力矩与角动量的关系
物理概念角动量与力矩
物理概念角动量与力矩物理概念：角动量与力矩角动量和力矩是物理学中重要的概念，在描述物体运动和力学性质时起着关键作用。
本文将详细介绍角动量和力矩的定义、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、角动量的概念与计算方法角动量是描述物体绕某一轴旋转的性质，它与物体的质量、几何形状和旋转速度等因素有关。
角动量的定义如下：角动量L = Iω其中，L表示角动量，I代表物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
转动惯量是物体旋转惯性的度量，它与物体的质量分布和绕轴旋转的位置有关。
计算角动量的方法有两种常见的形式：数量积和矢量积。
1. 数量积方式计算角动量当物体的旋转轴与角速度方向相同时，可以用数量积方式计算角动量。
此时，角动量的计算公式为：L = Iω2. 矢量积方式计算角动量当物体的旋转轴与角速度方向不重合时，需要使用矢量积方式计算角动量。
此时，角动量的计算公式为：L = Iωn其中，n为物体旋转轴与角速度的法向量。
二、力矩的概念与计算方法力矩是描述物体受力产生转动效果的物理量。
当物体受力作用于某一点时，力就产生了力矩。
力矩的定义如下：力矩 M = r × F其中，M表示力矩，r表示力作用点到旋转轴的距离，F表示力的大小。
力矩的方向由右手定则给出，即拇指指向旋转轴，其余四指指向力的方向，手掌垂直于旋转平面内。
计算力矩的方法有两种常见的形式：数量积和矢量积。
1. 数数量积方式计算力矩当力和力臂的方向相同或者反向时，可以用数量积方式计算力矩。
此时，力矩的计算公式为：M = rF2. 矢量积方式计算力矩当力和力臂的方向不重合时，需要使用矢量积方式计算力矩。
此时，力矩的计算公式为：M = r × F三、角动量与力矩的关系与应用角动量和力矩是密切相关的物理量，它们之间存在如下关系：L = r × p其中，L表示角动量，r表示物体到旋转轴的距离，p表示物体的动量。
这一关系表明，角动量和力矩可以通过动量和物体到旋转轴的距离相互转化。
力矩与角动量的关系
力矩与角动量的关系
力矩与角动量的关系
力矩是量度力对物体产生转动效应的物理量，可分为力对点的矩和力对轴的矩。
下面是小编为大家整理的力矩与角动量的关系，仅供参考，欢迎阅读。
力矩与角动量的关系
某质点对参考系的角动量M对时间的变化率等于作用于该质点的合力对这个质点的力矩L，就是角动量定理，M=dL/dt。
就是L对时间t的微分就是M，M和L都是有方向的。
力矩
力矩表示力对物体作用时所产生的转动效应的物理量。
力和力臂的乘积为力矩。
力矩是矢量。
力对某一点的力矩的'大小为该点到力的作用线所引垂线的长度（即力臂）乘以力的大小，其方向则垂直于垂线和力所构成的平面用力矩的右手螺旋法则来确定。
力对某一轴线力矩的大小，等于力对轴上任一点的力矩在轴线上的投影。
国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米。
常用的单位还有千克力·米等。
力矩能使物体获得角加速度，并可使物体的动量矩发生改变，对同一物体来说力矩愈大，转动状态就愈容易改变。
L定义为r与p的矢积，并不是非常直观的物理量这就是为了研究转动而人为定义的力学量。
所以我觉得这是为了理论研究而人为定义的物理量，α是角加速度，形式上和牛顿第二定律完全一致，M定义为r与F的矢积;dt。
再定义转动惯量以后，转动方程就能写成M=Jα=dL
某质点对参考系的角动量M对时间的变化率等于作用于该质点的合力对这个质点的力矩L,就是角动量定理,M=dL/dt（就是L对时间t 的微分就是M,M和L都是有方向的,算式上标不出来）。
力矩的时间累积效应刚体的角动量定理
力矩的时间累积效应刚体的角动量定理力矩是一个非常重要的概念，在物理学中有广泛的应用。
力矩是由施加在刚体上的力产生的，它对物体的角动量有直接的影响。
力矩的大小等于力在垂直于力的作用线上的距离与力的大小的乘积。
力矩既可以使物体转动，也可以改变物体的转动状态。
刚体的角动量定理描述了外力对刚体的角动量产生的影响。
角动量定理可以表示为：\[\frac{{\Delta L}}{{\Delta t}} = M_n\]其中，ΔL是物体在时间Δt内的角动量的变化，M_n是刚体的合外力矩。
