大学物理电场强度及电势计算习题课
场强电势习题课
E
er 20 r
都不满足n>1的条件，场强对于无限远处的积分都是发散的。 因此对这类 n≤1 的情况不能选择无限远为电势的0点，通常选带 电平面上的电位为零，或带电直线上的电位为零。 点电荷： E 1 2选 在点电荷上，否则也会出现场中各点 电位为无限大的困难。
(4)均匀带电圆环轴线上
E
qx i 2 2 3/ 2 40 ( x R )
x x 2 R2 )i
q 2 2 1/ 2 40 ( x R )
( x 2 R2 x) 2 0
(5)均匀带电圆盘轴线上
E (1 2 0
6.电势差 7. 电场力的功
2 2 2 2 U ( R x R x ) (3) p点的场强由: p 2 1 2 0
dU h 1 Ep | x h ( 2 dx 2 0 R2 h2 1 R12 h2 )`
( R2 R1 ) 环心的电势为: U o 2 0 e ( R2 R1 ) U U 0 ( R2 R1 ) Ek 2 0 2 0
E dS
q
i
i内
0
(4)静电场的环路定理
E dr 0
L
(5)电场强度与电势的关系
P
p0
p
E dr
p0 0
(6)电场强度等于电势的负梯度
E ( i j k) x x x
基本概念和规律
1 . 基本概念
(1) 电场强度定义 (2) 电通量
(3) 电势
2 . 基本的定律和定理
(1) 库仑定律
p0 We E dl P q0
大学物理2-1习题课五,六章
E Exi Eyj Ezk
电荷元 表达式
线电荷 面电荷 体电荷
d q d l
dq dS dq dV
有用的结论
（1）一均匀带电直2
sin
1)
Ey
4 0a
(cos1
cos2 )
特例：无限长均匀带电直线的场强
E 2 0a
（2）一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场
Q E1 2 0 2 0S
C
B C
E dl
0
E0
d /2
E1 dx
d 2
d
Q
2 0 S
2
Qd
4 0 S
P36 10 10．一电偶极子由电荷q的两个异号点电荷组成，两电
荷相距为l．把这电偶极子放在场强大小为E的均匀电场
中。试求：1) 电场作用于电偶极子的最大力矩；2) 电偶
极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中，电场力
a
3. 电势叠加原理
(1)点电荷的电势分布:
q
U P 4 0r
(2)点电荷系的电势分布: U
Ui
i
qi
4 0ri
(3)连续带电体的电势分布: U dU 1 dq
V
V 4 0 r
P31 7
7. 如图所示，边长为l的正方形，在其四个顶点上各放
有等量的点电荷．若正方形中心O处的场强值和电势值
UC
U C
q (1 40 rB
1
rC
)
15(V
)
U C 15(V )
P33 11
11．有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布,已知其中任一点电荷
所中受点合移力至均无为穷零远， 处且 外力Q1所=Q作3=的Q。功在固Q定2Q1、. Q3的情况下，将Q2从Q1、Q3连线
大学物理习题课5
E
0
2 0
外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加。
11
5. 两根平行“无限长”均匀带电直导线, 相距为d, 导线 半径都是R(R<<d). 导线上电荷线密度分别为+和.
试求该导体组单位长度的电容.
6
V m
1
电容耐压Um = 4.0 kV，因而电容器极板间最小距离
d U m E b 2 . 22 10
4
m
要制作电容为0.047F 的平板电容器，其极板面积
S Cd
0 r
0 . 42 m
2
显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通 常将平板电容器卷叠成筒状后再封装。
we 1 2
0E
2
Q
2 2
E
0 0
2 0 S
在外力作用下极板间距从d被拉开到2d。电场占有空间 的体积，也由V增加到2V，此时电场能量增加。
W e we V Q d 2 0 S
10
2
（2）两导体极板带等量异号电荷，外力F 将其缓缓拉开 时，应有F = -Fe
则外力所作的功为
2
2.由两块相距0.50 mm的薄金属板A、B构成的空气平板电容器 被屏蔽在一金属盒K内，金属盒上、下两壁与A、B分别相距 0.25 mm，金属板面积为30mm40mm。求：（1）被屏蔽后电 容器的电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一个引脚不慎与 金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍。
分析：薄金属板A、B与金属盒一 起构成三个电容器其等效电路图如 图 （b）所示，由于两导体间距离 较小。电容器可视为平板电容器， 通过分析等效电路图可求得A、B 间的电容。
电场强度电势电势能习题经典
