相似三角形一边的平行线(教师版)
九年级同步第7讲：相似三角形综合 -教师版
相似三角形综合内容分析相似三角形是初中数学中的重点，也是难点．相当多的知识点可以与相似三角形综合起来考察．本讲将从以下几个方面学习相似三角形的应用，旨在灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题．知识结构G1、平行线与相似三角形利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A ”字型和“X ”字型．【例1】 过ABC ∆的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 、E ．求证：2AE AFED FB = ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点D 作//DG AB 交CF 于点G ．Q //DG AB ∴AE AF ED GD =，DG CDBF CB =； Q AD 是中线， ∴2BC CD =， ∴12DG BF =；∴2AE AFED BF =． 【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．模块一：平行线与相似三角形知识精讲例题解析A BCDEFMM【例2】 如图，已知ABC ∆中，AD 、BE 相交于G ，:3:1BD DC =，:1:2AG GD =．求:BG GE 的值．【难度】★★ 【答案】11．【解析】点G 作//GM BC 交AC 于点M ．Q //GM BC ∴AG GM AD CD =，EG GMEB CB =； Q :1:2AG GD =， ∴13AG GM AD CD ==， Q :3:1BD DC =，∴14DC BC =，∴112GM BC =， ∴112GE EB =，∴:BG GE 的值为11． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．【例3】 如图，在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，75BAD ∠=︒，30CAD ∠=︒，AD = 2，BD = 2DC ，求AC 的长． 【难度】★★ 【答案】3．【解析】过点D 作//DM AB 交AC 于点M ． Q //DM AB ， ∴75BAD ADM ∠=∠=o ；又Q 180ADM AMD DAM ∠+∠+∠=o ，30CAD ∠=o∴75AMD ∠=o ， ∴AMD ADM ∠=∠， ∴2AD AM ==．Q //DM AB ， ∴AM BDAC BC=．又Q 2BD DC =， ∴23BD AM BC AC ==． ∴3AC =．【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识．ABCDE GABCDHG【例4】已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于点D 和点E ．求证：1AD AEDC EB+=．【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点A 作//GH BC 分别交CE 、BD 的延长线 于点G 、H ． Q MN 是中位线，//.AM MB AN NC MN BC ∴==，，////GH BC MN ∴． ∴AM GP MB PC= GP PC ∴= Q //GH BC ∴GH GPBC PC=GH BC ∴=；Q //GH BC ∴AD AH AE AGDC BC EB BC==，∴1AD AEDC EB+= ． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、三角形中位线的相关知识．A B CDE PNMQP【例5】AD 是ABC ∆的中线，将BC 边所在直线绕点D 顺时针旋转α角，交边AB 于点M ，交射线AC 于点N ，设AM = x ·AB ，AN = y ·AC ，（0x ≠，0y ≠）．（1）如图1，当ABC ∆为等边三角形且30α=︒时，求证：AMN ∆∽DMA ∆；（2）如图2，证明112x y +=．【难度】★★★ 【答案】略 【解析】（1）Q ABC ∆是等边三角形，AD 是中线，30,90;BAD DAC ADB ∴∠=∠=∠=o o 30,30MDB α=∠=o o Q 即，60ADM ∴∠=oADM DAC N ∠=∠+∠Q 30N ∴∠=o ;MAD N ∴∠=∠ AMD AMN ∠=∠Q AMN DMA ∴∆∆∽；（2）过B 作//BQ MN 交AD 延长线于点Q ，过C 作//CP MN 交AD 于点P ， //BQ CP ∴ ∴BD DQDC PD=Q AD 是中线 ,BD DC ∴=,QD DP ∴= Q //BQ MN ∴1AB AQ AD DQx AM AD AD +===Q //CP MN ∴1AC AP AD DP y AN AD AD -===∴112x y+=． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、相似三角形的判定等的相关知识，构造辅助线是个难点．ABCD NMABCD NM图1图21、角平分线与相似三角形角平分线类的相似模型如下：分为“内角平分线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法．【例6】如图，AD 是ABC ∆的内角平分线．求证：AB BDAC DC=． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点C 作//CM AB 交AD 的延长线于点M ． Q //CM AB ∴AB BD CM DC =，BAD M ∠=∠ Q AD 是角平分线 ∴BAD DAC ∠=∠；∴M DAC ∠=∠∴AC CM = ∴AB BDAC DC=． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．模块二：角平分线与相似三角形知识精讲例题解析ABCDMABC D【例7】如图，AD 是ABC ∆的外角平分线．求证：AB BDAC CD=． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点B 作//BM AC 交DA 的延长线于点M ．Q //BM AC ， ∴AC CDBM DB =，DAC M ∠=∠ Q AD 是外角平分线， ∴MAD CAD ∠=∠； ∴M MAD ∠=∠， 又Q MAB MAD ∠=∠， ∴M MAB ∠=∠．∴AB BM =．∴AB BDAC DC=． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．【例8】在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．求证：111AD AB AC=+． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点C 作//CM AD 交BA 于点M ．Q //CM AD ， ∴AB ADBM CM=，DAC ACM BAD M ∠=∠∠=∠， Q AD 平分BAC ∠，120BAC ∠=o ． ∴60BAD CAD ∠=∠=o ； ∴60M ACM ∠=∠=o ，ACM ∴∆是等边三角形．∴AC CM AM ==．∴AB AD AB AM MC =+即AB ADAB AC AC=+．∴111AD AB AC=+． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等边三角形的相关知识．AB C DMMABC DEFG【例9】如图，在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，CFG B ∠=∠过点C 作CE // AB ，交CAB ∠的平分线AD 于E ．（1）不添加字母，找出图中所有的相似三角形，并证明；（2）求证：FC ADCG ED =． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】 （1）①ADB EDC ∆∆∽、②CAB GCF ∆∆∽．证明①： Q //CE AB ∴ADB EDC ∆∆∽证明②：Q //CE AB 180CAB ACE ∴∠+∠=o ，90CAB ∠=o Q ，90ACE ∴∠=o;CAB ACE ∴∠=∠ CFG B ∠=∠Q ∴CAB GCF ∆∆∽ （2）由CAB GCF ∆∆∽得FC ABCG AC =Q ADB EDC ∆∆∽ ∴AB ADEC DE=Q //CE AB ，EAB CED ∴∠=∠，CAE EAB ∠=∠Q ， ;CAE E ∴∠=∠，CA CE ∴= ∴AB AD AC DE = ∴ FC ADCG DE=． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质等知识．DAB CEI【例10】如图，ABC ∆中，AI 、BI 分别平分BAC ∠、ABC ∠，CE 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线，交BI 延长线于E ，连接CI ．（1）ABC ∆变化时，设2BAC α∠=．若用α表示BIC ∠和E ∠，那么BIC ∠=______，E ∠=______；（2）若AB = 1，且ABC ∆与ICE ∆相似，求AC 长． 【难度】★★【答案】（1）90α+o ，α；（2）略． 【解析】（1）Q 180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=o ， ∴1801802ABC ACB BAC α∠+∠=-∠=-o o ．Q AI 、BI 分别平分BAC ∠、ABC ∠，∴ 12IBC ABC ∠=∠，CI 平分ACB ∠．∴ 12ICB ACB ∠=∠． Q 180IBC ICB BIC ∠+∠+∠=o()()1180180902BIC IBC ICB ABC ACB α∴∠=-∠+∠=-∠+∠=+o o o ．Q CE 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线， ∴ 12ACE ACD ∠=∠．()1902ICE ICA ACE ACD ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=o ． Q 90BIC ICE E α∠=∠+∠=+o ，E α∴∠= ．（2）ABC ∆与ICE ∆相似，Q 90ICE ∠=o ， ABC ∴∆是直角三角形时，分三种情况：① 当90ABC ∠=o 时，Q E α∠=， 2BAC α∠=， E BAC ∴∠≠∠ ．E BCA α∴∠=∠=． Q 90BAC BCA ∠+∠=o ， 30α∴=o ． ∴ 22AC AB ==； ② 当90BCA ∠=o 时，Q E α∠=， 2BAC α∠=， E BAC ∴∠≠∠ ． E ABC α∴∠=∠=， Q 90BAC ABC ∠+∠=o ， 30α∴=o ， ∴ 1122AC AB ==； ③ 当90BAC ∠=o 时，Q 2BAC α∠=， 45α∴=o ． ∴ 1AC AB ==；综上所述，1122AC =或或．【总结】本题考查相似三角形的性质及其两三角形相似分类讨论，还考查了三角形角平分线的知识．B ACDABCD图1图21、a 2 = b·c 与相似三角形 常见及扩展模型如下：由图1可证：2AB BD BC =g ；由图2可证：2AB BD BC =g ，2AD BD DC =g ，2AC CD CB =g ．【例11】如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ．求证：2AD BD DC =g ．【难度】★ 【答案】略．【解析】Q AD BC ⊥， ∴90ADB ADC ∠=∠=o ． ∴90BAD B ∠+∠=o ． Q 90BAC ∠=o ，∴90C B ∠+∠=o ， ∴BAD C ∠=∠．∴ABD CAD ∆∆∽ ，∴AD BDCD AD=． ∴2AD BD CD =•．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定等知识．模块三：a 2 = b·c 与相似三角形知识精讲例题解析AB CDABCDE HA BCDEF【例12】如图，已知等腰三角形ABC 中，AB = AC ，高AD ，BE 相交于点H ．求证：24DH DA BC =g ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】Q AD 、BE 是高， ∴90ADB BEC ∠=∠=o ． ∴90HBD C ∠+∠=o ， 90CAH C ∠+∠=o ．∴HBD CAH ∠=∠， ∴HBD CAD ∆∆∽． ∴HD BDCD AD=即DH AD BD CD =g g Q AB AC AD BC =⊥，， ∴12BD DC BC ==．∴BAD C ∠=∠．∴214DH AD BC =g ， ∴24DH AD BC =g ．【总结】本题考查“双高”模型相似的知识．【例13】如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ⊥BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为E ， AD = BD ，过E 的直线EF // AB 交AD 于点F ． （1）AF = BE ；（2）AF 2 = AE ·EC ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】（1）Q //EF AB ，AF 不平行EB ，∴四边形FABE 是梯形．又Q AD BD =， ∴DAB DBA ∠=∠． ∴四边形FABE 是等腰梯形， ∴AF BE =； （2）Q 90AEB CEB ∠=∠=o ，∴90EBA EAB ∠+∠=o ， 90ECB EAB ∠+∠=o ．∴EBA ECB ∠=∠． ∴EBA ECB ∆∆∽．∴EB EAEC EB =． ∴2EB EA EC =•，∴2AF EA EC =•．【总结】本题考查等腰梯形及相似三角形的判定及性质．【例14】如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AB 于点E ，交AD 于点 H ，交AC 于点G ，交BC 的延长线于点F ．求证：2DF CF BF =g ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】联结AFQ 点F 在AD 的垂直平分线上， ∴AF FD =， FAD ADF ∠=∠．Q FAD FAC DAC ∠=∠+∠，ADF BAD B ∠=∠+∠ ∴FAC DAC BAD B ∠+∠=∠+∠．又Q AD 平分BAC ∠， ∴BAD DAC ∠=∠， ∴FAC B ∠=∠．又Q AFC AFB ∠=∠， ∴EBA ECB ∆∆∽， ∴AF FCFB AF =． ∴2AF CF BF =•， ∴2DF CF BF =•．【总结】本题考查线段垂直平分线、外角定理及相似三角形的判定及性质知识．【例15】如图1，在ABC ∆中，P 是边AB 上的一点，联结CP ，要使ACP ∆∽ABC ∆，还需要补充一个条件．（1）补充的条件是___________________，或者____________________． （2）请你参考上面的图形和结论，解答下面的问题：如图2，在ABC ∆中，60A ∠=︒，22AC AB AB BC =+g ，求B ∠的度数．【难度】★★★ 【答案】略． 【解析】（1）ACP B ∠=∠；APC ACB ∠=∠；（或者2AC AB AP =•） （2）延长AB 到D ，使BD CB = ∴BCD BDC ∠=∠Q 22AC AB AB BC =+• ∴2AC AB AD =• ∴ACB ADC ∆∆∽ D ACB ∴∠=∠ Q 180A ACD D ∠+∠+∠=o∴3180D A ∠+∠=o 而60A ∠=o ∴40D BCD ∠=∠=o 80ABC BCD D ∴∠=∠+∠=o ．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质、三角形内角和、外角定理等知识．DAB C D E FGH ABC ACBP图1图2A BCDEFGH TH1、内接矩形与相似三角形 相关模型：常用结论：AT DEAH BC=．【例16】如图，ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，四边形DEFG 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，求正方形DEFG 的边长．【难度】★★【答案】6037．【解析】设正方形DEFG 的边长为a ，过点C作CH AB ⊥交AB 于点H ，易知：////DG CH DE AB ，DG AD CH AC ∴=，DE CD AB AC = 1DG DECH AB ∴+=在Rt ABC ∆中，34AC CB ==，， 5AB ∴=，125CH =． 11255a a ∴+=， 6037a ∴=， ∴正方形DEFG 的边长为6037． 【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．模块四：内接矩形与相似三角形知识精讲例题解析ABC DEF GABCHGFE D DFE【例17】ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC = 15，BC 边上的高AD = 10，求正方形EFGH 的面积．【难度】★★ 【答案】36．【解析】设正方形EFGH 的边长为a ，易知： ////HE AD HG BC ，．HE BH AD BA ∴=，HG AHBC AB =．1HE HGAD BC∴+=， 11015a a∴+=， 6a ∴=，∴正方形EFGH 的面积为36．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．【例18】如图，已知ABC ∆中，AC = 3，BC = 4，90C ∠=︒，在ABC ∆内部求做一正方形，问怎样截取可以使正方形的面积最大，并求出此时正方形的边长．【难度】★★【答案】如图截取，正方形边长为127． 【解析】设正方形CDEF 的边长为a ，易知： ////EF CB DE AC ，．DE BE AC AB ∴=，EF AECB AB=， 1DE EFAC CB∴+=． 在Rt ABC ∆中，34AC CB ==，，134a a∴+=．127a ∴=． ∴正方形DEFC 的边长为127． 【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，还考查了最优化问题，与例16区别．ABCH 【例19】如图，ABC ∆中，四边形DEFG 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，1ADG CDE S S ∆∆==，3BEF S ∆=，求ABC ∆的面积．【难度】★★ 【答案】9．【解析】过点D 作//DH CB 交AB 于点H ，可得 DGH EFB ∆≅∆． 4DAH S ∆∴= ．易证CDE DAH ∆∆∽，214CDE DAH S CD S DA ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭．12CD DA ∴= ， 13CD CA ∴=．Q CDE CAB ∆∆∽， 219CDE CABS CD S CA ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭． 9CBA S ∆∴=．【总结】本题要灵活应用相似三角形的面积比等于相似比的平方．【例20】锐角ABC ∆中，BC = 6，=12ABC S ∆，两动点M 、N 分别在边AB 、AC 上滑动，且 MN // BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN ，设其边长为x ，正方形MPQN 与ABC ∆公共部分的面积为y （y > 0）．（1）ABC ∆中边BC 上高AD = ______；（2）当x = ______时，PQ 恰好落在边BC 上（如图1）；（3）当PQ 在ABC ∆外部时（如图2），求y 关于x 的函数关系式（并写出定义域）；当x取何值时，y 取得最大值，最大值为多少？【难度】★★★ 【答案】（1）4；（2）125；（3）略． 【解析】（3） Q //MN CB ，AT AM MN AD AB BC ∴==． ∴46AT x =．∴23x AT =． 243TD x ∴=-． ()222224436333x S MN TD x x x x ⎛⎫∴=•=-=-+=--+ ⎪⎝⎭公共．22124635y x x x ⎛⎫∴=-+<≤ ⎪⎝⎭，当3x =时，y 取最大值，max 6y =．【总结】本题要灵活应用三角形内接矩形求面积，结合二次函数的求最值问题．ABC DEF G ABC D P NMQABCD PNM Q图1 图2TAB CD EF1、一线三等角与相似三角形相关模型如下图所示：【例21】已知，在等腰ABC ∆中，AB = AC = 10，以BC 的中点D 为顶点作EDF B ∠=∠，分别交AB 、AC 于点E 、F ，AE = 6，AF = 4，求底边BC 的长．【难度】★★ 【答案】46．【解析】Q EDC B BED ∠=∠+∠， 而EDC EDF FDC ∠=∠+∠， ∴B BED EDF FDC ∠+∠=∠+∠．又Q EDF B ∠=∠，∴BED FDC ∠=∠．Q AB AC =，∴B C ∠=∠．EDB DCF ∴∆∆∽． BE BDDC CF ∴=．106104BDDC -∴=-， 24DC BD ∴=g ．又12CD DB BC ==Q ， 46BC ∴=． 【总结】本题是对“一线三等角”模型的考查．模块五：一线三等角与相似三角形知识精讲例题解析AB CDE 【例22】如图，直角梯形ABCD 中，AB // CD ，90ABC ∠=︒，点E 在边BC 上，且34AB BE EC CD ==，AD = 10，求AED ∆的面积．【难度】★★ 【答案】24．【解析】Q 90ABC ∠=o ，//AB CD ， ∴90DCB ABC ∠=∠=o ．又Q 34AB BE EC CD ==， ABE ECD ∴∆∆∽．∴AEB EDC ∠=∠． ∴34AE AB ED EC ==．Q 90EDC DEC ∠+∠=o ，∴90AEB DEC ∠+∠=o ． ∴90AED ∠=o ．在Rt AED ∆中， Q 10AD =，68AE ED ∴==，． 24AED S ∆∴=． 【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等．【例23】矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C ．（1）设Rt CBD ∆的面积为1S ，Rt BFC ∆的面积为2S ，Rt DCE ∆的面积为3S ，则1S ______23S S +（用“ > ”、“ = ”、“ < ”填空）；（2）写出图中的3对相似三角形，并选择其中一对进行证明． 【难度】★★ 【答案】（1）=；（2）BFC CED ∆∆∽；BFC DCB ∆∆∽； CED DCB ∆∆∽．【解析】（1）过点C 作CH BD ⊥交BD 于点H ，易得； （2）Q BCD DCE F FBC ∠+∠=∠+∠，而90BCD F ∠=∠=o ．∴FBC DCE ∠=∠．BFC CED ∴∆∆∽．【总结】本题主要是考查“一线三等角”模型的相似以及矩形的性质．HABCDE FQ【例24】在矩形ABCD 中，AB = 2，AD = 3，P 是BC 上的任意一点（P 与B 、C 不重合），过点P 作AP ⊥PE ，垂直为P ，PE 交CD 于点E ．（1）连接AE ，当APE ∆与ADE ∆全等时，求BP 的长；（2）若设BP 为x ，CE 为y ，试确定y 与x 的函数关系式；当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？（3）若PE // BD ，试求出此时BP 的长． 【难度】★★★ 【答案】（1）5；（2）()2130322y x x x =-+<<，当32x =时，y 取最大值，最大值为98； （3）43． 【解析】（1）APE ∆与ADE ∆全等， Q 90APE ADE ∠=∠=o ， BAE AED ∠=∠ ， 而BAE PAE ∠>∠，ADE APE ∴∆≅∆． 3AD AP ∴==．在Rt ABP ∆中，222AB BP AP +=， 225BP AP AB ∴=-=．（2）易证ABP PCE ∆∆∽， 得AB BPPC CE=， 即23x x y =-． ∴()2130322y x x x =-+<<．Q 221313922228y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当32x =时，y 取最大值，最大值为98； （3）联结BD 交AP 于点Q ． //PE BD Q ，90APE AQD ∴∠=∠=o ．9090QAD ADQ BAQ QAD ∴∠+∠=∠+∠=o o ，．∴BAQ ADQ ∠=∠， Rt ABP Rt DAB ∴∆∆∽． AB BP AD AB ∴=， 43BP ∴=． 【总结】本题考查三角形全等，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值的知识，题目比较综合．ABCD EPABCDEFM【例25】如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD // BC ，BC = CD ，E 为梯形内一点， 且90BEC ∠=︒，将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，联结EF 交CD 于M ．