这个方程说明了外力对刚体角动量的改变率是力矩。
角动量定理的解释是，当一个刚体受到一个力矩的作用时，其角动量将发生改变。
外力矩是由施加在物体上的所有力矩之和。
外力矩可以通过计算所有作用力的力矩之和得到。
外力矩越大，刚体的角动量变化越大。
重要的是要注意，这个角动量定理适用于刚体。
对于质点来说，可以将刚体看作是一个质点，并将其质量集中在一个点上。
因此，对于质点，角动量定理也适用。
力矩的时间累积效应是指力矩对刚体角动量的积累作用。
当外力施加在刚体上一段时间后，会导致角动量的累积变化。
这是因为力矩在一段时间内对刚体的作用会积累产生更大的角动量变化。
例如，我们将一根悬挂在一个轴上的刚体上施加一个力。
在一段时间内，力矩将会产生一个初始的角动量，并且随着时间的推移，角动量将不断积累。
这是因为力矩在每个时间间隔内的作用都会增加角动量的变化。
力矩的时间累积效应还可以通过另一个实例来说明。
考虑一个旋转的滚筒，在初始时刻没有任何外力矩作用在上面。
当我们施加一个外力矩时，滚筒将开始旋转。
如果我们保持外力矩的大小和方向不变，滚筒将继续旋转。
然而，如果我们改变外力矩的大小或方向，滚筒的角动量将发生变化。
角动量的变化是根据力矩的改变率来计算的。
这意味着力矩的时间累积效应将导致角动量的变化。
进一步分析力矩的时间累积效应，我们需要考虑刚体的质量分布和外力的作用时间。
刚体的角动量_角速度_力矩和角加速度的关系
〔收稿日期〕1999-11-15刚体的角动量、角速度、力矩和角加速度的关系陈跃敏(濮阳广播电视大学,河南濮阳457000)[摘要]讨论了普通物理范围内刚体转动部分公式、定理的成立条件及使用范围。
[关键词]角动量;角速度;力矩;角加速度;转动惯量[中图分类号]O311.2 [文献标识码]B 一般情况下,刚体对某一轴(包括瞬时轴和固定轴)的转动,可用角速度矢量 ω及角加速度矢量 β描写,刚体运动时还有角动量L 和力矩 M 。
和 ω的关系及 M 和 β的关系如何?如问题属于理论力学的范围,但在普通物理学中也往往会涉及到这个问题。
因此,在普物范围内搞清它们之间的关系及成立条件和使用范围很有必要。
1 角动量和角速度的关系 首先看一个具体实例。
一个均匀杆绕其一端O 作水平转动.如图1所示.若取O 为参考点,则m i 是质量元,γ_i 是它对O 点的矢径,ν_i 是它的线速度。
显然,此时各质量元的γ_i ×m i ν_i 的方向正好都是Z 方向,即指向Z 轴的正方向。
同一旋转杆,如取Z 轴上方一点P 点作为参考点计算杆的角动量L _p ,则各质量元的γ_i ×m i ν_i 各不相同。
合成后,L _p 的方向大致如图2所示。
而且随着杆的转动,L _p 也转动。
可见,参考点的选择不同,刚体运动的角动量也就不同。
同样,若取转轴通过杆的质量中心,并取质心为参考点,角动量与角速度的方向也不一定一致。
下面直接引用理论力学的结果讨论它们之间的关系。
过参考点建立和刚体一起运动的坐标系,则刚体对活动坐标系X 、Y 、Z 轴的转动惯量及惯量积不随刚体的运动而改变其量值,角动量矢量的分量式为如果刚体绕Z 轴转动,则ωx =ωy =0,ωz =ω。
于是角动量矢量的分量式可写为L x =I xzωL y =-I yz ωL z =-I zzω由上面的分量式可以看出,刚体绕某一轴转动时,角动量沿该轴的分量与角速度成正比(L z =I zzω),但沿其它轴的分量却不一定为零。
物理竞赛角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ••。
第四章角动量守恒定律
的子弹， 例6、质量为 、质量为20g的子弹，以400m/s的速度沿 的子弹 的速度沿 图示方向射入一原来静止的质量为980g的摆球 图示方向射入一原来静止的质量为 的摆球 设摆线长度不可伸缩， 中，设摆线长度不可伸缩，则子弹入射后与摆 球一起运动的速度为多少？ 球一起运动的速度为多少？ 碰撞的瞬间， 碰撞的瞬间，对子弹和摆球组成的系统 所收的外力矩为零，角动量守恒。 所收的外力矩为零，角动量守恒。
2、合力矩： 、合力矩：
单位： 单位：N·m
v v v 矢量和 F = F1 + F2 + L v v v v v v v v M = r × F = r × ( F1 + F2 + L) = M 1 + M 2 + L
