2函数的极值和最值及其应用

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二次函数的最值与极值总结

二次函数的最值与极值总结二次函数是高中数学中常见的一类函数，具有形如y=ax^2+bx+c的一般式。

在研究二次函数的性质时，最值与极值是非常重要的概念。

本文将对二次函数的最值与极值进行总结和讨论。

一、最值的概念在数学中，最值指的是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

对于二次函数来说，最值的存在与二次项的系数a的正负有关。

1. 当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，函数的最小值存在。

这个最小值即为函数的最小值。

2. 当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，函数的最大值存在。

这个最大值即为函数的最大值。

二、最值的求解方法1. 最值的求解方法一：利用函数的对称性二次函数关于x轴对称，对称轴方程为x = -b/(2a)。

所以，函数的最值点的横坐标一定在对称轴上。

当对称轴上有x值时，带入函数表达式即可求得对应的y值，确定最值点。

2. 最值的求解方法二：利用二次函数的顶点公式二次函数的顶点公式为x = -b/(2a)，y = f(x)。

通过求得的顶点坐标，就可以确定最值点的坐标。

根据二次函数的性质，当a>0时，对应的顶点为最小值点；当a<0时，对应的顶点为最大值点。

三、极值的概念在数学中，极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。

对于二次函数来说，极值的存在与一阶导数的符号有关。

1. 当一阶导数大于0时，函数递增，没有极小值。

2. 当一阶导数小于0时，函数递减，没有极大值。

3. 当一阶导数等于0时，函数可能存在极值或拐点。

此时，需要通过二阶导数或其他方法来进一步判断。

四、极值的求解方法1. 极值的求解方法一：利用导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)。

将一阶导数f'(x)等于0解方程，求得x的值。

然后，将求得的x值代入原函数f(x)中，求得对应的y值，确定极值点。

2. 极值的求解方法二：利用二阶导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。

函数的极值、最值及其应用

题目 (选修Ⅱ)第三章导数函数的极值、最值及应用高考要求1理解可导函数的单调性与其导数的关系；2了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)； 3会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值知识点归纳1极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5 求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值6函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值题型讲解例1 求列函数的极值：（1）22)2()1(--=x x y ；（2）2122-+=x xy 解：（1）2/22)2)(75)(1()(,)2()1()(---=∴--=x x x x f x x x f令0)(/=x f ，得驻点2,7,1321===x x x0)1(=∴f 是函数的极大值；3125)5(-=f 是函数的极小值（2）22222/2)1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(x x x x x x x x f x x x f ++-=+⋅-+=∴-+= 令0)(/=x f ，得驻点121,1x x =-=∴当1-=x 时，f极小=-3；当1=x 时，f极大=-1值例2 设e e x ax x f x()1()(2-⋅-+=为自然对数的底，a 为常数且R x a ∈<,0），)(x f 取极小值时，求x 的值解：)1()1()12()(2-⋅⋅-++⋅+='--x xe x ax e ax x f)2)(1(-+⋅-=-x ax ez令210)(或a x x f -=⇒=' （1）0121<<->-a 即当，由表)(,1x f ax 时-=∴取极小值（2）0)2(21)(,21212≤-⋅⋅-='-==--x e x f a a x 时即当无极值（3）121-<<-a 即当时，由表取极小值时时当综上取极小值时)(,,02,.)(,2x f ax a x f x -=<<--=∴ 取极小值时时当)(,2,21x f x a -=-<例3 求抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点解：设),(y x M 为抛物线221x y =上一点，则=+-=22)6(||y x MA 4241)6(x x +- ||MA 与2||MA 同时取到极值令42241)6(||)(x x MA x f +-== 由0)62)(2()(2/=++-=x x x x f 得2=x 是唯一的驻点当-∞→x 或+∞→x 时，2,)(,||=∴+∞→∴+∞→x x f MA 是)(x f 的最小值点，此时2221,22=⨯==y x 即抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点是（2，2）例4 设x ＞－2，n ∈N *，比较（1+x ）n 与1+nx 的大小分析：从条件最易想到归纳——猜想——证明，但证明由n =k 到n =k +1时，（1+x ）k +1=（1+x ）k ·（1+x ）过渡到（1+x ）k 时不等方向不确定，故需按1+x 的符号讨论证明但本题若用导数解就比较简单了解：设f （x ）=（1+x ）n －1－nx ，当n =1时，f （x ）=0，∴（1+x ）n =1+nx 当n ≥2，n ∈N *时，f ′（x ）=n （1+x ） n －1－n =n ［（1+x ）n －1－1］，令f ′（x ）=0，得x =0当－2＜x ＜0时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（－2，0］上为减函数; 当x ＞0时，f （x ）＞0∴f （x ）在［0，+∞）上为增函数 ∴当x ＞－2时，f （x ）≥f （0）=0 ∴（1+x ）n ≥1+nx综上，得（1+x ）n ≥1+nx点评：构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法附：数学归纳法的证明过程：归纳——猜想——证明法解当n =1时，（1+x ）1=1+x 当n =2时，（1+x ）2=1+2x +x 2≥1+2x 当n =3时，（1+x ）3=1+3x +3x 2+x 3=1+3x +x 2（3+x ）≥1+3x 猜想：（1+x ）n ≥1+nx 证明：当x ≥－1时，（1）当n =1时，（1+x ）n ≥1+nx 成立（2）假设n =k 时，（1+x ）k ≥1+kx 成立，那么（1+x ）k +1=（1+x ）k ·（1+x ）≥（1+x ）·（1+kx ）=1+（k +1）x +kx 2≥1+（k +1）x∴当n =k +1时，（1+x ）n ≥1+nx 成立由（1）（2）可知，当x ≥－1时，对n ∈N *，（1+x ）n ≥1+nx 当－2＜x ＜－1时，当n =1时，（1+x ）n =1+x ；当n ≥2时，|1+x |＜1 ∴|1+x |n ＜1而1+nx ＜1－n ≤－1， ∴（1+x ）n ＞1+nx综上，得（1+x ）n ≥1+nx 正确例5 设函数f （x ）=12+x －ax ，其中a ＞0，求a 的范围，使函数f （x ）在区间［0，+∞）上是单调函数分析：要使f （x ）在［0，+∞）上是单调函数，只需f ′（x ）在［0，+∞）上恒正或恒负即可解：f ′（x ）=21xx +－a当x ＞0时，01<<因为a ＞0，所以当且仅当a ≥1时，f ′（x ）= 21xx +－a 在［0，+∞）上恒小于0，此时f （x ）是单调递减函数点评：要使f （x ）在（a ，b ）上单调，只需f ′（x ）在（a ，b ）上恒正或恒负，即f ′（x ）＞0（或＜0）⇒单调递增（或减）例6 已知函数f （x ）=ax 3+bx 2－3x 在x =±1处取得极值（1）讨论f （1）和f （－1）是函数f （x ）的极大值还是极小值；（2）过点A （0，16）作曲线y =f （x ）的切线，求此切线方程解：（1）f ′（x ）=3ax 2+2bx －3，依题意，f ′(1)=f ′(－1)=0，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a解得a =1，b =0∴f （x ）=x 3－3x ，f ′（x ）=3x 2－3=3（x +1）（x －1）令f ′（x ）=0，得x =－1，x =1 若x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f ′（x ）＞0，故 f （x ）在（－∞，－1）上是增函数， f （x ）在（1，+∞）上也是增函数若x ∈（－1，1），则f ′（x ）＜0，故f （x ）在（－1，1）上是减函数所以f （－1）=2是极大值，f （1）=－2是极小值（2）曲线方程为y =x 3－3x ，点A （0，16）不在曲线上设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足y 0=x 03－3x 0 因f ′（x 0）=3（x 02－1），故切线的方程为y －y 0=3（x 02－1）（x －x 0）注意到点A （0，16）在切线上，有 16－（x 03－3x 0）=3（x 02－1）（0－x 0），化简得x 03=－8，解得x 0=－2 所以切点为M （－2，－2），切线方程为9x －y +16=0点评：本题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力例7 用总长148 m 的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05 m ，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为（x +05） m ，高为4)5.0(448.14+--x x =32－2x （m ）设容积为y m 3，则y =x （x +05）（32－2x ）（0＜x ＜16），整理，得y =－2x 3+22x 2+16x 所以y ′=－6x 2+44x +16令y ′=0，即－6x 2+44x +16=0，所以15x 2－11x －4=0解得x =1或x =－154（不合题意，舍去）从而在定义域（0，16）内只有x =1处使得y ′=0由题意，若x 过小（接近0）或过大（接近16）时，y 值很小（接近0）因此，当x =1时，y 有最大值且y max =－2+22+16=18，此时，高为32－2×1=12答：容器的高为12 m 时，容积最大，最大容积为18 m 3例8 烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小解：不失一般性，设烟囱A 的烟尘量为1，则烟囱B 的烟尘量为8并设AC=)200(<<x x x CB -=∴20，于是点C 的烟尘浓度为)200()20(822<<-+=x x k x k y ，其中k 为比例系数332333/)20()80001200609(2)20(162x x x x x k x k x k y --+-⋅=-+-= 令0/=y ，有08000120060923=-+-x x x ，即0)4003)(203(2=+-x x解得在（0，20）内惟一驻点320=x 由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，∴在惟一驻点320=x 处，浓度y 最小，即在AB 间距A 处km 320处的烟尘浓度最小例9 已知抛物线y =－x 2+2，过其上一点P 引抛物线的切线l ，使l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l 的方程解：设切点P （x 0，－x 02+2）（x 0＞0），由y =－x 2+2得y ′=－2x ， ∴k 1=－2x 0∴l 的方程为y －（－x 02+2）=－2x 0（x －x 0），令y =0，得x 0202x 令x =0，得y =x 02+2，∴三角形的面积为S =21·02022x x +·（x 02+2）020404x∴S ′222)2)(23(x x +-令S ′=0，得x 0=36（∵x 0＞0） ∴当0＜x 0＜36时，S ′＜0; 当x 0＞36时，S ′＞0 ∴x 0=36时，S 取极小值∵只有一个极值，∴x =36时S 最小，此时k 1=－362，切点为（36，34）∴l 的方程为y －34=－362 （x －36），即26x +3y －8=0例10 利用导数求和：（1）S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1（x ≠0,n ∈N *）（2）S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C nn （n ∈N *）解:（1）当x =1时，S n =1+2+3+…+n =2n（n +1）, 当x ≠1时，∵x +x 2+x 3+…+x n=xx x n --+11,两边对x 求导，得S n =1+2x +3x 2+…+nxn －1=(x x x n --+1121)1(1nx x n n n ++-+ （2）∵（1+x ）n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C nn x n ,两边对x 求导，得n （1+x ）n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n xn －1 令x =1,得n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C nn ,即S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n =n ·2n －1 小结：在求函数的极值和最值时，要注意极值和最值的区别能列表的应采用列表的方法，在处理应用问题时，一方面正确列出函数关系式，按函数求极值、最值的步骤进行另一方面在解题时还要随时利用应用题本身的特点，以及目标函数的取值范围确定驻点学生练习1某物体作s =2（1－t ）2的直线运动，则t =08 s 时的瞬时速度为 A 4 B －4 C －48 D －08 解析：s ′=－4（1－t ），∴当t =08 s 时，v =－08 答案：D2函数f （x ）=x 3－6bx +3b 在（0，1）内有极小值，则A b ＞0B b ＜21C 0＜b ＜22D b ＜1解析：f ′（x ）=3x 2－6b ，令f ′（x ）=0，得x =±2b∵f （x ）在（0，1）内有极小值，∴0＜2b ＜1∴0＜b 答案：C3函数f （x ）=a x +log a （x +1）在［0，1］上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为A1 B 1C 2D 4 解析：f ′（x ）=a x ln a +11+x log a e∵x ∈［0，1］，∴当a ＞1时，a x ln a +11+x log a e ＞0∴f （x ）为增函数当0＜a ＜1时，a x ln a +11+x log a e ＜0，∴f （x ）为减函数∴f （0）+f （1）=a ∴a 21答案：B4若曲线f （x ）=x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y =0，则点P 的坐标为 A （1，3） B （－1，3） C （1，0） D （－1，0）解析：f ′（x ）=4x 3－1=3，∴x =1 答案：C5已知曲线y =31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是__________ 解析：y ′=x 2，当x =2时，y ′=4 ∴切线的斜率为4 ∴切线的方程为y －4=4（x －2），即y =4x －4 答案：4x －y －4=06设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为______________解析：设底面边长为x ，则高为h =234xV ，∴S 表=3×234xV ·x +2×43x 2=x V 34+23x 2∴S ′=－234xV +3x 令S ′=0，得x 答案：34V7已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值为10，则f （2）=______解析：f ′（x ）=3x 2+2ax +b ，由题意得⎩⎨⎧==',10)1(,0)1(f f∴⎩⎨⎧=+++=++.110232a b a b a ∴⎩⎨⎧=-=3,3b a 或⎩⎨⎧-==.11,4b a ∴f （2）=11或f （2）=18答案：11或188直线y =a 与函数f （x ）=x 3－3x 的图象有相异三个交点，求a 的取值范围解：∵f ′（x ）=3x 2－3=3（x －1）（x +1），由f ′（x ）＞0得单调增区间为（－∞，－1），（1，+∞）;由f ′（x ）＜0得单调减区间为（－1，+1）检验知x =1时，f （1）=－2是极小值;当x =－1时，f （－1）=2是极大值，结合图象知：当－2＜a ＜2时，y =a 与y =x 3－3x 的图象有三个相异交点9当0＜x ＜2π时，证明： 2πx ＜sin x ＜x 证明：令f （x ）=x －sin x ，则当０＜x ＜π2时，f ′（x ）=1－cos x ＞０∴f （x ）在（０，2π）上单调增加，而f （０）=０∴当０＜x ＜2π时，f （x ）＞０，即x ＞sin x令g （x ）=sin x －π2x ，∴g ′（x ）=cos x π2当０＜x ＜a rccos π2时，g ′（x ）＞０，则g （x ）单调增加；当arccos π2＜x ＜2π时，g ′（x ）＜０，则g （x ）单调减小，而f （０）=f （2π）=０∴当０＜x ＜2π时，g （x ）＞０，即sin x ＞π2x综上，当０＜x ＜2π时，π2x ＜sin x ＜x10已知二次函数y =f （x ）经过点（0，10），导函数f ′（x ）=2x －5，当x ∈（n ，n +1］（n ∈N *）时，f （x ）是整数的个数，记为a n 求数列{a n }的通项公式解：由f ′（x ）=2x －5可设f （x ）=x 2－5x +c （c 为常数）因为f （x ）的图象过（0，10），得c =10故二次函数为f （x ）=x 2－5x +10=（x －25）215又因x ∈（n ，n －1］（n ∈N *）时，f （x ）为整数的个数为a n f （x ）在（1，2］上的值域为［4，6），∴a 1=2f （x ）在（2，3］上的值域为［415，4］，∴a 2=1 当n ≥3时，f （x ）在（n ，n +1］上单调递增，其值域为（f （n ），f （n +1）］ ∴a n =f （n +1）－f （n ）=2n －4∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥-==).3(42)2(1)1(2n n n n11 已知b ＞－1，c ＞0，函数f （x ）=x +b 的图象与函数g （x ）=x 2+bx +c 的图象相切（1）求b 与c 的关系式（用c 表示b ）;（2）设函数F （x ）=f （x ）g （x ）在（－∞，+∞）内有极值点，求c 的取值范围解：（1）依题意，令f ′（x ）=g ′（x ），得2x +b =1，故x 1b-由f （21b -）=g （21b-），得（b +1）2=4c∵b ＞－1，c ＞0，∴b =－（2）F （x ）=f （x ）g （x ）=x 3+2bx 2+（b 2+c ）x +bc ∴F ′（x ）=3x 2+4bx +b 2+c令F ′（x ）=0，即3x 2+4bx +b 2+c =0，则Δ=16b 2－12（b 2+c ）=4（b 2－3c ）若Δ=0，则F ′（x ）=0有一个实根x ，且F ′（x ）的变化如下：’0）的极值点若Δ＞0，则F ′（x ）=0有两个不相等的实根x 、x （x ＜x ），且F ′（x ）的变化如下：由此，x =x 1是函数F （x ）的极大值点，x =x 2是F （x ）的极小值点综上所述，当且仅当Δ＞0时，函数F （x ）在（－∞，+∞）上有极值点由Δ=4（b 2－3c ）＞0得b ＜－c 3或b ＞c 3∵b =－1+2c ，∴－1+2c ＜－c 3或－1+2c解得0＜c ＜7－43或c ＞故所求c 的取值范围是（0，7－43）∪（7+43，+∞）12已知函数f （x ）=x 4－4x 3+ax 2－1在［0，1）上单调递增，在［1，2）上单调递减（1）求a 的值（2）若点A （x 0，f （x 0））在函数f （x ）的图象上，求证：点A 关于直线x =1的对称点B 也在函数f （x ）的图象上（3）是否存在实数b ，使得函数g （x ）=bx 2－1的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b 的值；若不存在，试说明理由（1）解：由函数f （x ）=x 4－4x 3+ax 2－1在区间［0，1）上单调递增，在区间［1，2）上单调递减， ∴x =1时取得极大值∴f ′（1）=0，f ′（x ）=4x 3－12x 2+2ax ∴4－12+2a =0∴a =4（2）证明：点A （x 0，f （x 0））关于直线x =1的对称点B 的坐标为（2－x 0，f （x 0）），f （2－x 0）=（2－x 0）4－4（2－x 0）3+4（2－x 0）2－1 =（2－x 0）2［（2－x 0）－2］2－1 =x 04－4x 03+ax 02－1=f （x 0），∴A 关于直线x =1的对称点B 也在函数f （x ）的图象上（3）解：函数g （x ）=bx 2－1的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，等价于方程x 4－4x 3+4x 2－1=bx 2－1恰有3个不等实根，即x 4－4x 3+（4－b ）x 2=0，∵x =0是其中一个根，∴方程x 4－4x 3+（4－b ）x 2=0有两个非零不等实根，⎩⎨⎧≠->--=.04,0)4(416b b Δ ∴b ＞0且b ≠4∴存在b ，b ＞0且b ≠4课前后备注。