已知BC = 5，CF = 3，则DM : MC 的值为（ ）A ．53B ．35C ．43D ．34【难度】★★ 【答案】C ．【解析】旋转后，CEB CFD ∆≅∆．5CB CD ∴==， 3CE CF ==，BE DF =， 90BEC DFC ∠=∠=o ． 在Rt CBE ∆中，222BE CE BC +=， 4BE ∴=． 4DF ∴=．Q 90ECF ∠=o ，90ECD DCF ∴∠+∠=o ．又90DCF FDC ∠+∠=o QECD FDC ∴∠=∠ //CE DF ∴43DM DF MC EC ∴==． 【总结】本题考查旋转的相关知识，平行的判定、三角形一边的平行线的知识．模块六：旋转与相似三角形例题解析H【例26】在ABC ∆中，CA = CB ，在AED ∆中，DA = DE ，点D 、E 分别在CA 、AB 上． （1）如图1，若90ACB ADE ∠=∠=︒，则CD 与BE 的数量关系是____________； （2）若120ACB ADE ∠=∠=︒，将AED ∆绕点A 旋转至如图2所示的位置，则CD 与 BE 的数量关系是____________．【难度】★★ 【答案】（1）22CD BE =；（2）33CD BE =． 【解析】（1）90ACB ADE ∠=∠=o Q ∴//DE BC ∴22AD DC AE EB ==∴22CD BE =； （2）过点C 作CH AB ⊥交AB 于点H120ACB ∠=o Q30CAB ∴∠=o ∴23CA AH = ∴23323AC AB == 由ADE ACB ∆∆∽， 得：AD ACAE AB=DAE CAB ∠=∠Q ，∴ACD ABE ∆∆∽∴33CD AC BE AB ==，∴33CD BE =． 【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识．ABC D EABCD E图1图2FAB (Q )CD (O )EPPABCD (O )ABCD (O )QPQ EFEF 图1图2图3【例27】把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=︒，45C F ∠=∠=︒，AB = DE = 4，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD ∆∽CDQ ∆，则此时AP CQ =g ______；（2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时间方向旋转，设旋转角为α．其 中090α︒<<︒，问AP CQ g 的值是否改变？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）8；（2）不改变． 【解析】（1）略；（2）易证APD CDQ ∆∆∽， 得：AP ADCD CQ=AP CQ CD AD ∴•=•． 又42AC =Q ， 22CD AD ∴==， 8AP CQ ∴•=．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识．H 【例28】如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC = 2，30A ∠=︒，点E 、F 分别是线段BC 、AC 的中点，联结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是______，AFBE=______； （2）如图2，当CEF ∆绕点C 顺时针旋转α时（0180α︒<<︒），联结AF 、BE ，则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当CEF ∆绕点C 顺时针旋转α时（0180α︒<<︒），延长FC 交AB 于点D ， 如果623AD =-，求旋转角α的度数．【难度】★★★【答案】（1）垂直，3；（2）成立；（3）略． 【解析】（1）略；（2）由ACB FCE ∆∆∽， 得：AC FCCB CE=．BCE ACF ∠=∠Q ， ∴BCE ACF ∆∆∽． ∴3AF ACBE BC==； （3）过点D 作DH BC ⊥交BC 于点H ， 623AD =-Q ， 232BD ∴=-． 在Rt DBH ∆中，60B ∠=o ， 31BH ∴=-，33DH =-．33CH ∴=-， 45DCH ∴∠=o ， 45ACD ∴∠=o ． 135ACF ∴∠=o ．135α∴=o ．【总结】本题考查旋转的相关知识，特殊的直角三角形边的关系，题目比较综合，第3小题由边求角要会添置辅助线．BACE FABCEFABCDE F图1图2图3A BCDEF【例29】如图，已知ABC ∆与ADE ∆都是等边三角形，点D 在BC 边上（点D 不与B 、C重合），DE 与AC 相交于点F ．（1）求证：ABD ∆∽DCF ∆；（2）若BC = 1，设BD = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）当x 为何值时，79AEF ABD S S ∆∆=？【难度】★★ 【答案】略． 【解析】（1）ABC ∆Q 、ADE ∆是等边三角形60,60B C E EDA ∴∠=∠=∠=∠=ooCDF FDA B DAB ∠+∠=∠+∠Q,CDF DAB ∴∠=∠ ABD DCF ∴∆∆∽；（2）由（1）得ABD DCF ∆∆∽，AB BDDC CF ∴=11x x y ∴=-()201y x x x ∴=-+<<；（3）易证ABD AEF ∆∆∽， AB ADAE AF∴=279AEF ABD S AE S AB ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭ 222279AE AF AB AD ∴== ADE ∆Q 是等边三角形 AD AE ∴= 222279AE AF AB AE ∴== 224981AF AB ∴=1AB =Q 79AF ∴= 72199y CF ∴==-=， 229x x ∴-+=解得1221,33x x == ∴当2133x x ==或时，79AEF ABD S S ∆∆=．【总结】本题考查旋转的相关知识，“一线三等角”模型，相似的性质等的相关知识．模块七：函数与相似三角形例题解析A BCOPQxy l【例30】如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （a ，0）（a < 0），联结BP ，过点P 作PC ⊥PB 交过点A 的直线l 于点C （2，b ）．（1）求b 与a 之间的函数关系式；（2）当a 取得最大的整数时，求BC 与x 轴的交点Q 的坐标．【难度】★★【答案】（1）212b a a =-+；（2）8,07Q ⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）90BPO OPC BPO PBO ∠+∠=∠+∠=o Q OPC PBO ∴∠=∠90BOP PAC ∠=∠=o QBPO PCA ∴∆∆∽ OP OBAC AP∴=即22a b a-=--∴212b a a =-+；（2）Q 0a < a ∴取得最大的整数时1a =-32b ∴=-//OB AC QOB OQAC QA∴=，即2322OQ OQ =- 87OQ ∴=∴8,07Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【总结】本题考查相似的判定及性质等知识．xy123–1–2–3123–1–2–3 ABCO【例31】函数k y x =和k y x =-（0k ≠）的图像关于y 轴对称，我们把函数k y x =和k y x=- （0k ≠）叫做互为“镜子”函数，类似地，如果函数y = f （x ）和y = h （x ）的图像关于y 轴对称，那么我们就把函数y = f （x ）和y = h （x ）叫做互为“镜子”函数．（1）函数y = 3x – 4的“镜子”函数是________________； （2）函数223y x x =-+的“镜子”函数是________________； （3）如图所示，一条直线与一对“镜子”2y x =（x > 0）和2y x=-（x < 0）的图像分别交 于点A 、B 、C ，如果CB : AB = 1 : 2，点C 在函数2y x =-（x < 0）的“镜子”函数上的对应点的横坐标是12，求点B 的坐标． 【难度】★★ 【答案】略【解析】（1）34y x =--； （2）223y x x =++； （3）分别过点A 、B 、C 作CC BB AA '''、、 垂直于x 轴，垂足分别为C B A '''、、．设点2,B m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,A n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0m >，0n >． 由题意，得点1,42C ⎛⎫- ⎪⎝⎭．4CC '∴=,2BB m '=，2AA n '=，A B n m ''=-,12B C m ''=+． 易知////CC BB AA ''', 又:1:2CB AB =所以，可得12().22222(4)3n m m m n n ⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 化简得3111433n m m n -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得 1106m ±=（负值舍去）， 1104104,63B ⎛⎫+-∴ ⎪ ⎪⎝⎭． 【总结】本题主要难在第3问，学生不知识怎么下手，要灵活应用相似的相关知识解决问题．H【例32】如图，已知梯形ABCD ，AD // BC ，AB = AD = 5，3tan 4DBC ∠=．E 为射线BD 上一点，过点E 作EF // DC 交射线BC 于点F ，连接EC ，设BE = x ，ECF BDCSy S ∆∆=．（1）求BD 的长；（2）当点E 在线段BD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【难度】★★★【答案】（1）8BD =；（2）()21108648y x x x =-+<<． 【解析】（1）//AD BC Q ， ADB DBC ∴∠=∠．3tan 4DBC ∠=Q ， 3tan 4ADB ∴∠=．过点A 作AH BD ⊥交BD 于点H ，AB AD =Q ， 4BH HD ∴==． 8BD ∴=．（2）//EF CD Q ， BEF BDC ∴∆∆∽， 8BE BF xBD BC ∴==．∴2264BEF BDC S BE x S BD ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． Q8BEF EFC S BF xS FC x∆∆==-，∴2864ECF BDC S x x S x∆∆-=•． ∴()21108648y x x x =-+<<． 【总结】本题考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高（或同底）的三角形面积比可以转化为底边（或者高）的比．A BCDE FAB CDE F ABCD EFP N MQ【习题1】 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF ⊥BD ，垂足为F ．求证：111AB CD EF+=． 【难度】★★【答案】略． 【解析】Q AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ， ∴////AB CD EF∴EF DF AB DB =，EF BF CD DB =∴1EF EF AB DC +=，即111AB CD EF+=． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识的应用．【习题2】 如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，BC = 4cm ，AB = 8cm ，D 、E 、F 分别为AB 、 AC 、BC 边的中点，点P 为AB 边上一点，过点P 作PQ // BC 交AC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，若AP = 3cm ，求正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积．【难度】★★ 【答案】34．【解析】Q DE 是中位线， 122DE BC cm ∴==．Q D 是AB 中点， 142DA BA cm ∴==． //PQ ED Q ， AP PQAD DE∴=． 342PQ ∴=， 32PQ ∴=． Q DN PN PD =-， ∴12DN =． ∴34S PQ DN =•=公共． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线等知识的应用．随堂检测ABCDEFABCDE FPPQ图1图2Q【习题3】 如图，已知ABC ∆和DEF ∆是两个全等的等腰直角三角形，且 90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF ∆的顶点E 与ABC ∆的斜边BC 的中点重合．将DEF ∆绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在线段AC 上，且AP = AQ 时，求证：BPE ∆≌CQE ∆；（2）如图2，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：BPE ∆∽CEQ ∆；并求当BP = a ，92CQ a = 时，P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）52PQ a =．【解析】（1）E Q 是中点，BE EC ∴=．AP AQ =Q ，BP CQ ∴=． AB AC =Q ， B C ∴∠=∠．BPE CQE ∴∆≅∆．（2）DEF FEC B BPE ∠+∠=∠+∠Q ，而45B DEF ∠=∠=o ，BPE QEC ∴∠=∠． 45B C ∠=∠=o Q ，BPE CEQ ∴∆∆∽，BP BECE CQ∴=，92a BE a CE ∴=， 292CE BE a ∴⋅=，32BC a ∴=．在Rt ABC ∆中，3AB AC a ==，32AQ a ∴=，2AP a =．∴在Rt APQ ∆中，52PQ a =．【总结】本题考查了“一线三等角”相似模型．ABCDEF【作业1】 如图，已知AB // EF // CD ，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论．【难度】★★ 【答案】略【解析】BED BCD S BE S BC ∆∆=Q ，BED ABD S ED S AD ∆∆=，又ED ECAD BC=Q ， 1BED BED BCD ABD S S S S ∆∆∆∆∴+=，即111BCD ABD BEDS S S ∆∆∆+=． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线及同高三角形的面积比可转化为底的比．【作业2】 已知AD 、AE 分别为的内、外角平分线，M 为DE 的中点，求证：22AB BMAC CM=．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】联结AM ， AD AE Q 、分别是内、外角的平分线，90DAE ∴∠=o ．M Q 是DE 的中点，MA MD ∴=，MA MD ∴=， MAC CAD ADM ∴∠+∠=∠．又ADM BAD B ∠=∠+∠Q ，MAC CAD BAD B ∴∠+∠=∠+∠．BAD DAC ∠=∠Q ，MAC B ∴∠=∠， MAC MBA ∴∆∆∽MC MA ACMA MB AB∴==22AB MB AC MA ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，还有角平分线的相关知识．课后作业ABCD EM【作业3】 如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一 起，A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒，它们的斜边长为2，若AFG ∆绕点旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为点D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合）．（1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明；（2）ABC ∆的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角 坐标系（如图2）．在边BC 上找一点D 使BD = CE ，求出点D 的坐标，并通过计算验证222BD CE DE +=；（3）在旋转过程中，（2）中的等量关系222BD CE DE +=是否始终成立？若成立，请证明 你的结论；若不成立，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）EAD EBA ∆∆∽；DAE DCA ∆∆∽；EBA ACD ∆∆∽；证明：ADE B BAD ∠=∠+∠Q BAE DAE BAD ∠=∠+∠ 而B DAE ∠=∠ ADE BAE ∴∠=∠ 又B C ∠=∠Q EBA ACD ∴∆∆∽； （2）解：ABC ∆Q 、AGF ∆是等腰直角三角形， 45,FAG C ∴∠=∠=o ,ADC ADE ∠=∠QDAE DCA ∴∆∆∽，AED CAD ∴∠=∠．ABC ∆Q 是等腰直角三角形， AO BC ⊥， BO OC ∴=．DO OE ∴=，AB BDDC CF ∴=． AO BC ⊥Q ， DA AE ∴=． AED ADE ∴∠=∠． CDA CAD ∴∠=∠． DC CA ∴=． 2BC =Q ， 2AC ∴=．2DC ∴=，21OD ∴=-． ()12,0D ∴-；由此可知：2222222BD CE ED =-=-=-Q ，，，222BD CE DE ∴+=；ABC DEF GABCDEFG Oxy 图1图2H九年级同步31 / 31（3）成立，将ABD ∆绕点A 旋转，使得AB 与AC 重合，如图，此时D 的对应点是H ，联结HE ，可得ABD ACH ∆≅∆．45ABD ACH ∴∠=∠=o ，BD HC =，AD AH =，BAD HAC ∴∠=∠；45ACB ∠=o Q ，90HCE ∴∠=o在Rt HCE ∆中，222HC EC HE +=，45DAE ∠=o Q ，45BAD EAC ∴∠+∠=o ，即45EAC HAC ∴∠+∠=o 45HAE ∴∠=o ， DAE HAE ∴∠=∠． ADE AHE ∴∆≅∆．DE HE ∴=． ∴222BD EC DE +=．【总结】本题考查相似的判定和性质，以及全等的判定和性质，要会构造全等三角形来解决问题，本题比较综合．。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.3 三角形一边的平行线判定定理 教案
三角形一边的平行线判定定理教材分析本节课是九年级第一学期第二十四章《相似三角形》中《三角形一边的平行线》的第3课时内容。
第二十四章主要学习相似三角形的概念、判定和性质，而为了研究相似形，需要有比例线段及其性质、三角形一边平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理作铺垫，因此本节课的内容是后续学习相似三角形内容的知识和技能基础之一。
如上图所示，本节课的重点是导出三角形一边的平行线判定定理及其推论，并进行初步运用，是建立在学习了“三角形一边平行线的性质定理”的基础上的，从学生已有的认知基础（三角形一边平行线的性质定理及其推论）和学习经验（三角形面积比与线段之比的转化方法、同一法、构造A型图或X型图的方法）出发进行数学的理性分析。
首先，提出“三角形一边的平行线性质定理的逆定理是否正确”的问题，引导学生进行探究讨论，对思维对象（即问题是否成立）进行肯定或否定的判断，并能够简单地说明判断的标准或依据（有特殊到一般进行判断，凭感觉进行判断等等）。
以此使学生掌握判断的标准，关注判断的合理性及能够正确地表达判断。
然后，再通过构造A型图、X型图、分割三角形等手段，运用“同一法”、“面积法”、“构造平行四边形”等方法证明得到三角形一边的平行线判定定理。
这一学习过程中不仅体现了“判断”的三要素，也体现了论证几何注重演绎推理的特点，可充分培养学生判断和演绎推理的思维形式。
学生在学习的过程中，有了发挥和展示个人生思维的独特性和新颖性，以此培养和提高学生思维的深刻性。
同时学生在此学习过程中，锻炼了个人知识迁移的能力，以此培养和提高学生思维的灵活性。
证明“三角形一边平行线的判定定理”的方法有“通过构建平行四边”、“同一法”和“面积法”，证明的过程都十分的简捷，但添置辅助线是教学的一个难点，需引导学生根据所要研究的结论联想构造平行四边形，或运用“同一法”和“面积法”，结合已知条件和图形的特征考虑构造“X 型图”或“A 型图”或“分割三角形”，形成证明思路。
(完整版)相似三角形最全讲义(教师版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d cb a =4、比例外项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ΛΛ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
人教版九年级数学下27.2相似三角形的判定(平行线法)教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠和测量，学生可以直观地感受相似三角形的性质。
在讲授过程中，我尽力用清晰的图示和实际的例题来解释同位角、内错角等概念，但显然，这部分内容对于一些学生来说仍然是一个难点。我意识到，可能需要通过更多的互动和实际操作来加强他们的理解。在未来的教学中，我打算引入更多的实物模型或互动软件，让学生能够更直观地感受这些几何关系。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的效果比我预期的要好，大家积极参与，热烈讨论。我观察到他们在解决问题的过程中能够运用所学的知识，这让我感到很欣慰。不过，我也注意到有些小组在讨论时可能会偏离主题，这可能是因为他们对问题的理解不够深入。在接下来的教学中，我需要更明确地设定讨论的主题和目标，引导学生们更加聚焦。
在小组讨论环节，我发现学生们对于相似三角形在实际生活中的应用有很多自己的想法，这是一个很好的现象。通过分享和交流，他们能够从不同的角度理解相似三角形的应用。但同时，我也注意到有些学生在讨论中比较沉默，可能是因为他们不够自信或者没有被充分地激发思考。我需要在这方面多做一些工作，鼓励每个学生都参与到讨论中来，提高他们的参与度和自信心。
-强调：在讲解过程中，教师要着重强调这些判定条件的逻辑关系，以及如何从已知条件出发，逐步推导出相似关系。
2.教学难点
-难点内容：本节课的难点在于学生对于平行线法的理解和应用，尤其是在实际问题中的运用。
相似三角形的判定平行线法课堂PPT课件
分别交AD及CB的延长线于点E,F,EF交
AB于点H,AH:FB=1:2,则AG:GC的值
为______.
AE
D
HG
F
B
C
13
7.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上, CE,BD交于点F,若AE:BE=4:3,且BF=2,则
DF=______.
A
D
EF
B
C
14
BC=____。
A
D E F
B
G H I
C
9
3.如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、
GF交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共 有多少个?
解：与△ABC相似的三角形有: A
△AＤＥ △ＧＦＣ
G
D OE
△ＧＯＥ
B
C
F
相似具有传递性
10
4.如图，在△ABC中， AB=3AD,DE∥BC,EF∥AB,若
AD AE DE AB AC BC
∴△ADE∽△ABC
F
5
平行于三角形一边的直线和其他 两边相交，所构成的三角形与原三角 形相似．
6
平行于三角形一边的直线与其它两边（或 两边的延长线）相交,所得的三角形与原 三角形 相似
“A字”型
“8字”型
A
D
E
B （图1）
C
A
E
c
B
D
7
针对性练习
1.已知：如图，AB∥EF∥CD，
3
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我 们通过相似的定义证明这个结论.
先证明两个三角形的对应角相等. 在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
人教版九年级数学27.2相似三角形的判定之平行判定法(公开课)(共20张PPT)
则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
相似的表示方法
如
何
符号：∽ 读作：相似于 证
相似比
明
A
A1
两 个
三
B
C B1
角
C1
形
如果A△B与 C △ A1B1C1的相似比 k，为相
则△ A1B1C1与△ AB的 C 相似比 k1 为
似 呢
探究
A型
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
你还能画出其 他图形吗？
D
B
A
即：
在△ABC中，
E
如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC
C