注意：所有力矩相对于同一参考点。 同一参考点 注意：所有力矩相对于同一参考点。 3、力矩的计算： 、力矩的计算：
初
初
则
p =c
r r r 则 r×p=L=c
例:跳水运动
跳水运动员为了使身体快速旋转双手抱 膝尽量蜷缩，当入水时必须把手脚舒展 膝尽量蜷缩， 开使转速变慢入水。 开使转速变慢入水。
例:花样滑冰
花样滑冰运动员把手脚伸展开时旋 转速度较小， 转速度较小，当把手脚收回时转速 变快。 变快。
t 用下运动， 质点位于坐标原点，且静止； 用下运动， = 0 时，质点位于坐标原点，且静止； 求：此质点在2秒时相对于坐标原点的角动量。 此质点在 秒时相对于坐标原点的角动量。 秒时相对于坐标原点的角动量
点由静止释放， 例2、一质量为 的小球在 ( x1 ,0,0) 点由静止释放， 、一质量为m的小球在 设重力加速度沿Z轴负向 轴负向； 设重力加速度沿 轴负向；求：小球所受重力相对 于坐标原点O的角动量 的角动量。 于坐标原点 的角动量。 例3、求做匀速圆周运动的物体对圆心的角动量。 、求做匀速圆周运动的物体对圆心的角动量。
探究力矩与角动量的关系
角动量转换为力矩
外力矩改变 角动量
外力矩对角动量 的影响
角动量转化 为力矩
角动量如何影响 物体的力矩
确定外力矩 大小
角动量变化与外 力矩关系
力矩和角动量的能量转换
01 能量转换关系
力矩和角动量之间的联系
02 能量守恒
在转换过程中的应用
03 转换规律
力矩和角动量能量转换规则
能量转换的实际案例
在工程领域，力矩和角动量扮演着关键的角色， 它们影响着设计的安全性和稳定性。通过利用力 矩和角动量的原理，工程师们能够设计出更加安 全可靠的结构，提高工程质量和效率。通过对工 程案例的分析，可以更好地理解和应用力矩和角 动量的相关知识。
天体运动中的力矩和角动量
01 天体运动中力矩和角动量的作用
影响星球运动轨迹
挑战和问题
可能遇到的实验困难 理论模型的完善和验证问 题
未来发展展望
力矩和角动量领域的前景 和趋势 未来研究的重点和方向
致谢
ห้องสมุดไป่ตู้在此感谢所有支持和 帮助过本研究工作的 人，特别感谢指导老 师和同事们的支持与 鼓励，使本研究得以 顺利进行。
参考文献
Smith, J. et al. (2020)
Exploring the Relationship
新方法和技术
虚拟现实模拟 大数据分析 机器学习应用
发展方向
生物医学工程 空间技术应用 智能制造发展
探索未来的力矩 和角动量发展
力矩和角动量的研究 不断向前发展，未来 可能会在生物医学工 程、空间技术应用以 及智能制造方面取得 突破。新的方法和技 术，如虚拟现实模拟 和机器学习应用，将 为力矩和角动量的研 究带来更多可能性和 机遇。
《大学物理》3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动， 例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
1 2
卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力， 解：卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力，其它力忽 略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 m
0
r
A
θ = 90
0
mv
质点作圆周运动的角动量
θ
L = rmv = mr ω
2
2.2刚体的角动量 刚体的角动量 刚体对 oz轴的角动量为
z
ω
v
2
i
L = ∑ m r ω = (∑ m r )ω
2 i i i i
o
r
i
m
i
∑ m r 刚体绕 oz 轴的转动惯量
2 i i
L = Jω
L = Jω
刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。 刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。
1 m v 0 a = ( ML2 + ma 2 )ω 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML + ma )ω = mga (1 cos60°) + Mg (1 cos60°) 2 3 2
ω=
