊥CD,S△ACD= 5 ;
2
在△BCD中,BD⊥CD,S△BCD=1 ,
2
所以表面积为 3 + 2 + 5 .故选A.
2
2
命题角度二空间几何体的体积
1.(2018课标全国Ⅱ文,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与

人教版九年级数学下册第3课时由三视图确定几何体的表面积或体积

6 502 （1 3 ） 2799（0 mm2） 2
2. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体
的A侧.18面cm积2 是（ A ）
B.20cm2
C. 18 6

3 4

10 2
2

cm
D. 18

75 2
3

解析：由三视图可得,几何体是三棱柱，几何体的侧面积是三个矩形的面积和,矩形的长为3cm，宽为2cm,∴侧面积为3×3×2=18cm2.
=

300

240

1 2
=36000（cm2
)
S侧面面积= 300 200=60000（cm2 )
S帐篷表面积=36000 +60000 =96000（cm2）
课堂小结
由三视图确定几何体的表面积或体积，一般步骤为： ① 想象：根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状； ② 定形：综合确定几何体（或实物原型）的形状； ③ 展开图：画出展开图，求展开面积。
由三视图描述实物形状，画出物体表面展开图
由三视图确定几何体的表面积或是体积，首先要确定该几何体的形状。
1.根据下列几何体的三视图，画出它们的展开图。
（1）
（2）
（3）
典例解析
例1 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封
罐的三视图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所
需钢板的面积．
50
100 50
第3课时由三视图确定几何体的表面积或体积
R·九年级下册
复习导入
由三视图描述几何体(或实物原型),一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状, 然后综合起来确定几何体(或实物原型)的形状, 再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系, 确定轮廓线的位置,以及各个方向的尺寸.

高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题3立体几何文科第1讲空间几何体三视图表面积与体积文理

表面两两垂直的平面共有
(C )
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
23
【解析】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：平面与平面的位置关系：平面ABCD⊥平面PBC、平面ABCD⊥平面PCD、平面PBC⊥平面PCD、平面PAB⊥平面PBC、平面PAD⊥平面PCD.故选C．
Ⅲ卷
题号 3、12 11、 20(2)
9
考查角度
分值
与棱锥有关的计算；求球的表面积 10
在求点到面的距离时涉及球的表面积；
求四棱锥的体积
11
由三视图求几何体的表面积
5
9
年份 2019
2018
卷别 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
Ⅲ卷
题号 16 16 16 9 16
3、12
考查角度点到平面的距离多面体的棱长与面的个数
21
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的 z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
22
1．(2020·浙江模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体
38
考向2 空间几何体的体积
典例3 (1)(2020·葫芦岛模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱
长为2，在A，B，C，D，C1，D1这六个顶点中，选择两个点与A1，B1构
成正三棱锥P，在剩下的四个顶点中选择两个点与A1，B1构成正三棱锥
Q，M表示P与Q的公共部分，则M的体积为
( A)
A．13

高中数学必修二空间几何体的三视图如何求其表面积和体积

高中数学必修二空间几何体的三视图如何求其表面积和体积【教学目标】一、知识目标熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。

二、能力目标先介绍由空间三视图求其表面积和体积，然后引导学生讨论和探讨问题。

三、德育目标1.通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力。

2.通过研究性学习，培养学生的整体性思维。

【教学重点】观察、实践、猜想和归纳的探究过程。

【教学难点】如何引导学生进行合理的探究。

【教学方法】电教法、讲述法、分析推理法、讲练法【教学用具】多媒体、实物投影仪【教学过程】［投影］本节课的教学目标1.熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。

【学习目标完成过程】一、复习提问1.如何求空间几何体的表面积和体积(例如：球、棱柱、棱台等)?2.三视图与其几何体如何转化?二、新课讲解［设置问题］例1：(如下图1)，这是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算出它的表面积和体积(尺寸如图1，单位：cm,π取314，结果精确到1cm３)。

［提出问题］1.空间几何体的表面积和体积分别是什么?2.怎样运用柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积的公式计算几何体的表面积和体积?［学生思考、总结板书］空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小；先将直观图的各个要素弄清楚，然后再代公式进行计算。

［承转过渡］求空间几何体的表面积是将几何体的各个面的面积相加求得；求体积是将几何体各个部分的体积相加求得，那请同学们动脑筋想一想，假设没有给出几何体的直观图，只是给出一个几何体的三视图，我们怎样解决求该几何体的表面积和体积?在例1有没有给出几何体的直观图?［学生讨论、总结板书］例1没有直接给出几何体的直观图，只是给出实物几何体的三视图，要求该几何体的表面积和体积，应首先将该三视图转化为几何体的直观图，然后弄清给出直观图的各个要素，再代公式进行计算。

［设问］请问例1的三视图转化为实物几何体是由那几个部分构成?怎样求出该几何体的表面积和体积?［讨论、板书］该实物几何体是由一个球体、一个四棱柱和一个四棱台构成；应先分别求出一个球体、一个四棱柱和一个四棱台的表面积和体积。