推论
平行于三角形一边的直线截其它两边，
所得的对应线段成比例。
A
即：
在△ABC中，
D
E
如果DE∥BC，
B
C
那么
AD AB
AE AC
DE, BC
A
D
E
B
C
练习：
1、如图，△ABC中，DE∥BC，AD=6cm， BD=2cm，AE=4cm，求EC的 长。
A
D
E
B
C
练习：
2、如图，AC⊥BC于点C,DE⊥AC于点E.
（1）求证：AD AE
AB AC
A
(2)若DE=10，BC=30，BD=8，
求AB的长.
D
E
B
C
谢谢聆听！
20
E
C:—AA—CD ＝ —AA—BE ( ) D: —AA—ED ＝ —AA—CB ( )B
人教版九年级下册数学《27.2.2 用平行线判定三角形相似》教学课件
知2－练
3 【中考·恩施州】如图，在△ABC中，DE∥BC， ∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6， 则DE的长为( C ) A．6 B．8 C．10 D．12
知2－练
4 【中考·贵港】如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于 点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且 ∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE.下列结论： ①∠ACD＝30°；②S▱ABCD＝AC·BC；③OE:AC ＝ 3 :6；④S△OCF＝2S△OEF，其中成立的有( D ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
BC于点F，BF就是平移DE所得的线段.
先证明两个三角形的角分别相等. 如图，在△ADE 与△ABC 中，∠A=∠A. ∵DE//BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. 再证明两个三角形的边成比例. 过点E作EF//AB，交BC于点F. ∵DE//BC，EF//AB， AD = AE ，BF = AE .
CD CF ∵AE＝EB，∴AE＝
1AB＝
1 CD.
2
2
∴CF＝2AF＝4.
总结
知2－讲
利用证三角形相似求线段的长的方法：当三角 形被平行线所截形成“A”型或“X”型的图形，并 且所求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通 过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边的比相 等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段 的长．
通过建立相似三角形数学模型可以解决实际 问题.
知2－讲
例2 如图，在▱ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于
____4____．
导引：有平行四边形，就提供了平行线，就有三角形相似，
就有对应边的比相等，就能求出FC的长．
在▱ABCD中，∵AB∥CD，AB＝CD，
2019_2020学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1平行线等分线段定理课件新人教A版选修4_1
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【例3】 如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于 点O,OE∥AB交BC于点E,AD=6,求BE的长.
分析由于OE∥AB,OA=OC,根据平行线等分线段定理的推论1,得出 E是BC的中点,所以BE=EC =12BC=12AD.
A.AE=CE B.BE=DE
C.CE=DE D.CE>DE 解析由平行线等分线段定理可直接得到答案. 答案C
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2.推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
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() (4)梯形的中位线平行于两底,并且等于两底差的一半. ( ) 答案(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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探究一
探究二
探究三
探究一作已知线段的等分点
【例1】 已知线段AB,求作线段AB的六等分点,并予以证明. 分析根据平行线等分线段定理,只要作射线AM,在AM上以任意取
DG=
,H是
的中点,F是
的中点.
解析由平行线等分线段定理、推论1和2以及AE=EB可得答案,故 填BG,AC,CD.
答案BG AC CD
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第2讲 三角形一边的平行线(一) (教师版)
第2讲三角形一边的平行线（一）【学习目标】三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清该定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A”字型和“X”字形这两个基本图形，为后面学习相似三角形奠定基础．【基础知识】一、三角形一边的平行线性质定理1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知ABCl BC，且与AB、AC所在直线交于点D和点E，那么．∆，直线//二、三角形一边的平行线性质定理推论1、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D、E分别在ABC∆的边AB、AC上，//DE BC，那么．2、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．【考点剖析】考点一：三角形一边的平行线性质定理例1．如图，在ABCBD=，求CE．DE BC，6∆中，15AB=，10AC=，//【难度】★【答案】4．【解析】，代入可得：=4CE．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．例2．阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下2.7米宽的亮区（如图）．已知亮区一边 到窗下的墙角距离8.7CE =米，窗口 1.8AB =米，求窗口底边离地面的高BC ．【难度】★ 【答案】5.8m ．【解析】射入的光线平行，则有，代入可求得： 5.8AC m =，．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到．例3．在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上，//DE BC ，若:2:3AD AB =，12EC =厘米，则AC =．【难度】★ 【答案】7.2cm ．【解析】由//DE BC ，可得，故，代入求得7.2AC cm =．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理和比例合比性的综合应用．例4．如图在ABC ∆中，CD 平分ACB ∠，//DE BC ，5AC =厘米，3:5ADAB=，求DE 的长．【难度】★ 【答案】2cm ． 【解析】//DE BC ，．由5AC cm =，代入可求得：32AE cm CE cm ==，． 又//DE BC ，． 又CD 平分ACB ∠， ． ， ．【总结】本题中涉及一个基本图形，平行线与角平分线一起会产生等腰三角形，同时应用三角形一边平行线的性质定理．例5．如图，已知在ABC ∆中，//DE BC ，//EF AB ，2AE CE =，6AB =，9BC =，求四边形BDEF的周长．【难度】★ 【答案】16．【解析】2AE CE =，． 又//DE BC ，//EF AB ， 2133AD AE EF CE AB AC AB AC ∴====，， 四边形BDEF 为平行四边形． 代入可求得：62DE EF ==，， ()2=16BDEF C DE EF ∴=+四边形．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．例6．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD BC ⊥于点D ，点F 是BC 中点，过点F 作BC 的垂线交AB于点E ，:3:2BD DC =，则:BE EA =．【难度】★★ 【答案】5:1．【解析】由:3:2BD DC =，BF FC =， 即得：，可得：． 又AD BC ⊥，EF BC ⊥， EF ∴//AD ， ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．例7．如图，已知////AB CD EF ，14OA =，16AC =，8CE =，12BD =，求OB 、DF 的长．【难度】★★ 【答案】212OB =，6DF =． 【解析】由////AB CD EF ，．代入可得：141221162OB ⨯==． 同时根据比例的合比性，可得：，即， 又根据平行，可得：， ．代入求得：812616DF ⨯==． 【总结】考查三角形一边平行线定理的变形应用，实际上，任意两条直线被三条平行线所截得的线段对应成比例．例8．如图，已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，//DE BC ，:3:4ECD BCD S S ∆∆=，求EC 的长．【难度】★★ 【答案】12． 【解析】∵ECD 和BCD 为等高三角形， 故34ECD BCDSDE BC S==， 由//DE BC ，2BC =，ABC ∆为等边三角形， 可知ADE 也为等边三角形， ∴32DE =，∴31222EC AC AE =-=-=． 【总结】平行于等边三角形一边截得的三角形也是等边三角形．例9．如图，P 为ABCD 对角线BD 上任意一点．求证：PQ PI PR PS =．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：四边形ABCD 为平行四边形， ，////RB DI SD BQ ∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PD PS PR PB PQ==， PQ PI PR PS ∴⋅=⋅．【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．例10．如图，在平行四边形ABCD 中，CD 的延长线上有一点E ，BE 交AC 于点F ，交 AD 于点G ．求证：2BF FG EF =．【难度】★★【解析】证明：四边形ABCD 为平行四边形， ， ．根据三角形一边平行线的性质定理， 则有：， 2BF FG EF =．【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．例11．如图，点C 在线段AB 上，AMC ∆和CBN ∆都是等边三角形．求证：（1）； （2）．【难度】★★【解析】证明：（1）AMC ∆和CBN ∆是等边三角形，．∵点C 在线段AB 上， ．//AM CN ∴，．（2）同（1）易证得//CM BN ，则有． AMC ∆和CBN ∆是等边三角形， MC AM NB CN ∴==，， ， ．【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化． 考点二：三角形一边的平行线性质定理推论例1．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且//DE BC ．（1）如果2DE =，6BC =，3AD =，求AB 的长；（2）如果2DE =，6BC =，8BD =，求AD 、AB 的长； （3）如果，求的值．【难度】★【答案】（1）9；（2）412AD AB ==，；（3）38．【解析】（1）∵//DE BC ，9AB =； （2）∵//DE BC ，∴，∴4AD =，∴； （3）∵//DE BC ，∴．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．例2．已知小智的身高是 1.6CD =米，他在路灯下的影长2DE =米，小智与路灯灯杆的 底部B 的距离为3DB =米，则路灯灯泡A 距地面的高度AB = 米．【难度】★ 【答案】4．【解析】∵//AB CD ，∴，∴4AB m =． 【总结】考查三角形一边平行线定理的实际应用．例3．如图，一根直立于水平地面的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕点A 按逆时针 反向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化.设AB 垂直于地面时的影子为AC （假 定AC AB >），影子的最大值为m ，最小值为n ，有下列结论：① m AC >；②m=AC ； ③n AB =；④影子的长度先增大后减小.其中正确的序号是．【难度】★★ 【答案】①③④．【解析】木杆绕点A 逆时针旋转时，当AB 与BC 光线垂直 时，m 最大，则m AC >，①成立，②不成立；最小值 为AB 与AC 重合，故③成立；由上可知，影子长度先 增大后减小，故④成立． 【总结】找准临界值，注意进行思维分析．例4．已知：MN // PQ ，a b ≠，c x ≠，则满足关系式bcx a=的图形是（ ）【难度】★★【答案】C【解析】交叉相乘，满足ax bc=的是C选项．【总结】考查三角形一边平行线性质的简单应用．例5．如图，ABC∆中，//DE BC，3AE=，4DE=，2DF=，5CF=，求EC的长．【难度】★★【答案】92 EC=．【解析】//DE BC，，即，求得：92 EC=．【总结】相似三角形中“A”字型和“X”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．例6．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，若:1:2DE EC=，则:BF BE=．【难度】★★【答案】3:5．【解析】:1:2DE EC=，可知，由//CE AB，可知，故:3:5BF BE=．【总结】初步认识相似三角形中的“X”字型．例7．如图，在ABC∆中，6BC=，G是ABC∆的重心，过G作边BC的平行线交AC于点H，求GH的长．【难度】★★【答案】2．【解析】连结AG并延长交BC于点D，根据重心的定义，可知D为BC中点，则132DC BC==，根据重心的性质，又//GH DC，可得：，求得2GH=．【总结】考查三角形重心的性质．例8．如图，已知////AB CD EF．AB m=，CD n=，求EF的长．（用m、n的代数式表示）．【难度】★★【答案】mnm n+．【解析】由////AB CD EF，则有，即，得mnEFm n=+．【总结】考查相似三角形中“X”字型的综合应用，得到比例关系．例9．如图，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，，BE的延长线交CD的延长线于点G，交AD于点F，求:BF FG的值．【难度】★★【答案】1:2．【解析】由//AF BC，可得，即，故，由//AB DG，可得：．【总结】考查相似三角形中“X”字型的综合应用，得到比例关系．例10．如图，，，:4:1BC CD=，求:AE EC的值．【难度】★★【答案】2:1．【解析】由，得：，又:4:1BC CD=，可得，故．【总结】考查相似三角形中“X”字型的综合应用，得到比例关系．例11．如图，在梯形ABCD中，//AD BC，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，且//EO BC，已知3AD=，6BC=．求EO的长．【难度】★★【答案】2．【解析】由//AD BC ，可得：， 故，由//EO BC ，，求得2EO =．【总结】相似三角形中“A ”字型和“X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．例12．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，3AD =，5BC =，E 、F 是两腰上的点， 且//EF AD ，，求EF 的长．【难度】★★ 【答案】．【解析】过点A 作//AH DC 交BC 于H ，交EF 于G ，则有32CH FG AD BH ====，，又//EG BH ， 可得：，解得：23EG =，故113EF EG GF =+=． 【总结】两条直线被三条平行线所截得的线段长对应成比例．【真题演练】一、单选题1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC ∆中，//BC MN ，//DN MC ，下列结论正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【详解】//BC MN， //DN MC，故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 2．（2021·上海九年级专题练习）如图，//DE BC ，//EF AB ，则下列式子中成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【详解】//DE BC//EF AB故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 3．（2021·上海九年级一模）如图，已知BD 与CE 相交于点A ，DE ∥BC ，如果AD=2，AB=3，AC=6，那么AE 等于（ ） A ． B ．C ．4D ．9【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵ED ∥BC ， ∴ ， 即362AE， ∴AE ＝4， 故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．4．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）如图，在ABC 中，//DE BC ，若，则:ADE BEC S S △△等于（ ）A ．2:15B ．4:15C ．4:9D ．3:15【答案】B【分析】由//DE BC ，证明，再证明，设=2ADE S m ，再求解152BECmS=，从而可得答案． 【详解】解： //DE BC ，， ，2233ADE ABE BDEBECS S SS∴==， 设=2ADESm ，则3BDES m =，=5ABESm ∴，152BECmS∴=， 24.15152ADE BECS m m S∴== 故选B ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，三角形的面积比，掌握以上知识是解题的关键．5．（2020·上海市金山初级中学九年级月考）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，且3AD DB ==，则的值为（ ） A ．1 B ．2C ．13D ．23【答案】A【分析】根据平行可以得到AE ADEC DB=． 【详解】解：∵//DE BC ， ∴． 故选：A ．【点睛】本题考查线段成比例，解题的关键是掌握根据平行线得到对应的线段成比例的方法． 6．（2021·上海九年级专题练习）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若，则等于( )A．13B．25C．23D．35【答案】C试题解析：：∵DE∥BC，∴，故选C．考点：平行线分线段成比例．7．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知线段a、b、c，求作线段abxc=，下列作法中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】由A得，a bc x=，则x＝bca，A错误；由B得，b ac x=，则x＝acb，B错误；由C得，b xa c=，则x＝bca，C错误；由D得，c ba x=，则x＝abc，D正确.故选：D．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．8．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平行线所截线段成比例直接判断即可．【详解】如图：，只有B 选项符合，A 、C 、D 都错误． 故选B ．【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，关键是根据题意及结合图形得到相应线段成比例即可． 9．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点O ，则下列比例式中正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】利用//,AB CD 得到对应线段成比例，再逐一分析即可得到答案． 【详解】解：//,AB CD故A 错误；//,AB CD故B 错误；//,AB CD故C 错误；//,AB CD，故D 正确， 故选.D【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 二、填空题10．（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AE=2CE ，AB=6，BC=9，那么四边形BDEF 的周长是_________．【答案】16【分析】由平行线分线段成比例得出比例式，求出BF 和BD 的长度即可． 【详解】解：2,AE CE23AE AC ∴= //,DE BC，∵AB=6，BC=9，4,6AD DE ∴==，∴2,BD =∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴6DE BF ==，四边形BDEF 的周长是2+2+6+6=16； 故答案为：16．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例和平行四边形的性质；掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意线段的对应关系．11．（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，//DE BC ， ，9BC =，那么ED =_________．【答案】3【分析】根据平行线分线段成比例的性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵//DE BC ∴， ∵BC =9， 故答案为：3．【点睛】本题考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解答的关键． 12．（2020·上海九年级月考）如图，△ABC 中，D 、F 在AB 边上，E 、G 在AC 边上，DE //FG //BC ，且AD ：DF ：FB ＝3：2：1，若AG ＝15，则EC 的长为_____．【答案】9【分析】根据平行线分线段成比例定理和已知条件得出AD ：DF ：FB ＝AE ：EG ：GC ＝3：2：1，设AE ＝3x ，则EG ＝2x ，GC ＝x ，根据AG ＝15得到方程3x+2x ＝15，求出x ，再求出答案即可． 【详解】解：∵DE ∥FG ∥BC ， ∴AD ：DF ：FB ＝AE ：EG ：GC ，∵AD ：DF ：FB ＝3：2：1， ∴AE ：EG ：GC ＝3：2：1， 设AE ＝3x ，则EG ＝2x ，GC ＝x ， ∵AG ＝15， ∴3x+2x ＝15， 解得：x ＝3，∴AE ＝9，EG ＝6，GC ＝3， ∴EC ＝EG+GC ＝6+3＝9， 故答案为：9．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理得到比例式，并设元求出各段的长是解题关键．13．（2020·上海上外附中）如图，在梯形ABCD 中，//3,5,,AD BC AD BC E F ==、是两腰上的点，且//,:1:2,EF AD AE EB =则EF =__________【答案】【分析】过点A 作AG ∥CD 交EF 于H ，交BC 于G ，易证四边形AHFD 、AGCD 均为平行四边形，则有CG=HF=AD=3，BG=2,再由平行线分线段成比例可得，可求得EH ，进而可求得EF 的长． 【详解】解：过点A 作AG ∥CD 交EF 于H ，交BC 于G ，∵AD ∥BC ∥EF ，∴四边形AHFD 、AGCD 均为平行四边形， ∴CG=HF=AD=3， ∴BG=BC ﹣CG=2，∵//,:1:2,EF AD AE EB = ∴， ∴EH=13BG=23，∴EF=EH+HF=,故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例，将梯形问题通过作辅助平行线转化为三角形问题是解答的关键．14．（2020·上海炫学培训学校有限公司）△ABC 中，AB=AC=10，重心G 到底边BC 的距离为2，那么AG=_________． 【答案】4【分析】过点D 作//DE BF 交AC 于点E ，首先利用重心的概念和平行线分线段成比例得出，然后代入计算即可．【详解】如图，过点D 作//DE BF 交AC 于点E ，∵G 是△ABC 重心，∴AD ，BF 都是△ABC 的中线，,AF CF BD DC ∴==． //DE BF ，12CE EF CF ∴==， 2AF EF ∴= ．