Mathematica线性回归和非线性拟合
项目八假设检验回归分析与方差分析
项目八 假设检验、回归分析与方差分析实验2 回归分析实验目的 学习利用Mathematica 求解一元线性回归问题. 学会正确使用命令线性回归Regress, 并从输出表中读懂线性回归模型中各参数的估计, 回归方程, 线性假设的显著性检验结果, 因变量Y 在预察点0x 的预测区间等.基本命令1.调用线性回归软件包的命令<<Statistics\LinearRegression.m 输入并执行调用线性回归软件包的命令<<Statistics\LinearRegression.m或调用整个统计软件包的命令<<Statistics`2.线性回归的命令Regress一元和多元线性回归的命令都是Regress. 其格式是Regress[数据, 回归函数的简略形式, 自变量,RegressionReport(回归报告)->{选项1,选项2,选项3,…}]注: 回归报告中包含BestFit(最佳拟合,即回归函数), ParameterCITable(参数的置信区间表), PredictedResponse(因变量的预测值), SinglePredictionCITable(因变量的预测区间), FitResiduals(拟合的残差), SummaryReport(总结性报告)等.3.抹平“集合的集合”的命令Flatten命令Flatten[A]将集合的集合A 抹平为只有一个层次的集合. 例如, 输入Flatten[{{1,2,3},{1,{3}}}]则输出{1,2,3,1,3}.4.非线性拟合的命令NonlinearFit 使用的基本格式为NonlinearFit [数据, 拟合函数, (拟合函数中的)变量集, (拟合函数中的)参数, 选项] 注: 拟合函数中既有变量又有参数, 变量的个数要与数据的形式相应. 参数集中往往需 要给出各参数的初值. 选项的内容主要是指定拟合算法、迭代次数和精度.实验举例例2.1 (教材 例2.1) 某建材实验室做陶粒混凝土实验室中, 考察每立方米)(3m 混凝土的水泥用量(kg)对混凝土抗压强度)/(2cm kg 的影响, 测得下列数据:7.894.866.822.804.771.742602502402302202103.711.686.646.613.589.56200190180170160150yx y x 抗压强度水泥用量抗压强度水泥用量(1) 画出散点图;(2) 求y 关于x 的线性回归方程,ˆˆˆx b a y+=并作回归分析; (3) 设2250=x kg, 求y 的预测值及置信水平为0.95的预测区间.先输入数据:aa = {{150,56.9},{160,58.3},{170,61.6},{180,64.6},{190,68.1},{200,71.3},{210,74.1},{220,77.4},{230,80.2},{240,82.6},{250,86.4},{260,89.7}};(1) 作出数据表的散点图. 输入ListPlot[aa,PlotRange->{{140,270},{50,90}}]则输出图2.1.图2.1(2) 作一元回归分析, 输入Regress[aa,{1,x},x,RegressionReport->{BestFit,ParameterCITable,SummaryReport}]则输出{BestFit->10.2829+0.303986x, ParameterCITable->Estimate SE CI 1 10.2829 0.850375 {8.388111,12.1776}, x 0.303986 0.00409058 {0.294872,0.3131} ParameterTable->Esimate SE Tstat PValue 110.28290.85037512.09222.71852710-⨯,x 0.303986 0.00409058 74.3137 4.884981510-⨯ Rsquared->0.998193,AdjustedRSquared->0.998012, EstimatedVariance->0.0407025,ANOV A Table->DF SumOfSq MeanSq Fratio PValue Model1 1321.43 1321.435522.524.773961510-⨯Error10 2.39280.23928Total 11 1323.82现对上述回归分析报告说明如下:BestFit(最优拟合)-> 10.2829+0.303986x 表示一元回归方程为x y 303986.02829.10+=;ParameterCITable(参数置信区间表)中: Estimate 这一列表示回归函数中参数a , b 的点估计为aˆ=10.2829 (第一行), b ˆ= 0.303986 (第二行); SE 这一列的第一行表示估计量a ˆ的标准差为0.850375, 第二行表示估计量bˆ的标准差为0.00409058; CI 这一列分别表示a ˆ的置信水平为0.95的置信区间是(8.388111,12.1776), bˆ的置信水平为0.95的置信区间是 (0.294872,0.3131).ParameterTable(参数表)中前两列的意义同参数置信区间表; Tstat 与Pvalue 这两列的第一行表示作假设检验(t 检验):0:,0:10≠=a H a H 时, T 统计量的观察值为12.0922, 检验统计量的P 值为2.71852710-⨯, 这个P 值非常小, 检验结果强烈地否定0:0=a H , 接受0:1≠a H ; 第二行表示作假设检验(t 检验): ,0:0=b H 0:1≠b H 时T 统计量的观察值为74.3137, 检验统计量的P 值为 4.884981510-⨯, 这个P 值也非常小, 检验结果强烈地否定,0:0=b H 接受0:1≠b H .Rsquared->0.998193, 表示.998193.0)()(2==总平方和回归平方和SST SSR R 它说明y 的变化有99.8%来自x 的变化; AdjustedRSquared->0.998012, 表示修正后的=2~R 0.998012.EstimatedVariance->0.0407025, 表示线性模型),0(~,2σεεN bx a y ++=中方差2σ的估计为0.0407025.ANOV A Table(回归方差分析表)中的DF 这一列为自由度: Model(一元线性回归模型)的自由度为1, Error(残差)的自由度为,102=-n Total(总的)自由度为.111=-nSumOfSq 这一列为平方和: 回归平方和=SSR 1321.43, 残差平方和=SSE 2.3928,总的平方和=+=SSE SSR SST 1323.82;MeanSq 这一列是平方和的平均值, 由SumOfSq 这一列除以对应的DF 得到, 即.23928.02,43.13211=-===n SSEMSE SSR MSR FRatio 这一列为统计量MSEMSRF =的值, 即.52.5522=F 最后一列表示统计量F 的P 值非常接近于0. 因此在作模型参数)(b =β的假设检验(F 检验):0:;0:10≠=ββH H 时, 强烈地否定0:0=βH , 即模型的参数向量.0≠β因此回归效果 非常显著.(3) 在命令RegressionReport 的选项中增加RegressionReport->{SinglePredictionCITable}就可以得到在变量x 的观察点处的y 的预测值和预测区间. 虽然0.14=x 不是观察点, 但是可以用线性插值的方法得到近似的置信区间. 输入aa=Sort[aa]; (*对数据aa 按照水泥用量x 的大小进行排序*)regress2=Regress[aa,{1,x},x,RegressionReport->{SinglePredictionCITable}](*对数据aa 作线性回归, 回归报告输出y 值的预测区间*)执行后输出{SinglePredictionCITable-> Observed PredictedSE CI56.9 55.8808 0.55663 {54.6405,57.121} 58.3 58.92060.541391 {57.7143,60.1269} 61.6 61.9605 0.528883 {60.7821,63.1389} 64.6 65.00030.519305 {63.8433,66.1574} 68.1 68.0402 0.51282 {66.8976,69.1828} 71.3 71.0801 0.509547 {69.9447,72.2154}} 74.1 74.1199 0.509547 {72.9846,75.2553} 77.4 77.1598 0.51282 {76.0172,78.3024} 80.2 80.1997 0.519305 {79.0426,81.3567} 82.6 83.2395 0.528883 {82.0611,84.4179} 86.4 86.2794 0.541391 {85.0731,87.4857} 89.7 89.3192 0.55663 {88.079,90.5595}上表中第一列是观察到的y 的值, 第二列是y 的预测值, 第三列是标准差, 第四列是相应的预测区间(置信度为0.95). 从上表可见在)4.77(220==y x 时, y 的预测值为77.1598, 置信度为0.95的预测区间为(76.0172,75.2553), 在)2.80(230==y x 时, y 的预测值为80.1997, 置信度为0.95的预测区间为{79.0426,81.3567}. 利用线性回归方程, 可算得=0x 225时, y 的预测值为78.68, 置信度为0.95的预测区间为(77.546, 79.814).利用上述插值思想, 可以进一步作出预测区间的图形. 