最新北京市2019年高三普通高中数学会考试题及答案

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2019年北京市夏季普通高中会考数学试卷(真题附答案)

普通高中会考数学试卷（附答案）第一部分选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0,1A =-，{}1,3B =，那么集合A B 等于{}1,0,1-A. {}1-B. {}1C. {}1,1-D.{}1,0,1,3- 2．不等式220x x +-的解集为 A. {}21x x - B. {}12x x - C ．{}21x x x -或 D ．{}12x xx -或 3．已知向量a =（-1，2），b = (2，y)，且a //b ，那么y 等于A ．-4B ．-1C ．1D ．44．给出下列四个函数：①21y x =-+； ②y = ③2log y x =； ④3x y =．其中在区间(0，+∞)上是减函数的为A ．① B．② C．③ D．④5．把函数cos y x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数关系式为 A ．s ()6y in x π=+ B ．s ()6y in x π=- C ． cos()6y x π=+ D ．cos()6y x π=- 6. 123log 94+等于A ．52B ．72 c ．4 D ．5 7．某校高中三个年级共有学生1500人，其中高一年级有学生550人，高二年级有学生450人，为了解学生参加读书活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为300的样本进行调查，那么应抽取高三年级学生的人数为A. 90B. 100C. 110D. 1208．已知数列{}n a 满足12n n a a --=（,2n N n +∈≥），且1=1a ，那3a 等于A. -3B. -1C. 3 D ． 59．已知5sin 13α=，那么sin()πα-等于 A ．1213- B ．513- C ．513 D. 121310.某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出的S 的值是A. 12B. 19C. 22D. 3211.已知0a ．那么4a a+的最小值是 A.1 B ．2 C ．4 D.512．已知4sin 5α=，那么s2co α等于 A ．2425- B ．725- C ．725 D. 242513.当实数,x y 满足条件102200x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩时，z x y =+的最大值为A. -2 .B. -1C. 1 D ．214.某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是A ．3B ．33C ．6D ．6315.在ABC ∆中，03,2,60a b A ===,那么sin B 的值为A ．13B ．2C ．23D. 6 16.已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b 的夹角为A. 450B. 600C. 900D. 135017.大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是A ．13B ．12C ．23 D. 34 18.函数()ln 2f x x x =+-的零点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 319.已知D 为原点，点P 在直线10x y +-=上运动，那么OP 的最小值为A．2B ．1 CD. 20．已知数列{}n a 中，13=4a ，111n n a a -=-（,2n N n +∈≥），那么2018a 等于 A ．13- B ．34c ．2 D ．4 21．直线l ：3450x y ++=被圆M ：22(2)(1)16x y -+-=截得的弦长为 AB ．5 C． D ．1022.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……”那么该人第一天走的路程为A ．24里B ．48里C ．96里D ．192里23.已知直线,,m n l ，平面,,αβγ，给出下面四个命题：①//αββγαγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ ②//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭③//l m m n l n ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ ④//////m n m n αα⎫⇒⎬⎭ 其中正确的命题是A ．① B．② C ．③ D．④24.给出下列四个函数：① ()sin f x x =; ②1()f x x= ; ③2()f x x =; ④()ln f x x = 对于()f x 定义域中任意的x ，满足不等式“[()x f x t +-()]0(0)f x t≥”的函数是A ．①② B．①③ C．②③ D．③④ 25.在2018年3月5日召开的第十三届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理代表国务院向大会报告政府工作，报告中指出：十八大以来的五年，是我国发展进程中极不平凡的五年．五年来，国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7. 1%，占世界经济比重从11. 4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，经济实力跃上新台阶，居民消费价格年均上涨1.9%，保持较低水平．2018年2月国家统计局发布了《2017年国民经济和社会发展统计公报》，其中“2017年居民消费价格月度涨跌幅度”的折线图如下图：说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2017年12月与2016年12月相比较；同比增长率=（本期数一同期数）÷同期数×100%. 环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2017年12月与2017年11月相比较；环比增长率=（本期数一上期数）÷上期数×100%.根据上述信息，下列结论中错误的是A ．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌B ．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大C ．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌D ．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大第二部分解答题（每小题5分，共25分）26.（本小题满分5分）已知函数()3sin 2cos 2f x x x =+． (I)函数()f x 的最小正周期为；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）( II)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．27.（本小题满分5分）如图，在三棱锥P- ABC 中，PA 上平面ABC ，AB= BC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点．( I)求证：PA∥平面BEF;(Ⅱ)求证：BE ⊥平面PAC ．28.（本小题满分5分）已知数列{}n a 是等差数列，且2=3a ，4+a 6=12a ．(I)数列{}n a 的首项1=a ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） (Ⅱ)数列{}n b 中，2n a n b = (n N +∈)，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，当n S ≤60时，求n 的最大值．29.（本小题满分5分）已知点P （-4，0）在圆O ：222x y r += (r>0)上，直线l 与圆O 交于A ，B 两点，且与圆C ：22(1)(1)2x y +++=交于M ，N 两点．( I)圆O 的方程为____；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） (Ⅱ)如果点M 为线段AB 的中点，且PM PN =，求直线l 的方程．30.（本小题满分5分）自然界的资源和空间是有限的，所以很多种群的增长呈“S”型曲线．“S”型曲线在社会学、生物统计学、临床、市场营销等很多方面都有广泛的应用．下面我们来研究一类“s”型曲线，它的函数表达式为1()x f x a be-=+（其中,a b 是非零常数，无理数e=2. 71828…）． (I)当2,1a e b =-=时，函数()f x 的定义域是；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上）(Ⅱ)如果0ab ，且0a b +，试证明函数()f x 的图象在直线1y a=的上方； (Ⅲ)如果函数()g x =()f x 12-的图象关于原点对称，求,a b 的值．。

北京市普通高中会考数学试卷习题.doc

2019 年北京市普通高中会考数学试卷号序考位生座须知1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）。

3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用 2B 铅笔。

4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。

第一部分选择题（每小题 3 分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.号1．已知集合A {0 ，1，2} ， B {1 ，2，3} ，那么集合 A I B 等于场考 A ．{ 0 }B． {1 ，2} C． {1，2，3} D． {01,2,3}2. 已知向量a (1， 2) ， b (2 ，m) ，且a b，那么m 等于A ．4 B．1 C．1 D．43.不等式x2 2 x 3 0 的解集为A. x 3 x 1B. x 1 x 3C. x x 3或 x 1D. x x 1或 x 34.某程序框图如图所示，如果输入 a ，b， c 的值分别是 3,1,9，那么输出 S的值是A.2B.2C. 3 3D.95.要得到函数y sin x 的图象向左平移个单位长度，6所得图像的函数关系式为A.y sin( x) A.y sin( x)6 6C. y cos( x)B. ycos( x)666. ( 1) 2 log 2 2 等于2A. 5B. 3C. 4D. 547.已知 1， a ， b ， 8是等比数列，那么ab 的值等于A. 1B. 4C. 8D. 168.sin45o cos15o cos45o sin15o 等于A. 1B.9．给出下列四个函数：1 C.1D. 122① yx 2 ； ② y x 3 ； ③ y x 1 ； ④ y e x .其中偶函数的序号是A ．①B ．②C ．③D ．④10. 某校共有学生 1000 人，其中男生 600 人，女生 400 人. 学校为检测学生的体质健康状况，统一从学生学籍档案管理库（简称 “CIMS 系统 ”）中随机选取参加测试的学生 . 现采用分层抽样的方法从中抽取容量为 30 的样本进行测试，那么应抽取女生的人数为A. 12B. 15C. 18D. 2011.已知直线 l 1 ： 2x y 1 0 ， l 2 ： ax y2 0，且 l 1 ∥ l 2 ，那么实数 a 等于A. 2B.12.已知角的终边过点1 C.1D. 222P(1,3) ，那么 tan 等于A.33 C.3 B.D. 32213.已知一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是A. 1B. 2C. 4D. 814. 在△ABC中，a 1 ， A 30°， B 45°，那么b的A ．1 B． 2 C． 3 D．215. 函数f ( x) 1 2x的零点的个数xA ．0 B．1 C．2 D．3x 0,16．当数 x, y 足条件y 0, ， z x y 的最小是2x y 2 0A. 2B. 1C. 0D. 217.已知数列a n 足 an 1an2(n N*) ，且 a 4 那么a n的前 4 和S等于1 4A ．0 B．1 C．2 D．418. 如果 a 0 ， b 0， ab 4 ，那么a b 的最小是A. 2 2B. 3C. 4D. 619.已知向量a,b足a 2 ， a b = 3 且 a,b 的角，那么 b31B. 3C. 3D. 3A.3320.某中学开展 3 拓展活，要求每名学生必参加其中的一活. 校甲、乙两名学生随机拓展活，恰好同一活的概率A. 1B. 1C. 1D. 24 3 2 3n，3,21.已知数列a n 足 a n 1 n ( n N*) ，且 a n 4 ，那么 n 等于，n > 32nA ．2 B．3 C．4 D．2或322.已知点P是x2 y2 4x 3 0 上的任意一点，那么P与原点距离的最小A ．1 B．2 C．3 D．423.我国古代数学着作《九章算》中有如下：“今有女子善，日自倍，五日五尺⋯⋯”其大意：“有一位善于布的女子，每天的布都是前一天的2 倍， 5 天一共了 5 尺布⋯⋯”那么该女子第一天织布的尺数为A.4 B.5C.6D.103131313124.已知直线 l 过原点，且与圆 x 2 ( y2)2 1 有公共点，那么直线 l 倾斜角的取值范围是A. [, 3 ]B. [6, 2] C. [ , 5]D. [, 2]33663 325.设 m ， n 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：① 如果 m ∥ ， n ∥ ，那么 m ∥ n ；② 如果 m ， m，那么∥；③如果， m，那么 m ∥ ；④如果，，那么∥ .其中正确命题的序号是A ．①B ．②C ．③D ．④26. 改革开放 40 年来，我国经济社会发展取得举世瞩目的辉煌成就，坚持巩固加强第一产业、优化升级第二产业、积极发展第三产业，三次产业结构在调整中不断优化，农业基础地位更趋巩固，工业逐步迈向中高端，服务业成长为国民经济第一大产业 . 尤其是党的十八大以来，经济增长由主要依靠第二产业带动转向依靠三次产业共同带动，三次产业内部结构调整优化 .国家统计局发布的数据如下，反映了从 2013 年到 2017 年三次产业对国内生产总值增长的拉动情况 .2013 -2017 年三次产业对国内生产总值增长的拉动指标指标 (百分点）2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年第一产业对国内生产总值增长的拉0.30 0.30 0.30 0.30 0.30第二产业对国内生产总值增长的拉3.80 3.50 2.90 2.60 2.50第三产业对国内生产总值增长的拉3.70 3.50 3.70 3.904.00三次产业对国内生产总值增长的拉7.807.306.906. 80 6. 80说明：我国的三次产业划分是：第一产业是指农、林、牧、渔业（不含农、林、牧、渔服务业） .第二产业是指采矿业（不含开采辅助活动），制造业（不含金属制品、机械和设备修理业），电力、热力、燃气及水生产和供应业，建筑业 . 第三产业即服务业，是指除第一产业、第二产业以外的其他行业 .根据上述信息 ,下列结论中错误的是 ?A.2013~2017 年，第一产业增加值占国内生产总值的比值保持不变B.2013~2017 年，第二产业增加值占国内生产总值的比值逐年减少C.2014~2017年，第三产业增加值占国内生产总值的比值不断增加D.2013~2017 年，三次产业增加值占国内生产总值的比例保持不变27.设函数f (x)x [ x]( x 0) ，其中 [ x] 表示不超过x的最大整数，如： [0.5]0 ，[2] 2 .如果函数 y kx 的图像与函数 f ( x) 的图像恰有3个交点，那么实数k的取值范围是A. [1,1) B. [1,1]C. [1,1) D. [1,1]4 3 4 35 4 5 4第二部分解答题（共 19 分）28.（本小题满分 5 分）已知函数 f ( x) cos2 x sin2 x①求 f () 的值；2②求函数 f (x) 在区间[, ] 上的最大值和最小值6 429.（本小题满分 5 分）如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是边长为1的正方形，点E, F 分别为线段BD1 ,CC1的中点。

2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)

