专题05 一元函数的导数及其应用(知识梳理)(教师版)

专题05 一元函数的导数及其应用（知识梳理）一、基本概念1、导数定义：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0x f '或0|x x y ='，即xx f x x f x fx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(limlim)(00000. 附注：①导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率；②定义的变化形式：xx x f x f x y x f x x ∆∆--=∆∆='→∆→∆)()(limlim )(0000； 000)()(limlim)(0x x x f x f x y x f x x x --=∆∆='→→∆；xx f x x f x f x ∆--∆-='→∆-)()(lim )(000； 0x x x -=∆，当0→∆x 时，0x x →，∴00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→.③求函数)(x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”. 2、基本初等函数的八个必记导数公式3(1))()(])()([x g x f x g x f '±'='±；(2))()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '⋅+⋅'='⋅； (3)[]2)()()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f '-'='(0)(≠x g ). 特别提示：)(])([x f C x f C '⋅='⋅，即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数.4、复合函数的导数(1)复合函数定义：一般地对于两个函数)(x f y =和)(x g u =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，就称这个函数为)(x f y =和)(x g u =的复合函数，记作)]([x g f y =.(2)复合函数求导法则：复合函数)]([x g f y =的导数和函数)(x f y =、)(x g u =的导数的关系为x u x u y y '⋅'='，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.例1-1．求函数23x y =在1=x 处的导数.分析：先求2)(6)1()1(x x f x f y f ∆+∆=-∆+=∆=∆，再求x xf ∆+=∆∆6，再求6lim 0=∆∆→∆x fx .【解析】6)1(3lim 1)1(3lim 1133lim |12212211=+=--=-⋅-='→→→=x x x x x y x x x x .例1-2．求导：①c x f =)(；②x x f =)(；③2)(x x f =；④xx f 1)(=；⑤x x f =)(. 【解析】①0)()(=∆-=∆-∆+=∆∆x c c x x f x x f x y ，00lim lim )(00==∆∆='→∆→∆x x x y x f ；②1=∆-∆+=∆∆xx x x x y ，11lim lim )(00==∆∆='→∆→∆x x x yx f ；③x x x x x x x y ∆+=∆-∆+=∆∆2)(22，x x x x yx f x x 2)2(lim lim )(00=∆+=∆∆='→∆→∆；④x x x x x x x x y ∆⋅+-=∆-∆+=∆∆2111，22001)1(lim lim )(xx x x x y x f x x -=∆⋅+-=∆∆='→∆→∆；⑤x x x xxx x x y+∆+=∆-∆+=∆∆1，xx x x x y x f x x 211lim lim )(00-=+∆+=∆∆='→∆→∆. 变式1-1．若物体的运动方程是t t t s sin )(⋅=，则物体在2=t 时的瞬时速度为( ).A 、2sin 22cos +B 、2cos 2sin 2-C 、2cos 22sin +D 、2sin cos 2-θ 【答案】C【解析】∵t t t t t t t t s cos sin )(sin sin )(⋅+='⋅+⋅'='，∴θ+='cos 22sin )2(s ，故选C. 变式1-2．如果函数51)(2++=xx x f ，则=')1(f ( ). A 、0 B 、1 C 、5 D 、不存在 【答案】B【解析】212)(xx x f -='，1)1(='f ，故选B. 例1-3．函数xxy cos =的导数是 . 【答案】2cos sin xxx x -⋅- 【解析】22cos sin cos )(cos )cos (x xx x x x x x x x x y -⋅-='⋅-'='='. 变式1-3．函数121)(3++=x x x f 的导数是 .【答案】232)12(23++--x x x【解析】232233)12(23)12()12()(++--=++'++-='x x x x x x x x f .