高二上学期10月月考试卷真题
山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知直线l 经过A ，B 两点，则l 的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 2．已知圆C 的方程是2242110x y x y ++--=，则圆心C 的坐标是（ ） A ．()2,1-B ．()2,1-C ．()4,2-D ．()4,2-3．在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 的中点.若1,,AB a AD b AA c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则AM u u u u r等于（ ）A ．12a b c ++r r rB ．12a b c -+r r rC ．111222a b c ++r r rD ．111222a b c -+r r r4．两平行直线1l ：20x y -=，2l ：240x y -+=之间的距离为（ ）AB ．3C D ．5．曲线y =x 轴围成区域的面积为（ ） A ．4πB ．2πC ．πD ．π26．已知平面α的一个法向量(1,1,2)n =-r，(0,1,2)A 是平面α内一点，(2,1,4)P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离是（ ）A ．B ．CD ．37．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22430x y y +-+=，若直线1y kx =-上存在点P ，使以P 点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U8．在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA 2BC BO =u u u r u u u r，M 为棱11B C 上的动点，N为线段AM 上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的最小值为（ ）A ．2BC D二、多选题9．下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ）A ．若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面B ．若0a b ⋅>r r ，则a r ，b r 的夹角是锐角C ．不相等的两个空间向量的模可能相等D ．若a r，b r 是两个不共线的向量，且(,c a b λμλμ=+∈R r r r 且0)λμ⋅≠，则{},,a b c r r r 构成空间的一个基底10．已知直线1:30l ax y a +-=，直线2:2(1)60l x a y +--=，则（ ）A ．当3a =时，1l 与2l 的交点为(3,0)B ．直线1l 恒过点(3,0)C ．若12l l ⊥，则13a =D ．存在a ∈R ，使12l l ∥11．“太极图”是中国传统文化之一，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形2216x y +=，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆.则下列命题正确的是（ ）A ．黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界所在圆的方程为()2224x y +-= B ．直线780x y -+=与白色部分有公共点C ．点(),P x y 是黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则3x y -的最大值为4D ．过点()3,1M 作互相垂直的直线1l 、2l ，其中1l 与圆2216x y +=交于点A 、C ，2l 与圆2216x y +=交于点B 、D ，则四边形ABCD 面积的最大值是22三、填空题12．若直线l 与直线122y x =-+垂直，且它在y 轴上的截距为4，则直线l 的方程为． 13．圆222:1O x y +=和圆()()222:4316C x y -+-=的公切线的方程为. 14．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB CD ∥，且==90BAP CDP ∠∠︒，若PA PD AB DC ===，=90APD ∠︒，则平面APB 与平面PBC 夹角的余弦值为．四、解答题15．已知直线:210l x y -+=与22:420C x y x y a +-++=e 交于A ，B 两点． (1)求线段AB 的垂直平分线的方程； (2)若AB 4=，求a 的值．16．如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中PO 是圆锥的高，AB 是圆锥底面的一条直径，2PO =，1OA =，C 是»AB 的中点．(1)求直线BC 与PA 所成角的余弦值； (2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．17．在平行四边形ABCD 中，()1,1A --，()1,3B ，()7,5D . (1)若圆E 过A ，B ，D 三点，求圆E 的方程； (2)过点C 作圆E 的切线，切点为M ，N ，求MN .18．如图，四边形ABCD 是直角梯形，//,,22,AB CD AB BC AB BC CD E ⊥===为BC 的中点，P 是平面ABCD 外一点，1,,PA PB PE BD M ==⊥是线段PB 上一点，三棱锥M BDE -的体积是19.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角M DE A --的余弦值.19．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，与y 轴正半轴相切，且截直线:20l x y -=所得的弦长为4.(1)求圆C 的方程；(2)设点A 在圆C 上运动，点()5,1B -，M 为线段AB 上一点且满足3AM MB=，记点M 的轨迹为曲线E.①求曲线E的方程，并说明曲线E的形状；②在直线l上是否存在异于原点的定点T，使得对于E上任意一点P，PTPO为定值，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由.。
河南省郑州市外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考语文试题(含答案)
郑州外国语学校2024-2025学年高二上期月考语文参考答案一、现代文阅读（16分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，16分）1.【答案】B【解析】“会做出错误的定义或划分使推理出现瑕疵”错，材料一第一段“人类理性的活动是推演性的，而推演活动又是一种生产性的或构造性的，理性并不保证它在生产或构造或构成中不会出错，相反，它可能会做出错误的定义或划分，推理会出现瑕疵，思想会产生混乱”，可看出原文是“可能会”。
故选：B。
2.【答案】C【解析】“为了正面证明‘无理而妙’的艺术效果已经得到了学者的认可和重视”错。
引用鲁迅的话是为了从反面论证单靠逻辑和理性不能正确有效地品读鉴赏诗歌的语言，即“诗人的语言不能用常理来衡量”。
故选：C。
3.【答案】D【解析】先看“无理而妙”。
材料二第一段“语言运用的艺术，在某些情况下，又是可以突破逻辑规律的框框的，这不仅无碍于语言运用的正确，而且反而使得语言运用收到更好的艺术效果，这就是‘无理而妙’”。
A.“春风”不知离别之苦，也不能决定柳条是否发青。
李白却赋予春风以人的情感，春风不让柳条发青，怕离别之人又饱受别离的苦楚，从物的角度表现“无理而妙”。
B.不忿：恼恨、嫌恶。
思妇久盼归人，出门眺望，未见亲人，把失望迁怒于啼叫的喜鹊，表现其盼归之苦，无理而妙。
C.花不能“弄”影，此处用拟人手法，暗示有风。
一个“弄”字，生动细致地写出晚风吹拂时花影晃动之态，无理而妙。
D.是现实主义表达，没有突破思维逻辑的语言表达，不能体现“无理而妙”的艺术效果。
故选：D。
4.【答案】①材料一从逻辑内涵的角度强调逻辑是一门科学，又是一门艺术，还是一种理性精神。
②材料二从逻辑运用的角度强调语言艺术可以突破逻辑规律，达到“无理而妙”的效果，而“无理而妙”是建立在深邃的逻辑基础上的智慧和能力。
5.【答案】大前提：一个身在最高层的人是不害怕浮云挡住视线的。
小前提：我是一个身在最高层的人。
结论：我是不害怕浮云挡住视线的。
海南省海口市某校2024-2025学年高二上学期10 月月考语文试题(含答案)
2024年高二年级10月校考语文试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、班级、准考证号填写在答题卡上。
2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.本试卷满分150分，考试时间150分钟。
一、现代文阅读Ⅰ（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，阅读下面的文字，完成1-5题。
材料一：在一些地方，野生动物仍然被奉为餐桌美味。
一些食客或是为了尝鲜，或是为了所谓滋补，不惜花大价钱购买野生动物食用。
然而舌尖的一时“任性”，却潜藏巨大风险。
从SARS病毒到鼠疫、H7N9禽流感，再到埃博拉病毒、MERS病毒，都与野生动物有关。
专家学者早已证实，很多要命的急病、怪病都是人在吃野生动物时传染到人身上的，许多疑难杂症的元凶就是寄生在野生动物体内的细菌和病毒。
面对这些血与泪的教训，我们绝不能掉以轻心，绝不能忽视其严重危害。
倡导科学健康的饮食习惯刻不容缓。
饮食习惯以及由此形成的饮食文化，并不简单是私人的事情，而是关系大众健康的公共问题。
一些地方长期以来形成了食用野生动物的饮食文化，有的人认为吃什么是自己的事情，别人管不着。
但必须看到，在现代社会中，一旦有一个人或者一小部分人因为食用不安全、不卫生的食物而致病，就可能迅速在人群中传播，引起更大范围的危害。
这警示我们，必须把区域乃至个人的卫生和健康问题，放在更大的范围内进行审视。
从公共利益角度出发，每个人管住自己的嘴，不仅是对自身健康负责，也是对他人和整个社会负责。
我们尊重、鼓励不同地区形成自己独特的饮食文化、美食文化，但任何一种文化都应建立在对公共卫生和生命健康权利负责任的基础上。
拒绝食用野生动物，在更深层次上体现着敬畏自然、尊重自然规律的价值和态度。
如何才能实现人与自然的和谐相处，是我们一直以来思考和实践的课题。
在证实蝙蝠是SARS病毒的自然宿主时，研究团队也发现蝙蝠身上携带一系列对人类有害的病毒。
但即使如此，在研究者看来，一方面这些病毒传染给人类的可能性微乎其微；另一方面，蝙蝠在生态系统中占据着重要地位，对生态平衡的维护功不可没，绝不能因为携带病毒就消灭它们。
四川省成都2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
成都2024—2025学年度高二上期10月月考数学试卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷分第I 卷和第II 卷两部分；2．本堂考试120分钟，满分150分；3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂；4．考试结束后，将答题卡交回．第I 卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．1．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A ．①随机数法，②抽签法B ．①随机数法，②分层抽样C ．①抽签法，②分层抽样D ．①抽签法，②随机数法2．已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y = ，且//a b r r，那么实数x y +等于（）A ．3B ．-3C ．9D ．-93．若,l n 是两条不相同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A ．若l n ⊥，n β⊥，则l //βB ．若αβ⊥，l α⊥，则l //βC ．若//αβ，l α⊂，则l //βD ．若//l α，//αβ，则l //β4．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA上，且2ON NA =，则MN =（）A ．121232a b c--+B ．211322a b c-++C ．211322a b c-- D ．111222a b c+-5．为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）A ．58或64B ．59或64C ．58D ．596．已知点D 在ABC V 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，正数,x y 满足23DO xOA yOB OC =+- ，则yx 21+的最小值为（）A ．25B ．29C ．1D ．27．现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．C ．6D ．128．如图，四边形,4,ABCD AB BD DA BC CD =====ABD △沿BD 折起，当二面角A BD C --的大小在[,63ππ时，直线AB 和CD 所成角为α，则cos α的最大值为（）A ．16B C ．16D ．8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()2,0,1a =-，()4,0,2b =- ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()1,1,2c =-，平面α的法向量是()6,4,1m =- ，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =- ，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,1,1d = ，平面α的法向量()1,0,1n =，则直线l 与平面α所成角的大小为π310．小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A ．娱乐开支比通信开支多5元B ．日常开支比食品中的肉类开支多100元C ．娱乐开支金额为100元D ．肉类开支占储蓄开支的1311．已知四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点.N M ,是该四面体内切球球面上的两点，P 是该四面体表面上的动点.则下列选项中正确的是（）A.DE 的长为44B.D 到平面ABC 的距离为66C.当线段MN 最长时，PN PM ⋅的最大值为31D.直线OE 与直线AB 所成角的余弦值为33第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是．13．已知(2,1,3),(1,4,2)a b =-=-- ，c (4,5,)λ=，若,,a b c 三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数λ的值为.14．