专题由三视图求表面积和体积

由三视图求表面积和体积一、方法与技巧二、常见几何体1．（2016•益阳模拟）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．60 B．54 C．48 D．24【解答】解：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为4，底面三角形为直角三角形，直角边长分别为3，4，斜边长为5．∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60．故选：A．2．（2016•凉山州模拟）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（）A．6 B．12 C．24 D．36【解答】解：由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3故棱锥的体积V=Sh=×3×4×3=12故选B3．（2016•衡水校级一模）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．27﹣3πD．18﹣3π【解答】解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱，由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2，圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1，∴几何体的体积V==，故选：B．4．（2016•广元二模）一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（）A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm3【解答】解：由三视图可知该几何体是平放的直三棱柱，高为4，底面三角形一边长为6，此边上的高为4 体积V=Sh==48cm3故选A5．（2016•江门模拟）一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（）A．12πB．15πC．24πD．36π【解答】解：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5，底面圆的面积S1=π×（）2=9π．侧面积S2=π×3×5=15π，表面积为S1+S2=24π．故选C．6．（2016•安康二模）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱锥，底面是底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的一条侧棱垂直底面，高为2．三棱锥的体积为：==．故选D．7．（2016•杭州模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．8．（2016•呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（）A．V=32，n=2 B．C．D．V=16，n=4【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V=，边长为4的正方体V=64，所以n=3．故选B9．（2016•广东模拟）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．2【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2，故选D．10．（2016•延边州模拟）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为（）A．B．C． D．4【解答】解：由题意知三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是2×=，∴侧视图的面积是2．故选A．11．（2016•江西校级一模）如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）A．π+24 B．π+20 C．2π+24 D．2π+20【解答】解：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，s1=6×2×2﹣π×12=24﹣π，s2==2π，故s=s1+s2=π+24故选：A．12．（2016•太原二模）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23﹣×22×1=．故选A．13．（2016•太原校级二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．3【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故选：B．14．（2016•河西区模拟）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．B． C．D．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形∴r=1，h=∴故选：D．15．（2016•岳阳二模）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C． D．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．16．（2016•汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．17．（2016•榆林一模）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．80 B．40 C．D．【解答】解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．从图中可知，三棱锥的底是两直角边分别为4和5的直角三角形，高为4，体积为V=．故选D．18．（2016•揭阳一模）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是48．【解答】解：由三视图可知原几何体如图所示，可看作以直角梯形ABDE为底面，BC为高的四棱锥，由三棱锥的体积公式可得V=××（2+6）×6×6=48，故答案为：48．三、常见几何体的组合体19．（2016•佛山模拟）已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C． D．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．20．（2016•乐山模拟）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．112 B．80 C．72 D．64【解答】解：由三视图可知，此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体，棱柱的体积为4×4×4=64；棱锥的体积为×4×4×3=16；则此几何体的体积为80；故选B．四、常见几何体的切割体21．（2016•茂名一模）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．22．（2016•威海一模）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（）A．7 B．C．D．【解答】解：依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，故选D．23．（2016•张掖校级模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为26【解答】解：由三视图知几何体为为三棱柱，去掉一个三棱锥的几何体，如图：三棱柱的高为5，底面是直角边为4，3，去掉的三棱锥，是底面是直角三角形直角边为4，3，高为2的三棱锥．∴几何体的体积V==26．故答案为：26．24．（2016•商洛模拟）已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为l的正方形，如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体是正方体削去一个角，体积为1﹣=1﹣=．故选：D．25．（2016•银川校级一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截去部分的几何体的表面积为54+18．【解答】解：由三视图可知正方体边长为6，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：∴被截去的几何体的表面积S=+×（6）2=54+18．故答案为54+18．26．（2016•哈尔滨校级二模）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．【解答】解：根据已知中的三视图，可得几何体的直观图如下图所示：该几何是由一个以俯视图为底面的四棱锥，切去两个棱锥所得的组合体，四棱柱的体积为：×（2+4）×4×4=48，四棱锥F﹣EHIJ的体积为：×（2+4）×4×2=8，中棱锥F﹣HGJ的体积为：=，故组合体的体积V=，故答案为：4．（2011•北京模拟）已知一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积为（）A．6 B．5.5 C．5 D．4.5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个长方体割去两个三棱锥，三棱锥的底面是一个底面面积可以做出，高是3，做出截去得到三棱锥的体积，长方体的体积也可以做出．【解答】解：由三视图知几何体是一个长方体割去两个三棱锥，三棱锥的底面是一个底面面积是×1×1=，高是3，∴截去得到三棱锥的体积是2××=1，长方体的体积是3×2×1=6∴几何体的体积是6﹣1=5故选C．。