2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2M =，{}2,3N =，那么M N ⋂等于（） A.φ B.{}1C.{}2D.{}3【答案】C【解析】根据交集运算直接写出结果. 【详解】因为{}1,2M =，{}2,3N =，所以{}2M N =，故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.2．已知向量()2,1a =r，()0,2b =- ，那么a b + 等于（）A.()2,3B.()21，C.()20，D.()2,1-【答案】D【解析】根据向量加法的坐标运算直接写出结果. 【详解】因为()2,1a =r，()0,2b =-，所以()()()20,122,1a b +=++-=-，故选：D. 【点睛】本题考查向量加法的坐标表示，难度较易.3．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（） A.12B.14C.18D.116【答案】B【解析】根据随机事件的概率计算完成求解. 【详解】可能出现的选择有4种，满足条件要求的种数为1种，则14P =，故选：B. 【点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）÷（基本事件的总数）. 4．圆心为()2,3A -，半径等于5的圆的方程是( ) A.22(2)(3)5x y -++= B.22(2)(3)5x y ++-= C.22(2)(3)25x y -++= D.22(2)(3)25x y ++-=【答案】C【解析】对比圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=进行判断即可. 【详解】因为圆心(),a b 即为()2,3-，半径=5r ，所以圆的标准方程为：()()222325x y -++=，故选：C. 【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易.5．已知向量()2,1a =-r，()1,b m =，且a b ⊥，那么m 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】根据向量垂直对应的坐标关系计算出m 的值. 【详解】因为a b ⊥，所以()2110m -⨯+⨯=，所以2m =，故选：C. 【点睛】本题考查向量垂直对应的坐标表示，难度较易.已知()11,a x y =r ，()22,b x y =r，若a b ⊥，则有：12120x x y y +=.6．直线30x y +-=与直线10x y -+=的交点坐标是( ) A.()2,2 B.()2,2-C.()1,3-D.()1,2【答案】D【解析】联立二元一次方程组求解交点坐标. 【详解】据题意有：31x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标为()1,2，故选：D. 【点睛】本题考查利用直线方程求解直线交点坐标，难度较易.直线的方程可认为是二元一次方程，两直线的交点坐标即为二元一次方程组的解对应的坐标形式.7．已知平面向量,a b 满足1a b ==r r，且a 与b 夹角为60°，那么a b ⋅等于( )A.14B.13C.12D.1【答案】C【解析】根据数量积公式完成计算. 【详解】因为11cos 1122a b a b θ⋅=⋅⋅=⨯⨯=，故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的计算，难度较易. 8．函数()()lg 1f x x =-的定义域为( ) A.R B.()1,+∞C.()0,∞+D.(),1-∞【答案】B【解析】根据真数大于零计算出的x 范围即为定义域. 【详解】因为10x ->，所以1x >，即定义域为()1,+∞，故选：B. 【点睛】本题考查对数型函数的定义域，难度较易.对数型函数计算定义域，注意对应的真数大于零.9．已知点()1,1A -，()2,4B ，那么直线AB 的斜率为( )A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】根据斜率的计算公式直接计算出斜率. 【详解】因为()1,1A -，()2,4B ，所以()41121AB k -==--，故选：A. 【点睛】本题考查根据两点坐标计算出两点构成的直线的斜率，难度较易.已知()11,A x y ，()22,B x y ，则2121AB y y k x x -=-.10．为庆祝中华人民共和国成立70周年，某学院欲从A ，B 两个专业共600名学生中，采用分层抽样的方法抽取120人组成国庆宣传团队，已知A 专业有200名学生，那么在该专业抽取的学生人数为( ) A.20 B.30C.40D.50【答案】C【解析】先计算出抽样比，然后根据（A 专业人数）乘以（抽样比）即可得到应抽取的人数. 【详解】据题意可知：抽样比为12016005=，则A 专业抽取人数为1200405⨯=人，故选：C. 【点睛】本题考查分层抽样的应用，难度较易.若要计算分层抽样的每一层应抽取数量，先要计算抽样比，利用每一层数量乘以抽样比得到该层应抽取的数量. 11．()cos αβ-等于( ) A.cos cos sin sin αβαβ+ B.cos cos sin sin αβαβ- C.sin cos cos sin αβαβ+ D.sin cos cos sin αβαβ-【答案】A【解析】根据两角差的余弦公式直接得到结果. 【详解】因为()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+，故选：A. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式的记忆，难度较易.12．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()12f -=-，那么()1f 的值为( ) A.0 B.12C.1D.2【答案】D【解析】根据奇函数找到()1f 与()1f -的关系即可计算出()1f 的值. 【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()112f f -=-=-，所以()12f =，故选：D. 【点睛】本题考查根据奇函数的特性求值，难度较易.若()f x 是定义域内的奇函数，则有：()()f x f x -=-.13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，如果3AB =，1AC =，12AA =，那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为( )A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】根据棱柱的体积公式求解直三棱柱的体积. 【详解】因为AB AC ⊥，所以322ABCAB AC S ⋅==；所以11113232ABC A B C ABC V S AA -=⨯=⨯=，故选：B.【点睛】本题考查棱柱的体积计算公式，难度较易.棱柱体积计算公式：V S h =⋅，其中S 是棱柱的底面积，h 是棱柱的高. 14．13sin6π的值为( )A.12【答案】A 【解析】先将136π变形为[]2,,0,2k k Z απαπ+∈∈，然后根据诱导公式一计算结果. 【详解】因为13266πππ=+，所以131sin sin sin 66226ππππ⎛⎫=== ⎪+⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式的运用，难度较易.注意诱导公式一：()()sin 2sin k k Z απα+=∈，()()cos 2cos k k Z απα+=∈.15．函数()3f x x x =-的零点的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】将()f x 因式分解后即可判断零点的个数. 【详解】因为()()()311f x x x x x x =-=+-，所以令()0f x =则有：1x =-或0或1，即零点有3个，故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点个数，难度较易.对于可直接进行因式分解的函数，可通过因式分解判断每个因式为零的情况，然后确定零点个数. 16．要得到函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．只需将函数2sin y x =的图象（） A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位【答案】A【解析】根据三角函数的图像变换中的相位变换确定结果. 【详解】根据相位变换的左加右减有：2sin y x =向左移动3π个单位得到2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换中的相位变换，难度较易.相位变换时注意一个原则：左加右减.17．直线l 经过点()1,1A ，且与直线230x y --=平行，则l 的方程为（） A.21y x =+ B.112y x =+ C.112y x =-- D.21y x =-【答案】D【解析】根据平行关系设出直线的一般式方程，代入坐标求解出一般式方程并转化为斜截式方程. 【详解】设l 方程为：()203x y C C -+=≠-，代入()1,1A 有：210C -+=，所以1C =-，所以l 方程为：210x y --=，即21y x =-，故选：D. 【点睛】本题考查根据直线间的平行关系求解直线的方程，难度较易.已知直线方程为：10Ax By C ++=，与其平行的直线方程可设为：()2120Ax By C C C ++=≠.18．如果函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象经过点()4,2，那么a 的值为（） A.14B.12C.2D.4【答案】C【解析】将点代入函数解析式中计算出a 的值即可. 【详解】因为()log a f x x =图象经过点()4,2，所以log 42a =，所以24a =且0a >且1a ≠，解得：2a =，故选：C. 【点睛】本题考查根据对数函数图象所过点求解函数解析式，难度较易.通过函数图象所过点求解函数解析式的问题，可考虑直接将点代入函数解析式中求解参数值. 19．已知0.32=a ，32b =，12c -=，那么a ，b ，c 的大小关系为（） A.a b c >> B.b a c >> C.c a b >> D.c b a >>【答案】B【解析】根据指数函数单调性比较大小. 【详解】因为2xy =在R 上是增函数，又10.33-<<，所以10.33222-<<，所以b a c >>，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数单调性比较指数幂的大小，难度较易.对于指数函数()xf x a=（0a >且1a ≠）：若1a >，则()xf x a =是R 上增函数；若01a <<，则()xf x a =是R 上减函数.20．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是（） A.4πB.2π C.πD.2π【答案】C【解析】利用二倍角公式先化简，然后根据周期计算公式计算最小正周期. 【详解】因为()1sin cos sin 22f x x x x ==，所以222T πππω===，故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式、周期公式的应用，难度较易.常见的二倍角公式有：2222sin 22sin cos ,cos 2cos sin 2cos 112sin x x x x x x x x ==-=-=-.21．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果30A =︒，45B =︒，2b =，那么a 等于（）D.3【答案】A【解析】根据正弦定理得到边角对应关系，然后计算a 的值. 【详解】由正弦定理可知：sin sin a b A B=，所以2sin 30sin 45a =︒︒，解得：a =故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，难度较易.正弦定理对应的等式：2sin sin sin a b cR A B C===（R 是三角形外接圆的半径）. 22．已知4sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么()cos πα-等于（） A.45-B.35-C.35D.45【答案】B【解析】先根据诱导公式将待求式子化简，然后根据平方和为1去计算相应结果. 【详解】因为()cos cos παα-=-；又因为22sin cos 1αα+=且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α==，所以()3cos 5πα-=-，故选：B. 【点睛】本题考查根据诱导公式求解给值求值问题，难度较易.利用平方和为1去计算相应三角函数值时，注意根据角度的范围去判断相应的三角形函数值的正负号.23．已知圆C ：2260x y x +-=与直线l ：10x y -+=，那么圆心C 到直线l 的距离为（）A. B.D.1【答案】B【解析】先确定圆心，根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离.【详解】圆的方程可变形为：()2239x y -+=，所以圆心C 为()3,0，所以圆心C 到l 的距离为：d ==故选：B. 【点睛】本题考查圆心的确定以及点到直线的距离公式，难度较易.圆的标准方程为：()()()2220x a y b r r -+-=>，其中圆心为(),a b ，半径为r .24．已知幂函数()nf x x =，它的图象过点()2,8，那么12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（） A.18B.14C.12D.1【答案】A【解析】先通过函数图象过点()2,8，计算出n 的值，然后再计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为()nf x x =过点()2,8，所以28n =，所以3n =，所以()3f x x =，则3111228f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查幂函数的解析式求解以及根据幂函数解析式求值，难度较易.25．生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域PM2.5主要来自工业和民用污染，其中冬季民用污染占比超过50%，最主要的源头是散煤燃烧．因此，推进煤改清洁能源成为三地协同治理大气污染的重要举措．2018年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村完成了煤改清洁能源，全市集中供热清洁化比例达到99%以上，平原地区基本实现“无煤化”，为了解“煤改气”后居民在采暖季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100户居民进行调查，发现每户的用气量都在150立方米到450立方米之间，得到如图所示的频率分布直方图．在这些用户中，用气量在区间[)300,350的户数为（）A.5B.15C.20D.25【答案】D【解析】计算出[)300,350的频率，用抽取的总数量乘以对应的频率即可得到对应段的户数. 【详解】根据频率分布直方图可知：[)300,350的频率为0.005500.25⨯=，所以用气量在[)300,350的户数为：0.2510025⨯=户，故选：D. 【点睛】本题考查根据频率分布直方图完成相应计算，难度较易,观察频率分布直方图时，注意纵轴并不表示频率，而是频率除以组距，因此每一段区间对应的小长方形的面积即为该段的频率.26．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果60A =︒，3b =，ABC ∆的面积S =a 等于（）B.7D.17【答案】A【解析】先根据面积公式计算出c 的值，然后利用60A =︒以及余弦定理求解a 的值. 【详解】因为1sin 242S bc A ===，所以2c =；又因为222cos 2b c a A bc+-=，所以2194212a +-=，所以a =故选：A. 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形，难度较易.解三角形时常用的面积公式有三个，解答问题时要根据题意进行选择.27．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果//m α，n ⊂α，那么//m n ；②如果m α⊥，n α⊥，那么//m n ； ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β；④如果αβ⊥，m α⊂，那么m β⊥．其中正确的命题是（） A.①② B.②③C.③④D.①④【答案】B【解析】通过判定定理、性质定理、定义、举例的方式逐项分析. 【详解】①如图所示长方体，11A C ∥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，但是11A C 不平行BD ，故错误；②根据垂直于同一平面的两条直线互相平行，可知正确；③根据两个平面平行时，其中一个平面内的任意直线平行于另一个平面，可知正确；④如图所示长方体，平面ABCD ⊥平面11BCC B 且1BC ⊂平面11BCC B ，但此时1BC 显然不垂直于平面ABCD ，故错误；综上：②③正确. 故选：B. 【点睛】本题考查符号语言下的空间中的点、线、面的位置关系的命题的真假判断，难度一般.处理符号语言表示的命题真假的问题，常用的方法有：根据判定、性质定理直接判断；根据定义判断；根据示意图、举例判断.二、解答题28．某同学解答一道三角函数题：“已知函数()()2sin 22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，且()0f =（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间5,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应x 的值．” 该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）因为()02sin f ϕ==sin 2ϕ=．因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=．（Ⅱ）因为563x ππ-≤≤，所以2233x πππ-≤+≤．令3t x π=+，则223t ππ-≤≤．画出函数2sin y t =在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，由图象可知，当2t π=，即6x π=时，函数()f x 的最大值为()max 2f x =．下表列出了某些数学知识：请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．【答案】任意角的概念，弧度制的概念，任意角的正弦的定义，函数sin y x =的图象，三角函数的周期性，正弦函数在区间[]0,2π上的性质，参数A ，ω，ϕ对函数()sin y A ωx φ=+图象变化的影响．【解析】根据解答过程逐步推导所用的数学知识. 【详解】首先22ππϕ-<<，这里出现了负角和弧度表示角，涉及的是任意角的概念和弧度制的概念；由sin ϕ=ϕ的范围解出3πϕ=，这里涉及的是任意角的正弦的定义；解题时所画的图象涉及的是函数sin y x =的图象；作出图象后可根据周期性以及单调性计算出最大值，这里涉及的是三角函数的周期性，正弦函数在区间[]0,2π上的性质；用换元法构造正弦函数的图象其实利用的是平移的思想，这里涉及的是参数A ，ω，ϕ对函数()sin y A ωx φ=+图象变化的影响. 【点睛】本题考查三角函数章节内容的综合应用，难度一般.由解答的过程分析其中涉及的知识点，这种题型比较灵活，需要注意到每一步是根据什么得到的，这就要保证对每一块的知识点都很熟悉.29．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，点D ，E ，F 分别为PC ，AB ，AC 的中点．（Ⅰ）求证：//BC 平面DEF ；（Ⅱ）求证：DF BC ⊥．阅读下面给出的解答过程及思路分析．解答：（Ⅰ）证明：在ABC ∆中，因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以①．因为BC ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以//BC 平面DEF ．（Ⅱ）证明：因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以②．因为D ，F 分别为PC ，AC 的中点，所以//DF PA ．所以DF BC ⊥．思路分析：第（Ⅰ）问是先证③，再证“线面平行”；第（Ⅱ）问是先证④，再证⑤，最后证“线线垂直”．以上证明过程及思路分析中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了三个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置．【答案】①A ；②B ；③C ；④A ；⑤B ．【解析】①：由中位线分析；②线面垂直的性质分析；③由线线推导线面；④由线面垂直推导线线垂直；⑤由线线平行推导线线垂直.【详解】①因为EF 是中位线，所以//EF BC ，故选A ；②PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，可通过线面垂直得到线线垂直，故选B ；③通过中位线，先证线线平行，再证线面平行，故选C ；④根据PA BC ⊥可知：先证明线线垂直，故选A ；⑤由//DF PA 可知：再证线线平行，故选B. 【点睛】本题考查线线、线面平行以及线线、线面垂直的证明和理解，难度较易.证明线线平行多数情况可根据中位线或者证明平行四边形来解决问题，有时候也可以根据线面平行的性质定理去证明线线平行.30．某同学解答一道解析几何题：“已知直线l ：24y x =+与x 轴的交点为A ，圆O ：()2220x y r r +=>经过点A ．（Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）若点B 为圆O 上一点，且直线AB 垂直于直线l ，求AB ．” 该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）令0y =，即240x +=，解得2x =-，所以点A 的坐标为()2,0-．因为圆O ：()2220x y rr +=>经过点A ，所以2r =．（Ⅱ）因为AB l ⊥．所以直线AB 的斜率为2-．所以直线AB 的方程为()022y x -=-+，即24y x =--．代入224x y +=消去y 整理得2516120x x ++=，解得12x =-，265x =-．当265x =-时，285y =-．所以点B 的坐标为68,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭．所以||AB ==指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程．【答案】直线AB 的斜率为2-不对，见解析【解析】根据：两直线垂直（直线斜率都存在），对应的直线斜率乘积为1-，判断出AB 对应的直线方程的斜率错误. 【详解】因为AB l ⊥，所以直线AB 的解率为12．所以直线AB 的方程为()1022y x -=-+，即22x y =--．代入224x y +=消去x 整理得2580y y +=，解得10y =，285y =-．当285y =-时，265x =．所以B 的坐标为68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以||AB ==．【点睛】本题考查直线与圆的综合应用以及两直线垂直时对应的斜率关系的判断，难度一般.当两条直线12l l 、的斜率都存在且为12k k 、时，若12l l ⊥，则有121k k ?-.31．土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高速增长地区的一个严重问题，污染土壤中的某些重金属易被农作物吸收，并转入食物链影响大众健康．A ，B 两种重金属作为潜在的致癌物质，应引起特别关注．某中学科技小组对由A ，B 两种重金属组成的1000克混合物进行研究，测得其体积为100立方厘米（不考虑物理及化学变化），已知重金属A 的密度大于311g /cm ，小于312g /cm ，重金属B 的密度为38.65g /cm ．试计算此混合物中重金属A 的克数的范围．【答案】大于3948367克，小于4363147克. 【解析】根据题意设未知数x y 、，根据条件构建新的方程从而找到y 与x 的关系，利用函数的单调性来分析混合物中重金属A 的克数的范围. 【详解】设重金属A 的密度为3g /cm x ，此混合物中含重金属A 为y 克．由题意可知，重金属B 为()1000y -克，且10001008.65y y x -+=．解得()13511128.65xy x x =<<-．因为1358.6513518.658.65x y x x ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以当8.65x >时，y 随x 的增大而减小，因为1112x <<，所以8.658.658.65135113511351128.658.65118.65y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+<=+<⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解得39434836316747y <<．故此混合物中重金属A 的克数的范围是大于3948367克，小于43 63147克．【点睛】本题考查函数的实际应用，难度一般.首先对于未给出函数的实际问题，第一步需要设未知数，第二步需要根据条件所给等量关系构建新函数（注意定义域），第三步就是根据函数知识求解相应问题.。