//DE BF ，．2GD =，4AG ∴=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握重心的概念和平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 15．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知点O 是△ABC 的重心，过点O 作EF ∥BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若BC ＝6，则EF ＝________．【答案】4【分析】连接AO 并延长交BC 于Q ，利用重心性质得AO ：OQ=2：1，则AO ：AQ=2：3，再证明△AEF ∽△ABC ，△AEO ∽△ABQ ，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵连接AO 并延长交BC 于Q ，∵O是△ABC的重心，∴AO：OQ=2：1，∴AO：AQ=2：3，∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABQ，△AEF∽△ABC，∴∵BC＝6，∴EF=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．16．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，G为△ABC的重心，GE∥AB，则＝_________．【答案】1 2【分析】根据重心的概念和性质得到2,3AGBM CMAM==，根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案．【详解】解析：∵G为△ABC的重心，∴2,3AGBM CMAM==，∵GE∥AB，∴∴．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理，掌握三角形的重心是三条中线的交点、重心到顶点的距离等于它到中点的距离的2倍是解题的关键．三、解答题17．（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在BC 、AC 上，BE 平分∠ABC ，DE ∥BA ，如果CE =24，AE =26，AB =45，求DE 和CD 的长．【答案】1085DE =，129665CD =【分析】根据平行线截线段成比例的性质求解． 【详解】解：∵DE ∥BA ， 即∵DE ∥BA ， ∴∠ABE =∠DEB ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE =∠DBE ， ∴∠DBE =∠DEB ，1085BD DE ∴==∵DE ∥BA ，即24,10824265CD CD =++129665CD ∴=【点睛】本题考查成比例线段的应用，熟练掌握平行线截线段成比例定理是解题关键．18．（2021·上海九年级专题练习）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线与，求证：2OC OA OE =⋅．【分析】通过AD ∥BC 可得到，再根据BE ∥CD 可得到，从而得到答案； 【详解】证明：∵AD ∥BC ， ∴，又∵BE ∥CD ， ∴， ∴，∴2OC OA OE =⋅．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，准确证明是解题的关键．19．（2020·上海九年级月考）如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE //BC ． （1）若S △ADE ＝2，S △BCE ＝7.5，求S △BDE ；（2）若S △BDE ＝m ，S △BCE ＝n ，求S △ABC （用m 、n 表示）．【答案】（1）3 （2）2n n m- 【分析】（1）根据有公共顶点，底边共线的两个三角形面积比为底的比，可以得到ADE ABE BDEBCESS SS=,设S △BDE＝x ，再将x 的值代入即可得出答案； （2）由（1）知ADE ABE BDEBCES S SS=，设S △ADE ＝y ，又S △BDE ＝m ，S △BCE ＝n ，从而得出y 与m 、n 的函数关系式，即可表示出三角形ABC 的面积． 【详解】解：（1）设S △BDE ＝x ． ∵， ∵DE ∥BC ， ∴， ∴ADE ABE BDEBCES S SS=∵S △ADE ＝2，S △BCE ＝7.5， ∴，解得：x 1＝﹣5（舍），x 2＝3．经检验x ＝3是此题的解， ∴S △BDE ＝3； （2）由（1）知ADE ABE BDEBCES S SS=，设S△ADE＝y，又S△BDE＝m，S△BCE＝n，∴y y mm n+ =，解得2myn m =-，∴22 ABCm nS m nn m n m∆=++=--．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及等高三角形的面积比，利用平行线分线段成比例定理得出面积比之间的相等关系是解决问题的关键．【过关检测】1.已知线段a、m、n，且ax mn=，求作x，作法正确的是（）【难度】★【答案】C【解析】考查三角形一边平行线的性质定理，变形即为a nm x=，可知C选项满足题意．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，进行简单的变形应用，可知线段错位相乘满足题意的即为所求选项．2.如图，//EF AB，//DE BC，下列各式正确的是（）（A）（B）（C）（D）【难度】★【答案】A【解析】根据三角形边平行线的性质进行比例线段转化可知A选项正确；B、C、D错误．【总结】考查三角形一边平行线的性质的应用．3.如图，ABC∆中，，，//DE AC，求:AB BD的值．【难度】★【答案】8:5．【解析】由，，可得，根据比例的合比性质，可得，由//DE AC，可得．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用．4.如图，在ABC∆，//DE BC，DE与边AB、AC分别交于点D、E．（1）已知6AD=，8BD=，4AE=，求CE、AC的长；（2）已知:2:5AE AC=，10AB=，求AD的长．【难度】★【答案】（1）162833AE CE==，；（2）4．【解析】（1）∵//DE BC，∴，∴163 CE=；（2）∵//DE BC，:2:5AE AC=，∴，∴4AD=．【总结】考查三角形一边平行线的性质．5.如图，菱形ADEF内接于ABC∆，16AB=，14BC=，12AC=，求BE的长．【难度】★【答案】8．【解析】根据三角形一边平行线的性质，，即有，可解得菱形边长487 DE AD==，故647BD AB AD=-=，，∴8BE=．【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用．6.如图，，已知20AB=，80CD=，求EF的长．【难度】★★【答案】16【解析】由，可得:，，则有，代入计算得16EF=．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，利用比例线段之间的关系构造等式求解．7.如图，在ABC∆中，D是边BC上一点，//DF AB，//DE CA．（1）求证：；（2）如果2CF=，5AC=，6AB=，求AE、DE的长．【难度】★★【答案】（1）略；（2）1235AE DE==，．【解析】（1）证明：//DE CA，，又//DF AB，，．（2）解：由（1）可得，根据比例的合比性质，得：，代入可解得：621255 AE⨯==，由//DE CA，//DF AB，可知四边形AEDF为平行四边形，即得：．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，进行比例线段转化．8.如图，P是ABC∆的中线AD上一点，//PE AB，//PF AC．求证：BE CF=．【难度】★★【解析】证明：//PE AB，//PF AC，，，又BD CD=，．【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用，用固定线段的比值作为中间量．9.如图，在ABC∆中，//DE BC，且:2:3AD AB=，求:EO EB的值．【难度】★★【答案】2:5．【解析】由//DE BC，可得，则，根据比例的合比性，可得:2:5EO EB=．【总结】找准图形中的“A”字型和“X”字型进行比例线段的转化构造．10.在ABC∆中，AB AC=，如果中线BM与高AD相交于点G，求．【难度】★★【答案】23．【解析】，．即D为BC中点，M为AC中点，G∴为ABC∆重心，．【总结】考查重心的意义和性质，先证明再利用性质．11.如图ABC∆，点D、E分别在BC、AC上，BE平分ABC∠，//DE BA．如果24CE=，26AE=，45AB=，求DE和CD的长．【难度】★★【答案】1085DE=，129665CD=．【解析】根据三角形一边平行线的性质，可得，∴．由BE平分ABC∠，则有，由//DE BA，可得：，即，故1085 BD DE==，进而可得：，∴129665BD CECDAE⋅==．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理的应用，同时考查平行线与角平分线一起出现会产生等腰三角形的基本图形．。
九年级数学第6讲：相似三角形的性质-教师版
相似三角形的性质是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的3个性质定理．重点是灵活应用相似三角形的性质，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合．1、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形的性质内容分析知识结构模块一：相似三角形性质定理1知识精讲【例1】 已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、 B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长． 【难度】★ 【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BE A B E B ∴=即11362E B =，114E B ∴= 【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．【例2】 已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119AC =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长． 【难度】★ 【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD AC A D ∴=即1296AD=，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8． 【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【例3】 求证：相似三角形对应高的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADk A D =． 证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽，1B B ∴∠=∠，11ABk A B =； 又Q AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高， 11190BDA B D A ∴∠=∠=o ，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例题解析【例4】 求证：相似三角形对应中线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线． 求证：11ADk A D =． 证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽， 1B B ∴∠=∠，1111AB CBk A B C B ==； 又Q AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D BC =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB AD k A B A D ∴==． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．【例5】 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B AC ∠的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽， 1B B ∴∠=∠，111BAC B AC ∠=∠，11ABk A B =； 又Q AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B AC ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B AC ∴∠=∠∠=∠，111BAD BA D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．ABEA 1E 1D 1 C 1B 1 ABCDEF 【例6】 如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =． 求证：1111AD BEA DB E =【难度】★★ 【答案】略 【解析】 证明：1111AB ADA B A D =Q ，又Q 111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽， 111ABD A B D ∴∠=∠，又Q 1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又Q BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．【例7】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ． 【难度】★★【答案】12．【解析】 解：Q BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又Q BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE∴=，又Q BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠ BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．AB CDEF GHKAB CE FGDH P【例8】 如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩 形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积． 【难度】★★ 【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm =-Q 矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=o ，， GF AGBC AB∴=,又Q AH 是高，90AHB ∴∠=o ， GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴, DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC∴+=,3813248x x -∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．【例9】 如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域． 【难度】★★★【答案】()233055y x x x =-+<<．【解析】解：Q 矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠=o ，GD ADBC AB∴=，又Q AH 是高，90AHC ∴∠=o ， DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴, DE BD AH AB ∴=，1DG DEBC AH∴+=，153x DE ∴+=，又Q DEFG S y x DE ==•矩形，20x ∴=，∴y DE x =，153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =-+<<． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．【例10】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【难度】★★★【答案】甲同学方案好，理由略．【解析】解：211.52ABC S AB BC m ∆=•=,又Q 1.5AB m =，2CB m ∴= ∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．① 按甲的设计：设DE x =，Q 正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴， DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG ADBH AB∴=, 设DE x =，则DG x =，Q 正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DGCA HB∴+=，Q 1122ABC S AB BC AC BH ∆=•=•，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=， 3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正； 综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．BCDEF1、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．【例11】若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( ) （A ）1:4（B ）1:2（C ）2:1（D ）1:2【难度】★ 【答案】B 【解析】略【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【例12】 ABC ∆∽111A B C ∆，它们的对应的中线比为2:3，则它们的周长比是．【难度】★ 【答案】2:3 【解析】略【总结】相似三角形对应中线的比等于相似比，周长比等于相似比．模块二：相似三角形性质定理2知识精讲例题解析AD EF【例13】已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【难度】★【答案】112015BC A B ==，． 【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==； 又Q111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==． 【总结】本题考查相似三角形的性质．【例14】如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【难度】★★ 【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三角形周长为2acm ，则5260a a -=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ． 【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【例15】如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为． 【难度】★★ 【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，Q AD 是BC 上的高，//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=Q ，312AEF C ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．A BCD PACP Q 【例16】 如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【难度】★★【答案】152cm ．【解析】解：Q 梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+-梯形，31667PDC PDC C C ∆∆∴=+-，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．【例17】如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长． 【难度】★★ 【答案】247．【解析】解：Q CPQ PABQ C C ∆=四边形，CP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=-+-+，5AB =Q ，3BC =，90C ∠=o ，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=-+-+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB Q ，CP CQCA CB∴=， ∴643CP CP -=，247CP =． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．ACDEF【例18】 如图，等边三角形ABC 边长是7厘米，点D 、E 分别在AB 和AC 上，且43AD AE =，将ADE ∆沿DE 翻折，使点A 落在BC 上的点F 上． （1）求证：BDF ∆∽CFE ∆； （2）求BF 的长． 【难度】★★★【答案】（1）略；（2）5．【解析】（1）证明：ADE ∆翻折成FDE ∆．ADE FDE ∴∆≅∆，A EFD ∴∠=∠，Q ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，60EFD B C ∴∠=∠=∠=o ，DFC DFE EFC ∠=∠+∠Q ，DFC B BDF ∠=∠+∠， EFC BDF ∴∠=∠， BDF CFE ∴∆∆∽．（2）由（1）知BDF CFE ∆∆∽，BDF CFE C DFC EF∆∆∴=，又ADE FDE ∆≅∆Q ， AD DF AE EF ∴==，，43BDF CFE C AD C AE ∆∆∴==，43BF BD DF BF AB CE FC EF CF AC +++∴==+++， 74773BF BF +∴=-+，5BF ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，轴对称的性质，应用相似三角形周长比等 于相似比是解决本题的关键．模块三：相似三角形性质定理3知识精讲1、相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析【例19】（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【难度】★【答案】（1）10000；（2）10．【解析】略【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．【例20】两个相似三角形的面积分别为5cm2和16cm2，则它们的对应角的平分线的比为（）（A）25:256（B）5:16（C）5:4（D）以上都不对．【难度】★【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方．【总结】本题考查相似三角形的性质．AB CD EAB CD EAB CD【例21】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【难度】★ 【答案】36．【解析】解：//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．【例22】如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【难度】★ 【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠Q ，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又28ACD S cm ∆=Q ，218ABC S cm ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质． 【例23】如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED的面积相等，求AD :BD 的值． 