随机效应模型简介_Chenfeng
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0.38+0.24+0.02
A1 0.64 A2 0.33 配伍组 B1 A3 0.36 A4 0.27 Mean 0.40 0.51 0.29 0.33 0.36 0.38 Effect 0.02 0.13 -0.09 -0.04 -0.02
B2 B3 B4 B5 Mean Effect
0.75 0.53 0.58 0.60 0.62 0.24
e 3 time
e
2 b2 j
time
0 12 12 b1 j , b ~ MN 2 0 2 j 2 12
proc nlmixed data=theoph; parms beta1=-3.22 beta2=0.47 beta3=-2.45 s2b1=0.03 cb12=0 s2b2=0.4 s2=0.5; cl = exp(beta1 + b1); ka = exp(beta2 + b2); ke = exp(beta3); pred = dose*ke*ka*(exp(-ke*time)-exp(-ka*time))/cl/(ka-ke); model conc ~ normal(pred,s2); random b1 b2 ~ normal([0,0],[s2b1,cb12,s2b2]) subject=subject; run;
B2 B3 B4 B5 Mean Effect
0.62 0.24
0.30 -0.07
0.34 -0.04
0.25 -0.13
固定效应模型
Yij ai b j eij eij ~ N (0, )
2 0
随机效应模型 Yij ai e j ei
2 ei ~ N (0, 0 )
1 2 3 4
• • • •
• • •
Type 3 Tests of Fixed Effects Num Effect DF a 3
Cov Parm Estimate b Residual
Den DF 12
F Value 7.53
Pr > F 0.0043
0.002477 0.01818
固定效应模型
Source Model Error Corrected Total
DF 7 12 19 R-Square 0.705766
Mean Square 0.07473857 0.01817583
F Value 4.11
Pr > F 0.0157
Root MSE 0.134818 F Value 7.53 1.55
Yij ai b j eij eij ~ N (0, 0.01818)
随机效应模型
Yij ai e j ei ei ~ N (0, 0.01818) e j ~ N (0, 0.002477)
•
• • • • • •
The ANOVA Procedure
Dependent Variable: y
随机效应模型的不同名称
• • • • 随机效应模型(random effect model) 混合效应模型(mixed model) 随机成分模型(random components model) 随机系数模型(random coefficients model)
s2z2
25.1143
*随机系数模型 proc mixed; class id ; model y = x /s; random x / subject = id; run;
这个例子告诉我们：
• 当变异随某因素变化时，可以对变异进行回归分 析；
例3.3 100只雌性大鼠从出生到第100天的体重(g)变化趋势
Error
Total
12
19
0.21811000
0.74128000
0.01817583
例3.1资料的处理效应和区组效应(近似值
)
配伍组 B1 A1 0.80 A2 0.36 A3 0.17 A4 0.28 Mean 0.40 0.51 0.29 0.33 0.36 0.38 Effect 0.02 0.13 -0.09 -0.04 -0.02
• 不同来源的变异，可以用固定效应表示，也可 以用随机效应表示； • 当不关心固定效应大小时，宜用随机效应； • 当因素的取值是随机时，最好用随机效应。
• 例3.2 Hall和Northfield调查了26名病人的胃液的pH值及尿 中亚硝酸盐的浓度，如下表。试描述两者之间的关系。
x 5.86 5.18 6.03 5.71 4.91 5.5 2.64 2.94 y 3.26 0.00 19.5 21.9 17.8 35.2 2.33 6.53 x 5.31 2.17 1.93 5.59 5.29 1.94 2.03 5.90 y 43.9 9.36 7.13 52.5 50.6 12.1 15.7 63.4
eij
2 eij ~ N (0, 0 )
0 12 12 13 e1 j 2 e2 j ~ MN 0 , 12 2 23 2 0 e3 j 23 3 13
y Mean 0.376000 Pr > F 0.0043 0.2514
Source a b
DF 3 4
Anova SS 0.41084000 0.11233000
• • • • • • • • •
The Mixed Procedure Solution for Fixed Effects Effect intercept a a a a Estimate 0.2480 0.3700 0.05200 0.09000 0 Standard Error 0.06427 0.08527 0.08527 0.08527 . DF 4 12 12 12 . t Value 3.86 4.34 0.61 1.06 . Pr > |t| 0.0182 0.0010 0.5533 0.3120 .