2019年北京市普通高中学业水平合格性考试数学试卷(整理含答案)

2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知1. 考生要认真填写考场号和座位序号。

2. 本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）。

3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔。

4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.第一部分选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合{01}A =，，{11}B =-，，那么A B 等于A. {01}，B. {11}-，C. {0}D. {110}-，，2. 已知向量(11)=，a ，(12)=，b ，那么+a b 等于 A. (01)-， B. (12)，C. (23)，D. (32)，3. 过点(3,0)A 和(0,2)B 的直线的方程为 A. 2360x y --= B. 3240x y +-= C. 2+360x y -=D. 240x y +-=4. 函数=lg(+2)y x 的定义域是A. [)2+∞， B . ()2+∞， C. ()0+∞， D. ()2+∞-，5. 如果幂函数()=f x x α的图象经过点()4,2，那么α的值是A. 2-B. 2C. 12-D.126. 在空间直角坐标系O xyz -中，(111)A ---,,，(111)B ,,，那么AB 等于 A.2B.6 C. 22 D. 37. 2018年10月24日，我国超级工程——港珠澳大桥正式通车运营，它是世界上最长的跨海大桥，全长55千米，采用Y 型线路，连接香港、珠海和澳门三地. 如果从甲、乙、丙三位同学中任选一位同学前往港珠澳大桥参观，那么甲同学被选中的概率为A.13B.12C.23D. 18.为深入贯彻落实《国务院办公厅关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》，我市提出：到2020年，全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到98%，基础教育阶段学生优秀率达到15%以上. 某学校现有小学和初中学生共2000人，为了解学生的体质健康合格情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为400的样本，其中被抽到的初中学生人数为180，那么这所学校的初中学生人数为A. 800B. 900C. 1000D. 11009. 化简sin()+πα为 A. sin -αB. sin αC. cos -αD. cos α10. 如果直线20x y -=与直线10x my +-=垂直，那么m 的值为 A. 2-B. 12-C.12D. 211. 已知向量(2,1)=-a ，(1,)m =b , 且2a =b ，那么m 的值为 A. 2-B. 21-C.12D. 212. 直线310x y -+=的倾斜角的度数是 A. 30B ．45C. 60D ．9013. 已知直线l 经过点(1,1)P ，且与直线20x y -+=平行，那么直线l 的方程为 A. 20x y --= B. 20x y +-=C. 0x y -=D. 40x y +-=14. 函数零点的涵义是 A. 一个点B. 函数图象与x 轴的交点的横坐标C. 函数图象与x 轴的交点D. 函数图象与y 轴的交点的纵坐标15.在函数1y x=，2y x =，2xy =，3log y x =中，奇函数是A. 1y x=B. 2y x =C. 2x y =D. 3log y x =16.在相距4千米的A ,B 两点分别观测目标点C ,如果75CAB ︒∠=,60CBA ︒∠=,那么A ,C 两点间的距离是A. 22千米B. 23千米C. 26千米D. (2+23)千米17. 已知角α的终边经过点(5,12)P ，那么sin α的值是A.512B.125C.513D.121318.已知直线+20l x y +=：和圆22(1)(1)1C x y -++=：，那么圆心C 到直线l 的距离是A.12B. 1C.2 D. 219. 函数2()2sin f x x =的最小正周期是A.2π B. πC. 2πD. 4π20. 计算021+log 24⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果为 A. 3B.54C. 2D. 121.已知两条直线m ，n 和平面α，且m α⊥，要得到结论m n ∥，还需要添加一个已知条件，这个条件应是①n ⊥α，②n α∥，③n ⊂α，④n ⊄α中的A. ①B. ②C. ③D. ④22. 已知函数1,0()=2,0.x f x x x ⎧⎨-<⎩≥，如果()=4f m ，那么实数m 的值为A. 1B. 2-C. 8-D. 12-23. 将函数2sin y x =的图象向左平移6π个单位，所得图象的函数表达式是 A ．2sin()6y x π=+B. 2sin()6y x π=-C. sin(2)6y x π=-D. sin(2)6y x π=+24.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，如果1,3,30b c B ︒===，那么角A 的度数是 A. 30︒或60︒B. 45︒或60︒C. 30︒或90︒D. 45︒或120︒25.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为棱11,AB C D 上的动点，那么三棱锥F CDE -的体积为A. 16D 1C 1B 1A 1DCBAEF[ B. 13C. 12D.2326. 已知边长为3的正方形ABCD ，点E 满足2DE EC =，那么AE AC ⋅等于 A. 6B. 9C. 12D. 1527.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署. 某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是A.10万人B. 12万人C. 14万人D. 16万人第二部分解答题（共19分）28.（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π．（Ⅰ）求(0)f 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最小值及相应x的值．”该同学解答过程如下：解：（Ⅰ）1(0)2sin 2=162f π==⨯；因为 =||T ω2π=π，且0ω>，所以 2ω=.（Ⅱ）画出函数2sin(2)6y x π=+在[,]63ππ-上的图象，由图象可知，当6x π=-时，函数()f x的最小值min ()1f x =-.下表列出了某些数学知识：任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念 ,2ααπ±π±的正弦、余弦、正切的诱导公式弧度与角度的互化函数sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象三角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间 [0,2]π上的性质同角三角函数的基本关系式正切函数在区间(,)22ππ-上的性质两角差的余弦公式函数sin()y A x+ωϕ=的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式半角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式积化和差、和差化积公式请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.1π3y x-1O2-π6π629. （本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,E F 分别为11,AB CB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ；（Ⅱ）求证：AB ⊥1A C ．解答：（Ⅰ）证明：在1AB C ∆中，因为 ,E F 分别为11,AB CB 的中点，所以 ① .因为 EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以 EF ∥平面ABC .（Ⅱ）证明：因为 1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以 ② . 因为90BAC ∠=︒，所以 AB AC ⊥. 又因为 1AC AA A =，所以 ③ .因为 1AC ⊂平面11AAC C ，所以 1AB AC ⊥. 上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”；第（Ⅱ）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”. 30. （本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知圆O ：222(0)x y r r +=>与直线12l x =-：和22l x =：分别相切，点C 的坐标为(1,0)-.,A B 两点分别在直线1l 和2l 上，且AC BC ⊥, AC BC =,试推断线段AB 的中点是否在圆O 上.”该同学解答过程如下：1B 1A 1FECA解答：因为圆O :222(0)x y r r +=>与直线1:2l x =-和2:2l x =分别相切，所以 24 2.r r ==，所以 22 4.x y +=由题意可设(2,),(2,)A m B n -，因为 AC BC ⊥，点C 的坐标为(1,0)-，所以 0AC BC ⋅=，即3mn =-. ① 因为 ||||AC BC =，所以 2219m n +=+. 化简得 228.m n -= ②由①②可得 824,mn =-223324,m n -= 所以 223830m mn n +-=. 因式分解得 ()()3+30,m n m n -= 所以 3,n m =或3.m n =-解得 3,1,m n =-⎧⎨=⎩或3,1,m n =⎧⎨=-⎩所以线段AB 的中点坐标为(0,1)-或(0,1). 所以线段AB 的中点不在圆O 上.请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程. 31. （本小题满分4分）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络, “八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”. 京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约1318km .某机构研究发现：高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()f x （万元）与平均速度x （km/h ）及其它费用34aa （≤≤）（万元）之间近似满足函数关系21318()0.0006af x x x=+200400x （≤≤）.问：当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷答案及评分参考[说明]1. 第一部分选择题，机读阅卷.2. 第二部分解答题. 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.第一部分选择题 (共81分)第二部分解答题 (共19分)28.（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π．（Ⅰ）求(0)f 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最小值及相应x 的值．”该同学解答过程如下：下表列出了某些数学知识：请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.解答：弧度制的概念，三角函数的周期性，函数sin y x =的图象，正弦函数在区间［0，2π］上的性质，参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响. ……5分 29.（本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,E F 分别为11,AB CB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ；（Ⅱ）求证：AB ⊥1A C ．解答：（Ⅰ）证明：在1AB C ∆中，因为 ,E F 分别为11,AB CB 的中点，所以 ① .因为 EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以 EF ∥平面ABC .（Ⅱ）证明：因为 1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以 ② . 因为90BAC ∠=︒，所以 AB AC ⊥. 又因为 1AC AA A =，所以 ③ .因为 1AC ⊂平面11AAC C ，所以 1AB AC ⊥. 上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”；第（Ⅱ）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”.解答：① EF AC ∥；② 1AA AB ⊥；③ AB ⊥平面11AAC C ；④ “线线垂直”； ⑤ “线面垂直”.（每空1分，共5分）30.（本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知圆O :222(0x y r r +=>）与直线1:2l x =-和2:2l x =分别相切，点C 的坐标为(1,0)-.,A B 两点分别在直线1l 和2l 上，且,AC BC AC BC ⊥=,试推断线段AB 的中点是否在圆O 上.” 该同学解答过程如下：0AC BC ⋅=，即||||AC BC =，219m +=化简得 228.m n -=请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程.解答： 3mn =-不对. …………1分由 0AC BC ⋅=，即 3mn =. ①因为 ||||AC BC =，点C 的坐标为(1,0)-,所以=化简得 228m n -=. ②由①②解得 3,1,m n =⎧⎨=⎩ 或3,1.m n =-⎧⎨=-⎩所以线段AB 的中点坐标(0,2)或(0,2)-.所以线段AB 的中点在圆O 上. …………5分31.（本小题满分4分）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络, “八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”. 京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约1318km .某机构研究发现：高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()f x （万元）与平均速度x （km/h ）及其它费用34aa ≤≤）（（万元）之间近似满足函数关系21318()0.0006a f x x x=+200400x ≤≤（）.问:当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？解答：任取[]12,200400x x ∈，，不妨设21x x >，令210x x x ∆=->，于是 2221212113181318()()+0.0006+0.0006a a y f x f x x x x x ⎛⎫∆=-=- ⎪⎝⎭ ()()()211221211213180.0006+=a x x x x x x x x x x --+-()()211212120.00061318=x x x x x x a x x -+-⎡⎤⎣⎦. 因为 1200400x ≤≤，2200400x ≤≤，所以 12400+800x x <<，1240000160000x x <<. 所以 12240.000696x x <<.所以 12120.0006768009600x x x x <+<().又因为34a ≤≤，所以 395413185272a ≤≤.所以 121243280.0006728461318x x x x a <+<()-.所以 ()12120.000613180x x x x a +->.因为 210x x ->，120x x >，所以 ()()211212120.000613180x x x x x x a x x -+-⎡⎤⎣⎦>. 于是当 210x x x ∆=->时， 21()()0y f x f x ∆=->，所以函数()f x 在定义域[]200400，上是单调递增函数. 所以当200x =时，函数()f x 有最小值.故运行的平均速度是200km/h 时，单程运行一次总费用最小. …………4分。