先输入调用图软件包命令<<Graphics`执行后再输入{observed2,predicted2,se2,ci2}=Transpose[(SinglePredictionCITable/.regress2)[[1]]];(*取出上面输出表中的四组数据, 分别记作observed2,predicted2,se2,ci2*) xva12=Map[First,aa];(*取出数据aa 中的第一列, 即数据中x 的值, 记作xva12*) Predicted3=Transpose[{xva12,predicted2}];(*把x 的值xva12与相应的预测值predicted2配成数对, 它们应该在一条回 归直线上*)lowerCI2=Transpose[{xva12,Map[First,ci2]}];(*Map[First,ci2]取出预测区间的第一个值, 即置信下限. x 的值xva12与相应 的置信下限配成数对*)upperCI2=Transpose[{xva12,Map[Last,ci2]}];(*Map[Last,ci2]取出预测区间的第二个值, 即置信上限. x 的值xva12与相应的置信上限配成数对*)MultipleListPlot[aa,Predicted3,lowerCI2,upperCI2,PlotJoined->{False,True,True,True},SymbolShape->{PlotSymbol[Diamond],None,None, None}, PlotStyle->{Automatic,Automatic,Dashing[{0.04,0.04}], Dashing[{0.04,0.04}]}](*把原始数据aa 和上面命令得到的三组数对predicted3,lowerCI2,upperCI2 用多重散点图命令MultipleListPlot 在同一个坐标中画出来. 图形中数据 aa 的散点图不用线段连接起来, 其余的三组散点图用线段连接起来, 而 且最后两组数据的散点图用虚线连接.*)则输出图2.2.图2.2从图形中可以看到, 由Y 的预测值连接起来的实线就是回归直线. 钻石形的点是原始数 据. 虚线构成预测区间.多元线性回归例2.2 (教材 例2.2) 一种合金在某种添加剂的不同浓度下, 各做三次试验, 得到数据如下表:8.323.327.298.277.288.301.306.321.313.274.297.312.318.292.250.300.250.200.150.10Yx 抗压强度浓度(1) 作散点图;(2) 以模型),0(~,22210σεεN x b x b b Y +++=拟合数据, 其中2210,,,σb b b 与x 无关;(3) 求回归方程,ˆˆˆˆ2210x b x b b y ++=并作回归分析. 先输入数据bb={{10.0,25.2},{10.0,27.3},{10.0,28.7},{15.0,29.8},{15.0,31.1},{15.0,27.8},{20.0,31.2},{20.0,32.6}, {20.0,29.7},{25.0,31.7},{25.0,30.1},{25.0,32.3}, {30.0,29.4},{30.0,30.8},{30.0,32.8}};(1) 作散点图, 输入ListPlot[bb,PlotRange->{{5,32},{23,33}},AxesOrigin->{8,24}]则输出图2.3.图2.3(2) 作二元线性回归, 输入Regress[bb,{1,x,x^2},x,RegressionReport->{BestFit,ParameterCITable,SummaryReport}](*对数据bb 作回归分析, 回归函数为,2210x b x b b ++用{1,x,x^2}表示, 自变量为x, 参数0b ,1b ,2b 的置信水平为0.95的置信区间)执行后得到输出的结果:{bestFit->19.0333+1.00857x-0.020381x 2, ParameterCITable->Estimate SE CI119.0333 3.27755{11.8922,26.1745} x 1.00857 0.356431{0.231975,1.78517}x 2 -0.0203810.00881488{-0.0395869,-0.00117497}ParameterTable->Estimate SE Tstat PValue 119.03333.277555.807180.0000837856x 1.00857 0.356431 2.82964 0.0151859 x 2 -0.0203810.00881488-2.312110.0393258Rsquared->0.614021,AdjustedRSquared->0.549692, EstimatedVariance->2.03968,ANOV A Table->DF SumOfSqMeanSq Fratio PValue Mode1 2 38.937119.4686 9.54490.00330658Error 12 24.47622.03968Total14 63.4133从输出结果可见: 回归方程为,020381.000857.10333.192x x Y -+=.020381.0ˆ,00857.1ˆ,0333.19ˆ210-===b b b 它们的置信水平为0.95的置信区间分别是 (11.8922,26.1745),(0.231975,1.78517),(-0.0395869,-0.00117497).假设检验的结果是: 在显著性水平为0.95时它们都不等于零. 模型),0(~,22210σεεN x b x b b Y +++=中,2σ的估计为2.03968. 对模型参数T b b ),(21=β是否等于零的检验结果是: .0≠β因此回归效果显著.非线性回归例2.3 下面的数据来自对某种遗传特征的研究结果, 一共有2723对数据, 把它们分成8类后归纳为下表.36.1937.1991.2079.2115.2342.257.2908.3887654321917461203246071021579y x 遗传性指标分类变量频率研究者通过散点图认为y 和x 符合指数关系:,c ae y bx += 其中c b a ,,是参数. 求参数c b a ,,的最小二乘估计.因为y 和x 的关系不是能用Fit 命令拟合的线性关系, 也不能转换为线性回归模型. 因此考虑用(1)多元微积分的方法求c b a ,,的最小二乘估计; (2)非线性拟合命令NonlinearFit 求c b a ,,的最小二乘估计.(1) 微积分方法 输入Off[Genera1::spe11] Off[Genera1::spe111] Clear[x,y,a,b,c]dataset={{579,1,38.08},{1021,2,29.70},{607,3,25.42},{324,4,23.15},{120,5,21.79},{46,6,20.91},{17,7,19.37},{9,8,19.36}}; (*输入数据集*) y[x_]:=a Exp[b x]+c (*定义函数关系*)下面一组命令先定义了曲线c ae y bx +=与2723个数据点的垂直方向的距离平方和, 记为).,,(c b a g 再求),,(c b a g 对c b a ,,的偏导数,,,cgb g a g ∂∂∂∂∂∂分别记为.,,gc gb ga 用FindRoot 命令解三个偏导数等于零组成的方程组(求解c b a ,,). 其结果就是所要求的c b a ,,的最小二乘估计. 输入Clear[a,b,c,f,fa,fb,fc]g[a_,b_,c_]:=Sum[dataset[[i,1]]*(dataset[[i,3]]-a*Exp[dataset[[i,2]]*b]-c)^2,{i,1,Length[dataset]}] ga[a_,b_,c_]=D[g[a,b,c],a]; gb[a_,b_,c_]=D[g[a,b,c],b]; gc[a_,b_,c_]=D[g[a,b,c],c]; Clear[a,b,c]oursolution=FindRoot[{ga[a,b,c]==0,gb[a,b,c]==0,gc[a,b,c]==0},{a,40.},{b,-1.},{c,20.}](* 40是a 的初值, -1是b 的初值, 20是c 的初值*)则输出{a->33.2221,b->-0.626855,c->20.2913} 再输入yhat[x_]=y[x]/.oursolution则输出20.2913+33.2221x e 626855.0这就是y 和x 的最佳拟合关系. 输入以下命令可以得到拟合函数和数据点的图形:p1=Plot[yhat[x],{x,0,12},PlotRange->{15,55},DisplayFunction->Identity]; pts=Table[{dataset[[i,2]],dataset[[i,3]]},{i,1,Length[dataset]}]; p2=ListPlot[pts,PlotStyle->PointSize[.01],DisplayFunction->Identity]; Show[p1,p2,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出图2.4.图2.4(2) 直接用非线性拟合命令NonlinearFit 方法 输入data2=Flatten[Table[Table[{dataset[[j,2]],dataset[[j, 3]]},{i,dataset[[j,1]]}],{j,1,Length[dataset]}],1]; (*把数据集恢复成2723个数对的形式*)<<Statistics`w=NonlinearFit[data2,a*Exp[b*x]+c,{x},{{a,40},{b,-1},{c,20}}]则输出x e 626855.02221.332913.20-+这个结果与(1)的结果完全相同. 