高等量子力学 第五章 矢量空间的直和与直积
高等量子力学5-1--5-2
{
m
2
}
（n1 +n2）个基矢
α ⊕ ψ = ∑ ν i αi ⊕ ∑ ε m ψ m
i m
(+) (+)
= ∑ ν i αi ⊕ φ i
( 2)
2)
( ×)
( =∑( ν
i i
= ∑ ν i αi ⊕ φ (
i
⊕ φ(
2)
( )α + ∑ ( φ
m i m
)
(1) + φ ⊕ ∑ εm ψ m m + ∑ φ( ) + εm ψ m
Pr oof ( ∆′ ) : ( A ⊗ L )( B ⊗ M ) ( α ⊗ ψ
（□）
= ( A ⊗ L)( B α ⊗ M ψ = A( B α ) ⊗ L ( M ψ = AB α ⊗ LM ψ
（□） 算符乘积定义
)
)
)
（□）
= ( AB ⊗ LM ) ( α ⊗ ψ
A指A ⊗ I (
1 2)
基矢
Eim = ν i ⊗ ε m = ν i ε m 共n1 × n2个，是R1 ⊗ R2的维数
∴以 Eim 为基矢的表象是K ⊗ P( KP)表象
讨论R1 ⊗ R2中，矢量 α ⊗ ψ 和算符A ⊗ L的矩阵表示 例：n1 = 2, n2 = 3
α1ψ 1 K ⊗ P表象中 α ⊗ ψ α1ψ 2 ψ 1 α1 α1ψ 3 α ⊗ ψ = ⊗ ψ 2 = α 2 ψ α 2ψ 1 3 α 2ψ 2 α ψ 2 3
R1 R2
K 表象
KP表象
P表象
高等量子力学 第五章 矢量空间的直和与直积
在 R1 中取一组基矢 { i }, i 1,2,, n1 , ，设这组基矢是算 符 K 的本征矢量（ K 表象） ；在 R2 中取 P 表象，其基矢为
{ m }, m 1,2,, n2 , 那么直和空间中的任意矢量 都可
以写成下列的形式：
i i m m
A11 A A 21
A12 A22
L11 L L21 L 31
L12 L22 L32
L13 L23 L33
（5.13）
在直和空间中，算符 A L 的矩阵形式成为
A11 A21 A O A L O L 0 0 0 A12 A22 0 0 0 0 0 L11 L21 L31 0 0 L12 L22 L32 0 0 L13 L23 L33
如果认定一个空间的算符作用到别的空间的矢量时得零矢 量，则上式可按分配律展开。 算符的加法和乘法可根据上述定义得出：
( A L) ( B M ) ( A B) ( L M )
（5.7）
( A L)( ) A L
( A L)( B M ) AB LM
（5.2） （5.3）
如果认定不同空间中矢量的内积为零，上述定义说明内积 可按分配律展开。
容易证明上述定义满足(1)~(12) 的所有条件。于是，构造成 功了一个新的矢量空间 R ， 我们说空间 R 是 R1 和 R2 的直和空间， 表为
R R1 R2
（5.5）
现在，用 R1 中的算符 A，B， 和 R2 中的算符 L，M， 去构造直和空间中的算符 A L ，称为 A，L 两算符的直和，其 作用为 （5.6） ( A L)( ) A L
量子力学讲义第五章
第五章 中心力场§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒与径向方程设质量为μ的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：2ˆˆ()2p H V r μ=+ 22()2V r μ=-∇+ ，与经典力学中一样，角动量 l r p =⨯ 也是守恒量，即ˆ0l t∂=∂ˆˆ[,]0l H = 222221ˆ()22l H r V r r r r rμμ∂∂⎛⎫=-++ ⎪∂∂⎝⎭ 2,0z l l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 2ˆ,0l H ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ； ()2ˆ,,z H l l构成力学量完全集，存在共同本征态； 定态薛定谔(能量本征方程)：222221()22l r V r E r r r r ψψμμ⎡⎤∂∂⎛⎫⎢⎥-++= ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。
取ψ为 ()2,,z H l l 共同本征态，即：()()(),,,l lmr R r Y ψθϕθϕ= (),lm Y θϕ是()2,z l l共同本征态：0,1,2,...l =，0,1,2,...,m l =±±± 分离变量：()()22222120l l l E V l l d d R R R r dr dr r μ-+⎛⎫++-= ⎪⎝⎭径向方程可写为：()()22222()120l l l E V r l l dR d R R dr r dr r μ-+⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦，0,1,2,...l = (1) 为求解径向方程，引入变换：()()l l r R r rχ=；径向方程简化为：()()22222()10l l E V r l l d dr r μχχ-+⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦ (2) 不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数R l (r )或χl (r )，它们由中心势V (r )的性质决定。
一般而言，中心力场中粒子的能级是2l +1重简并的。
高等量子力学 课件
进而 对于任意的 fr(q) , 总可以进行如下的幺正变换:
(q) 是任意实函数. 于是上式成为:
21
因而, 只要选择 (q) 使得
就有 即 譬如:
(通过适当选择基矢的相因子)
22
于是, 对于任一依赖于坐标和动量的算符
有
小结 在坐标表象中，坐标算符和动量算符对态矢量的作 用, 对应于以下算符对波函数的作用:
15
形式上, 可以把(k), A(k, k)理解为下标连续改变的矩阵:
16
§1.3.4 坐标表象
1 基矢 以体系的Descartes直角坐标本征态为基矢的
表象称为坐标表象, 或Schrodinger表象.
选取全体Descartes直角坐标
为厄米
算符完备组, 可以证明, 其本征值有连续谱, 于是正交归
反之 i = Ui 上述即为矢量的表象变换.
11
二、算符的表象变换
设算符A在K表象、L表象中分别表示为{Aij}和{A}:
Aij = iAj , A = A.
于是， A = ij iiAjj
即
一化关系和完备性公式分别为:
17
2 态矢量|和坐标算符函数的表示
其中,
是
在 |q 上的本征值.
进而,
18
3 动量算符的表示
利用原理3, 即 Heisenberg 对易关系 有
我们知道 (x) 具有性质:
19
将 与 则知, 若
取如下形式
对比
可使上述等式恒成立. 其中 fr(q)是q的任意实函数.