2019年全国普通高等学校招生统一考试数学(文)(北京卷)试题(解析版)

2019年全国普通高等学校招生统一考试数学（文）（北京卷）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、单选题1．已知集合A={(|||<2)},B={−2,0,1,2},则A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {−2,0,1,2}D. {−1,0,1,2}【答案】A【解析】分析：将集合化成最简形式，再进行求交集运算.详解：故选A.点睛：此题考查集合的运算，属于送分题.2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3．执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.4．设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.详解：当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件故选B.点睛：此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.5．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以()12,n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中， 0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数. 详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.7．在平面直角坐标系中， ,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A. ABB. CDC. EFD. GH【答案】C【解析】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时， cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时， cos ,sin x y αα==， tan y x α=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时， cos ,sin x y αα==， tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限， tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较. 8．设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.二、填空题9．设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m=_________.【答案】【解析】分析：根据坐标表示出，再根据，得坐标关系，解方程即可.详解：，，由得：，，即.点睛：此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①；②.10．已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.【答案】【解析】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点，将点坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.详细：由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得：，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为.点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.11．能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】分析：根据原命题与命题的否定的真假关系，可将问题转化为找到使“若，则”成立的，根据不等式的性质，去特值即可.详解：使“若，则”为假命题则使“若，则”为真命题即可，只需取即可满足所以满足条件的一组的值为（答案不唯一）点睛：此题考查不等式的运算，解决本题的核心关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难.12．若双曲线的离心率为，则a=_________.【答案】4【解析】分析：根据离心率公式，及双曲线中的关系可联立方程组，进而求解参数的值.详解：在双曲线中，，且点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点，根据双曲线的离心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式，找到之间的关系.13．若,y满足，则2y−的最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为，即满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.14．若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.【答案】【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.详解：，，即，，则为钝角，，故.点睛：此题考查解三角形的综合应用，余弦定理的公式有三个，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.三、解答题15．设是等差数列，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求.【答案】（I）（II）【解析】分析：（1）设公差为，根据题意可列关于的方程组，求解，代入通项公式可得；（2）由（1）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.详解：（I）设等差数列的公差为，∵，∴，又，∴.∴.（II）由（I）知，∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.∴.∴点睛：等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.16．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.详解：（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.【解析】分析：（1）分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（2）利用古典概型公式，计算没有获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（3）根据每部电影获得好评的部数做出合理建议..详解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，故所求概率为.（Ⅱ）设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.由古典概型概率公式得.（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.点睛：本题主要考查概率与统计知识，属于易得分题，应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.18．（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面P AB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】分析：（1）欲证，只需证明即可；（2）先证平面，再证平面P AB⊥平面PCD；（3）取中点，连接，证明，则平面.详解：（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.∵底面为矩形，∴，∴.（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.∵平面平面，∴平面.∴.又,∵平面，∴平面平面.（Ⅲ）如图，取中点，连接.∵分别为和的中点，∴，且.∵四边形为矩形，且为的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.点睛：证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.19．设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（2）对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围.详解：解：（Ⅰ）因为，所以.，由题设知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极大值，不合题意.③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题.解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.20．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .【答案】（Ⅰ）2213x y +=（Ⅲ）1【解析】分析：（1）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程；（2）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出AB ，求其最值；（3）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 详解：（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由22{ 13y x mx y =++=消去y 可得2246330x mx m ++-=，则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1232mx x +=-， 212334m x x -=，则12AB x =-=，易得当20m =时， max ||AB =AB （Ⅲ）设()11,A x y ， ()22,B x y ， ()33,C x y ， ()44,D x y ，则221133x y += ①， 222233x y += ②，又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+，由()1222{ 13y k x x y =++=消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712,4747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理可得2222712,4747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．故3371,44QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 4471,44QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为,,Q C D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．点睛：本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式21AB x =-变形为AB =再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.。

北京市2019届高三会考模拟考试数学试题Word版含解析

北京市2019届高三会考模拟考试数学试题一、选择题：1. 函数的最小正周期是（）A. 1B. 2C.D.【答案】D【解析】最小正周期是 ,选D.2. 已知集合，，如果，那么实数等于（）A. B. 0 C. 2 D. 4【答案】C【解析】因为,所以 ,选C.3. 如果向量，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】 ,选B.4. 在同一直角坐标系中，函数与的图象之间的关系是A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】因为函数任一点关于轴对称点在上,反之亦然,所以函数与的图象之间的关系是关于轴对称,选A.5. 执行如图所示的程序框图．当输入时，输出的值为（）A.B. 0C. 2D.【答案】C【解析】执行循环为，输出2，选C.6. 已知直线经过点，且与直线平行，那么直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】A7. 某市共有初中学生270000人，其中初一年级，初二年级，初三年级学生人数分别为99000，90000，81000，为了解该市学生参加“开放性科学实验活动”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为3000的样本，那么应该抽取初三年级的人数为（）A. 800B. 900C. 1000D. 1100【答案】B【解析】由分层抽样得应该抽取初三年级的人数为，选B.8. 在中，，AC=2，BC=3，那么AB等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由余弦定理得，选C.9. 口袋中装有大小和材质都相同的6个小球，其中有3个红球，2个黄球和1个白球，从中随机模出1个小球，那么摸到红球或白球的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据题意，口袋中有6个球，其中3个红球、2个黄球和1个白球，则红球和白球共有4个，故从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是=，故选D．考点：本题主要考查古典概型的概率计算。

点评：简单题，古典概型概率的计算，关键是明确基本事件总数及导致事件发生的基本事件数，此类问题，可借助于“树图法”不重不漏地写出各个基本事件。

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(北京卷)(含解析)