常见几何体三视图及表面积体积公式

【2013 课标全国Ⅰ，理 8】某几人何删体除的。三视图如图所示，则该几何体的
体积为
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（2016 年全国 I 高考）如图，人删某除几。何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 283π，则它的表面积是
一个球被切掉左上角的 1 ,即该几何体是 7 个球，设球的半径为 R ，
8
8
则V 7 4 πR3 28π ，解得 R 2 ，所以它的表面积是 7 的球
83
3
8
面面积和三个扇形面积之和,即 7 4π 22 3 π 22 17π
8
4
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【2017 课标 II，理 4】人如删除图。，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）
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（2016 年全国 III 高考）人如删图除。，网格纸上小正方形的边
长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面
体的表面积为
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【2014 课标Ⅰ，理 12】如图，网人格删除纸。上小正方形的边长为 1，粗实线画
【2017 北京，理 7】某人四删除棱。锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

空间几何体的三视图直观图表面积与体积

必修2 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积（2月22日）(一)空间几何体的三视图和直观图1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征(2)旋转体的形成2.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．空间几何体的结构特征[例1](1)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体(2)下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点空间几何体的三视图1.画三视图的规则长对正、高平齐、宽相等，即俯视图与正视图一样长；正视图与侧视图一样高；侧视图与俯视图一样宽．2．三视图的排列顺序先画正视图，俯视图放在正视图的下方，侧视图放在正视图的右方．[例2](1)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形，按正视图，侧视图，俯视图的顺序排列)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤(2)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()空间几何体的直观图直观图与原图形面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图＝24S原图形．(2)S原图形＝22S直观图．[例3]用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()1．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上2．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()3．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()4．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为()A．4 cm2B．4 2 cm2C．8 cm2D．8 2 cm25．如图，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为()A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2突破点(二)空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh(棱柱和圆柱)锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3空间几何体的表面积[例1](1)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为()A．4π＋16＋4 3 B．5π＋16＋4 3C．4π＋16＋2 3 D．5π＋16＋2 3(2)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2空间几何体的体积柱体、锥体、台体体积间的关系[例2](1)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.16 B.13 C.12D．1(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋2π B.13π6 C.7π3 D.5π21．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋23π B.13＋23πC.13＋26π D．1＋26π2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.5π3cm3B．2π cm3 C.7π3cm3D．3π cm33.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A．125＋20 B．242＋20C．44 D．12 54．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．155．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)：若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 的值为________．突破点(三) 与球有关的切、接应用问题1.球的表面积和体积是每年高考的热点，且多与三视图、多面体等综合命题，常以选择题、填空题的形式出现.解决此类问题时，一是要善于把空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中处理；二是要将变化的模型转化到固定的长方体或正方体中.2.与球有关的组合体问题主要有两种，一种是内切问题，一种是外接问题.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关“元素”间的数量关系，并作出合适的截面图.多面体的内切球问题[例1] 若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.多面体的外接球问题处理与球有关外接问题的策略把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[例2](1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210 C.132D．310(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.81π4B．16πC．9π D.27π4(3)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．1．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A．1 B．2 C．3 D．42．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A．200πB．150π C．100π D．50π3．如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()A．3π B.32π C．4π D.34π4．设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则S1S2的值等于()A.2π B.6π C.π6 D.π2全国卷5年真题集中演练——明规律1．(2016·全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20πB．24πC．28πD．32π2．(2016·全国卷)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB ⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B.9π2C．6π D.32π33．(2015·全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18 B.17 C.16 D.154．(2015·全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为() A．36π B．64π C．144π D．256π5．(2015·全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1 B．2C．4 D．86．(2015全国卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有() A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．(2014·全国卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727 B.59 C.1027 D.138．(2013·全国卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π9．(2012·全国卷)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26 B.36 C.23 D.22。

空间几何体三视图、表面积及体积

面积，h为高)；
4 3 (7)球的表面积和体积公式：S＝4πR ，V＝ πR (R为球的半径)． 3
2
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必记知识重要结论
1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正、高平齐、宽相等”．
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类型一
三视图与直观图的辨识和画法
[ 例1]
某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图 )
不可能是(
(基本法) 从正视图和侧视图想像直观图，再检验答案．若下部分是圆柱，上部分可以是圆柱或者棱柱，A、B、C适合题意，若是D答案，其正视图应为(如右图)中间有虚线．
2 1 3 到的，根据三视图可知其表面积为6 2 － ×1×1 ＋2× ×( 2 4
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必记知识重要结论
2．(1)设长方体的相邻的三条棱长为a、b、c则对角线长为 a2＋b2＋c2 (2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即 3a＝2R. (3)若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA ＝a，PB＝b，PC＝c，则4R2＝a2＋b2＋c2，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图)．
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高考数学立体几何专题1空间立体几何的三视图、表面积和体积

