2013华约自主招生数学试题及答案
2013年“华约”自主招生数学全真模拟(附详案)
2011 am 2 ，则正整数 m 的最小值为( 2012
A 4025 B 4250 C 3650
8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为 1,2,,9
的 9 个小正方形（如图） ，使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且 “3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( ) A 96 B 108 C 112 D120 9．设
2
2
14.（本小题满分 14 分）在△ABC 中，设 A、B、C 的对 边分别为 a、b、c 向量 m ),若 | m n | 2, （1）求角 A 的大小； （2）若 b 4 2 , 且c
2a, 求ABC 的面积.
（I）求 F
1 2 2008 F ... F ; 2009 2009 2009
（II）已知数列 an 满足 a1 2 , an1 F an ,求数列 an 的通项公式; (Ⅲ) 求证: a1a2 a3 ...an 2n 1 .
（1）求双曲线方程； （2）设 Q 为双曲线 C 右支上动点， F 为双曲线 C 的右焦点，在 x 轴负半轴上是否存在定 点 M 使得 QFM 2QMF ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
12.（本小题满分 14 分）已知函数 F x
3x 2 1 , x . 2x 1 2
并且 m＋n＝636，则实数对(m，n)表示平面上不同点的个数为（ （A）60 个 （B）70 个 （C）90 个
） ． （D）120 个
7 ． 数 列 an 定 义 如 下 ： a1 1, a 2 2, an 2
---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题
取到三个，设其中三个分别为 3a r、3b r 、3c r ， 则 (3a r ) (3b r ) (3c r ) 3(a b c r ) ，不可能为素数 .所以每类数最多只能取两
个.
结合上述两条，我们知道最多只能取 2 2 4个数，才有可能满足题设条件 .
另一方面，设所取的四个数为 1、 7、 5、 11，即满足题设条件 .
最上面一行的红色车位置选定后， 中间一行的红色车位置有 5 种选择； 上面两行的红色车位 置选定后， 最下面一行的红色车位置有 4 种选择。 三辆红色车的位置选定后， 黑色车的位置
3
有 3！ =6 种选择。所以共有 C6 6 5 4 6 14400 种停放汽车的方法 .
3．已知 x2 2 y 5, y 2 2 x 5 ，求 x3 2x 2 y 2 y 3的值 .
.否则，若三类数都有取到，设所取
数为 3a ， 3k 1 型数为 3b 1， 3k 2 型数为 3c 2 ，
3k 型
则 3a (3b 1) (3c 2) 3(a b c 1) ，不可能为素数 .所以三类数中， 最多能取到两类 .
其次， 我们容易知道， 每类数最多只能取两个 .否则， 若某一类 3k r (r 0、1、2) 型的数至少
综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数
.
8 ． 已 知 a1、 a2、 a3、 、 a2013 R ， 满 足 a1 a2 a3
a2013 0 ， 且
a1 2 a2
a2 2 a3
a23
a4
a22 0 1 2 a
2 0 2a，1 3 求 a2证0 1 ：3
1
a1 a2 a3
a2013 0 .
5．数列 an 满足 a1 1，前 n 项和为 Sn , Sn 1 4an 2 ，求 a2013 . 解析：根据条件知： 4an 1 2 Sn 2 an 2 Sn 1 an 2 4an 2 an 2 4 an 1 4an . 又根据条件知： a1 1,S2 a1 a2 4a1 2 a 2 5 .
一道2013年“华约”自主招生题的解法及推广
一
或
Ｐ
／
一 ．
，
于是 切线 方 程 为
—Ｐ Ｙ 一１ ＝０ 或
得何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
据 ：入 痂 ， 得
ｉ
Ｐ
＋ ＰＹ ＋ ｌ＝ ０．
． ＿ 观 ｌ ＝ ｚ 蒜
’ 根
在本题 中， 不仅 Ｉ ＯＡｉ ． Ｉ Ｏ ＢＩ 是一个与直线 Ｙ＝ ｋ ｘ的斜 率 ｋ有 关 的 量 ， 而 且 点 Ｍ 是 ＡＢ 中 点． 点 和 点 Ｂ 分 别 所 在 的直 线 Ｙ＝ ｋ ｘ与 Ｙ＝ ｋ ｘ又关于 轴对称． 如果 １ ＯＡ Ｉ ． １ ＯＢｌ 是一 ‘ 个 与ｋ 无 关的常数， 且 点 Ｍ 是 线 段 ＡＢ 的任 一 分 点， 点 和 点 Ｂ分 别 所 在 的直 线 又 是 任 意 两 条 直 线 ，那 么 点 Ｍ 的 轨 迹 方 程 又 该 如 何 ？笔 者
解 法二： 把 ：
代入 。 一 ＝１ 中
得ｏ Ａ ． ＝ ｆ １ ． ｆ 『 ． ｃ ｏ ｓ ２ ０ ： （ ｋ ２ ＋ １ ） ．
消去 Ｘ ， 得Ｙ 。 一２ ｐ ｋ Ｙ ＋ｋ ＝０ ． 因为 曲线 Ｃ和
数 学教 学
抛物线相切． 所 以Ａ ＝４ ｐ ４ —４ ｋ ２＝ ０ ， 且 Ｙ＝
切， 求证 ： 切 点分别在两条定直线上， 并求切线 方程 ．
（ １ ）分 析： 本 题 的关 键 是如 何 利用 Ｉ ＯＡ『 ． １ Ｏ ＢＩ ：ｋ ２ ＋１ ， 由于 该条件 是关于线段 Ｏ Ａ与 Ｏ Ｂ 的长 度 之 积 的一 个 等 式，所 以可 以分 别 从 两 点 间距 离 公 式 、 向量 （ 二 ） 与（ ＝ ） 百数 量 积
Ｓ ＝专 （ ｚ １ ＋ ｘ ２ ） （ ｖ ｌ — Ｙ ２ ） 一 言 ｚ １ １ ＋ ￣ ｘ ２ ｙ ２
2013年“华约”自招第2题-一道奇妙有趣的三角函数题,做完后充分感到了数学的乐趣
【题目】
已知sinx+siny=1/3，cosx-cosy=1/5，求cos(x+y)，sin(x-y)，cos(x-y). 【温馨提醒：题目和解答过程都在第二页图中！可不看我的分析和感想】
【分析和感想】
1、用到了三角函数的很多结论，比如sin²t+cos²t=1，诱导公式，恒等变换，和差化积，tan(t/2)和sint,cost的转化公式。
2、看到这种形式的方程组，绝大多数同学心中的第一想法是两个方程的两边同时平方，求和，虽然不知道会算出什么，但肯定能求出
sin(x+y),cos(x+y),sin(x-y),cos(x-y)中的一个，试一试呗。
果不其然，算出了cos(x+y)，具体过程见图中(1).