六大注意1 考生需自己粘贴答题卡的条形码考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。

粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。

如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。

万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。

只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。

2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。

如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。

写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。

3 注意保持答题卡的平整填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。

若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。

不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。

4 不能提前交卷离场按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。

如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。

5 不要把文具带出考场考试结束，停止答题，把试卷整理好。

然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。

不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。

请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。

6 外语听力有试听环外语考试14:40入场完毕，听力采用CD 播放。

14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。

听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。

听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1、（2019•北京）已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB=（） A. （-1，1） B. （1，2） C. （-1，+∞） D. （1，+∞）【答案】C【解析】【解答】因为{}{}12,1,A x x B x x =-<<=> 所以{}1,A B x x =>-U 故答案为：C.【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A 和B 直接求出交集即可. 2、（2019•北京）已知复数z=2+i ，则·z z =（）【答案】D【解析】【解答】根据2z i =+，得2z i =-，所以(2)(2)415z z i i ⋅=+⋅-=+=，故答案为：D.【分析】根据z 得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.3、（2019•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. 12y x = B. y=2-xC.12log y x = D. 1y x= 【答案】A【解析】【解答】A ：12y x =为幂函数，102α=>，所以该函数在()0,+∞上单调递增； B:指数函数xx1y 22-⎛⎫== ⎪⎝⎭，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； C ：对数函数12log y x =，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； D ：反比例函数1y x=，其k=1>0，故在()0,+∞上单调递减；故答案为：A.【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可. 4、（2019•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【解答】k=1，s=1， s=2212312⨯=⨯-，k<3,故执行循环体k=1+1=2，2222322s ⨯==⨯-；此时k=2<3，故继续执行循环体k=3，2222322s ⨯==⨯-，此时k=3，结束循环，输出s=2. 故答案为：B.【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.5、（2019•北京）已知双曲线2221x y a-=（a>0a=（）B. 4C. 2D. 12【答案】D【解析】【解答】双曲线的离心率c e a ===，故2251,a a =+解得211,42a a ==，故答案为：D.【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a 的值.6、（2019•北京）设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【解答】若b=0，则()cos f x x =为偶函数，若()cos sin f x x b x =+为偶函数，则()()()cos sin cos sin ()cos sin f x x b x x b x f x x b x -=-+-=-==+，所以2sin 0,b x =B=0,综上，b=0是f （x ）为偶函数的充要条件. 故答案为：C.【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性. 7、（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=125lg 2E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.1 【答案】A【解析】【解答】解：设太阳的亮度为1E ,天狼星的亮度为2E ，根据题意1251.45(26.7)lg 2E E ---=, 故122g25.2510.15E l E =⨯=，所以10.11210E E =；故答案为：A.【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.8、（2019•北京）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（）A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β 【答案】B【解析】【解答】设圆心为O ，根据,APB β∠=可知AB 所对圆心角2,AOB β∠=故扇形AOB 的面积为22242πββπ⋅⋅=，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，故阴影部分面积最大值4,AOB PAB S S S β=-+V V 而2sin 22cos 4sin cos 2AOB S ββββ⨯⨯==V ，()2sin 222cos 4sin 4sin cos 2PAB S βββββ⨯⨯+==+V ，故阴影部分面积最大值444sin ,AOB PAB S S S βββ=-+=+V V 故答案为：B.【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，9、（2019•北京）已知向量a r =（-4.3），b r =（6，m ），且a b ⊥r r，则m= . 【答案】8【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得()4630,m -⨯+= 解得m=8. 故答案为8.【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.10、（2019•北京）若x ，y 满足214310x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩.则y-x 的最小值为，最大值为 . 【答案】-3|1【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1. 故答案为-3；1.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值. 11、（2019•北京）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 .【答案】()2214x y -+=【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F （1,0），准线方程：x=-1，焦点F 到准线l 的距离为2，故圆心为（1,0），半径为2，所以圆的方程为()2214x y -+=；故答案为()2214x y -+=.【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可. 12、（2019•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .【答案】40【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积31464V ==，去掉的四棱柱体积()22424242V +⨯=⨯=，故该几何体的体积V=64-24=40. 故答案为40.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.13、（2019•北京）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【答案】若②③，则①【解析】【解答】若l α⊥，则l 垂直于α内任意一条直线，若m αP ，则l m ⊥；故答案为若②③，则①.14、（2019•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 . 【答案】130|15【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元， 140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，故实际付款（120-x ）元，此时李明得到()12080%x -⨯，故()12080%1200.7x -⨯≥⨯，解得15x ≤；故最大值为15. 故答案为①130；②15.【分析】①根据已知，直接计算即可；②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值. 三、解答题共6小题，共80分.15、（2019•北京）在△ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12. （I ）求b ，c 的值：（II ）求sin （B+C ）的值.【答案】解：（I ）根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，故()22129232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯-⎪⎝⎭，解得c=5，B=7；（II ）根据1cos 2B =-，得sin B =，根据正弦定理，sin sin b cB C=，5sin C=，解得sin C =，所以11cos 14C =，所以()111sin sin cos cos sin 21421414B c BC B C ⎛⎫+=+=+-⨯=⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据余弦定理，解方程即可求出c 和b ；（II ）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB ，结合正弦定理，求出sinC 和cosC ，即可依据两角和的正弦公式，求出sin （B+C ）.16、（2019•北京）设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列.（I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 【答案】解：（I ）根据三者成等比数列，可知()()()23248106a a a +=++，故()()()2102810101036d d d -++=-++-++，解得d=2，故()1021212n a n n =-+-=-；（Ⅱ）由（I ）知()210212112n n n S n n -+-⋅==-，该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，故n=5或6时，n S 取最小值-30.【解析】【分析】（I ）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d ，即可求出n a ；（Ⅱ）由（1），求出n S ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.17、（2019•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（II ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（III ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】解：（I ）据估计，100人中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为400人；（II ）该校学生上个月仅使用B 支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为125；（III ）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化. 【解析】【分析】（I ）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可；（II ）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率；（III ）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.18、（2019•北京）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又因为PA ABCD ⊥平面，所以BD PA ⊥，而PA AC A =I ，故BD PAC ⊥平面；（Ⅱ）因为60ABC ∠=︒,所以60ADC ∠=︒，故ADC V 为等边三角形，而E 为CD 的中点，故AE CD ⊥,所以AE AB ⊥, 又因为PA ABCD ⊥平面，所以AB PA ⊥, 因为PA AE A =I ，所以AB PAE ⊥平面,又因为AB PAB ⊂平面，所以PAB PAE ⊥平面平面；（Ⅲ）存在这样的F ，当F 为PB 的中点时，CF PAE P 平面；取AB 的中点G ，连接CF 、CG 和FG ，因为G 为AB 中点，所以AE 与GC 平行且相等，故四边形AGCE 为平行四边形，所以AE GC P ,故GC PAE P 平面在三角形BAP 中，F 、G 分别为BP 、BA 的中点，所以FG PA P , 故FG PAE P 平面,因为GC 和FG 均在平面CFG 内，且GC FG G =I , 所以CGF PAE P 平面平面，故CF PAE P 平面.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；（Ⅲ）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.19、（2019•北京）已知椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为（1.0），且经过点A （0，1）.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设O 为原点，直线l ：y=kx+t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】解：（I ）根据焦点为（1,0），可知c=1，根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=；（II ）设()()1122,,,P x y Q x y ，则直线111:1y AP y x x -=+，直线221:1y AQ y x x -=+，解得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,故()1212121212111x x x x OM ON y y y y y y ⋅=⋅=---++，将直线y=kx+t 与椭圆方程联立，得()222124220k x ktx t +++-=，故2121222422,1212kt t x x x x k k --+==++，所以22221212228282,1212k t t k t k t y y y y k k+-++==++，故()2121t OM ON t +⋅==-，解得t=0，故直线方程为y=kx ，一定经过原点（0,0）.【解析】【分析】（I ）根据焦点坐标和A 点坐标，求出a 和b ，即可得到椭圆的标准方程；（II ）设出P 和Q 的坐标，表示出M 和N 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM 与ON ，根据2OM ON ⋅=，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）. 20、（2019•北京）已知函数f （x ）=14x 3-x 2+x. （I ）求曲线y=f （x ）的斜率为1的切线方程；（II ）当x ∈[-2，4]时，求证：x-6≤f （x ）≤x ；（Ⅲ）设F （x ）=|f （x ）-（x+a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[-2，4]上的最大值为M （a ）.当M （a ）最小时，求a 的值. 【答案】解（I ）()23'214f x x x =-+，令()'1f x =，则1280,3x x ==，因为()8800,327f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故斜率为1的直线为y=x 或88273y x -=-，整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或64027x y --=；（II ）构造函数g （x ）=f （x ）-x+6，则()23'24g x x x =-，令()'0g x =，则1280,3x x ==，故g （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故g （x ）的最小值为g （-2）或83g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而g （-2）=0，8980327g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故()min (2)0g x g =-=⎡⎤⎣⎦，所以()0g x ≥，故在[-2,4]上，()6x f x -≤；构造函数h （x ）=f （x ）-x ，则()23'24h x x x =-，令()'0h x =，则1280,3x x ==，故h （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故h （x ）的最大值为h （0）或h （4），因为h （0）=0，h （4）=0，所以()0h x ≤，故在[-2,4]上，()f x x ≤，综上在[-2,4]上，()6x f x x -≤≤；（Ⅲ）令()()()3214x f x x a x x a ϕ=-+=--，则()23'24x x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，则1280,3x x ==，故ϕ（x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以ϕ（x ）的最小值为ϕ（-2）=-6-a 或864327a ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最大值为ϕ（0）=-a 或ϕ（4）=12-a ，故()()F x x ϕ=其最大值()12,36,3a a M a a a -≤⎧=⎨+>⎩，故当a=3时，M （a ）有最小值9.【解析】【分析】（I ）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；（II ）构造函数，要证()6x f x x -≤≤，只需要证在[-2,4]上6()0f x x g x -≥+=（）和()()0h x f x x =-≤即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M （a ）的表达式，即可求出M （a ）取最小值时相应的a 值.。

2019年普通高中学业水平合格性考试(会考)数学试卷三(含答案)

2019年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(考试时间:90分钟满分:100分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至6页。

考生注意:1.答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷(选择题45分)一、选择题(本大题有15小题，每小题3分，共45分。

每小题只有一个选项符合题目要求)1.已知集合U={1,2，3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则B∩C uA=9)A.{1，6}B.{1，7}C.{6，7}D.{1,6，7}2.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，...1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验。

若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生3.等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.44.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.135.幂函数y=f(x)的图象经过点(8,22)，则f(x)的图象是()6.经过点A(8，-2)，斜率为.−12的直线方程为()A.x+2y-4=0B.x-2y-12=0C.2x+y-14=0D.x+2y+4=07.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e-X-1.则当x<0时，f(x)=()A.e-X-1B.e-X+1C.-e-X-1D.-e-X+18.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB =(1,-2)，AD =(2，1)，则AB ·AD =()A.5B.4C.3D.29.函数f(x)=1X—x3的图像关于()A.x轴对称B.y轴对称C.直线y=x对称D.坐标原点对称10.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2πB.πC.2D.111.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是()A.若m⊥n，n//α，则m⊥αB.若m//β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β，n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β,β⊥α，则m⊥α12.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b的值是()A.-2或12B.2或一12C.-2或-12D.2或1213.在区间[o，2]上随机地取一个数x，则事件“-1≤log1（x+12)≤1发生的概率为()2A.34B.23C.13D.1414.为了得到函数y=sin2x的图象，只要把函数y=sin x的图象上所有点()A.横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变D.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变15.已知{a n}是首项为1的等比数列，s n是{a n}的前n项和，且9S3=S6，则数列{1a n}的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158第Ⅱ卷(非选择题55分)二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)16.函数y=7+6x−x2的定义域是。