专题1空间立体几何的三视图、表面积和体积【考点点击】1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；2．以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等．3.几何体的三视图与表（侧）面积、体积计算结合；【重点知识】一、空间几何体1．柱体、锥体、台体、球的结构特征名称几何特征棱柱①有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)；②其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥①有一个面是多边形(底面)；②其余各面是有公共顶点的三角形．棱台①底面互相平行；②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点)圆柱①有两个互相平行的圆面(底面)；②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直圆台①底面互相平行；②有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的球①有一个曲面是球面；②有一个球心和一条半径长R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积名称体积表面积棱柱V棱柱＝Sh(S为底面积，h为高)S棱柱＝2S底面＋S侧面棱锥V棱锥＝13Sh(S为底面积，h为高)S棱锥＝S底面＋S侧面棱台V棱台＝13h(S＋SS′＋S′)S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面圆柱V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高)S圆柱＝2πrl＋2πr2(r为底面半径，l为母线长)圆锥V圆锥＝13πr2h(r为底面半径，h为高)S圆锥＝πrl＋πr2(r为底面半径，l为母线长)圆台V圆台＝13πh(r2＋rr′＋r′2)S圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2球V球＝43πR3(R为球的半径)S球＝4πR2(R为球的半径)3.空间几何体的三视图和直观图(1)空间几何体的三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．(2)空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.【考点分析】考点一空间几何体的结构【例1】已知正三棱锥PABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．【答案】33【解析】正三棱锥PABC 可看作由正方体PADCBEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥PABC 的外接球的直径，且PF ⊥平面ABC.设正方体棱长为a ，则22,2,1232=====BC AC AB a a ，3223222221=⨯⨯⨯=∆ABC S ，由,PAC B ABC P V V --=得222213131⨯⨯⨯⨯=⋅∆ABC S h ，所以332=h 因此球心到平面ABC 得距离为33考点二三视图、直观图【例2】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.【例3】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A ．2＋5B ．4＋5C ．2＋25D ．5【答案】C【解析】该三棱锥的直观图如图所示：过D 作DE ⊥BC ，交BC 于E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，ABCABD ACD BCD S S S S S ∆∆∆∆+++=表5225221152115212221+=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=考点三几何体的表面积【例4】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为【答案】14π.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以222232114,4π14π.R S R =++===【例5】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是328π,则它的表面积是（）（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的81,设球的半径为R ,则32834873ππ=⨯=R V ,解得R 2=,所以它的表面积是87的球面面积和三个扇形面积之和πππ172413248722=⨯⨯+⨯⨯=S 故选A ．考点四几何体的体积【例6．】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径2213122r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2233ππ1π24V r h ⎛==⨯⨯= ⎝⎭，故选B.考点五与球的组合体问题纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.【例7】棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A ．22B ．1C ．212+D ．2解：由题意可知，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径12,22AD R ==11EF AA DD ⊂ 面，∴直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径22R =.【例8】正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【例9】在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是.解：如图，正三棱锥对棱相互垂直，即,AC SB ⊥又,,,.SB MN MN AC MN AM MN SAC ∴⊥⊥∴⊥∥又平面于是,,,SB SAC SB SA SB SC ⊥∴⊥⊥平面从而.SA SC ⊥此时正三棱锥S ABC -的三条侧棱互相垂直并且相等，故将正三棱锥补形为正方体.球的半径23,3,436.2R SA R S R ππ=∴=∴==【例10】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A ．12πB ．C ．3πD ．【答案】C【解析】把原来的几何体补成以DA DC DP 、、为长、宽、高的长方体，原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，2=R l ，=2R ，234434S R πππ==⨯=球.【例11】在三棱锥P －ABC 中，PA ＝,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A ．πB.3π C.4πD.43π解：如图所示，过P 点作底面ABC 的垂线，垂足为O ，设H 为外接球的球心，连接,,AH AO 因60,PAO PA ∠== 故2AO =,32PO =又△AHO 为直角三角形，222,,AH PH r AH AO OH ==∴=+22233344(),1,1.2233r r r V ππ∴=+-∴=∴=⨯=【例12】矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125 B.π9125C.π6125D.π3125解：由题意分析可知，四面体ABCD 的外接球的球心落在AC 的中点，此时满足,OA OD OB OC ===522AC R ∴==,343V R π=1256π=.【总结归纳】1个特征——三视图的长度特征“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽。