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间
1 定义; 2 正交性和模; 3 基矢; 4 子空间
§1.2 线性算符
高量5-矢量空间的直和与直积
上式坐标的“+”是 R1 中的加法，右边的“+” 是直积空间的加法。这与就构成了新的矢量空间, 称为 R1 , R2的直积空间。
14
二、直积空间中的算符 1. 定义： 设 R1 中的算符为A,B, …， R2 中的算符为L,M, … ， 那么直积空间的算符为 A L,, 其定义为
( A L)(| | ) A | L |
(| | ) (| | ) (| | ) (| | )
| | | | 是一个新矢量，一般不能表
为双矢量的形式。这与直和空间的加法不同。
加法的单位元是
| 0 | 0(1) | 0( 2)
10
有时在直和空间中说算符A，实际上是指 A O( 2) . 若R1,R2是大空间的两子空间，则只有当R1,R2除 | 0 外不含公共矢量时才可以谈二者的直和. 这是因为大 空间的加法适用于所有矢量。 从R1,R2中各取一矢量构成的双矢量| | 与二 者之和 | | 是等价的，“ ”可以写成“+”。 直和空间不只包含R1,R2中所有矢量，比如3D空间 中，若R1是xy平面矢量，R2是沿z轴矢量，则 R1 R2 包含3D空间中的全部矢量。 由于算符在整个大空间都有定义，所以一切算符在 R1,R2中是通用的。这时没有算符直和这一概念。
R R1 R2
3
3. 算符的直和 用 R1 中的算符A,B, …和 R2中的算符L,M, …去构 造直和空间中的算符 A L ，称为A, L两算符的直 和。其作用为
( A L)(| | ) A | L |
如果认定一个空间的算符作用到另一个空间的矢 量时得0矢量，则上式可按分配律来展开。 算符的加法和乘法可以按照上述定义得出。
高等量子力学讲义5-6章
确定位置设置粒子接收器
→ 比较 → − ↗
散射问题中量子态的渐近行为
量子力学 波函数 描述散射过程中粒子的状态。 − − − − − → 我们考虑非相对论无自旋粒子的入射束，由于考查渐近行为， V = 0，确定粒子的入射粒子束有 平面波描述 i Ae Pz z 沿 z 轴入射 进入散射中心 (靶) 的有效力程后 入射波 (物质波) 发生衍射 − − − − − − − − − − − − − → −→ 原入射方向外 + 其它方向的衍射传播 按衍射理论习惯 − − − − − − − − − − − − → ψi ↓ 入射波 相干叠加 ψ − − − − − − → 进一步，由于散射波是由散射中心向外发散的， 出了有效力程后 相对自由粒子的球面波 − − − − − − − − − − − → ψr→∞ −→ A e
i
+
ψs ↓ 散射波 = ψi + ψs
Pi r cos θ
+A
f (θ, φ) i Ps r e r
Pi 为入射粒子动量； Ps 为粒子经散射的动量。
渐进行为中量与散射物理量的关系
由量子力学：入射粒子流 ⃗ ji = 出射粒子流：
r js =
mi
z ∗ = ∇ψi −→ ji ψi
|A|2 Pi m
2π
若我们完成对立体角的积分，则得到总的散射截面 ˆ ˆ ˆ σ = dσ = σ (θ, ϕ)dΩ =
0
ˆ
0
π
σ (θ, φ) sin θdφdθ
上述物理量的实验获得：
实验可确定量 ↙ 单位时间入射粒子数目 ↘ ratio 微分散射截面 ↓ 总散射截面 散射理论的最终目的→ 确立理论中的散射截面 6 ← 积分 → − ↘ ↘ ↙ 散射后出射的粒子数 ↙
清华大学高等量子力学-Lecture-16
第五章 对称性对称性是一个体系最重要的性质。
前面求解一维Schroedinger 方程时，我们看到，利用体系相互作用的左右对称性，导致态有确定的宇称，可以大大简化方程的求解。
1.守恒量若力学量的平均值不随时间变化0d Fdt=， 则称力学量为守恒量。
F 由 ˆF F ψψ= 和Schrodinger 方程 ˆi H tψψ∂=∂ ， 有ˆˆˆˆ1ˆˆ,d FF F Fdt t t tF F H t i ψψψψψψ∂∂∂=++∂∂∂∂⎡⎤=+⎣⎦∂若不显含时间， ˆFt 1ˆˆ,d F F H dt i ⎡⎤=⎣⎦ 若与ˆFˆH 对易，则为守恒量。
ˆF 例如：a ）对于自由粒子体系，2ˆˆ2p H m =，动量不显含时间t ，且ˆp ˆˆ,p H ⎡⎤0=⎣⎦，有动量守恒； b ）对于一般体系，()2ˆˆ2p H V x m=+ˆˆ,0p H ⎡⎤，≠⎣⎦，动量不守恒； c ）对于中心场体系，()()22222ˆˆˆ222p L H V r r V m mr r r mr∂∂⎛⎞=+=−++⎜⎟∂∂⎝⎠2r ，轨道角动量算符2ˆL ，均不显含时间，且，有轨道角动量及其任意分量守恒； ˆi L t 2ˆˆˆˆ,,i L H L H ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎣⎦0=d ）若ˆH 不显含时间，，有能量守恒。
t ˆˆ,H H ⎡⎤=⎣⎦0故一个力学量是否为守恒量，由体系的性质，即ˆH的性质来决定。
守恒量的性质：a ）在任意态的平均值与时间无关（定义）；b ）在任意态的取值几率与时间无关 证明：，，ˆˆ,0F H ⎡⎤=⎣⎦ˆF ˆH 有共同完备本征矢n ， ˆn F n F n =，ˆnH n E n = 对于任一态 ()()n nt C t ψ=∑n ， ()()n C t n t ψ=，ˆF 取值为的几率为 n F 2()nC t 。
因为1ˆ()()()()()n n n nE E d C t n t n H t n t C t dt t i i i ψψψ∂====∂， 故 ()(0)n i E t n n C t C e−=，2()(0)n n C t C =2与时间无关。
高等量子力学-第一章__希尔伯特空间
2、基矢
正交归一的完全集称为这个空间的一个基矢组，或一组 基矢。当然一个空间可有不同的多组基矢。
n 维空间的一组基矢{1, 2 ,..., n} 的正交归一性质可以写为
i , j ij ， i, j = 1,2,…,n （1.5）
Schmidt 正交化方法： 一个矢量空间，只要知道它的一个 完全集总可以找到一组基矢。
2
1 （ 2
，2 ）12 2（，）2
由于 2 0 ，所以有 （，）2 2 2
即 （，）
三角形不等式：对于任意 和 ，有
（1.2）
Байду номын сангаас
证明：因为对任意复数 a 有 Re a a ，取 的模方，利
用此关系和 Schwartz 不等式，有 ( , ) 2 22R(e(,,) ) (,2 ) 2 2 2 ( ,) 2 2 2
和一个数 a，在集合内总有一个矢量 与之对应，记为