2019年北京市春季普通高中会考数学试卷及解析

北京市春天一般高中会考数学试卷一、在每题给出的四个备选答案中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．（3 分）已知会合A={ 1，2，3} ， B={ 1， 2} ，那么A∩B 等于（）A．{ 3} B．{ 1，2}C．{ 1，3}D．{ 1，2，3}2．（ 3 分）已知直线l 经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l 的斜率为（）A．﹣ 3 B．C．D．33．（3 分）对随意，以下不等式恒建立的是（）A．x2＞ 0 B．C．D．lgx＞04．（3 分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2B．3C．4D．65．（3 分）给出以下四个函数①；②y=| x|；③ y=lgx；④ y=x3+1，此中奇函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④6．（3 分）要获得函数的图象，只要将函数y=sinx 的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位7．（3 分）某程序框图如下图，那么履行该程序后输出S 的值是（）8．（3 分）设数列 { a n} 的前项和为 S n，假如 a1=1， a n+1=﹣ 2a n（ n∈ N*），那么 S1，S2， S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S49．（3 分）等于（）A．1B．2C．5D．610．（ 3 分）假如α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．11．（ 3 分）已知 a＞0，b＞0，且 a+2b=8，那么 ab 的最大值等于（）A．4B．8C．16D．3212．（ 3 分） cos12 °cos18 °﹣ sin12 sin18°的°值等于（）A．B．C．D．13．（ 3 分）共享单车为人们供应了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年纪散布进行了统计，获得的数据如表所示：年纪12﹣20 岁20﹣30 岁30﹣40 岁40 岁及以上比率14%45.5%34.5%6%为检查共享单车使用满意率状况，线采纳分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行检查，那么应抽取20﹣30 岁的人数为（）A．12 B．28 C．69D．9114．（ 3 分）某几何体的三视图如下图，此中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）15．（3 分）已知向量知足，，，那么向量的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°16．（3 分）某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行 “生涯规划 ”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是礼拜二的概率为（）A ．B ．C ．D ．17．（ 3 分）函数的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．318．（ 3 分）已知圆 M ：x 2+y 2 =2与圆：（ ﹣ ）2+（y ﹣ 2） 2，那么两圆的位N x1 =3置关系是（）A ．内切B ．订交C ．外切D ．外离19．（ 3 分）如图，平面地区（暗影部分）对应的不等式组是（）A ．B ．C ．D ．20．（ 3 分）在△ ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．21．（ 3 分）《九章算》的盈不足章第19 个中提到：“今有良与安，至．去安三千里．良初日行一百九十三里，日增一十三里．初日行九十七里，日减半里⋯”其粗心：“ 在有良和同从安出到去．已知安和的距离是3000 里．良第一天行193 里，以后每日比前一天多行 13 里．第一天行97 里，以后每日比前一天少行0.5 里⋯”前 4 天，良和共走的行程之和的里数（）A．1235B．1800C．2600D．300022．（ 3 分）在正方体 ABCD A1B1C1D1中，出以下四个推测：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面 A1 C1B∥平面 ACD1④平面 A1 C1B⊥平面 BB1D1D此中正确的推测有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个23．（3 分）如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°，AB=3，D 在斜边 BC上，且 CD=2DB，那的值为（）A．3B．5C．6D．924．（3 分）为了促使经济构造不停优化， 2015 年中央财经领导小组重申“着力增强供应侧构造性改革”.2017年国家统计局对外公布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供应侧构造性改革连续作用下，今年以往来产能收效更加突显，供求关系稳步改良”．如图为国家统计局公布的2015 年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据对比较，；例如 2016 年第二季度与 2015 年第二季度对比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据对比较，比如 2015 年第二季度与 2015 年第一季度对比较．依据上述信息，以下结论中错误的选项是（）A．2016 年第三季度和第四时度环比都有提升B．2017 年第一季度和第二季度环比都有提升C．2016 年第三季度和第四时度同比都有提升D．2017 年第一季度和第二季度同比都有提升25．（ 3 分）已知函数 f（x）=| x2﹣ 2x﹣a|+ a 在区间 [ ﹣1，3] 上的最大值是 3，那么实数 a 的取值范围是（）A．（﹣∞， 0] B．（﹣∞，﹣ 1]C．[ 0， +∞）D．二、解答题（共 5 小题，满分 25 分）26．（ 5 分）已知函数 f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（ 2）求函数f（ x）在区间上的最大值和最小值．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中， PB⊥ BC，AC⊥BC，点E， F， G 分别为AB，BC， PC，的中点（1）求证： PB∥平面 EFG；（2）求证： BC⊥EG．．（分）已知数列n}是等比数列，且，公比 q=2．28 5{ a（ 1）数列 { a n } 的通项公式为 a n=；（ 2）数列 { b n} 知足 b n2n（n∈N*），求数列 { b n} 的前 n 项和 S n的最小值．=log a29．（ 5分）已知圆 M ：2x2+2y2﹣6x+1=0．（ 1）圆 M 的圆心坐标为；（2）设直线 l 过点 A（0， 2）且与 x 轴交于点 D．与圆 M 在第一象限的部分交于两点 B， C．若 O 为坐标原点，且△ OAB 与△ OCD的面积相等，求直线 l 的斜率．30．（ 5 分）同学们，你们能否注意到：在雨后的清早，沾满露水自然下垂的蜘蛛丝；空阔的野外上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的参观索道的电缆．这些现象中都有相像的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上经常被称为悬链线．悬链线的有关理论在工程、航海、光学等方面有宽泛的应用．下边我们来研究一类与悬链线有关的函数，这种函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（此中a，b 是非零常数，无理数e=2.71828⋯）．（ 1）当a=1，f （x）偶函数，b=；（ 2）假如f（x）R 上的函数，写出一切合条件的a，b；（ 3）假如f（x）的最小2，求a+b 的最小．2018 年北京市春天一般高中会考数学试卷参照答案与试题分析一、在每题给出的四个备选答案中，只有一项为哪一项切合题目要求的. 1．（3 分）已知会合A={ 1，2，3} ， B={ 1， 2} ，那么A∩B 等于（）A．{ 3} B．{ 1，2}C．{ 1，3}D．{ 1，2，3}【解答】解：∵会合A={ 1，2，3} ，B={ 1，2} ，∴A∩B={ 1，2} ．应选： B．2．（ 3 分）已知直线A．﹣ 3 B．C．l 经过两点D．3P（1，2），Q（4，3），那么直线l 的斜率为（）【解答】解：直线l 的斜率k== ，应选： C．3．（3 分）对随意，以下不等式恒建立的是（）2A．x ＞ 0 B．C．D．lgx＞0【解答】解： A．x2≥ 0，所以不正确；B.≥0，所以不正确；C．∵＞0，∴+1＞ 1＞ 0，恒建立，正确；D.0＜x≤1 时， lgx≤ 0，所以不正确．应选： C．4．（3 分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：向量，，且，则 6x﹣3×4=0，解得x=2．应选：A．5．（3 分）给出以下四个函数①；②y=| x| ；③ y=lgx；④ y=x3+1，此中奇函数的序号是（A．① B．②【解答】解：①）C．③D．④知足 f（﹣ x）=﹣ f（x），为奇函数；②y=| x| 知足f（﹣ x）=f（ x），为偶函数；③ y=lgx 为对数函数，为非奇非偶函数；④y=x3+1 不知足 f （﹣ x）=﹣f （x），不为奇函数．应选 A．6．（3 分）要获得函数的图象，只要将函数y=sinx 的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位【解答】解：将函数 y=sinx 的图象向右平移个单位，可获得函数的图象，应选： B．7．（3 分）某程序框图如下图，那么履行该程序后输出S 的值是（）A．3B．6C．10D．15【解答】解：模拟程序的运转，可得i=1，S=0知足条件 i＜4，履行循环体， S=1， i=2知足条件 i＜4，履行循环体， S=3， i=3知足条件 i＜4，履行循环体， S=6， i=4不知足条件 i＜ 4，退出循环，输出S 的值为 6．应选： B．8．（3 分）设数列 { a n} 的前项和为 S n，假如 a1=1， a n+1=﹣ 2a n（ n∈ N*），那么 S1，S2， S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S4【解答】解： { a n} 的前 n 项和为 S n，假如 a1=1， a n+1=﹣ 2a n（ n∈N*），则数列 { a n} 为首项为 1，公比为﹣ 2 的等比数列，则 S1=a1=1；S2=1﹣2=﹣1；S3=1﹣2+4=3；S4=1﹣2+4﹣8=﹣5．则此中最小值为S4．应选： D．9．（3 分）等于（）A．1B．2C．5D．6【解答】解：原式 ===2．应选： B．10．（ 3 分）假如α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵ α为锐角，，∴ cosα==，∴ sin2 α=2sin αcos×α=2=．应选： A．11．（ 3 分）已知 a＞0，b＞0，且 a+2b=8，那么 ab 的最大值等于（）A．4B．8C．16D．32【解答】解： a＞0，b＞0，且 a+2b=8，则 ab= a?2b≤（）2=×16=8，当且仅当 a=2b=4，获得等号．则 ab 的最大值为8．应选： B．12．（ 3 分） cos12 °cos18 °﹣ sin12 sin18°的°值等于（）A．B．C．D．【解答】解： cos12°cos18°﹣sin12 °sin18 °=cos（ 12°+18°）=cos30°=，应选： D．13．（ 3 分）共享单车为人们供应了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年纪散布进行了统计，获得的数据如表所示：年纪12﹣20 岁20﹣30 岁30﹣40 岁40 岁及以上比率14%45.5%34.5%6%为检查共享单车使用满意率状况，线采纳分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行检查，那么应抽取20﹣30 岁的人数为（）A．12 B．28 C．69D．91【解答】解：由分层抽样的定义得应抽取20﹣30 岁的人数为 200×45.5%=91人，应选： D14．（ 3 分）某几何体的三视图如下图，此中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A．4π B．5π C．6π D．2π+4【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为 2 的圆柱，∴这个几何体的表面积：2S=2×πr+2πr×2=2π+4π =6．π应选： C．15．（3 分）已知向量知足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：依据题意，设向量的夹角为θ，又由，，，则 cosθ==，又由 0°≤θ≤ 180°，则θ=60；°应选： B．16．（3 分）某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是礼拜二的概率为（）A．B．C．D．“生涯规【解答】解：某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本领件有 4 个，分别为：（礼拜一，礼拜二），（礼拜二，礼拜三），（礼拜三，礼拜四），（礼拜四，礼拜五），有一天是礼拜二包括的基本领件有 2 个，分别为：（礼拜一，礼拜二），（礼拜二，礼拜三），∴某学生随机选择的连续两天中，有一天是礼拜二的概率为p=．应选： D．17．（ 3 分）函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：依据题意，关于函数，其对应的方程为x﹣﹣2=0，令 t= ，有 t≥0，则有 t 2﹣t ﹣2=0，解可得 t=2 或 t=﹣ 1（舍），若 t= =2，则 x=4，即方程 x﹣﹣2=0有一个根4，则函数有 1 个零点；应选： B．18．（ 3 分）已知圆 M：x2+y2=2 与圆 N：（ x﹣1）2+（y﹣ 2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．订交C．外切D．外离【解答】解：圆 M ：x2+y2的圆心为1；=2M（ 0，0），半径为 r =圆 N：（ x﹣ 1）2+（y﹣2）2=3 的圆心为 N（ 1， 2），半径为 r2=；|MN|== ，且﹣＜＜+，∴两圆的地点关系是订交．应选： B．19．（ 3 分）如图，平面地区（暗影部分）对应的不等式组是（）A．B．C．D．【解答】解：（2，0），（0，2）点的直方程+ =1，即x+y 2=0，（ 2，0），（ 0， 2）点的直方程=1，即x y 2=0，（ 1， 0），（0， 2）点的直方程 x+ =1，即 2x y+2=0，暗影部分在 x+y2=0 的下方，即不等式 x+y 2≤ 0暗影部分在 2x y+2=0，的下方，即不等式 2x y+2≥ 0 暗影部分在x y 2=0 的上方，即不等式 x y 2≤ 0，即不等式，故： A20．（ 3 分）在△ ABC中，，那么sinA 等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ ABC中，，：，解得：．故： B．21．（ 3 分）《九章算》的盈不足章第19 个中提到：“今有良与安，至．去安三千里．良初日行一百九十三里，日增一十三里．初日行九十七里，日减半里⋯”其粗心：“ 在有良和同从安出到去．已知安和的距离是3000 里．良第一天行193 里，以后每日比前一天多行 13 里．第一天行97 里，以后每日比前一天少行0.5 里⋯”前 4 天，良和共走的行程之和的里数（）A．1235B．1800C．2600D．3000【解答】解：∵长安和齐的距离是3000 里．良马第一天行193 里，以后每日比前一天多行 13 里．驽马第一天行 97 里，以后每日比前一天少行0.5 里，∴前 4 天，良马和驽马共走过的行程之和的里数为：S4=（4×193+）+[ 4×] =1235．应选： A．22．（ 3 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下四个推测：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面 A1 C1B∥平面 ACD1④平面 A1 C1B⊥平面 BB1D1D此中正确的推测有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【解答】解：在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，在①中， A1C1与 AD1成 60°角，故①错误；在②中，∵ A1C1∥ AC，AC⊥BD，∴ A1C1⊥ BD，故②正确；在③中，∵ A1C1∥ AC，AD1∥ BC1，A1C1∩BC1=C1，AC∩ AD1=A，A1C1、BC1? 平面 A1C1B，AC、AD1? 平面 ACD1，∴平面 A1 C1B∥平面 ACD1，故③正确；在④中，∵ A1C1⊥ B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩ BB1=B1，∴平面 A1 C1B⊥平面 BB1D1D，故④正确．应选： C．23．（3 分）如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°，AB=3，D 在斜边 BC上，且 CD=2DB，那的值为（）A．3B．5C．6D．9【解答】解：∵=﹣，∠ BAC=90°，AB=3，CD=2DB∴?=?（+）=?（ +）=?（+﹣）（+）=2+? =×9+0=6，= ?应选： C24．（3 分）为了促使经济构造不停优化，2015 年中央财经领导小组重申“着力加强供应侧构造性改革”.2017年国家统计局对外公布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供应侧构造性改革连续作用下，今年以往来产能收效更加突显，供求关系稳步改良”．如图为国家统计局公布的2015 年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据对比较，；例如 2016 年第二季度与 2015 年第二季度对比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据对比较，比如 2015 年第二季度与 2015 年第一季度对比较．依据上述信息，以下结论中错误的选项是（）A．2016 年第三季度和第四时度环比都有提升B．2017 年第一季度和第二季度环比都有提升C．2016 年第三季度和第四时度同比都有提升D．2017 年第一季度和第二季度同比都有提升【解答】解：由折线图知：在 A 中， 2016 年第三季度和第四时度环比都有提升，故 A 正确；在B 中， 2017 年第一季度和第二季度环比都有提升，故 B 正确；在 C中， 2016 年第三季度和第四时度同比都降落，故 C 错误；在 D 中，2017 年第一季度和第二季度同比都有提升，故 D 正确．应选： C．．（分）已知函数f（x）=| x2﹣ 2x﹣a|+ a 在区间 [ ﹣1，3] 上的最大值是 3，那25 3么实数 a 的取值范围是（）A．（﹣∞， 0] B．（﹣∞，﹣ 1]C．[ 0， +∞）D．【解答】解： f（x） =| x2﹣2x﹣a|+ a=| （x﹣1）2﹣ 1﹣ a| ，∵x∈[ ﹣1，3] ，∴x2﹣2x∈[ ﹣1，3] ，当 a＞3 时， x2﹣ 2x﹣a＜0，∴f（x）=| x2﹣2x﹣a|+ a=﹣x2+2x+a+a=﹣x2+2x+2a=﹣（ x﹣1）2+1﹣2a，当 x=1 时，取的最大值，即 1﹣2a=3，解得 a=﹣ 1，与题意不符；当 a≤﹣ 1 时， x2﹣2x﹣ a≥ 0，∴f（x）=| x2﹣2x﹣a|+ a=x2﹣2x﹣a+a=x2﹣2x=（ x﹣1）2﹣1，当 x=﹣1 或 3 时，取的最大值，（3﹣1）2﹣1=3，综上所述 a 的取值范围为（﹣∞，﹣ 1]应选： B．二、解答题（共 5 小题，满分 25 分）2（1）=；（ 2）求函数 f（ x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数 f （x） =1﹣2sin2 x=cos2x，（1）=cos（2×）= ；故答案为：；（ 2） x∈[ ﹣，] ，∴ 2x∈[ ﹣，] ，∴cos2x∈[ 0， 1] ，∴当 x=﹣时，f（x）获得最小值0，x=0 时， f （x）获得最大值1，∴函数 f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．27．（5 分）如图，在三棱锥P﹣ABC中， PB⊥ BC，AC⊥BC，点 E， F， G 分别为AB，BC， PC，的中点（1）求证： PB∥平面 EFG；（2）求证： BC⊥EG．【解答】证明：（1）∵点 F，G 分别为 BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB?平面 EFG，FG? 平面 EFG，∴ PB∥平面 EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点 E，F， G 分别为 AB，BC， PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴ EF⊥BC，GF⊥ BC，∵EF∩FG=F，∴ BC⊥平面 EFG，∵EG? 平面 EFG，∴ BC⊥ EG．28．（ 5 分）已知数列 { a n} 是等比数列，且，公比q=2．（1）数列 { a n } 的通项公式为 a n= 2n﹣4；（2）数列 { b n} 知足 b n=log2a n（n∈N*），求数列 { b n} 的前 n 项和 S n的最小值．【解答】解：（1）数列 { a n} 是等比数列，且，公比q=2，可得 a n=?2n﹣1=2n﹣4；故答案为： 2n﹣4；（2） b n =log2a n =log22n﹣4=n﹣4，S n=n（﹣ 3+n﹣ 4） = （ n2﹣7n）= [ （n﹣）2﹣] ，可得 n=3 或 4 时， S n获得最小值，且为﹣ 6．2229．（ 5 分）已知圆 M ：2x +2y ﹣6x+1=0．（2）设直线 l 过点 A（0， 2）且与 x 轴交于点 D．与圆 M 在第一象限的部分交于两点 B， C．若 O 为坐标原点，且△ OAB 与△ OCD的面积相等，求直线 l 的斜率．【解答】解：（1）圆 M ：2x2 +2y2﹣6x+1=0．转变为：．则圆 M 的圆心坐标为：（）．（2）直线 l 过点 A（0，2）且与 x 轴交于点D．则：设直线的方程为： y=kx+2．与圆 M 在第一象限的部分交于两点 B， C．且△ OAB与△ OCD的面积相等，则： AB=CD．即： AM=DM．设点 A（x，0）则：，整理得： x2﹣3x﹣4=0，解得： x=4 或﹣ 1（负值舍去）．则： A（4，0）因为点 A 在直线 y=kx+2 上，解得： k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．30．（ 5 分）同学，你能否注意到：在雨后的清早，沾露水自然下垂的蜘蛛；空的野外上，两根杆之的；峡谷上空，横跨深的光索道的．些象中都有相像的曲形．事上，些曲在数学上经常被称．的有关理在工程、航海、光学等方面有宽泛的用．下边我来研究一与有关的函数，函数的表达式f（x）=ae x+be﹣x（此中a，b 是非零常数，无理数e=2.71828⋯）．（ 1）当 a=1，f （x）偶函数， b= 1；（ 2）假如 f（x） R 上的函数，写出一切合条件的a，b；（3）假如 f（x）的最小 2，求 a+b 的最小．【解答】解：（1）当 a=1 ， f （x）=e x+be﹣x，∵f（x）是偶函数，∴ f（ x）=f（x），即 e﹣x+be x=e x+be﹣x，b=1．（ 2）当 a=1 ， b= 1 ， f （x）=e x e﹣x，增函数．（ 3）当 ab≤0 ， f （x）函数，此函数没有最小，若 f（ x）有最小2，必有 a＞ 0， b＞ 0，此 f （x） =ae x+be﹣x≥ 2=2=2，即=1，即 ab=1，a+b≥2=2，即 a+b 的最小 2．故答案： 1。