空间几何体的三视图、表面积及体积

2022年高考数学总复习：空间几何体的三视图、表面积及体积1．柱体、锥体、台体、球的表面积与体积(1)空间几何体的三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高．三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面；侧(左)视图放在正(主)视图的右面．(2)空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．Y易错警示i cuo jing shi1．未注意三视图中实、虚线的区别在画三视图时应注意看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．2．不能准确分析组合体的结构致误对简单组合体表面积与体积的计算要注意其构成几何体的面积、体积是和还是差．3．台体可以看成是由锥体截得的，此时截面一定与底面平行．4．空间几何放置的方式不同时，对三视图可能会有影响．1．(2018·全国卷Ⅲ，3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( A )[解析]选A．由直观图可知选A．2．(文)(2018·全国卷Ⅰ，5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B ) A．122π B．12πC．82π D．10π[解析]截面面积为8，所以高h＝22，底面半径r＝2，所以该圆柱表面积S＝π·(2)2·2＋2π·2·22＝12π.(理)(2018·全国卷Ⅰ，7)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( B )A．217 B．25C．3 D．2[解析]选B．将三视图还原为圆柱，M，N的位置如图1所示，将侧面展开，最短路径为M，N连线的距离，所以MN＝42＋22＝2 5.3．(2018·浙江卷，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( C )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 选C ．由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面面积S ＝(1＋2)×22＝3，高h ＝2，所以V ＝Sh ＝6.4．(2018·北京卷，5)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 选C ．将四棱锥三视图转化为直观图，如图，侧面共有4个三角形，即△P AB ，△PBC ，△PCD ，△P AD ，由已知，PD ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，同理PD ⊥CD ，PD ⊥AB ，所以△PCD ，△P AD 是直角三角形．因为AB ⊥AD ，PD ⊥AB ，PD ，AD ⊂平面P AD ，PD ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面P AD ，又P A ⊂平面P AD ，所以AB ⊥P A ，△P AB 是直角三角形．因为AB ＝1，CD ＝2，AD ＝2，PD ＝2，所以P A ＝PD 2＋AD 2＝22，PC ＝PD 2＋CD 2＝22， PB ＝P A 2＋AB 2＝3，在梯形ABCD 中，易知BC ＝5，△PBC 三条边长为22，3，5，△PBC 不是直角三角形．综上，侧面中直角三角形个数为3.5．(文)(2018·全国卷Ⅰ，10)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( C )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．83[解析]选C ．如图，连接AC 1和BC 1，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，AC 1与平面BB 1C 1C 所成角为30°，所以∠AC 1B ＝30°，所以AB BC 1＝tan30°，BC 1＝23，所以CC 1＝22，所以V ＝2×2×22＝8 2.(理)(2018·全国卷Ⅲ，10)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为( B )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．543[解析] 设△ABC 的边长为a ，则S △ABC ＝12a 2sin C ＝34a 2＝93，解得a ＝6，如图所示，当点D 在底面上的射影为三角形ABC 的中心H 时，三棱锥D ABC 的体积最大，设球心为O ，则在直角三角形AHO 中，AH ＝23×32×6＝23，OA ＝R ＝4，则OH＝OA 2－AH 2＝16－12＝2，所以DH ＝2＋4＝6，所以三棱锥D ABC 的体积最大值为V ＝13S △ABC ×DH ＝13×93×6＝18 3. 6.(文)(2018·天津卷，11)如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为13.[解析] 连接A 1C 1，交B 1D 1于O 1点，依题意得A 1O 1⊥平面BB 1D 1D ，即A 1O 1为四棱锥A 1BB 1D 1D 的高，且A 1O 1＝22，而四棱锥A 1BB 1D 1D 的底面为矩形，其面积为2，所以四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积V ＝13Sh ＝13×2×22＝13.(理)(2018·天津卷，11)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH 的体积为112.[解析] 依题意得：该四棱锥M EFGH 为正四棱锥，其高为正方体棱长的一半，即为12，正方形EFGH 的边长为22，其面积为12，所以四棱锥M EFGH 的体积V M EFGH ＝13Sh ＝13×12×12＝112. 7．(2018·全国卷Ⅱ，16)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为402π.[解析] 如图：设SA ＝SB ＝l ，底面圆半径为r ，因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以l ＝2r ，在△SAB 中，AB 2＝SA 2＋SB 2－2SA ·SB ·cos ∠ASB ＝12r 2，AB ＝22r ，AB 边上的高为(2r )2－⎝⎛⎭⎫24r 2＝304r ，△SAB 的面积为515，所以12·22r ·304r ＝515，解得r ＝210，所以该圆锥的侧面积为πrl ＝π2r 2＝402π.8．(2017·全国卷Ⅰ，16)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为36π.[解析] 如图，连接OA ，OB ．由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC ．由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB ．设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， ∴三棱锥S －ABC 的体积V ＝13×(12SC ·OB )·OA ＝r 33，即r 33＝9， ∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π.。