a a
称为 与 的乘积。数乘要满足下列四个条件：
条件（5）：1
条件（6）： ( a)b (ab) （结合律）
条件（7）： (a b) a b （第一分配律）
条件（8）： ( )a a a
（第二分配律）
α是实数时，空间称为在实数域上的矢量空间； α是复数时，空间称为在复数域上的矢量空间。
第三个例子 取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数，
可以把它们写成一个一列矩阵：
l1
l
l2
l3 l4
加法，数乘和内积的定义分别为
l1 m1
l
m
l2
l3 l4
m2 m3 m4
l1
l
l2
l3 l4
(l, m)
高等量子力学本征矢量和本征值图文
xx年xx月xx日
目 录
• 量子力学本征矢量概念及分类 • 量子力学本征值的基本理论 • 量子力学中的矩阵表示与本征值求解 • 量子力学中的近似方法与本征值求解 • 量子力学本征值的物理意义及应用 • 量子力学本征值求解的局限性及未来发展
01
量子力学本征矢量概念及分类
能量守恒的体现
本征值实际上是系统能量的可能取值，系统的总能量是各个 本征值的代数和，因此本征值是能量守恒的体现。
本征值的实际应用及案例分析
原子能级计算
通过求解薛定谔方程得到原子能级对应的本征值，可以预测原子光谱的频率 和波长，为原子光谱学提供基础数据。
量子隧穿效应
在量子力学中，微观粒子能够穿越高于其能量的势垒，这种现象被称为量子 隧穿效应。本征值可以描述微观粒子在势垒中的行为，预测隧穿效应发生的 可能性。
本征矢量与分离变量法
通过分离变量法，可以将多维问题转化为多个一维问题，每个一维问题对应 一个本征矢量和本征值。
本征矢量的分类及求解方法
本征矢量的分类
根据本征矢量所对应的本征值是否为实数，可将本征矢量分为实空间本征矢量和复空间本 征矢量。
实空间本征矢量求解方法
实空间本征矢量可以通过分离变量法，将多维问题简化为多个一维问题，每个一维问题对 应一个实空间本征矢量和实数本征值。
复空间本征矢量求解方法
复空间本征矢量需要利用量子力学中的波函数和能量算符来求解。首先需要构造哈密顿算 符的完全集，然后通过求解算符的矩阵元来得到复空间本征矢量和复数本征值。
02
量子力学本征值的基本理论
哈密顿算符与本征值问题
哈密顿算符定义
量子力学中的哈密顿算符是描述系条件的微分方程，可以得到本征函数和本征值的具体数值 。
喀兴林高等量子力学EX3、4、5
3.1 （做题人：韩丽芳校对人：胡相英）(好)幺正算符也有本征矢量。
证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。
证明：设算符U为幺正算符，ψ为其任意本征矢量，u为对应的本征值。
即ψψuU=则ψψψψψψψψuuUUUU*+===因0≠ψψ，所以1=*uu即1=u即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。
设算符U为幺正算符的两个本征值为1u、2u，对应的矢量分别为1ψ、2ψ，且21uu≠。
则111ψψuU=11111ψψuU=-222ψψuU=22211ψψuU=-因为幺正算符1-+=UU则有21212121ψψψψψψuuUU*+==2121211ψψψψuuUU*+==所以1212121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-**ψψuuuu因为012121≠-**uuuu，故021=ψψ，即1ψ和2ψ正交。
即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。
3.2 投影于某一子空间的投影算符P，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？(好)解：投影于某一子空间的投影算符∑==mi iP 1，设全空间是n 维的，且n m <。
则本征值方程ψλψψ==∑=mi iP 1⑴其中λ为本征值， ψ为相应的本征态。
则ψλψλψ22==P P ⑵ 由幺正算符等幂性P P =2得ψψP P=2⑶由⑴、⑵和⑶式得λλ=2，所以1=λ或0=λ。
即求得投影算符的本征值是1或0。
当1=λ时，本征失量是i ，其中m i ,2,1=。
所以是简并的，本征子空间S 是由这m 个基矢构成的矢量空间。
当0=λ时，本征矢量是与i 正交的矢量。
所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。
#练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。
证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在 即ψφφ-==AA 1已知A的全部本征值和相应的本征矢量：i i i a A ψφ= i=1，2，3…，∴()ψψφ--==A a AA算符A 存在零本征值，即00=⇒=φa a∴对于任意本征矢量()ψφa A -≠与()ψφ-=A a 矛盾∴假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。
量子力学部分
• Alice在计算基矢下测量后
概率都为1/4
• 密度算符为
• 对Alice的部分求迹
Bob手中是一个混态，不包含被传递态的任何信息，只有获得Alice传递的经典信息， Bob才能获得被传递态。由于经典信息不会超光速，所以量子隐形传态也不会超光速。
2.5 Schmidt 分解和纯化
• 密度算符和部分求迹是研究复合系统两个非常重要的工具，
• 比如：
是 是作用在A上的幺正算符。
• 纯化：如果系统
处在一个混态
上，那么我们能够 ，
引入另外一个系统 使得 时， 就约化到
，定义联合系统的一个纯态
，即，我们单独看系统 。这个将子系统的混态与一个假
想大系统的纯态联系起来的纯粹的数学过程叫做纯化。系 统 应。
• 证明：
叫做参考系统，它是一个虚构的系统，没有物理对
• 在两个线性空间V和W之间的一个线性算符定义为一个函数：
如果都是V空间，我们就说线性算符A定义在线性空间V上。
• 单位算符 • 零算符
• 定义
向量可以在某组基矢下用列向量表示，那么算符呢？
算符的矩阵表示
• 假设线性算符
• 那么： • 其中
叫做算符
的矩阵表示。 I ?
• 注意：必须指定基矢！
2.1.3 Pauli 矩阵
பைடு நூலகம்
• 正算符：非负数 • 正定算符：正数 • 正算符一定是厄米算符，有谱分解
非负
2.1.7 直积
是两个向量空间，维数分别为 那么， （读作V直积W）也是一个向量空间，其维数为 中的元素也是直积 基矢
例如：
性质：
内积：
• A: mn;
B: pq.