3、再接下来，碰到两个不同角度（此处是x,y）的三角函数的和（差），就会想到“和差化积”。
两个方程运用之后，最终得到tan[(x-y)/2]的值，但题目要求sin(x-y)和cos(x-y)，有经验的人们立刻就会想到一个常用公式，即
tan(t/2)=sint/(1+cost)=(1-cost)/sint，进而得到关于sin(x-y)和cos(x-y)的方程组，具体见图中(2)方法二.
4、图中(2)方法一，绝对是我“歪打正着”得出来的。
结果将x换成x-y+y，将-y换成x-y-x，把x-y看做整体，展开①②后，正好就得到了方法二中的方程组。
当时我真的震惊了！我又一次感到了数学的乐趣！。
“北约”“华约”自主招生数学模拟试题
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题（满分150分）5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA uu u v 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 . 第二部分：解答题（共5小题 每题20分）1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅I ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量3,1)a =-v ,13(,22b =v .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+-v v v ,tan d ma b θ=-+u v v v ,且c d ⊥v u v .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22Λ+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.二、解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅I 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-U2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21Λ。
2011-2013华约数学
2013一、已知集合A ={}|10x Z x ∈≥,B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件：⑴数字两两不相等，⑵任意两数字之和不等于9. 试求：（Ⅰ）B 中有多少个两位数？有多少个三位数？（Ⅱ）B 中是否有五位数？是否有六位数？（Ⅲ）将B 中的元素从小到大排列，第1081个元素是多少？二、已知1sin sin3x y +=，1cos cos 5x y -=，求sin(x - y ) , cos(x + y )的值 三、设k > 0，从直线y = kx 和y = -kx 上分别选取点A (x A , y A ) , B (x B , y B ) ,使得x A ⋅x B > 0 , |OA |⋅|OB |=1+k 2 ,O 为坐标原点，AB 的中点M 的轨迹为C 。
（Ⅰ）求C 的轨迹方程；（Ⅱ）抛物线x 2=2px (p >0)与C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程四、7个红球和8个黑球，从中任取4个。
（Ⅰ）求恰好有一个红球的概率（Ⅱ）社四个求中黑球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX 。
（Ⅲ）求当四个求均为一种颜色时，这种颜色为黑球的概率。
五、已知a n +1 = a n + ca n 2，n = 1 , 2 , 3 , ……, a 1 > 0 ,c > 0，（Ⅰ）对任意的M > 0，存在正整数N ，使得对于n > N ，恒有a n > M ；（Ⅱ）设11+=n nca b ，S n 为{b n }的前n 项和。
证明：{S n }有界且对d >0，存在正整数k ，当n > k 时，恒有d ca S n <-<11。
六、已知x 、y 、z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(xy -1)(yz -1)(zx -1)，求x 、y 、z 的所有可能的值。
七、已知f (x )=(1-x )e x -1.（Ⅰ）证明：当x > 0时，f (x ) < 0；（Ⅱ）若11-=+n n x x n e e x ，x 1=1，证明数列{x n }递减，且nnx 21>.2012（1）在锐角ABC ∆中，已知A B C >>,则cos B 的取值范围为（ ）(A)2(0,)2 (B) 12[,)22 (C) (0,1) (D) 2(,1)2（2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 （3）正四棱锥S ABCD -中，侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成二面角为β，侧棱SB 与底面正方形ABCD 的对角线AC 所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ， 则,,,αβγθ之间的大小关系是（ ）(A)αβθγ<<< (B)αβγθ<<< (C) αγβθ<<< (D) βαγθ<<<（4）向量a e ≠，||1e =。
2013年华约自主招生数学试题解析
21．设},10|{Z x x x A ∈≥=，A B ⊆，且B 中元素满足：任意一个元素各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数字之和不等于9． （1）求B 中的两位数和三位数的个数； （2）是否存在五位数，六位数？（3）将B 中的元素从小到大排列，求第1081个元素．解析（1）所有的两位数共90个，其中数字相同的有9个，两数字之和为9的有9个， 所以B 中的两位数有90―9―9＝72个；所有的各数位的数字互不相同三位数共9×9×8＝648个，其中含有数字0和9的有4×8＝32个，含有数字1和8，2和7，3和6，4和5的各有4×8＋2×7＝46个， 所以B 中的三位数有648―32―46×4＝432个；另解（1）将10个数字分为5组：（0，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），每组中的两数不能同时出现在一个元素中．对于两位数，若最高位为9，则共有2×4＝8个，若最高位不为9，则共有2×4×4×2＝64个，所以B 中的两位数有72个； 对于三位数，若最高位为9，则共有24A ×2×2＝48个， 若最高位不为9，则共有14A ×2×24A ×2×2＝384个， 所以B 中的三位数有48＋384＝432个；（2）对于五位数，若最高位为9，则共有44A ×2×2×2×2＝384个， 若最高位不为9，则共有14A ×2×44A ×2×2×2×2＝3072个， 所以B 中的五位数有3072＋384＝3456个； 显然B 中不存在六位数．（3）B 中的两位数和三位数共有72＋432＝504个， 在B 中的四位数中，千位上为1，2，3的各有192个，而504＋192×3＝1080个，所以第1081个元素应为四位数中，千位上为4的最小数，即4012．2．已知31sin sin =+y x ，51cos cos =-y x ，求)cos(y x +，)sin(y x -． 