电场强度、电势、电势能专题1、关于静电场场强的概念，下列说法正确的是（）A．由E＝F/q可知，某电场的场强E与q成反比, 与F成正比B．正、负检验电荷在电场中同一点受到的电场力方向相反，所以某一点场强方向与放入检验电荷的正负有关C．电场中某一点的场强与放入该点的检验电荷正负无关D．电场中某点不放检验电荷时，该点场强等于零2、电场强度的定义式为E=F/q，下列说法正确的是（）A．该定义式只适用于点电荷产生的电场B．F是检验电荷所受到的力，q是产生电场的电荷电量C．场强的方向与F的方向相同D．由该定义式可知，同一点电荷在电场中某点所受的电场力大小与该点场强的大小成正比3、关于电势的高低，下列说法正确的是( )A．沿电场线方向电势逐渐降低B．电势降低的方向一定是电场线的方向C．正电荷在只受电场力作用下，一定向电势低的地方运动D．负电荷在只受电场力的作用下，由静止释放时，一定向电势高的地方运动5、下列关于电场性质的说法，正确的是( )A．电场强度大的地方，电场线一定密，电势也一定高B．电场强度大的地方，电场线一定密，但电势不一定高C．电场强度为零的地方，电势一定为零D．电势为零的地方，电场强度一定为零6、关于电势与电势能的说法，正确的是( )A．电荷在电势越高的地方，电势能也越大B．电荷在电势越高的地方，它的电荷量越大，所具有的电势能也越大C．在正点电荷的电场中任一点，正电荷所具有的电势能一定大于负电荷所具有的电势能D．在负点电荷的电场中任一点，正电荷所具有的电势能一定小于负电荷所具有的电势能7、如图所示的电场线，可判定( )A．该电场一定是匀强电场第7题图B．A点的电势一定低于B点电势C．负电荷放在B点的电势能比放在A点的电势能大D．负电荷放在B点所受电场力方向向右8、有关等势面的说法中正确的有（ ）A 、等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直．B 、电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，两个不同的等势面永远不会相交．C 、两个等势面间的电势差是相等的，但在非匀强电场中．两个等势面间的距离并不恒定，场强大的地方．两等势面间的距离小，场强小的地方，两个等势面间的距离大。
大学物理场强电势习题课讲解
E 2 0 r
L
r ●P
r >>L
●
当 r > > L 时，带电圆柱面可 视为点电荷，其场强大小为： q L E 2 2 4 0 r 4 0 r
P
6、 (学习指导p165,17) A、B为真空中两个平行的 “ 无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场 强度大小为E 0 ，两平面外侧电场强度大小都为E0/ 3，方向如图。则A、B两平面上的电荷面密度分别 为 σA ＝ ， σB ＝ . A B 若A 、B同号，则两边强中间弱。 若A正B负，则中间场强向右。 ∴只能是A负B正，则 E0 / 3
3真空中平行放置两块大金属平板板面积为s板间距离为dd远小于板面线度板上分别带电量q因板间距离d远小于板面线度金属平板可视为无限大带电平面两板间的相互作用力等于其中一块平板受另一平板在该板处产生的电场的作用力
1、真空中一点电荷Q，在距它为r的a点处有一试 验电荷q，现使q从a点沿半圆弧轨道运动到b点， 则电场力作功为（ ）
A B E0 2 0 2 0 B A E0 2 0 2 0 3
E0 2 0 E 0 A 3 4 0 E 0 B 3
E0 / 3
7、如图， 一点电荷带电量 q = 10 -9 C. A、B、C 三点分别距离点电荷 10cm、20cm、30cm .若选 B 点电势为0，则 A 点电势为＿＿＿，C 点电势 为＿＿＿.（0= 8.85 × 10-12 C2· N-1 · m-2 ）
解： 利用电势的定义： q o
B A
A
B
C
r
B
当UB = 0 时，
q
r B U A E dr Edr A
大学物理电学习题
Q
dq
注意：
P 1. 上式为矢量积分(场强矢量迭加)， 计算时要化成标量积分。 dE 2.电荷元的选取 dq 带电线： 电荷线密度 dq dl 线元 dl dq 带电面： 电荷面密度 面积元 dq dS dS
dq 带电体：电荷体密度 dV
体积元 dq dV
40 r 球面内： V V Q Q V 球面外： Q 40 r
**带电球面
**带电圆环
**六、电势差（电压）U
40 R Q 环心处：V 40 R
b
1. 定义 U ab Va Vb E d l
a
2. 电势差与静电场力作功的关系
Aab q0U ab q0 (Va Vb )
。
例1.5 (P20) y 一均匀带电细圆环半径为 R ， dq 所带总电量为Q，求其几何轴 R 线上任意一点P（x )的场强。 解： o 在圆环上任取电荷元 dq Q dq 则 dE r 2 0 z 4 0 r
dE// dE cos
r
Px dE//
dE
dE
Y
dq
dq
Q
R
r
Px dE//
o
Q
Z
x cos θ r
cos E 4 0 r 2
dq
Q
dE
dE
X
Q
Qx dq 4 0r 3 Q
xQ E 4 0 ( x 2 R 2 ) 3 2
讨论：
（1）若x = 0（环心）， 则E = 0 ; （2）若 x R 则 E
静
电
场
（场强部分）
电场强度电势基本训练题