例如：
中科院量子力学超详细笔记_第五章_量子力学的表象与表示
第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r v ϕ、)(r vψ，定义内积r d r r vv v )()(),(ψϕψϕ∗∫=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r vψ时，找到粒子处在状态()r vϕ的几率幅。
依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符$U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U(5.2) 而且有逆算符1ˆ−U存在，使得I U U U U ==−−11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式左边决定),ˆ()ˆ,(ψϕψϕ+=A A(5.3) 由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ−+=U U 。
” (5.4b)证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ−U 存在，假定取ψψϕϕ11ˆ,ˆ−−=′=′U U ，则有 ()),ˆ)ˆ((ˆ,ˆ),()ˆ,ˆ(),(1111ψϕψϕψϕψϕψϕ−+−−−==′′=′′=U U U U U U所以I U U=−+−11ˆ)ˆ( 由于11)ˆ()ˆ(−++−=U U，上式即 I U U=+ˆˆ 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
1这里强调了$U−1既是对$U右乘的逆又是对$U 左乘的逆。
和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符$U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为$U−1。
高等量子力学教学大纲
《高等量子力学》教学大纲一、课程信息课程名称：高等量子力学课程类别：素质选修课/专业基础课课程性质：选修/必修计划学时：64计划学分，4先修课程：无选用教材：适用专业：课程负责人：二、课程简介本课程系统和详细地讲述了量子力学的基本概念、原理、处理问题的方法和些重要理论问题。
课程共分8章，内容不仅包括传统的量子力学基本概念和一般理论、二次量子化方法、辐射场的量子化及其与物质的相互作用、形式制才理论、相对论量子力学，还包括丘些年发展起来的量子力学测量问题、开放量子系统动力学和开放系统退相干。
三、课程教学要求注：“课程教学要求”栏中内容为针对该课程适用专业的专业毕业要求与相关教学要求的具体描述。
“关联程度”栏中字母表示二者关联程度。
关联程度按高关联、中关联、低关联三档分别表示为“H”或"1”。
“课程教学要求”及“关联程度”中的空白栏表示该课程与所对应的专业毕业要求条目不相关。
四、课程教学内容五、考核要求及成绩评定六、学生学习建议(-)学习方法建议1.依据专业教学标准，结合岗位技能职业标准，通过案例展开学习，将每个项目分成多个任务，系统化地学习。
2.通过每个项目最后搭配的习题，巩固知识点。
3.了解行业企业技术标准，注重学习新技术、新工艺和新方法，根据教材中穿插设置的智能终端产品应用相关实例，对己有技术持续进行更新。
4.通过开展课堂讨论、实践活动，增强的团队协作能力，学会如何与他人合作、沟通、协调等等。
(-)学生课外阅读参考资料《高等量子力学》，闰学群主编，2023年，电子工业出版社教材。
七、课程改革与建设通过引导式教学，设计包括引导问题、优化决策、具体实施、课后拓展等内容，培养学生的团结协作能力和勤于思考的习惯，避免重讲轻练、重知识轻能力的弊端。
与纠缠方面相关的内容，量子测量理论、量子开放系统理论等，以往国内少数高等量子力学教材对此只是粗浅地一捷，大部分内容甚至从未涉及。
因此，本课程内容主要是针对传统的高等量子力学做符合近些年量子力学研究前沿需求的调整和补充。
高等量子力学第一章 4 2003版
ai a j ij , a a ' (a a '), ai a 0
a
i
i
ai da a a 1
§4 表象理论
4．1矢量和算符的矩阵表示 左矢、右矢简洁但不具体，能否用具体数字来表示？ 算符完备组 K ( A, B, C ,) ，对应本征值 k i
4．2 表象变换
K
表象
k ，L 表象 l
K
k
L
：
1．矢量的表象变换： k k l l
l
k
l' ：
l 'l
写 改
：
l
l ' l l
l
l' k
k
k
l l k k
k
若记： U kl k l
k l
U lk 则逆矩阵元：
k l
1
1 A1i i i A2i i 2 i n Ani i i
1 A11 2 A21 n An1
A
A12 A1n 1 A22 A2 n 2 An 2 Ann n
k
2．算符的表象变换：知在K 表象表示，求 L 中表示
l A l ' l k k A k ' k ' l '
k k'
All ' U lk Akk 'U k 'l '
1 k ,k '
即
4．3若干矩阵运算： 1． 矩阵的迹：
高等量子力学
高等量子力学算符1!aAn n n e a A n ∞==∑算符有逆的条件 1、 在A ψϕ=中，对于每一个ϕ，总有ψ存在2、 若12A A ψψ=，则必有12ψψ=多重对易：()[]2,,,A B A A B ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦()01,!i A Ai e BeA B i ∞-=⎡⎤=⎣⎦∑在条件[][],,,0C A B A C B ⎡⎤===⎣⎦时，有如下的结论：/2A B A B C e e e e +-= 厄米算符：†H H =，充要条件为：对于所有定义域中的矢量满足H R ψψ∈幺正算符：†††11,U U UU U U -=== 定理：若{iν为一组基矢，则{}iU ν也为一组基矢证明：1、证明正交归一。
i j i j ij U U ννννδ==2、证明完全性。
任取两个矢量,ψϕ，则有††††ii i i iiiU U U U U U ψννϕψννϕψϕψϕ===∑∑∑态矢和算符的幺正变化：1','U A UAU ψψ-==。
本征值定理一：在有限维空间中，厄米算符的全部本征矢量构成正交完全集。
定理二：当且仅当两个厄米算符互相对易时，它们有一组共同的本征矢量完全集。
表象变换{iν和{αε为不同表象下的基。
则算符的表象变换表示如下：1=ij i j i ji jA A A U A U ααββαβααββαβεεεννννενν-==∑∑重要结论：1、x p ix x ψψ∂=-∂，2、p x ip pψψ∂=∂ 直和与直积直和：11122122111213212223313233000000000000A A A A A L L L L L L L L L L ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⊕= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭直积：11122122A LA L A L A L A L ⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭角动量关于角动量的各种对易关系2,,,,0i j ijkk k i j ijkkki j ijkkki L L i L L X i X L P iP L L εεε⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦∑∑∑位置表象和动量表象ipxx p=则动量波函数和位置波函数之间的变化如下：()()i pxp p p x x dx x e dx ψψψψ+∞+∞--∞-∞===⎰角动量表象2,0J J⎡⎤=⎣⎦取两个算符x yJ J iJ±=±，得到[]2,0,,zJ J J J J±±±⎡⎤==±⎣⎦经计算得到角动量本征方程()21zJ jm j j jmJ jm m jm=+=其中0,1/2,1,3/2,2...,1, (1)j m j j j j==--+-而对于升降算符，有关系)(),1J jm j m±=±自旋表象())()21,1zS sm s s smS sm m smS sm s m±=+==±且有()()11,22x yS S S S S Si+-+-=+=-泡利矩阵01010,,10001222x y ziS S Si-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭一维谐振子222122P H m X m ω=+取升降算符))†A m X iP A m X iP ωω=+=-则可得到坐标和动量算符以及哈密顿算符用升降算符表示的形式))†††12X A A P AA H A A ω=+=-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭重要的对易关系如下[]†††,,,1H A AH A A A A ωω=-⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦ 本征方程为†A A n n n =，能量本征值为12n E n ω⎛⎫=+⎪⎝⎭。
高等量子力学 课件
§3-4 无无穷维空间情况
• 厄米米算符： – 具有离散的本征值谱，其本征值及相应的 本征矢矢量是可数的无无穷多个 – 具有连续的本征值谱，具有不可数无无穷多 个本征值和相应的本征矢矢量
离散本征值情形
• 本征矢矢量 A|ii = ai |ii
! ! ! !
