标准差与方差

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s表示．
假设样本数据是x1, x2 ,...xn ,

x 表示这组数据的平均数
xi到

x的距离是
xi


x
(i
1,2,
, n).

于是， 样本数据 x1, x2, xn到 x的“平均距离 ”是：



x1 x x2 x xn x
据。
作业：测试反馈p85：1-5 每周一练4 交

x)2
(x2

x)2

(xn


x)2
.
用计算器可算出甲,乙两人的的成绩的标准差
s甲 2，s 乙 1 095
由 s甲 s乙可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的
成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.
例题1:画出下列四组样本数据的直方图,说明它们 的异同点.
说明数据的分散程度是不一样的.
频率
频率
1.0 0.9

x5
0.8 0.7 S=0.82 0.6
0.5
0.4
0.3 0.2
0.1
o频率1
2
3 (2)
45
678
1.0 0.9 0.8

x5
0.7
0.6 S=1.49
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
o
12 345
678
1.0 0.9 0.8

x5
0.7
0.6
0.5 S=0.00
0.4
0.3
0.2
0.1
o 1 2 3 45 6 7 8
(1)
频率

x5
1.0
0.9 S=2.83
0.8
0.7
0.6 0.5
0.4
0.3 0.2
0.1
o 12 3 4 56 78
标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.

例如,在关于居民月均用水量的例子中,平均数 x 1.973
S
.
n
由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通 常改用如下公式来计算标准差．
s
1 n
(x1


x)2
(x2


x)2

(xn


x)2

.
那么，标准差刻画了数据的什么特征呢？
一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图表示:
考虑一个容量为2的样本:
x1

x2 , 其样本的标准差为x2
标准差s=0.868 ,所以


x s 2.841, x 2s 3.709


x s 1.105, x 2s 0.237.
这100
个数据中 ，
在区间


x
2s,

x
2s

0.237 ,3.709 外的只有
4个。
也就是说
，

x
2s,

x

2
s
几乎包含了所有样本数
(1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;
(2) 4, 4, 4, 5 , 5, 5, 6, 6, 6;
(3) 3 , 3 , 4 , 4 , 5, 6 , 6, 7 , 7;
(4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ; 解:四组样本数据的直方图是:
2
x1
, 记a

x2
2
x1
.
a
x1
x1 x2
x2
2
显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度越大; 标准差越小,数据的离散程度越小.
标准差用来表示稳定性
从数学的角度考虑n 人们有时用标准差的平方s2 方差 来代替标准差作为 测量样本数据分散程度的工具 :
s2

1 n
( x1
标准差与方差
复习：众数、中位数、平均数与频率分布直方 图的关系
1、众数：最高矩形的中点的横坐标。
2、中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右 边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的 值。
3、平均数=每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的 横坐标之和
问题
有两位射击运动员在一次射击测试中各射 靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７ ８ ７ ９ ５ ４ ９ １０ ７ ４
乙：９ ５ ７ ８ ７ ６ ８ ６ ７ ７
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?
如果看两人本次射击的平均成绩,由于

x甲
7，x 乙
7
两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人
的水平就没有什么差异吗?
s甲
s乙 4 5 ຫໍສະໝຸດ Baidu 7 8 9 10
五、标准差与方差