3(2ma + ML)g 2(3ma 2 + ML2 )
二、角动量定理和角动量守恒定理
1× mv 对时间求导 = r × (mv ) + × mv dt dt dt dr d dL ∵ = v , F = (mv ) M = dt dt dt dL 质点所受合外力矩等于质 ∴ = r × F + v × mv dt 点角动量对时间的变化率
角动量角动量守恒定律
x x
（2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。
解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为： m
I A
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
o
x
dm
dx L
l
B
3
（2）对于通过棒的中心的轴 A
C dm B
L/2
L/2
Ic x2dm x2dx
o
L2
x dx
L2
L/
L / 2
1 L3 1 mL2
第三节
角动量 角动量守恒定律
1
一、力矩 角动量 转动惯量
1.力矩
反映力的大小、方向和作用点对物体转动的影响
1 .力对固定 点的 矩 M r F r 是P点相对于固定点O的位矢。
M
o
d
r
F
θ p
力臂d=rsin
大小：M＝Frsin=Fd
力与力臂的乘积。
方向：右手螺旋定则判定
M rF
单位：N•m（不能写成功的单位J） 量纲：ML2T–2
L Iω
刚体绕OZ轴转动的角动量
a)力矩、角动量都是瞬时量，它们只能针对某 注意： 一时刻而言，它们都不是时间的累积效应。
b)力矩、角动量都是相对量，都必须指明它们 是相对于哪个轴或哪个点。
强调：对于刚体的定轴转动，我们只能用角动量来 描述，而不能用动量来描述。
8
3.转动惯量 1 .定义
刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至 转轴的垂直距离的平方的乘积之和。
l
I
r2dm
m
R2 R1
2
l
动量矩和力矩关系
动量矩和力矩关系动量矩和力矩是物理学中的重要概念，它们不仅在力学中有应用，在工程、物理、天文学等领域也有广泛的应用。
动量矩描述的是物体在力矩作用下运动的变化。
在实际应用中，动量矩和力矩通常是同时存在的。
下面我们将深入探讨动量矩和力矩的关系和应用。
1. 动量矩的定义动量矩，又称角动量矩，是描述物体角运动状态的物理量。
它被定义为物体的质量和速度的乘积，再乘以物体到某个旋转轴的距离的正交投影。
也可以用向量的形式表示为：L = r × p其中L表示动量矩，r表示物体到旋转轴的距离，p表示物体线性动量的矢量。
力矩是描述力对物体转动的影响的物理量。
在平面上，力矩可以用一个矢量表示，又称力矩矢量。
力矩的大小等于力的大小与力臂（也称为杠杆臂）的乘积。
力矩可以用以下公式进行计算：在计算动量矩时，我们需要确认物体的角运动状态。
动量矩的方向垂直于质点到旋转轴的平面，且满足右手定则。
当你的右手将四个手指（食指、中指、无名指和小指）垂直放置时，四指所指的方向为旋转轴的方向。
那么，拇指所指的方向即为动量矩的方向。
4. 力矩的方向力矩的方向根据叉积乘积规则，由r和F的叉积的方向确定。
叉积乘积的方向按照左手定则，左手拇指指向F，四指指向r，则左手食指所指方向为力矩的方向。
(1) 动量矩的导数等于力矩L＇= dl/dt = r × (dp/dt) = r × F = M以上式子中，L＇表示动量矩的导数，M表示力矩。
(2) 在匀强磁场中，磁场对磁偶矩产生力矩，类比于力矩，我们可以定义磁矩在磁场中的动量矩。
由于与磁偶矩类似，磁场产生的力矩垂直于磁矩的方向，并旋转磁矩使其方向与磁场相同。
6. 应用范围动量矩和力矩是物理学中广泛应用的概念。
在机械工程中，可以利用动量矩和力矩计算机械系统的力矩平衡点。
在运动控制领域中，可以利用动量矩和力矩控制飞行器、机器人等的运动状态。
在物理学中，可以利用动量矩和力矩研究卫星的轨道动力学问题，探索星际空间中的动力学特性。
第5章 角动量(3)
M r F
F
M rF sin Fh
力臂 h：点 O 到力 F 作用线的距离。 在直角坐标系中，M 可用行列式表述成
r
h
i M r F j k
它的三个分量：
x y z
Fx Fy Fz
M z xFy yFx ,
7
肱二头肌