(i = 1, 2, · · · )
ij
• 线性算符：定义域为矢矢量空间，且满足足如下 条件
A( | i + | ' i ) = A| i + A| ' i
A( | i a ) = ( A| i ) a
§2-1 定义
• 算符：两个矢矢量间的一一种对应关系
! !
| ' i = A| i
• 反线性算符：定义域为矢矢量空间，且满足足如 下条件
定理
• 当且仅当两个厄米米算符互相对易时，它们有 一一组共同的本征矢矢量完全集
厄米米算符完备组
• 对于一一个希尔伯特空间，一一组互相对易的厄 米米算符A,B,C,…,它们有一一组完全确定的共同 本征矢矢量完全集，而而去掉算符中的任何一一个， 都会使剩下的那些算符的共同本征矢矢量完全 集具有任意性，称它们一一组厄米米算符完备组
空间的完全性
• 空间中任何在Cauchy意义下收敛的序列的 极限必须也在此空间中。
量子子力力学的空间
• 复数域上的希尔伯特空间 • 向量：线性空间中的元素
§1-2 正交性和模
• 两个矢矢量正交：两个矢矢量的内积为零
! !
( , ') = 0
• 模方方：
! !
• 两个关系： – Schwartz 不等式 – 三角角形不等式
• 如何用用一一组数字具体的表示示矢矢量
高等量子力学知识总结
高等量子力学总结 理论物理 张四平 学号：２２０１２０９２２０６１第一章 希尔伯特空间1、矢量空间，同类的许多数学对象（实数，复数，数组）在满足一定的要求下构成的系统. 三种运算：加法，数乘，内积。
例：θ+ψ=ψ+θ；ψ+θ=0 即：ψ=-θ（存在逆元）（ψa ）b=ψ（ab ）ψ（a+b ）=ψa+ψb（ψ，θ）=（θ，ψ）*（ψ，θa ）=（ψ，θ）a矢量的空间性质：零矢量唯一；逆元唯一；ψ（-1）=-ψ；（θ+ψx ）=θx+ψx ；2、正交矢量：（ψ，θ）=0； 模方：|ψ||ψ|=（ψ，ψ）；schwarts 不等式：|（ψ，ψ）|≤|ψ||ψ|；三角不等式：|ψ+θ|≤|ψ|+|θ|；3、基矢n 维空间中有限个矢量集合；一个线性无关的矢量的集合（完全集）；正交归一的完全集； 对于同一矢量，左右因子不同，dirac 符号：<ψ|θ>=（ψ，θ）右矢量满足：|ψ>+|θ>=|θ>+|ψ>；|ψ>+|0>=|ψ>;|ψ>*1=|ψ>；（|ψ>+|θ>）*a=|ψ>a+|θ>a<ψ|θ>≥0；4、算符：|ψ>=A|ψ>； A （|ψ>+|θ>）=A|ψ>+A|θ>；线性算符的性质：定义域是个右矢空间，值域也是个右矢空间；定义域是有限维，值域也是 小于等于这个维数；零算符：0|ψ>=|0>；单位算符：I |ψ>=|ψ>；算符：A|ψ>=|θ>；逆算符：A -1|θ>=|ψ>；<θ|=<A ψ|=<ψ|A+（A+为A 的伴算符）；若A 有逆，则（A+）-1 =(A -1)+；5、等距算符：定义：U+U=I ；性质：U+U=I ；<U θ|U ψ>=<θ|ψ> ；|U ψ|=|ψ|；6、幺正算符：定义：U+U=UU+=I 或U+=U-1；投影算符：|ψ><ψ|（厄米算符）；7、本证矢和本证值：A|ψi>=a|ψi> （i=1，...s ）{|ψi>}(本证子空间，s 重简并)；厄米算 符A 的本证矢量：不简并的正交，S 重简并的本证矢量构成一个s 维的子空间，与其他的本证 矢量正交；完全性；正交性；定理：有限维空间中，厄米算符的全部本证矢量构成一个完全集；定理：当且仅当两个厄米算符对易时，他们有一组共同的本证矢量完全集；8、表象理论：基矢：厄米算符完备组K={P ，H ，...，}.基矢选他们共同的本证矢，K|i>=ki|i>；相似变换：存在幺正矩阵U ：B=U -1AU ，A ，B 相似.trA=trB ，detB=detU+detA ，detA=detB ；任何厄米矩阵都可以通过相似变换变成对角矩阵；L 表象：{|εi>} ∑|εi><εi|=1K 表象：{|να>} ∑|να><να|=1|να>= ∑|εi>Ui α|εi>= ∑|να>U αi-1 Ψα = ∑U αi -1ψiΨi = ∑Ui α ψαA αβ=∑∑U αi -1AijUj βAij=∑∑Ui αA αβU βj -1第二章 量子力学基本原理1、基本原理：原理1：描写微观系统状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量，相差一个复数因子的两个矢 量描写同一状态.原理2:1.描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符.2.物理量所能取得值是相应 的本征值.3.物理量A 在状态|ψ>中取各值ai 的概率，与态矢量|ψ>安A 的归一化本证矢量 {|ai>}的展开式|ai>的系数复平方成正比.原理3.微观系统中的每个粒子的直角坐标下的位置算符Xi （i=1.2.3）与相应正则动量有下 列对易关系:[Xi,Xj]=0 [Pi,Pj]=0[Xi,Pj]=i(h/2π)ζij而不同粒子间的所有算符均相互对易.原理4.微观状态|ψ(t)>随时间变化的规律是薛定谔方程.原理5.描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调，是对称的，或是反对称的， 服从前者的粒子是波色子，服从后者的粒子是费米子.2、哈密顿算符不显含时间t 是能量算符.|ψ(t)>=|ψ>f(t).H|ψi>=Ei|ψi>定态薛定谔方程能量值确定.态矢量为：|ψi(t)>=|i>exp （-iEit/h ）.含时间的H 对应薛定谔方程的解为：|ψ(t)>=∑|i> Ci exp （-iEit/h ）.为各定态矢量的叠加 .若已知初态|ψ0>=∑|i> Ci则 |ψ(t)>=∑|i><i|ψ0>exp （-iE0t/h ）.第三章 量子力学的基本概念和方法1、一个电子具有自旋角动量S ，s 沿着空间中某一固定方向，只有两个可能的投影值：Sz=+ /2 或Sz=- /2；电子磁矩：u=-g （e/2mc ）s电子在外磁场中B 中又相互作用能量：H=-u*B2、自旋的矩阵表示：Sz=+ /2 -> α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡01 Sz=- /2 -> β=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 电子的自旋态：|ψ(t)>|ψ(t)>=C1(t)α+C2(t)β<ψ(t)|=C1*(t)α-1+C2*(t)β-1电子的自旋态只能有两个（朝上或朝下）.3、相继stern-Gerlach 实验说明：一般的说，测量必定要改变微观客体状态，当加第二个装置 Gx 测量Sx 时，原来关于Sz 的信息消失，一个电子的自旋要么按Sx 分解，要么按Sz 分解，电子不能同时具有Sz 和Sx.4、pauli 矩阵算符ζx 和ζy 之间不对易，S=（ /2）ζζx = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ζy = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00i i ζz = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 对易关系：ζ*ζ=ζ 或 S*S=S Sz=mz极化矢量：<ζ>=P=<ψ(t)|ζ|ψ(t)>P^2=Px^2+Py^2+Pz^2=1；<ζp >=Px<ζx>+Py<ζy>+Pz<ζz>；P 标志了自旋S 的指向；电子自旋的量子本质表现与P 