【难度】★★1．【解析】解：//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCED S S ∆=Q 四边形， 12ADE ABC S S ∆∆∴=，AD AB ∴=1AD DB ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．A BCEF【例24】 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于（） （A ）1:3 （B ）2:3 （C2 （D【难度】★★ 【答案】A【解析】解：Q ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，又DE AC ⊥Q ，EF AB ⊥，FD BC ⊥， 90AFE FDB DEC ∴∠=∠=∠=o ， 30AEF BFD EDC ∴∠=∠=∠=o ， 60EFD FDE FED ∴∠=∠=∠=o，12BD BD BF DF ==， ∴FDE ∆是等边三角形，AFE BDF ∴∆≅∆， AF BD ∴=， FDE ABC ∴∆∆∽，2DEF ABC S DF S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 设AF x =，则BD x =，2BF x =，DF =，DF AB ∴=13DEF ABC S S ∆∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识．AB CDF【例25】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【难度】★★ 【答案】3．【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥Q ，，90CDA BEC ∴∠=∠=o ． 90CDA BEC ∴∠=∠=o ，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=o ，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=oQ ，30CBE CAD ∴∠=∠=o ，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=Q ，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【例26】 如图，BE 、CD 是ABC ∆的边AC 、AB 上的中线，且相交于点F ，联结DE ．求ADE BFC SS ∆∆的值．【难度】★★ 【答案】43． 【解析】分别过点A 、F 作AH BC ⊥、FG BC ⊥，交BC 分别于点H 、G ，得//FG AH ，FG KFAH AK=． 联结AF 并延长交BC 于点K ．CD Q 、BE 是ABC ∆的中线，//DE BC ∴，12DE BC =， F Q 是重心，13KF AK ∴=，13GF AH ∴=． 11113322444ADES DE AH DE AH DE FG DE FG ∆====Q g g g g ， 11222BFC S BC FG DE FG DE FG ∆===g g g ，34ADE BFC S S ∆∆∴=．【总结】本题考查三角形一边的平行线，重心的意义，三角形中位线及三角形的面积等．A BCDEF OA BCDEFG【例27】 如图，在矩形ABCD 中，AB = 2cm ，BC = 4cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在BC 边上，DE 于AC 交于点F ，EDC ADB ∠=∠．求：（1）BE 的长； （2）CEF ∆的面积．【难度】★★【答案】（1）3cm ；（2）215cm ．【解析】解：（1）Θ矩形ABCD ，2AB DC cm ∴==，且//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，EDC ADB ∠=∠Q ，EDC DBC ∴∠=∠，CDE CBD ∴∆∆∽，CD CECB CD∴=，242CE∴=，1CE cm ∴=，3BE cm ∴=； （2）//AD BC Q ，∴4AD DFEC EF ==，5DCE CFES DE S EF ∆∆∴==，又11212CDE S ∆=⨯⨯=Q ，215CFE S cm ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，矩形的性质，同高三角形的面积比等于底边的比等知识．【例28】 如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CF AD 的值．【难度】★★ 【答案】21． 【解析】解：//EF BD Q ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEGEBCG S S ∆=Q 四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆Q ，90ACD ACB ∴∠=∠=o ，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．ABCDEOABC DEF 【例29】 如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，EC 和BD 相交于点O ，联结DE ．若16EOD S ∆=，36BOC S ∆=，求AEAC 的值．【难度】★★★ 【答案】23． 【解析】解：BD AC CE AB ⊥⊥Q ，， 90BEO CDO ∴∠=∠=o ，A A ∠=∠Q ,AEC ADB ∴∆∆∽，AE ADAC AB∴=， ADE ABC ∴∆∆∽，AE DEAC BC∴=．EOB DOC ∠=∠Q ，EOB DOC ∴∆∆∽，EO BOOD OC∴=，EOD BOC ∠=∠Q ，EOD BOC ∴∆∆∽，2164369EOD BOC S ED S CB ∆∆⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭，23ED BC ∴=，23AE AC ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质及判定知识． 【例30】 如图，90ACB ∠=︒，DF AB ⊥于点F ，45EF BE =，14DCE BFE S S ∆∆=，且CE = 5，求：（1）BC 的长；（2）CEF S ∆．【难度】★★★【答案】（1）352；（2）15．【解析】解：（1）FD AB ⊥Q ，90EFB ∴∠=o ， 90ACB ∠=o Q ，90BCD ∴∠=o ，EFB BCD ∴∠=∠，FEB CED ∠=∠Q ，BFE DCE ∴∆∆∽，2BFE DCE S EF S CE ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又14DCE BFE S S ∆∆=Q ，2FE CE ∴=，45FE BE =Q ，25CE BE ∴=．5CE =Q ，252BE ∴=，352BC ∴=； （2）45FE BE =Q，10EF ∴=，152BF =，17522BEF S BF EF ∆∴==g ， 又52BFE FEC S EB S CE ∆∆==Q ，15FEC S ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【习题1】 已知ABC ∆∽'''A B C ∆，AD 、''A D 分别是ABC ∆和'''A B C ∆的角平分线，且3''2AD A D =，9AB =，则''A B =． 【难度】★ 【答案】6．【解析】解：'''ABC A B C ∆∆Q ∽，AD 、''A D 分别是对应角平分线，''''32AB AD A B A D ∴==，9AB =Q ，''6A B ∴=．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【习题2】 若一个三角形三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边的长为21厘米，则其余两边长的和为．【难度】★ 【答案】24．【解析】解：设三角形的三边长为3a ，5a ，7a ，由题知，721a =，3a ∴=， 35824a a a ∴+==．【总结】本题考查相似三角形的性质．【习题3】 两个相似三角形的周长分别为5cm 和16cm ，则它们的对应角的平分线的比为（）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对【难度】★ 【答案】B 【解析】略【总结】本题考查相似三角形对应周长的比、对应角平分线的比都等于相似比．随堂检测【习题4】 已知：D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点．求证：=4ABC DEF S S ∆∆． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】解：D Q 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点，12DF EF DE AC BC AB ∴===，DEF ABC ∴∆∆∽，214DEF ABC S DF S AC ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，4ABC DEF S S ∆∆∴=．【总结】本题考查三角形中位线，相似三角形的性质及判定知识．【习题5】 如图，DE 是ABC ∆的中位线，N 是DE 的中点，CN 的延长线交AB 于点M ，若ABC S ∆= 24，求AMNE S 四边形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】解：联结AN ．DE Q 是ABC ∆的中位线， //DE BC ∴，12DE BC =，ADE ABC ∴∆∆∽， 164ADE ABC S S ∆∆∴== ，N Q 是DE 的中点， 132ADN ADE S S ∆∆∴==，//DE BC Q ，14DN BC =，14DM BM ∴=，1133DM BD AD ∴==，113DMN ADN S S ∆∆∴==错误!未找到引用源。
三角形一边的平行线(解析版)
三角形一边的平行线【知识梳理】1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ∆，直线//l BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， //DE BC ，那么DE AD AE BC AB AC ==．3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果AD AEDB EC=那么l //BC ．6、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l 所截，那么DF EGFB GC=．7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【考点剖析】 一．三角形的重心（共13小题）1．（2023•青浦区一模）三角形的重心是（ ） A ．三角形三条角平分线的交点 B ．三角形三条中线的交点C ．三角形三条边的垂直平分线的交点D ．三角形三条高的交点【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果． 【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 故选：B ．【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．2．（2023•奉贤区一模）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心．如果AD ＝6，那么线段DG 的长是 ．BCD E FG【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果．【解答】解：∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，∴DG＝AG＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．3．（2022秋•杨浦区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，如果AG＝4，那么BC 的长为．【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，则AD＝6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，AG＝4，∴点D为BC的中点，且AG＝4，∴DG＝2，∴AD＝AG+DG＝6，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边的中线，∴BC＝2AD＝12．故答案为12．【点评】本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．同时考查了直角三角形的性质．4．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝10，则线段GE的长为（）A．B．C．D．【分析】因为点G是△ABC的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1，可知点D为BC的中点，，根据GE⊥AC，可得∠AEG＝90°，进而证得△AEG∽△ACD，从而得到，代入数值即可求解．【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，∴点D为BC的中点，，∵CB＝10，∴，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，∵∠C＝90°，∴∠AEG＝∠C＝90°，∵∠EAG＝∠CAD（公共角），∴△AEG∽△ACD，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．5．（2021秋•松江区期末）如图，已知点G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5【分析】连接AG延长交BC于点D，由G是重心可得D是BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，S△BG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，则2S△BGD＝S△ABG，进而得到3S△BDG＝S△ABC，即可求解．【解答】解：连接AG延长交BC于点D，∵G是△ABC的重心，∴D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG，∵AG＝2GD，∴2S△BDG＝S△ABG，∴3S△BGD＝S△ABD，∴3S△BDG＝S△ABC，∴S△BDG：S△ABC＝1：3，故选：B．【点评】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键．6．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P、Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为6，则PQ的长为．【分析】连接DE，由G是△ABC的重心，可证DE是△ABC的中位线，从而可求出DE的长．延长EP交BC 于F点，连接DF，利用三角形重心的定义和性质得到EP＝2PF，DQ＝2QF，再证明△FPQ∽△FED得到即可．【解答】解：连接DE，延长EP交BC于F点，连接DF，如图，∵G是△ABC的重心，∴D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴．∵P点是△BCE的重心，∴F点为BC的中点，EP＝2PF，∵Q点是△BCD的重心，∴点Q在中线DF上，DQ＝2QF，∵∠PFQ＝∠EFD，，∴△FPQ∽△FED，∴，∴，故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．7．（2022秋•徐汇区期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，设点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，则两重心E与F之间的距离是．【分析】取AC中点O，连接OB、OD、BD、EF．根据含30度角的直角三角形的性质求出AC＝2BC＝2，利用勾股定理得出AB＝，根据等边三角形的性质得出CD＝AD＝AC＝2，∠CAD＝60°，那么∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，利用勾股定理求出BD＝．然后证明△EOF∽△BOD，得出EF＝BD＝．【解答】解：如图，取AC中点O，连接OB、OD、BD、EF．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠30°，BC＝1，∴AC＝2BC＝2，AB＝＝＝，∵△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝AC＝2，∴∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∴BD＝＝＝．∵点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，∴＝＝，又∠EOF＝∠BOD，∴△EOF∽△BOD，∴＝＝＝，∴EF＝BD＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形重心的定义与性质，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．8．（2022秋•黄浦区月考）已知点G是△ABC的重心，那么S△ABG：S△ABC＝．【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，由此即可计算．【解答】解：延长AG交BC于D，∵点G是△ABC的重心，∴BD＝CD，AG：DG＝2：1，∴AG：AD＝2：3，∴S△ABG：S△ABD＝2：3，∵S△ABD：S△ABC＝1：2，∴S△ABG：S△ABC＝1：3．故答案为：1：3．【点评】本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质．9．（2023•金山区一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1为△ABC的重心，E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE（点D在直线BC的上方），G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是．【分析】分别求出d的最小值和最大值，即可得到d的取值范围．【解答】解：当E与B重合时，G1与G2重合，此时d最小为0，当E与A重合时，G1G2最大，连接并延长AG1交BC于H，连接并延长DG2交AC于K，连接HK，过G2作G2T⊥AH于T，如图：∵G1为等腰直角三角形ABC的重心，∴H为BC中点，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴△ABH和△ACH是等腰直角三角形，∴BH＝CH＝AH＝＝3，∵AG1＝2G1H，∴AG1＝2，G1H＝，∵G2是为等腰Rt△CDE的重心，∴K为AC中点，∴∠AKD＝∠CKD＝90°，∠AKH＝∠CKH＝90°，∴∠AKD+∠AKH＝180°，∴D，K，H共线，∵AK＝CK＝DK＝AC＝AB＝3＝HK，∴G2K＝DK＝1，G2D＝DK﹣G2K＝2，∴G2H＝G2K+HK＝4，∵TG2∥ED，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴TG2＝2，TH＝2，∴TG1＝TH﹣G1H＝，∴G1G2＝＝，∴G1G2最大值为，∴G1G2的范围是0≤G1G2≤，故答案为：0≤d≤．【点评】本题考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握三角形重心的性质．10．（2023•松江区一模）已知△ABC，P是边BC上一点，△P AB、△P AC的重心分别为G1、G2，那么的值为．【分析】由重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，得到△AG1G2∽△ADE，推出△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，而△ADE的面积＝×△ABC的面积，即可解决问题．【解答】解：延长AG1交PB于D，延长AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中点，E是PC中点，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，∵D是PB中点，E是PC中点，∴△ADE的面积＝×△ABC的面积，∴的值为．故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键是掌握三角形重心的性质．11．（2022秋•徐汇区期中）已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝6，那么AG的长为．【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可．【解答】解：∵G是等腰直角△ABC的重心，AC＝BC＝6，∴CD＝BC＝3，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AG＝×＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．12．（2018•宝山区校级自主招生）G为重心，DE过重心，S△ABC＝1，求S△ADE的最值，并证明结论．【分析】设AD＝mAB，AE＝nAC，由G为△ABC重心得＝3，再由当＝＝时，有最大值，则mn有最小值，而无论D、E任何移动，mn，即可求出S△ADE的最值．【解答】解：S△ADE的最大值为，最小值为．证明：假设△ABC面积为S1，△ADE面积为S2，设AD＝mAB，AE＝nAC，∵G为△ABC重心，∴＝3，∴S2＝AD•AE•sinA＝mAB•nAC•sinA＝mnS1，当＝＝时，有最大值，则mn有最小值，而无论D、E任何移动，mn，∴S1≤S2≤S1，∴S△ADE的最大值为，最小值为．【点评】本题主要考查了三角形重心的性质，解决此题的关键是根据G为△ABC重心得到＝3．13．（2019秋•嘉定区校级月考）如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，且EF+BC＝7.2cm，求BC的长．【分析】如果连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，结合EF+BC＝7.2cm来求BC的长度．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．∵G为△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，∵EF过点G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝．又EF+BC＝7.2cm，∴BC＝4.32cm．【点评】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．平行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似．相似三角形的三边对应成比例．二．平行线分线段成比例（共1914．（2022秋•徐汇区期末）在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，要使DE∥AC，那么BE必须等于．【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须即可得出BE的长．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，∴要使DE∥AC，∴，∴，解得：BE＝6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须是解决问题的关键．15．（2022秋•闵行区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE＝3：1，BF＝10，那么DF等于（）A．B．C．D．【分析】由AB∥CD∥EF，可得出＝，代入AC＝3CE，BF＝10，即可求出DF的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴DF＝．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．16．（2023•宝山区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．【解答】解：∵AD：BD＝1：3，∴，∴当时，，∴DE∥BC，故A选项能够判断DE∥BC；而C，B，D选项不能判断DE∥BC．故选：A．