解析 由31sin sin =+y x ，得91=sin sin 2+sin +sin 22y x y x ……①由51cos cos =-y x ，得251=2cosxcosy cos +cos 22－y x ……②两式相加，得22534=251+91=)+cos(22y x －， 所以 225208=225171=)+cos(－y x ． 又由31sin sin =+y x ，得31=2cos 2+sin 2y x y x － ……③ 由51cos cos =-y x ，得51=2sin 2+sin 2y x y x －－……④ 两式相除，得53=2tan －－y x ， 所以 1715=259+153×2=2tan +12tan2=)sin(2－－－－－y x yx y x ．3．点A 在kx y =上，点B 在kx y -=上，其中0>k ，12+=k OB OA ，且A ，B 在y轴同侧．（1）求AB 中点M 的轨迹C 的方程；（2）曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切，求证：切点分别在两定直线上，并求切线方程．解析 （1）设),(11kx x A ，),(22kx x B －，021＞x x ， 由 12+=k OB OA ，得222222221221)1+(=)+)(+(k x k x x k x ，所以1=21x x ．设点M 的坐标为),(y x M ，则2+=21x x x ，2=2=2121x x k kx kx y －－所以 1==)y (2122x x k x －，即点M 的轨迹C 的方程为 1=222ky x －． （2）因为曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切，得 222=2k y y pk －， 由 0=4)2(=222k pk －－∆，得pk 1=，此时p y 1=，两切点坐标为)1,2(p ，)1,2(p－ ，即切点分别在两定直线2±=x 上．切线方程分别为0=12－－py x 和0=1++2py x ．4．7个红球，8个黑球，任取4个． （1）求恰有1个红球的概率；（2）记取黑球个数为x ，求其分布列和期望； （3）取出4球同色，求全为黑球的概率． 解析 （1）恰有1个红球的概率为4153817C C C 13×15×756×7=19556=；（2）黑球个数为4,3,2,1,0=x ，黑球数为0的概率为4150847C C C 13×15×735=1955=；黑球数为1的概率为4151837C C C 13×15×78×35=19540=；黑球数为2的概率为4152827C C C 13×15×728×21=19584=；黑球数为3的概率为4153817C C C 13×15×756×7=19556=；黑球数为4的概率为4154807C C C 13×15×710×7=19510=；其分布列为x 的数学期望为0×1955＋1×19540＋2×19584＋3×19556＋4×19510＝1532．（3）由（2）知4球同色的概率为 195519510+19515=， 所以，取出4球同色，全为黑球的概率为 32=1951519510．5．已知21++=n n n ca a a ， ,3,2,1=n ，0>1a ，0>c ．（1）证明对任意的0>M ，存在正整数N ，使得对于N n >，M a n > （2）设1+1=n n ca b ，记n s 为n b 前项和，证明n s 有界，且0>d 时，存在正整数k ，kn >时d ca s n <1<01－． 解析 （1）由0>1a ，0>c ，知0=21+＞－n n n ca a a ，于是11121121+++1=+=－－－－－－））＞（）（－（－－－n n n n n n n n n n n n a a a a c a a ca a ca a a a122111+a a a a a a a a n n n n n n －＞＞－＞－＞－－－－所以2112112211)1(n =))(1(n ++++=ca a a a a a a a a a a n n n n n －－－＞－－－－－－对任意的0>M ，要使M a n >，只需M ca n >)1(21－，1+>21ca Mn ， 取]2+[=21ca MN ，于是N n >，M a n >．（2）1+1=n n ca b n n na ca a +=21+=n n a a 1+2=n n n a ca ca 1+1+=n n n n a ca a a －n ca 1=1+1n ca －， 所以 n s 11=ca 1+1n ca －，1+11=1n n ca ca s －＞0， 由（1）知211+nca a n ＞，所以2121+1<1a nc ca n ，即1+11=1n n ca ca s －2121<a nc ， 所以n s 有界； 令d 2121=a nc ，得 n 2121=a dc ， 取k ]1+1[=212a dc ，则k n >时d ca s n<1<01－．6．设z y x ,,是两两不等且大于1的正整数，求所有使得xyz 整除)1)(1z (1)(－－－zx y xy 的z y x ,,．解析 因为)1)(1z (1)(－－－zx y xy ＝z)+y +z(x z)(2xy xy －＋zx y xy +z +－1， 而z)+y +z(x z)(2xy xy －能被xyz 整除， 于是只需zx y xy +z +－1能被xyz 整除即可．又z y x ,,是两两不等且大于1的正整数，不妨设z >>y x∴ ≤xyz zx y xy +z +－1xy 3<，即3<z ，∴2=z ． 于是只需x y xy 2+2+－1能被xy 2整除，当然 12+2+≤2－x y xy xy ，即12+2－x y xy ≤，∴x x y xy 4<2+2<． 于是4<y ，∴ 3=y ，进而5≤x ，∴ 5=x ，4． 检验知2、3、5能使zx y xy +z +－1能被xyz 整除，∴ ),,(z y x )5,3,2(=)3,5,2(=)5,2,3(=)2,5,3(=)3,2,5(=)2,3,5(=．7．设1e )1(=)(－－xx x f ． （1）证明当0>x 时，0<)(x f ；（2）令1e =1+－n n x x n ex ，1=1x ，证明n x 递减且nn x 21>． 解析 （1）因为0=1e )01(=)0(0－－f ，又当0>x 时，x x e x e x f )1(+=)('－－x xe －=0<， 所以当0>x 时，0<)(x f ；（2）由1e =1+－n n x x n ex ，得nx x x e n n 1e =1+－，又x e x+1>，可得0>n x ． 由（1）知0>x 时，0<)(x f ，0<1e )1(=)(－－n xn n x x f ，1+e =1>e n n n x n x x n x e x －，∴1+e >e n n x x ，即n n x x ＜1+，n x 递减．下面用数学归纳法证明 n n x 21>．1=n 时显然成立，假设k n =（*∈N k ）时，k k x 21>， 构造函数x1=)(－x e x g ，当0>x 时，)(x g 为增函数，∴)21(>)(k k g x g ．又当0>x 时，2+1>2xe x，再设函数))((=)(2xe x g x x h －，则0))2+1(=2+1=)(222'＞－（）－（x e e e x e x h xx x x ，)(x h 在)÷∞,0(上是增函数， 0>)21(k h ，∴1+21>)21(k e g k ， ∴121+>k e e x, 1121++>k k x , 由数学归纳法知，对于正整数n ，有n n x 21>．唤醒了夕阳 惆怅又向东流 月下琴音畅饮醉英雄 看战火重现 结义乱世流年 望落叶飘零 荒凉染遍诸侯裂B ：W.K. 英雄 叹千古恨 巨澜 触动天河泪 看不凡少年 天涯结豪杰 铮铮铁骨 气宇千年传C ：W.K. 痴狂一生一世任逍遥 智取江东少年出英豪 若饮醇醪忠诚万人仰 群英会唱剑舞荡气浩D ：W.K.笑叹鸿儒吴蜀战一场 羽扇纶巾笑谈赤壁烧 三足鼎立一战千古扬 伊人相望把琴吟沧桑 间奏诗(Rap)：苍狼 群雄逐鹿天下争江山 战场狼烟四起春秋乱 三国饥荒饮遍冷月光 红颜秋风断箫愁断肠英雄久经沙场定江山天下谁怜伊人多情泪美人挥泪提笔千古伤岁月只剩传奇来绝唱A1：W.K.吹断了秋风思念憔悴红颜月下风霜画满诗两行燃烽火岁月相约乱世流年叹饥饿兵荒血染君王风云变B1：W.K.对酒当歌论英雄沙场兵如千机变看不凡少年战场称豪杰铮铮铁骨气宇千年传C：W.K.痴狂一生一世任逍遥智取江东少年出英豪若饮醇醪忠诚万人仰群英会唱剑舞荡气浩D：W.K.笑叹鸿儒吴蜀战一场羽扇纶巾笑谈赤壁烧三足鼎立一战千古扬伊人相望把琴吟沧桑C：W.K.痴狂一生一世任逍遥智取江东少年出英豪若饮醇醪忠诚万人仰群英会唱剑舞荡气浩D：W.K.笑叹鸿儒吴蜀战一场羽扇纶巾笑谈赤壁烧三足鼎立一战千古扬伊人相望把琴吟沧桑。