2021届高考数学 8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积配套文档理

§8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1．多面体的结构特点2.3.空间几何体的直观图经常使用斜二测画法来画，其规那么：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中维持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原先的一半．4．空间几何体的三视图(1)三视图的主视图、俯视图、左视图别离是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．(2)三视图的特点：三视图知足“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”．5．柱、锥、台和球的侧面积和体积1． (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． ( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，假设∠A 的两边别离平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，那么在直观图中，∠A ＝45°.( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． ( × ) (5)圆柱的侧面展开图是矩形．( √ ) (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．( √ )2． (2021·四川)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的直观图能够是 ( )答案 D解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.3． (2021·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若是不计容器的厚度，那么球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3答案 A解析作出该球轴截面的图象如下图，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，因此V ＝43πR 3＝500π3. 4．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．答案62解析由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，因此原三角形的面积为62.5．假设一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，那么该圆锥的体积为________．答案33π 解析侧面展开图扇形的半径为2，圆锥底面半径为1， ∴h ＝22－1＝3，∴V ＝13π×1×3＝33π.题型一空间几何体的结构特点例1 (1)以下说法正确的选项是( )A ．有两个平面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．四棱锥的四个侧面都能够是直角三角形C ．有两个平面相互平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不必然交于一点 (2)给出以下命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面能够不相似，但侧棱长必然相等．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3思维启发从多面体、旋转体的概念入手，能够借助实例或几何模型明白得几何体的结构特点．答案 (1)B (2)A解析 (1)A 错，如图1；B 正确，如图2，其中底面ABCD 是矩形，可证明∠PAB ，∠PCB 都是直角，如此四个侧面都是直角三角形；C 错，如图3；D 错，由棱台的概念知，其侧棱必相交于同一点．(2)①不必然，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不必然，因为“其余各面都是三角形”并非等价于“其余各面都是有一个公共极点的三角形”，如图1所示；③不必然，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，可是侧棱长不必然相等．思维升华 (1)有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的几何体不必然是棱柱． (2)既然棱台是由棱锥概念的，因此在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． (3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转取得，还要看旋转轴是哪条直线．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C是展开图上的三点，那么在正方体盒子中，∠ABC 的值为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析还原正方体，如下图，连接AB ，BC ，AC ，可得△ABC 是正三角形，那么∠ABC ＝60°. 题型二空间几何体的三视图和直观图例2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，那么该几何体的俯视图能够是( )(2)正三角形AOB 的边长为a ，成立如下图的直角坐标系xOy ，那么它的直观图的面积是________．思维启发 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是1，由体积是12可求出底面积．由底面积的大小可判定其俯视图是哪个．(2)依照直观图画法规那么确信平面图形和其直观图面积的关系．答案 (1)C (2)616a 2解析 (1)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是12可知该几何体的底面积是12，由图知A 的面积是1，B 的面积是π4，C 的面积是12，D 的面积是π4，应选C.(2)画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图)．D ′为O ′A ′的中点．易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点)，∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616a 2.思维升华 (1)三视图中，主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一样在已知图形中成立直角坐标系，尽可能运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．(1)(2021·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，那么该正方体的主视图的面积不可能等于( )A ．1 B.2 C.2－12D.2＋12(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，那么原图形是 ( ) A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．一样的平行四边形答案 (1)C (2)C解析 (1)由俯视图知正方体的底面水平放置，其主视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.(2)如图，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝OD 2＋CD 2＝422＋22＝6 cm ，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．题型三空间几何体的表面积与体积例3 (1)一个空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为 ( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)已知某几何体的三视图如下图，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆组成，俯视图由圆与内接三角形组成，依照图中的数据可得几何体的体积为 ( ) A.2π3＋12B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12思维启发先由三视图确信几何体的组成及气宇，然后求表面积或体积．答案 (1)C (2)C解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如下图，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.因此S表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.(2)由三视图确信该几何体是一个半球体与三棱锥组成的组合体，如图，其中AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝1，故AP ⊥平面ABC ，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12，因此三棱锥P －ABC 的体积V 1＝13×S △ABC ×AP ＝13×12×1＝16，又Rt△ABC 是半球底面的内接三角形，因此球的直径2R ＝BC ＝2，解得R ＝22，因此半球的体积V 2＝12×4π3×(22)3＝2π6，故所求几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝16＋2π6.思维升华解决此类问题需先由三视图确信几何体的结构特点，判定是不是为组合体，由哪些简单几何体组成，并准确判定这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．(2021·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有极点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，那么此棱锥的体积为 ( ) A.26 B.36 C.23 D.22答案 A解析由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，因此三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如下图， S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝ 12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为3的等边三角形，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面通过棱CC ′到M 的最短线路长为29，设这条最短线路与CC ′的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长；(3)三棱锥C —MNP 的体积．思维启发 (1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MN ＋NP 最短在展开图上呈现如何的形式；(3)三棱锥以谁做底好．标准解答解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长别离为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.[2分](2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如以下图，设PC ＝x ，那么MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2. ∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，∴x ＝2，即PC ＝2.又NC ∥AM ，故PC PA ＝NCAM ，即25＝NC 2.∴NC ＝45.