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．17．（2022秋•嘉定区校级期末）如果点H、G分别在△DEF中的边DE和DF上，那么不能判定HG∥EF 的比例式是（）A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DEC．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：A、当DH：EH＝DG：GF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；B、当HG：EF＝DH：DE∥EF，本选项符合题意；C、当EH：DE＝GF：DF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；D、当DE：DF＝DH：DG，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．18．（2023•徐汇区一模）如图，a∥b∥c，若，则下面结论错误的是（）A．B．C．D．【分析】已知a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．【解答】解：由，得＝＝，故A不符合题意；∵a∥b∥c，∴＝＝，故B不符合题意；根据已知条件得不出＝，故C符合题意；由＝，得＝＝，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．19．（2021秋•嘉定区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AC：AE＝3：5，那么下列结论正确的是（）A．BD：DF＝2：3B．AB：CD＝2：3C．CD：EF＝3：5D．DF：BF＝2：5【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BD：DF＝AC：CE＝3：2，A选项错误，不符合题意；AB：CD的值无法确定，B选项错误，不符合题意；CD：EF的值无法确定，C选项错误，不符合题意；DF：BF＝CE：AE＝2：5，D选项正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．20．（2023•长宁区一模）如图，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的长等于．【分析】由AD∥BE∥CF，可得＝，即＝，可解得DF＝18，从而EF＝DF﹣DE＝12．【解答】解：如图：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝5，DE＝6，AC＝15，∴＝，解得DF＝18，∴EF＝DF﹣DE＝18﹣6＝12，故答案为：12．【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，列出比列式．21．（2023•松江区一模）如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么线段EF的长是．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵DE＝3，∴＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．22．（2022秋•松江区月考）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB ＝4，AC＝6，求EC．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：AE＝，∴EC＝AC﹣AE＝6﹣＝．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．（2022秋•松江区月考）如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG＝AF•AB．【分析】（1）由平行可得＝，可求得AC，且EC＝AC﹣AE，可求得EC；（2）由平行可知＝＝，可得出结论．【解答】（1）解：∵DE∥BC，∴＝，又＝，AE＝3，∴＝，解得AC＝9，∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6；（2）证明：∵DE∥BC，EF∥CG，∴＝＝，∴AD•AG＝AF•AB．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．24．（2023•崇明区一模）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据各个选项中的条件和图形，利用相似三角形的判定和性质、平行线的判定，可以判断哪个选项符合题意．【解答】解：当时，无法判断AD∥BC，故选项A不符合题意；当＝时，∠AFB＝∠DFE，则△AFB∽△DFE，故∠ABF＝∠DEF，AB∥CD，但无法判断AD∥BC，故选项B不符合题意；当时，无法判断AD∥BC，故选项C不符合题意；当时，∠FED＝∠BEC，则△FED∽△BEC，故∠EFD＝∠EBC，可以判断判断AD∥BC，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝24，那么BC的长等于（）A．4B．C．D．8【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出BC．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵BE＝24，∴，解得：．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．26．（2022秋•浦东新区期末）如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判定即可．【解答】解：A．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故本选项符合题意；B．∵DF∥AC，∴＝，故本选项不符合题意；C．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，即＝，故本选项不符合题意；D．∵DE∥BC，DF∥AC，∴，，∴＝，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的性质，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．27．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE＝．【分析】根据平行线分线段成比例，即可进行解答．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，∵DF＝12，∴DE+DE＝12，解得：DE＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．掌握平行线分线段成比例是解题关键．28．（2022•宝山区二模）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求证：四边形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，联结DE，求DE的长．【分析】（1）根据菱形的判定方法解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，AE＝2EC，∴＝，∵DF∥AC，∴＝，∴＝，∴EF∥AB，又∵DF∥AC，∴四边形ADFE是平行四边形，∵AB＝2AC，AE＝AC，∴AE＝AB，∴AD＝AE，∵四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE是菱形；（2）如图，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，＝＝＝，＝＝＝，∴△ADE∽△ACB，∵BC＝1，∴DE＝．【点评】本题主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些判定定理和性质定理是解答本题的关键．29．（2021秋•杨浦区校级月考）如图，点D为△ABC中内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD 上一点，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求证：EF∥BC；（2）当，求的值．【分析】（1）先根据相似比的性质得出＝，＝，故可得出＝，由此即可得出结论；（2）先根据EF∥BC得出∠AEF＝∠ABC，再由DG∥BD得出∠AEG＝∠ABD，故可得出∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，故可得出△EGF∽△BDC根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．【解答】（1）证明：∵EG∥BD，∴＝，∵GF∥DC，∴＝，∴＝，∴EF∥BC；（2）解：∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∵EG∥BD，∴∠AEG＝∠ABD，∴∠AEF﹣∠AEG＝∠ABC﹣∠AED，即∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，∴△EGF∽△BDC，∵，∴＝＝，∴＝（）2＝．【点评】熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．30．（2021秋•宝山区校级月考）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；（2）由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．31．（2022秋•奉贤区期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC ＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的长；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的长．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解；（2）过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．求出BJ，可得结论．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），∴DF＝DE+EF＝4+＝（cm）．（2）如图，过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．∴CK＝CF﹣FK＝40cm，∵BJ∥CK，∴＝，∴＝，∴BJ＝15cm，∴BE＝BJ+JE＝15+40＝55cm．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．32．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于点M，CD、EF交于点N．（1）求证：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2AM＝1，求线段DN的长．【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥DE得到OA•OD＝OE•OB，由BC∥EF得到OC•OF＝OE •OB，所以OA•OD＝OC•OF，即＝，于是可判断AF∥CD；（2）先利用BC∥EF得到＝＝，则可设OB＝5x，BF＝4x，再由AF∥CD得到＝＝，＝＝，所以FD＝6x，接着由FN∥BC得到＝＝，于是可设DN＝3a，则CN＝2a，然后证明四边形MFNC为平行四边形得到MF＝CN＝2a，最后利用＝得到＝，求出a从而得到DN的长．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴＝，即OA•OD＝OE•OB，∵BC∥EF，∴＝，即OC•OF＝OE•OB，∴OA•OD＝OC•OF，即＝，∴AF∥CD；（2）解：∵OA：AC：CE＝3：2：4，∴OC：CE＝5：4，∵BC∥EF，∴＝＝，设OB＝5x，则BF＝4x，∵AF∥CD，∴＝＝，＝＝∴FD＝OF＝×9x＝6x，∵FN∥BC，∴＝＝＝，设DN＝3a，则CN＝2a，∵FN∥CM，MF∥CN，∴四边形MFNC为平行四边形，∴MF＝CN＝2a，∵＝，即＝，解得a＝1，∴DN＝3a＝3．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【过关检测】一、单选题A．4【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例得到35BC ADBE AF==，即可求出BC．【详解】解：∵AB CD EF∥∥，∴35 BC ADBE AF==，∵24 BE=，∴3 245 BC=，解得：725 BC=．故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．九年级校考期中）在ABC中，分别在ABC的边【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、AD DEAB BC=，不能判定DE BC∥，故A符合题意；B、∵AD AE AB AC=，∴DE BC∥，故B不符合题意；C、∵AED C∠=∠，∴DE BC∥，故C不符合题意；D、∵AD AE BD EC=，∴DE BC∥，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．九年级单元测试）在ABC中，点【答案】B【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．【详解】如图：∵DE∥AC，AE：EB=3：2，∴32 AE CDEB BD==∴23BD CD =∵DF AB ∥， ∴23AF BD FC CD == 故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键． 在ABC 的边 【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例可得47AE AD AC AB ==，则可以推出当47AF AE AD AC ==，即37DF AD =时，EF CD ∥．【详解】解：DE BC ∥，43AD DB =，∴44437AE AD AD AC AB AD DB ====++，∴当47AF AE AD AC ==时，EF CD ∥，此时74377DF AD AF AD AD −−===，故A 选项符合题意； B ，C ，D 选项均不能得出EF CD ∥．故选A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握“如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”．5．（2023·上海浦东新·校考一模）如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE BC ∥的条件是（ ）A ．::AD AB DE BC =B ．::AD DB DE BC = C ．::AD DB AE EC =D ．::AE AC AD DB =【答案】C 【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．【详解】解：设DE BC ∥，那么AD AB AE AC AD DB AE EC DB AB EC AC ===::，::，::，选项A 、B 、D 、不符合平行线分段成比例定理．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．∵AD DB AE EC =::，∴DE BC ∥．故选：C ．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解答此题的关键的是明确哪些对应线段成比例．学生初学，容易出错．九年级校考期中）在ABC 中，点【答案】B【分析】利用如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边可对各选项进行判断即可．【详解】当AD AE DB EC =或AD AE AB AC =时, DE BC ∥, 当AD AE DB EC =时，可得23AE EC =，当AD AE AB AC =时，可得25AE AC =， 即23AE EC =或25AE AC =.所以B 选项是正确的，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．二、填空题 7．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）在ABC 中，点D 、E 分别在线段AB 、AC 的延长线上，DE 平行于BC ，1AB =，3BD =，2AC =，那么AE =___________．【答案】8【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可．【详解】∵DE AB ∥ ∴AB AC AD AE = ∵1AB =，3BD =，2AC =，∴124AE =∴8AE =故答案为：8．【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理．8．（2022春·上海普陀·九年级校考期中）如图，ABCD Y 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么:AFE FEDC S S 四边形的值为____．【答案】15/0.2【分析】证明12AF EF AE CF BF BC ===，推出24BCF ABF AEF S S S ==，设AEF S m =，则2ABF S m =，4CBF S m =，求出四边形FEDC 的面积，可得结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∴AF EF AE CF BF BC ==， ∵ E 是边AD 的中点，∴1122AE DE AD BC ===，∴12AF EF AE CF BF BC ===， ∴24BCF ABF AEF S S S ==，设AEF S m =，则2ABF S m =，4S m ， ∴6ACB ADC S S m ==， ∴65FECD S m m m =−=四边形， 1::55AFE FECD S S m m ==四边形； 故答案为：15．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．9．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，AD 、BC 相交于点O ，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AB CD EF ∥∥，如果6CE =，4EO =，5BO =，6AF =，那么AD = ___________．【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理得到EO FO BO AO =，EO FO CE DF =，求得4893FO AF ==，4DF =即可解决问题.【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，EO FO BO AO =，EO FO CE DF =，∵4EO =，5BO =，∴45FO AO =， ∵6AF =，∴4893FO AF ==，∵6CE =，∴8436DF =，∴4DF =，∴6410AD AF DF =+=+=．故答案为：10．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，四边形ABCD 中，AD BC EF ∥∥，如果3810AE AB CD ===，，，则CF 的长是________．【答案】254【分析】根据平行线分线段成比例得出AE DF AB CD =，求出154DF =，即可得出答案． 【详解】∵AD BC EF ∥∥， ∴AE DF AB CD =， ∵3810AE AB CD ===，，， ∴3810DF =， 解得：154DF =， ∴15251044CF CD DF =−=−=， 故答案为：254．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确得出比例线段是解题的关键． 11．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）在ABC 中，点D 、E 分别在直线AB 、AC 上，如果DE BC ∥，1AB =，2AC =，3AD =，那么CE =________．【答案】4【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可．【详解】解：作如下图：∵DE BC ∥，∴AB AC AD AE =， ∵1AB =，2AC =，3AD =，∴123AE =，∴6AE =，∴624CE AE AC =−=−=，故答案为：4．【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理．。
相似三角形一边的平行线20151101(1)
教师姓名 张衍 学生姓名 张浩天年 级初三上课时间2015.11.1学 科 数学课题名称三角形一边的平行线（1）教学目标1、通过以往试卷及作业的完成情况分析新接学生已学知识点的掌握情况2、复习、掌握三角形一边的平行线的概念及性质3、了解三角形重心的概念及性质教学重难点能够结合图形进行简单的比例线段分析，掌握学生的强弱项情况和学习特点，为进一步制定教学计划做准备。
一、课题引入1、如图，△ABC 中，若D 是BC 的中点，则S △ABD ：S △ACD= ，S △ABD ：S △ABC= ，若D 是BC 上的点，S △ABD ：S △ACD= 。
第1题图 第2题图2、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，找出面积相等的三角形。
同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比。
如图（1）：ABD ADC S BD S DC =；如图（2）：若A D ∥BC,则ADC ABC S ADS BC= 二、知识点讲解思考：如图BD ∥CE ，当31BC AB =时，?DE AD = 当m n BC AB =时?DE AD =B D CACn oA BD（2）（1）DCBAD CBAEC DB A如图：在△ACE 中如果BD ∥CE思考：?BC AB=与S △ABD 和S △BCD 有何关系？ ?DEAD=与S △ABD 与S △BDE 有何关系？ 结论：BCD ABD S S BC AB ∆∆= BDEABD S S DE AD ∆∆= DE ADBC AB = 三角形一边平行线的性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。
上述三角形中，还有其他比例线段吗？AE AD AC AB = AEDEAC BC = 例1、如图在△ADE 中，如果BC ∥DE ，AD=12，BD=8，EC=6那么：AB=??=BDABAC=? AE=?例2、如图，在中Rt △ABC 中∠C=90°ED ⊥BC,D 为垂足，BD=3cm DC=2cm AB=6cm.求BE 和EA 的长例3、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥DC ，求证AD 2=AB ·AFH ED CB A H ED CB AED CBAEDC BAF E D CBA思考：△ABC 中，若DE ∥BC ，则AD AE AB AC，它们的值与DEBC 相等吗？为什么？有了上述结论，我们可以把三角形一边的平行线的性质定理表示为：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
相似三角形的判定——利用平行线课件(湘教版)
知1－导
如图，在 △ABC 中，D 为AB上任意一点. 过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.
△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗? 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它
们的边长是否对应成比例 ? △ADE 与△ABC 之间有什么关系 ? 平行移动 DE
的位置，你的结论还成立吗?
CD CF
∵ AE ＝ EB,
∴
AE = 1 . CD 2
∴ AF = 1 .
CF 2
又 AF =2 ，∴ CF =4.
知2－讲
总结
知2－讲
利用成比例线段求线段的长的方法： 对于被平行线所截形成“A”型或“X”型的图
形，当所求的线段或已知线段在平行的边上时，通常 考虑通过证三角形类似，再利用类似三角形的对应边 的比相等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求 出线段的长；当所求的线段或已知线段不在平行的边 上时，则考虑直接用平行线截线段成比例求线段的长 .
知1－讲
•∵ 四边形 DFCE为平行四边形，
•∴DE = FC . •∴AD AE DE .