2010-2013华约试题及答案(精校版+完整版)
2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ） （A ）2 （B（C ）1 （D3．已知平面α//平面β，直线,m n αβ⊂⊂，点,,A m B n AB ∈∈与平面α的夹角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为 度 （A ）60 （B ）45 （C ）30 （D ）22.54.正四棱锥P-ABCD 中，B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点， 则两个棱锥A-B 1CD 1与P-ABCD 的体积之比11A B CD P ABCDV V --（A ）1：6 （B ）1：5 （C ）1：4 （D ）1：35．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B （C ）e2（D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。
“华约”自主招生数学全真模拟试题
2013年“华约” 高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟1数学与逻辑A 1/2B 2/5C 3/5D 4/73．正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系（ ） （A ）θγβα<<<（B ）γθβα<<<（C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<< 4. 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2007|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2007|（x ∈R ），且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)．则a 的值有（ ）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个5.平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y=2x对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两面三刀点的距离为（ ）A ．556 B ．5512 C ．538 D ．53166. 若m 、n ∈{x |x ＝a 2×102＋a 1×10＋a 0}，其中a i ∈{1，2，3，4，5，6，7}，i ＝0，1，2，并且m ＋n ＝636，则实数对(m ，n )表示平面上不同点的个数为（ ）．（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个 7．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++L n n n n na a a a a n n n 201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为( ). A 4025 B 4250 C 3650 D 4425 8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为9,,2,1Λ的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且1 2 3 4 5 6 7 89“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( ) A 96 B 108 C 112 D1209．设a n =2n，b n =n ，（n=1，2，3，。
2013年自主招生数学试题及答案
2013年自主招生数学试题一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.96、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C. D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
2013华约、北约自主招生数学、物理试题和答案详解
2013“华约”自主招生试题2013-03-16(时间90分钟,满分100分)1.(10分)集合{|10,}A x x x N *=≥∈,B 为A 的子集,若集合B 中元素满足以下条件:①任意数字都不相等;②任意两个数之和不为9(1)B 中两位数有多少？三位数有多少？ (2)B 中是否有五位数？六位数？(3)若将集合B 的元素按从小到大的顺序排列,第1081个数为多少？【解】将0,1,2,…,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6), (4,5),B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.(1)两位数有22215242272C A C ⨯⨯-⨯=个; 三位数有333222534222432C A C A ⨯⨯-⨯⨯=个;(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与B 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数;(3)四位数共有4443335443221728C A C A ⨯⨯-⨯⨯=个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有3334332576C A ⨯⨯⨯=个,因此第1081个元素是4012.2.(15分)1sin sin 3x y +=,1cos cos 5x y -=,求sin()x y -与cos()x y +的值 【解】由1sin sin 3x y +=……①,1cos cos 5x y -=……②,平方相加得208cos()225x y +=;另一方面由①可得12sincos 223x y x y +-=……③ 由②式可得12sin sin 225x y x y +--=……④,由③/④式得3tan 25x y -=-,也所以22tan152sin()171tan 2x y x y x y --==--+即求.3.