在 dt 时间 质点的位移 vdt 转过的角度dθ r 扫过的面积 dS
1 dS r v dt 2
dS 1 r v 面积速度 dt 2
速度 动量 动量定理
O
r (t dt )
d
v dt
r (t )
面积速度 角动量 角动量定理
3
质点相对参考点O的角动量 L
M m m m M m
21
5.3 有心运动
有心运动是自然界中最重要的一种运动 太阳系 地月系 原子 粒子 ……
在有心运动中，机械能和角动量都守恒。
22
天体运动
太阳系中太阳是质量最大的天体，行星中质量最大的木星
M太 m木 1047.35
太阳近似处理成不动的质点，行星运动由太阳引力支配。 卫星距大行星很近，围绕着行星的运动由行星引力支配。
i i i
O
ri
R
O
ri
Fi
质点系所受外力的合力为零时，外力矩与参考点无关。 思考题：质点系的总动量为零时，证明其角动量与参考点无关。
18
一对力偶 大小相同、方向相反且不在同一直线上的两个力
r21
F2
r12
2
M r12 F1 r21 F2
角动量的对易关系
角动量的对易关系
某质点对参考系的角动量m对时间的变化率等于作用于该质点的合力对这个质点的力
矩l，就是角动量定理，m=dl/dt。
就是l对时间t的微分就是m，m和l都是有方向的。
力矩
力矩则表示力对物体促进作用时所产生的旋转效应的物理量。
力和力臂的乘积为力矩。
力矩就是矢量。
力对某一点的`力矩的大小为该点至力的促进作用线所惹来垂线的长度
（即为力臂）除以力的大小，其方向则旋转轴垂线和力所形成的平面用力矩的右手螺旋法
则去确认。
力对某一轴线力矩的大小，等同于力对轴就任一点的力矩在轴线上的投影。
国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米。
常用的单位还有千克力·米等。
力矩能使物
体获得角加速度，并可使物体的动量矩发生改变，对同一物体来说力矩愈大，转动状态就
愈容易改变。
l定义为r与p的矢积，并不是非常直观的物理量这就是为了研究旋转而人为定义的
力学量。
所以我真的这就是为了理论研究而人为定义的物理量，α就是角加速度，形式上和牛顿第二定律完全一致，m定义为r与f的矢积;dt。
再定义转动惯量以后，旋转方程就能够译成m=jα=dl
某质点对参考系的角动量m对时间的变化率等于作用于该质点的合力对这个质点的力
矩l,就是角动量定理,m=dl/dt（就是l对时间t的微分就是m,m和l都是有方向的,算式
上标不出来）。
力矩和角动量的关系
《力矩和角动量的关系》
小朋友们，今天咱们来了解一个有点难但很有趣的东西，叫力矩和角动量的关系。
比如说，咱们把一个陀螺转起来，陀螺转得快还是慢，转的方向是怎么样的，这里面就有力矩和角动量的作用呢。
就好像我们骑自行车，我们用力蹬脚踏板，这就产生了力矩，然后自行车的轮子就会转起来，有了角动量。
想象一下，一个大风车，风一吹，它就呼呼地转起来。
风给大风车的力量就像力矩，大风车转起来的样子就和角动量有关。
小朋友们，是不是有点神奇呀？
《力矩和角动量的关系》
小朋友们，咱们接着讲讲力矩和角动量的关系。
比如说，有一个小朋友在玩荡秋千。
他自己用力一推，秋千就荡起来啦。
他推秋千的这个力，就产生了力矩，然后秋千就有了来回摆动的角动量。
再想想，一个旋转木马，要让它转起来，就得给它一个力量，这就是力矩，然后旋转木马就欢快地转呀转，这就是角动量在起作用。
小朋友们，你们能想象到这些好玩的场景吗？
《力矩和角动量的关系》
小朋友们，今天咱们再来说说力矩和角动量的关系。
比如说，我们玩的那种可以转的小风车。
用手轻轻一拨，它就开始转了。
我们用手拨动的这个动作，就产生了力矩，小风车转起来的样子就是角动量的表现。
还有，公园里的摩天轮，要让它动起来，就得有很大的力量，这就是力矩，然后摩天轮一圈一圈地转，这就是角动量。
小朋友们，虽然力矩和角动量有点难理解，但是多想想这些好玩的例子，是不是就觉得没那么难啦？。
大物力学第五章 角动量
v dr v Q =v dt
v v dp F= dt
v dr v v v × p = v × mv = 0 dt
说明： 说明： 可以写成分量表示。 可以写成分量表示。
v dL v v v ∴ = r ×F = M dt
力矩引起角动量的变化！ 力矩引起角动量的变化！
微分形式
v v t2 v L2 − L = ∫ Mdt 1