这里同样要注意的是参数c b a ,,必须选择合适的初值.如果要评价回归效果, 则只要求出2723个数据的残差平方和.)ˆ(2∑-i i yy 输入 yest=Table[yhat[dataset[[i,2]]],{i,1, Length[dataset]}];yact=Table[dataset[[i,3]],{i,1,Length[dataset]}]; wts=Table[dataset[[i,1]],{i,1,Length[dataset]}]; sse=wts.(yact-yest)^2 (*作点乘运算*)则输出59.9664即2723个数据的残差平方和是59.9664. 再求出2723个数据的总的相对误差的平方和.]ˆ/)ˆ[(2∑-i i i y yy 输入 sse2=wts.((yact-yest)^2/yest) (*作点乘运算)则输出2.74075由此可见, 回归效果是显著的.实验习题1.某乡镇企业的产品年销售额x 与所获纯利润y 从1984年的数据(单位:百万元)如下表3.225.207.174.157.135.117.94.83.84.65.43.349.328.294.241.214.176.147.104.95.71.69493929190898887868584y x 纯利润销售额年度 试求y 对x 的经验回归直线方程, 并作回归分析.2.在钢线碳含量对于电阻的效应的研究中, 得到以下数据268.236.2221191815/95.080.070.055.040.030.010.0%/Ωμy x 电阻碳含量试求y 对x 的经验回归直线方程, 并作简单回归分析.(1) 画出散点图;(2) 求y 关于x 的线性回归方程,ˆˆˆx b a y+=并作回归分析; (3) 求0.14=x 时y 的置信水平为0.95的预测区间.4.下面给出了某种产品每件平均单价Y (单位:元)与批量x (单位:件)之间的关系的一组数 据18.120.121.124.126.130.140.148.155.165.170.181.1908075706560504035302520y x(i)作散点图. (ii)以模型),0(~,22210σεεN x b x b b Y +++=拟合数据, 求回归方程,ˆˆˆˆ2210x b x b b Y ++=并作简单回归分析.]。
2 利用Mathcad2000进行多元线性回归分析
2 利用Mathcad2000进行多元线性回归分析【例】同Excel2000例。
第一步，输入数据或从Excel调入数据（图1）。
图1 录入或调入的数据第二步，建立自变量矩阵Mx和因变量矩阵My。
⑴定义矩阵。
输入“Mx:=”，然后在Matrix工具栏中选择矩阵符号（图2）并单击，弹出一个Insert Matrix(插入矩阵)对话框（图3），设Rows（行）数为18——与样本数或时间序列长度对应；设Columns(列)数为3——与自变量个数一致。
点击OK确定，便会生成一个由Mx定义的自变量矩阵。
用类似的方法生成一个由My定义的因变量矩阵（图4）。
图2 Matrix工具栏中矩阵符号的位置图3 Insert Matrix对话框Mx⎛⎝⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭:=My⎛⎝⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭:=图4 变量矩阵⑵粘贴数据。
在数据表中选中全部的自变量，点右键，选择Copy Selection（图5）。
然后选中矩阵Mx中的全部点位，粘贴（Paste）（图6），即可生成矩阵自变量Mx；用类似的方法不难生成因变量矩阵My（图7）。
图5 选中自变量的全部数据作拷贝选择图6 将从数据表中拷贝的自变量粘贴进来Mx57.8258.0559.1563.8365.3667.2666.9267.7975.6580.5779.0280.5286.8895.48109.71126.5138.89160.5627.0528.8933.0235.2324.9432.9530.3538.747.9954.1858.7359.8564.5770.9781.5494.01103.23119.3314.5416.8312.2612.8711.6512.8710.810.9314.7117.5620.3218.6725.3425.0629.6943.8648.960.98⎛⎝⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭:=My3.093.43.883.93.223.763.594.034.344.654.785.045.596.017.0310.0310.8312.9⎛⎝⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭:=图7 自变量和因变量矩阵⑶ 数据拟合。
运用Matlab和SPSS软件求解回归分析的比较研究
运用Matlab和SPSS软件求解回归分析的比较研究作者：肖郑利来源：《中国科技博览》2014年第30期[摘要]在研究变量之间的相关关系时要用到回归分析。
本文以一个给定的线性回归模型，分别介绍Matlab软件和SPSS软件求解过程，两者的计算结果是一样的。
分析过程可知：Matlab的优势是函数丰富、编程灵活；SPSS的优点在于界面友好、操作简单。
均为回归分析提供了全面的解决方案[关键词]线性回归；Matlab；SPSS；统计量中图分类号：C66 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）30-0169-02回归分析是研究变量之间相关关系的数学方法，是将实际问题中体现的相关关系转化为确定性关系来解决的过程。
常见的实际问题有：生活中近似关系的表达，通过观测数据对固定数值的预测和控制，根据测量数据对生产工艺进行优化等等。
回归分析按照自变量的数量可以分为一元回归和多元回归；按照方程形式可以分为线性回归和非线性回归。
随着计算机技术的应用发展，有多种软件可以求解回归方程并进行分析，常用的有数学软件Mathematica、科学计算软件Matlab、数据统计分析软件SPSS和表格应用软件excel等等。
本文以简单的一元线性回归为例，分别利用Matlab软件和SPSS软件求解分析，并进行比较研究。
首先给出一个实际案例。
考察温度x对产量y的影响，测得下列10组数据：（见表1）分析y关于x的线性回归方程，检验回归效果是否显著。
1 Matlab软件求解回归分析1.1 Matlab软件介绍Matlab软件有总包和若干个工具箱，可以进行数值分析、统计、优化，可以完成信号处理、图像处理等领域的计算和图形显示。
它用函数形式将各类数学分支的算法分类，使用时可设计参数再选择调用相应的函数，快速而准确的解决问题。
1.2 Matlab软件中回归分析命令介绍线性回归的命令是regress，用以确定回归系数的点估计值：b=regress（Y，X）；求回归系数的点估计和区间估计，并进行检验，直接用命令：[b，bint，r，rint，stats]=regress（Y，X，alpha），其中alpha是显著性水平，缺省时默认为0.05，bint是区间估计，r是残差，rint 计算残差的置信区间，stats记录检验回归模型的统计量，有四个数值分别是相关系数R、F检验值、与F对应的概率P以及方差的估计值；还可以画残差计算其置信区间，命令为：rcoplot （r，rint）。
mathematica中数据拟合算符的用法
mathematica中数据拟合算符的用法在数据处理中常常设法用一个函数按照某种法则去描述一组数据，这就是数据拟合。
上面介绍的最小二乘法就是一种最常用的数据拟合方法。
mathematica中最基本的数据拟合算符是fit[ ] ,语法为fit[数据,拟合函数的基函数列表，变量]线性函数拟合的基函数为1，x ，n阶多项式拟合的基函数是1,x,x2,…xn。
例一册书的成本费y与印刷的册数x有关，统计数据如下：xi(千册) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10yi（元）10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15试用y=a+ 去拟合上述数据。
mathematica程序及运行结果如下：data={10.15,5.52,4.08,2.85,2.11,1.62,1.41,1.30,1.21,1.15};fit[data,{1,1/x},x]四、实验内容与要求1 画出实验问题的数据图，并粗略估计这些数据与什么类型的函数比较吻合？2 取经验公式为线性函数y＝ax＋b 按照最小二乘法的原理用mathematica编程解实验问题。
3 取经验公式为y＝ax＋b ＋c sin[ x]+d cos[ x] ,用mathematica中算符fit[]来求解实验问题，并与内容2的精度比较，对比实际情况，你能得出什么？五、操作提示12 拟合程序及运行结果如下：预测程序及运行结果如下：3 程序及运行结果如下：计算两种经验公式的精度可以看出第二种较好，这与客流量呈季节被动变动的实际情况吻合。
怎样用mathematica拟合二元函数？数据拟合由一组已知数据（xk，yk）（k=1，2，…，n），求函数的近似解析式y=f（x），就是数据拟合问题，当然函数还可以是多元的。
Mathematica提供了进行数据拟合的函数：Fit[data，funs，vars] 对数据data用最小二乘法求函数表funs中各函数的一个线性组合作为所求的近似解析式，其中vars是自变量或自变量的表。
《非线性拟合》课件
梯度下降法
梯度下降法是一种迭代优
1
化算法，通过不断迭代更
新参数来最小化目标函数
