2函数的极值和最值及其应用

函数的极值和最值及其应用

函数极值的定义

??????是函，则设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有xxxf?ff xx)(xf0000??????????的一，则的一个极大值。如果附近所有的点，都有

是函数数xxfxffxfx?f00个极小值，极大值与极小值统称为极值。

极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。

???.的极值点，则这就是说可导函数在点取极若函数在点处可导，且为

0fx?xxff000????0xf.

值的必要条件是0函数最值的定义

????xffx Xx?不小于其他所有的区间上有定义，如果存在一点，使得在设函数X00??????,xff?xxfxX?，，亦即0????????xfmaxxxff?是在上的最大值，又可记为；则称X00????????,x?f?xffxXfxx同样使得，亦即，不大于其他所有的o0????????xxfxf?fmin .

是在则称上的最小值，又可记为X00??xf在注意上未必一定有最大（小）值。：函数X最值和极值的联系与区别

（1）极值一定是函数在某个区间内的最值；

（2）极值未必是最值；

（3）如果函数的最值在某个区间内取得，那么该点一定是极值点。

函数极值、最值的求解方法

1、降元法

求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。

1

22，求函数的极值。例1：已知x?z?y22y?x?22，代人得解：由题设得xy2?x?y?2 22????282?z??2?x?x??2x

2??22?2?22?x???2?0???x?28??即函数的定义域为：2?2?22,?2?2??

222?x??时，当当时，0z?2?2z2x??minmax、转化法2在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。下面二例的解法作为参考。22. 2的极小值：求函数例25??xx10?x?502??225???255?x?xy解：设i?5z?x5?x?5i,?z令21则：5??5?510izy?z??z?z5y?5?2211min xsin1?例3：求函数的极值?y xcos2?解：原函数化为：x?sinycosx?12y???2???sin?1?yx，其中

ytan?xx?cosy2?1?ysin442解得：??0,y??y0?y y?2?y?1?1maxmin333、换元法换元法是把问题进行转化的一种常用方法。221?x?2y的极值，求：已知. 例

4yx?4?z32y2221??y1,?x?x?2解：12????????22?cosx?,y2sin/0??令2

22????????tan则（其中）sincos?z?3co173???? 17z?17,z??17,?z?1cos??maxmin

2：求函数的极值例51?x?3sinxy?sin分析：本例可通过辅助元把所给函数化为二次函数：

xT?sin2，1??3y?TT??2范围内求最高点和最低点的问在即把上述极值问题转化为抛物线1,1?1y?T??3T题。此处不予以细致解答。 4、判别式法若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式法求函数的极值。22. 满足的最小值例6：已知，求06?y?2x?2yx??2xy?yx,y??xz为主元整理得：解：由得代人约束条件并以xz?y?x yx?z???2206?z??2z4x??4zx

??222?3z0??2z?16z616z?Rx?,???）解得: （1

2234*3?x?

当且仅当1）式取等号。时（2*4223?x?y的对称性知当时， . 由23z?y,x min223??4x6x7?y?y2?或求函数的最大值

2212x?3x? 5、不等式法2209?x?16yx?4y??2的极值。满足7例：已知，求函数yx,y?2?zx22????8?y?42?x1?解：由已知式配方得：）1 （22????????2??21x?4?y??2x1*2y

3

????8??12*2??2yx）2 （2????????解得21得?

1.?7,z?z??16?12?2?yx???1,??7x?2y???maxmin其实，函数极值的解题方法不少,如三角法、参数法,极坐标法、区间法等都有一定的技巧性.解题时应认真分析,审查题目的特征、结构、挖掘隐含条件,抓住特征,发挥联想,运用灵活多变的替代、转化,

有时还需要反其常规,逆向思维,以退为进选择合理的解题方法,逐步提高解题技能,才能做到准确简捷地解题.本文就此不做具体展示。

6、几何法

22????22yx??y4?z??x?4的最小值。，求函数例如：已知075??20y?x9????4,0?4,0,

的到点上求一点解：本题的几何意义是在直线，使得0209x?y?75?QQ距离之和为

最小。如图：

????4,04,0,?P,P，直线坐标为设：点的方程为。由几何光学原理知0?y?759x?20l21

PQ?PQ?MP PP射出后，经镜面当点光源从反射到点。这时l21212就是所求的最小值。

??Z?PQx?P,yQ?MMP P，由关于光线的对称点为，于是设点

l21211min2y20?MPz??1,??2min?120202?9x?4解得?,x??y22?120202????114?yx1593737?10??4???????11??*3737????

?24220?7、导数法

闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值，而极值????f0x的根处的函数值。所以建议求可导函数在闭区间[a，又来源于b]上的最值可分以下4