1．某静电除尘器工作时内部电场线分布的俯视图如图，带负电粉尘被吸附时由b点运动到a点，以下说法正确的是A．该电场是匀强电场 B．a点电势高于b点电势C．电场力对粉尘做正功 D．粉尘的电势能增大【答案】BC【解析】试题分析：由图可以看出，电场线的分布并不均匀，故该电场不是匀强电场，A不对；由于电场线的方向由a指向b，沿电场线的方向电势是降低的，故a点电势高于b点电势，B是正确的；带负电粉尘受到的电场力的方向是由b指向a的，故粉尘由b点运动到a点时，电场力做正功，C是正确的；由于电场力做正功，故它的电势能减小，D不对。
考点：匀强电场，电势的高低判断，电势能大小的判断。
2．下列是某同学对电场中的概念、公式的理解，其中正确的是：（）A．根据电场强度的定义式E=F/q可知：电场中某点的电场强度和试探电荷的电量成反比；B．根据库仑定律可知：电荷间的作用力与所带电荷量的乘积成正比，与电荷间的距离的二次方成反比；C．根据真空中点电荷电场强度公式E="kQ" /r2，电场中某点电场强度和场源电荷的电量有关；D．根据电势差的定义式U AB = W AB /q，将带电量为1C正电荷，从A点移动到B点克服电场力做功为1J，则A、B点的电势差为-1V。
【答案】CD【解析】试题分析：A、电场强度为电场本身的性质与试探电荷的电荷量无关；故A错误；B、在真空中有两个点电荷间的作用力遵守库仑定律，要强调点电荷，故B错误；C、根据点电荷的场强公式得，Q为场源电荷的电量，电场中某点电场强度和场源电荷的电量有关，故C正确；D、由电势差的定义可知，U=-1×10−51×10−5 V=1V；故D正确；考点：电场强度；电势差；库仑定律．3．如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为－q外，其余各点处的电荷量均为＋q，则圆心O 处()A OA方向B AO方向C OA方向D AO方向【答案】C【解析】试题分析：假设A处同样放+q的正电荷，由对称可知O处的合场强为零，所以在BCDE 四处的+q电荷，在O处产生的合场强一定与A处所放的+q电荷产生的场强等大反向，即在BCDE四处的+q电荷在O OA方向；所以若在A处放一个-q的电荷则圆心O OA方向。
06电势——习题课
v r
dr v
q0
dl
2. 静电场的环路定理（Circuital theorem ） 静电场的环路定理 环路定理（
在静电场中，场强沿闭合路径的线积分等于零， “在静电场中，场强沿闭合路径的线积分等于零， 静电场的环流等于零 等于零。 即静电场的环流等于零。”
∫
L
v v E ⋅d l = 0
说明：静电场为保守场，静电场的电场线不能闭合。 说明：静电场为保守场，静电场的电场线不能闭合。
4 πε 0 r (1 + 1.5 ) × 10 − 8 9 = 9 × 10 × = 450 V −2 50 × 10
3.2 两均匀带电球壳同心放置，半径分别为 1和 两均匀带电球壳同心放置，半径分别为R R2（R1＜R2），已知内外球之间的电势差为 U12， ），已知内外球之间的电势差为 求两球壳间的电场分布。 求两球壳间的电场分布。 设内球的带电量为q， 解：设内球的带电量为 ，则
ϕ =
在 x 轴上
λ 4 πε
ln
0
x2 + a2 + a x2 + a2 − a
∂ϕ ∂ϕ Ez = − = 0 Ey = − = 0, ∂z dy ∂ϕ λa E = Ex = − = 2 2 ∂x 2 πε 0 x x + a
3.20 一边长为工的正三角形，其三个顶点上各放置 ， 一边长为工的正三角形，其三个顶点上各放置q， －q和－2q的点电荷，求此三角形重心上的电势。将一电 的点电荷， 和 的点电荷 求此三角形重心上的电势。 的点电荷由无限远处移到重心上， 量为＋Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力要做多 的点电荷由无限远处移到重心上 少功？ 少功？ 解：重心上的电势为
场强和电势计算练习
1. 下列说法正确的是：A. 闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷；B. 闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零；C. 闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零；D. 闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零。
(B)2. 判断下列说法正确与否A. 电场强度为零的点，电势也一定为零；B. 电场强度不为零的点，电势也一定不为零；C. 电势为零的点，电场强度也一定为零；D. 电势在某一区域为常量，则电场强度在该区域内必定为零；E. 电场强度相等的区域内，电势必定处处相等。
(D)3. 两条无限长平行带电直导线相距为0r ，均匀带有等量异号电荷,电荷线密度为λ.(1)求两导线构成的平面上任一点的电场强度(设该点到其中一线的垂直距离为x )；(2)求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷的电场力。