。
4
梯度下降法的缺点是收敛 速度较慢，可能需要多次 迭代才能找到最优解，且 对初始值敏感。
梯度下降法的核心思想是
2
沿着负梯度的方向搜索参
数空间，以最快的方式找
到最小值点。
3 梯度下降法的优点是简单
易行，适用于大规模数据
的拟合，而且能够给出全
考虑模型的复杂度和解释性
在选择模型时，需平衡模型的复杂度和解释性。
参数估计
STEP 02
STEP 01
参数优化
参数初始值设定
为模型参数设定合适的初 始值。
STБайду номын сангаасP 03
参数诊断
对参数进行诊断，确保参 数的合理性和有效性。
使用合适的优化算法对模 型参数进行优化。
模型验证
内部验证
使用交叉验证等方法对模型进行内部验证，评估模型 的性能。
《非线性拟合》PPT 课件
• 非线性拟合的基本概念 • 非线性拟合的方法 • 非线性拟合的步骤 • 非线性拟合的实例 • 非线性拟合的注意事项
目录
Part
01
非线性拟合的基本概念
定义与特性
总结词
非线性拟合的定义、特性
详细描述
非线性拟合是指通过非线性函数对数据进行拟合的方法。它能够更好地描述现实世界中的复杂关系，因为现实世 界中的许多现象都受到非线性因素的影响。非线性拟合具有更高的灵活性和适应性，能够更好地捕捉数据中的复 杂模式和结构。
Part
03
非线性拟合的步骤
数据准备
数据收集
收集相关数据，确保数据 的准确性和完整性。
在mathematica中的合并两组数据求解回回归模型-概述说明以及解释
在mathematica中的合并两组数据求解回回归模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数据分析和预测建模中，合并多组数据并求解回归模型是一个常见的需求。
通过合并两组数据，我们可以获得更全面和准确的数据集，进而提高回归模型的预测能力。
本文将介绍如何在Mathematica中使用其丰富的函数和工具来实现数据的合并和回归模型求解。
首先，我们将讨论数据合并的重要性和意义。
数据的合并可以将来自不同来源、不同时间段或不同数据集的信息整合在一起，从而得到更为全面和具有代表性的数据集。
这样一来，我们可以从更广泛的角度来观察和分析数据，发现其中的规律和趋势。
合并数据还可以避免信息的重复和缺失，提高数据的完整性和一致性。
接下来，我们将介绍回归模型的求解方法。
回归分析是一种用于描述和预测变量间关系的统计分析方法，通过建立数学模型来解释自变量对因变量的影响。
回归模型可以帮助我们理解变量之间的相关性，并用于预测和预测未来的数值。
最后，我们将详细讲解如何在Mathematica中应用这些方法来合并两组数据和求解回归模型。
Mathematica是一种功能强大且易于使用的数学建模和数据分析软件，提供了丰富的函数和工具，可以简化和加速我们的工作流程。
我们将演示如何使用Mathematica中的内置函数来导入、处理和合并数据，以及如何使用回归分析函数来求解回归模型。
通过本文的学习，读者将了解到如何合并两组数据并求解回归模型的基本方法和步骤，以及如何利用Mathematica工具来简化和加快这一过程。
这将帮助读者在进行数据分析和建模时更加高效和准确。
在结论部分，我们还将对实验结果进行分析，并讨论方法的优劣和可能的改进方向，以期为读者提供更多的思考和启示。
综上所述，本文的目的是介绍如何在Mathematica中合并两组数据并求解回归模型。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这些方法，从而在数据分析和建模的过程中取得更好的结果。
Mathematica偏导数最小二乘法（线性回归）
Mathematica偏导数最⼩⼆乘法（线性回归）a = 2/123a //输出的还是2/123N[a] //输出的就是⼩数点N[a,2] //保留三位⼩数点Clear[a]Solve[2== x^2-7 , x] //结果-3 和 3Plot[Sin[x], {x, 0, pi}]Integrate[1/(1 - x^3), x]Log[1] = 0积分中的积分d ⼀定适⽤esc dd 打出来的或者\[DifferentialD].求导：f = 1/(1+x)D[f,x] 也就是f'(x)D[f, {x, 2}] ⼆阶导ScientificForm[0.0000125] = 1.25 * (10^-5) //这种是科学计数微分:DSolve[{y'[x] - 2*y[x] == 0}, y[x], x] //不带初值DSolve[{y'[x] - 2*y[x] == 0, y[0] == 1}, y[x], x] //初值微分⽅程y'-2y=0 y[0]=1绘图:1,one dim⼀元函数2,画带有积分的⼀元函数要注意:参数⽅程:x=(sin t) ^3y=(cos t) ^3同时绘制2个参数图:参数图并且求导：三维参数图:r(t ) = (cos t)i + (sin t)j + (sin2t)kz = x^2 + y^2ContourPlot3D[x^2 + y^2 == z, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, {z, -18, 18}, PlotLabel -> "x^2+y^2=z"]2,:z^2 + x^2 -y^2=13 ⼆元函数:⼆元函数的图形是三维坐标空间的⼀个点集. 所以⼆元函数形式为f(x,y) ,f(x,y)= c ,就是等位线（等⾼线）⽅程。
画 (a)⼆元函数给定的曲⾯，(b)并且画等⾼线(等位线),(c)并且画f 给定点的等⾼线(等位线)4,三元函数:三元函数的的图形是四维空间的⼀个点集. 所以画三元函数的⼀些等⾼线便于理解三元函数.例如:f(x,y,z) = 4Ln(x^2 + y^2 + z^2)可以画f(x,y,z) = 0 ,f(x,y,z)=1 .... 三维等位⾯图形。
Matlab与Mathematica在非线性拟合中的应用比较
（ ０２ ， ０｝ ０ ５ ６ ｝ Ｏ７ ， ５｝ ｛ ． ５ ３ ，｛ ． ８ ，｛ ．５ ７ ， ｛ ， ２ ， ｛ ．， ２｝ ２ ７ ，｛ ．， ８｝ １８ ） １ ８ ，｛ ， ７｝ ２５ ６ ， ５ ｛ ， ８） ３５ ５ ，｛ ， １ ， ｛ ．， ０） ３ ６ ，｛ ．， ８） ４ ５ ） ４ ５ ５ ， ｆ ， １ ，ｆ ， ８ ， ｛ ， ５） ｛ ， ８ ， ５ ４ ｝ ６ ３ ） ７３ ， ８２ ｝ ｛ ， ５｝ ｛ ０ １ ，｛ １ １ ， ９ ２ ， １ ， ８） １ ， ５｝ ｛ ２ ｌ ， （ ３ １ ， ｛ ４ ７｝ ｌ ， ２｝ １ ， ０） １ ， ，
时 间 （ＪＨ ，Ｉ ，
ｐ ＝ ｉ Ｐｏ ｄ ｔ］ ｇ Ｌｓ ｌｌ ａ ｔ ｔ ａ 就 可以输 出的带坐标 的散点 图。 当数 据 需手 动输 入 时 ，Ｍａｈ ｍａｉａ ｔｅ ｔ 可 ｃ 以 随 时 将 录 入 错 误 的 数 据 加 以 修 正 ，而 在 Ｍ ａｌｂ 令 窗 口中 ，如 果 需 要修 正 数 据 ， ｔ 命 ａ 就 必 须 调 出 已输 入 过 的 数 据 再 加 以 修 改 ， 查 找起 来 不 ￣ Ｍａｈ ｍａｉａ 便 。作 图时 Ｎ ｔ ｅ ｔｃ 方 Ｍａａ 使用绘 图命令ｐｏ ｔｂ ｌ ｌ ｔ＝ （ ，Ｙ 口 ） ｔ ， ，而 Ｍａｈ ｍａｉ 用Ｌｓ ｌｔ ａａ，两 种软件 绘 图 ｔ ｅ ｔ ａ ｉ Ｐ ｏ［ ｔ ］ ｃ ｔ ｄ 操 作都很 方便 。 其次 ，利 用软 件的 内建 函数对 此数据 进 行 非线性拟 合 。做 出比较 。 用Ｍａｌ 的 内 建函数 对参 数求 解 ，可调 ｔｂ ａ 用 最小二乘拟 合 函￣ｌ ｃｒｅｔ ，先 定义非 ｓ ｕｖｆ（） ｑ ｉ 线性 函数ｔ ． 文件 ： ｉ ｉ ｍ ｎ ｆｎｔ ｎ ｕ ｃｏ Ｙ＝ ｆ （，ｔ ｉ ｕａ ） ｎ Ｙ ＝ （ ｝ｘ （ａ１ ｔ ＊ｘ （ａ ） ） ａ ） ｐ一 （｝） ｅｐ一 （ ） ３ｅ ） 一 ２ ｔ 这 里ａ１ ｏ，ａ ） ｐ，ａ ） （） Ｌ （ 为 为 ２ （ 代表Ａ，即 ３ 为ｙ Ａ ｅ ＝ （ Ｌｅ ） － 。 在 命令窗 口中运 行以下 命令 ： ＞＞ ｔ＝ ［ ．５ ．，０ ７ ，１ ．，２ ０ ２ ，Ｏ ５ ．５ ，１５ ，
数学工具（MathTools）
数学工具（MathTools）数学工具(MathT ools)FAQ (Frequently Asked Questions)>===================================== ========<目录第一节：一般性问题===================================1).关于这个FAQ2).什么叫数学工具？3).数学软件的主要分类有哪些?各有什么特点？4).什么叫拟合？什么叫插值？二者的区别是什么？5).如何生成任意分布的随机变量？6).FFT输入和输出的意义是什么？7).我有一组x,y,z值，非规则点阵，如何绘制曲面或者等高线或者插值？第二节：Matlab的常见问题===================================1).Matlab 6.X在Windows 2000/XP上无法启动2).我有一组x,y,z值，非规则排列，如何在Matlab中绘图？3).如何在给定句柄的axis里绘图?4).由Matlab符号运算得到的公式怎么才能将数据代进去运算？5).在Matlab中如何求最值点？如何求一维数组的极值？6).Matlab中如何作线性拟合/线性回归/多元线性回归？7).Matlab中如何作圆回归？8).Matlab中如何绘制箭头？9).Matlab中如何作二维数据的插值?10).Matlab中如何绘制三维数据阵？11).Matlab中如何注解一大段代码？12).Matlab中如何计算程序运行的时间？13).Matlab中如何改变默认的工作路径？14).Matlab如何改变默认的图形字体?15).