1043 【图论基础】求一个无向图的最短路径(dijkstra) 1044 有向图中任意两点最短路径(floyd)

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dijkstra算法步骤例题表格

Dijkstra算法是一种用于计算图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径的算法。

它由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉于1956年提出。

Dijkstra算法的基本思想是通过不断更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度，逐步找到最短路径。

以下将详细介绍Dijkstra算法的步骤，并给出一个例题和表格供读者参考。

一、算法步骤1. 初始化- 设置起始顶点的最短路径为0，其余顶点的最短路径为无穷大。

- 将起始顶点加入已访问的顶点集合。

2. 更新- 从未访问的顶点中选择离起始顶点最近的顶点，将其加入已访问的顶点集合。

- 更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度，如果经过新加入的顶点到其他顶点的路径长度小于当前已知的最短路径长度，则更新最短路径长度。

3. 重复更新直到所有顶点都被访问过。

二、算法实例为了更好地理解Dijkstra算法的具体应用步骤，我们通过一个实际的例题来演示算法的执行过程。

假设有以下带权重的图，起始顶点为A：顶点 A B C D EA 0 3 4 ∞ ∞B ∞ 0 ∞ 1 7C ∞ 4 0 2 ∞D ∞ ∞ ∞ 0 5E ∞ ∞ ∞ ∞ 0表中每个元素表示从对应顶点到其它顶点的边的权重，"∞"表示没有直接相连的边。

我们按照Dijkstra算法的步骤来计算从顶点A到其他顶点的最短路径长度。

1. 初始化起始顶点为A，初始化A到各顶点的最短路径长度为0，其余顶点的最短路径长度为∞。

将A加入已访问的顶点集合。

2. 更新选择A到B的路径长度最短，将B加入已访问的顶点集合。

更新A到C和A到D的最短路径长度。

3. 重复更新依次选择离起始顶点最近的顶点，并更新最短路径长度，直到所有顶点被访问。

通过不断的更新，最终得到从顶点A到其他顶点的最短路径长度表格如下：顶点 A B C D E最短路径长度 0 3 4 5 9三、总结通过以上Dijkstra算法的步骤和实例计算，我们可以清晰地了解该算法的执行过程和原理。

Dijkstra算法求最短路径

在交通网络中，常常会提出许多这样的问题：两地之间是否有路相通？在有多条通路的情况下，哪一条最近？哪一条花费最少等。

交通网络可以用带权图表示，图中顶点表示域镇，边表示两城之间的道路，边上权值可表示两城镇间的距离，交通费用或途中所需的时间等。

以上提出的问题就是带权图中求最短路径的问题，即求两个顶点间长度最短的路径。

最短路径问题的提法很多。

在这里仅讨论单源最短路径问题：即已知有向图(带权)，我们希望找出从某个源点S∈V到G中其余各顶点的最短路径。

例如：下图(有向图G14)，假定以v1为源点，则其它各顶点的最短路径如下表所示：图G14从有向图可看出，顶点v1到v4的路径有3条：(v1,v2,v4)，(v1,v4)，(v1,v3,v2,v4)，其路径长度分别为：15,20和10。

因此v1到v4的最短路径为(v1,v3,v2,v4 )。

为了叙述方便，我们把路径上的开始点称为源点，路径的最后一个顶点为终点。

那么，如何求得给定有向图的单源最短路径呢？迪杰斯特拉(Dijkstra)提出按路径长度递增产生诸顶点的最短路径算法，称之为迪杰斯特拉算法。

迪杰斯特拉算法求最短路径的实现思想是：设有向图G=(V,E)，其中，V={0,2,…,n-1}，cost是表示G的邻接矩阵，G.arcs [i][j] .adj 表示有向边<i,j>的权。

若不存在有向边<i,j>，则G.arcs [i][j] .adj 的权为无穷大(这里取值为32767)。

设S是一个集合，其中的每个元素表示一个顶点，从源点到这些顶点的最短距离已经求出。

设顶点v0为源点，集合S的初态只包含顶点v0。

数组D记录从源点到其他各顶点当前的最短距离，其初值为D[i]= G.arcs[v0][i].adj ，i=1,…,n-1。

从S之外的顶点集合V-S 中选出一个顶点w，使D[w]的值最小。

于是从源点到达w只通过S 中的顶点，把w加入集合S中调整D中记录的从源点到V-S中每个顶点v的距离：从原来的D[v] 和D[w]+ G.arcs [w][v] .adj中选择较小的值作为新的D[v]。