在正方体ABCD A B C D -''''中，点P 是AA '上的动点，Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，则平面BDP 与平面BDQ 所成角余弦值的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（满分13分）15．已知向量()6a m = ,，()1,0,2=b ，()()2R c m =∈ (1)求()a b c ⋅-的值；(2)求cos b c ,；(3)求a b - 的最小值.（满分15分）16．成都市政府委托市电视台进行“创建文明城市”知识问答活动，市电视台随机对该市1565～岁的人群抽取了n人，绘制出如图所示的频率分布直方图，回答问题的统计结果如表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第一组[15，25)500.5第二组[25，35)180a第三组[35，45)x0.9第四组[45，55)90b第五组[55，65)y0.6a b x y的值；（1）分别求出,,,（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人，则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人.-中，ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥（满分15分）17．如图，在四棱锥P ABCDPC=.平面ABCD，直线PA与平面PBC所成的角为45︒，2（1）若E，F分别为BC，CD的中点，求证：直线AC⊥平面PEF；（2）求二面角D PA B--的正弦值.（满分17分）18．随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准.根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图,如图.(1)求a ；(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？（精确到小数点后2位）（满分17分）19．如图，四面体ABCD 中，2,AB BC BD AC AD DC ======(1)求证：平面ADC ⊥平面ABC ；(2)若(01)DP DB λλ=<<，①若直线AD 与平面APC 所成角为30°，求λ的值；②若PH ⊥平面,ABC H 为垂足，直线DH 与平面APC 的交点为G ．当三棱锥CHP A -体积最大时，求DGGH的值．高二上10月月考数学答案一、单选题：C D C C A B A B二、多选题：AC;BCD;BC3三、填空题：10；5；318:（1）由频率直方图可得，（2）由频率分布直方图可得样本中女性⨯=，所以全市女性50.020.1⨯=，10000000.1100000。
湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一，二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-．若()a ab ⊥+ ，则m =________．【答案】3-【解析】【分析】利用非零向量垂直时数量积为0，计算即可.【详解】()1,2a b m +=--．因为()a ab ⊥+ ，所以()1220m ---⨯=，解得3m =-．故答案为：3-.13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos,19·DB A DDB A DDB A D==-，所以异面直线1DB与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x=-，若函数()()()()()2121f xg x a g x a=+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x=，可得()2g x=或()1g x a=--，函数有三个零点，则需方程()1g x a=--有两个解，则=与1y a=--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x=，可得()()()()21210g x a g x a⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a-++=，所以()2g x=或()1g x a=--，由()2g x=，又()21xg x=-，可得212x-=，解得21x=-或23x=，方程21x=-无解，方程23x=有一解，故()2g x=有一解，要使函数()()()()()2121f xg x a g x a⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a=--有两解，即=与1y a=--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a<--<，解得21a-<<-.所以a的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得1132m -±=或0m =或2m =或1334m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。
四川省南充2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4.考试结束后将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“2sin 2θ=”是“π4θ=”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】判断“sin 2θ=”和“π4θ=”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当2sin 2θ=时，π2π,Z 4k k θ=+∈或3π2π,Z 4k k θ=+∈，推不出π4θ=；当π4θ=时，必有2sin 2θ=，故“sin 2θ=”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：C2.设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若//l α，//l β，则//αβC.若l α⊥，m α⊥，则//l mD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.【详解】对选项A ，若//l α，//m α，则l 与m 的位置关系是平行，相交和异面，故A 错误.对选项B ，若//l α，//l β，则α与β的位置关系是平行和相交，故B 错误.对选项C ，若l α⊥，m α⊥，则根据线面垂直的性质得l 与m 的位置关系是平行，故C 正确.对选项D ，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β的位置关系是平行和相交，故D 错误.故选：C3.若sin 2αα-+=，则tan(π)α-=（）A. B.C.3D.3-【答案】C 【解析】【分析】由sin 2αα-+=两边同时平方，从而利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化，【详解】由sin 2αα-+=两边同时平方，可得22sin cos 3cos 4αααα-+=，∴222222sin cos 3cos tan 34sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++，解得tan 3α=-.()tan tan 3παα∴-=-=.故选：C.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.23B.33C.23D.13【解析】【分析】以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2A M B N ，所以()1(1,1,2),1,1,2MA BN =-=--设向量1MA 与BN的夹角为θ，则1142cos 63MA BN MA BNθ⋅===⋅，所以直线1A M 和BN 夹角的余弦值为23，故选：C ．5.在三棱锥S ABC -中，()()20SC SA BS SC SA ++⋅-=，则ABC V 是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由向量的线性运算得到2,SC SA BS BC BA SC SA BC BA ++=+-=- ，从而说明22BC BA = ，即可求解.【详解】()()22,SC SA BS SC SA SB SC SB SA SB BC BA SC SA AC BC BA ++=+-=-+-=+-==- ，()()()()2220SC SA SB SC SA BC BA BC BA BC BA ∴+-⋅-=+⋅-=-= ，BC BA ∴=，即BC BA =，所以ABC V 是等腰三角形.故选：C6.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A.38B.29C.59D.34【答案】B 【解析】【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，(),x y 代表依次摸出的卡片，{},,,x y A B C ∈，则基本事件分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C B A B B B C C A C B C C ，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：()(),,,A B B A ，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是29.故选：B.7.已知函数()3f x x =，若正实数a ，b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得49a b +=，再结合基本不等式“1”的代换可得解.【详解】由已知()3f x x =，定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则()f x 是R 上的奇函数，且函数()3f x x =在R 上单调递增，又()()490f a f b +-=，即()()()499f a f b f b =--=-，则49a b =-，即49a b +=，且0a >，0b >，所以()1111114144415999a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又44a b b a +≥=，即()11141554199a b a b b a ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即32a =，3b =时，等号成立，即11a b+的最小值为1.故选：A.8.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈=，则集合T 所表示的曲线长度为（）A.5πB.2πC.3D.π【答案】B 【解析】【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后即可求解.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，集合T 所表示的曲线长度为2π故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分.）9.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π6ϕ=C.()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得ω，然后求得ϕ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】()()5ππ2ππ,π,2,sin 22632T T f x x ωϕω=-=∴==∴==+，π2sin π133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ2π7π,22636ϕϕ-<<<+<，所以2πππ,326ϕϕ+==-，所以A 选项正确，B 选项错误.()ππππsin 2,2π,,66122k f x x x k x k ⎛⎫=--==+∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k =时，得π12x =，所以()f x 关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 选项正确，11111πππππ2π22π,ππ,26263k x k k x k k -+<-<+-+<<+∈Z ，当11k =时，得()f x 在54π,π63⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 选项正确.故选：ACD10.对于随机事件A 和事件B ，()0.3P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.3P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B ⋃=C.若A 与B 相互独立，则()0.12P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.7P A B ⋃=【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A ：若A 与B 互斥，则()0P AB =，故A 错误；对于B ：若A 与B 互斥，则()()()0.7P A B P A P B =+= ，故B 正确；对于C ：若A 与B 相互独立，则()()()0.12P AB P A P B ==，故C 正确；对于D ：若A 与B 相互独立，则()()()()0.30.40.30.40.58P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-⨯=，故D 错误.故选：BC11.如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列结论中正确的有（）A.(a ∃∈，使12MN CE=B.线段MN 存在最小值，最小值为23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D.(a ∀∈，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面【分析】利用向量的线性运算可得()1MN a BC aBE =-+，结合向量的模的计算可判断B 的正误，结合向量夹角的计算可判断C 的正误，结合共面向量可判断D 的正误.【详解】因为四边形ABCD 正方形，故CB AB ⊥，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB BE ⊥.