2019年北京市普通高中学业水平合格性考试数学试卷(整理含答案)

2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知1. 考生要认真填写考场号和座位序号。

2. 本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）。

3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔。

4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。

2019年全国普通高等学校招生统一考试数学(理)(北京卷)试题(解析版)

2019年全国普通高等学校招生统一考试数学（理）（北京卷）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、单选题1．已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=A. {0，1}B. {–1，0，1}C. {–2，0，1，2}D. {–1，0，1，2}【答案】A【解析】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集.详解：因此A B=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3．执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.4．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以()12,n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中， 0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.6．设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为a，b均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7．在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），则根据几何意义得d的最大值为OA+1.详解：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．8．设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.二、填空题9．设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．【答案】【解析】分析：先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.详解：点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.10．在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________．【答案】【解析】分析：根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a.详解：因为，由，得，由，得，即，即，因为直线与圆相切，所以点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.11．设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．【答案】【解析】分析：根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得ω，进而确定其最小值.详解：因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.点睛：函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，(4)由求增区间; 由求减区间.12．若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是__________．【答案】3【解析】分析：作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.详解：作可行域，如图，则直线过点A(1,2)时，取最小值3.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.13．能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】y=sin x（答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f（x）>f（0）且（0，2］上是减函数.详解：令，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.又如，令f（x）=sin x，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f （x）在［0，2］上不是增函数.点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.通常举分段函数.14．已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．【答案】2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.三、解答题15．在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】(1)∠A=(2) AC边上的高为【解析】分析：（1）先根据平方关系求sinB,再根据正弦定理求sinA，即得∠A；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得AC边上的高．详解：解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cos B=–，∴B∈（，π），∴sin B=．由正弦定理得=，∴sin A=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．（Ⅱ）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，∴AC边上的高为．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16．如图，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．【答案】(1)证明见解析(2) B-CD-C1的余弦值为(3)证明过程见解析【解析】分析：（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系E-ABF，设立各点坐标，利用方程组解得平面BCD一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果，（3）根据平面BCD一个法向量与直线F G方向向量数量积不为零，可得结论.详解：解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．∴，设平面BCD的法向量为，∴，∴，令a=2，则b=-1，c=-4，∴平面BCD的法向量，又∵平面CDC1的法向量为，∴．由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．（Ⅲ）平面BCD的法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2），∴，∴，∴与不垂直，∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．【答案】(1)概率为0.025(2) 概率估计为0.35(3) >>=>>【解析】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2) 恰有1部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评这两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，(3) 服从0-1分布，因此，即得>>=>>．详解：解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．故所求概率为．（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为P（）=P（）+P（）=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．（Ⅲ）>>=>>．点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).18．设函数=[]．（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．【答案】(1) a的值为1(2) a的取值范围是（，+∞）【解析】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．详解：解：（Ⅰ）因为=[]，所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］e x+［ax2–（4a+1）x+4a+3］e x（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］e x．f′(1)=(1–a)e．由题设知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此时f (1)=3e≠0．所以a的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］e x=（ax–1）(x–2)e x．若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．所以f (x)<0在x=2处取得极小值．若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f ′(x)>0．所以2不是f (x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是（，+∞）．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.19．已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线P A交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．【答案】(1)取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)证明过程见解析【解析】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据P A，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线P A，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由得．依题意，解得k<0或0<k<1．又P A，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直线P A的方程为y–2=．令x=0，得点M的纵坐标为．同理得点N的纵坐标为．由，得，．所以．所以为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 20．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α=和()12,,,n y y y β=，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=， ()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【答案】(1) M (α，β）=1 (2) 最大值为4 (3)答案见解析【解析】分析：（1）根据定义对应代入可得M （,αα）和M （,αβ）的值；（2）先根据定义得M (α，α）= x 1+x 2+x 3+x 4．再根据x 1，x 2，x 3，x 4∈{0，1}，且x 1+x 2+x 3+x 4为奇数，确定x 1，x 2，x 3，x 4中1的个数为1或3．可得B 元素最多为8个，再根据当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数代入验证，这8个不能同时取得，最多四个，最后取一个四元集合满足条件，即得B 中元素个数的最大值；（3）因为M （αβ，）=0，所以,i i x y 不能同时取1，所以取()()()(){}0,0,,0,1,0,,0,0,1,0,,0,0,0,,0,1B =共n+1个元素，再利用A 的一个拆分说明B 中元素最多n+1个元素，即得结果. 详解：解：（Ⅰ）因为α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以M(α，α)= 12[(1+1−|1−1|)+(1+1−|1−1|)+(0+0−|0−0|)]=2，M(α，β）=12[(1+0–|1−0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1．（Ⅱ）设α=（x1，x2，x3，x4）∈B，则M(α，α）= x1+x2+x3+x4．由题意知x1，x2，x3，x4∈{0，1}，且M(α，α)为奇数，所以x1，x2，x3，x4中1的个数为1或3．所以B {(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}.将上述集合中的元素分成如下四组：（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M(α，β）=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素．所以集合B中元素的个数不超过4.又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}满足条件，所以集合B中元素个数的最大值为4.（Ⅲ）设S k=(x1，x2，…，x n）|(x1，x 2，…，x n）∈A，x k =1，x1=x2=…=x k–1=0）（k=1，2，…，n)，S n+1={( x1，x2，…，x n）| x1=x2=…=x n=0}，则A=S1∪S1∪…∪S n+1．对于S k（k=1，2，…，n–1）中的不同元素α，β，经验证，M(α，β)≥1.所以S k（k=1，2 ，…，n–1）中的两个元素不可能同时是集合B的元素．所以B中元素的个数不超过n+1.取e k=( x1，x2，…，x n）∈S k且x k+1=…=x n=0（k=1，2，…，n–1）.令B=（e1，e2，…，e n–1）∪S n∪S n+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．点睛：解决新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．。