如何在Matlab中实现交互操作？16).Matlab中为什么只能在小数点后显示四位?17).Matlab如何在命令窗口按照格式输出？18).如何在Matlab中画隐函数曲线？19).Matlab中什么函数可以删除矩阵的某一行或列？20).Matlab中能开的最大数组是由什么决定的？21).如何在Matlab中添加新的工具箱？22).如何读写Matlab的.mat文件？23).如何得到contour线上的坐标点？24).如何将Matlab绘制的三维网格图帖到word里？25).请问可以查看Matlab中函数的源代码吗?26).Matlab有没有求矩阵行数/列数/维数的函数？27).Matlab中如何中断运算？28).Matlab中有没有画圆或椭圆的函数？29).Matlab下如何定义整形30).Matlab如何产生均匀分布的白噪声?31).在Matlab中debug的时候能否跟踪变量的?32).请问在Matlab中怎样输入特殊符号啊或者上标、下标？33).Matlab中如何后台运行一个DOS程序?34).Matlab如何加载输入文件(批处理模式). ？35).Matlab如何启动时执行规定的文件？36).如何在Matlab GUI中使用图形背景？37).大量数据点Matlab绘图为什么很慢？38).Matlab中如何求解广义积分？即积分限到有无穷的或者有歧异点的积分(瑕积分)？39).为什么我的Matlab程序这么慢？40).Matlab中如何作线性拟合/线性回归/多元线性回归？第三节：Mathematica的常见问题===================================1).Mathematica 可以定义变量为实数么？2).Mathematica中如何中断运算？3).请高手推荐Mathematica参考书4).请问在Mathematica中如何画极坐标图?5).Mathematica中如何对离散点作积分？6).在Mathematica中创立palette？7).Mathematica可以作用户界面吗?第四节：Matcom的常见问题===================================1).什么是Matcom?它与Matirx/MIDEV A的关系是什么？2).如何取出matcom矩阵的元素的值并交给C语言变量?3).Matcom中有多个输出的函数在C++中应该怎么调用？4).如何在VC或C++Builder中使用matcom数学库？5).使用了matcom4.5数学库的VC/C++Builder程序如何发布？6).安装matcom在搜索matlab路径时说找不到matcom.m，怎么办？7).使用MIDEV A在编译有些工具箱和simulink的程序时出错，请问是什么原因？第五节：Matlab与其他语言和软件的接口问题===================================1).如何在Matlab中读取Excel的xls数据文件？2).如何在Excel中嵌入Matlab?3).mcc,mex,mbuild都是作什么用的？4).用mcc生成的独立执行exe文件怎么发布？5).如何在VC中调用Matlab engine?6).如何在Matlab调用外部的c/c++/fortran函数?7).如何在Delphi中调用Matlab(ActiveX).?8).如何在C++ Builder中调用Matlab(ActiveX).?9).如何在VB中调用Matlab(ActiveX).?10).如何在VC中调用Matlab编译的cpp文件11).如何在VC中调用mcc编译的dll?12).如何在Matlab中调用其他软件的ActiveX接口？第六节：高级语言数值、数学编程的问题===================================1).如何在Visual Fortran中画图？2).在FORTRAN中如何动态开数组第七节：其他数学软件常见问题===================================暂无，有待补充第八节：数学排版输入语言和软件===================================1).LaTeX如何修改行间距2).LaTeX如何让表格的cell能写多行?3).如何转换Word->PDF?4).如何转换Word->Latex?5).LaTeX如何使用中文?6).如何在LaTeX中使得希腊字母显示为粗体，\mathbf不起作用?7).LaTeX中引用参考文献[1~10]怎么产生?8).LaTeX中的计数器怎么用?9).Mathematica中绘制的图，如何插入到LaTeX文档中？10).Matlab中绘制的图，如何插入到LaTeX文档中？11).Tecplot中绘制的图，如何插入到LaTeX文档中？12).Word/Powerpoint中绘制的图，如何插入到LaTeX文档中？第九节：数学建模竞赛===================================1).什么是全国大学生数学建模竞赛CUMCM？2).什么是美国数学建模竞赛MCM？3).哪里能找到合适的数学建模书籍和试题资料？4).我是研究生，是否还可以参加数学建模竞赛？第十节：数学资源===================================1).请问哪里可以找到C/C++/Fortran数学函数库2).请推荐好的中文数学软件论坛或网站MathTools FAQ正文>************************************************************* ****************< > 第一节：一般性问题>************************************************************* ****************<===================================1)关于这个FAQ:#FangQ(Qianqian.Fang@/doc/1319012698 .html),2002/6/22, SMTH/MathTools #为什么要写这个FAQ呢？简单一点，就是为了避免重复，慢慢积累，提高水平。
Mathematica第6章 插值与拟合资料讲解
6.3 曲线拟合
给定一组数据，Mathematica可按最小二乘法的原 理对这组数据进行线性拟合或n次多项式等曲线拟 合，调用函数格式：
函数 Fit[data,funs,vars] Fit[{f1,f2,…},{1,x},x] Fit[{f1,f2,…},{1,x,x^2},x]
A,b]
x≥0下取得最小值的
矢量x
6.5.2无约束非线性规划
函数
意义
FindMinimum[f,{x,x0}] 从点x=x0开始，求函数f局 部最小值
FindMinimum[f,{x,x0,x 以x0,x1作为x的开始两个
1}]
值，求局部最小值
FindMinimum[f,{x,x0}, 求多自变量函数的极小值
Fit[data,Table[x^i,{i,0,n}],x]
意义
用变量为vars的函数 funs拟合一组数据 线性拟合,拟合函数形式 为a+bx 二次曲线拟合,拟合函数 形式为a+bx+cx2
n阶多项式拟合
练习
已知函数为2e-x 1、求x从0到10的函数表（为近似值）。 2、求第一题所得数据的线性拟合。 3、求第一题所得数据的二次线性拟合。 4、把两次拟合的图形与原图形进行比较。
{y,y0},…]
FindMinimum[f,{x,x0, (xmin,xmax),(ymin,ymax)局 xmin,xmax},{y,y0,ymin 部极小点的上下界估计值
,ymax},…]
演示.5.nb
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6.5数学规划
6.5.1线性规划
mathematica通过数据进行曲线拟合 导出公式
mathematica通过数据进行曲线拟合导出公式Mathematica是一种功能强大的数学计算软件，可以通过数据进行曲线拟合，并输出拟合公式。
要在Mathematica中进行曲线拟合，需要先导入数据。
可以使用`Import`命令导入数据文件，或直接使用`List`命令输入数据。
例如，假设要拟合的数据为一个二维列表，其中`x`为自变量，`y`为因变量，可以使用以下命令导入数据：```data = {{x1, y1}, {x2, y2}, ...}；```然后，可以使用`FindFit`命令进行曲线拟合。
`FindFit`命令需要指定拟合的函数形式和拟合参数的初始值。
例如，可以使用以下命令进行线性拟合：```fit = FindFit[data, a*x + b, {a, b}, x];```其中，`data`为输入数据，`a`和`b`为拟合参数，`x`为自变量。
拟合结果将存储在`fit`中。
要导出曲线拟合的公式，可以使用`Normal`命令。
例如，可以使用以下命令导出线性拟合的公式：```fitFunc = Normal[fit];```其中，`fitFunc`即为拟合的线性函数。
准确回答你的问题，曲线拟合的准确性取决于拟合函数的选择和数据的合理性。
可以通过调整拟合函数的形式和参数的初始值，以及增加拟合参数的数量，来提高拟合的准确性。
此外，还可以对数据进行预处理，例如去噪、平滑等，以获得更准确的拟合结果。
拓展的话，Mathematica不仅可以进行简单的曲线拟合，还可以进行更复杂的拟合任务，如非线性拟合、多项式拟合、曲面拟合等。
可以利用Mathematica提供的丰富的拟合函数和性能强大的计算能力，在科学研究、工程分析等领域中广泛应用。
matlab非线性参数拟合估计_很好的参考材料
使用nlinfit 、fminsearch 在matlab 中实现基于最小二乘法的非线性参数拟合(整理自网上资源) 最小二乘法在曲线拟合中比较普遍。