面积ds=(r·v·dt·sin θ)/2
v r
θ
ds 1 1 v v 面积变化率 = r • v • sin θ = r × v = dt 2 2 2m 角动量守恒 面积变化率恒定
开普勒第二定律
v L
O
v v dt
v v r × v 的含义
面积ds=(r·v·dt·sin θ)/2
v r
θ
ds 1 1 v v 面积变化率 = r • v • sin θ = r × v = dt 2 2 2m 角动量守恒 面积变化率恒定
例：图中O为有心力场的力心，排斥力于距离平方成反 图中 为有心力场的力心， 为有心力场的力心 为一常量） 为一常量 比：f = k/r2（k为一常量） 求：(1) 此力场的势能 (2) 一质量为 的粒子以速度 0、瞄准距离 从远处 一质量为m的粒子以速度 的粒子以速度v 瞄准距离b从远处 入射，求他能达到的最近距离和此时的速度。 入射，求他能达到的最近距离和此时的速度。
v v v Q M内 = ∑ ( ri × f i内 ) i dt i
质点组角动量守恒： 质点组角动量守恒：
矢量，可以写成分量式表示。 矢量，可以写成分量式表示。 只有外力矩才对角动量有贡 内力矩为零， 献，内力矩为零，但会改变角 动量在体系内的分配。 动量在体系内的分配。
力矩和角动量关系
力矩和角动量关系嘿，朋友们！今天咱来唠唠力矩和角动量的关系。
咱先来说说力矩吧，你就把它想象成是一个能让物体转动起来的“小魔力”。
就好比你推一扇门，离门轴越远，你使的劲好像就越容易让门转起来，这就是力矩在起作用呢。
那角动量又是啥呢？这可有点像物体转动的一种“惯性”。
比如说一个旋转的陀螺，它一旦转起来了，就会按照那个状态一直转呀转，要想改变它可不容易，这就是角动量在“捣鬼”。
那力矩和角动量之间的关系，就像是一对好搭档。
力矩呢，就像是个推动者，能改变角动量。
你想啊，如果没有力矩，那角动量不就一直那样不变啦？但有了力矩，就好像给角动量这个“小顽固”来了点刺激，能让它发生变化。
咱举个例子吧，就像骑自行车。
你脚蹬子用力，这就是在施加力矩，然后车子的轮子就开始转啦，这转动不就是角动量嘛。
你要是一直用力蹬，那轮子就转得越来越快，角动量也就跟着变大啦。
再想想，为啥我们骑自行车拐弯的时候要倾斜身子呢？这也是力矩和角动量在“搞鬼”呀！倾斜身子会产生一个力矩，让车子能顺利拐弯，不然不就直直地冲出去啦？生活中这样的例子可不少呢！你看那花样滑冰的运动员，他们在冰上旋转的时候，张开手臂和收紧手臂，那旋转的速度就不一样，这就是通过改变力矩来影响角动量呀！还有啊，大家都玩过的陀螺，你要是给它一个力矩，它的角动量就会变化，转得可欢啦！所以说呀，力矩和角动量这俩家伙，虽然看不见摸不着，但在我们的生活中可到处都是它们的身影呢！它们就像一对隐藏在幕后的小魔法师，默默地影响着我们周围的一切转动现象。
总之，力矩和角动量的关系可太重要啦！它们让我们的世界变得更加丰富多彩，让各种物体能转起来、动起来。
咱可得好好认识认识它们，这样才能更好地理解我们身边的这些奇妙现象呀！不是吗？。
§5.1 力矩与角动量(动量矩)
mM v2 G 2 m R R
例2 已知：在xoy坐标系中，在t=0时刻将质量 为m的质点由a处静止释放，让它自由下落， 求：在任意时刻t，质点所受的对原点o的 力矩？质点对原点o的角动量？ a 1 2 o b x F mgj r bi gt j 解： 2
M r F mgbk P mv mgtj L r P mgbtk
α
l
v m
o
Lo mvl sin , L mvl , o' L oo ' mvl sin ,
r
y
F ( P)
二、矢量对轴的矩
定义：在P点处矢量 B 对z轴的矩为 mz
m z
O
Z
r
P
B
m
B B
B
mz r B sin
0 m rr r O r
对轴的力矩、角动量
Z Z
M
0 r2
O
F2 F
P
P 1
o'
α L
力矩
拉力T
0 TLcosαsinα⊙
重力mg mgLsinα×
mgLsinα×
合力F
FLcosα×
T
o'点
o
F
o点
oo'轴
0
0
mg
0
0
练习2 在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m，速 率为v，求圆锥摆对o点,o’点,oo’轴的角动量.
在讨论质点的角动量时，必须指明是对那点或那个轴的角动量 o'
第5章
角动量及其规律