点A 在y kx =上,点B 在y kx =-上,其中0k >,2||||1OA OB k ⋅=+,且A B 、在y 轴同侧. (1)求AB 中点M 的轨迹C ;(2)曲线C 与22(0)x py p =>相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程. 【解】(1)设1122(,),(,)A x y B x y ,(,)M x y ,则1212121122(),,,222x x y y k x x y kx y kx x y ++-==-===, 由2||||1OA OB k ⋅=+得,121x x =,显然22121212()()44x x x x x x +--==,于是得2221(0)y x k k-=>,于是AB 中点M 的轨迹C是焦点为(,实轴长为2的双曲线.(2)将22(0)x py p =>与2221(0)y x k k-=>联立得22220y pk y k -+=,由曲线C 与抛物线相切,故242440p k k ∆=-=,即1pk =,所以方程可化为2220y ky k -+=,即切点的纵从标均为y k =,代入曲线C 得横坐标为.因此切点分别在定直线x x ==,两切点为),()D k E k ,又因为xy p'=,于是在)D k处的切线方程为y k x -=,即1y x p=-;同理在()E k处的切线方程为1y x p p=--. 4. (15分)7个红球,8个黑球,从中任取4个球.(1)求取出的球中恰有1个是红球的概率;(2)求所取出球中黑球个数X 的分布列及期望()E X ; (3)若所取出的4个球颜色相同,求恰好全黑的概率;【解】(1)由题知恰有一个红球的概率为137841556195C C C =; (2)易知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,则由古典概型知,474155(0)195C P X C ===,137841540(1)195C C P X C ===,227841584(2)195C C P X C ===,137841556(3)195C C P X C ===, 4841510(4)195C P X C ===,即X 的分布列为:所以其数学期望为 540845610320123419519519519519515EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为83241515EX =⨯=,无须繁杂计算) (3)取出四个球同色,全为黑色的概率为48447823C C C =+即求. 5. (15分)数列{}n a 均为正数,且对任意*n N ∈满足21(0n nn a ca a c +=+>为常数).(1) 求证:对任意正数M ,存在N *N ∈,当n N >时有n a M >; (2)设11n n b ca =+,n S 是数列{}n b 的前n 项和,求证:对任意0d >,存在*N N ∈,当n N >时,110||n S d ca <-<. 【证明】:(1)因为对任意的*n N ∈满足0n a >,所以21n n n n a ca a a +=+>,又因为0c >, 所以22111121()n n n n n n n n a a c a a a a a a a a +----=-+->->>-,所以2112211211()(1)()(1)n n n n n a a a a a a a a n a a n a ---=-+-++-+>--=-故对任意的正整数M ,存在*21{1,[]2}MN N a =+∈,当n N >时有n a M >; (注:21M a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过21Ma 的最大正整数.)(2)由21(1)n n n n n a ca a a ca +=+=+可得,111n n n a ca a +=+,所以211111111n n n n n n n n n n ca a a ca ca a ca a ca ca ++++-===-+; 也所以11111nn i i n S b ca ca =+==-∑,即11110n n S ca ca +-=> 且由(1)知211n a na +>,所以21111n ca nca +<, 即对任意0d >,存在211max 1,N dca ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭,当n N >时,有110||n S d ca <-<. 6. (15分)已知,,x y z 是互不相等的正整数,|(1)(1)(1)xyz xy xz yz ---,求,,x y z . 【解】本题等价于求使(1)(1)(1)1()xy xz yz xy yz zx xyz x y z xyz xyz---++-=-+++为整数的正整数,,x y z ,由于,,x y z 是互不相等的正整数,因此|1xyz xy yz zx ++-,不失一般性不妨设x y z >>,则13xyz xy yz zx yx ≤++-<,于是3z <,结合z 为正整数,故1,2z =,当1z =时,|1xy xy y x ++-,即|1xy y x +-,于是12xy xy y x x ≤++-<,所以2y <, 但另一方面y z >,且为正整数,所以2y ≥矛盾,不合题意.所以2z =,此时2|221xy xy y x ++-,于是2221xy xy y x ≤++-,即221xy y x ≤+-,也所以224xy y x x <+<,所以4y <,又因为2y z >=,所以3y =; 于是6|55x x +,所以655x x ≤+,即5x ≤,又因为3x y >=,所以4,5x =, 经检验5x =符合题意,于是符合题意的正整数,,x y z 有(,,)x y z =(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)注:该题与2011年福建省高一数学竞赛试题雷同. 7. (15分)已知()(1)1x f x x e =-- 求证:(1)当0x >,()0f x <;(2)数列{}n x 满足111,1n n x x n x e e x +=-=,求证:数列{}n x 单调递减且12n nx >. 【解】(1)当0x >时,()0xf x xe '=-<,所以()f x 在(0,)+∞上递减,所以()(0)0f x f <=. (2)由11n nx x n x ee +=-得11n n x x ne ex +-=,结合11x =,及对任意0,1xx e x >>+,利用数学归纳法易得0n x >对任意正整数n 成立,由(1)知()0n f x <,即1n n xxn e x e -<, 即1n n x x n n x ex e +<,因为0n x >,所以1n n x x e e +<,即1n n x x +>,所以数列{}n x 递减,下面证明12n n x >,用数学归纳法证,设1()x e g x x -=,则221()()x x xe e f x g x x x -+'==-,由(1)知当0x >时,()0f x <,即()0g x '>,故()g x 在(0,)+∞递增,由归纳假设12n n x >得1()()2n n g x g >,要证明1112n n x ++>只需证明1112n n xe e ++>,即112()n n g x e +>,故只需证明1121()2n n g e +>,考虑函数2()()x h x xg x xe =-,因为当0x >时212x x e >+,所以222()(1)[(1)]022x x xxx x h x e e e e =-+=-+>,故()h x 在(0,)+∞上递增,又102n >,所以1()02n h >,即1121()2n n g e +>,由归纳法知,12n n x >对任意正整数n 成立.