最短路问题复习课程

v2 -，-
+
-，-
+（-1））
=4
……… …
依此类推… vs
vs
v1
反向追踪过程： 寻求一点vk，使 dkl1wk tdtl ，本题中vk 即为v1，所以找到弧（v1，vt）；
再寻求一点vi ，使 dil1wi1d4l ，这里， vi即为vs ，所以找到弧（ vs，v1）；
于是得最短路线 vs v1vt
求 min{T(vj )}
v k 满足 T(vk)m vj inS{T(vj)}
令：P(vk)T(vk)
比较v1到所有其它节点的最短距离，找到 节点vk,并将最小的距离记录在P(vk)中。
③如果已经搜索到最后一个节点即
已经求出了v 1 到 v n 的最短距离 P ( v
vk
n)
vn ；
，那么就
否则，令 i k ，从 S 中删去 v k ，转①继续搜索。
反向追踪寻找最短路线，得：
最短路线为 vs v1vt，最短路权为5。
计算过程详示：
d( j1 )w 1j js,1 ,2 ,3 ,t
d(2) s
m i (idni(1)wis)
=min（0+0，4+ -，1+（-1），- + -，- + -）
=0
d(2) 1
=mm iin（(idn0i(1+)4，wi41)+0，1+
d d k min
j
i
k 1
j
wij
j2,3,,N
其中，
d
k
j
表示从起点 v 1 到点 v
j 走k步
的最短距离；
③当迭代到第 l步，有
d d l l1时，收敛；
Hale Waihona Puke jjdl
j
就是从起点
v
1
到各点的最短距离；
④反向追踪求出最短路线。
例5-4：计算下图中从vs到vt的最短路 线和最短路长
v1
-1 4
把k赋给i，从搜索节点集合中去掉vk,重新搜索 vk（将vk作为vi）到其余节点的最短距离。
算法思想示意图
ik
v1
T (v j)
i k T (v j )
vj S
vj S
vk vn
T (v j)
T (v j)
ik vj S
vj S
例5-3 用狄克斯拉算法 求解图5-1所示最短路问题。
v2
6
v5
2
5-2. 最 短 路 问 题
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数为最小的通路。（注意：在有向 图中，通路——开的初等链中所有的弧 应是首尾相连的。）
（2）应用背景——管道铺设、线路安排、 厂区布局、设备更新等。
二、最短路算法：
1． D氏标号法（Dijkstra） （1）求解思路——从始点出发，逐步顺序
2 v1
v3 -5
v2 3
网络中有负权 时，D氏标号 法失效
2. 列表法（Ford算法）
求从点v 1
到任何一点v
（
j
j2,3,,N）
的最短路。
（1）使用条件—没有负回路
（2）步骤：
①
令
d1 j
w1j，j2,3,,N，其中
w
1
j 为起点v 1
到 v j 的弧（v 1 , v j ）的权；
②用下列递推公式进行迭代：
4 4
1
v1
2
5
v4
1
1
4
v7
2
v3
3
v6
图5-1 例5-3网络图
解：先将图5-1的网络用矩阵形式表示出来:
v1 v2 v 3 v4 v 5 v 6 v 7
V10 2 5 V22 0 2 4 6
DV V4 3 5
2 4
0 1
1 0
4
3 1
4
V5
6
4
0
1
V6 3 1 0 2
V7 4 1 2 0
vs
-2
-1 1
v2 3
1
6
vt
2
v3
vs v1
v2
v3
vt
d
(1) j
d
(2) j
d
(3) j
vs 0 4 1 --- --- 0 0 0
v1 --- 0 -2 6 1 4 4 4
v2 -1 --- 0 3 --- 1 1 1
v3 --- --- --- 0 2 --- 4 4
vt --- -1 --- --- 0 --- 5 5
则
d
(0) ij
是指vi到vj的一步距离；
当
d
( ij
m
1
)已知时,令
di(m j)m k1~n{d ii(n m k1)dk(m j1)}
则当m=1时，d
(1 ij
是) vi到vj走两步的最小距离；
当m=2时，d
( ij
2
) 是vi
到vj走四步的最小距离；
一般，d
(m ij
)是vi
到vj
走2m步的最小距离；
8+1 8
如果选择v7, 则k=7=n,迭代结束。
T (v j)
8
{8}
反向追踪，得到最优路线： v1 v2 v3 v4 v6 v7
v5
讨论：若先把v7的标号改为永久性标号， 会怎样？
（5） D氏标号法（Dijkstra）的 优缺点（获得的附加信息）：
v 能得到从 1 （起点）到各点的最短
路线和最短路长。
地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最 短的(两层最小化的含义)。 （2）使用条件——网络中所有的弧权均
非负，即 wij 0 。
（3）选用符号的意义：
①标号 P（固定标号或永久性标号）
——从始点到该标号点的最短路权。
②标号 T（临时性标号）
——从始点到该标号点的最短路权上界。
②在v1到所有其他节点的最短距离中选择最小的距 离，找到节点 vk，使下式满足：
vj
v1
初始值 T ( v j ) {0}
第一次 迭代
P(v1) l1 j
T (v j)
第二次 迭代
P(v2) l2 j
T (v j)
第三次 迭代
P(v3) l3 j
T (v j)
第四次 迭代
P(v4) l4 j
T (v j)
第五次 迭代
P(v6) l6 j
v2
v3
v4
v5
v6
v7
∞ ∞ ∞ ∞ ∞∞
0+2 0+5 ∞ ∞ ∞ ∞
{2} 5 ∞ ∞ ∞ ∞
2+2 2+4 2+6 ∞ ∞
{4} 6 8 ∞ ∞
4+1 4+∞ 4+3 ∞
{5} 8 7 ∞
5+4 5+1 5+4
8 {6} 9
6+∞
6+2
vj
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
T (v j)
{8}
8
第6次 迭代
P(v5) l5 j T (v j)
当对所有I,j有:
d(m) ij
di(jm1)
时,则
d
( ij
m
)
是vi到vj的最短距离。
由于最短路线上最多有n-1条边，因此，当
2m
②优点：可以在有负权的情况下，寻求从
起点到各个点的最短路线和最短路长。
3. 海斯算法
（1）算法思想：
利 用 vi 到 vj 的 一 步 距 离 求 出 vi 到 vj 的两步距离,再由两步距离求出四步 距离,经有限步迭代即可求得vi到vj的 最短路线和最短距离。
（2）算法步骤：
令 di(0 j)lij i1 ,2 , ,n