设MC AC λ=，则= BN BF λ，其中()0,1λ=，由题设可得MN MC CB BN AC CB BF λλ=++=++，()()()1BC BA CB BA BE BC BE λλλλ=-+++=-+，对于A ，当12λ=即2a =时，111222MN BC BE CE =-+= ，故A 正确；对于B ，()22222111221222MN λλλλλ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，故22MN ≥，当且仅当12λ=即2a =时等号成立，故min 22MN =，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+，而平面ABEF 的法向量为BC 且()211MN BC BC λλ⋅=-=-，故cos ,MN BC =，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+ ，故,,MN BC BE为共面向量，而MN ⊄平面BCE ，故//MN 平面BCE ，故D 正确；故选：AD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.复数2i12iz +=-的共轭复数z =______．【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念可求解.【详解】因为2i 12i z +=-()()()()2i 12i 12i 12i ++=-+5i i 5==，所以z =i -.故答案为：i-13.已知向量()2,1,1a =- ，()1,,1b x = ，()1,2,1c =-- ，当a b ⊥ 时，向量b 在向量c上的投影向量为________．（用坐标表示）【答案】()1,2,1-【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出3x =，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为a b ⊥ ，所以210a b x ⋅=-+=，所以3x =．因为()1,3,1b = ，所以b 在c 上的投影向量为()1,2,1||||b c cc c c ⋅⋅=-=-．故答案为：()1,2,1-14.已知在ABC V 中，满足)34AB AC AB ACAB AC AB AC++=+,点M 为线段AB 上的一个动点，若MA MC ⋅ 取最小值3-时，则BC 边的中线长为______．【答案】1112【解析】【分析】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，根据题意可推得||3,||4AD AN == ，2π3ADE ∠=，进一步根据MA MC ⋅ 取最小值3-时，求得对应的AC =AB =，由此即可得解.【详解】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，则//,//AD EN AN DE ，四边形ADEN为平行四边形，||||3||3,||4,||4||||AB AD AD AN AE AC AN =====，22343712πcos 23423ADE ADE +-∴∠==-⇒∠=⨯⨯，又四边形ADEN 为平行四边形，3πBAC ∴∠=，设,,0,0MA AD AC AN λμλμ==≤≥，()()296MA MC MA MA AC AD AD AN λλμλλμ⋅=⋅+=⋅+=+，由题意2963λλμ+≥-即29630λλμ++≥恒成立，且存在,R λμ∈使得29630λλμ++=成立，其次29630λλμ++=当且仅当2296303Δ361080λλλμμμ⎧⎧=-++=⎪⇔⎨⎨=-=⎩⎪=⎩，此时AC ==AB ==所以BC边的中线长为122AB AC +===.故答案为：2.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图,四边形ABCD 为矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,1PA =,E 为BC 的中点．（1）求证：PE DE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的外接球体积．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接AE ，由线面垂直得到PA DE ⊥，再由线面垂直的判定定理得到DE ⊥平面PAE ，即可证明；（2）由底面为矩形利用长方体的性质可得四棱锥外接球的半径，再由体积公式计算体积.【小问1详解】连结,AE E 为BC 的中点,1EC CD ==，∴DCE △为等腰直角三角形,则45DEC ∠=︒，同理可得45AEB ∠=︒，∴90AED ∠=︒，∴DE AE ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥，又∵AE PA A = ，,AE PA ⊂平面PAE ，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE PE ⊥．【小问2详解】∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，∴P ABCD -的外接球直径2R =∴2R =，故：3344ππ332V R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，∴四棱锥P ABCD -．16.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A b c -=+.（1）求角A 的值；（2）若a ABC = ，求,b c .【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】cos cos a B b A b c -=+ ，由正弦定理可得：sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B ∴-=++，即2sin cos sin B A B -=，sin 0B ≠ ，1cos 2A ∴=-，(0,π)A ∈ ，2π3A ∴=.【小问2详解】由题意，1sin 24ABC S bc A bc ===△，所以4bc =，由222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，得()2216b c a bc +=+=，所以4b c +=，解得：2b c ==.17.全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实践技能考试中“合格”的概率依次为12，23，23，所有考试是否合格互不影响.（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.【答案】（1）35（2）13【解析】【分析】（1）先根据对立事件的概率公式结合独立事件概率乘积公式计算；（2）先应用对立事件的概率公式及独立事件概率乘积公式应用互斥事件求和计算；【小问1详解】记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件1A ，1B ，1C ，在实践考试中合格依次为2A ，2B ，2C ，设甲没有获得执业医师证书的概率为P124131()1525P P A A =-=-⨯=.【小问2详解】甲、乙、丙获得执业医师证书依次为12A A ，12B B ，12C C ，并且1A 与2A ，1B 与2B ，1C 与2C 相互独立，则()12412525P A A =⨯=，()12321432P B B =⨯=，()12224339P C C =⨯=,由于事件12A A ，12B B ，12C C 彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++，概率为212142141(1)(1)(1)52952952934P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=.18.为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】（1）0.030（2）84（3）平均数为62；方差为23【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据百分位数的计算公式即可求解，（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1得，0.050.10.2100.250.11a +++++=，解得0.030a =．【小问2详解】成绩落在[)40,80内的频率为0.050.10.20.30.65+++=，落在[)40,90内的频率为0.050.10.20.30.250.9++++=，显然第75百分位数[)80,90m ∈，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，解得84m =，所以第75百分位数为84；【小问3详解】由频率分布直方图知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，所以10562065621020z ⨯+⨯==+；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，且ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB AA B ∠=∠=．（1）若1A BC 为等边三角形，证明：平面1AAB ⊥平面ABC ；（2）若二面角1A AB C --的平面角为π3，求以下各值：①求点1B 到平面1A CB 的距离；②求平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①2217，②277【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形及等边三角形的性质可得各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，根据线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据二面角的定义可值1CEA 为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角.【小问1详解】设AB 的中点为E ，连接CE ，1A E ，如图所示，因为ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB A AB ∠=∠=，故1cos 452BC A B AB ==⋅︒=CE AB ⊥，且112CE AB ==，1112A E AB ==，因为1A BC 为等边三角形，故12==AC BC ，故22211A C CE A E =+，即1CE A E ⊥，又AB ，1A E ⊂平面1AA B ，1A E AB E ⋂=，故CE ⊥平面1AA B ，且CE ⊂平面ABC ，故平面1AA B ⊥平面ABC ；【小问2详解】①由（1）知，CE AB ⊥，1A E AB ⊥，且平面1AA B ⋂平面ABC AB =，故1CEA ∠即二面角1A AB C --的平面角，即1π3CEA ∠=，故1CEA 为等边三角形，则111CA CE A E ===，因为CE AB ⊥，1A E AB ⊥，1A E CE E ⋂=，且CE ，1A E ⊂平面1CEA ，所以AB ⊥平面1CEA ，设线段1A E 中点为F ，则1CF A E ⊥，AB CF ⊥，又AB ，1A E ⊂平面11ABB A ，1AB A E E = ，CF ∴⊥平面11ABB A ，又在三角形1CEA中易知：2CF =，∴11111112133226C A BB A BB V CF S -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，又在三角形1A BC 中，由11AC =，1BC A B ==则22211113cos 24BC A B A CA BC BC AB +-∠==⋅，1sin 4A BC ∠=，则11117sin 24A BC S AB BC A BC =⋅⋅∠= ，设点1B 到平面1A CB 的距离为d ，又由1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△，可得7d =，即求点1B 到平面1A CB 的距离为2217；②由①知，AB ⊥平面1CEA ，而11//AB A B ，故11A B ⊥平面1CEA ，且1A C ⊂平面1CEA ，故111A B AC ⊥，则2211115B C A B AC =+=，设1AC 和1B C 的中点分别为M ，N ，连接MN ，BN ，BM，则11//MN A B ，11112MN A B ==，1MN AC ⊥，又因为12BC A B ==1BM A C ⊥，且MN ⊂平面11A B C ，BM ⊂平面1A BC ，故BMN ∠即二面角11B A C B --的平面角，且222211722BM BC CM BC A C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，因为112BB AA BC ===，故1BN B C ⊥，则222211322BN BC CN BC B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222731744cos 277212BM MN BN BMN BM MN +-+-∠==⋅⨯⨯，故平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值为277．。
重庆市2024-2025学年高二上学期10月月考英语试题含答案
高2026届高二上定时检测(一)英语试题（答案在最后）(满分：150分;考试时间：120分钟)2024年10月注意事项：1.答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑;回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回(试题卷自己保管好，以备评讲)。
第一部分听力(共两节，满分30分)注意，听力部分答题时请先将答案标在试卷上，听力部分结束前你将有两分钟的时间将答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What is the woman?A.A German translator.B.An English teacher.C.An engineer.2.Which sport does the woman usually play?A.Ping-pong.B.Tennis.C.Basketball.3.When will the man get up tomorrow morning?A.At9:40a.m.B.At9:00a.m.C.At8:00a.m.4.What can we say about the man?A.He’s curious.B.He’s upset.C.He’s optimistic.5.What are the speakers mainly talking about?A.Who to ask.B.What to buy.C.When to go.第二节(共15小题;每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
重庆市某重点中学2024-2025学年高二上学期10月月考英语试题含答案