注:此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似.2013“北约”自主招生试题2013-03-16(时间90分钟,满分120分)一、选择题(每题8分,共48分)1.和1( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6【解】由1x =可知22x =,同理由1x 可知3(1)2x -=; 所以方程23(2)[(1)2]0x x ---=的次数最小,其次数为5,故选C.2.在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占一格,共有 种停放方法.A. 720B. 20C. 518400D. 14400 【解】红色车选3列有3620C =种方法,再从这三列中选三行有3620C =种方法,另外将红色车放在已选好的三列三行中有326⨯=种方法,同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格中选,也有326⨯=种方法,因此方法数有(20206)614400⨯⨯⨯=种.故选D.3.已知225x y =+,225y x =+(x y ≠),则32232x x y y -+值为( ) A. 10- B. 12- C. 14- D. 16-【解】由225x y =+与225y x =+两式作差得2()x y x y +=-≠,代入两式中分别化出 2210x x +-=、2210y y +-=,所以,x y 是方程2210t t +-=的两个不等实根,于是 2,1x y x y +=-=-,也所以 3223222()[()3]2()(2)7216x x y y x y x y x y x y -+=++--=-⨯-=-.故选D. 4.在数列{}n a 中,11a =,142n n S a +=+(1n ≥),则2013a 值为( )A. 201230192⨯B. 201330192⨯C. 201230182⨯D. 无法确定 【解】由11a =,142n n S a +=+(1n ≥)……①可知,当1n =时,2142S a =+,所以25a =;当2n ≥时,有142(2)n n S a n -=+≥……②,由①-②式得,1144(2)n n n a a a n +-=-≥,即1122()(2)n n n n a a a a n +--=-≥,且2123a a -=所以11232n n n a a -+-=⨯(*n N ∈),同除以2n 得,113222n n n n a a +--=,且1012a =;所以13122n n a n +=+,故令2012n =时,得2012201323019a =⨯,故选A. 5.在ABC ∆中,D 为BC 中点,DM 平分ADB ∠交AB 于点M ,DN 平分ADC ∠交AC 于N ,则BM CN +与MN 的关系为( ) A.BM CN MN +> B.MN CN MN +< C.BM CN MN +=D.无法确定【解】如图,在DA 取DE DB =,连接,,ME NE MN则显然可证,ME MB EN NC ==,且有ME NE MN +≥,即BM CN MN +≥, 上述不等式当且仅当180MED DEN ∠+∠=, 也即180B C ∠+∠=,这显然与三角形内角和定理矛盾,故等号取不到, 也即选A.6.模长都为1的复数,,A B C 满足0A B C ++≠,则BC AC ABA B C++++的模长为( )A. 12- B. 1 C. 2 D. 无法确定 【解】由题知1AA BB CC ===,所以2BC AC AB BC AC AB BC AC ABA B C A B C A B C ++++++=⨯++++++,也即2BC AC AB BC AC AB BC AC ABA B C A B C A B C++++++=⨯++++++313BA C A AB CB AC BCAB AC BA BC C A CB++++++==++++++,故选B.二、解答题(每题18分,共72分)7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数,并证明你的结论.【解】:至多有4个.首先可以取1,3,7,9这四个数,它们任意三个数之和分别为11,13,17,19符合质数定义.下面再证明5个正整数是不符合题意的.若有5个正整数,则考虑质数被3除的余数,如果有一个数的余数为0,那么考虑余下的4个数被3除的余数,如果余数既有1也有2,那么这两个数与前面余数为0的数的和刚好为3的倍数,故不符合题意,如果余下四个数的余数均相等,显然取余下四个数中的三个数,则这三个数的和为3的倍数不是质数,也不符合题意,如果这5个数被3除的余数都不等于3,则由抽屉原理,至少有3个数被3除的余数相同,这三个数的和是3的倍数不是质数,也不符合题意.综上可知,不存在5个正整数符合题意,即至多有4个正整数符合题意. 8.已知12320130a a a a ++++=,且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-证明:12320130a a a a =====.【证明】:观察可知12320130a a a a ++++=,即21322013201212013(2)(2)(2)(2)0a a a a a a a a -+-++-+-=……① 又122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-,不妨设12|2|a a t -=,M ACDBE则①可写为(2013)0(02013,)kt k t k k N --=≤≤∈,即(22013)0k t -=, 又显然220130k -≠,则有0t =,于是有122320122013201312,2,,2,2a a a a a a a a ====,所以2013112a a =,即10a =.也所以12320130a a a a =====,即证.9.对于任意θ,求632cos cos66cos415cos2θθθθ---的值. 【解】632cos cos66cos415cos2θθθθ--- 31c o s 232()c o s 66c o s 415c o s 22θθθθ+=--- 3234(1c o s 23c o s 23c o s 2)(3c o s 24c o s 2)6c o s 415c o s2θθθθθθθ=+++---- 2412c o s 26c o s 446(1c o s 4)6c o s 410θθθθ=+-=++-=即求. 10.有一个m n ⨯的数表,已知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重新排列,则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论.〖原题叙述〗:已知有m n ⋅个实数,排列成m n ⨯阶数阵,记作{}ij m n a ⨯,使得数阵中的每一行从左到右都是递增的,即对意的1,2,3,,i m =,当12j j <时,都有12ij ij a a <.现将{}ij m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的m n ⨯阶数阵,记作{}ijm n a ⨯',即对任意的1,2,3,,i n =,当12i i <时,都有12i ji j a a ''<.试判断{}ijm n a ⨯'中每一行的n 个数的大小关系,并说明理由. 【解】:数阵{}ijm n a ⨯'中每一行的n 个数从左到右都是递增的,理由如下: 显然,我们要证明数阵{}ijm n a ⨯'中每一行的n 个数从左到右都是递增的,我们只需证明, 对于任意1,2,3,,i m =,都有(1)iji j a a +''<,其中1,2,3,,(1)j n =-. 若存在一组(1)pq p q a a +''>,令(1)(1)k k q i q a a ++'=,其中121,2,3,,,{,,,}{1,2,,}k k m i i i m ==,则当t p ≤时,都有(1)(1)(1)t t i q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(1,2,,)iq a i m =中,至少有p 个数小于pq a ',也即pq a '在数阵{}ij m n a ⨯'中的第q 列中,至少排在第1p +行,与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意的1,2,,i m =,都有(1)iji j a a +''<,即数阵{}ij m n a ⨯'中每一行的n 个数从左到右都是递增的.2013年高水平大学（华约）自主选拔学业能力测试物理探究注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2013年“北约”“华约”自主招生模拟试题