迪杰斯特拉求最短路径算法

通过使用迪杰斯特拉算法，我们可以找到这些最短路径，从而帮助决策者做出更好的决策
在这些应用中，我们需要找到从一个地点到另一个地点的最短路径，以便优化成本、时间和路线等
应用
Tarjan
Robert E. "A Class of Algorithms for Decomposing Disconnected Graphs". Journal of the ACM (JACM) 16.3 (1969): 430-447
在图论中，我们通常用节点表示地点，用边表示两个地点之间的路径。每条边都有一个与之相关的权重，表示从一个地点到另一个地点的距离。迪杰斯特拉算法可以找到从源节点(出发节点)到目标节点(目的地)的最短路径，即使在图中存在负权重的边
算法步骤
算法步骤
初始化
01
将源节点的距离设置为0，将所有其他节点的距离
设置为正无穷。创建一个空的优先队列，并将源节
点放入队列
从优先队列中取出距离最小的节点
02
这个节点就是当前最短路径的起点
遍历从这个节点出发的所有边
03
对于每条边，如果通过这条边到达的节点的距离可
以通过当前节点更新(即新距离小于原距离)，那么
就更新这个节点的距离，并将其加入优先队列
如果队列中仍有节点
04
回到步骤2。否则，算法结束
算法步骤
这个算法的时间复杂度是O((E+V)logV)，其中 E是边的数量，V是节点的数量
这是因为每个节点和每条边都需要被处理和比较，而这个过程是在一个优先队列中进行的，
需要O(logV)的时间复杂度
优点和缺点
优点和缺点
迪杰斯特拉算法的优点在于它可以在大多数情况下找到最短路径，而且实现起来相对简单

图论中的最短路径算法

图论中的最短路径算法图论是数学的一个分支，研究图的性质和图之间的关系。

在图论中，最短路径算法是一类重要的算法，用于寻找图中两个顶点之间的最短路径。

本文将介绍图论中的几种常见的最短路径算法。

一、Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中最常用的一种。

它基于贪心策略，通过逐步扩展路径来求解最短路径。

算法的基本思想是，从一个起始顶点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择当前路径中距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。

Dijkstra算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。

2. 选择距离起始顶点最近的顶点，将其加入已扩展顶点集合。

3. 更新与新加入顶点相邻的顶点的距离，如果新的距离比原来的距离小，则更新距离。

4. 重复步骤2和步骤3，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。

5. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。

二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种常用的最短路径算法。

它可以处理带有负权边的图，而Dijkstra算法只适用于非负权边的图。

Bellman-Ford算法的基本思想是通过对所有边进行松弛操作，逐步减小起始顶点到其他顶点的估计距离，直到得到最短路径。

Bellman-Ford算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。

2. 对所有边进行松弛操作，即如果存在一条边(u, v)，使得从起始顶点到v的距离大于从起始顶点到u的距离加上边(u, v)的权值，则更新距离。

3. 重复步骤2，直到没有顶点的距离发生变化。

4. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。

三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种多源最短路径算法，可以求解图中任意两个顶点之间的最短路径。

该算法通过动态规划的方式，逐步更新顶点之间的距离，直到得到最短路径。

Floyd-Warshall算法的步骤如下：1. 初始化顶点之间的距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大。

最短路径问题算法

最短路径问题算法最短路径问题算法概述：在图论中，最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中，从一个顶点出发到另外一个顶点的所有路径中，权值和最小的那条路径。

最短路径问题是图论中的经典问题，在实际应用中有着广泛的应用。

本文将介绍常见的几种最短路径算法及其优缺点。

Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题，即给定一个起点s，求出从s到其他所有顶点的最短路径。