高2023级高二（上）10月月考英语试题（答案在最后）第一部分听力（共两节满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What do the speakers prefer eating now?A.Chicken.B.Salad.C.Soup.2.What’s the main idea of this conversation?A.The time of exercise.B.The order of exercise.C.The effects of exercise.3.How often do the speakers meet now?A.Every day.B.Five times per week.C.Once per week.4.How did the woman learn the traditional dance?A.From her children.B.From her friends.C.From her parents.5.What do we know about the woman?A.She values the meaning of her future work.B.She wants to make more money.C.She has decided to be a doctor.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
河南省部分名校2024-2025学年高二上学期10月月考地理试题(含答案)
大联考2024—2025学年高二年级阶段性测试（一）地理考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器在海南文昌成功发射，之后准确进入地月转移轨道；6月2日6时23分，嫦娥六号成功着陆在月球背面，之后开始进行土壤采样；6月25日14时7分，嫦娥六号返回器安全着陆在内蒙古。
据此完成1~3题。
1.嫦娥六号发射当日，文昌的日出、日落方位分别是（）A.东南方向、西北方向B.东北方向、西北方向C.东南方向、西南方向D.东北方向、西南方向2.从嫦娥六号着陆月球至返回地球期间，地球绕日运动的速度变化情况大致是（）①②③④A.①③B.②③C.①④D.②④3.嫦娥六号返回地球后，我国即将迎来的节气是（）A.立夏B.夏至C.小暑D.白露法国以东一区区时为标准时间，但夏季使用夏令时（将时钟拨快1小时）。
当地时间2024年7月26日19：30，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎（49°N，2°E）开幕，位于东京（35°41'N，139°44'E）的小明通过手机观看了开幕式的完整直播。
8月11日晚，本届奥运会顺利闭幕。
据此完成4~6题。
4.小明开始观看巴黎奥运会开幕式直播时当地的区时是（）A.26日10：30B.26日11：30C.27日0：30D.27日2：305.巴黎奥运会期间，巴黎昼夜时长的差值（）A.一直增大B.一直减小C.保持不变D.先增大后减小6.符合巴黎奥运会期间巴黎与西安正午太阳高度差变化趋势的是（）①②③④A.①B.②C.③D.④图1为某地质科考队员在内蒙古自治区某地拍摄的岩石景观照片。
江苏省扬州中学2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学(含答案)
2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）A B. C. 或 D. 或2. 若圆与圆相切，则（）A. 6B. 3或6C. 9D. 3或93. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）A. B. C. D.4. 若点在圆内，则直线与圆C 的位置关系为（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ）A. B. C. D.6. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.7. 已知圆关于直线对称，则实数（ ）.()()2,02,3A B ､l ()1,2P AB l k 21k -≤≤112k -≤≤12k ≤-1k ≥2k ≤-1k ≥()2221:(4)0O x y r r ++=>222:(2)9O x y -+=r =1:10l x y -+=2:210l x y --=1l 2l 3450x y +-=3410x y --=3410x y -+=4310x y --=4310x y -+=(),P a b221Cx y +=：1ax by +=(2,1)M -2+1=0x y -22(2)(1)5x y -+-=22(2)(1)5x y -++=22(2)(1)25x y -++=22(2)(1)25x y -+-=224x y +=y x b =+b ()2,2-(()1--()1,1-22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =A 1或 B. 1 C. 3 D. 或38. 若圆与圆交于两点，则的最大值为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 若直线与圆交于两点，则（ ）A. 圆的圆心坐标为B. 圆的半径为3C. 当时，直线倾斜角为D. 的取值范围是10. 已知点在上，点，，则（ ）A. 点到直线的距离最大值是B. 满足的点有2个C. 过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点D. 的最小值为11. 设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是真命题的是（）A. 当时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切B. 当时，若存在一点，使其到直线系中所有直线的距离不小于1，则C. 存在，使直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限D. 当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..的3-1-22:(cos )(sin )1(02π)M x y θθθ-+-=≤<22:240N x y x y +--=A B ､tan ANB ∠344543:2cos 0l x y θ-⋅=22:10E x y +--=,A B E ()-E 1cos 2θ=l π4AB ⎡⎢⎣P 22:4O x y +=e ()3,0A ()0,4B P AB 125AP BP ⊥P AB O e ,M N MN 4,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2PA PB +:cos sin 1m n M x y θθ+=,,m n θ{}02π,,1,2m n θ≤≤∈1,1m n ==M 2,1m n ==(),0A a M 0a ≤,m n M m n =M12. 已知直线，圆，写出满足“对于直线上任意一点，在圆上总存在点使得”的的一个值______．13. 已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得弦长为定值，则该定值为__________.14. 如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上的一个动点，点Q 是以AB 为直径的圆O 的下半个圆（包括A ，B 两点）上的一个动点，，则的最小值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知直线与直线．（1）若，求m 的值；（2）若点在直线上，直线过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．16. 已知：及经过点的直线.（1）当平分时，求直线的方程；（2）当与相切时，求直线的方程.17. 如图，已知，直线.（1）若直线等分的面积，求直线的一般式方程；（2）若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程.的:1l x my =--22:6890O x y x y ++++=l A O B π2ABO ∠=m ()()223411y x m x m m =+---∈R x ,A B ()1,3CG ,,A B C l G ,3,2PB AB AB PB ⊥==1)3AP BA QC +⋅（()1:280l m x my ++-=2:40,R l mx y m +-=∈12l l //()1,P m 2l l l C e ()()22124x y -+-=()1,1P --l l C e l l C el (()(),0,0,12,0A BC (():20l k x y k k +--=∈R l ABC Vl (2,P P BC K AC I P PK18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆交于两点，当数的值；（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.19. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者．（1）计算点和点之间的“距离”；（2）设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；（3）证明：对任意点．的M 340x -+=(M x M ()()():21174l m x m y m m +++=+∈R M ,P Q PQ =m M x M ,A B O ,OA OB 8x =,C D ,OAB OCD V V 12,S S 12S S ()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12t PP 1P 2P t -{}max ,p q ,p q ()1,2P ()2,4Q t -()000,P x y 0r >0P t -r 0P r t -O 12t -()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1（答案不唯一）【13题答案】【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2）或【16题答案】【答案】（1） （2）或.【17题答案】【答案】（1； （2）.【18题答案】【答案】（1） （2）. （3）.【19题答案】【答案】（1）； （2）4；（3）证明见解析.3--1m =-10x y -+=20x y -=3210x y -+=1x =-51270x y --=170y +-=2100x -=22(4)16x y -+=23m =-1423。
福建师大附中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
福建师大附中2024-2025学年第一学期高二第一次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1. 若角α的终边上一点的坐标为(11)−，，则cos α=( )A. 1−B.C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】∵角α的终边上一点的坐标为(11)−，，它与原点的距离r=，∴cos x r α==， 故选：C.2. 下列函数中，在区间()1,2上为增函数的是 A. 1y x=B. y x =C. 21y x =−+D. 243y x x =−+【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性判断出各选项中函数在区间()1,2上的单调性，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数1y x=在区间()1,2上为减函数； 对于B 选项，当()1,2x ∈时，y x =，则函数y x =在区间()1,2上为增函数；对于C 选项，函数21y x =−+在区间()1,2上为减函数； 对于D 选项，二次函数243y x x =−+在区间()1,2上为减函数. 故选B.【点睛】本题考查基本初等函数在区间上的单调性的判断，熟悉一次、二次、反比例函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.3. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）A. 甲班众数小于乙班众数B. 乙班成绩的75百分位数为79C. 甲班的中位数为74D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D 【解析】【分析】根据已知数据图，判断A ；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B ；求出甲班的中位数，判断C ；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79， 由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A 错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(0.0200.0250.030)100.75++×=， 故乙班成绩的75百分位数为80，由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个， 故甲班的中位数为79，C 错误； 甲班平均数57258596768269279687882899874.820x ×++++×+×+×++×++=甲，乙班平均数估计值为10550.02650.025750.03+850.02950.00571.57= 4.8x =×+×+××+×=<乙（）， 即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D 正确， 故选：D 4.的直三棱柱111ABC A B C −中，ABC 为等边三角形，且ABC的外接圆半径为 ） A. 12π B. 8π C. 6π D. 3π【答案】A为【解析】【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．【详解】设ABC 的边长为a ，由ABC可得2πsin3a =，故a =则ABC的面积2S.可得11S AA AA ⋅==1AA =， 设三棱柱外接球的半径为R，则2221723233AA R =+=+=， 故该三棱柱外接球的表面积为24π12πR =. 故选：A ．5. 已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+−<<，将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象关于y 轴对称，则关于函数()f x ，下列命题正确的是 A. 函数()f x 在区间,63ππ−上有最小值 B. 函数()f x 的一条对称轴为12x π=C. 函数()f x 在区间,63ππ−上单调递增 D. 函数()f x 的一个对称点为,03π【答案】C 【解析】【分析】根据平移关系求出函数的解析式，结合函数的奇偶性求出φ的值，利用三角函数的性质进行判断即可．