变式1-4．设xx x f sin 1)(2-=，则=')(x f ( ).A 、x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B 、x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+-C 、xx x x sin )1(sin 22-+-D 、xx x x sin )1(sin 22---【答案】A【解析】xxx x x x x x x x x f 22222sin cos )1(sin 2sin ))(sin 1(sin )1()(---='--'-='，故选A. 变式1-5．函数x e x x f ⋅+=)12()(的导函数为)(x f '，则=')0(f ( ).A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】D【解析】x x x e x e x e x f ⋅+=⋅++=')32()12(2)(，则得3)0(='f ，故选D. 例1-4．函数)()(b x a x y -⋅-=在a x =处的导数为 .【答案】b a -【解析】∵ab x b a x y ++-=)(2；∴)(2b a x y +-='，b a b a a y a x -=--='=2|. 变式1-6．曲线2)1(ax x y -⋅=(0>a )，且5|2='=x y ，则实数a 的值为( ).A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】B【解析】)22()1()21()1(])1[()1(2222222x a a x ax x a ax x ax ax x ax y +-⋅+-='+-⋅+-='-⋅+-='，5|2='=x y ，即01232=--a a ，∵0>a ，∴1=a ，故选B.变式1-7．求导：(1)x y tan =； (2))3()2()1(+⋅+⋅+=x x x y .【解析】(1)xx x x x x x x x x x x y 22222cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan =+='⋅-⋅'='='='；(2)∵6116)3()2()1(23+++=+⋅+⋅+=x x x x x x y ，∴111232++='x x y .能力提升：已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=)1)(1(21)1)(1(21)(2x x x x x f ，判断)(x f 在1=x 处是否可导？分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导.【解析】1)11(21]1)1[(21lim lim 200=∆+-+∆+=∆∆--→∆→∆x x x y x x ，21)11(21)11(21lim lim 200=∆+-+∆+=∆∆++→∆→∆x x x y x x ， ∴)(x f 在1=x 处不可导.注意：+→∆0x ，指x ∆逐渐减小趋近于0；-→∆0x ，指x ∆逐渐增大趋近于0. 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000，0→∆x ，包括+→∆0x 与-→∆0x ，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.讲解：函数在定义域内的导数可能没有意义，但是函数有意义：例如x x f =)(，则xx f 21)(='，0=x 在函数有意义，在导函数无意义.导数是切线的斜率，如果原函数某点的切线垂直与x 轴，则导数无意义，但是原函数值是存在的. 例1-5．函数23)2()(x x f +=的导数为 .【答案】25126)(x x x f +='【解析】44)(36++=x x x f ，则25126)(x x x f +='. 变式1-8．已知2)2cos 1(x y +=，则='y .【答案】)2cos 1(2sin 4x x +- 【解析】设2u y =，x u 2cos 1+=，则)2cos 1(2sin 42)2sin (2)2()2sin (2)2cos 1(2x x x u x x u x u u y y y x u x +-=⋅-='⋅-='+='⋅'='='.能力提升：求导：(1) cos )1(12xx xy +-=；(2)32)sin (x b ax y ω-=；(3))1(2+=x f y . 