AB AC BC
•∴ △ ADE ∽△ABC .
知1－讲
归纳
知1－讲
•由此得到如下结论： • 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截 得的三角形与原三角形类似.
知1－讲
例1 如图所示，已知在 □ABCD 中，E 为 AB 延长线上
的一点，AB = 3BE，DE 与 BC 相交于点 F， 请找 出图中各对类似三角形，并求出相应的类似比.
解题秘方：紧扣“平行线截三角形类似 的两种基本图形：‘A’型 和‘ X ’型”进行查找 .
解： ∵四边形ABCD 是平行四边形，
(精品)数学讲义九年级同步第2讲：三角形一边的平行线(一) - 教师版
三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清该定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A”字型和“X”字形这两个基本图形，为后面学习相似三角形奠定基础．1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知ABC∆，直线//l BC，且与AB、AC所在直线交于点D和点E，那么AD AEDB EC=．三角形一边的平行线（一）内容分析知识结构模块一：三角形一边的平行线性质定理知识精讲【例1】如图，在ABC∆中，15AB=，10AC=，//DE BC，6BD=，求CE．【难度】★【答案】4．【解析】BD CEAB AC=，代入可得：=4CE．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．【例2】阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下2.7米宽的亮区（如图）．已知亮区一边到窗下的墙角距离8.7CE=米，窗口 1.8AB=米，求窗口底边离地面的高BC．【难度】★【答案】5.8m．【解析】射入的光线平行，则有AB DEAC CE=，代入可求得：5.8AC m=，4BC AC AB m=-=．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到．【例3】在ABC∆中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，//DE BC，若:2:3AD AB=，12EC=厘米，则AC=．【难度】★【答案】7.2cm．【解析】由//DE BC，可得23AE ADAC AB==，故53ECAC=，代入求得7.2AC cm=．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理和比例合比性的综合应用．例题解析2/ 25【例4】如图在ABC ∆中，CD 平分ACB ∠，//DE BC ，5AC =厘米，3:5ADAB=，求DE 的长．【难度】★ 【答案】2cm ． 【解析】//DE BC ，35AE AD AC AB ∴==． 由5AC cm =，代入可求得：32AE cm CE cm ==，． 又//DE BC ，EDC DCB ∴∠=∠．又CD 平分ACB ∠， ECD DCB ∴∠=∠． ECD EDC ∴∠=∠， 2DE CE cm ∴==．【总结】本题中涉及一个基本图形，平行线与角平分线一起会产生等腰三角形，同时应用三角形一边平行线的性质定理．【例5】如图，已知在ABC ∆中，//DE BC ，//EF AB ，2AE CE =，6AB =，9BC =，求四边形BDEF 的周长．【难度】★ 【答案】16． 【解析】2AE CE =，2133AE CE AC AC ∴==，． 又//DE BC ，//EF AB ，2133AD AE EF CE AB AC AB AC ∴====，，四边形BDEF 为平行四边形． 代入可求得：62DE EF ==，， ()2=16BDEF C DE EF ∴=+四边形．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．【例6】如图，在ABC∆中，10AB=，8AC=，点D在直线AB上，过点D作//DE BC交直线AC与点E．如果4BD=，求AE的长．【难度】★★【答案】245或565．【解析】（1）D在线段AB上时，6AD AB BD=-=，由//DE BC，可得：AD AEAB AC=，代入可得：245AE=；（2）D在线段AB延长线上时，14AD AB BD=+=，由//DE BC，可得：AD AEAB AC=，代入可得：565AE=；（3）D在线段AB反向延长线上的情况不存在．【总结】题目中的点是在直线或者射线上时，要注意仔细看题，考虑多解情况的出现．【例7】如图，在ABC∆中，AB AC>，AD BC⊥于点D，点F是BC中点，过点F作BC 的垂线交AB于点E，:3:2BD DC=，则:BE EA=．【难度】★★【答案】5:1．【解析】由:3:2BD DC=，BF FC=，即得：32BF FDBF FD+=-，可得：51BFFD=．又AD BC⊥，EF BC⊥，EF∴//AD，::5:1BE EA BF FD∴==．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．4/ 25【例8】如图，已知////AB CD EF ，14OA =，16AC =，8CE =，12BD =，求OB 、DF 的长．【难度】★★ 【答案】212OB =，6DF =． 【解析】由////AB CD EF ，OA OBAC BD ∴=． 代入可得：141221162OB ⨯==． 同时根据比例的合比性，可得：OA AC OB BD AC BD ++=，即OC ODAC BD=， 又根据平行，可得：OC ODCE DF=， AC BDCE DF∴=．代入求得：812616DF ⨯==． 【总结】考查三角形一边平行线定理的变形应用，实际上，任意两条直线被三条平行线所截得的线段对应成比例．【例9】如图，已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，//DE BC ，:3:4ECD BCD S S ∆∆=，求EC 的长．【难度】★★【答案】12．【解析】∵ECD 和BCD 为等高三角形，故34ECD BCD S DE BC S ==，由//DE BC ，2BC =，ABC ∆为等边三角形， 可知ADE 也为等边三角形，∴32DE =，∴31222EC AC AE =-=-=． 【总结】平行于等边三角形一边截得的三角形也是等边三角形．【例10】如图，P为ABCD对角线BD上任意一点．求证：PQ PI PR PS=．【难度】★★【答案】略．【解析】证明：四边形ABCD为平行四边形，////AB CD AD BC∴，，////RB DI SD BQ∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PD PS PR PB PQ==，PQ PI PR PS∴⋅=⋅．【总结】初步认识相似三角形中的“X”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例11】如图，在平行四边形ABCD中，CD的延长线上有一点E，BE交AC于点F，交AD于点G．求证：2BF FG EF=．【难度】★★【答案】略．【解析】证明：四边形ABCD为平行四边形，////AB CD AD BC∴，，////AB CE AG BC∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有：EF CF BF BF AF FG==，∴2BF FG EF=．【总结】初步认识相似三角形中的“X”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．6/ 25【例12】如图，点C 在线段AB 上，AMC ∆和CBN ∆都是等边三角形．求证：（1）MD AMDC CN =；（2）MD EB ME DC =．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：（1）AMC ∆和CBN ∆是等边三角形，60ACM NCB AMC ∴∠=∠=∠=︒．∵点C 在线段AB 上，18060MCN ACM NCB AMC ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠．//AM CN ∴，∴MD AMDC CN =． （2）同（1）易证得//CM BN ，则有ME MCEB NB=．AMC ∆和CBN ∆是等边三角形，MC AM NB CN ∴==，，MD MEDC EB∴=， ∴MD EB ME DC =． 【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例13】如图，ABC ∆的面积是10，点D 、E 、F （与A 、B 、C 是不同的点）分别位于 AB 、BC 、CA 各边上，而且2AD =，3DB =，如果ABE ∆的面积和四边形DBEF 的面积相等，求ABE ∆的面积．【难度】★★★ 【答案】6． 【解析】连结DE ，由ABEDBEF S S =四边形，可得ADFAEFSS=，两三角形同底，可得两三角形等高，故//DE AC ，根据平行于三角形一边的直线性质定理，可得：35BD BE AB BC ==，故35ABE ABC S BE S BC ==，求得3=10=65ABES⨯． 【总结】注意等高（同底）三角形面积比等于底边（高）之比．8 / 25【例14】如图，在ABC ∆中，6BC =，42AC =，45C ∠=︒，在BC 边上有一动点P ，过P 作//PD AB 与AC 相交于于点D ，联结AP ，设BP x =，APD ∆的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围； （2）P 点是否存在这样的位置，使APD ∆的面积是APB ∆的面积的23？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）()212063y x x x =-+<<；（2）存在，2BP =．【解析】（1）过点P 作PE AC ⊥于点E ． 由BP x =，可得：6PC x =-， 又45C ∠=︒，故()22622PE CE PC x ===-． 又//PD AB ，故BP ADBC AC=，代入可得223AD x =，故()()2112221620622233y PE AD x x x x x =⋅=⋅-⋅=-+<<． （2）过点A 作AF BC ⊥于点F ． 由4542C AC ∠=︒=，可得4AF CF ==， 故122ABPSAF BP x =⋅=， ∵APD ∆的面积是APB ∆面积的23， ∴2122233y x x x =-+=⨯，解得：2x =，即2BP =．【总结】考查三角形中一边平行线性质的综合应用，同时在题目中，注意对于特殊角的利用．FE1、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC，那么DE AD AEBC AB AC==．2、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．【例15】如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且//DE BC ． （1）如果2DE =，6BC =，3AD =，求AB 的长； （2）如果2DE =，6BC =，8BD =，求AD 、AB 的长；（3）如果35AD BD =，求DEBC的值． 【难度】★【答案】（1）9；（2）412AD AB ==，；（3）38．【解析】（1）∵//DE BC ，13AD DE AB BC ==，9AB =； （2）∵//DE BC ，∴13AD DE AD BD BC ==+，∴4AD =，∴12AB AD BD =+=；（3）∵//DE BC ，∴33358DE AD BC AB ===+． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．模块二：三角形一边的平行线性质定理推论知识精讲例题解析10 / 25【例16】如图，BE 、CF 是ABC ∆的中线，交于点G ．求证：12GE GF GB GC ==．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：过点F 作//FD BE 交AC 于点D ． F 是AB 中点， D ∴是AE 中点，故12DF AD BE AE ==， 又E 是AC 中点，//FD EG ，12GF DE GC CE ∴==，23EG CE FD CD ==，即()2132EG EG BG =+，整理得：12GE GF GB GC ==． 【总结】考查三角形重心性质的证明，通过一个中点作对边的平行线即可．【例17】已知小智的身高是 1.6CD =米，他在路灯下的影长2DE =米，小智与路灯灯杆的底部B 的距离为3DB =米，则路灯灯泡A 距地面的高度AB =米．【难度】★ 【答案】4．【解析】∵//AB CD ，∴22235CD DE AB BE ===+，∴4AB m =． 【总结】考查三角形一边平行线定理的实际应用．【例18】如图，一根直立于水平地面的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕点A 按逆时针 反向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化.设AB 垂直于地面时的影子为AC （假 定AC AB >），影子的最大值为m ，最小值为n ，有下列结论：① m AC >；②m=AC ；③n AB =；④影子的长度先增大后减小.其中正确的序号是．【难度】★★ 【答案】①③④．【解析】木杆绕点A 逆时针旋转时，当AB 与BC 光线垂直 时，m 最大，则m AC >，①成立，②不成立；最小值 为AB 与AC 重合，故③成立；由上可知，影子长度先增大后减小，故④成立．【总结】找准临界值，注意进行思维分析．Da Nb Qx c P M xNa Qcb P M cNxQa b P M cN b Qa x PM 【例19】已知：MN // PQ ，a b ≠，c x ≠，则满足关系式bcx a=的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】★★ 【答案】C【解析】交叉相乘，满足ax bc =的是C 选项． 【总结】考查三角形一边平行线性质的简单应用．【例20】如图，ABC ∆中，//DE BC ，3AE =，4DE =，2DF =，5CF =，求EC 的长． 【难度】★★ 【答案】92EC =． 【解析】//DE BC ，25DE DF AE BC CF AC ∴===，即3235EC =+，求得：92EC =．【总结】相似三角形中“A ”字型和“X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．【例21】如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE =．【难度】★★ 【答案】3:5．【解析】:1:2DE EC =，可知23CE CE CD AB ==，由//CE AB ，可知32BF AB EF CE ==，故:3:5BF BE =． 【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型．12 / 25【例22】如图，在ABC ∆中，6BC =，G 是ABC ∆的重心，过G 作边BC 的平行线交AC 于点H ，求GH 的长．【难度】★★ 【答案】2．【解析】连结AG 并延长交BC 于点D ，根据重心的定义，可知D 为BC 中点，则132DC BC ==，根据重心的性质，又//GH DC ，可得：23GH AG DC AD ==，求得2GH =．【总结】考查三角形重心的性质．【例23】如图，已知////AB CD EF ．AB m =，CD n =，求EF 的长．（用m 、n 的代数式表示）．【难度】★★【答案】mnm n+．【解析】由////AB CD EF ，则有EF CF EF BFAB BC CD BC==，，即1EF EF m n +=，得mnEF m n =+．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．【例24】如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，13AE EC =，BE 的延长线交CD的延长线于点G ，交AD 于点F ，求:BF FG 的值．【难度】★★ 【答案】1:2．【解析】由//AF BC ，可得13AF AE BC EC ==，即13AF AD =， 故12AF FD =，由//AB DG ，可得：::1:2BF FG AF FD ==．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．D【例25】如图，12//l l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，求:AE EC 的值． 【难度】★★ 【答案】2:1．【解析】由12//l l ，得：25AG AF BD FB ==，又:4:1BC CD =，可得21AG CD =，故::2:1AE EC AG CD ==．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．【例26】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在AB 上，且//EO BC ，已知3AD =，6BC =．求EO 的长．【难度】★★ 【答案】2．【解析】由//AD BC ，可得：3162AO AD CO BC ===，故13AO AC =，由//EO BC ，13EO AO BC AC ==，求得2EO =． 【总结】相似三角形中“A ”字型和“X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．【例27】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，3AD =，5BC =，E 、F 是两腰上的点，且//EF AD ，:1:2AE EB =，求EF 的长．【难度】★★ 【答案】113．【解析】过点A 作//AH DC 交BC 于H ，交EF 于G ， 则有32CH FG AD BH ====，，又//EG BH ，可得：13EG AE BH AB ==，解得：23EG =，故113EF EG GF =+=． 【总结】两条直线被三条平行线所截得的线段长对应成比例．G H14 / 25MFEDCBA 【例28】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，:3:1BD DC =，G 为AD 的中点，联结BG 并延长AC 交于E ，求:EG GB 的值．【难度】★★ 【答案】1:7．【解析】过点D 作//DF BE 交AC 于F ．此时则有14DF CF DC BE CE BC ===，又G 为AD 中点，根据平行可得：12GE DF =，故18GE BE =，即18EG EG GB =+，可得:1:7EG GB =．【总结】构造平行线，构造比例线段是解决这类问题的根本．【例29】已知点D 是ABC ∆的BC 边上的一点，13CD BC =，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，求:AF AC 的值．【难度】★★ 【答案】2:5．【解析】过点D 作//DM BF 交AC 于点M ．∵13CD BC =，∴13CM CD CF BC ==，∴12CM MF =． 又E 为AD 中点，//DM BF ， ∴F 为AM 中点，即AF FM =，∴:2:5AF FC =．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，通过构造平行线等比例转化即可得出答案．F【例30】如图，路灯A 的高度为7米，在距离路灯正下方B 点20米处有一墙壁CD ，CD BD ⊥， 如果身高为1.6米的学生EF 站立在线段BD 上（EF BD ⊥，垂足为F ，EF CD <），他的影子的总长度为3米，求该学生到路灯正下方B 点的距离FB 的长．【难度】★★★【答案】818m 或18m【解析】（1）影子全部在地面上时， 设点E 在地面的投影为点M ， 则有3FM =．由EF BD ⊥，AB BD ⊥，可得//EF AB ，则有EF FMAB BM =， 代入可求得：1058BM m =，则818FB BM FM m =-=． （2）影子部分在地面，部分在墙面上时，如图，根据同一时刻同一地点任何物体影长与其 高度比值相同，设墙上部分影长ND x =，则有3DF x =-，17FB x =+，则有ND GD AB GB =， 即720x GD GD =+，可得207xGD x=-， 又根据//ND EF ，可得ND GD EF GF =，即207201.637xx x x xx-=+--， 整理即得：210110x x +-=， 解得：()12111x x ==-，舍．故18FB m =．【总结】影长问题，注意同一时刻同一地点任何物体影长与其高度比值相同，有障碍物时，障碍物上的影长仍满足这个条件，注意进行分类讨论．EFNG16 / 25GH FEDCBAFE D CBA【例31】如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，EF 交AC 于点G ，若:2:3AE EB =，:1:2AF AD =，求:AG AC 的值．【难度】★★★ 【答案】2:9．【解析】延长FE 交CB 的延长线于点H ．∵//AF BH ，∴23AF AE BH EB ==． 