解：（1）设两根导线在P 点产生的电场分别用E +和E -表示（如图所示），其中 02E i xλπε+=，002()E i r x λπε-=-所以，按照场强叠加原理可得()00022P E E E i x r x λλπεπε+-⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭002()r i x r x λπε=-（2）设F +和F -分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有2000()2F E r i r λλπε+-==, 2000()2F E r i r λλπε-+=-=-由此可知F F +-=-，二力大小相等，方向相反，这一对导线相互吸引。
4. 设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为⎩⎨⎧>=≤≤=)(0)0(R r R r kr ρρ，k为一常量，试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度与r 的关系。
PE +E解法1:由于电荷呈球对称分布,所以分析得出电场的分布亦呈球对称分布,选任意半径为r 的同心球面为高斯面，有24r E S d E Sπ⋅=⋅⎰在球体内（R r ≤≤0），4024kr dr rkr dV q rr iππρ===⎰⎰∑所以由高斯定理0ε∑⎰=⋅iSqS d E有424εππkr r E =⋅所以球体内的场强分布为rrkr E 024ε= （R r ≤≤0）在球体外（R r >），4204kR dr r kr dV q RRi ππρ===⎰⎰∑ 所以由高斯定理0ε∑⎰=⋅iSqS d E有424εππkR r E =⋅所以球体外的场强分布为r rrkR E 2044ε= （R r ≤≤0） 解法2：利用电场叠加法，将带电球体分割成无数多个同心带电球壳，球壳的带电量为'2''4dr r kr dV dq πρ==由上述分析，在球体内（R r ≤≤0），02202''0444επεπkr r dr r kr dE E rr ===⎰⎰ 所以球体内的场强分布为rrkr E 024ε= （R r ≤≤0）在球体外（R r >），204202''0444r kR r dr r kr dE E RR επεπ===⎰⎰ 所以球体外的场强分布为rrr kR E 2044ε= （R r ≤≤0）5. 电荷面密度分别为σ+和σ-的两块“无限大”均匀带电的平行板，如图放置，取坐标原点为零电势点，求空间各点的电势分布并画出电势随位置坐标x 的变化曲线。
电场强度、电势、电势差训练(已用)
电势、电势差、电场强度训练1.一个点电荷从静电场中的a点移至b点，其电势能的变化为零，则A. a、b两点的场强一定相等B. 该电荷一定沿等势面移动C. 作用于该点电荷的电场力与其移动方向总是垂直的D. a、b两点的电势相等2. 关于等势面，不正确的是A. 等势面上各点电势一定为0B. 等势面上任意两点间的电势差一定为零C. 在同一等势面上，无论沿任何路径移动电荷，电场力都不做功D. 两个不同的等势面上任意两点间的电势差为一定值3. 如图所示，B、C、D是以+Q为圆心的圆周上的三个点，将一检验电荷从圆内A点分别移到B、C、D各点时，电场力做功是A. WAB >WACB. WAD>WACC. WAD>WABD. WAB=WAC4. 如图所示，对两个电量均为+q的点电荷连线中点O和中垂线上某点P正确的是A. φo <φp，Eo>EpB. A. φo>φp，Eo>EpC. 将正电荷从O移到P，电场力做正功D. 将正电荷从O移到P，电场力做负功5. 如图所示，a、b、c表示点电荷的电场中的三个等势面，它们的电势分别为φ、2φ/3、φ/4。
一带电粒子从a面某点由静止释放后，仅受电场力作用而运动，已知它经过b面时速率为v,求它经过c面时的速率__________。
6. 图中虚线表示等势面，相邻两等势面间的电势差相等，有一带正电的小球在电场中运动，实线表示该小球的运动轨迹。
小球在a点的动能等于26eV，运动到b点时的动能等于2eV。
若取c点为零势点，则当这个带电小球的电势能等于-8eV时（不计重力和空气阻力），它的动能等于A. 20eVB. 18eVC. 16eVD.10eV7.下列说法中正确的是A.匀强电场中各处场强相等，电势也相等B. 等势体内各点电势相等，场强为零C. 沿电场线方向电场强度一定越来越小D. 电势降低的方向就是电场线的方向8.如图所示，在电场强度E=2×103V/m的匀强电场中有三点A、M、B，AM=4cm，AB=5cm，MB=3cm，把一电量q=2×10-7C的点电荷从B移到M，从M移到A，电场力做功为A.1.6×10-7JB. 1.26×10-7JC. -1.6×10-7JD. -4.0×10-8J9.对公式E=Uab/d的理解，下列说法正确的是A.此公式适用于计算任何电场中a、b两点间的电势差B. a点和b点距离越大,则这两点的电势差越大C. 公式中d是指a点和b点之间的距离D. 公式中的d是a、b所在的两个等势面间的垂直距离10. 如图所示的匀强电场E=103N/C，矩形abcd的ab边与电场线平行，且ab=3cm，bc=2cm，将q=5×10-8C的点电荷沿矩形abcd移动一周，电场力做功为__________，a、b两点间电势差为__________，b、c两点间的电势差为__________。