【解析】(1)xx x x x x x x y 22222cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(+'+--+'-='xx x x x x x x x 222222cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(+'++'+--+-=x x x x x x x x x 22222cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(++---+-=xx xx x x x x 22222cos )1(sin )1)(1(cos )12(++-+--=； (2)3u y =，x b ax u ω-=2sin ，x m ω=sin ，x n ω=，u u u y ⋅='='233)(，m bm a bm a x b a x b ax u '⋅-='-='ω-='ω-='2)()sin ()sin (222，x n n n m ω⋅ω=ω⋅='⋅'='cos cos )(sin ，x b a x x b a u ωω-=ω⋅ω⋅ω-='2sin cos sin 2， )2sin ()sin (3)(223x b a x b ax u y ωω-⋅ω-='='；(3)解法一：设)(μ=f y ，v =μ，12+=νx ，则：x f y y x x 221)(21⋅ν⋅μ'=ν'⋅μ'⋅'='-νμ )1(121121)1(2222+'+=⋅+⋅⋅+'=x f x x x x x f ；解法二：)1()1(21)1()1()1(])1([22122222'+⋅+⋅+'='+⋅+'='+='-x x x f x x f x f y)1(12)1(21)1(222122+'+=⋅+⋅+'=-x f x x x x x f .二、导数的几何意义1、切线的斜率：函数)(x f 在0x 处的导数就是曲线)(x f 在点))((00x f x P ，处的切线的斜率，因此曲线)(x f 在点P 处的切线的斜率)(0x f k '=，相应的切线方程为)()()(000x x x f x f y -⋅'=-. 例2-1．曲线122+-=x y 在点)10(，的切线斜率是( ).A 、4-B 、0C 、2D 、不存在 【答案】B【解析】点在曲线上0|4)0(0=-='==x x f k ，故选B. 变式2-1．曲线221x y =在点)211(，处切线的倾斜角为( ).A 、4π- B 、0 C 、4π D 、45π 【答案】C【解析】点在曲线上1|)1(1=='==x x f k ，故选C.例2-2．曲线)1ln 3(+⋅=x x y 在点)11(，处的切线方程为 .【答案】034=--y x【解析】4ln 3+='x y ，故4|1='=x y ，又点)11(，在曲线y 上，∴曲线在点)11(，处的切线方程为)1(41-=-x y ，化为一般式方程为034=--y x .总结：求曲线切线方程关键点：利用导数的几何意义求解曲线上某点处切线斜率或曲线上某点坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点))((00x f x P ，，P 点坐标适合曲线方程；P 点坐标适合切线方程；P 点处切线斜率为)(0x f k '=.变式2-2．已知)(x f 为偶函数，当0≤x 时，x e x f x -=--1)(，则曲线)(x f y =在点)21(，处的切线方程是 .【答案】02=-y x【解析】当0>x 时，0<-x ，则x ex f x +=--1)(，又)(x f 为偶函数，∴x ee xf x f x+=-=)()(，∴当0>x 时，1)(1+='-x e x f ，又点)21(，在曲线y 上， 则曲线)(x f y =在点)21(，处的切线的斜率为2)1(='f ，∴切线方程为)1(22-=-x y ，即02=-y x .例2-3．已知点)11(，-P ，点)42(，Q 是曲线2x y =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线的切线方程.【答案】0144=--y x【解析】x y 2='，设切点为)(00y x M ，，则02|0x y x x ='=，∵PQ 的斜率11214=+-=k ，又切线平行于PQ ， ∴120==x k ，即210=x ，切点)4121(，M ，所求直线方程为0144=--y x . 变式2-3．由曲线3x y =在点)11(，处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 .【答案】38【解析】∵3|3|121=='==x x x y ，∴切线为23-=x y ，如图，)032(，A ，)42(，B ，∴384)322(21=⨯-⨯=S . 例2-4．函数1)(23+--=x x x x f 的图像上有两点)10(，A 和)01(，B ，在区间)10(，内求实数a ，使得函数)(x f 的图像在a x =处的切线平行于直线AB .【解析】123)(2--='x x x f ，1123)(2-=--='=a a a f k AB (10<<a )，解得32=a . 变式2-4．已知直线1+-=x y 是函数x e ax f ⋅-=1)(图像的切线，则实数=a .【解析】设切点为)(00y x ，，则11)(00-=⋅-='x e ax f ，∴a e x =0，又1100+-=⋅-x e ax ，∴20=x ，∴2e a =. 变式2-5．若曲线b ax x y ++=2在点)1(b ，处的切线方程是01=+-y x ，则( ).A 、1-=a ，2-=bB 、1-=a ，2=bC 、1=a ，2-=bD 、1=a ，2=b 【答案】B【解析】∵a x y +='2，∴曲线在点)1(b ，处的切线斜率a k +=2，∴12=+a ，∴1-=a ，∴曲线b x x y +-=2，∴011=+-b ，∴2=b ，故选B.