R-Square 0.554231
Coeff Var 38.22069
Root MSE 0.143710
y Mean 0.376000
• •
Source a
DF 3
Anova SS 0.41084000
Mean Square 0.13694667
F Value 6.63
Pr > F 0.0040
这个例子告诉我们：
2012年暑期培训班,长沙
随机效应模型简介
Introduction to random effect models
南京医科大学 陈峰
中国卫生信息学会统计理论与方法专业委员会
提纲(outline)
1. 2. 3. 4. 线性模型简介 广义线性模型简介 从几个简单例子介绍随机效应模型 重复测量资料的随机效应模型 GEE 多水平模型 5. 其他非独立数据的随机效应模型 6. 随机效应模型拟合中的一些问题
例3.4 药代动力学模型
12
10
8
conc
6
4
2
0 0 2 4 6 8 10 12 14 time 16 18 20 22 24 26
Yij Dose e e
2 eij ~ N (0, 0 )
3
2 b2 j
e e 1 b1 j eij 2 b2 j 3 e (e e )
300.0
Weight(g)
200.0
100.0
0.0 0 47 14 21 35 49 Time(day)
23
70
100
生长曲线的固定和随机效应模型
K Yij eij 1 b1 exp( b2 time)
2 eij ~ N (0, 0 )
Yij
K e3 j 1 (b1 e1 j ) exp((b2 e2 j ) time)
26名病人的胃液的pH值及尿中亚硝酸盐浓度的散点图
(方差随自变量的增加而增加)
尿 中 亚 硝 酸 盐 的 浓 度
胃液的pH值
Y是正态分布、等方差示意图
Y是正态分布、不等方差示意图
ˆ a bX Y
ˆ A BX
2 Y
随机系数模型的估计结果
Parameter beta0 beta1 s2 Estimate -12.9441 10.3091 0.000218 Error 6.9609 2.2486 24 DF t Value -1.86 4.58 Pr>|t| 0.1483 0.0001
e j ~ N (0, )
2 1
•
Two-way ANOVA (fixed model)
•
Dependent Variable: y
Sum of Squares 0.52317000 0.21811000 0.74128000 Coeff Var 35.85579 Mean Square 0.13694667 0.02808250
这两个例子告诉我们：
• 在回归模型中，当个体的趋势不尽相同时，回归 模型的系数可以表示为随机的。
忽略随机效应的后果： 一个虚拟的例子(Extreme Example )
Subject specific effects of X on Pr(Death), OR = 20 per 1 unit increase in X Population average effect of X on Pr(Death), OR = 2.7 per 1 unit increase in X
区组方差分析结果
Source Model a b DF 7 3 4 SS 0.52317000 0.41084000 0.11233000 MS 0.07473857 0.13694667 0.02808250 F_Value 4.11 7.53 1.55 P 0.0157 0.0043 0.2514
(不考虑区组因素)
Source Model Error Total
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
DF 3 16 19
Sum of Squares 0.41084000 0.33044000 0.74128000
Mean Square 0.13694667 0.02065250
F Value 6.63
Pr > F 0.0040
• •
B2 B3 B4 B5 Mean Effect
0.74 0.31 0.48 0.76 0.62 0.24
0.50 0.20 0.18 0.26 0.30 -0.07
0.42 0.38 0.44 0.28 0.34 -0.04
0.36 0.25 0.22 0.13 0.25 -0.13
根据处理效应、区组效应计算的理论值
4.07
2.11 2.17 5.77
22.7
0.19 1.48 48.9
4.94
5.91 5.59 5.55
55.6
81.2 81.8 83.8
1.72
1.64
2.73
52
尿 中 亚 硝 酸 盐 的 浓 度
胃液的pH值
26名病人的胃液的pH值及尿中亚硝酸盐浓度的散点图
平均数随自变量的增加而增加，方差也随自变量而增加
3. 从几个简单例子介绍随机效应模型
例3.1(配伍组设计) 四种抗癌药物抑瘤效果的配伍组方差分 析，测量值越大提示效果越好。
配伍组 B1 B2 B3 B4 B5 A1 0.80 0.74 0.31 0.48 0.76 A2 0.36 0.50 0.20 0.18 0.26 A3 0.17 0.42 0.38 0.44 0.28 A4 0.28 0.36 0.25 0.22 0.13
0.44 0.22 0.27 0.29 0.30 -0.07
0.47 0.25 0.30 0.32 0.34 -0.04
0.38 0.16 0.21 0.23 0.25 -0.13
各观察值的残差
配伍组 B1 A1 0.16 -0.01 -0.22 -0.09 0.16 A2 0.03 0.07 -0.01 -0.07 -0.02 A3 -0.19 -0.05 0.13 0.15 -0.04 A4 0.01 -0.02 0.09 0.02 -0.10 Mean 0.40 0.51 0.29 0.33 0.36 0.38 Effect 0.02 0.13 -0.09 -0.04 -0.02