拟合的模型主要有1. 直线型2. 多项式型3. 分数函数型4. 指数函数型5. 对数线性型6. 高斯函数型一般对于 LS 问题，通常利用反斜杠运算“”、 fminsearch 或优化工具箱提供的极小化函数求解。
在 Matlab 中，曲线拟合工具箱也提供了曲线拟合的图形界面操作。
在命令提示符后键入： cftool ，即可根据数据，选择适当的拟合模型。
“”命令1. 假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*xT.首先建立设计矩阵X：X=[o nes(size(x)) x x A2];执行：para=X\ypara 中包含了三个参数： para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c;这种方法对于系数是线性的模型也适应。
2. 假设要拟合： y=a+b*exp(x)+cx*exp(xA2)设计矩阵 X 为X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.A2)];para=X\y3. 多重回归(乘积回归)设要拟合： y=a+b*x+c*t ，其中 x 和 t 是预测变量， y 是响应变量。
设计矩阵为X=[ones(size(x)) x t] % 注意 x,t 大小相等！para=X\y polyfit 函数polyfit 函数不需要输入设计矩阵，在参数估计中， polyfit 会根据输入的数据生成设计矩阵。
1. 假设要拟合的多项式是： y=a+b*x+c*xA2 p=polyfit(x,y,2)然后可以使用 polyval 在 t 处预测： y_hat=polyval(p,t)polyfit 函数可以给出置信区间。
[p S]=polyfit(x,y,2) %S 中包含了标准差[y_fit,delta] = polyval(p,t,S) % 按照拟合模型在 t 处预测在每个 t 处的 95%CI为：(y_fit-1.96*delta, y_fit+1.96*delta)2. 指数模型也适应假设要拟合： y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2) p=polyfit(x,log(y),2)fminsearch 函数fminsearch 是优化工具箱的极小化函数。
mathematica通过数据进行曲线拟合 导出公式
在Mathematica中，你可以使用内置的Fit函数进行曲线拟合。
以下是一个基本的例子：mathematica复制代码
data = {{0, 0}, {1, 1}, {2, 4}, {3, 9}, {4, 16}, {5, 25}};
model = a*x^2 + b;
fit = Fit[data, model, x, "ThroughOrigin"];
{aValue, bValue} = coeff /. First@FitResult /. fit
Export["fitResults.txt", "a = "<> ToString[aValue] <> ", b = "<> ToString[bValue]]
在这个例子中，我们首先定义了一些数据点，然后定义了一个模型函数model，它是一个二次函数。
然后我们使用Fit函数对数据进行拟合，并指定x为自变量，model为因变量。
"ThroughOrigin"选项表示模型函数将通过原点。
最后，我们提取拟合结果的系数a和b，并导出到名为"fitResults.txt"的文件中。
这只是一个基本示例。
在实践中，你可能需要对数据进行更多的处理，比如缺失数据的处理，异常值的处理等等。
Mathematica的Fit函数提供了许多选项，可以让你对拟合过程进行更精细的控制。
Mathematica的综合、作图与拟合功能
第1章 Mathematica 的 综合、作图与拟合功能Mathematica 软件系统俗称是Mathematica 数学专用软件包，是一个功能强大的计算机软件系统，其主要功能是（1）数学符号运算：几乎所有我们能够见到的数学运算它都能计算，并且它能根据使用者的需要给出符号结果与数值结果。
例如，运算 3121 的结果可以是 65，也可以是0.833333；（2）强大的作图功能：可以数据作图，也可以参数作图或函数作图，还可以自定义作图；（3）带有丰富的子程序软件包，方便各种专业人士的使用。
Mathematica 软件系统是由美国的 Wolfram Research 公司1986年开始开发的，现今市面上已有Mathematica 软件系统出售。
应用Mathematica 软件系统的几点说明：(1) Mathematica 每次执行一个工作块（Cell ）中的程序与命令。
执行命令时，首先激活此命令所在工作块右边的蓝色标志线（或者将光标放在此工作块程序之中的任何位置上），然后按击键盘右下方数字区的小Enter 健（或者Shift + Enter ），即可执行指定工作块中的程序和命令。
(2) 点击工具栏中的“help ”功能，可以查询任何一条命令的功用、要求、使用范围、格式等等。
(3) Mathematica 中有许多符号已被软件包内部专用，因此，使用者在编程序时禁止使用C 、D 、E 、I 、N 、M 、Pi 等。
(4) 若在Mathematica 的程序后面打分号“；” ，则机器正常运算，但不显示运算结果。
(5) 若在Mathematica 的程序最后面加 //Timing ，则机器不但显示运算结果，而且显示运算时间。
(6) 若多次调用同一个字母，例如x ，最好在调用后使用清空命令 Clear[x] 。
(7) 依次点击 File ，Palettes ，BasicInput 就可出现一个基本输入模板，将会大大方便使用者输入数学符号和公式。
mathematica实验报告6(线性代数,插值,拟合)
结果：{{15,13,22},{18,16,26}}
（2）。命令：Det[u]
结果：{{15,13,22},{18,16,26}}
（3）。命令：Inverse[u]结果：w={{1,2,0},{2,1,0},{0,0,2}}
三命令：w={{1,2,0},{2,1,0},{0,0,2}}
Eigensystem[w]
四、程序、命令与结果
一．（1）命令：IdentityMatrix[3] %//MatrixForm
结果：
（2）命令：Table[If[i>j,0,2],{i,1,3},{j,1,4}] //TableForm
结果：
二．（1）命令：v={{4,5,6},{5,6,7}}
u={{1,2,0},{1,1,2},{1,0,2}}
新疆财经大学《数学软件》实验报告
实验6线性代数、插值与拟合
班级专业：姓名：学号：日期：成绩：
一、实验目的
1．掌握线性代数中的各种变换及运算；
2.掌握函数的插值与拟合方法；
二、实验准备
命令：MatrixForm、Table、IdentityMatrix、DiagonalMatrix、Det、Transpose、Inverse、Eigenvalue、Eigenvectors
3）利用所求得的P5（x）计算P5（2.3），P5（4.5）。
6.对数据表Tb1：
1)在[0，6]上分别求2，4，6次拟合多项式P2(x),P4(x),P6(x)；
2）依次画出y2=P2（x），y4=P4（x），y6=P6（x）的图形c2,c4,c6;
3）将曲线c2,c4,c6连同曲线c0： 组合在同一坐标系下。
PseudoInverse、SingularValues、RowReduce、LinearSolve、NullSpace、Interpolation、Fit等命令
Mathematica软件进行拟合
实验九数据的曲线拟合一、实验目的与要求学会利用Mathematica软件对已知数据进行拟合处理，并针对拟合结果的图形显示分析拟合函数的优劣二、实验的基本知识熟知一些曲线及其方程三、实验的具体内容例1现有一组实测数据试用某种函数（如一元二次函数）对它进行曲线拟合解输入数据表L={{0,0.3},{0.2,0.45},{0.3,0.47},{0.52,0.50},{0.64,0.38},{0.7,0.33},{1.0,0.24}}由于假设用一元二次函数拟合，因而经验函数表为{1 , x , x^2}键入f=Fit[L,{1, x , x^2},x]为观察拟合情况，我们在一个图上画出数据点和拟合函数，键入ListPlot[L,PlotStyle→{RGBColor[0,1,0],PointSize[0.04]}]Plot[f,{x , -0.2 , 1.2}]Show[%,%%]或键入fp= ListPlot[L,PlotStyle→{RGBColor[0,1,0],PointSize[0.04]}]gp= Plot[f,{x , -0.2 , 1.2}]Show[fp,gp]运行可得拟合函数为0.33129+0.596026x-0.71812x2，并且从图形中可以观察拟合的结果，若散点图与曲线拟合不够理想，可以考虑用更高次的多项式或其它函数进行拟合。
例2 在某化学反应里，由实验得到生物的浓度与时间的关系如下，求浓度与时间关系的拟合曲线t（分） 1 2 3 4 5 6 7 8y 4 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86t（分）9 10 11 12 13 14 15 16y 10.0 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6解为确定拟合函数的类型，可先在直角坐标系中作出散点图，键入t1={{1,4},{2,6.4,{3,8.0}},{,{5,9.28},{6,9.5},{7,9.7},{8,9.86},{9,10.0},{10,10.2},{11,10.32},{12,10.42},{13,10.5},{14,10.55},{15,10.58},{16,10.6}}t2=ListPlot[t1,PlotStyle→{RGBColor[0,1,0],PointSize[0.04]}]若用四次多项式进行拟合，则键入t3=Fit[t1,Table[x^I,{I,0,4}],x]t4=Plot[t3,{x,0,17},PlotStyle→{RGBColor[1,0,0]}]Show[t2,t4]运行后，可得拟合函数的表达式以及散点图与拟合函数图，从图中可见二者的吻合情况是否满意。