[8分](3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝45.在三棱锥M —PCN 中，M 到面PCN 的距离，即h ＝32×3＝332.∴V C —MNP ＝V M —PCN ＝13·h ·S △PCN＝13×332×45＝235.[12分] 温馨提示 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的全然思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题．(2)若是已知的空间几何体是多面体，那么依照问题的具体情形能够将那个多面体沿多面体中某条棱或两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上．若是是圆柱、圆锥那么可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题．(3)此题的易错点是，不明白从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图．缺乏空间图形向平面图形的转化意识.方式与技术1．棱柱、棱锥要把握各部份的结构特点，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界限和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)明白得“长对正、宽平齐、高相等”．4．直观图画法：平行性、长度两个要素．5．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规那么的几何体通过度割或补形将其转化为规那么的几何体求解．6．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确信有关元素间的数量关系，并作出适合的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的极点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．失误与防范1．台体能够看成是由锥体截得的，但必然强调截面与底面平行．2．注意空间几何体的不同放置对三视图的阻碍．3．几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．A组专项基础训练(时刻：40分钟)一、选择题1．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12 D．10答案D解析如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从极点A动身的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点动身的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．(2021·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么那个几何体不能够是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱答案 D解析考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得．球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，第一排除选项A 和C. 关于如下图三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B. 不论圆柱如何设置，其三视图的形状都可不能完全相同，故答案选D.3． (2021·重庆)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240答案 C解析由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S ＝2＋8×42＝20.又棱柱的高为10，因此体积V ＝Sh ＝20×10＝200.4．如图是一个物体的三视图，那么此三视图所描述物体的直观图是( ) 答案 D解析由俯视图可知是B 和D 中的一个，由主视图和左视图可知B 错．5．某几何体的三视图如下图，其中俯视图是个半圆，那么该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋3C.32π＋ 3D.52π＋3答案 C解析由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝12×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋3π2.二、填空题6. 如下图，E 、F 别离为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，那么四边形BFD 1E 在该正方体的面DCC 1D 1上的正投影是________．(填序号)答案 ②解析四边形在面DCC 1D 1上的正投影为②：B 在面DCC 1D 1上的正投影为C ，F 、E 在面DCC 1D 1上的投影应在边CC 1与DD 1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．7．已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，那么该三棱锥的外接球的表面积为________．答案 3π 解析如图，构造正方体ANDM —FBEC .因为三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，因此正方体ANDM —FBEC 的棱长为1.因此该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A —BCD 的外接球确实是正方体ANDM —FBEC 的外接球，因此三棱锥A —BCD 的外接球的半径为32.因此三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝3π. 8． (2021·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 别离是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，那么V 1∶V 2＝________.答案 1∶24解析设三棱锥F －ADE 的高为h ，则V 1V 2＝13h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD ·AE ·sin∠DAE 2h 122AD 2AE sin∠DAE＝124. 三、解答题9．一个几何体的三视图及其相关数据如下图，求那个几何体的表面积．解那个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．依照图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故那个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.10．已知一个正三棱台的两底面边长别离为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．解如下图，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1别离为两底面中心，D 、D 1别离为BC和B 1C 1的中点，那么DD 1为棱台的斜高．由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033，由S 侧＝S 上＋S 下，得12×(20＋30)×3DD 1＝34×(202＋302)，解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中，O 1O ＝DD 21－OD －O 1D 12＝43，因此棱台的高为4 3 cm. B 组专项能力提升(时刻：30分钟)1．在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为( )A.25VB.13VC.23VD.310V 答案 D解析设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2.连接MD .因为M 是AE 的中点，因此V M —ABCD ＝12V . 因此V E —MBC ＝12V －V E —MDC . 而V E —MBC ＝V B —EMC ，V E —MDC ＝V D —EMC ，因此V E —MBCV E —MDC ＝V B —EMC V D —EMC ＝h 1h 2.因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，因此h 1h 2＝32. 因此V E —MBC ＝V M －EBC ＝310V .2．某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的表面积是( ) A ．28＋6 5 B ．30＋65C ．56＋125 D ．60＋125 答案 B 解析由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如下图，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，则CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ，因此AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt△ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝25. 在Rt△BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41.在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5. 因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋65. 3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，那么该圆锥的底面直径为________．答案 2解析设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r .那么12πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，∴r ＝1，即圆锥的底面直径为2.4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)依照图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA .解 (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由左视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2.由主视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，因此在Rt△APD 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝622＋62＝6 3 cm.5．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，假设在那个四棱锥内放一球，求此球的最大半径．解当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球半径最大，设球的半径为r ，球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC 、OD ，那么把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r ，底面别离为原四棱锥的侧面和底面，则V P －ABCD ＝13r (S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △PAD ＋S 正方形ABCD )＝13r (2＋2)a 2.由题意，知PD ⊥底面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝13a 3. 由体积相等，得13r (2＋2)a 2＝13a 3，解得r ＝12(2－2)a .。