Dijkstra算法采用了广度优先搜索策略，并使用了优先队列来维护当前已知的距离最小的节点。

实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。

2. 将起始节点加入优先队列，并设置其距离为0。

3. 重复以下步骤直至队列为空：a. 取出当前距离起始节点距离最小的节点u。

b. 遍历u的所有邻居v：i. 如果v未被访问过，则将其标记为已访问，并计算v到起始节点的距离，更新v的距离。

ii. 如果v已被访问过，则比较v到起始节点的距离和当前已知的最短距离，如果更小则更新v的距离。

c. 将所有邻居节点加入优先队列中。

优缺点：Dijkstra算法能够求解任意两点之间的最短路径，并且保证在有向图中不会出现负权回路。

但是Dijkstra算法只适用于无负权边的图，因为负权边会导致算法失效。

Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。

与Dijkstra算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。

实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。

2. 对于每个节点v，初始化其到起始节点s的距离为正无穷大。

3. 将起始节点s到自身的距离设置为0。

4. 重复以下步骤n-1次（n为顶点数）：a. 遍历所有边(u, v)，如果u到起始节点s的距离加上(u, v)边权小于v到起始节点s的距离，则更新v的距离为u到起始节点s的距离加上(u, v)边权。

【转】彻底弄懂最短路径问题（图论）

【转】彻底弄懂最短路径问题（图论）P.S.根据个⼈需要，我删改了不少问题引⼊问题：从某顶点出发，沿图的边到达另⼀顶点所经过的路径中，各边上权值之和最⼩的⼀条路径——最短路径。

解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有著名的启发式搜索算法A*，不过A*准备单独出⼀篇，其中Floyd算法可以求解任意两点间的最短路径的长度。

笔者认为任意⼀个最短路算法都是基于这样⼀个事实：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若⼲个节点到B。

⼀.Dijkstra算法该算法在《数据结构》课本⾥是以贪⼼的形式讲解的，不过在《运筹学》教材⾥被编排在动态规划章节，建议读者两篇都看看。

(1) 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度递增次序产⽣最短路径。

先把V分成两组：S：已求出最短路径的顶点的集合V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合将T中顶点按最短路径递增的次序加⼊到S中，依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证）。

(2) 求最短路径步骤1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值，若存在<V0,Vi>，为<V0,Vi>弧上的权值（和SPFA初始化⽅式不同），若不存在<V0,Vi>，为Inf。

2. 从T中选取⼀个其距离值为最⼩的顶点W(贪⼼体现在此处)，加⼊S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作⽤⾄关重要)，对T中顶点的距离值进⾏修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值⽐不加W的路径要短，则修改此距离值（上⾯两个并列for循环，使⽤最⼩点更新）。