三、导数与函数的联系1、函数的单调性：在某个区间)(b a ，内，如果0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增.在某个区间)(b a ，内，如果0)(<'x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减.2、函数的极值：设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近所有的点x ，都有)()(0x f x f <，那么)(0x f 是函数的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；如果对0x 附近的所有的点都有)()(0x f x f >，那么)(0x f 是函数的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称为极值.3、函数的最值：将函数)(x f y =在][b a ，内的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注意：(1)判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立.(2)混淆在点P 处的切线和过点P 的切线：前者点P 为切点，后者点P 不一定为切点，求解时应先设出切点坐标.(3)关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域. 例3-1．若函数x ax x x f 1)(2++=在)21(∞+，上是增函数，则a 的取值范围是( ). A 、]01[，- B 、)1[∞+-， C 、]30[， D 、)3[∞+， 【答案】D【解析】0)(≥'x f 在)21(∞+，上恒成立，即0122≥-+x a x ，即x xa 212-≥在)21(∞+，上恒成立，∵x x y 212-=在)21(∞+，上为减函数，∴3max <y ，3≥a ，故选D.变式3-1．若函数x ax x x f 1)(2++=在)21(∞+，上存在减区间，求实数a 的取值范围是( ). A 、)3(，-∞ B 、]01[，- C 、]30[， D 、)3[∞+， 【答案】A【解析】212)(xa x x f -+='，∵函数在)21(∞+，上存在减区间， ∴0)(<'x f 在)21(∞+，上有解，即x xa 212-<在)21(∞+，上有解，设x x x g 21)(2-=，22)(3--='x x g ，令022)(3=--='x x g ，得1-=x ，当)21(∞+∈，x 时，0)(<'x g ，又314)21(=-=g ，∴3<a ，故选A.总结：利用导数研究函数单调性的三个应用(1)利用导数判断函数图像：通过求导找出增减区间，结合排除法和特殊值法解题.(2)利用导数解不等式：这类题目很多时候要构造特殊函数，通过观察式子的特点，构造特殊函数，然后求导找其增减区间，进而对不等式求解.(3)求参数的取值范围：已知函数)(x f y =在)(b a ，的单调性，求参数的范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：)(x f y =在)(b a ，上单调，则区间)(b a ，是相应单调区间的子集.②转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则0)(≥'x f ；若函数单调递减，则0)(≤'x f ”.例3-2．函数x x x a x f ln 2)1()(--=(R a ∈)，xa x g -=)(，若至少存在一个]1[0e x ，∈，使得)()(00x g x f >成立，则实数a 的范围为( ).A 、)0[∞+，B 、)0(∞+，C 、)1[∞+，D 、)1(∞+， 【答案】B【解析】由题意知0ln 2>-x ax 在]1[e ，上有解，满足min )ln 2(xxa >即可， 设xxx h ln 2)(=，22)ln 1(2)()(ln 2)ln 2()(x x x x x x x x h -='-'='，∵]1[e x ，∈，∴0)(≥'x h ， ∴)(x h 在]1[e ，上恒为增函数，∴0)1()(=≥h x h ，∴0>a ，故选B.变式3-2．设函数5221)(23+--=x x x x f ，若对于任意]21[，-∈x 都有m x f <)(成立，求实数m 的取值范围. 【解析】23)(2--='x x x f ，令0)(='x f ，得32-=x 或1=x ， 2分 ∵当32-<x 或1>x 时，0)(>'x f ，当132<<-x 时，0)(<'x f ， 4分 ∴)(x f y =在)32(--∞，和)1(∞+，上为增函数，在)132(，-上为减函数， 6分 ∴)(x f 在32-=x 处有极大值，在1=x 处有极小值，极大值为27225)32(=-f ， 8分而7)2(=f ， ∴)(x f 在]21[，-上的最大值为7，对于任意]21[，-∈x 都有m x f <)(成立，得m 的范围7>m . 10分例3-3．