【高考数学】第三部分_重点板块_专题三立体几何：第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积

专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019三棱锥的外接球、球的体积·T12空间几何体的结构特征、直观图、几何运算、数学文化·T16空间两直线的位置关系的判定·T8简单几何体的组合体、长方体和棱锥的体积·T16 2018空间几何体的三视图、直观图及最短路径问题·T7圆锥的性质及侧面积的计算·T16三视图与数学文化·T3与外接球有关的空间几何体体积的最值问题·T10 2017空间几何体的三视图与直观图、面积的计算·T7空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T8“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．(2)考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第12或16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．考点一空间几何体的三视图、直观图与截面图[例1](1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()(2)(2019·江西八所重点中学联考)某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是()A ．52B ．2C ．355D ．32(3)(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A ．334B ．233C ．324D ．321.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A ．217B ．25C ．3D ．22．已知球O 是正三棱锥A BCD 的外接球，BC ＝3，AB ＝23，点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是________．考点二几何体的表面积与体积题型一求空间几何体的表面积[例2] (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD 为矩形，棱EF ∥AB .若此几何体中，AB ＝4，EF ＝2，△ADE 和△BCF 都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为( )A ．83B ．8＋83C ．62＋23D ．8＋62＋23(2)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角堆米，下周九十尺，高十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示)，米堆底部的弧长为90尺，米堆的高为12尺．圆周率约为3.若将此堆米用草席盖上，则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数，如544≈23，550≈23)( )A ．250平方尺B ．990平方尺C ．1 035平方尺D ．518平方尺题型二求空间几何体的体积[例3] (1)(2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．(2)(2019·江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为2，下底为4的直角梯形，俯视图是一个边长为4的等边三角形，则该几何体的体积为______．1．(2019·重庆市学业质量调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.323 B ．643C.1283 D ．16032．已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )A ．3034B ．6034C ．3034＋135D ．1353．已知直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的所有棱长都是1，∠ABC ＝60°，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，点H 在线段OB 1上，OH ＝3HB 1，点M 是线段BD 上的动点，则三棱锥M C 1O 1H 的体积的最小值为________．考点三与球有关的切、接问题题型一外接球[例4] (2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π题型二内切球[例5] 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )A.7π6 B ．4π3C.2π3 D ．π2题型三与球有关的最值问题[例6] (2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为( )A ．123B ．183C ．243D ．5431．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )A ．83πB ．323πC ．16πD ．32π2．(2019·福建五校第二次联考)已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的直径为______．3．已知四棱锥S ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋163，则球O 的体积为______．4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．2π＋4B ．4π＋2 C.2π3＋4 D ．4π3＋8【课后专项练习】A 组一、选择题1．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( )2．(2019·福州市质量检测)棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1木块的直观图如图所示，平面α过点D 且平行于平面ACD 1，则该木块在平面α内的正投影面积是( )A.3 B ．323C.2D ．13．已知矩形ABCD ，AB ＝2BC ，把这个矩形分别以AB ，BC 所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为S 1，S 2，则S 1与S 2的比值等于( )A.12 B ．1 C ．2D ．44．设球O 是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的内切球，若平面ACD 1截球O 所得的截面面积为6π，则球O 的半径为( )A.32 B ．3 C.32D ．35．(2019·武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为CD 的中点，则三棱锥A BC 1M 的体积VA BC 1M ＝( )A.12 B ．14C.16 D ．1126．(2019·武汉市调研测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.23π B ．43πC ．2πD ．25π7．在三棱锥A BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为22，32，62，则该三棱锥的体积为( ) A. 6 B ．66 C ．6 D ．268．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C.π2 D ．π49．若一个球与四面体的六条棱都相切，则称此球为四面体的棱切球．已知正四面体的棱长为2，则它的棱切球的体积为( )A ．3π54B ．π6C ．π3D ．3π210．已知点A ，B ，C ，D 均在球O 上，AB ＝BC ＝3，AC ＝3.若三棱锥D ABC 体积的最大值为334，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．16πC ．12πD ．163π11．已知一个半径为7的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则正三棱柱的体积是( )A ．18B ．16C ．12D ．812.(2019·福州市质量检测)如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( )A.3π4 B ．2π C.3π2 D ．9π4二、填空题13．(2019·长春市质量监测(一))已知一所有棱长都是2的三棱锥，则该三棱锥的体积为______．14.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH 的体积为______．15．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为______．16．已知三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且P A ＝8.若平面ABC 截球O 所得截面的面积为9π，则球O 的表面积为______．B 组1.(2019·合肥市第二次质量检测)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2．在棱长为3的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且BP PD 1＝12，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M PBC 的体积为( )A ．1B ．32C.92 D ．与M 点的位置有关3．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为1，点M 在线段BC 上(点M 异于B ，C 两点)，点N 为线段CC 1的中点，若平面AMN 截正方体ABCD A 1B 1C 1D 1所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，13 B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，1 D ．⎣⎡⎦⎤12，234．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA 1，BB 1，CC 1分别交于三点M ，N ，Q ，若△MNQ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( )A ．22B ．3C．23D．45．(2019·郑州市第二次质量预测)在△ABC中，已知AB＝23，BC＝26，∠ABC＝45°，D是边AC上的一点，将△ABD沿BD折叠，得到三棱锥ABCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD上的射影M在线段BC上，设BM＝x，则x的取值范围是() A．(0，23)B．(3，6)C．(6，23)D．(23，26)6.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥BACC1D的体积为________．7．已知在正四棱锥SABCD中，SA＝63，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．8．(2019·河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V 的球，则V的最大值为________．。