北京市东城区2019学年度高三会考考前练习数学试卷

北京市东城区2019学年度高三会考考前练习数学试卷第I 卷（机读卷共60分）一、选择题（共20个小题，每小题3分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按要求涂抹在“机读答题卡”第1—20题的相应位置上． 1.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，{4,5}A =，{3,4}B =，则()U AB =ð （C ）A ．{3,4,5}B ．{1,2,3,4,6}C ．{1,2,6}D ．{1,2,3,5,6}2.过点（0，4）且平行于直线032=--y x 的直线方程是（ B ） A ．042=--y x B ．042=+-y x C ．042=-+y x D ．042=++y x3.下列四组函数中，表示同一函数的是（ D ）A ．2)1(1-=-=x y x y 与 B ．111--=-=x x y x y 与C ．2lg 2lg 4x y x y ==与 D ．lg 2lg100xy x y =-=与 4.已知向量a =(1,2)，向量b =(,2)x -，且a ⊥(a -b )，则实数x 等于（ D ） A. 4- B. 4 C. 0 D. 9 5. 给出四个条件：①0b a >>；②0a b >>；③0a b >>；④0a b >>，其中能使11a b< 成立的条件是（ C ） A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③④6. 已知直线0ax y -=与直线2310x y ++=平行，则a 等于（ B ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 7.25sin 20sin 65sin 70sin -的值等于（ C ）A ．21B ．23C ．22 D ．22- 8.若m ，n 表示不同的直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为（ C ）①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9.函数x x y 2cos 2sin 2=是 ( A )A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为4π的奇函数 D ．周期为4π的偶函数10.如图，表示图中阴影部分的平面区域的不等式组是（ A ）A ．⎩⎨⎧-≥+≤11y x y B ．⎩⎨⎧-≤+≤11y x yC ．⎩⎨⎧-≥+≥11y x yD ．⎩⎨⎧-≤+≥11y x y11.设0.5log 6.7a =，2log 4.3b =，2log 5.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ C ） A. b < c < a B. a < c < b C. a < b < c D. c < b < a 12.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 ( A ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．713.过点A (2，1)的直线交圆x 2+y 2-2x +4y = 0于B ，C 两点，当|BC |最大时，直线BC 的方程是（ A ）A ．350x y --=B ． 370x y +-=C ．350x y +-=D ．350x y -+=14.函数)62sin(5π+=x y 图象的一条对称轴方程是（ C ）A .12x π=- B .0x =C .6x π=D .3x π= 15. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 a，b = 2，c =2，那么角C 的大小是（ A ）A.30°B. 45°C.60°D. 120° 16. 设()338x f x x =+-，用二分法求方程3380x x +-=在()1, 2x ∈内近似解的过程中得()()()10, 1.50, 1.250f f f <><，则方程的根所在的区间是（ B ）A ．(1, 1.25)B ．(1.25, 1.5)C ．(1.5, 1.75)D ．(1.75, 2)17. 小船以103km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h. 则小船实际航行速度的大小为（ B ） A . 202km/h B . 20 km/h C . 102km/h D . 10km/h18.已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切，则三条边长分别为a b c ，，的三角形（ B ） A ．是锐角三角形 B ．是直角三角形 C ．是钝角三角形 D ．不存在 19.为鼓励节约用水，某地对居民用水实施如下计费方式：每户月用水量x （单位：立方米）与应交水费y （单位：元）按下式计算，1.2,022,1.813.2,2230,2.431.2,30.x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩如果甲、乙两户某月用水量分别为20立方米、40立方米，那么该月乙户应比甲户多交水费（ B ） A. 24.0元 B. 40.8元 C. 48.0元 D. 64.8元 20. 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos2xπ的值介于0到21之间的概率为( A ).A.31B.π2C.21D.32第II 卷（非机读卷共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21. 圆22(1)1x y +-=的圆心到直线2x =的距离是 _____________ . 2 22. 函数2)3lg(--=x x y 的定义域是 . )3,2()2,( -∞23. 已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，其中1,2,3,,n =那么5a =______ . 924．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(]2700, 3000的频率为 ____________.0.3三、解答题（共3个小题，共28分） 25. （本小题满分8分）如图是一个长方体截去一个角所得的多面体的直观图及它的正（主）视图和侧（左）视图（单位：cm ）．（I ）画出该多面体的俯视图；（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（Ⅲ）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥平面EFG ．直观图正视图已知圆C 与y 轴交于两点(0,2)M -，(0,2)N ，且圆心C 在直线260x y --=上．（I ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过圆C 的圆心C 作一直线，使它夹在两直线1:220l x y --=和2:30l x y ++=间的线段AB 恰好被点C 所平分，求此直线的方程．数列{}n a 满足,2,021==a a 222(1cos )4sin ,1,2,3,,22n n n n a a n ππ+=++=（I ）求43,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；（II ）设1321k k S a a a -=+++，242k k T a a a =+++，*2()2kk kS W k T =∈+N ，求使1k W >的所有k 的值，并说明理由．北京市东城区2019学年度高三会考考前练习数学试卷参考答案二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 21. 2 22. )3,2()2,( -∞ 23. 9 24. 0.3三、解答题（共3个小题，共28分） 25. （本小题满分8分）解：（Ⅰ）如图俯视图………………………………………………………2分（Ⅱ）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭3284(cm )3=．…………………………………………………5分（Ⅲ）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中，连结AD '，则AD BC ''∥．因为E G ，分别为AA '，A D ''中点，所以AD EG '∥，从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，所以BC '∥平面EFG ．………………………………………………………………………8分26. （本小题满分10分）解：（I ）因为圆C 与y 轴交于两点(0,2)M -，(0,2)N ，所以圆心C 的纵坐标为0．又因为圆心C 在直线260x y --=上，所以3x =．所以圆心(3,0)C ，半径MC ==．A C DE F G A ' B ' C 'D '所以圆C 的方程为22(3)13x y -+=．……………………………………………5分（Ⅱ）由（I ）知圆心(3,0)C ，设A 点的纵坐标为1y ，B 点的纵坐标为2y ，直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(3)y k x =-，分别与1l ，2l 联立得(3),220.y k x x y =-⎧⎨--=⎩解得142ky k =-． (3),30.y k x x y =-⎧⎨++=⎩ 解得261ky k -=+．由中点坐标公式，有121()02y y +=．即46021k kk k -+=-+．所以8k =．故所求直线方程为8(3)y x =-．即8240x y --=．当k 不存在时，过点(3,0)C 的直线方程为3x =与1l 交点为(3,4)，与2l 交点为(3,6)-，其中点(3,1)-与圆心(3,0)C 不符，故3x =不是所求直线．………………………………………………………10分27. （本小题满分10分）解：（I ）因为,2,021==a a 所以22311(1cos)4sin 44,22a a a ππ=++=+=22422(1cos )4sin 24,a a a ππ=++==一般地, 当21()n k k *-∈N =时，22212121(21)21[1cos ]4sin 4,22k k k k k a a a ππ+----=++=+ 即2121 4.k k a a +--=所以数列{}21k a -是首项为0，公差为4的等差数列.因此214(1).k a k -=-当2()n k k *∈N =时，22222222[1cos]4sin 2,22k k k k ka a a ππ+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.kk a =故数列{}n a 的通项公式为22(1),21(),2,2().n n n n k k a n k k **⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩N N …………5分（II ）由（I ）知，1321044(1)2(1),k k S a a a k k k -=+++=+++-=-2124222222,k k k k T a a a +=+++=+++=-12(1).22k k k k S k k W T --==+ 于是10,W =21,W =33,2W =43,2W =55,4W =61516W =. 下面证明: 当6k ≥时， 1.k W <事实上, 当6k ≥时，11(1)(1)(3)0,222k k k k kk k k k k k W W +-+---=-=<即1.k k W W +< 又61,W <所以当6k ≥时，1k W <.故满足1k W >的所有K 的值为3,4,5. …………………………………………10分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷文科) 数学试题及答案(教师版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文科）数学试题本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

)1.已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（C ）A.（–1，1）B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）2.已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（D ）C.3D.53.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A ）A.12y x =B.y=2x -C.12log y x= D.1y x=4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（B ）A.1B.2C.3D.45.已知双曲线2221x y a-=（a >0a =（D ）A.6B.4C.2D.126.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（C ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10.110-8.如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（B ）A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ第二部分（非选择题共110分）二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分。

2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析附后)

15．函数的零点的个数是（）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】因为，所以令则有：或或，即零点有个，
故选：D.
16．要得到函数的图象．只需将函数的图象（）
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
【答案】A
【解析】根据相位变换的左加右减有：向左移动个单位得到，
C．线线平行
⑤
A．线面平行
B．线线平行
C．线面垂直
30．某同学解答一道解析几何题：“已知直线l：与x轴的交点为A，圆O：经过点A．
（Ⅰ）求r的值；
（Ⅱ）若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求．”
该同学解答过程如下：
解答：（Ⅰ）令，即，解得，所以点A的坐标为．
因为圆O：经过点A，所以．
故选：D.
13．如图，在直三棱柱中，，如果，，，那么直三棱柱的体积为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】B
【解析】因为，所以；
所以，
故选：B.
14．的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
故选：A.
【方法指导】
本题考查诱导公式的运用，难度较易.注意诱导公式一：， .
2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题（解析附后）
一、单选题
1．已知集合，，那么等于（）
A. B. C. D.
2．已知向量，，那么等于（）
A. B. C. D.
3．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（）

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(北京卷)(含解析)

名师考前提醒01选择题做完就填答题卡这是针对考试总会忘记填答题卡的考生，为避免非智力因素失分，一般每门一做完选择题就填答题卡。

这时填答题卡心态较平静，不会因为担心时间不够而出现涂写错位的情况。

考试成绩的好坏往往与考试的心情有关，所以我们一定要调节好自己的考试心情。

特别是刚开始的状态，利用一些小的技巧如做完试题就填涂答题卡等，这样可以避免在最后时间较紧的情况下因匆忙而涂错、涂串或是没有涂完而造成遗憾。

02考前看相关资料转换思维考英语前最好看看复习资料，并不是要记住什么知识点，而是让大脑提前进入状态。

而数学试卷对一些学生来说比较发怵，建议在心中回忆梳理一下相关知识点，可驱使自己进入状态，效果不错。

考试紧张，这是很正常的事情，考试不紧张，就不正常了。

但是不能过度紧张，那样会给自己很大的压力不利于水平的发挥。

可以和同学聊一聊天，说说话放松一下。

03遇事都往好处想看大题时，先不想该怎么做，只是看它如何表述，甚至跟自己说“这题我会做，第一问认真看就能做对”，让自己有一个平和的心态答题。

即使是弱科，我们也要知足常乐，我只要把会做的都做上，在一场考试中把会的都做对其实就是很好的发挥了。

时刻给自己打一打气，阿Q一下，这样把对自己的期待放低一些，心态就平稳了，也就高兴了，这可以使得思路更顺畅，而超水平发挥也就很正常了。

04别看他人答题的速度考场上不要左顾右盼，观察别人做题的进度，万一人家比自己快，会给自己压力。

在考场上和比较熟悉的老师、同学可以主动打个招呼。

即使是不认识的老师，也可问候一声“老师好”，一般老师都会像老朋友似地回以微笑，这可以缓解紧张的情绪。

这一些方法和措施都是很有助于调节考试心态与考试情绪的。

有心理学家研究证明，人在平稳的平稳或是心情高兴的时候，智商最高，情商也不错，更容易发挥出自己的高水平来。

05答题遇困难要镇静，巧用考前5分钟这个问题是涉及到考试策略与方法的，对于每一学科的考试，我们都应该有自己的考试策略和答题风格。

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（1）求()3f π的值；（2）求函数()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。

27.（本小题满分5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AD AB 的中点。

（1）求证：11//EF CB D 平面（2）求证：平面1111CAA C CB D ⊥平面。

28．（本小题满分5分）已知圆心为(1，1)的圆C 经过点M (1，2)．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线x ＋y ＋m ＝0与圆C 交于A 、B 两点，且△ABC 是直角三角形，求实数m 的值．29．（本小题满分7分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 2a n ＋1（n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）当n ≥2，n ∈N *时，不等式a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ＞1235(log 3m －log 2m ＋1)恒成立，求实数m 的取值范围．30．（本小题满分5分）已知函数2()21f x ax bx a =+-+，其中a R ∈，b R ∈．（Ⅰ）当1a b ==时，()f x 的零点为；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上）（Ⅱ）当43b =时，如果存在0x R ∈，使得0()0f x <，试求a 的取值范围；（Ⅲ）如果对于任意[1,1]x ∈-，都有()0f x ≥成立，试求a b +的最大值．答案一、选择题ACBDD ACABD DBDAC AACBB BDCBD二、解答题26.27.略28．解：（Ⅰ）由已知，圆的半径r＝|CM|＝(1－1)2+(2－1)2＝1，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1．（Ⅱ）由题意可知，|CA|＝|CB|＝1，且∠ACB＝90 ，∴圆心C到直线x＋y＋m＝0的距离为22，即|1＋1＋m |12＋12＝22，解得m＝－1或m＝－3．29．解：（Ⅰ）由题意得a n ＞0，且1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝1a n ＋2，1a n ＋1－1a n＝2，所以数列{1a n }是以 1a 1为首项，2为公差的等差数列，故1a n ＝ 1 a 1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝12n －1．（Ⅱ）令f (n )＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ，f (n ＋1)＝a n ＋2＋a n ＋3＋…＋a 2n ＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2，f (n ＋1)－f (n )＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2－a n ＋1＝14n ＋1＋14n ＋3－12n ＋1＝1(4n ＋1)(4n ＋3)(2n ＋1)＞0，∴函数f (n )单调递增，当n ≥2时，[f (n )]min ＝f (2)＝a 3＋a 4＝1235．故有1235＞1235(log 3m －log 2m ＋1)，整理，得log 3m ＜log 2m ，lg m lg 3＜lg m lg 2，得lg m (lg 3－lg 2)＞0，即lg m ＞0，解得m ＞1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)． 30．（Ⅰ）()f x 的零点为0，12-（Ⅱ）a 的取值范围是12(,)(,)33-∞+∞ （Ⅲ）a b +的最大值是2。