又:1:2AF AD =，故可得：227AF AF CH AF BH ==+，∵//AF CH ，∴27AG AF GC CH ==，故:2:9AG AC =． 【总结】构造与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．【例32】如图，在ABC ∆中，设D 、E 是AB 、AC 上的两点，且BD CE =，延长DE 交BC的延长线于点F ，:3:5AB AC =，12cm EF =，求DF 的长．【难度】★★★ 【答案】20cm ．【解析】过点D 作//DH AC 交BC 于H ，则有35BD AB DH AC ==，又BD CE =，则有35CE DH =，由//CE DH ，得35EF CE DF DH ==，代入计算得：125320DF cm =⨯÷=． 【总结】作平行线，构造出与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．G FEDCBA G FEDCBA【例33】如图，已知ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且:3:2AD DB =，:1:2AE EC =，直线ED 和CB 的延长线交于点F ，求:FB FC ．【难度】★★★ 【答案】1:3．【解析】过点B 作//BG FE 交AC 于G ． 根据三角形一边平行线的性质定理，可得： 32AE AD EG DB ==，又:1:2AE EC =，故13EG EC =，由//BG FE ，可得：::1:3FB FC EG EC ==．【总结】作平行线，构造出与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．【例34】已知：在ABC ∆中，D 、E 是BC 上的两点，且//AD EG ，EG 交AC 于F ，交BA 的延长线于G ，若2EF EG AD +=．求证：AD 是ABC ∆的中线．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：//AD EG ， AD BD EF CEEG BE AD CD ∴==，． BE CEEG AD EF AD BD CD∴=⋅=⋅，．2EF EG AD +=， 2BE CE BD CD∴+=． 则有11BE CEBD CD-=-， BE BD CD CEBD CD --∴=． 即DE DEBD CD=． BD CD ∴=．即AD 是ABC ∆的中线．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，注意根据题目条件灵活进行比例转换，将条件转化到同一个量，得出结论．18 / 25【习题1】如图，在ABC ∆，//DE BC ，DE 与边AB 、AC 分别交于点D 、E ． （1）已知6AD =，8BD =，4AE =，求CE 、AC 的长；（2）已知:2:5AE AC =，10AB =，求AD 的长．【难度】★ 【答案】（1）162833AE CE ==，；（2）4． 【解析】（1）∵//DE BC ，∴AE AD CE DB =，∴163CE =； （2）∵//DE BC ，:2:5AE AC =，∴25AD AE AB AC ==，∴4AD =．【总结】考查三角形一边平行线的性质．【习题2】如图，//EF AB ，//DE BC ，下列各式正确的是（）（A ）AD BF BD CF = （B ）AE CEED BC =（C ）AE BDEC AD=（D ）AD ABED BC=【难度】★ 【答案】A【解析】根据三角形边平行线的性质进行比例线段转化可 知A 选项正确；B 、C 、D 错误．【总结】考查三角形一边平行线的性质的应用．【习题3】如图，菱形ADEF 内接于ABC ∆，16AB =，14BC =，12AC =，求BE 的长． 【难度】★ 【答案】8．【解析】根据三角形一边平行线的性质，DE BE EF CEAC BC AB BC==，， 即有1DE EF AC AB +=，可解得菱形边长487DE AD ==，故647BD AB AD =-=，BE BDBC BA=，∴8BE =． 【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用．随堂检测GMDCBA【习题4】如图，P 是ABC ∆的中线AD 上一点，//PE AB ，//PF AC ．求证：BE CF =．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：//PE AB ，//PF AC ，BE AP CF APBD DA DC DA ∴==，， BE CFBD DC ∴=， 又BD CD =，BE CF ∴=．【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用，用固定线段的比值作为中间量．【习题5】如图，在ABC ∆中，//DE BC ，且:2:3AD AB =，求:EO EB 的值． 【难度】★★ 【答案】2:5．【解析】由//DE BC ，可得23DE AD BC AB ==，则23EO DE BO BC ==，根据比例的合比性，可得:2:5EO EB =．【总结】找准图形中的“A ”字型和“X ”字型进行比例线段的转化构造．【习题6】在ABC ∆中，AB AC =，如果中线BM 与高AD 相交于点G ，求AGAD． 【难度】★★【答案】23．【解析】AB AC AD BC =⊥，，BD CD ∴=．即D 为BC 中点，M 为AC 中点， G ∴为ABC ∆重心，23AG AD ∴=． 【总结】考查重心的意义和性质，先证明再利用性质．20 / 25NE GH F M D CBA【习题7】如图ABC ∆，点D 、E 分别在BC 、AC 上，BE 平分ABC ∠，//DE BA ．如果24CE =，26AE =，45AB =，求DE 和CD 的长．【难度】★★ 【答案】1085DE =，129665CD =． 【解析】根据三角形一边平行线的性质，可得DE CEAB AC=， ∴452410824265AB CE DE AC ⋅⨯===+．由BE 平分ABC ∠，则有ABE DBE ∠=∠，由//DE BA ，可得：DEB ABE ∠=∠，即DEB DBE ∠=∠，故1085BD DE ==，进而可得：CD CE BD AE =，∴129665BD CE CD AE ⋅==． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理的应用，同时考查平行线与角平分线一起出现会产生等腰三角形的基本图形．【习题8】如图，梯形ABCD 中，//////DC EF GH AB ，30AB cm =，10CD cm =，::2:3:4DE EG GA =，求EF 与GH 的长度．【难度】★★★ 【答案】13019099EF cm GH cm ==，．【解析】过点C 作//CP DA 分别交EF 、GH 、AB 于 点M 、点N 、点P ，则易得四边形DAPC 为平行 四边形．则10EM GN AP DC cm ====，20PB cm =．由//FM BP ，可得：29FM CM DE PB CP DA ===，代入可得：409FM cm =，1309EF EM FM cm =+=． 由//NH PB ，可得：59NH CN DG PB CP DA ===，代入可得：1009NH cm =，1909GH GN NH cm =+=． 【总结】夹在平行线间的线段对应成比例．M N P【作业1】已知线段a、m、n，且ax mn=，求作x，作法正确的是（）（A）（B）（C）（D）【难度】★【答案】C【解析】考查三角形一边平行线的性质定理，变形即为a nm x=，可知C选项满足题意．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，进行简单的变形应用，可知线段错位相乘满足题意的即为所求选项．【作业2】如图，ABC∆中，AB ACBE EC=，53ABAC=，//DE AC，求:AB BD的值．【难度】★【答案】8:5．【解析】由AB ACBE EC=，53ABAC=，可得53BEEC=，根据比例的合比性质，可得58BEBC=，由//DE AC，可得::8:5AB BD BC BE==．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用．课后作业22 / 25NEFMDCB A 【作业3】如图，////AB EF CD ，2AB =，8CD =，:1:5AE EC =，求EF 的长度． 【难度】★★ 【答案】3EF =．【解析】过点B 作//BN AC 交EF 于点M ，交CD 于点N ． ∵////AB EF CD ，∴四边形AEMB 、ACNB 、ECNM 都为平行四边形，∴2CN EM AB ===，且有FM BMDN BN =． :1:5AE EC =，16BM AE BN AC ∴==． 16FM BM ND BN ∴==/ ∵6ND CD CN =-=， ∴1FM =，3EF EM FM ∴=+=．【总结】三条平行线被两条直线所截，将其中一条直线平移，放到同一个三角形中解答．EGFMDCBA E G FMDCBA 【作业4】平行四边形ABCD ，E 是AB 的中点，在直线AD 上截取2AF FD =，EF 交AC于G ，求AGGC 的值．【难度】★★【答案】25或23．【解析】（1）当点F 在AD 上时，如图． 过点E 作//EM BC 交AC 于点M ， 由E 为AB 中点，则M 为AC 中点， 四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC AD BC ∴=，．又2AF FD =， 223AF AF AF AD BC EM ∴===． 由//AF EM ， 43AG AF GM EM ∴==,42105AG AG GC GM AM ∴===+． （2）当点F 在AD 延长线上时，如图， 过点E 作//EM BC 交AC 于点M ， 由E 为AB 中点，则M 为AC 中点， 四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC AD BC ∴=，．又2AF FD =， 22AF AF AF AD BC EM ∴===． 由//AF EM ， 4AG AF GM EM∴==4263AG AG GC GM AM ∴===+． 【总结】注意题目中的关键词语，在直线上，由此要进行分类讨论，根据三角形一边平行线的性质构造“A ”字型、“X ”字型即可．24 / 25【作业5】如图，////AB EF DC ，已知20AB =，80CD =，求EF 的长． 【难度】★★ 【答案】16【解析】由////AB EF DC ，可得:BF EF BC CD =，CF EFBC AB=，则有1EF EFAB CD+=，代入计算得16EF =． 【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，利用比例线段之间的关系构造等式求解．【作业6】如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，//DF AB ，//DE CA ．（1）求证：AE CFEB FA =； （2）如果2CF =，5AC =，6AB =，求AE 、DE 的长． 【难度】★★【答案】（1）略；（2）1235AE DE ==，． 【解析】（1）证明：//DE CA ，AE CDEB DB ∴=， 又//DF AB ， CD CFDB FA∴=，AE CFEB FA∴=． （2）解：由（1）可得AE CFEB FA=， 根据比例的合比性质，得：AE CFAB AC=， 代入可解得：621255AE ⨯==， 由//DE CA ，//DF AB ， 可知四边形AEDF 为平行四边形，即得：3DE AF AC CF ==-=．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，进行比例线段转化．【作业7】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE 与BD 相交于点O ，CE 与BA 的延长线相交于点G ，已知2DE AE =，10CE =，求GE 和CO 的长．【难度】★★★【答案】56GE CO ==，．【解析】四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC AD BC ∴=，．又2DE AE =，13GE AE AE GC BC AD ∴===，23EO DE OC BC ==， 即13GE GE EC =+，23EC CO CO -=，代入即可求得56GE CO ==，．【总结】考查利用三角形一边平行线的性质构造“A ”字型和“X ”字型，进行比例线段的综合应用．【作业8】如图， //DE BC ，3ADE S ∆=，18CBD S ∆=，求ABC S ∆． 【难度】★★★ 【答案】27． 【解析】设BDES a =，则有3AED BEDS AE SBE a==，318ABD CBDS AD a SCD +==，由DE //BC ，可知AE ADBE CD=， 则有3318aa +=，整理得23540a a +-=，解得6a =， 由此361827ABCADEBDEDBCS SSS=++=++=．【总结】考查三角形一边的平行线定理，以及等高三角形面积比等于其底边之比的知识点的灵活运用．。
三角形一边的平行线2-教师版
三角形一边的平行线（2）知识精要1、三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
3、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。
4、平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
格式：如果直线L1∥L2∥L3，AB＝BC，那么：A1B1＝B1C1，如图l说明：由此定理可知推论1和推论2推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC，如图2 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
创新三维学习法让您全面发展格式：如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图3说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。
热身练习1.如图所示，G为△ABC的重心，D为BC中点，则下列关系成立的是（C ）A.21==FBAFGDAGB.21==GFCGGDAGC. 2==GFCGGDAGD. 1==BFCEAFAE2. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若AF：FD=1：3，则AE：EB= 1:6 。
【提示】过D作CE的平行线（1题图）（2题图）（3题图）3．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝5.5cm，BD=11cm，DE＝5cm，那么BF＝___10__cm。
4．如图，△ABC中，点P在BC上，四边形ADPE为平行四边形，则EACEDABD.＝__1_____。
（4题图）（5题图）（6题图）创新三维学习法让您全面发展创新三维学习法让您全面发展5.如图，在△ABC 中，E 是AC 中点，延长BC 到D ，使DC=BC ，连接DE ，并延长交AB 于F ，则DE ：EF= 3:1 。
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1.如图，若DE∥BA，DF∥BC， ，AB=9 ，BC=6 ,则 BEDF周长= 。
【答案】
【提示】
【例3】如图，在△ABC中，E是AC中点，延长BC到D，使DC=BC，连接DE，并延长交AB于F，则DE：EF=。
【答案】3:1
【提示】
【方法总结】以下图为例，当 与 的交点为 或 中点时，通常以过该点的某一线段为中位线，构造三角形的第三边，然后通过比例求解即可.
【答案】1:6
【提示】过D作CE的平行线
2．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝5.5cm，BD=11cm，DE＝5cm，那么BF＝________cm。
【答案】10
3．如图，△ABC中，点P在BC上，四边形ADPE为平行四边形，则 ＝_______。
【答案】1
解答题：
1．如图，△ABC中，EF∥BC，FD∥AB，AE＝18，BE＝12，CD＝14，求线段EF的长。
【答案】略
【答案】略
【提示】过M作BQ的平行线
5．如图，E为AC的中点， 点F在AB上，且AF:AB=2:5，FE与BC的延长线相交于D，求EF：ED的值。
【提示】过C作CG∥FE，设FE=k,则CG=2k,FD=6k,EF:ED=1:5
【答案】1:5
【课堂总结】
【说明】本节课讲解的一线三角和后面的基本图形的解题技巧的再次讲解
【答案】略
【提示】 ,
【例5】（变式）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，延长AD到E，延长AB交CE于P。若AD=2DE。求证AP=3AB.
【答案】略
【提示】根据AD=2DE，标出图中AB,BG,BD,DC,GE;然后根据 ，标出PG，最后得证
【说明】实际是例4一类题目的基本图形的变形
【借题发挥】
【答案】1
2．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，求线段BF的长．
【答案】10
3．△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， ，FC＝2，AC＝6，求DE和CE长
【答案】3；
4．如图，AM是△ABC中BC边上的中线，过点B作直线交AM于点P，交AC于点Q。求证：AP：PM=2AQ：QC。
1. 如图，在△ABC的边BC，CA上各取一点P和Q，若BP：PC=CQ：QA=2：3，设AP，BQ的交点为K。求BK：KQ的值。
【答案】
【提示】由BP：PC=CQ：QA=2：3标出PB,BP,CG,GQ,BQ;由 ,标出KQ,BK
【随堂练习】
1．如图，△ABC中，点P在BC上，四边形ADPE为平行四边形，则 ＝________。
【答案】A
3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC上的点，四边形ADEF是菱形，AB＝15，AC＝10，则菱形的周长是（ ）。
A. 6；（B）16；（C）24；（D）32。
【答案】C
4. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，且AF：FD=1：5，连接CF并延长交AB于E，则AE：BE等于（ ）
【课后作业】
一、基础巩固练习：
选择题：
1．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则 为（）
A、1 5 B、1 4 C、1 3 D、1 2
【答案】D
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AB，那么下列比例式中正确的是（）
（A） ＝ ；（B） ＝ ；
（C） ＝ ；（D） ＝ ．
A.1:6; B.1:8; C.1:9; D.1:10.
【答案】D
【提示】过点D作CE的平行线
5.如图，AD是△ABC的中线，E是CA边上的三等分点，BE交AD于F，则AF：FD等于（ ）
A.1：1;B.2：1;C.3பைடு நூலகம்1;D.4：1.
【答案】A
填空题：
1. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若AF：FD=1：3，则AE：EB=。
【借题发挥】
1．如图， ，G为AF的中点，则 ＝_______。
【答案】7:1
【例4】（变式）如图，已知BD=DC,求证：EA FB=EC FA.
【答案】略
【提示】
【方法总结】如下图，遇到此基本图形，通常过A作DF的平行线或过D作AC的平行线
【借题发挥】
1．如图，D、E分别为△ABC的AB和AC上的点，且BC的延长线交DE的延长线于F点，且 .求证：DB=EC。
【借题发挥】
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， ,则DE=。
【答案】6
【提示】
【例2】如图，四边形ABCD是菱形，且AB=14 ，BC=12 ,AC=10 ,则BE等于（ ）
A.5 ; B.6 ; C.7 ; D.8 .
【答案】5
【提示】
【方法总结】往往设平行四边形（特殊的平行四边形）的边长为 ，然后列比例关系求解即可
学科教师辅导讲义
年级：辅导科目：数学课时数：3
课题
教学目的
教学内容
【典型例题分析】
【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC,则下列比例式中正确的是（ ）
A. ; B. ; C. ; D. .
【答案】B
【方法总结】在做一线三角类题目使可以要求学生按照下图所示，用单双弧标出（先将 分别标为双弧、单弧，然后根据平行线定理标出其他线段）然后对各个选项进行判断.
【答案】21
2．如图，△ABC中，AD＝2DC，G是BD中点，AC延长线交BC于E，求 的值。
【答案】2:3
3. 如图，△ABC中，点D是AC的中点，3BE=2EC，AE与BD相交于点F。求DF：BF的值.
【答案】
4．如图，BG:BE＝14:16，G为AF中点，求BF:FC的值。
【答案】1:3
5．已知：BE是等腰三角形ABC的角平分线，∠ACB=90o,延长BC到点D，使CD=CE，连结AD与BE的延长线交于点F，说明：AE·AC=2AF2。（8分）