函数的极值与最大值最小值

极值点是否一定是驻点？驻点是否一定是极值点？考察x=0是否是函数y=x3的驻点, 是否是函数的极值点.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.

函数的极值和最值

函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。

本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。

一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。

极值分为两种情况：局部极值和全局极值。

1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。

设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。

其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。

2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。

设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。

其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。

二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。

首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。

这些点就是可能的极值点。

接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。

当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。

2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。

首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。

然后，通过比较函数值得出极值。

例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。

三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。

以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。

例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。

2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。

二元函数的极值与最值利用偏导数求二元函数的极值与最值

二元函数的极值与最值利用偏导数求二元函数的极值与最值在数学中，二元函数是指具有两个自变量的函数。

对于二元函数，我们常常需要求解其极值与最值，以确定函数的最优解或者关键点。

在这篇文章中，我们将介绍如何利用偏导数来求解二元函数的极值与最值问题。

一、定义与概念在开始讨论二元函数的极值与最值之前，我们先来回顾一下相关的定义与概念。

1. 极值：对于一个函数f(x, y)，如果存在一个点P(x0, y0)，使得在点P的某个邻域内，f(x, y)的值不小于（或不大于）任意其他点处的函数值，那么点P即为f(x, y)的极值点。

2. 最大值：对于一个函数f(x, y)，如果在定义域上的任意点P(x, y)处，f(x, y)的值都不大于一个确定的常数M，那么M即为f(x, y)的最大值。

3. 最小值：对于一个函数f(x, y)，如果在定义域上的任意点P(x, y)处，f(x, y)的值都不小于一个确定的常数m，那么m即为f(x, y)的最小值。

二、偏导数的定义与计算在求解二元函数的极值与最值问题时，我们可以使用偏导数的概念与方法。

偏导数是多元函数的导数在某一变量上的投影，可以用来衡量函数在某一方向上的变化率。

对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数可以通过以下方式计算：1. 对于x的偏导数∂f/∂x表示在y值固定的情况下，函数f关于x的变化率。

2. 对于y的偏导数∂f/∂y表示在x值固定的情况下，函数f关于y的变化率。

根据偏导数的定义，我们可以通过计算∂f/∂x和∂f/∂y来找到函数的极值与最值。

三、求解二元函数的极值与最值接下来，我们将介绍如何利用偏导数来求解二元函数的极值与最值。

1. 求解极值：为了求解二元函数的极值，我们需要先求出偏导数∂f/∂x和∂f/∂y的值。

然后，我们将偏导数的值置为零，并求解方程组，得到极值点的坐标。

最后，我们将这些点代入原函数，求出相应的函数值，并比较大小，得出极值。

2. 求解最值：求解二元函数的最值也可以通过偏导数的方法来实现。

二元函数的极值与最值

二元函数的极值与最值在数学中，二元函数是一种含有两个自变量的函数。

研究二元函数的极值和最值是数学中的重要内容之一，它可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，并在实际问题中应用。