若对)0[∞+∈∀，、y x ，不等式2422++≤---+y x y x e e ax 恒成立，则实数a 的最大值是( ).A 、41 B 、21 C 、1 D 、2 【答案】B【解析】∵)1(22)(22222+≥++=++------+x y y x y x y x e e e e e e ，即ax e x 4)1(22≥+-，当0=x 时恒成立，当0>x 时，可得x e a x 212-+≤，令xe x g x 21)(-+=，则221)1()(x x e x g x --='-，可得0)2(='g ，且在)2(∞+，上0)(>'x g ，在)20[，上0)(<'x g ，故)(x g 的最小值为1)2(=g ，于是12≤a ，即21≤a ，故选B. 变式3-3．已知函数x x x f ln )(⋅=. (1)求)(x f 的最小值；(2)若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围.【解析】(1))(x f 的定义域为)0(∞+，，)(x f 的导数1ln )(+='x x f ， 1分令0)(>'x f ，解得e x 1>，令0)(<'x f ，解得ex 10<<， 3分 从而)(x f 在)10(e，单调递减，在)1(∞+，e 单调递增， 5分∴当ex 1=时，)(x f 取极小值也是最小值，则e e f x f 1)1()(min -==； 6分(2)依题意得1)(-≥ax x f 在)1[∞+，上恒成立， 即不等式xx a 1ln +≤对于)1[∞+∈，x 恒成立， 7分 令x x x g 1ln )(+=， 则22111)(xx x x x g -=-='， 8分 当1>x 时，01)(2≥-='x x x g ，故)(x g 是)1[∞+，上的增函数， 10分 ∴)(x g 的最小值是1)1(=g ，∴1≤a 从而a 的取值范围是]1(，-∞. 12分总结：研究极值、最值问题应注意的三个关注点：(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点.(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. (3)含参数时，要讨论参数的大小.例3-4．设函数56)(3+-=x x x f ，R x ∈. (1)求)(x f 的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. (3)已知当)1(∞+∈，x 时，)1()(-≥x k x f 恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】(1))2(3)(2-='x x f =)2(32-x ，令0)(='x f 得21-=x ，22=x ， 2分∴当2-<x 或2>x 时0)(>'x f ，当22<<-x 时0)(<'x f ，∴)(x f 的单调递增区间是)2(--∞，及)2(∞+，，单调递减区间是)22(，-， 5分 当2-=x ，)(x f 有极大值245+，当2=x ，)(x f 有极小值245-； 6分 (2)由(1)的分析可知)(x f y =图像的大致形状及走向，∴当245245+<<-a 时直线a y =与)(x f y =的图像有3个不同交点，即方程a x f =)(有三解； 8分 (3))1()(-≥x k x f 即)1()5)(1(2-≥-+-x k x x x ，∵1>x ，∴52-+≤x x k 在)1(∞+，上恒成立， 10分 令5)(2-+=x x x g ，由二次函数的性质，)(x g 在)1(∞+，上是增函数，∴3)1()(-=>g x g ，∴所求k 的取值范围是3-≤k . 12分变式3-4．已知函数)1ln(2)(2x ax x f -+=(a 为实数). (1)若)(x f 在1-=x 处有极值，求a 的值； (2)若)(x f 在]23[--，上是增函数，求a 的取值范围.【解析】(1))(x f 的定义域为)1(，-∞，又x ax x f --='122)(，012)1(=--=-'a f ，21-=a ； 3分 (2)0)(>'x f 对]23[--∈，x 恒成立， ∴0122>--x ax ，x ax ->122，41)21(1122+--=+-<x x x a ， 5分 ∵]23[--∈，x ，∴41)21(2+--x 的最大值为641)212(2-=+--， 7分∴xx +-21的最小值为61-，又因61-=a 时符合题意，∴61-≤a . 10分 变式3-5．已知函数x x x f ln 21)(2+=. (1)求函数)(x f 在]1[e ，上的最大值、最小值；(2)求证：在区间)1[∞+，上，函数)(x f 的图像在函数332)(x x g =图像的下方. 【解析】(1)由x x x f ln 21)(2+=有xx x f 1)(+='，当]1[e x ，∈时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数， 2分11 ∴121)()(2max +==e e f x f ，21)1()(max ==f x f ； 4分 (2)设3232ln 21)(x x x x F -+=，则x x x x x x x x F )21)(1(21)(22++-=-+='， 6分 当)1[∞+∈，x 时，0)(<'x F ，则)(x F 单调递减，且061)1(<-=F ， 8分 故)1[∞+∈，x 时0)(<x F ，∴3232ln 21x x x <+，得证. 10分。