2013年“北约”“华约”自主招生模拟试题模拟试题（满分150分）5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,且分PA所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .第二部分：解答题（共5小题 每题20分）1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B xx a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量1)a =- ,1(2b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-, 使向量2(tan 3)c a b =+- ,tan d ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、 选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-.3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数.【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题. 4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.二、 解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<．当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得03a <<；当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅ 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
2013、2014年华约北约卓越自主招生数学试题
2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件： （a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求： （1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？ （2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析
8
4
(II) 直线 l1 : x 1 , l2 : y
x
m ,D(1,4),
( x 1)2
椭圆 Q:
(y
2)2
1
8
4
①若 l2 过点 F1 或 D,由 F1 ,D 两点既在直线 l1 上 , 又在椭圆 Q上 , 但不在 F2 的轨迹上 ,
知 l2 与 F2 的轨迹只有一个公共点 , 不合题意 .
②若 l2 不过 F1 ,D 两点 ( m 1, m 3 ). 则 l 2 与 l1必有一个公共点 E, 且点 E不在椭圆 Q上 ,
(I) 求点 F2 的轨迹方程 ;
(II)
是否存在直线 y x m 与点 F2 的轨迹有 且只
有两个公共点 ?若存在 , 求实数 m 的值 , 若不存在 , 请说明理由 .
5. 已知 a， b 均为正整数，且 a b, sin 证：对一切 n N * ， An 均为整数
2ab a 2 b 2 (其中 0
当 t ( , 1) , g' (t ) 0 , g(t ) 为增函数 ; 当 t ( 1,1) 时 , g' (t ) 0 , g (t ) 为减函数 ;
当 t (1, ) 时 , g '(t ) 0 , g (t) 为增函数 .
所以当 t
值
1
.
2
1, 即
时 , m g (t) 有极 大值 1 ; 当 t 1, 即
4
2
4．解 :(I) F1 (1,0) , AF1 BF2 2 2 , 设 F2( x, y) 则
时 , m g(t) 有极小 4
AF1 AF2 BF1 BF2 2a 0 , 去掉绝对值号有两种情况 , 分别得 F2 的轨迹
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2013“华约”自主招生试题2013-03-16(时间90分钟,满分100分)1.(10分)集合,为的子集,若集合中元素满足以下条件:①任意数字都不相等;②任意两个数之和不为9 (1)中两位数有多少？三位数有多少？ (2)中是否有五位数？六位数？(3)若将集合的元素按从小到大的顺序排列,第个数为多少？【解】将0,1,2,…,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6), (4,5),中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.(1)两位数有个; 三位数有个;(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数;(3)四位数共有个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有个,因此第1081个元素是4012.2.(15分),,求与的值 【解】由……①,……②,平方相加得;另一方面由①可得……③ 由②式可得……④,由③/④式得,也所以即求.3.点在上,点在上,其中,,且在轴同侧. (1)求中点的轨迹;(2)曲线与相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程.{|10,}A x x x N *=≥∈B A B B B B 1081B 22215242272C A C ⨯⨯-⨯=333222534222432C A C A ⨯⨯-⨯⨯=B 4443335443221728C A C A ⨯⨯-⨯⨯=3334332576C A ⨯⨯⨯=1sin sin 3x y +=1cos cos 5x y -=sin()x y -cos()x y +1sin sin 3x y +=1cos cos 5x y -=208cos()225x y +=12sin cos 223x y x y +-=12sin sin 225x y x y +--=3tan 25x y -=-22tan152sin()171tan 2x y x y x y --==--+A y kx =B y kx =-0k >2||||1OA OB k ⋅=+A B 、y AB M C C 22(0)x py p =>【解】(1)设,,则, 由得,,显然,于是得,于是中点的轨迹是焦点为,实轴长为2的双曲线.