3. 重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为⽌（说明最外层是除起点外的遍历）。

无向图最短路径算法设计

无向图最短路径算法设计在图论中，最短路径算法是解决图中两个顶点之间最短路径问题的关键算法。

无向图是一种由顶点和边组成的数据结构，其中边没有方向。

本文将介绍几种常用的无向图最短路径算法的设计与实现。

一、Dijkstra算法Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的一种贪心算法。

它通过逐步确定起点到各个顶点的最短距离，从起点开始，每次选择最短距离的顶点，并更新与该顶点相邻的顶点的最短距离。

直到所有顶点都被访问过，得到起点到各个顶点的最短路径。

该算法的步骤如下：1. 初始化起点到各个顶点的距离为无穷大，起点到自身的距离为0。

2. 选择起点作为当前顶点，标记该顶点已被访问。

3. 更新当前顶点的邻居顶点的最短距离，如果经过当前顶点到达邻居顶点的距离小于邻居顶点当前已有的最短距离，则更新邻居顶点的最短距离。

4. 从未被访问的顶点中选择距离起点最近的顶点作为新的当前顶点，并标记该顶点已被访问。

5. 重复步骤3和步骤4，直到所有顶点都被访问过。

二、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是解决任意两点最短路径问题的一种动态规划算法。

它通过逐步更新所有顶点之间的最短路径长度，得到任意两点之间的最短路径。

该算法的步骤如下：1. 初始化距离矩阵，其中顶点之间的距离已知的用实际距离表示，未知的用无穷大表示。

2. 逐步更新距离矩阵，对于每个顶点k，判断通过顶点k是否可以使得顶点i到顶点j的距离变小，如果可以，则更新距离矩阵中的对应值。

3. 重复步骤2，直到所有顶点之间的最短路径长度都得到更新。

三、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是解决单源最短路径问题的一种动态规划算法。

它通过逐步更新起点到各个顶点的最短距离，得到起点到其他顶点的最短路径。

该算法的步骤如下：1. 初始化起点到各个顶点的距离为无穷大，起点到自身的距离为0。

2. 逐步更新起点到各个顶点的最短距离，对于每条边(u, v)，如果通过边(u, v)的距离小于起点到顶点v的当前最短距离，则更新起点到顶点v的最短距离。

无权图的最短路径算法

无权图的最短路径算法无权图是指图中的每条边都没有权值，也就是说从一个节点到另一个节点的距离都是相等的。

在无权图中找到最短路径是一个常见的问题，它在许多实际应用中都有重要的作用，比如路线规划、网络通信等。

为了解决无权图的最短路径问题，人们发展了许多算法，下面将介绍两种常用的算法：广度优先搜索（BFS）和Dijkstra算法。

一、广度优先搜索算法（BFS）广度优先搜索算法是一种重要的图遍历算法，它从给定的起始顶点出发，逐层遍历图中的节点，直到找到目标节点或者遍历完所有节点。

具体步骤如下：1.将起始顶点标记为已访问，并将其入队。

2.重复以下步骤直到队列为空：a)将队首元素出队，并记录为当前顶点。

b)遍历当前顶点的所有邻接顶点：-若邻接顶点未被访问，则将其标记为已访问，并将其入队。

3.如果找到目标顶点，则停止遍历，否则继续遍历直到所有节点都被访问。

BFS算法可以保证在无权图中找到的第一个路径就是最短路径，因此它非常适用于解决无权图的最短路径问题。

二、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种经典的最短路径算法，它可以在有向图或无向图中找到从一个起点到其他所有顶点的最短路径。

具体步骤如下：1.初始化距离数组dist[]，将起始顶点的距离设为0，其余顶点的距离设为无穷大。

2.重复以下步骤直到所有顶点都被访问：a)从未访问的顶点中选择距离起始顶点最近的顶点，并将其标记为已访问。

b)更新起始顶点到所有邻接顶点的距离：-若经过当前顶点到达邻接顶点的距离比已记录的距离更短，则更新距离。

3.遍历完所有顶点后，dist[]数组中存储的就是起始顶点到其他所有顶点的最短距离。

需要注意的是，Dijkstra算法要求图中的边权值都为非负数。

当图中存在负权边时，可以使用其他算法如Bellman-Ford算法进行求解。

结语无权图的最短路径算法是解决许多实际问题的基础，通过广度优先搜索算法和Dijkstra算法，我们可以高效地找到最短路径。

离散数学最短路径dijkstra算法

离散数学是数学的一个分支，研究离散对象和不连续对象的数量关系及其结构的数学学科。

离散数学对于计算机科学和信息技术领域有着重要的应用，其中最短路径dijkstra算法是离散数学中的一个重要算法，它被广泛应用于计算机网络、交通规划、电路设计等领域，在实际应用中发挥着重要的作用。

一、最短路径dijkstra算法的基本原理最短路径dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·达斯提出的，用于解决带权图中的单源最短路径问题。

该算法的基本原理是：从一个源点出发，按照权值递增的顺序依次求出到达其它各个顶点的最短路径。

具体来说，最短路径dijkstra算法的实现步骤如下：1. 初始化：将源点到图中各个顶点的最短路径估计值初始化为无穷大，将源点到自身的最短路径估计值初始化为0；2. 确定最短路径：从源点开始，选择一个离源点距离最近的未加入集合S中的顶点，并确定从源点到该顶点的最短路径；3. 更新距离：对于未加入集合S中的顶点，根据新加入集合S中的顶点对其进行松弛操作，更新源点到其它顶点的最短路径的估计值；4. 重复操作：重复步骤2和步骤3，直到集合S中包含了图中的所有顶点为止。

二、最短路径dijkstra算法的实现最短路径dijkstra算法的实现可以采用多种数据结构和算法，比较常见的包括邻接矩阵和邻接表两种表示方法。

在使用邻接矩阵表示图的情况下，最短路径dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n表示图中顶点的个数；而在使用邻接表表示图的情况下，最短路径dijkstra 算法的时间复杂度为O(nlogn)。