A1 0.64 A2 0.33 配伍组 B1 A3 0.36 A4 0.27 Mean 0.40 0.51 0.29 0.33 0.36 0.38 Effect 0.02 0.13 -0.09 -0.04 -0.02
B2 B3 B4 B5 Mean Effect
0.75 0.53 0.58 0.60 0.62 0.24
e 3 time
e
2 b2 j
time
0 12 12 b1 j , b ~ MN 2 0 2 j 2 12
proc nlmixed data=theoph; parms beta1=-3.22 beta2=0.47 beta3=-2.45 s2b1=0.03 cb12=0 s2b2=0.4 s2=0.5; cl = exp(beta1 + b1); ka = exp(beta2 + b2); ke = exp(beta3); pred = dose*ke*ka*(exp(-ke*time)-exp(-ka*time))/cl/(ka-ke); model conc ~ normal(pred,s2); random b1 b2 ~ normal([0,0],[s2b1,cb12,s2b2]) subject=subject; run;
B2 B3 B4 B5 Mean Effect
0.62 0.24
0.30 -0.07
0.34 -0.04
0.25 -0.13
固定效应模型
Yij ai b j eij eij ~ N (0, )
2 0
随机效应模型 Yij ai e j ei
2 ei ~ N (0, 0 )
1 2 3 4
• • • •
• • •
Type 3 Tests of Fixed Effects Num Effect DF a 3
Cov Parm Estimate b Residual
Den DF 12
F Value 7.53
Pr > F 0.0043
0.002477 0.01818
固定效应模型
Source Model Error Corrected Total
DF 7 12 19 R-Square 0.705766
Mean Square 0.07473857 0.01817583
F Value 4.11
Pr > F 0.0157
Root MSE 0.134818 F Value 7.53 1.55
Yij ai b j eij eij ~ N (0, 0.01818)
随机效应模型
Yij ai e j ei ei ~ N (0, 0.01818) e j ~ N (0, 0.002477)
•
• • • • • •
The ANOVA Procedure
Dependent Variable: y
随机效应模型的不同名称
• • • • 随机效应模型(random effect model) 混合效应模型(mixed model) 随机成分模型(random components model) 随机系数模型(random coefficients model)
s2z2
25.1143
*随机系数模型 proc mixed; class id ; model y = x /s; random x / subject = id; run;
这个例子告诉我们：
• 当变异随某因素变化时，可以对变异进行回归分 析；
例3.3 100只雌性大鼠从出生到第100天的体重(g)变化趋势
Error
Total
12
19
0.21811000
0.74128000
0.01817583
例3.1资料的处理效应和区组效应(近似值
)
配伍组 B1 A1 0.80 A2 0.36 A3 0.17 A4 0.28 Mean 0.40 0.51 0.29 0.33 0.36 0.38 Effect 0.02 0.13 -0.09 -0.04 -0.02
• 不同来源的变异，可以用固定效应表示，也可 以用随机效应表示； • 当不关心固定效应大小时，宜用随机效应； • 当因素的取值是随机时，最好用随机效应。
• 例3.2 Hall和Northfield调查了26名病人的胃液的pH值及尿 中亚硝酸盐的浓度，如下表。试描述两者之间的关系。
x 5.86 5.18 6.03 5.71 4.91 5.5 2.64 2.94 y 3.26 0.00 19.5 21.9 17.8 35.2 2.33 6.53 x 5.31 2.17 1.93 5.59 5.29 1.94 2.03 5.90 y 43.9 9.36 7.13 52.5 50.6 12.1 15.7 63.4
eij
2 eij ~ N (0, 0 )
0 12 12 13 e1 j 2 e2 j ~ MN 0 , 12 2 23 2 0 e3 j 23 3 13
y Mean 0.376000 Pr > F 0.0043 0.2514
Source a b
DF 3 4
Anova SS 0.41084000 0.11233000
• • • • • • • • •
The Mixed Procedure Solution for Fixed Effects Effect intercept a a a a Estimate 0.2480 0.3700 0.05200 0.09000 0 Standard Error 0.06427 0.08527 0.08527 0.08527 . DF 4 12 12 12 . t Value 3.86 4.34 0.61 1.06 . Pr > |t| 0.0182 0.0010 0.5533 0.3120 .