第 5 章 角动量及其规律
角动量定理及角动量守恒定律
角动量定理及角动量守恒定律一、力对点的力矩：如图所示,定义力F对O 点的力矩为： F r M ⨯=大小为: θsin Fr M ＝力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直,其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时,拇指指向的方向就是力矩的方向.二、力对转轴的力矩:力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则0=M;2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。
力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩,用M表示。
力矩的大小为： Fd M ＝或： θsin Fr M ＝其中θ是F 与r的夹角.3）若力F不在垂直与转轴的平面内,则可把该力分解为两个力,一个与转轴平行的分力1F，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响.对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向.三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力 ∑=i F F合外力矩 ∑∑∑=⨯=⨯=⨯i i i M F r F r F r M＝即 ∑i M M＝四、质点的角动量定理及角动量守恒定律在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。
同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。
角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线）动量所起的作用相类似。
在研究力对质点作用时,考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时,引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。
至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容.本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。
角动量和力矩关系
角动量和力矩关系
嘿，朋友们！今天咱来聊聊角动量和力矩这对有趣的“小伙伴”。
你看啊，角动量就像是个调皮的小精灵，在物体旋转的时候就蹦出来啦。
它决定了物体旋转的状态有多顽固，要是这个小精灵劲头足，那物体可就不容易改变旋转状态咯。
那力矩呢，就好比是个大力士，专门来推动或者阻碍这个小精灵。
要是力矩这个大力士使劲推一把，那角动量小精灵可能就会改变方向或者速度啦。
比如说，咱家里的电风扇，那扇叶转起来的时候就有角动量呀。
要是你拿手去挡一下，给它一个力矩，嘿，它的旋转不就受到影响了嘛！这就好像你在跟那个小精灵玩游戏呢。
再想想，为啥花样滑冰运动员能在冰上那么优雅地旋转呢？就是因为他们会巧妙地利用角动量和力矩呀。
他们把手臂收起来的时候，角动量小精灵就集中起来啦，旋转就更快更稳；等他们再把手臂伸出去，力矩大力士就发挥作用啦，旋转就会有变化。
这多有意思呀！
还有啊，咱小时候玩的陀螺，那也是角动量和力矩的杰作呢。
你用鞭子抽它一下，不就是给了它一个力矩嘛，然后陀螺就欢快地转起来啦。
你说角动量和力矩是不是很神奇？它们在我们生活中无处不在呢，只是我们平时可能没太注意到。
但只要你留心观察，就会发现它们的小秘密。
其实啊，这世界就像一个大舞台，角动量和力矩就是在上面表演的主角。
它们相互作用，演绎出各种奇妙的现象。
我们就像是台下的观众，一边欣赏着它们的表演，一边从中学习和领悟。
所以啊，别小看了这些看似深奥的物理概念，它们其实就在我们身边，给我们的生活增添了许多乐趣和惊喜呢！角动量和力矩的关系，真的是太值得我们去好好探究一番啦！。
转动定律与角动量守恒
转动定律与角动量守恒转动定律和角动量守恒是力学中重要的概念，用于描述物体在转动过程中的行为和性质。