三、最短路径dijkstra算法的应用最短路径dijkstra算法可以应用于计算机网络中路由选择的最短路径计算、交通规划中的最短路径选择、电路设计中的信号传输最短路径计算等领域。

在实际应用中，最短路径dijkstra算法通过寻找起始点到各个顶点的最短路径，为网络通信、交通规划、电路设计等问题提供有效的解决方案。

最短路径dijkstra算法例题

最短路径dijkstra算法例题最短路径问题是图论中的一个重要问题，它的解决方法有很多种，其中最著名的算法之一就是Dijkstra算法。

本文将介绍Dijkstra算法的基本思想和实现过程，并通过一个例题来展示其具体应用。

一、Dijkstra算法的基本思想Dijkstra算法是一种贪心算法，它以起点为中心向外扩展，每次选择当前距离起点最短的点作为下一个扩展点，并更新其周围节点到起点的距离。

这个过程不断重复直至所有节点都被扩展完毕。

具体实现时，可以使用一个数组dist来存储每个节点到起点的距离，初始时所有节点到起点的距离都设为无穷大（表示不可达），起点到自己的距离设为0。

同时还需要使用一个visited数组来记录每个节点是否已经被扩展过。

在每次扩展时，从未被扩展过且与当前扩展节点相邻的节点中选择距离起点最短的节点作为下一个扩展节点，并更新其周围节点到起点的距离。

这个过程可以使用优先队列来实现。

二、Dijkstra算法实现例题下面我们通过一个例题来演示Dijkstra算法的具体实现过程。

例题描述：给定一个有向带权图，求从起点s到终点t的最短路径。

解题思路：根据Dijkstra算法的基本思想，我们可以使用一个优先队列来实现。

具体实现步骤如下：1. 初始化dist数组和visited数组。

2. 将起点s加入优先队列，并将其距离起点的距离设为0。

3. 重复以下步骤直至优先队列为空：（1）取出优先队列中距离起点最近的节点u。

（2）如果该节点已经被扩展过，则跳过此节点，否则将其标记为已扩展。

（3）如果该节点就是终点t，则返回其到起点的距离。

（4）否则，遍历该节点的所有邻居节点v，并更新它们到起点的距离。

如果某个邻居节点v之前未被扩展过，则将其加入优先队列中。

更新dist[v]后，需要将v加入优先队列中以便后续扩展。

4. 如果经过以上步骤仍然没有找到终点t，则表示不存在从起点s到终点t的路径。

代码实现：```#include <iostream>#include <queue>#include <vector>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;const int MAXN = 1005;int n, m, s, t;int dist[MAXN], visited[MAXN];vector<pair<int, int>> graph[MAXN];void dijkstra() {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, s));dist[s] = 0;while (!pq.empty()) {pair<int, int> p = pq.top();pq.pop();int u = p.second;if (visited[u]) {continue;}visited[u] = 1;if (u == t) {return;}for (int i = 0; i < graph[u].size(); i++) {int v = graph[u][i].first;int w = graph[u][i].second;if (!visited[v] && dist[v] > dist[u] + w) {dist[v] = dist[u] + w;pq.push(make_pair(dist[v], v));}}}}int main() {cin >> n >> m >> s >> t;for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;graph[u].push_back(make_pair(v, w));}memset(dist, INF, sizeof(dist));memset(visited, 0, sizeof(visited));dijkstra();if (dist[t] == INF) {cout << "No path from " << s << " to " << t << endl;} else {cout << "Shortest path from " << s << " to " << t << ": " << dist[t] << endl;}}```代码解析：首先定义了一些常量和全局变量，其中n表示节点数，m表示边数，s 表示起点，t表示终点。

dijkstra算法最短路径

《求解最短路径：应用迪杰斯特拉算法》一、介绍Dijkstra算法的概念和基本原理Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的算法，它由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra在1959年发明，用于求解从源点到其他所有结点的最短路径。

它的基本原理是：在一张图中，从源点到每一个结点的最短路径是从源点开始，经过最少的边到达每一个结点的路径。

Dijkstra算法的实现过程中，首先要建立一个有向图，该图由顶点和边组成，每条边都有一个权值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离。