一、极值的概念极值是指函数在给定定义域内取得的最大值和最小值。

对于二元函数而言，我们需要找到函数的驻点即梯度为零的点，然后通过二阶导数判定这些驻点是极大值还是极小值。

1.1 驻点的求解假设有二元函数f(x,y)，我们需要找到f(x,y)关于x和y的偏导数分别为零的点，即求解以下方程组：∂f/∂x=0∂f/∂y=01.2 二阶导数判定对于找到的驻点，我们需要使用二阶导数来判定其是极大值还是极小值。

具体而言，我们计算二阶偏导数D，并判定其正负性：若D>0且∂^2f/∂x^2>0，则该驻点为极小值；若D>0且∂^2f/∂x^2<0，则该驻点为极大值；若D<0，则该驻点为鞍点。

二、最值的概念最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。

对于二元函数而言，最值可以通过极值来求解，并且还可以通过定义域的边界上的取值来判断。

2.1 极值的应用我们可以求出二元函数在驻点上的极值，然后将这些极值与函数在定义域边界上的取值进行比较，从而找到函数的最大值和最小值。

通过这种方法，我们可以得出以下结论：若一个驻点为极大值，并且函数在该点的值大于定义域边界上的任意取值，则该点为函数的最大值；若一个驻点为极小值，并且函数在该点的值小于定义域边界上的任意取值，则该点为函数的最小值。

2.2 定义域边界上的取值另外，我们还需要考虑函数在定义域边界上的取值，因为这些点也有可能成为函数的最值。

我们可以通过以下步骤来判断定义域边界上的取值是否为最值：1) 找出定义域的边界方程；2) 求解边界方程与二元函数的交点；3) 将这些交点代入二元函数，计算函数的值；4) 比较这些值，找到最大值和最小值。

三、实际应用二元函数的极值和最值在实际问题中具有广泛的应用。

二次函数的最值与极值问题

二次函数的最值与极值问题二次函数是数学中常见的一种函数类型，在很多实际问题中都可以用二次函数来描述。

在解决二次函数的最值与极值问题时，可以运用一些方法和技巧来求解。

本文将介绍一些常见的解题思路和方法。

一、二次函数的最值问题二次函数的最值指的是函数在定义域内的最大值或最小值。

当求解二次函数的最值时，可以利用二次函数的顶点和开口方向进行判断。

1. 定理1：对于开口向上的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a > 0，顶点的 y 值是函数的最小值。

使用该定理时，可以先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最小值。

2. 定理2：对于开口向下的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a < 0，顶点的 y 值是函数的最大值。

同样地，使用该定理时，先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最大值。

需要注意的是，二次函数的最大值或最小值可能在定义域内的某个点上出现，因此除了顶点外还需要考虑其他可能的极值点。

二、二次函数的极值问题二次函数的极值指的是函数在定义域内的局部最大值或最小值。

当求解二次函数的极值时，可以利用二次函数的导数和零点来寻找。

1. 求解极值的一般步骤如下：a) 求二次函数的导函数；b) 解二次函数的导函数为零的方程，得到零点；c) 将零点带入原函数，求得对应的函数值，得到极值。

2. 一个特殊情况是在二次函数的定义域 [a, b] 上求极值时，可以先求出导数，然后导数大于零的部分即是函数的递增区间，导数小于零的部分即是函数的递减区间。

接着，再对边界点和零点进行比较，得到极值。

三、综合练习与例题为了更好地理解二次函数的最值与极值问题，我们来进行一些练习和解题。

【练习题一】已知二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，1. 求二次函数的顶点及对应的最值；2. 求二次函数的极值。

【解答】1. 对于二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，a = -2 < 0，可以判断开口向下，顶点的 y 值是最大值。

人教版高中数学选择性必修2《函数的极值与最大(小)值》PPT课件

根据以上信息，我们画出f（x）的大致图象如图所示.
（3）方程（）＝（ ∈ ）的解的个数为函数＝（）的图象与直线＝的
交点个数.
1
由（1）及图可得，当＝ − 2时，（）有最小值（ − 2）＝− e2.
所以，关于方程（）＝（ ∈ ）的解的个数有如下结论：
1
当 < − e2时，解为0个；
结合上面两图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数＝（）的所有极值连同
端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
在开区间（，）上函数的最值常见的有以下几种情况：
图（1）中的函数＝（）在（，）上有最大值而无最小值；
图（2）中的函数＝（）在（，）上有最小值而无最大值；
（2），（4），（6）是函数＝（）的极大值.
探究：进一步地，你能找出函数＝（）在区间［，］上的最小值、最大值吗？
从图中可以看出，函数＝（）在区间［，］上的最小值是（3 ），最大值是（）.
在下面两图中，观察［，］上的函数＝（）和＝（）的图象，它们在［，］上
当半径 < 2时， ′（） < 0，（）单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时（2） < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不
够瓶子的成本，此时利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数（）的图象上观察，你
＝（）＝0.2 ×
4
3
π
3
−
3
2
0.8π ＝0.8π
3
− 2 ，0 < ≤ 6.
所以 ′（）＝0.8π（2 − 2）.
令 ′（）＝0，解得＝2.
当 ∈ （0，2）时， ′（） < 0；当 ∈ （2，6）时， ′（） > 0.