大连理工大学大学物理静电场习题
05静电场11．关于电场强度定义式，下列说法中哪个是正确的？[ ] A ．场强E的大小与试探电荷0q 的大小成反比。
B ．对场中某点，试探电荷受力F与0q 的比值不因0q 而变。
C ．试探电荷受力F 的方向就是场强E 的方向。
D ．若场中某点不放试探电荷0q ，则0F = ，从而0E =。
2．一个质子，在电场力作用下从A 点经C 点运动到B 点，其运动轨迹如图所示，已知质点运动的速率是递增的，下面关于C 点场强方向的四个图示哪个正确？[ ]3．带电量均为q +的两个点电荷分别位于X 轴上的a +和a -位置，如图所示，则Y 轴上各点电场强度的表示式为E= ，场强最大值的位置在y = 。
4．如图所示，在一无限长的均匀带点细棒旁垂直放置一均匀带电的细棒MN 。
且二棒共面，若二棒的电荷线密度均为λ+，细棒MN 长为l ，且M 端距长直细棒也为l ，那么细棒MN 受到的电场力为 。
答5．用不导电的细塑料棒弯成半径为R 的圆弧，两端间空隙为l ()l R <<，若正电荷Q 均匀分布在棒上，求圆心处场强的大小和方向。
6．如图所示，将一绝缘细棒弯成半径为R 的半圆形，其上半段均匀带有电荷Q ，下半段均匀带有电量Q -，求半圆中心处的电场强度。
7．线电荷密度为 的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状，若圆弧半径为R，试求O 点的场强。
8．一个金属球带上正电荷后，质量有所增大？减小？不变？9．以点电荷为中心，半径为R的球面上，场强的大小一定处处相等吗？q +从高斯面外P 移到R 处()OP OR =，O 为S 上一点，则[ ].A 穿过S 的电通量e φ发生改变，O 处E变.B e φ不变，E 变。
.C e φ变，E不变。
.D e φ不变，E不变。
2．半径为R 的均匀带电球面上，电荷面密度为σ，在球面上取小面元S ∆，则S ∆上的电荷受到的电场力为[ ]。
.A 0 .B 202S σε∆ .C 20S σε∆ .D 2204SRσπε∆ 3．如图所示，一个带电量为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于[ ]。
大学物理2210章习题
-
+
-a
0
+a X
(A)
U
(B)
U
√(C)
-a
0
+a
X -a
0
-a +a X
U
(D) U
-a
0
0 +a X
+a X
1、一半径为 R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ．设无穷远
U 1 D) r
U r
U1 r
R
ro R
r
11、在静电场中，电力线为均匀分布的平行直线的区域内，在电
力线方向上任意两点的电场强度 E 和电势U 相比较：
A) E相同，U不同。B) E不同，U相同。
C) E不同，U不同。D) E相同，U相同。
E
12、有一带正电荷的大导体，欲测其附近P点处的场强，将一带电
度通量分别为1 和 2 ，通过整个球面的电场强度通量为 s ，
则
S2
S1
q
q
0 a 2a X
(A) 1 > 2 ， s q 0 (B) <1 2 ， s 2q 0
√ (C) 1 = 2 ， s q 0 (D) 1< 2 ， s q 0
2、电荷面密度为 和 的两块“无限大”均匀带电的平行
处，测得它所受的力为F．若考虑到电量q0不是足够小， 则
A） F / q0 比P点处原先的场强数值大．
B） F / q0 比P点处原先的场强数值小． C）F / q0 等于原先P点处场强的数值．
大学物理
2
cos d
2
4 0 R
2
Q
4 0 R 2 2 0 R 2
14.求单位长带电量为λ、半径为 R 的均匀带电无限 长半圆柱面轴线上一点的场强。 (习题10-6)
解: 取沿轴线方向一宽为dl 的无限长条为 微元，并建立坐标系,由对称性知 ：
Ey 0
Ez 0
y
无限长带电直线在空间产生的场强： dl
第十章静电场 习题课
[例4] 有一无限长均匀带电直线（线电荷密度为）。求直线外 距直线r处P 点的电势。
解∶由高斯定理得直线外的电场强度为:
E
rˆ
作不定积分:
2 0r
U E d l 2 0r d r
ln r C
2 0
若选取积分常数 c = 0，则可计算出r = 1 处的b 点的电势为
qi
4 0 i ri
等势面与电场线正交。 等势面密处场强大，疏处场强小。
连 续 系U
电势差
1
4 0
U ab
dq r
Ua
沿电场线方向电势降低。
b
Ub
Edl
a
④场强与电势的关系
积分关系：U
P
参 Edl
P
(U p0 0)
微分关系：E grad U U
二、基本规律：
① 库仑定律：
F
1
q1q2
零，即选取b点为零势能点，则 P 点电势为：
1
U p
dr
ln r
r 2 0r
2 0 U
结果表明: 当r = 1m 时，U = 0 ; 当r > 1m 时，U < 0 ;
r
1
当r < 1m 时，U > 0 。
电场强度和电势习题.