矢量始终存在着起伏，用均方偏差度量：<(Δζj )^2> = <(ζj-ζi )^2> = 1-<ζj >^25、分离谱：A|α> =a|α>； <α|α’>=δαα’; ∑|α><α|=1;连续谱：ξ|ξ’>=ξ’|ξ’> ； <ξ|ξ’> = δ（ξ’-ξ’’）； ⎰d ξ’|ξ’><ξ’| = 1；6、sxhrodinger 图景：态矢 |ψ(t)>含t ，基矢|x>不含t ；Heisenberg 图景：态矢 |ψ(t)>不含t ，基矢|x>含t ；一般：H=p^2/2m+V;<x|V|x ’> = V （x ）<x|x ’> = V(x)δ（x-x ’）；<x|p^2/2m|x ’> = ⎰dp<x|p>(p^2/2m)<p|x ’>态矢：跟表象无关，跟图景有关；包函数：与表象有关，与图景无关（此为态矢在基矢上的投影）；7、基态|0>：基态波函数：ψ0（x ） = <x|0>；第一激发态|1> = a+|0>: ψ1（x ） = <x ’|1>；第n 激发态： ψn （x ） = <x ’|n>；8、<(ΔA^2)><(ΔB^2)> ≥ 1/4|<[A,B]>|^2 ;对于任意的态矢：|α>=ΔA|>|β>=ΔB|>；<(ΔA^2)><(ΔB^2)> ≥ |（ΔA ，ΔB ）|^2；9、谐振子不确定关系：基态：<(Δx^2)><(Δp^2)> = ^2/4；激发态： <(Δx^2)><(Δp^2)> =（n+1/2）^2 ^2;10、相干态：也是谐振子的量子态与经典粒子运动最为接近.相干态不是N 的本正态，但有确定的粒子数；不同本证值的相干态一般不正交；虽不正交，但有完备性；全部的相干态，过完备性；11、压缩态：算符：S(r)为幺正算符；在正则变换下：保持了对易关系：[b,b+]=[a,a+]=1;真空态：|0,r>= S(r)|0>；一般压缩态：|z,r>= D （z ）S （r ）|0>；12、经典力学到量子力学：薛定谔表述形成（波动力学），重视描述粒子的波粒二象性运动的波函数，服从薛定谔方程；heisenberg 矩阵力学，重视可观测量，算符；dirac 和feyman 路径积分，着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关系，重视传播函数 或传播子的作用.基本思想：一个粒子在某一时刻的运动情况决定于他们的过去或一切历史；在复z 平面上，半经为1/2的圆，面积为1*pi/4，相干态；在复z 平面上的椭圆，面积1*pi/4 测量精度在I 上提高了，在另一个方向降低了，压缩态；第四章 对称性和角动量1、力学量成算符：{A,B}--->1/i [A,B]；[F ，H]--->F 为守恒量；F 的一个守恒性必与体系的不可观测量的对称性变换直接联系；定态间的跃迁定则；分离对 称性；每个定态波函数必有严格的对称性；无限自由度的量子场论：H 中某一连续对称性在 真空有破坏，真空存在简并，但实际上对称也存在，表现为一个无质量的标量粒子； 2、F （r ，p ）的平均值:<F> = <ψ(r)|F |ψ(r)>;3、态的无限小转动：自旋为零：|ψ’(r)> = |ψ(R -1r)>=ψ(x+y δθ,y-x δθ,z )R(n,δθ) = 1-i δθ*L*n/ ; L 是标量场无穷小生成元；自旋为1/2的粒子波函数：波函数为二分量的旋量：1/2)(x (x1/2)(r)(r)(r)-ϕ+ϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕϕ=φ2121； Φ’(r)=(1-i δθ( /2ζz+Lz ))Φ(r)/转动算符：(1-i δθ( /2ζz+Lz ))/ ；任意轴：R （n ，δθ）= 1-（i δθ/ ）n （（ /2）δ+I ）；粒子的总角动量：J= /2δ+L ，J 是旋量场的无限小生成元；4、角动量算符的一般性质：j^2=jx^2+jy^2+jz^2;[j^2,ji] = 0;[jz,j]=i j;[j+,j-] = 2 jz;5、标量算符：F=RFR -1 -- 转动不变；6、若态|ψ>在Rz 的作用下不变，则Rz|ψ> = exp （-i δ）|ψ>；假定体系在变换Q 下具有对称性，|ψ>=Q|ψ>，则保持几率不变，运动规律不变； 总之：量子力学中一个不可观测量的对称性变换往往联系于一个可观测量的守恒性；7、将体系沿x 轴平移一无限小距离，体系具有平移不变性：[Px （ε），H] = 0；ψ’(x) = Dx （ε）ψ(x)=ψ(x-ε)；体系沿时间平移一无限小量η：|ψ’(t)> = D （η）|ψ(x)>=|ψ(t+η)>；ψ(x,t)=ψ(x)exp(-iEt);8、本证态：ψ（-x ） = ψ（x ） 偶宇称态ψ（-x ） = -ψ（x ） 奇宇称态宇称本征值：pi=（-1）l变换方式：主动式：坐标系不动，算符动；被动式，算符不动，坐标系反向；P*X ---> 标量P*S ---> 赝标量9、支配运动的H 在空间反演中是标量，可能含有的项是：P^2，L*S,P*X ；不可有的项：P*S(赝标量);宇称守恒在强相互作用下，电磁相互作用中有充分的实验支持；则在弱相互作用下有赝标量项，宇称不再守恒；原子核自旋S 在低温下沿外磁场固定方向排列，测量这种“极化核”β衰变时放出电子对S 方向存在一定角分布；10、实算符，时间反演不变：THT -1=T -1 TXT -1=X ；虚算符：TPT -1= - P TJT -1= - J ；第五章 量子力学中的相位1、经典物理中：H ，A, θ(四维矢量),代替E,B （二阶反对称张量）；量子物理中：A, θ,代替E,B 为本质上的需求；规范变换： A ’=A + ▽Λ（x ）；若要要求薛定谔方程在此变换下不变，否则物理规律就变了，就要求波函数做相应变化： Ψ’（x ）= Ψ（x ）exp[Λ（x ）iq/ c ]；薛定谔方程在定域规范变化下的不变性，是一种对称性，根据波函数的几率解释，这一变换 不影响可观测量；2、A--B 效应--->A 比B 更基本；因为表达了量子力学的相位差；确切的说不是相位， 而是相位因子： )dx A cie (⎰-μμ exp ； 才为描述电磁场最恰当的量，在物理上既不丢失信息，也不会附加非物理（不确定）信息， 称此因子为规范场的不可积相位因子. 在磁场中：总的波函数：)'x )d 'x (A exp()'x ()'x (c ie (0)1→→→→→⎰+ϕ=ϕ ，相位差改变了φc e ， 称：φ=ce AB S （AB 相）； 在电场中：总的波函数：t)(x,)dt't)),x (A -)t x,(A (cic -exp(t),x (t),x ((0)20102(0)1ϕ⎰+ϕ=ϕ→→→→ ， φ=ce AB S --- 规范不变 AB 相不依赖于速度等力学量，属于几何相，也是拓扑相；3、在超导体圆柱磁通量是量子化的，且磁通量的值为e 2c ，后来，N.Byers 和杨指出这是超导 体内形成copper 对的结果；copper 对波函数是单值的，有： n 2s d s ⋅π=⋅∇⎰→Γ，即相角沿Γ走一圈回到原处，值只能变化n 2π.4、Berry 相：量子力学的量可分为两类：随时间变化的快变量；随时间变化的慢变量； 方法：现将慢变量固定，解决快变量，然后让慢变量变化，得到正确的解； e )(i (t)t 0n (t)R n,|))dt'(t'i -(ν→>⎰ε=ϕexp t 其中,e i (t)ν为Berry 相因子；。
Hilbert空间-矢量空间-线性算符
15
Schwartz 不等式 对于任意矢量和， || || ||.