二次函数的极值与最值

二次函数的极值与最值二次函数是高中数学中重要的内容之一，研究二次函数的极值与最值是我们深入理解和应用二次函数的关键。

本文将从定义、求解方法和实际应用等方面探讨二次函数的极值与最值。

一、定义及性质回顾二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是抛物线，且开口方向由a的正负决定。

二次函数的极值与最值是指函数在定义域上的最大值和最小值，分别称为最大值和最小值，有时也统称为极值。

二、求解二次函数的极值与最值方法要求解二次函数的极值与最值，可以使用多种方法。

下面将介绍两种常用的方法：一是通过二次函数的顶点求解，二是应用导数的知识求解。

1. 通过顶点求解方法二次函数的顶点公式如下：x = -b/2a, y = f(x) = f(-b/2a)其中x为二次函数的极值点，y为二次函数的最值。

具体步骤如下：1) 根据给定的二次函数，求出a、b、c的值；2) 根据公式计算出顶点的横坐标x；3) 将x代入二次函数中，求出对应的纵坐标y；4) 得到顶点坐标(x, y)，即为二次函数的极值点。

2. 应用导数求解方法导数是函数在某一点的变化率，可以用来研究函数的极值与最值。

对二次函数而言，其导数是一条直线，通过求导并解方程可以求出二次函数的极值点。

具体步骤如下：1) 求出二次函数f(x)的导函数f'(x)；2) 解方程f'(x) = 0，得到二次函数的极值点；3) 将极值点代入二次函数中，求出对应的最值。

三、实际应用案例二次函数的极值与最值在实际生活和工作中有广泛应用。

以下是两个常见的应用案例。

1. 最大面积问题假设有一块长方形的固定周长，我们需要求出该长方形面积的最大值。

设长为x，宽为y，则根据周长公式2x+2y=固定周长，可得y = (固定周长 - 2x) / 2。

将y代入长方形的面积公式S = x * y = x * [(固定周长 - 2x) / 2]，化简后可得S = x(固定周长/2 - x)。

二次函数的极值与最值计算

二次函数的极值与最值计算二次函数是数学中的一种常见函数形式，其表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状，而二次函数的极值与最值计算是研究二次函数性质的重要内容之一。

一、极值与最值的定义在数学中，极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。

对于二次函数而言，极值与最值的计算可以通过求解函数的导数来实现。

二、二次函数的导数对于二次函数y=ax²+bx+c来说，其导数可以通过对函数进行求导得到。

根据导数的定义，二次函数的导数为y' = 2ax + b。

通过求导可以得到二次函数的切线斜率，进而确定函数的极值与最值。

三、极值与最值的计算方法1. 定点法通过求导得到二次函数的导数，令导数为0，解方程可以得到二次函数的极值点。

通过将极值点带入二次函数的表达式中，可以得到极值的具体数值。

2. 完全平方法对于二次函数y=ax²+bx+c，可以通过将其转化为完全平方的形式来求极值。

首先，将二次函数进行配方，得到y=a(x+b/2a)²+c-(b²-4ac)/4a。

根据完全平方公式，可以得到二次函数的最值。

3. 图像法通过绘制二次函数的图像，可以直观地观察到函数的极值与最值。

通过观察抛物线的开口方向以及顶点的位置，可以判断二次函数的极值与最值。

四、实例分析以二次函数y=x²-4x+3为例，来分析极值与最值的计算方法。

首先，求导得到y' = 2x - 4。

令导数为0，解方程得到x = 2，将x = 2带入二次函数的表达式中可以得到y = -1，因此，二次函数在点(2, -1)处取得极小值。

通过完全平方法，将二次函数y=x²-4x+3进行配方得到y=(x-2)²-1。

由此可见，二次函数的最小值为-1，当x=2时取得。

二元函数的最值与极值

二元函数的最值与极值二元函数是指含有两个自变量的函数，通常表示为 f(x, y)。

在数学中，研究二元函数的最值与极值是一项重要的任务。

最值是函数在给定定义域内取得的最大值或最小值，而极值则是函数在某一点附近取得的最大值或最小值。

本文将讨论二元函数的最值与极值的相关概念及其求解方法。

一、二元函数最值的定义和求解方法1. 最大值与最小值的定义在定义域 D 上，二元函数 f(x, y) 的最大值为在 D 上任意一点 (x*,y*)，对于任意 (x, y)∈D，都有f(x*, y*)≥f(x, y)。

类似地，最小值为f(x*, y*)≤f(x, y)。

2. 常用求解方法求解二元函数最值的方法包括边界点法和极值点法。

通过确定函数的定义域边界和计算极值点，在这些可能的点中找出函数的最值。

边界点法：首先确定函数的定义域 D，然后计算函数在 D 的边界上的值，包括端点和可能的不可导点。

最值往往出现在函数在 D 的边界上。

极值点法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数，求出函数的偏导数为零的临界点，即潜在的极值点。

通过进一步分析这些临界点的性质，确定最值的位置。

二、二元函数极值的定义和求解方法1. 极值的定义在定义域 D 上，如果存在一个点 P (x*, y*)，使得在 P 的某个邻域内，对于任意 (x, y)∈D，有f(x*, y*)≥f(x, y) 或f(x*, y*)≤f(x, y)，则称 P 是函数的极大值点或极小值点。