转动定律主要由牛顿第二定律推导而来，而角动量守恒是由系统中的角动量守恒定律得出的。
本文将详细讨论转动定律和角动量守恒的原理和应用。
一、转动定律在力学中，转动定律描述了物体在转动过程中所受到的力矩与加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律（力矩等于质量乘以加速度），我们可以得到以下转动定律的表达式：1. 转动惯量转动惯量是描述物体对转动的惯性大小的物理量，用字母I表示。
对于不同形状和质量分布的物体，其转动惯量的计算方法也不相同。
比如，对于质量均匀分布的细长杆，其转动惯量可以通过公式I=1/12×m×L²来计算，其中m是杆的质量，L是杆的长度。
2. 角加速度和力矩的关系在转动定律中，角加速度和力矩之间存在着简单的线性关系。
根据转动定律的表达式，力矩等于转动惯量乘以角加速度，可以表示为τ=I×α，其中τ表示力矩，α表示角加速度。
3. 角动量和力矩的关系角动量描述了物体在转动过程中的旋转状态，其大小与转动惯量和角速度的乘积成正比。
根据转动定律的表达式，角动量等于转动惯量乘以角速度，可以表示为L=I×ω，其中L表示角动量，ω表示角速度。
二、角动量守恒角动量守恒是描述系统中角动量不变的物理原理，适用于没有外力和力矩作用的封闭系统。
当系统中没有外力和力矩作用时，系统的总角动量保持不变。
1. 系统的总角动量系统的总角动量是指系统中所有物体角动量的矢量和。
当系统中有多个物体时，每个物体的角动量可以用L=I×ω的表达式计算，然后将所有物体的角动量矢量相加，得到系统的总角动量。
2. 角动量守恒当系统中没有外力和力矩作用时，系统的总角动量保持不变。
这意味着，系统中每个物体的角动量之和在转动过程中不会发生改变。
三、转动定律与角动量守恒的应用转动定律和角动量守恒在实际问题中具有广泛的应用。
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而扭转则涉及到力矩。
根据国际单位制，力矩的单位是牛顿米。
本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作单位；
力矩的表示符号是希腊字母，或。
力矩与三个物理量有关：施加的作用力、从转轴到施力点的位移矢量、两个矢量之间的夹角。
力矩以矢量方程表示为。
力矩的大小为。
力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。
力矩的定义：力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。
假设作用力施加于位置为的粒子。
选择原点为参考点，力矩以方程定义为。
力矩大小为
；
其中，是两个矢量与之间的夹角。
力矩大小也可以表示为
；
其中，是作用力对于的垂直分量。
任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。
从叉积的性质，可以推论，力矩垂直于位置矢量和作用力。
力矩的
方向与旋转轴平行，由右手定则决定。
使1牛顿米的力矩，作用1 全转，需要恰巧焦耳的能量：。
其中，是能量，是移动的角度，单位是弧度。
力矩有大小方向是矢量，与动量等道理一样，只是一个力学名称。
角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量，在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉积，通常写做。
角动量是矢量。
其中，表示质点到原点的位移，表示角动量。
表示动量。
而又可写为：
其中表示杆状系统的转动惯量，ω是角速度矢量。
在不受非零合外力矩作用时，角动量是守恒的。
需要注意的是，由于成立的
条件不同，角动量是否守恒与动量是否守恒没有直接的联系。
角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。
需要特别说明的是：动量, 也就是说动量的方向和速度的方向一致.
角动量守恒定律是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不
变。
当方程式右边力矩为零时，可知角动量不随时间变化。
需要搞懂有心力也就是向心力的作用不能产生力矩。