【详解】将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到2[2]233y sin x sin x ππϕϕ=++=++（）（），此时函数为偶函数， 则232k k Z ππϕπ+=+∈，， 即06k k Z πϕππϕ=−+∈− ，，＜＜，∴当0k =时，6，πϕ=−则26f x sin x π=−（）（），当63x ππ−＜＜时22233262x x πππππ−−−，＜＜，＜＜， 则此时函数()f x 在区间,63ππ − 上单调递增，且()f x 在区间,63ππ−上没有最小值， 故C 正确， 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数性质判断，结合三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．6. 如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC =6BC =，D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，Q 为DE 上一点，AQ GQ ⊥，当AQG 的面积取得最小值时，三棱锥Q AEF −外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π【答案】B 【解析】【分析】连接GF ，GD ，根据中位线性质得到线线平行关系，再利用线面垂直的性质得到线线垂直，设EQ x =，DQ y =，根据222AQ GQ AG +=得到()2221697x y x y +++=++，得到12AQG S AQ GQ =⋅= ，再根据基本不等式即可求出最值，再转化为长方体外接球问题即可.【详解】连接GF ，GD ，因为D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，的所以2//,11,//,2GF GF PA PA DE PA PA DE ==，1//,2GD BC GD BC =，1//,2EF BC EF BC =，则//GF DE ，因为PA ⊥平面ABC ， 所以GF ⊥平面ABC ，DE ⊥平面ABC ，AE ⊂ 平面ABC ，所以DE AE ⊥，所以DE GD ⊥，AF ⊂ 平面ABC ，所以GF AF ⊥．设EQ x =，DQ y =，则AQ ，GQ ，AG ==，因为AQ GQ ⊥，所以222AQ GQ AG +=，即()2221697x y x y +++=++， 整理得9xy =，所以12AQGS AQ GQ =⋅= 由基本不等式得2216924216y x xy +≥=，当且仅当43y x =，即x =y =所以当AQC S 取得最小值时，EQ =，DQ =． 因为AF EF ⊥，QE ⊥平面AEF ，所以可将三棱锥Q AEF −补形为如图所示的长方体，则三棱锥Q AEF −的外接球即该长方体的外接球，易知该长方体外接球的直径为AQ =，故三棱锥Q AEF −，故三棱锥Q AEF −外接球的表面积为4π728π×=，故选：B ．【点睛】方法点睛：求解有关三棱锥外接球的问题时，常见方法有两种：一种是补形，解题时要认真分析图形，看能否把三棱锥补形成一个正方体（长方体），若能，则正方体（长方体）的顶点均在外接球的球面上，正方体（长方体）的体对角线为外接球的直径；另一种是直接法，三棱锥中过任意两个面的外接圆圆心的垂线的交点即三棱锥外接球的球心．7. 、，外接球表面积为20π，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D.12或32【答案】C 【解析】【分析】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，取截面11AAC C ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，分析可知球心在直线1OO 上，对球心的位置进行分类讨论，求出1OO 的长，利用线面角的定义可求得结果.【详解】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，设其上底面为正方形ABCD ，下底面为正方形1111D C B A ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，由正四棱台的几何性质可知，1OO ⊥平面1111D C B A ，取截面11AAC C ， 则正四棱台的外接球球心E 在直线1O O 上，分以下两种情况讨论： ①E 在AC 、11A C 的同侧，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11211OO EO EO =−=−=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF AC ⊥， 因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且11AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 1AFAA F A F∠==； ②若球心E 在线段1OO 上，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11213OO EO EO =+=+=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF A C ⊥，因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且13AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 3AFAA F A F∠==. 综上所述，正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为1或3. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=.8. 在ΔΔΔΔΔΔΔΔ中，BC CA CA AB ⋅=⋅ ，2BA BC += ，且233B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是A [2,1)− B. 2,13C. 22,3 −D. 22,3−【答案】D 【解析】【分析】由BC CA CA AB ⋅=⋅，可以得到()0CA BC BA ⋅+= ，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形BCDA ，根据()0CA BC BA ⋅+=，可知平行四边形BCDA 是菱形，这样在Rt BOA ∆中，可以求出菱形的边长，求出BA BC ⋅的表达式，利用233B ππ≤≤，构造函数，最后求出BA BC ⋅的取值范围.【详解】()0()0BC CA CA AB CA BC AB CA BC BA ⋅=⋅⇒⋅−=⇒⋅+=，以,BC BA 为邻边作平行四.边形BCDA ，如下图：所以BC BA BD += ，因此0CA BD CA BD ⋅=⇒⊥,所以平行四边形BCDA 是菱形，设CA BD O ∩=，2BA BC +=，所以=21BD BO ⇒=，在Rt BOA ∆中， 1cos cos 2BO ABO AB ABC AB ∠=⇒=∠ 212cos ()cos 1cos cos 2ABCy ABC ABC AB A C C B B ∠==⋅∠=⋅∠+∠ ， 设211cos [,]3322x ABC ABC x ππ=∠≤∠≤∴∈− ， 所以当11[,]22x ∈− 时，'22201(1)x y y x x =⇒=>++，21x y x =+是增函数，故2[2,]3y ∈−，因此本题选D.【点睛】本题考查了平面加法的几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键.二、多选题（每小题6分，共18分）9. 一组样本数据12,,,n x x x …的平均数为()0x x ≠，标准差为s ．另一组样本数据122,,,n n n x x x ++…，的平均数为3x ，标准差为s ．两组数据合成一组新数据1212,,,,,,n n n x x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅，新数据的平均数为y ，标准差为s ′，则（ ） A. 2y x > B. 2y x = C. s s ′> D. s s ′=【答案】BC 【解析】【分析】由平均数与标准差的定义求解判断． 【详解】由题意322nx n xyx n+⋅=， 222222121()()()nn k k ns x x x x x x x nx ==−+−++−=−∑，同理222222211(3)9nnkkk n k n ns xn x xnx=+=+=−⋅=−∑∑ 两式相加得22221210nk k ns x nx ==−∑，22222221122(2)8nnkk k k ns x n x x nx ==′=−⋅=−∑∑，所以2222ns ns ′>，s s ′>． 故选：BC ．10. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F 分别为棱BC 与11D C 的中点，则下列选项正确的有（ ）A. 1//A B 平面1AECB. EF 与1BC 所成的角为30°C. ⊥EF 平面1B ACD. 平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面面积为 【答案】ABD 【解析】【分析】设点M 为棱11A D 的中点，得到四边形1AEC M 为平行四边形，利用线面平行的判定定理，证得1//A B 平面1AEC ，可判定A 正确；再得到四边形1AEC M 为菱形，求得截面的面积，可判定D 正确；设1CC 的中点为N ，证得1//EN BC ，得到NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，利用余弦定理求得cos NEF ∠，可判定B 正确；假设⊥EF 平面1B AC 正确，得到1EF B C ⊥，结合11FC B C ⊥，证得1B C ⊥平面1EFC ，得到11B C EC ⊥，进而判定C 错误．【详解】如图1所示，设点M 为棱11A D 的中点，则1MC AE ，平行且相等，所以四边形1AEC M 为平行四边形，又1//A B ME ，1⊄A B 平面1AEC ，ME ⊂平面1AEC ，所以1//A B 平面1AEC ，故A 正确； 由上可知，四边形1AEC M 为平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面，易得11AE EC C M MA ====，故四边形1AEC M 为菱形，又其对角线EM =，1AC =12××，故D 正确； 设1CC 的中点为N ，连接,EN FN ，因为,E N 分别为BC 与1CC 的中点，所以1//EN BC ，故NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，又EN FN ==，EF =由余弦定理可得222cos 2EN EF NF NEF EN EF +−∠==⋅ 所以EF 与1BC 所成的角为30°，故B 正确；如图2所示，假设⊥EF 平面1B AC 正确，则1EF B C ⊥，又11FC B C ⊥，1EF FC F ∩=，所以1B C ⊥平面1EFC ，得11B C EC ⊥． 在正方形11B C CB 中，11B C EC ⊥，显然不成立，所以假设错误， 即⊥EF 平面1B AC 错误，故C 错误． 故选：ABD ．11. 已知,a b 均为正数且11a b a b+=+，下列不等式正确的有（ ）A. 23+≥B.2+≥C. 3a +≥D.23a b a+≥ 【答案】BCD 【解析】【分析】由已知条件可得1ab =，然后逐个分析判断即可 【详解】由11a b a b+=+，得a b a b ab ++=，所以()()0ab a b a b +−+=，()(1)0a b ab +−= 因为,a b 均为正数，所以1ab =，对于A ，2≥===，即ab 时取等号，所以A 错误，对于B 2+≥=，即1a b ==时取等号，所以B 正确，对于C ，因为1ab =，所以1a b=，所以13a b +=+≥=，=，即1a b ==时取等号，所以C 正确，对于D ，因为1ab =，所以22223a a ba b b b a ab++==++≥，当且仅当2a b =，即1a b ==时取等号，所以D 正确，故选：BCD三、填空题（每小题5分，共15分）12. 已知1x >−，则41x x ++的最小值为___________. 【答案】3 【解析】【分析】由1x >−可得10x +>，将41x x ++整理为4111++−+x x ，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1x >−，所以10x +>，所以441111x x x x +=++−++13≥−=， 当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号， 所以41x x ++的最小值为3， 故答案为：3【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13. 已知函数222log ,1()32,1x a x f x x ax a x + =++<， ①若a ＝1，f （x ）的最小值是_____；②若f （x ）恰好有2个零点，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】 ①. ﹣14 ②. 1(1,][0,)2−−+∞ 【解析】【分析】（1）对分段函数的两段函数分别求最小值，然后比较可得； （2）结合函数性质与解方程()0f x =，可得结论．【详解】（1）由题意22log 1,1()32,1x x f x x x x +≥ =++< ， 1x ≥时，2()log 1f x x =+单调递增，min ()(1)1f x f ==， 1x <时，2231()32()24f x x x x =++=+−，min 31()()24f x f =−=−， 所以32x =−时，min 1()4f x =−；（2）若0a =，则22log ,1(),1x x f x x x ≥ = <，恰有两个零点0和1，满足题意，若0a >，则1x ≥时，2()log 0f x x a a =+≥>无零点， 但1x <时，22()32f x x ax a =++有两个零点a −和2a −，满足题意，当0a <时，则1x ≥时，2()log f x x a =+是增函数，min ()0f x a =<，有一个零点， 1x <时，由22()320f x x ax a =++=得x a =−或2x a =−，因为()f x 只有两个零点，所以121a a −< −≥，解得112a −<≤−， 综上，a 的取值范围是1(1,][0,)2−−+∞ ．【点睛】本题考查求分段函数的最值，由分段函数的零点个数求参数取值范围．解题时需分类讨论，按分段函数的定义分类讨论．14. 如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC = ，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=− ，则AE AC ⋅= ____.【答案】229【解析】【分析】过点D 做DG AF ,可得16EF AF =，15BF BC =，4155AF AB AC =+ 由45AF BC ⋅=− 可得2cos 3BAC ∠=，可得541()655AE ACAB AC AC ⋅=+⋅ ，代入可得答案. 