然后，从源点开始，每次选择最小权值的边，继续查找下一个顶点，直到找到终点。

最后，将所有路径之和求出，即为源点到目标点的最短路径。

举例来说，假如有一张有向图，其中有A，B，C，D四个结点，以及AB，AC，BD，CD四条边，其中AB，AC，BD边的权值分别为2，3，1，CD边的权值为4。

如果要求求出从A到D的最短路径，则可以使用Dijkstra算法，首先从A出发，选择权值最小的边，即BD，则A-B-D的路径长度为3，接着从B出发，选择权值最小的边，即CD，则A-B-D-C的路径长度为7，因此，从A到D的最短路径为A-B-D，路径长度为3。

Dijkstra算法的优点是算法简单，实现方便，时间复杂度低，它可以用于解决路径规划，车辆调度，网络路由等问题，同时，它也可以用于解决复杂的最短路径问题。

因此，Dijkstra算法在计算机科学中有着重要的应用价值。

二、讨论Dijkstra算法的应用及其优势Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的算法，它的应用和优势非常广泛。

首先，Dijkstra算法可以用于解决交通路网中的最短路径问题。

例如，在一个城市的交通路网中，如果一个乘客要从一个地方到另一个地方，那么他可以使用Dijkstra算法来查找最短的路径。

这样可以节省乘客的时间和金钱，也可以减少拥堵。

此外，Dijkstra算法还可以用于解决计算机网络中的最短路径问题。

迪杰斯特拉算法最短路径

迪杰斯特拉算法最短路径迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）是一种用于计算图中最短路径的算法。

它是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪杰斯特拉（Edsger Wybe Dijkstra）于1956年提出的，并且被广泛应用于网络路由和地图导航等领域。

迪杰斯特拉算法可以解决的问题是，给定一个带有非负权重的有向图和一个起始节点，找出从起始节点到其他所有节点的最短路径。

该算法采用了贪心的策略，即每次选择当前离起始节点最近的节点进行扩展，直到扩展到目标节点为止。

算法的具体步骤如下：1.初始化：将起始节点的距离设置为0，其他节点的距离设置为无穷大。

2.创建一个优先队列（通常是最小堆），用于存储待扩展的节点。

将起始节点加入队列。

3.循环以下步骤直到队列为空：-从队列中取出距离起始节点最近的节点，记为当前节点。

-如果当前节点已被访问过，则跳过该节点。

-更新与当前节点相邻节点的距离。

如果经过当前节点到达某个相邻节点的路径比之前计算的路径短，则更新这个节点的距离。

-将未访问过的相邻节点加入队列。

4.循环结束后，所有节点的最短路径已被计算出。

迪杰斯特拉算法的核心思想是不断扩展距离起始节点最近的节点，通过更新节点的距离，逐步获取最短路径。

算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中的节点数量。

这是因为每次循环需要查找距离起始节点最近的节点，而在最坏情况下，这个操作需要遍历所有节点。

以下是一个简单的例子来说明迪杰斯特拉算法的使用：假设有一个有向图，如下所示：```A ->B (1)A -> C (4)B ->C (2)B -> D (5)C ->D (1)C -> E (3)D ->E (4)```起始节点为A，我们希望找到到达其他节点的最短路径。

首先，初始化距离：A到A的距离为0，A到B/C/D/E的距离均为无穷大。

然后，将A加入优先队列。

从队列中取出A，更新A的邻居节点的距离。

最短路径计算过程

最短路径计算过程
最短路径计算是图论中的一个经典问题，主要目的是寻找图中两点之间的最短路径。

常用的算法有迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）、贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford algorithm）和动态规划算法等。

以迪杰斯特拉算法为例，其计算最短路径的过程大致如下：
1. 初始化：选择一个起点，并设其余所有顶点的最短路径估计值为无穷大，只有起点到起点的最短路径估计值为0。

2. 访问顺序：按照估计值递增的顺序访问顶点，即每次从未访问顶点中选择估计值最小的顶点进行访问。

3. 更新最短路径：对于每个访问的顶点，考虑通过该顶点到达其他顶点的路径，如果这条路径的长度小于当前记录的最短路径估计值，则更新该顶点的最短路径估计值和前驱顶点。