三角不等式 对于任意矢量 和 ，有 || | || |.
16
§1.1.3 基 矢
1、线性无关
定义 矢量空间中有限个(n个)矢量的集合(i):
n
若 i i 0 只有当全部复数 i 都为零时才成立 i 1
可记： =
4
2、数乘
集合内每一矢量可以与数(实数或复数)相乘，得 出集合内另一矢量。
对于任意的数 和，数乘须满足下述条件:
( ) ( ) 1
第一分配律 第二分配律 结合律
5
3、内积 在空间中可以定义某种规则，使按一定次序任
§1.4 矢量空间的直和与直积
1 直和空间; 2 直积空间
2
§1.1 矢 量 空 间
§1.1.1 定义
矢量空间：一组称为矢量的元素 的
集合，当其满足下述加法和数乘运算时，称为 矢量空间； 希尔伯特空间：具有加法、数乘及内积三种运 算的矢量空间，称为Hilbert空间。
3
1、加法
(ii)数乘中的数为实数，以 数乘的结果是方向 不变，长度乘以；
(iii)标积是两矢量的点乘积。
这是一个实数域上的内积空间。
12
例3、取数学对象为一组有序的复数, 譬如三个
数, 可以将其写为一个列矩阵:
a1 a a2
a3
(i)加法, (ii)数乘和(iii)标积
数, 并等于单一空间中 的内积( )即
|= ( ) = c
并且规定, 内积的运算满足以下四个条件：
*;
, ; a a ,a a ;
内直积和外直积的关系
内直积和外直积的关系1.引言1.1 概述概述是文章引言的一部分，旨在简要介绍内直积和外直积，并提出文章对于两者关系的探讨。
内直积和外直积是代数学中常见且重要的概念，它们在矢量空间、群论、线性代数等领域起着关键的作用。
内直积是指将两个或多个对象的元素逐个组合成一个新的对象的操作。
在矢量空间中，内直积是指将两个矢量空间的元素按照相应分量进行组合，从而形成一个新的矢量空间。
它是一种将多个矢量空间进行合并的方式，保留了原矢量空间的结构和性质。
外直积是指将两个或多个对象的元素配对得到新的元素的操作。
在群论中，外直积是指将两个群的元素配对后组合成一个新的群。
它是一种将多个群进行合并的方式，新群的元素由原群的元素在外部配对得到。
本文将探讨内直积和外直积之间的关系。
我们将首先介绍内直积和外直积的定义和性质，分析它们的基本特征和作用。
然后，深入研究内直积和外直积之间的联系和区别，从而揭示它们之间的相互关系。
最后，我们将探讨内直积和外直积在实际应用中的意义和价值，展示它们在数学和物理等学科中的应用场景。
通过这篇长文的探讨，我们将更加深入地理解内直积和外直积的概念，并掌握它们之间的关系。
这对于我们进一步学习和研究相关领域的知识将具有重要的指导意义。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分旨在介绍本文的整体结构以及各个部分的作用和内容，使读者能够更好地理解文章的组织和思路。
本文分为引言、正文和结论三个主要部分。
引言部分将首先对内直积和外直积的关系进行引入和概述，介绍它们在数学中的重要性和应用领域。
然后，文章结构部分将说明本文的整体安排和思路。
正文部分将分为两个小节，分别介绍内直积和外直积的定义和性质。
在2.1小节中，将详细阐述内直积的定义及其特点，包括如何构造内直积，内直积的运算法则等。
在2.2小节中，将介绍外直积的定义和性质，包括外直积的构造方法、矩阵表示和应用等。
结论部分将对内直积和外直积的关系进行总结和归纳，在3.1小节中将探讨内直积和外直积之间的联系和共性，分析它们在数学中的相互关系以及在实际问题中的应用。
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在 R1 中取一组基矢 { i }, i 1,2,, n1 , ，设这组基矢是算 符 K 的本征矢量（ K 表象） ；在 R2 中取 P 表象，其基矢为
{ m }, m 1,2,, n2 , 那么直和空间中的任意矢量 都可
以写成下列的形式：
i i m m
直和空间的维数：
( ) ( ) ( ) ( )
设 R1 为 n1 维， R2 为 n 2 维，讨论其直和空间 R1 R2 的维数。
由于加法定义（5.1）式的存在，直和空间中任意两个双矢量 形式的矢量叠加，仍可写成双矢量的形式。这就是说，直和空间 中的全部矢量，都是形如 的矢量。
在直和空间中，矢量 的 KP 表象的矩阵形式为
1 2 1 2 3
（5.12）
算符的矩阵形式也可以同样讨论； R1 和 R2 中， 在 算符 A 和 L 的矩阵形式分别为
( A L)( ) A L
(5.22)
算符运算有下列的关系：
( A B) L A L B L
( A L)( B M ) AB LM
(5.23) (5.24)
从上面各式可以看出，只要记住算符只对自己空间中的矢 量有作用，对别的空间的矢量没有作用，习惯了以后，算符间 的乘号也可以省去。
§5 矢量空间的直和与直积
有时需要由两个已知的矢量空间 R1 和 R2 构造一个更大 的矢量空间。在本节中我们讨论两种构造的方法，两个空间 的直和与直积。
§5-1 直和空间
§5-2 直积空间
§5-1 直和空间
设矢量空间 R1 中的矢量是 ， ，
，算符是 A，B， ；
而矢量空间 R2 中的矢量为 ， ， ，算符 L，M， ，
mm mm m m m m , ,
m
m
这时
( i m ) i m Eim ( ) im
i m im
可见，若在直积空间中取全部形如 i m 的矢量为基矢，则 可以叠加出所有的基矢，这些基矢是用两个下标 i 和 m 编号的：
1 1 1 2 1 1 3 1 2 2 2 1 3 2 2 2 3
可以写成
1 2
式中的 代表这个 3 1 矩阵。
虽然与直和一样，直积矢量也是与次序无关的，但习惯上仍 约定 R1 中的量写在前面，R2 中的量写在后面，im 的编号次序是 i 先取 1, m 取遍所有的值后， i 再取 2 ，以此类推。用这个次序 作为直积空间中的基矢的次序。
直积算符的矩阵表示：