【详解】解：如图，过点D 做DG AF ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =,12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =， 同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ,由45AF BC ⋅=− ，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅−=−+⋅=− , 可得：14244422cos 5555BAC ×−×+××∠=−,可得：2cos 3BAC ∠=， 255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=×××+×= ,故答案为：229. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG AF 是解题的关键.四、解答题（共77分）15. 如图1，在平面四边形PBCD 中，已知BC PB ⊥，PD CD ⊥，6PB =，2BC =，2DP CD =，DA PB ⊥于点A .将PAD △沿AD 折起使得PA ⊥平面ABCD ，如图2，设MD PD λ=（01λ≤≤）.（1）若23λ=，求证：PB //平面MAC ； （2）若直线AM 与平面PCD，求λ的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）12λ= 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用空间向量的坐标表示，表示出线面夹角的余弦值即可求解. 【小问1详解】在平面四边形PBCD 中，BC PB ⊥，6PB =，2BC =，所以CP =tan BPC ∠= 又PD CD ⊥，2DP CD =，所以CD =，PD =，1tan 2DPC ∠=， 所以()1123tan tan 111123BPD BPC DPC +∠=∠+∠==−×，所以45BPD ∠=°. 所以在Rt PAD △中，易得4PA AD ==. 因为DA PB ⊥，BC PB ⊥，所以//AD BC .在四棱锥P ABCD −中，连接BD ，设BD AC F ∩=，连接MF ，因为23λ=，所以2DMMP =， 又2AD DFBC FB==，所以MF PB ∥. 因为MF ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，所以PB ∥平面MAC .【小问2详解】由题意易知AB ，AD ，AP 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ， 则()2,2,0CD =− ，()0,4,4PD =−.设平面PCD 法向量为(),,n x y z =，则00n CD n PD ⋅= ⋅=，即220440x y y z −+= −= ， 令1x =，得11y z == ，即()1,1,1n = . 由MD PD λ=，得()0,4,4MD λλ=− ， 故()0,44,4M λλ−，()0,44,4AM λλ=−.由直线AM 与平面PCD，的得cos ,AM n AM n AM n⋅==，解得12λ=. 16. 如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =．（1）求证：11BC A C ；（2）求二面角11B A C B −−的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可；（2）法一：过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，由已知得出BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解． 【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C −的体积为：111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=， 则11AA BC ==，四边形11BCC B 为正方形，法一：在直棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥面ABC ，11AB A B ∥， 又AB ⊂平面ABC ，则1AB BB ⊥，因为AB BC ⊥，1AB BB ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11BCC B ， 所以AB ⊥平面11BCC B ，又1BC⊂平面11BCC B ， 所以1AB BC ⊥，因为11AB A B ∥，所以11A B ⊥1BC ， 在正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，因为11BC B C ⊥，11A B ⊥1B C ，1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂平面11A CB ， 所以1⊥BC 平面11A CB ，又1A C ⊂平面11A CB ， 所以11BC A C ．法二：直棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，1(1,0,1)BC =，1(1,2,1)A C =−− ，11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=，所以11BC A C ．【小问2详解】由（1）得11BC A C ，设11B C BC O = ，在11A B C 中，过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，因为1OH A C ⊥，11BC A C ，1,OH BC ⊂平面BHO ，且1OH BC O ∩=， 所以1A C ⊥平面BHO ，又BH ⊂平面BHO ，所以1AC BH ⊥，所以BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角， 因为11Rt Rt COH CA B ∽△△，111CA CO OH A B =，得OH = 又在Rt BOH中，BO =BH =，cos OH BHO BH ∠=， 所以二面角11B A C B −−法二：()0,0,0B ，()10,0,1B ，()C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，(1,0,0)BC =，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量：1111(,,)n x y z = ， 则111111020n BC x n BA y z ⋅== ⋅+ ，取11y =，得1(0,1,2)n =− ，1(1,0,1)B C=−，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2222(,,)n x y z = ， 则21222112020n B C x z n B A y ⋅=−= ⋅== ，取21x =，得2(1,0,1)n = ， 设二面角11B A C B −−的大小为θ，则：121212|||cos ||cos ,|||||n n n n n n θ⋅=<>==因为θ为锐角，所以二面角11B A C B −−17. 如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD=BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；． 【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．计算可得12MNcos DMN DM∠==．则异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD所成的角．计算可得CMsin CDM CD∠=．即直线CD 与平面ABD． 详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM =1，故DMAD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN．在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得12cos MN DMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CMABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．Rt △CAD 中，CD=4．在Rt △CMD中，sin CM CDM CD ∠=． 所以，直线CD 与平面ABD点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．18. 棱柱1111ABCD A B C D −的所有棱长都等于4，60ABC ∠=°，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=°.（1）证明：1DB AA ⊥；（2）求二面角1D AA B −−的平面角的余弦值；（3）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）35；（3）点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =. 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合10AA BD ⋅=，即可证得1DB AA ⊥；在（2）分别求得平面1AA D 和平面1AA B 的一个法向量，解向量的夹角公式，即可求解；（3）设1CP CC λ= ，求得BP 的坐标和平面11DA C 的法向量，结合30n BP ⋅= ，求得1λ=−，即可得到结论.【详解】由题意，连接BD 交AC 于O ，则BD AC ⊥，连接1A O ，在1AAO 中，14AA =，2AO =，160AAO ∠=°，∴2221112cos 60AO AA AO AA AO =+−=°⋅22211AO A O AA +=， ∴1A O AO ⊥，由于平面11AA C C ⊥平面ABCD ，所以1A O ⊥底面ABCD ，所以以OB 、OC 、1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,2,0A −，()B ，()0,2,0C，()D −，(10,0,A ， （1）由于()BD =−，(10,2,AA =，()2,0AB = ， 则10AA BD ⋅= ，∴1BD AA ⊥.（2）设平面1AA D 的法向量()2,,n x y z = ，则21200n AA n AD ⋅= ⋅=，即0y y += + ，取1x =，可得()21n =− ， 同理，可得平面1AA B的法向量()11,n = ， 所以1212123cos 5n n n n n n ⋅⋅==− ， 又由图可知成钝角，所以二面角1D A A B −−的平面角的余弦值是35. （3）假设在直线1CC 上存在点P ，使//BP 平面11DA C ，设1CP CC λ= ，(),,P x y z ，则()(,2,0,2,x y z λ−=，得(0,22,)P λ+，(22,)BP λ−+， 设3n ⊥ 平面11DA C ，则31131n A C n DA ⊥ ⊥ ，设()3333,,n x y z = ，得到333200y = +=，不妨取()31,0,1n =− ，又因为//BP 平面11DA C ，则30n BP ⋅= 即0−=得1λ=−.即点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =.【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记空间向量与线面位置关系的关系，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19. 已知非空集合A 是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意()f x A ∈，()f x 均存在反函数1()f x −，且1()f x A −∈；②对任意()f x A ∈，方程()f x x =均有解；③对任意()f x 、()g x A ∈，若函数()g x 为定义在R 上的一次函数，则(())f g x A ∈.（1）若1()()2x f x =，()23g x x =−，均在集合A 中，求证：函数12()log (23)h x x A =−∈； （2）若函数2()1x a f x x +=+（1x ≥）在集合A 中，求实数a 的取值范围； （3）若集合A 中的函数均为定义在R 上的一次函数，求证：存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.【答案】（1）见详解；（2）[]1,3a ∈；（3）见详解； 【解析】【分析】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③即可证明.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，可得1a ≥，变形21()1211x a a f x x x x ++==++−++，[)()1,x ∈+∞.与2的关系分类讨论，利用基本不等式的性质即可求解.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =）， 由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=，可得ad b bc d +=+，即11b d a c =−−，即可得证. 【详解】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③可得：()()112()log (23)hx x f g x A −=−=∈.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，1a ∴≥， 由22111()12111x a x a a f x x x x x +−+++===++−+++[)()1,x ∈+∞,2>，3a >时，112a −>，且()112a f f − =， ∴此时()f x 没有反函数，即不满足性质①.2≤，13a ≤≤时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，∴此时()f x 有反函数，即满足性质①.综上：[]1,3a ∈.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =），由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=， ∴ad b bc d +=+，即11b d ac =−−， ()1f x x =，可得ax b x +=，1b x a =−, ()2f x x =，可得cx d x +=，1d x c =−, 由此可知：对于任意两个函数()1f x ，()2f x ，存在相同的0x 满足：()()10020f x x f x =，∴存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.质，难度较大.。