4. 重复步骤2和3，直到到达终点或者所有顶点都被访问过。

5. 路径重构：通过保存的最短路径前驱顶点，从终点反向追踪至起点，得到最短路径。

这个过程中需要注意算法对图中边的权重和是否有负权边的支持。

迪杰斯特拉算法仅适用于有权图中没有负权边的场景，而贝尔曼-福特算法则可以处理包含负权边的图，但其时间复杂度相对较高。

动态规划算法则适用于更为一般的情况，尤其是当最短路径问题可以通过分解为子问题来解决时。

Dijkstra算法详解

Dijkstra算法详解Dijkstra算法是一种用于求解最短路径问题的经典算法，广泛应用在图论和网络路由等领域。

本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、步骤以及应用。

一、介绍Dijkstra算法，由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出，是一种用于求解带权有向图中单源最短路径问题的贪心算法。

该算法可以找到从给定源节点到图中所有其他节点的最短路径。

二、原理Dijkstra算法采用了贪心策略，通过逐步选择未访问节点中距离最短的节点，逐步确定最短路径的节点集合。

具体步骤如下：1. 创建一个数组dist[]，将所有节点的初始距离设置为无穷大，起始节点的距离设置为0。

2. 创建一个集合visited[]，用于记录已经确定最短路径的节点。

3. 选择距离最小的节点u，并将其标记为visited。

4. 遍历u的所有邻居节点v，更新节点v的最短距离dist[v]，如果dist[v]更新，则更新v的前驱节点为u。

5. 重复步骤3和4，直到所有节点都被访问过或没有可访问节点为止。

6. 最终得到的dist[]数组记录了起始节点到图中所有其他节点的最短距离，通过回溯前驱节点可以得到最短路径。

三、步骤解析我们通过一个简单的例子来解析Dijkstra算法的步骤。

假设我们有以下带权有向图：![Graph](images/graph.png)1. 初始化dist[]数组，所有节点的距离设置为无穷大，起始节点A 的距离设置为0。

dist[A] = 0, dist[B] = ∞, dist[C] = ∞, dist[D] = ∞, dist[E] = ∞, dist[F] = ∞。

2. 选择距离最小的节点，即起始节点A，将其标记为visited。

visited[] = [A]3. 更新节点A的邻居节点的最短距离。

节点B和节点C是节点A 的邻居节点，更新它们的最短距离。

dist[B] = 1, dist[C] = 44. 选择距离最小的节点，即节点B，将其加入visited集合。

第8章图第8讲-最短路径和Dijkstra算法PPT课件

第2组为其余未求出最短路径的顶点集合（用U表示）。
S
每一步求出v到U中一个 U=V-S
顶点u的最短路径，并将u
移动到S中。直到U为空。
u
v
3/21
狄克斯特拉算法的过程
（1）初始化：，S只包含源点即S={v}，v的最短路径为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点i距离为边上的权值（若v与i有边<v， i>）或∞（若i不是v的出边邻接点）。
path[5]={0,2,3,5}。
？
所有n-1条最短路径可以用二维数组path[][]存储。
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改进的方法是采用一维数组path来保存：
若从源点v j的最短路径如下：
v
…
a
…
v j最短路径中j的前一个顶点
u
j
则
v
…
a
…
？ u 一定是从源点v u的最短路径
反证法证明：
b
是v u的最短路径
v
k
j
考虑中间其他所有顶点k，通过比较得到v j的最短路径
8/21
算法设计（解决2个问题）
如何存放最短路径长度：
用一维数组dist[j]存储！源点v默认， dist[j]表示源点顶点j的最短路径长度。如 dist[2]=12表示源点顶点2的最短路径长度为12。
如何存放最短路径：
从源点到其他顶点的最短路径有n-1条，一条最短路径用一个一维数组表示，如从顶点0 5的最短路径为0、2、3、5，表示为
v
…
a
…
u
j
而通过b的路径更短，则v → … a → … u → j不是最短路径
与假设矛盾，问题得到证明。
10