第 3题 . 问: E 仅由 S 内的电荷决定吗? 请举例说明。 s 【答】 由S 内、外全部电荷决定。 例如： 例如： S
q
S S 内无电荷S外有电荷
S 内外均有电荷分布
问：只要 E 有对称性,就可用高斯定理求 E ?
（例如有限长均匀带电直线） 【答】 错。
第4题. 下列说法是否正确？说明理由或举例。
P
-
(2) 两圆柱筒相距最近的表面处的电势差 V= Vb - V c =?
【解】（1）求圆柱筒外 任一点P 的电势 求电势方法：场强积分法 电势叠加法 一个“无限长”均匀带电 圆柱筒外的电场 是知道的： +
y
P
E
ˆ r 2 π 0r
-
a
b
0 2d
c a
x
对每个圆柱筒外的电势求解，用场强积分法； 然后用电势叠加法，求两个圆柱筒外的总电势。
0
E
0
【答】 错。例如：均匀电场
V ( x) V0 Ex x
x
const.
（而均匀带电球面内，
x
E 0, const .)
(4)某面上 E const. 不一定 VS const.
S
【答】 对。 例如： 均匀电场 S’面上 的情况与 S 面上 的情况就不同。
(S)
， E d S 0来自对上述说法你认为如何？请举例说明。 +q
S
-q
S
+q
S
第 2题 . “若闭合曲面S上各点的场强为零，则该S面内 必无电荷分布。” 对上述说法你认为如何？ 请举例说明。
【答】 错。 只是
q
内
4.大学物理场强电势求法
E U
场强积分法 电势梯度
U
E
思考: 利用场强叠加原理,求如下带电体的电场分布. 思考: 利用场强叠加原理,求如下带电体的电场分布. 1. 两平行的无限大带电平板内外的电场; 两平行的无限大带电平板内外的电场; 2. 带小缺口的细圆环; 带小缺口的细圆环; 3. 带圆孔的无限大平板; 带圆孔的无限大平板; 4. 带有空腔的圆柱体 ′处; 带有空腔的圆柱体O′ 5. 带有空腔的球体 ′处. 带有空腔的球体O′
(2) 作高斯面
R 1
S1 , S2 求 E1 , E2
E1
2 1
.
E2
ρ
s1
r 1
P
r2
4 3 E1 4πr = ρ πr 1 ε0 3
4 3 E2 4πr = ρ πr2 ε0 3
2 2
1
o1 a R o2 2
s2
1
ρr E = 1 1 3 0 ε
R 1
ρ
E
o1 a R o2 2
ρr2 E2 = 3ε0 ρ ρa E = E E = (r r ) = 3ε 3ε
0 0
∝r
R
1 ∝ r
U外 = ∫ E外 dr + ∫ E内 dr
r
R 2
R
0
R
0
o
U
r
对 曲 数 线
ρR dr ρrdr =∫ +∫ 2ε r 2ε
∫
∫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∑
E 对称性
大小 方向
高斯面 E
cosθ
高斯定理
E E
(4)由电势梯度求: 由电势梯度求
Q U E
(用叠加法求) 叠加法求
1)求出电势分布 U = U ( x , y , z ) 求出电势分布 求出 2)由电势梯度求场强 由电势梯度求
4.大学物理场强电势求法
E1
直圆柱为高斯面 .
由高斯定理：
h
E2
E dS E2S E1S
s
1
0
q内
1
0
hS
0 (E2
h
E1 )
8.85 1012 1.5 103
(100 25)
4.431013(C m3 )
〈2〉作高斯面如图
由高斯定理：
3. 非均匀带电，线密度为 0sin
y dq
d o
x
R
dE
思路：叠加法
dq dE E
解：1)
dq Rd
dE dq ;沿径向
4 R2 0
y
dq
dE
d o
x
用分量叠加，由对称性：
E y
dEy
0
R
dE
Ex dEx dE sin
挖去空腔 —— 失去球对称性,
R1
a o1
r1E2R2Pro22
E1
能否恢复对称性？补偿法！
半径 R 1均匀带电实心球体在P点的场强：E1 所半求径场R强2均E匀P 带E电1 实 E心2 球而体E在1、P点E2的均场可强由：高E斯2 定理求出。
(2) 作高斯面 S1 , S2 求 E1 , E2 .