R-Square 0.554231
Coeff Var 38.22069
Root MSE 0.143710
y Mean 0.376000
• •
Source a
DF 3
Anova SS 0.41084000
Mean Square 0.13694667
F Value 6.63
Pr > F 0.0040
这个例子告诉我们：
2012年暑期培训班,长沙
随机效应模型简介
Introduction to random effect models
南京医科大学 陈峰
中国卫生信息学会统计理论与方法专业委员会
提纲(outline)
1. 2. 3. 4. 线性模型简介 广义线性模型简介 从几个简单例子介绍随机效应模型 重复测量资料的随机效应模型 GEE 多水平模型 5. 其他非独立数据的随机效应模型 6. 随机效应模型拟合中的一些问题
例3.4 药代动力学模型
12
10
8
conc
6
4
2
0 0 2 4 6 8 10 12 14 time 16 18 20 22 24 26
Yij Dose e e
2 eij ~ N (0, 0 )
3
2 b2 j
e e 1 b1 j eij 2 b2 j 3 e (e e )
300.0
Weight(g)
200.0
100.0
0.0 0 47 14 21 35 49 Time(day)
23
70
100
生长曲线的固定和随机效应模型
K Yij eij 1 b1 exp( b2 time)
2 eij ~ N (0, 0 )
Yij
K e3 j 1 (b1 e1 j ) exp((b2 e2 j ) time)
26名病人的胃液的pH值及尿中亚硝酸盐浓度的散点图
(方差随自变量的增加而增加)
尿 中 亚 硝 酸 盐 的 浓 度
胃液的pH值
Y是正态分布、等方差示意图
Y是正态分布、不等方差示意图
ˆ a bX Y
ˆ A BX
2 Y
随机系数模型的估计结果
Parameter beta0 beta1 s2 Estimate -12.9441 10.3091 0.000218 Error 6.9609 2.2486 24 DF t Value -1.86 4.58 Pr>|t| 0.1483 0.0001
e j ~ N (0, )
2 1
•
Two-way ANOVA (fixed model)
•
Dependent Variable: y
Sum of Squares 0.52317000 0.21811000 0.74128000 Coeff Var 35.85579 Mean Square 0.13694667 0.02808250
这两个例子告诉我们：
• 在回归模型中，当个体的趋势不尽相同时，回归 模型的系数可以表示为随机的。
忽略随机效应的后果： 一个虚拟的例子(Extreme Example )
Subject specific effects of X on Pr(Death), OR = 20 per 1 unit increase in X Population average effect of X on Pr(Death), OR = 2.7 per 1 unit increase in X
区组方差分析结果
Source Model a b DF 7 3 4 SS 0.52317000 0.41084000 0.11233000 MS 0.07473857 0.13694667 0.02808250 F_Value 4.11 7.53 1.55 P 0.0157 0.0043 0.2514
(不考虑区组因素)
Source Model Error Total
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
DF 3 16 19
Sum of Squares 0.41084000 0.33044000 0.74128000
Mean Square 0.13694667 0.02065250
F Value 6.63
Pr > F 0.0040
• •
B2 B3 B4 B5 Mean Effect
0.74 0.31 0.48 0.76 0.62 0.24
0.50 0.20 0.18 0.26 0.30 -0.07
0.42 0.38 0.44 0.28 0.34 -0.04
0.36 0.25 0.22 0.13 0.25 -0.13
根据处理效应、区组效应计算的理论值
4.07
2.11 2.17 5.77
22.7
0.19 1.48 48.9
4.94
5.91 5.59 5.55
55.6
81.2 81.8 83.8
1.72
1.64
2.73
52
尿 中 亚 硝 酸 盐 的 浓 度
胃液的pH值
26名病人的胃液的pH值及尿中亚硝酸盐浓度的散点图
平均数随自变量的增加而增加，方差也随自变量而增加
3. 从几个简单例子介绍随机效应模型
例3.1(配伍组设计) 四种抗癌药物抑瘤效果的配伍组方差分 析，测量值越大提示效果越好。
配伍组 B1 B2 B3 B4 B5 A1 0.80 0.74 0.31 0.48 0.76 A2 0.36 0.50 0.20 0.18 0.26 A3 0.17 0.42 0.38 0.44 0.28 A4 0.28 0.36 0.25 0.22 0.13
0.44 0.22 0.27 0.29 0.30 -0.07
0.47 0.25 0.30 0.32 0.34 -0.04
0.38 0.16 0.21 0.23 0.25 -0.13
各观察值的残差
配伍组 B1 A1 0.16 -0.01 -0.22 -0.09 0.16 A2 0.03 0.07 -0.01 -0.07 -0.02 A3 -0.19 -0.05 0.13 0.15 -0.04 A4 0.01 -0.02 0.09 0.02 -0.10 Mean 0.40 0.51 0.29 0.33 0.36 0.38 Effect 0.02 0.13 -0.09 -0.04 -0.02