非线性拟合的初值问题
第24卷第1期吉首大学学报(自然科学版)Vol.24No.1 2003年3月J ournal of J ishou University(Natural Science Edi ti on)Mar.2003文章编号:1007-2985(2003)01-0037-03非线性拟合的初值问题*胡亮(昆明理工大学数理系,云南昆明650224)摘要:综述了非线性拟合初值的求解方法,并在前人研究的基础上提出了常见非线性模型初值的简便求法.该方法既可在计算机上编程实现,亦可利用计算机数学分析工具M atlab,Maple,Mathematica,M atcad,微软EXCEL及微软ORIGIN等直接求解.关键词:数据处理;非线性拟合;插值法;数值微分中图分类号:O241;O245文献标识码:A曲线拟合是数据分析和数据处理的重要工作之一.曲线拟合可分为线性拟合和非线性拟合.许多数据关系可化为线性模型,但数据关系极其复杂;非线性模型也是工程技术和预测分析中常遇到的数据关系[1~3].非线性模型参数需用(加权)最小二乘法或最优化方法求解.通常的求解方法具有局部收敛性,需要给出适合的初值,初值准确与否是整个求解工作成败的关键.目前各种数学分析工具用于非线性拟合时,都要给出参数初值.Matlab,Maple,Mathematica可用求极小值或最小二乘函数公式求非线性模型参数; Matcad则有多种非线性拟合公式,其中包括广义非线性拟合公式genfit;微软EXC EL应用/规划求解0工具也能进行非线性拟合[4];微软ORIGI N则提供了许多拟合函数.但是上述方法都需要设定初值,Matcad的genfit还要求参数偏导的初值.通常初值设定是凭经验进行猜测和试探,盲目性很大,难于求得合适的初值,因此笔者拟对该初值问题进行了探讨.1初值估算方法概述由于非线性拟合比较复杂,因此应尽可能将模型线性化,如进行取变量的倒数、对数等数学变换,关系式的微分-积分线性化变换[3,4],分段线性化,根据专业理论简化模型(如忽略小量)等,将非线性拟合问题转化为线性拟合问题.对于不能线性化的模型,其最优化拟合就存在参数初值问题.首先,可进行专业理论分析确定参数数值范围,在这个范围内设定初值.其次,最简单的方法是选定几组实验值代入模型,联立其中简单的方程求解参数[1~3];或者用消元法得到单参数的非线性方程,用较宽的求解方法求解,如劈因子法;或研究其大范围的收敛性,得到近似初值[6],该方法需要通过数学分析确定单变量方程的收敛区间.对于多参数、高度复杂的非线性拟合,可采用各种确定性和随机性的全局最优算法.但是,全局最优理论和方法比较复杂,需要繁琐的编程和大量的计算.同时,线性化变换不如非线性拟合直接,可能仅得到近似值.因此,有必要对应用广泛而又常见的非线性拟合寻找简便的参数初值确定方法.2几种初值估算方法2.1参数消元法最常见的非线性拟合是包含3个参数的拟合问题.其中带常数项的幂函数和指数函数在应用中常常用到,其典型方程式为y=ax b+c和y=ab x+c(或y=a e b x+c),指数函数的2种形式很容易互相转*收稿日期:2002-06-02作者简介:胡亮(1964-),男,四川省泸州市人,昆明理工大学数理系博士研究生,主要从事计算机与应用化学研究.换,只要将b的对数或指数设为新的参数即可.Logistic模型y=d/(1+a e-b x)广泛应用于动物饲养、植物栽培、人口增长、病害流行、商品销售、资源开发及生态环保等研究领域中,若令Y=1/y,A=a/d,B= e-b,C=1/d,则转换为典型的指数函数形式.另外,如1/y=a e bx+c,y=c/(1+a e b x),y=c exp(a e b x), y=a/(c+x b),y=c exp(ax b)等,均可转换为前述方程形式.这2种模型的拟合可以用消元法得到单参数的方程,然后进行大范围收敛求解[6].但是如果设法估算系数c或b,然后再进行线性拟合确定其余参数,会变得更为简便.这种线性化估算方法对许多含3个参数的非线性拟合问题都有效,且方便直观,如y =a/(x+b)+c,y=a ln(x+b)+c;而y=x/(a+bx)+c(即y=(c+dx)/(a+bx)),lg y=a/(x +b)+c(化工中Anto ine公式形式)和y=c(x+b)a则可用变量代换转换为前2种形式.将2个实验点及其算术或几何平均值代入模型方程式,消元求解可推导出系数c或b的估算式[2,7].幂函数取几何平均值关系x3=(x1x2)12,则c=(y1y2-y23)/(y1+y2-2y3),其中(x1,y1),(x2,y2)为二实验数据点,y3为对应于x3的插值点.同样,指数函数系数估算式为算术平均值x3=(x1+x2)/2,c=(y1y2 -y23)/(y1+y2-2y3);y=a/(x+b)+c模型系数估算式为y3=(y1+y2)/2,b=(x1x3+x2x3-2x1x2)/(x1+x2-2x3);y=a ln(x+b)+c模型系数估算式为y3=(y1y2)12,b=(x23-x1x2)/(x1+x2-2x3).该方法可编程运算,亦可利用各种数学分析工具的插值功能来求y3或x3,再用线性拟合功能估算非线性拟合初值.另外,y=a/(x+b)+c模型可以采用将3个实验点代入模型联立求解的方法[8],或者代入1个实验点的值得(x-x1)/(y-y1)=b(b+x1)/a+((b+x1)/a)x,线性拟合可得a和b,a和b代回模型方程可得c.2.2数据图形特征值法有些数据的非线性拟合可通过绘制数据图形,再由图形特点确定拟合参数.图形特征值通常有曲线起点、峰值、峰位置、拐点、周期、渐近线等.例如,y=x/(a+bx)的渐近线方程为x=-a/b和y=1/b,近似读取渐近线在坐标轴上的截距,可得到a和b初值.在用Gaussian函数和Lorentzin函数进行谱峰拟合时,可根据峰值、峰位置和半高度处峰宽近似读取参数初值.Matcad2001新增加了拟合函数y=a sin(x+b)+c,可在图中读取正弦曲线的峰值、相位和Y轴平移量,最重要的是b的读取,而a和c还可用线性拟合得到.在传递函数和时间响应函数的动态实验数据处理中,可用特征值法求系统参数.[2]如典型二阶系统的传递函数为W(s)=X2n/(s+2F X n s+ X2n),其中阻尼比F和固有频率X n为系统参数,其阶跃响应函数为C(t)=1-a exp(-B t)sin(X d t+U),脉冲响应函数为g(t)=a X n exp(-B t)sin(X d t),其中a=(1-F2)-12,X d=X n(1-F2)12,B=F X n,U=tan-1{(1-F2)12/F}.参数可由数据图形的幅值、周期、渐近线等特征值得到.2.3数据点规划法在实验设计时,适当安排试验点可以将一些非线性回归问题转换为线性回归问题[9].同样,对1组数据不符合某非线性方程拟合所要求的数据间隔,甚至不知道是否符合该非线性模型时,可以用插值方法设置符合线性化要求的数据点.利用新设置的数据点进行线性拟合,如果符合线性关系,说明数据关系满足该非线性模型,并得到非线性拟合的参数初值.下面列出文献[8]中已证明可线性化的且具有机械工程应用背景的非线性模型.y=a+bx+c e dx模型:使x构成以h(h>0)为公差的等差数列,即x i+1=x i+h,则施行变换Y i= ln r y i+2-2y i+1-y i r,X i=x i,可化成直线形式Y=A+dX,这里A=ln r c(e dh-1)2r.c与d确定之后,令t=y-c e dx,则得t=a+bx,于是a与b也确定下来.y=ax b+cx d模型:使x构成以e h为公比的等比数列,即x i+1=e h x i,则施行变换X i=y i+1/y i,Y i= y i+2/y i,可化成直线形式Y=AX+B,这里A=e(b+d)h,B=-e(b+d)h.b与d确定之后,令G=y/x d,N= x(b-d),则得G=a N+c,于是a与c也确定下来.y=e a x(c cos(bx)+d sin(bx))模型:使x构成以h(h>0)为公差的等差数列,即x i+1=x i+h,则施38吉首大学学报(自然科学版)第23卷行变换X i =y i +1/y i ,Y i =y i+2/y i ,可化成直线形式Y =FX +E ,这里F =2e ah cos (bh),E =-e 2ah .a 与b 确定之后,令G =y /(e ax cos (bx )),N =tan (bx ),则得G =d N +c,于是c 与d 也确定下来.2.4微分线性化法如果非线性模型通过包括微分在内的各种运算可线性化,则可用线性拟合获得模型系数近似值,拟合的近似性是由数值微分的近似性决定的.微分运算可减少参数个数,在线性拟合之后须将所得系数代回到非线性模型,设法求解余下的参数.曲线的各阶微分可以用多项式作辅助函数求取,[10]这要求曲线能较好地用多项式逼近.当然,这也能用其它辅助函数及数值微分法得到微分值.下述模型可用微分线性化法获得拟合初值.H =a(1-e b D )c 模型:a,b,c 为待定参数,经对数、微分运算整理得H c 2-HH d =c -1H c 2-b HH c ,令y =H c 2-HH d ,x 1=H c 2,x 2=HH c ,线性化为y =c -1x 1-b x 2,b 与c 确定之后代入模型方程,并令x =(1-e b D )c ,经线性拟合可解得a.H =a(1-b e kD )c 模型:a,b ,c,k 为待定参数,经上面相同的方法得HH d -2H c 2=c -1H c 2-k HH c ,有了c 与k 之后,模型化为H 1/c =a 1/c -a 1/c b e kD ,由此求得a ,b.3 结语非线性模型是工程技术和预测分析中常遇到的模型,许多分析工具都有非线性拟合功能,如何确定参数初值关系到拟合功能能否有效利用.