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1.在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（）A.()2,1,4-- B.()2,1,4 C.()2,1,4--- D.()2,1,4-2.若向量{}123,,e e e 是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得：123a xe ye ze =++ ，我们把有序实数组(),,x y z 叫做基底{}123,,e e e 下向量a 的斜坐标.设向量p 在基底{},,a b c 下的斜坐标为()1,2,3-，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的斜坐标为（）A.13,,322⎛⎫--⎪⎝⎭B.13,,322⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭ D.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭3.已知两条直线12:410,:20l ax y l x ay +-=++=，则“2a =”是“12l l //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--，点()1,3,0A -在平面α内，若点()2,1,P z -到α的距离为103，则z =（）A.16B.4- C.4或16- D.4-或165.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦6.直线l 过点()2,3A ，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（）A.9B.12C.18D.247.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，5,3,7AB AD AA ='==，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（）A. B.C.D.8.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）A. B.C. D.2+二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中正确的是（）A.若向量,a b 满足0a b ⋅<，则向量,a b 的夹角是钝角B.若,,OA OB OC 是空间的一组基底，且232OD OA OB OC =-+，则,,,A B C D 四点共面C.若向量{},,a b c 是空间的一个基底，若向量m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D.若直线l 的方向向量为(1,0,3)e = ，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的余弦值为5510.以下四个命题为真命题的是（）A.过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B.直线()cos 20R x θθ+=∈的倾斜角的范围是π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭C.直线10x y +-=与直线2210x y ++=D.直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-11.如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且//DE SA ，22SA AB DE ===，,M N 分别是线段,BC SB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点,D C ），则下列说法正确的是（）A.不存在点Q ，使得NQ SB⊥B.存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）12.已知()()()1,1,0,0,3,0,2,2,2A B C ，则向量AB 在AC上的投影向量的坐标是______．13.当点()2,1P --到直线l ：()()()131240x y λλλλ+++--=∈R 距离的最大值时，直线l 的一般式方程是______．14.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()122311112πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -∅=-∠+∠++∠+∠ ，其中i Q （1i =，2，……，k ，3k ≥）为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，且2AC =，顶点S 在底面的射影O 为AC 的中点.若该四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，则直线OS 与平面SAB 所成角的正弦值为___________.四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线()():12360m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.（1）若坐标原点O 到直线m ，求a 的值；（2）当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程.16.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ．(2)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18.已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a = ，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b <> .定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯是一个向量，它与向量a ，b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD 上一点，AD BP ⨯=.（1）求AB 的长；（2）若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值；19.如图①所示，矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -，N 为PB 中点，（1）若平面PAM ⊥平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB 所成角的大小；（2）设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值.哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】B二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）【12题答案】【答案】111,,663⎛⎫ ⎪⎝⎭【13题答案】【答案】3250x y +-=【14题答案】【答案】1323-四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1）14a =-或73a =-（2）370x y -=或120x y -+=【16题答案】【答案】（1）2310x y --=，51(,)77，（2）107.【17题答案】【答案】(1)证明见解析；(2)存在，AM AP 的值为14.【18题答案】【答案】（1）2（2）13-【19题答案】【答案】（1）π6；（2）11。
河南省新乡市原阳县第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年高二上期10月月考数学试卷考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的倾斜角是( )A. B. C.D.2.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k 等于( )A. 4B. -4C. 5D. 3.若双曲线离心率为2，过点，则该双曲线的方程为( )A. B. C. D. 4．若圆：与圆：相切，则（ ）A ．9B ．10C ．11D ．9或115．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A 到B 走过的路程为（）AB ．CD ．6．如图，棱长为1的正方体，中M ，N 点，分别是线段，的中点，记E 是线段的中点，则点E 到面的距离为（）10y --=3π-6π-6π3πα(1,2,2)a =-β(2,4,)b k =-- αβ⊥5-2222:1x y C a b-=2221x y -=2213y x -=22531x y -=22126x y -=1C ()()22121x y ++-=2C ()()22256x y r -++=r =()1,0A 10x y ++=()6,5B -1111ABCD A B C D -1BB 1DD 1MC 1ANBA．BCD ．7．已知，，动点P 满足，则点P 的轨迹与圆相交的弦长等于（）A ．BCD8．棱长为2的菱形ABCD 中，，将沿对角线BD 翻折，使A 到P 的位置，得到三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥B ．C ．存在某个位置，使得D ．存在某个位置，使得面BCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．以下四个命题正确的有（）A ．直线与直线B ．直线l 过定点，点和到直线l 距离相等，则直线l 的方程为C ．点到直线D ．已知，则“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件10．下列说法正确的是（）A ．在四面体OABC 中，若，则A ，B ，C ，G 四点共面B ．若G 是四面体OABC 的底面三角形ABC 的重心，则C ．已知平行六面体的棱长均为1，且，则2313()2,0A -()2,0B PAPB=224x y +=60BAD ∠=︒ABD △P BCD -P BCD -CD PC⊥CD PB⊥CP ⊥220x y +-=2410x y ++=()0,1-()3,4A --()6,3B 330x y -++=()1,210x y +-=a R ∈210ax y +-=()120a x ay a +-+=3a =151266OG OA OB OC =-++()13OG OA OB OC=++1111ABCD A B C D -1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒对角线D ．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为11“黄金椭圆”，在椭圆中，，，，分别是椭圆的左、右顶点和上、下顶点，，是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则下列选项中，能使椭圆是“黄金椭圆”的有（）A ．轴且B ．C ．四边形的内切圆过D ．非选择题部分三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知椭圆C ：，则椭圆的短轴长为______．13．已知，过定点M 的动直线与过定点N 的动直线相交于点P ，则的最大值是______．14．已知一张纸上画有半径为4的圆O ，在圆O 内有一个定点A ，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C ．则曲线C 上的点到点O 的最大距离为______．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）如图，在正方体中，E 为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．1AC =p mx n y k z =++ (),,m n k p {},,x y z p{},,a b c ()1,2,3p {},,a b a b c -+ 13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭()222210x y a b a b+=>>1A 2A 1B 2B 1F 2F 1PF x ⊥21//PO A B 2121122F F A F A F =1122A B A B 1F 2212A B F B ⊥2221x y +=a R ∈310ax y a --+=310x ay a +--=PM PN 2OA =A 'A 'OA '1111ABCD A B C D -1BB 1A C ⊥11AB D 1CC 1AD E16．（本小题15分）圆C 过点和，圆心C 在直线上．（1）求圆C 的标准方程（2）直线l 经过点，且被圆C 所截得的弦长为4，求直线l 的方程17．（本小题15分）已知O 为坐标原点，是椭圆C：的左焦点，点P 是椭圆的上顶点，以点P 为圆心且过的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆C 的方程（2）斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B两点，求面积的最大值18．（本小题17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD ，，，BD 是的平分线，且，二面角的大小为60°．（1）若E 是棱PC 的中点，求证：平面PAD（2）求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的夹角的余弦值19．（本小题17分）已知圆O 的方程为，与x 轴的正半轴交于点N ，过点作直线与圆O交于A 、B 两点．（1）若坐标原点O 到直线AB 的距离为1，求直线AB 的方程；（2）如图所示，已知点P(-4,0), 一条斜率为－1的直线交圆于R ，S 两点，连接PS ，PR ，试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．()4,2A ()1,3B 1y x =-()1,1P -()11,0F -()222210x y a b a b+=>>1F x =AOB △P ABCD -PAD ⊥2PA AD ==4BD =AB =ADC ∠BD BC ⊥P AB D --//BE 2216x y +=()3.0M NPS ∠NPR ∠NPS NPR ∠+∠高二年级数学答案一、选择题：1．D 2．D 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 二、选择题；9．ACD 10．BCD 11．CD三、填空题；1213．4 14．3四、解答题；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，面，则，又，，∴面，则同理，，∴平面（Ⅱ）解法一：以A 为原点，AD 、AB 、分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为a ，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，∴，设直线与平面所成角为θ，则，故直线与平面所成角的正弦值为．