2. 常用求解方法求解二元函数的极值点的方法主要有一阶偏导数法和二阶偏导数法。

通过对偏导数进行求解，可以找到函数的极值点。

一阶偏导数法：计算二元函数分别对 x 和 y 的一阶偏导数，并令其等于零，求解得到潜在的临界点。

通过进一步分析这些临界点的性质，确定极值点的位置。

二阶偏导数法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数。

对于二阶偏导数，可以通过解方程组或者求导数的正负性进行分析，从而确定极值点的位置。

三、实例分析考虑二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 6y + 10，我们来求解该函数的最值和极值。

高中数学解二次函数求极值和最值的技巧和分析

高中数学解二次函数求极值和最值的技巧和分析二次函数在高中数学中占据着重要的地位，它的求极值和最值是我们学习的重点内容之一。

本文将通过具体的例题，详细介绍解二次函数求极值和最值的技巧和分析，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。

首先，我们来看一个简单的例题：已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的最小值。

要求函数的最小值，我们需要先找到函数的极值点。

根据二次函数的性质，当二次函数的导数等于0时，函数的极值点就出现了。

所以，我们首先需要求出f(x)的导数。

f'(x) = 2x - 2。

将f'(x) = 0带入，得到2x - 2 = 0，解得x = 1。

这就是函数f(x)的极值点。

接下来，我们需要判断这个极值点是函数的最小值还是最大值。

这可以通过二次函数的凹凸性来确定。

二次函数的凹凸性由二次项的系数决定，当二次项系数大于0时，函数开口向上，为凹函数，极值点为最小值；当二次项系数小于0时，函数开口向下，为凸函数，极值点为最大值。

回到我们的例题，函数f(x) = x^2 - 2x + 1的二次项系数为1，大于0，因此函数是凹函数，极值点x = 1是最小值。

通过这个例题，我们可以总结出求二次函数极值和最值的一般步骤：1. 求出函数的导数；2. 令导数等于0，解方程得到极值点；3. 判断二次函数的凹凸性，确定极值点是最小值还是最大值。

接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例题：已知函数g(x) = -2x^2 + 4x + 3，求g(x)的最大值。

同样地，我们首先求出函数g(x)的导数。

g'(x) = -4x + 4。

令g'(x) = 0，得到-4x + 4 = 0，解得x = 1。

这是函数g(x)的极值点。

然后，我们需要判断这个极值点是最大值还是最小值。

由于函数g(x)的二次项系数为-2，小于0，所以函数是凸函数，极值点x = 1是最大值。

通过这个例题，我们可以看到，求二次函数极值和最值的步骤是相同的，只是需要注意函数的凹凸性来确定极值点的性质。

二次函数的最值与极值问题

二次函数的最值与极值问题二次函数是一种具有一次项和二次项的多项式函数，通常用以下的一般形式表示：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数，且a ≠ 0。

在本文中，我们将讨论二次函数的最值与极值问题。

一、最值问题二次函数的最值表示函数的取值范围的极值点。

要确定二次函数的最值，首先需要弄清楚二次函数的开口方向。

当a > 0时，二次函数开口向上，此时函数的最小值为最值；当a < 0时，二次函数开口向下，此时函数的最大值为最值。

我们以一个具体的例子来说明。

考虑二次函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，根据题目要求，我们需要找到它的最值。

1. 确定二次函数的开口方向：由于a = 2 > 0，所以二次函数的开口向上。

2. 求出二次函数的顶点：二次函数的顶点是一个非常重要的概念，它是确定函数的最值的关键。

顶点的横坐标可以通过以下公式计算得到：x = -b/2a在这个例子中，我们可以计算得出：x = -( -3 ) / ( 2 × 2 ) = 3/4顶点的纵坐标可以通过将横坐标代入函数中计算得到：y = f(3/4) = 2 × (3/4)^2 - 3 × (3/4) + 1 = 11/8所以该二次函数的顶点为(3/4, 11/8)。

3. 确定最值：由于二次函数开口向上，所以顶点代表了函数的最小值。

所以函数f(x)的最小值是11/8，此时x取3/4。

二、极值问题极值点是指函数在某一点上的局部最值点。

对于二次函数来说，极值点就对应着函数的顶点。

回顾刚才的例子，我们已经计算出了二次函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点为(3/4, 11/8)。

这个顶点就是该函数的极小值点。

在极值问题中，有两种情况需要注意：1. 当二次函数开口向上时，顶点为极小值点；2. 当二次函数开口向下时，顶点为极大值点。

所以，在求二次函数的极值问题时，需要先找到顶点，再根据开口方向确定极值类型。

二元函数极值__概述说明以及解释

二元函数极值概述说明以及解释1. 引言1.1 概述二元函数极值是数学中的一个重要概念，它涉及到在二元函数中找到其最大值或最小值的过程。

在实际生活和工作中，我们经常会遇到需要优化某个目标的问题，例如最大利润、最小成本等。

而掌握二元函数极值的寻找方法，可以帮助我们解决这些优化问题。

本文将对二元函数极值的基本概念进行阐述，并介绍常用的寻找二元函数极值的方法。

同时，通过具体的实例分析和解释，展示这些方法在实际问题中的应用情况。

最后，在结论部分对各种方法进行总结，并展望二元函数极值问题在未来的应用前景。

1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、二元函数极值的基本概念、寻找二元函数极值的方法、实例分析和解释以及结论。