(2)将与联立得,由曲线与抛物线相切,故,即,所以方程可化为,即切点的纵从标均为,代入曲线得 横坐标为即求.因此切点分别在定直线,两切点为,又因为,于是 在处的切线方程为,即; 同理在处的切线方程为.4. (15分)7个红球,8个黑球,从中任取4个球. (1)求取出的球中恰有1个是红球的概率;(2)求所取出球中黑球个数的分布列及期望; (3)若所取出的4个球颜色相同,求恰好全黑的概率;【解】(1)由题知恰有一个红球的概率为;(2)易知的所有可能取值为0,1,2,3,4,则由古典概型知,,,,, 1122(,),(,)A x yB x y (,)M xy 1212121122(),,,222x x y y k x x y kx y kx x y ++-==-===2||||1OA OB k ⋅=+121x x =22121212()()44x x x x x x +--==2221(0)y x k k-=>AB M C (22(0)x py p =>2221(0)y x k k-=>22220y pk y k -+=C 242440p k k ∆=-=1pk =2220y ky k -+=y k =C x x ==),()D k E k xy p'=)D k (y k x p -=1y x p p =-()E k 1y x p p=--X ()E X 137841556195C C C =X 474155(0)195C P X C ===137841540(1)195C C P X C ===227841584(2)195C C P X C ===137841556(3)195C C P X C ===,即的分布列为:所以其数学期望为 (事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为,无须繁杂计算) (3)取出四个球同色,全为黑色的概率为即求. 5. (15分)数列均为正数,且对任意满足为常数).(1) 求证:对任意正数,存在,当时有; (2)设,是数列的前项和,求证:对任意,存在,当时,. 【证明】:(1)因为对任意的满足,所以,又因为, 所以,所以 故对任意的正整数,存在,当时有; (注:表示不超过的最大正整数.) (2)由可得,,所以; 也所以,即 且由(1)知,所以, 4841510(4)195C P X C ===X 540845610320123419519519519519515EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=83241515EX =⨯=48447823C C C =+{}n a *n N ∈21(0n n n a ca a c +=+>M N *N ∈n N >n a M >11n n b ca =+n S {}n b n 0d >*N N ∈n N >110||n S d ca <-<*n N ∈0n a >21n n n n a ca a a +=+>0c >22111121()n n n n n n n n a a c a a a a a a a a +----=-+->->>-2112211211()(1)()(1)n n n n n a a a a a a a a n a a n a ---=-+-++-+>--=-M *21{1,[]2}MN N a =+∈n N >n a M >21M a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21Ma 21(1)n n n n n a ca a a ca +=+=+111n n n a ca a +=+211111111n n n n n n n n n n ca a a ca ca a ca a ca ca ++++-===-+11111nn ii n S bca ca =+==-∑11110n n S ca ca +-=>211n a na +>21111n ca nca +<即对任意,存在,当时,有. 6. (15分)已知是互不相等的正整数,,求. 【解】本题等价于求使为整数的正整数,由于是互不相等的正整数,因此,不失一般性不妨设,则,于是,结合为正整数,故, 当时,,即,于是,所以, 但另一方面,且为正整数,所以矛盾,不合题意.所以,此时,于是,即, 也所以,所以,又因为,所以; 于是,所以,即,又因为,所以, 经检验符合题意,于是符合题意的正整数有=(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)注:该题与2011年福建省高一数学竞赛试题雷同.7. (15分)已知求证:(1)当,;(2)数列满足,求证:数列单调递减且. 【解】(1)当时,,所以在上递减,所以. (2)由得,结合,及对任意,利用数学归纳法易得对任意正整数成立,由(1)知,即, 即,因为,所以,即,所以数列递减,下面证明,用数学归纳法证,设,则,0d >211max 1,N dca ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭n N >110||n S d ca <-<,,x y z |(1)(1)(1)xyz xy xz yz ---,,x y z (1)(1)(1)1()xy xz yz xy yz zx xyz x y z xyz xyz---++-=-+++,,x y z ,,x y z |1xyz xy yz zx ++-x y z >>13xyz xy yz zx yx ≤++-<3z <z 1,2z =1z =|1xy xy y x ++-|1xy y x +-12xy xy y x x ≤++-<2y <y z >2y ≥2z =2|221xy xy y x ++-2221xy xy y x ≤++-221xy y x ≤+-224xy y x x <+<4y <2y z >=3y =6|55x x +655x x ≤+5x ≤3x y >=4,5x =5x =,,x y z (,,)x y z ()(1)1xf x x e =--0x >()0f x <{}n x 111,1n n x xn x e e x +=-={}n x 12n n x >0x >()0xf x xe '=-<()f x (0,)+∞()(0)0f x f <=11n nx x n x ee +=-11n n x x ne ex +-=11x =0,1xx e x >>+0n x >n ()0n f x <1n n xxn e x e -<1n n x x n n x ex e +<0n x >1n n x x e e +<1n n x x +>{}n x 12n n x >1()x e g x x -=221()()x x xe e f x g x x x -+'==-由(1)知当时,,即,故在递增,由归纳假设 得,要证明只需证明,即,故只需证明,考虑函数,因为当时,所以,故在上递增,又,所以,即,由归纳法知,对任意正整数成立.注:此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似.0x >()0f x <()0g x '>()g x (0,)+∞12n nx >1()()2n n g x g >1112n n x ++>1112n n xe e ++>112()n n g x e +>1121()2n n g e +>2()()xh x xg x xe =-0x >212xx e >+222()(1)[(1)]022x x xxx x h x e e e e =-+=-+>()h x (0,)+∞102n >1()02n h >1121()2n n g e +>12n n x >n。