1 2
UP
L
dU L
qdx
q ln L
8 0 L( x 2
a2
)
1 2
4 0 L
a2 L2 a
(2) 求细棒延长线上距细棒中心 b处 P点的电势
大学物理习题12电场电势
班级______________学号____________姓名________________练习 十二一、选择题1． 电荷分布在有限空间内，则任意两点P 1、P 2之间的电势差取决于 （ ） (A) 从P 1移到P 2的试探电荷电量的大小； (B) P 1和P 2处电场强度的大小； (C) 试探电荷由P 1移到P 2的路径；(D) 由P 1移到P 2电场力对单位正电荷所作的功。
2． 下面说法正确的是 （ ） (A) 等势面上各点的场强大小都相等； (B) 在电势高处电势能也一定大； (C) 场强大处电势一定高；(D) 场强的方向总是从高电势指向低电势。
3． 如图所示，绝缘的带电导体上a 、b 、c 三点， 电荷密度（ ） 电势（ ） (A)a 点最大； (B)b 点最大； (C)c 点最大； (D)一样大。
4． 一个带正电的点电荷飞入如图所示的电场中，它在电场中的运动轨迹为 （ ）(A)沿a ； (B)沿b ； (C) 沿c ；(D) 沿d 。
二、填空题1． 边长为a 的正六边形每个顶点处有一个点电荷，取无限远处作为参考点，则o 点电势为 ，o 点的场强大小为 。
2． 一个半径为R 的均匀带电的薄圆盘，电荷面密度为σ。
在圆盘上挖去一个半径为r 的同心圆盘，则圆心处的电势将 。
（变大或变小）3． 真空中一个半径为R 的球面均匀带电，面电荷密度为0>σ，在球心处有一个带电量为q 的点电荷。
取无限远处作为参考点，则球内距球心r 的P 点处的电势为 。
4． 半径为r 的均匀带电球面1，带电量为1q ，其外有一同心的半径为R 的均匀带电球面2，带电量为2q ，则两球面间的电势差为 。
5． 两个同心的薄金属球壳，半径分别为1R 、2R （1R >2R ），带电量分别为1q 、2q，q -将二球用导线联起来，（取无限远处作为参考点为 。
6． 两段形状相同的圆弧如图所示对称放置，圆弧半径为R ，圆心角为θ，均匀带电，线密度分别为λ+和λ-，则圆心O 点的场强大小为 。
大学物理电场强度及电势计算习题课
y
思路：叠加法
dq dE E
o
dE
d
R
x
解：1）
dq Rd dE dq 4 0 R
2
; 沿径向
dq
y
用分量叠加，由对称性：
dE
d
R
o
dE
x
Ey
Ex
dE
y
0
dq
dE
0
x
dE sin
sind
（ k 为常数 ， r R ）带电球体内外的场强 .
思考〈1〉选用哪种方法求解更方便？
o
R
k r 未破坏电场分布的球对称性. 用高斯定理求解方便 .
选高斯面
S S
1 E dS
s
0
q
内
求E
r
o
〈2〉选高斯面 ？
R
r
同心球面 S (半径 r )
2 E dS E 4r
0
sin 2d 0 E i dE x i 4 0 R 8 0 R 0
i
[练习2] 求均匀带电半球面(已知R, ) 球心处电场 .
y
R
思考：〈1〉用哪种方法求解?
x
d 叠加法： q dE dE
o
y y
〈2〉 dq ? 是否一定取点电荷？
s
0
q
内
r R.
q内 R h
2
E外
R
2
2 0 r
径向
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y
q
o dq L b
P
'
x
U P'
dU
q 8 0 L ln
L
qdx 8 0 L( b x )
L
b L b L
练习7. 证明电力线如图分布的电场不可能是静电场。
a
静电场特性：
b
E
d
c
q
有源
保守
高斯定理
环路定理
作如图环路: abcd
均匀带电球面：
2 0 r
( 带电直线）
E外 qr 4 0 r
3
E内 0 ,
无限大均匀带电平面： E
2 0
( 带电平面）
[练习1] 求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度
1. 均匀带电，线密度为 2. 上半部带正电，下半部带负电，线密度为 3. 非均匀带电，线密度为 0 sin
E
2 0
0
E
……
二 . U 的计算
场强积分法 叠加法
1. 场强积分法 ：
Ua
零势点
注意
E dl
a
(1) 积分与路径无关，可依题意选最简便的积分路径.
(2) E 为路径上各点总场，若各区域 E 表达式不同，
应分段积分.
(3) 积分值与零势点选取有关 . 选取原则：
R
0
rdr
r
r 2
4 0
R
U外
r
0 E外 dr E内 dr R
r
R dr
2
0
2 0 r
R
rdr
2 0
R
2
2 0
ln
R r
R
2
4 0
E ~ r 曲线和 U ~ r 曲线
E
R
R
rro来自UR1 r
h
S
r
o
r
2
R
r
(1) 由定义求
(2) 由点电荷(或典型电荷分布) E 公式
和叠加原理求
(3) 由高斯定理求
(4) 由
E 与 U
的关系求
典型静电场 点电荷：
E qr 4 0 r
3
均匀带电圆环轴线上： E
1
2
qxi
2
3 2
4 0 ( R x )
无限长均匀带电直线： E
j
0
2
0
cosd
4 0 R
2 0 R
Eo
2 0 R
dq
y
解：3）
dE
d
R
o
dE
x
0sin
dq Rd dE dq 4 0 R
2
; 沿径向
dq
有无对称性？
Ey
sin sin( - )
y
dE
s
(3)
q
内
?