直积算符 A L 在 KP 表象的矩阵形式是
数乘： 内积：
a ( a) ( a)
( )( )
此外，还有一个直积的分配律：
( )
(5.21)
这样，就构成了一个新的矢量空间，称为 R1 和 R2 的直积空间。
算符的直积：
设 R1 中的算符为 A, B,, R2 中的算符为 L, M ,, 那么直积 空间中的算符为 A L ，其意义为
有时在直积空间中也说算符 A 或算符 L ，这并不是指 R1 或
R2 中的算符， A 是 A I ( 2) 的简写， L 是 I（1） L 的简写。若在
直积空间中写 A L ，那就是
A L A I（2） I（1） L
(5.25)
式中 I（1）与 I（2）分别是 R1 和 R2 的单位算符。上式左方的加号，仍 然是直积空间中的加法，因为 R1 中的 A 和 R2 中的 L 是没有加法 的。
( ) ( ) ( ) ( )
在直和空间中的加法单位元（零矢量）是
O O (1) O ( 2 )
（1 （2 式中 O ） 和 O ） 分别是 R1 和 R2 中的加法单位元。
（5.1）
数乘： ( )a a a 内积： ( )( )
我们把这 5 个基矢写成 E1 E5
。于是，在 R1 和 R2 中，
和 的矩阵为（分别为 K 表象和 P 表象） ：
1 ， 2
式中 i i , m m
1 2 3
。
（5.11）
§5-2 直积空间
直积就是由两个已知空间 R1 : { , ,} 和 R2 : { , ,} 构造一个较大空间的另一种方法。直积空间中的数学对象也是双 矢量以及它们的叠加；双矢量也是从 R1 和 R2 中各取一个矢量不 记次序的放在一起；与直和空间的区别在于三种运算规则不同， 所以直积空间的性质和直和空间有很大的不同。
（5.14）
在上式中 Aij i A j , Lmn L m L N n 。 ， mn m L
有时也在直和空间中说算符 A ，那实际上是指算符
A O ( 2) ，说算符 L 是指 O (1) L
，这里 O (1) 和 O ( 2) 分别是 R1
和 R2 中的零算符。
（5.2） （5.3）
如果认定不同空间中矢量的内积为零，上述定义说明内积 可按分配律展开。
容易证明上述定义满足(1)~(12) 的所有条件。于是，构造成 功了一个新的矢量空间 R ， 我们说空间 R 是 R1 和 R2 的直和空间， 表为
R 用 R1 中的算符 A，B， 和 R2 中的算符 L，M， 去构造直和空间中的算符 A L ，称为 A，L 两算符的直和，其 作用为 （5.6） ( A L)( ) A L
是归一化的而且彼此正交。
下面讨论矢量和算符的矩阵表示。为具体起见，我们取 R1 为
2 维， R2 为 3 维，基矢分别为 { 1 ， 2 } 和 { 1 ， 2 ， 3 } ，这时，
直和空间为 5 维，其基矢为
1 O ， 2 O ，
O 1 ， 2 ， 3 O O
i m
由此可以看出，若取直和空间的基矢为 O ( 2) , O (1) m } { i
{ i O ( 2) , O (1) m }
i 1,2,, n1, m 1,2, n2 （5.9）
i 1,2, 都可以写成上述共 n n 个基矢的叠加。于 则任意矢量, n1, m 1,2, n2 1 2
A11 A A 21
A12 A22
L11 L L21 L 31
L12 L22 L32
L13 L23 L33
（5.13）
在直和空间中，算符 A L 的矩阵形式成为
A11 A21 A O A L O L 0 0 0 A12 A22 0 0 0 0 0 L11 L21 L31 0 0 L12 L22 L32 0 0 L13 L23 L33
现在，在 R1 中取 K 表象，基矢是 { i } ，在 R2 中取 P 表象， 基矢是 { m } ， R1 中的任意矢量 和 R2 中的任意矢量 可以 则 写成
i i i i, i i , i i
i
i
(5.26)
(5.27)
如果认定一个空间的算符作用到别的空间的矢量时得零矢 量，则上式可按分配律展开。 算符的加法和乘法可根据上述定义得出：
( A L) ( B M ) ( A B) ( L M )
（5.7）
( A L)( ) A L
( A L)( B M ) AB LM
( A L) im , jn i m A L j n Aij Lmn
(5.30)
例如直积算符 A L 矩阵的第 12 行第 34 列的元是 A13 L24 ；写成 矩阵是
与 的直积写成
直积符号 在很多情况下可以省去。
（5.17）
直积空间 R1 R2 中的运算规则如下：
加法： 是一个新的矢量， 一般不能表示为双矢量的 形式，这与直和空间中的加法不同。加法的单位元是
O O (1) O ( 2 )
(5.18) (5.19) (5.20)
当然，可以用相同的方法讨论两个以上的空间的直和。一切 关系都是明显的，这里不在赘述。
最后讨论一下子空间中的直和。若 R1 和 R2 是大空间的两个子空间， 则只有当 R1 和 R2 除零矢量 O 外不含公共矢量时，才可以谈论二者的直 和。这是因为大空间中的加法适用于所有矢量，从 R1 和 R2 中各取一个矢 量构成的双矢量 与二者之和 是等价的， 前面公式中矢量 的直和号 可以径直改写为加号。直和空间不只包含 R1 和 R2 中的所有矢 量，还包含更多的矢量。例如在三维物理空间中，若 R1 是 xy 平面上的所 有矢量，R2 是沿 z 轴的矢量， R1 R2 包含这个三维空间中的全部矢量。 则 由于算符在整个大空间中都有定义， 所以一切算符在 R1 和 R2 中是通用的， 这时没有算符的直和这一概念， （5.6）式和（5.14）式都不存在。
这些都是已知的，现在构造它们二者的直和空间。
考虑一种“双矢量”作为我们的数学对象，双矢量即取 R1 空 间中一个矢量与 R2 空间中一个矢量放在一起（不记次序） ，例如
与
放在一起 ，我们用下列特殊记号表示：
，
它们分别称为矢量 与 的直和，或 与 的直和。