常见的非线性拟合可以用简便的方法设定参数初值,避免猜测和试探的盲目性,有时确定出的参数初值甚至已达到精度要求.在此总结的一些估算参数初值方法有助于分析工具非线性拟合功能的应用.但由于非线性拟合复杂多样,还须在实践中不断总结,尤其应根据实验事实和各专业理论寻找有效的方法.如谱峰分辨在分析科学中具有重要意义,可以从化学实验事实出发,提出可能的拟合峰个数、重叠峰位置等.参考文献:[1] 费业泰.误差理论与数据处理(第4版)[M].北京:机械工业出版社,2000.118-157.[2] 周秀银.误差理论与数据处理[M].北京:北京航空航天大学出版社,1986.151,194.[3] 忻新泉.计算机在化学中的应用[M].南京:南京大学出版社,1986.82.[4] 余 亮.利用Excel 软件进行非线性拟合的非编程方法[J].微型机与应用,2000,(5):16-17.[5] 胡 亮,唐光阳,施跃坚.确定一级反应常数的新方法[J].云南师范大学学报,2002,(1):37-38.[6] 王基.大范围收敛的迭代法求解非线性回归的参数[J].数学的实践与认识,1991,(2):49-57.[7] 陈明浚.三系数一元非线性回归的方法及程序设计[J].化学通报,1987,(1):50-54.[8] 王基.Antoine 公式常数拟合的初值问题[J].化学通报,1995,(3):53-54.[9] 骆振华.若干化为线性回归的曲线相关[J].数学的实践与认识,1985,(3):40-43.[10] 葛宏立.用多项式作辅助近似求解非线性回归的参数[J].数学的实践与认识,1989,(3):41-46.Initial -Value Problem of Nonlinear FittingHU Liang(Department of Mathematics,Kunming Universi ty of Science and Technology ,Kunming 650224,Yunnan China)Abstract:Based on the previous studies,the convenient solutions to the initial-value problem of nenlinear fitting can be realized by using a computer with programming or using Matlab,Maple,Mathe matica,Matcad,Microsoft Excel and Microsoft Origin,etc.Keywords:data-processing;nonlinear fitting;interpolation;numerical derivation 39第1期 胡 亮:非线性拟合的初值问题。
mathlab拟合曲线
Mathlab拟合曲线1. 介绍Mathlab是一种高级数学软件，用于数值计算、数据分析和可视化。
其中一个功能是拟合曲线，即通过给定的数据点找到一个函数，使得该函数与数据点最接近。
拟合曲线在科学研究、工程设计和统计分析中起着重要作用。
在本文中，我们将介绍Mathlab中拟合曲线的基本概念、方法和示例应用。
我们将从简单的线性回归开始，然后介绍多项式拟合、非线性拟合和最小二乘法等内容。
2. 线性回归线性回归是最简单的拟合曲线方法之一。
它假设数据点之间存在着线性关系，并通过找到一条直线来逼近这些数据点。
在Mathlab中，可以使用polyfit函数进行线性回归。
该函数接受两个参数：输入数据和多项式次数。
对于一元线性回归，多项式次数为1。
下面是一个示例代码：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];p = polyfit(x, y, 1);该代码中，x和y分别表示输入数据的自变量和因变量。
polyfit函数将返回一个多项式系数的向量p，其中p(1)表示斜率，p(2)表示截距。
3. 多项式拟合线性回归只能逼近数据点之间的线性关系。
当数据点之间的关系更为复杂时，可以使用多项式拟合。
在Mathlab中，可以使用polyfit函数进行多项式拟合。
该函数仍然接受两个参数：输入数据和多项式次数。
不同的是，多项式次数可以大于1。
下面是一个示例代码：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];p = polyfit(x, y, 2);该代码中，x和y分别表示输入数据的自变量和因变量。
polyfit函数将返回一个多项式系数的向量p，其中p(1)表示二次项系数，p(2)表示一次项系数，p(3)表示常数项系数。
4. 非线性拟合当数据点之间的关系无法通过线性或多项式模型来描述时，需要使用非线性拟合方法。
在Mathlab中，可以使用曲线拟合工具箱（Curve Fitting Toolbox）进行非线性拟合。
Mathematica线性回归和非线性拟合
Mathematica线性回归和⾮线性拟合线性回归和⾮线性拟合线性回归和⾮线性拟合都是根据随机观测的⼀些数据，按照最⼩⼆乘法的原理，得到要分析的量和与它相关的量之间近似的函数关系的过程。
此外，还要求对结果做显著性检验、区间估计、预测、模型的优劣讨论和改进等。
Mathematica中，使⽤函数Regress来进⾏线性回归分析，其使⽤格式和做曲线拟合的Fit函数是⼀样的：（如果你只想得到拟合的函数⽽不需要分析结果，可以使⽤Fit函数）Regress[拟合数据，⽤于拟合的函数列表，变量]下⾯是其常⽤的⼏种形式：例：数学模型（姜启源），第294页，⽛膏的销售量1．输⼊数据2．调⼊统计函数包，这是使⽤回归函数必须做的准备。
3．进⾏回归分析4．根据选项RegressionReport输出参数的置信区间关于结果分析和改进⼯作请参考书第297页~300页。
Mathematica中，使⽤函数NonlinearFit进⾏⾮线性拟合（在5.0版中，可以⽤内部函数FindFit代替），使⽤函数NonlinearRegress进⾏⾮线性回归分析，它们的使⽤格式是⼀样的，但NonlinearFit只给出最优拟合函数，⽽NonlinearRegress还可以对结果进⾏分析，此外它还有和Regress函数⼀样的选项RegressionReport。
下⾯是它们的使⽤格式：NonlinearFit[数据,拟合函数形式,变量表,参数表]NonlinearRegress[数据,拟合函数形式,变量表,参数表]例：数学模型（姜启源），第312页，酶促反应，混合模型的求解和分析上机练习：（1）数学模型（姜启源）第326页，第1题（答案：参见配套的习题解答）（2）数学模型（姜启源）第330页，第4题（答案：参见配套的习题解答）（3）2004年数学建模竞赛C题中，⼈⼀次性喝下含酒精Q的啤酒后，假设⾎液中酒精的浓度与时间的关系为：()()()bt ataQC t e eV a b--=--，这⾥V0=420百毫升,a,b为待定参数，⼀瓶啤酒含有的酒精量为21700毫克。
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线性回归和非线性拟合
线性回归和非线性拟合都是根据随机观测的一些数据，按照最小二乘法的原理，得到要分析的量和与它相关的量之间近似的函数关系的过程。
此外，还要求对结果做显著性检验、区间估计、预测、模型的优劣讨论和改进等。
Mathematica中，使用函数Regress来进行线性回归分析，其使用格式和做曲线拟合的Fit函数是一样的：（如果你只想得到拟合的函数而不需要分析结果，可以使用Fit函数）
Regress[拟合数据，用于拟合的函数列表，变量]
下面是其常用的几种形式：
例：数学模型（姜启源），第294页，牙膏的销售量
1．输入数据
2．调入统计函数包，这是使用回归函数必须做的准备。
3．进行回归分析
4．根据选项RegressionReport输出参数的置信区间
关于结果分析和改进工作请参考书第297页~300页。
Mathematica中，使用函数NonlinearFit进行非线性拟合（在5.0版中，可以用内部函数FindFit代替），使用函数NonlinearRegress进行非线性回归分析，它们的使用格式是一样的，但NonlinearFit只
给出最优拟合函数，而NonlinearRegress还可以对结果进行分析，此外它还有和Regress函数一样的选项RegressionReport。
下面是它们的使用格式：
NonlinearFit[数据,拟合函数形式,变量表,参数表]
NonlinearRegress[数据,拟合函数形式,变量表,参数表]
例：数学模型（姜启源），第312页，酶促反应，混合模型的求解和分析
上机练习：
（1）数学模型（姜启源）第326页，第1题（答案：参见配套的习题解答）
（2）数学模型（姜启源）第330页，第4题（答案：参见配套的习题解答）
（3）2004年数学建模竞赛C题中，人一次性喝下含酒精Q
的啤酒后，假设血液中酒精的浓度与时间
的关系为：
()()
()
bt at
aQ
C t e e
V a b
--
=-
-
，这里V0=420百毫升,a,b为待定参数，一瓶啤酒含有的酒
精量为21700毫克。
试根据题目给出的数据拟合求出参数a,b，作出相应的图形比较拟合的结果，并计算血液中酒精的浓度什么时候达到最大值。
附：某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：
（答案：可参考我校获奖论文）。