dr
S
k 4 3 q内 V r r 3
对否 ？
r
r o
R
dq dV
k r
R
4r dr
2
R
r R:
r R:
q
内
dV r
0 0
r r
k
2dr 2kR 2 4r
q内
dV
R1
思考 (1) 选用何种方法求解？
挖去空腔 —— 失去球对称性,
能否恢复对称性？补偿法！
r1
E2
E1
P
R2
o1
a
o2
r2
半径 R 1均匀带电实心球体在P点的场强： 1 E 半径 R 2均匀带电实心球体在P点的场强：E 2 所求场强 E P E1 E 2而 E1 E 2 、 均可由高斯定理求出.
kR
2 0 r
沿径向
E内 E外
k 2 0 kR
2
dr
S
r
2 0 r
r
2
o
R
沿径向
E
〈5〉对结果的定性理解：
k 2 0
1 r
2
q内 r
E r
2
1
2
o
R
r
总效果: E内大小为恒量
练习4. 在半径R1 ，体电荷密度 的均匀带电球体内挖 去一个半径R2的球形空腔。空腔中心o2与带电球体中 心o1 相距为a [(R2+ a )< R1], 求空腔内任一点电场 。
0
sin 2d 0 E i dE x i 4 0 R 8 0 R 0
i
[练习2] 求均匀带电半球面(已知R, ) 球心处电场 .
y
R
思考：〈1〉用哪种方法求解?
x
d 叠加法： q dE dE
o
y y
〈2〉 dq ? 是否一定取点电荷？
0
r
0
k
4r dr 2kr
2
2
dr
S
<4> 电场强度的大小，方向 ？
由高斯定理：
E 4r
2
r
r o
1 E dS
R
s
0
q
内
1
0
q
内
得：
E内
2kr
2 2
4 0 r
2kR 4 0 r
2 2
k 2 0
2 2
沿径向
E外
r2 E2 3 0
R1
o1
a
E
R2
a E P E1 E 2 ( r1 r2 ) 3 0 3 0
o2
腔内为平行于 o o a 1 2
的均匀电场！
(3) 思考：请总结获得均匀电场的方法
R1
o1
a
E
R2
o2
E
U
U
U内
q 4 0 R
U外
q 4 0 r
练习5. 求无限长均匀带电圆柱体
R
( R , ) 电势分布。
解： 场强积分法
.
先由高斯定理求电场分布.
r
高 斯 面
r
高 斯 面 l
如何选高斯面？
l
R
R
r
选高 h 半径 r 的同轴圆柱面 为高斯面 .
h
S
1 E dS E 2rh
4 0 R
2 0 R
Eo
i 2 0 R
dq
y
解：2）
dq Rd dq 4 0 R
2
d
R
o
dE
x
dE
; 沿径向
dE
对称性分析与 1）有何不同？
Ex
dq
dE
/2
x
0
2
Ey
dE
y
2
dE cos
电荷有限分布选 U 0 电荷无限分布选 U 有限处 0
2.
叠加法 思路： dq dU U dU
注意：应用典型带电体的电势公式
选取相同的零势点. 典型带电体的电势：
q 4 0 r
q 4 0 ( R x )
2 2
1 2
点电荷：
均匀带电圆环轴 线上： 均匀带电球面：
ab , cd 上
Edl
b
E dl
a
d
E dl 0
c
a
E
d
b
da . bc 上路径相等 而 E 大小不等 .
又
c
q
（电力线密度不同）
c
E dl
b
a
E dl
d
E dl
L
c d a E dl E dl E dl E d l 0
b a b c d
违反静电场环路定理 , 如图所示电场不是静电场。
自学：教材229页 例一
同学们好！
?
如果你老是在你的舒服区里头 打转，你就永远无法扩大你的视 野，永远无法学到新的东西。只 有你跨出舒服区以后，你才能使 自己人生的圆圈变大，你才能挑 战自己的心灵，使之变得更加坚 强，最终把自己塑造成一个更优 秀的人。
－－（美）布伦达.乌尔巴奈克
习题课：E , U 的计算
一.
E
的计算
对数曲线
练习6. 电量 q均匀分布在长为2L的细棒上 。求： (1) 细棒中垂面上距细棒中心 a处P点的电势 。 (2) 细棒延长线上距细棒中心 b处 P点的电势。
y
P a
解：叠加法 将带电细棒视为点电荷集合
dq
'
q 2L
r
L
dx 令 U 0
q
P o dq L b x
(1) dU
qdx
dq 4 0 r
qdx
2 2
1 2
8 0 L( x a )
q 4 0 L ln L