引言部分是文章开篇部分，主要对文章进行整体概述和结构说明。

第二部分将介绍二元函数极值的基本概念，包括函数极值定义、二元函数特点以及存在定理。

第三部分将详细介绍寻找二元函数极值的方法，包括偏导数法、梯度法和拉格朗日乘子法等。

第四部分将通过三个具体实例来分析和解释二元函数极值的应用，分别是最小化路径长度问题、最大化利润问题和最优装箱问题。

最后一部分是结论，对各种方法进行总结，并展望二元函数极值问题在未来的发展前景。

1.3 目的本文旨在介绍二元函数极值的基本概念和常用方法，并通过实例分析说明其在实际问题中的应用。

通过阅读本文，读者将能够了解如何寻找二元函数的极值，并掌握相应的计算技巧。

同时，本文也希望为读者提供一些思路，引发对二元函数极值问题更深层次的思考，并展望其在未来的发展前景。

2. 二元函数极值的基本概念2.1 函数的极值定义:极值是指函数在某个特定区间内, 在该区间两侧都不存在更大或更小的函数值。

在二元函数中，我们考虑的是函数关于两个变量的取值情况。

对于一个二元函数f(x, y)，当存在一对实数(a, b) 属于定义域D(f) 时，使得f(a, b) 大于等于任何(x, y) 属于D(f) 的其他点，那么称(a, b) 是函数f 的极大值点；同样地，如果存在一对实数(c, d) 属于D(f)，使得f(c, d) 小于等于任何(x, y) 属于D(f) 的其他点，则称(c, d) 是函数f 的极小值点。

函数的极值与最值的应用

函数的极值与最值的应用函数是数学中重要的概念之一，在实际问题中经常被用来描述某种关系。

在数学中，我们经常关心函数的极值与最值，因为它们能够帮助我们找到问题的最优解。

本文将探讨函数极值与最值的应用，并介绍如何通过求导数来确定极值点。

一、函数的极值我们先来介绍极值的概念。

对于一个函数f(x)，如果在某一点x处，存在一个邻域，使得在这个邻域内的所有x的函数值都小于（或大于）f(x)，那么我们称f(x)取得了极小值（或极大值）。

极小值和极大值统称为极值。

确定函数的极值实际上是要找到函数的驻点，即在这些点上函数的导数为零或者不存在。

我们可以通过求解函数的导数来找到这些驻点。

举例来说，假设我们有一个函数f(x) = x^2 - 2x + 1。

我们可以通过求导数f'(x) = 2x - 2来找到函数的驻点。

令f'(x) = 0，我们可以解得x = 1。

所以函数的极值点就是x = 1。

二、函数的最值函数的最值是指函数的取值范围中的最大值或最小值。

和极值类似，最大值和最小值也可以通过求导数来确定。

对于函数f(x)，如果在一个区间[a, b]上f(x)的值都小于（或大于）其它任何点的函数值，那么我们称f(x)在区间[a, b]上取得了最小值（或最大值）。

我们可以通过求导数来找到函数的驻点，并将驻点和区间的端点进行比较，以确定函数的最值。

举例来说，假设我们有一个函数f(x) = x^2 - 2x + 1，并要求在区间[0, 2]上找到函数的最小值。

我们可以通过求导数f'(x) = 2x - 2，并将f'(x) = 0的解带入到区间端点和驻点进行比较。

当x = 0时，f(x) = 1；当x = 1时，f(x) = 0；当x = 2时，f(x) = 1。

所以在区间[0, 2]上，函数的最小值为0，当x = 1时取得。

三、函数极值与最值的应用函数的极值和最值在实际问题中有着广泛的应用。

通过求解函数的极值和最值，我们可以找到问题的最优解。

二次函数的最值与极值点

二次函数的最值与极值点二次函数是一种常见的数学函数，其图像通常呈现开口向上或开口向下的抛物线形状。

在研究二次函数的性质时，最值和极值点是其中的重要概念。

本文将详细介绍二次函数的最值与极值点，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。

一、二次函数的最值二次函数的最值指的是函数在定义域上的最大值和最小值。

二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。

我们先来讨论抛物线开口向上的情况。

当a>0时，二次函数的图像开口向上。

在这种情况下，函数的最小值称为最小值。

为了确定最小值，我们可以观察二次函数的顶点。

二次函数的顶点可以通过公式x = -b/2a求得。

通过这个公式，我们可以得到横坐标x的值，然后将x代入函数中求得纵坐标y的值，即为最小值。

再来讨论抛物线开口向下的情况。

当a<0时，二次函数的图像开口向下。

在这种情况下，函数的最大值称为最大值。

同样地，我们可以使用顶点的横坐标和纵坐标来找到二次函数的最大值。

二、二次函数的极值点二次函数的极值点是指函数的导数为0的点。

具体来说，对于一元函数y=f(x)，如果在某点x0处导数f'(x0)=0，那么这个点就是函数的极值点。

对于二次函数y=ax² + bx + c而言，导数f'(x) = 2ax + b。

我们将二次函数的导数置为0，得到2ax + b = 0。

解这个方程得到x0 = -b/2a，这个值就是二次函数的极值点。

通过将x0代入原二次函数的表达式中，即可求得极值点的纵坐标。

需要注意的是，当a>0时，极值点为最小值点；当a<0时，极值点为最大值点。

三、二次函数最值和极值点的应用1. 最值和极值点的几何意义最值和极值点在几何中具有重要的意义。

对于开口向上的二次函数来说，顶点是函数曲线的最低点，它代表了最稳定的状态。

对于开口向下的二次函数来说，顶点是函数曲线的最高点，也代表了最稳定的状态。