最短路径问题(Dijkstra算法)和最小生成树(Kruskal算法和Prim算法)

ift(j)==tmax
t(j)=tmin;
end
end
end
ifk==n
break;
end
end
T;
c;
Prim算法程序：
function[T c] =Primf(a)
%a表示权值矩阵
%c表示生成树的权和
%T表示生成树的边集合
l=length(a);
a(a==0)=inf;
k=1:l;
listV(k)=0;
上机实验1、2
1.最短路径问题（Dijkstra算法）
2.最小生成树（Kruskal算法和Prim算法）
一、最短路径问题（Dijkstra算法）
实验问题描述：如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地。
listV(1)=1;
e=1;
while(e<l)
min=inf;
fori=1:l
iflistV(i)==1
forj=1:l
iflistV(j)==0&min>a(i,j)
min=a(i,j);b=a(i,j);
s=i;d=j;
end
end
end
end
listV(d)=1;
distance(e)=b;
T =
3 4 1 2
4 5 3 5
c =
10
>> a=[0 5 3 7 inf;5 0 8 inf 4;3 8 0 1 6;7 inf 1 0 2;inf 4 6 2 0];
>> [T c] =Primf(a)

最短路径问题和解法

最短路径问题和解法最短路径问题是计算一个图中从一个源点到目标点的最短路径问题，是图论中的重要问题之一。

该问题的解法可以划分为两种：单源最短路径问题和全源最短路径问题。

一、单源最短路径问题单源最短路径问题是指从一个源点出发，计算该源点到其他所有点的最短路径的问题。

解法有两种：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。

1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，每次将到源点距离最短的点加入已求出最短路径的点集。

虽然Dijkstra算法只适用于边权值均为正的带权有向图或者无向图，但是它的时间复杂度相比Bellman-Ford算法更优秀，为O(n^2)。

2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种较为通用的算法，不需要图的属性满足任何特殊要求，但是时间复杂度为O(n^3)，不适用于大规模的图。

算法原理是进行n次松弛操作，查找从源点到其他点的最短路径，其中进行松弛的过程是比较消耗时间的。

二、全源最短路径问题全源最短路径问题是指求解所有点之间的最短路径问题。

解法有两种：Floyd算法和Johnson算法。

3. Floyd算法Floyd算法是一种动态规划算法，算法将所有点对之间的最短路径逐步推进，通过枚举中间点，得到更加精细的状态转移方程和最短路径。

时间复杂度为O(n^3)，因此带来的计算负担较大。

4. Johnson算法Johnson算法目前是解决稠密图最短路径问题的最好算法之一。

Johnson算法先通过引入虚拟点，将原图转化为一个没有负权边的新图，再对新图使用Dijkstra算法进行求解。

该算法的时间复杂度为O(mnlogn)，其中m为边的条数，n为点的个数。

综上所述，最短路径问题是图论中的重要问题之一。

对于单源最短路径问题，Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是常用的解法；全源最短路径问题，Floyd算法和Johnson算法是较为常用的解法。

迪杰斯特拉算法最短路径求解

迪杰斯特拉算法最短路径求解
摘要：
一、迪杰斯特拉算法简介
二、最短路径求解的问题描述
三、迪杰斯特拉算法的核心思想
四、迪杰斯特拉算法的基本步骤
五、迪杰斯特拉算法的应用领域
六、结论
正文：
迪杰斯特拉算法最短路径求解是一种在图中寻找从源点到其他所有点的最短路径的算法。

该算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。

它主要解决的是有向图中最短路径问题。

最短路径求解的问题描述如下：给定一个无向图G(V, E)，其中V 表示顶点集合，E 表示边集合。

要求从顶点s 到其他所有顶点的最短路径。

迪杰斯特拉算法的核心思想是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

算法采用了贪心的思想，每次都查找与该点距离最近的点。

迪杰斯特拉算法的基本步骤如下：
1.初始化：将源点s 的距离设为0，其余顶点的距离设为无限大（表示还未到达）。

2.迭代：每次找出距离起点最近的未访问的顶点，并标记它已经被访问。

然后更新其他顶点的距离，即如果从起点经过这个被访问的顶点可以更新它们
的距离，则更新它们的距离。

3.重复步骤2，直到所有顶点都被访问过。

迪杰斯特拉算法在计算机科学、运筹学、信息检索等领域具有广泛的应用。

它可以用来求解最短路径问题，如在物流、导航、网络通信等领域。

此外，该算法还可用于求解其他问题，如最小生成树、最大流最小割等。

总之，迪杰斯特拉算法是一种求解最短路径问题的经典算法，具有广泛的应用价值。