1.2集合的基本关系与基本运算(教师版)

信达雅教育内部教案（教师版）
一、集合
1.2 集合的基本关系与基本运算
学习目标：
1.了解集合之间包含关系的意义.
2.理解子集、真子集的概念.
3.了解全集的意义,理解补集的概念.
1.2.1集合的基本关系
观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？
（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B == PS ：A 是b 的子集，但4属于B ，不属于A ，满足定义 (2)设A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合 (3){2,4,6},{6,4,2}E F ==.
PS ：首先来学习子集 （1）子集
一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集. 记作：()A B
B A ⊆⊇或 读作：A 含于B(或B 包含A)
PS ：看实例（1）和实例（2），谁是谁的子集？ PS ：注意符号的方向不要搞错，开口处为大。

(2)集合相等与真子集
（2）空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Ø，并规定：空集是任何集合的子集。

（3）用韦恩图表示集合
为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。

如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图.
图l ()A B B A ⊆⊇或 图2 B A =
（4）集合的一些基本结论：
1）任何一个集合是它本身的子集。

即
A A ⊆；（根据定义说明） 2）对于集合A,B,C,如果。

，那么，且C A C
B B A ⊆⊆⊆ PS ：板书说明
例：{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==6}5432{1C ,，，，，，=
接下来看例题：
例：写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

解:集合{a,b}的所有子集为Ø，{a}，{b}，{a,b}。

真子集为Ø，{a}，{b}。

PS:不要漏掉，空集是任何集合的子集 练习：
1．写出集合{,,}a b c 的所有子集． 解：按子集元素个数来分类，
不取任何元素，得∅； 取一个元素，得{},{},{}a b c ； 取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，
即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅． 拓展：子集个数的计算
有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集，含有2n -1个非空子集，含有2-2n
个非空真子集
2．用适当的符号填空：
（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2
{|0}x x =； （3）∅______2
{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；
（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2
{|320}x x x -+=． （1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素； （2）20{|0}x x ∈= 2
{|0}
{0}
x x ==； （3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程2
10x +=无实数根，2
{|10}x R x ∈+==∅；
（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}
是自然数集合N 的子集，也是真子集；
（5）{0}
2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}
x x x ==； （6）2
{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2
320x x -+=两根为121,2x x ==．
3．判断下列两个集合之间的关系：
（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；
（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；
（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈． 3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以
A
B ；
（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+， 即B 是A 的真子集，
B
A ；
（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．
1.2.2集合的基本运算
请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A .B 之间的关系吗? (1){1,3,5},{2,4,6},{1,2,3,4,5,6};A B C ===
(2){|},{|},{|}A x x B x x C x x ===是理数是无理数是实数
PS:什么是并集 （1）并集
—般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集.
记作：A ∪B.读作“A 并B ”.
其含义用符号表示为：{|,}A
B x x A x B =∈∈或
用Venn 图表示如下：
这样，在问题（1）（2）中，集合A 与B 的并集是C ，即 C B A = ： 例题：PS ：板书答案
（2）交集
（1）{2,4,6,8,10},{3,5,8,12},{8};A B C ===
（2）A={x |x 是国兴中学2004年9月在校的女同学}，
B={x |x 是国兴中学2004年9月入学的高一年级同学}， C={x |x 是国兴中学2004年9月入学的高一年级女同学}.
一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.
记作：B A . 读作：A 交B
其含义用符号表示为：{|,}.A B x x A x B =∈∈且
用Venn 图表示如下：
阴影部分即为B A
例题：PS ：板书答案，例7不讲。

（3）全集与补集
（4）集合的简单性质：（PS:用韦恩图解释说明）
（1）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂ （2）;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃ （3）);()(B A B A ⋃⊆⋂
（4）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；
（5）德.摩根定律
U C （A B ）=（U C A ） （U C B ），U C （A B ）=（U C A ） （U C B ）
练习：
1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．
1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，
{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A
B ==．
2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ．
2．解：方程2
450x x --=的两根为121,5x x =-=， 方程210x -=的两根为121,1x x =-=， 得{1,5},{1,1}A B =-=-， 即{1},{1,1,5}A
B A B =-=-
3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．
3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，
{|}A
B x x =是等腰三角形或直角三角形．
4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==， 求()()()B C A C B C A U U U ,
4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{
1,3,6,7}U A =ð， 则(){2,4}U A
B =ð，()
(){6}U U A B =痧．。