BC ⊥11ABB A 1BC AB ⊥11AB A B ⊥1BC A B B = AB ⊥1A BC 11AB A C⊥111B D A C ⊥1111B D AB B = 1A C ⊥11AB D 1AA ()0,0,0A ()10,0,A a =()1,0,D a a 10,,2E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()10,0,AA a = ()1,0,AD a a = 10,,2AE a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1AD E (),,m x y z = 10m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()0102a x z a y z +=⎧⎪⎨⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎩2z =2x =-1y =-()2,1,2m =--1AA 1AD E 11122sin cos ,33m AA a m AA a m AA θ⋅====⋅⋅1CC 1AD E 23解法二：设正方体的棱长为，则，，，， 由余弦定理知，∴，∴，设点到平面的距离为h ，∵，∴，∴，设直线与平面所成角为θ，则．故直线与平面所成角的正弦值为．16．（1）AB 的中垂线方程为，联立，知，则∴圆C 的标准方程是（2）若直线l 的斜率不存在，直线l ：，弦长，成立若直线l 的斜率存在，设直线l ：，圆心C到直线l 的距离为1，，则直线l ：∴直线l ：或17．（1）∴椭圆C 的方程为（2）设，，直线l ：联立方程，得2a 1AD =AE =13ED a =1212222AA D S a a a =⋅⋅=△2221111cos 2AD AE ED EAD AD AE +-∠===⋅⋅1sin EAD ∠=12111sin 32EAD S AD AE EAD a =⋅⋅∠=△1A 1EAD 111A EAD E AA D V V --=221132233h a a a ⋅=⋅⋅43h a =1AA 1AD E 1423sin 23a h AA a θ===1CC 1AD E 2335y x =-351y x y x =-⎧⎨=-⎩()2,1C r =()()22215x y -+-=1x =4=()11y k x +=-134k =3744y x =-1x =3744y x =-a =1c =2212x y +=()11,A x y ()22,B x y y x m=+2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2234220x mx m ++-=∵直线l 交椭圆C 于A ，B 两点 ∴，得，∴弦长又点O 到直线l 的距离∴当，即时取得等号 ∴18．解：（1）取CD 中点F ，连接BF ，EF ∵ ∴，则而B D 是的平分线，则，从而，则，BF 不在平面PAD 内，平面PAD ，则平面PAD E ，F 分别是PC ，CD 的中点，则，EF 不在平面PAD 内，平面PAD ，则平面PAD ，又∴平面平面PAD ∴平面PAD（2）由题知，，又面面ABCD ，得面PAD 则是二面角的平面角，即，是等边三角形，如图建系，，，设平面PAB 的一个法向量为，则，得，令，则()221612220m m ∆=-->23m <1243m x x +=-212223m x x -=2ABx =-=d 1122S AB d =⋅==≤232m =m =max S =BDBC ⊥BF DF =FDB FBD∠=∠ADC ∠FDB ABD ∠=∠FBD ADB ∠=∠//BF AD AD ⊆//BF//EF PD PD ⊆//EF EF BF F= //BEF //BE BA AD ⊥PAD ⊥BA ⊥PAD ∠P AB D --60PAD ∠=︒PAD ∆(P ()1,0B -()0,1,0D ()C ()1,,n x y z =1100n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0y ⎧=⎪⎨=⎪⎩1z =()10,n =同理平面的PCD 一个法向量，设平面PAB 与平面PCD 的夹角为α则∴平面PAB 与平面PCD19．（1）若直线AB 的斜率不存在，距离为3，不符合若直线AB 的斜率存在，设直线AB ：，得∴直线AB 的方程为（2）设直线RS ：，，记，，联立方程，得 ∴，，∴，∴∵，都是锐角 ∴的定值．()1n =-1212cos n n n n α⋅==()3y k x =-1=k =y x =y x =y x m =-+()11,R x y ()22,S x y 111tan 4y k NPR x ==∠+222tan 4y k NPS x ==∠+2216x y y x m⎧+=⎨=-+⎩2222160x mx m -+-=12x x m +=212162m x x -=()12122y y x x m m +=-++=()()21212162m y y x m x m -=-+-+=()1212121244tan tan tan 1tan tan 144y yx x NPS NPRNPS NPR y y NPS NPR x x +++∠+∠∠+∠==-∠⋅∠-⋅++()()()12121212122484161416416x x m x x m m x x x x y y m -+-+++===+++-+NPS ∠NPR ∠0NPS NPR π<∠+∠<4πNPS NPR ∠+∠=。
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)月考数学试卷
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）月考数学试卷一、单选题1310y -+=的倾斜角是（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．1m <- C ．1m ≥-D ．1m >-3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（ ）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（ ） A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．126．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（ ） A ．3250x y +-= B ．2310x y -+= C ．250x y ++=D ．2320x y -+=7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．138．如图，在四裬锥P ABCD -中，PA ⊥平面,90,ABCD BAD BC ∠=o ∥AD ，12,2PA AB BC AD Q ====是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为π3，若点M 是PC 中点，则四棱锥M ADQ -体积的最大值是（ ）A B ．43C D ．1二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,C AC l D αβ∈⊥∈，BD l ⊥，若2,AC AB BD CD ====，则（ ）A ．直线AB 与CD 所成角的余弦值为45o B ．二面角l αβ--的大小为60oC ．三棱锥A BCD -的体积为D ．直线CD 与平面β11．如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则（ ）A ．当M 在平面1111D CB A 内运动时，四棱锥M ABCD -的体积是定值 B ．当M 在直线11AC 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M D ．若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 的三、填空题12．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．13．一条光线从点(4,0)A -射出，经直线10x y +-=反射到圆22:(2)2C x y ++=上，则光线经过的最短路径的长度为．14．已知梯形CEPD 如图1所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．已知当点F 满足(01)AF AB λλ=<<u u u r u u u r 时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为．图1 图2四、解答题15．已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=. (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成角的余弦值； (2)求三棱锥1A B CE -的体积.17．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程．18．如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：EF ∥平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的余弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.19．如图，在ABC V 中，,2,AC BC AC BC D ⊥==是AC 中点，E F ､分别是BA BC ､边上的动点，且EF ∥AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥P ACFE -；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正弦值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。
高二上学期10月月考语文试题及参考答案
本试卷满分150分，考试用时150分钟。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5小题。
材料一：首先，中国传统文化蕴含着一种伟大的民族精神。
在五千多年的发展中，中华民族形成了以爱国主义为核心的团结统一、爱好和平、勤劳勇敢、自强不息的伟大民族精神。
中华传统文化，始终把爱国主义精神作为首要的价值标准，一向主张先爱国，后立家，信奉无国便无家，“家”为小家，“国”是大家。
不管是国泰民安，还是国难当头，都要先大家而后小家。
中华民族历来反对涣散分裂，追求团结统一，强调群体优势，崇尚众志成城。
爱好和平，更是中华民族的优良传统。
我们的传统文化一向主张“和为贵”，追求天下大国的太平盛世，奉行“仁义礼智信”，修身齐家治国平天下，以“仁”为本，反对战争与暴力，反对冤冤相报，主张以德报怨。
勤劳勇敢，自强不息，是中华民族世代相传的传统美德和生命意志。
传统文化歌颂“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈”，信奉“天道酬勤”，勉励人们“天行健，君子以自强不息”。
以上独特的民族精神，是中华民族传统文化的风骨，是中华民族赖以生存和发展的精神支撑。
其次，中国传统文化蕴含着一种深刻的哲学智慧。
中华民族传统文化充满着深刻的大智慧，是东方哲学的杰出代表。
这大智慧集中体现在“儒、道、释互补”之中。
儒家思想以孔孟之道为代表，其核心是“仁”，以仁、义、礼、智、信为主要内容，以“中庸之道”为哲学理念。
“仁爱”与“中庸”，均极富智慧。
道家思想以老庄之道为代表，其核心是“道”，以太极八卦、阴阳五行、天人合一等为主要内容。
其代表性著作《易经》，是中国学问之根据，《易经》中的智慧渗遗在传统文化和社会生活的诸多方面，而《道德经》和《庄子》，亦为两部智慧奇书，其中的奥妙哲思尤为士人与士文化所推崇。
中华道家文化之“道”，是深邃的大智慧。
佛家思想，即佛教世尊释迎牟尼之佛法，其核心是“空”（佛法博大精深，不可思议，难以言说），以“心性”“色空”“因果”“涅槃”等为主要内容，以揭示生命奥秘，达到“了生脱死”为终报。
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高二上学期10月月考试题 英语含答案
哈尔滨市2024—2025学年度学期高二十月考试英语学科考试试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分第一部分：听力测试（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．What’s probably the woman’s job?A．A hotel receptionist.B．A librarian.C．A customs officer. 2．Why does the woman make the call?A．To make an application.B．To give information.C．To answer a question. 3．How does Linda feel?A．Confused.B．Surprised C．Shocked.4．What makes Jim hurry?A．Attending a lecture.B．Doing business.C．Meeting assistants. 5．Which does the man prefer?A．Beef stew.B．Fried eggs.C．Fish soup.第二节（共15小题；小题1.5分，满分25.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6至7题。
6．What does the woman dislike?A．Playing football.B．Watching football.C．Going skating.7．How often does the man skate?A．A lot.B．Occasionally.C．Regularly.听第7段材料，回答第8至10题。
四川省成都市2024-2025学年高二上学期10月月考试题 地理含答案
成都2024—2025学年度上期高2026届10月月考地理试卷（答案在最后）考试总分：100分；考试时间：90分钟；第I卷（选择题60分）注意事项：必须使用2B铅笔在机读卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共30题，每题2分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
读南半球某区域经纬网图，回答1-2题。
1．关于图中各点的叙述正确的是A．①②两地的地方时相差1小时B.地球自转的线速度④地大于③地C．⑤地位于③地的正东方向D．①②两点间距离等于②③两点间距离2．飞机由②地飞往⑤地，其最短航线的方向是A．一直向正西飞行 B.先向东南再向东北飞行C.先向正南再向正北飞行D.先向西南再向西北飞行巴里—塔兰托—布林迪西连线之间的区域被称为意大利南方的“金三角”。
该区有世界知名的两个“临海型”布局的大型企业——培兰托钢铁厂和布林达西石油化工，并形成了为它们服务的其他中小企业。
当地的传统建筑“石顶屋”是用石灰石服层层铺就的圆锥顶房子，该建筑外围墙体采用双层夹心结构，屋顶周边做了一个流水槽，地面上设有“导梁”，“导渠”的末端是自家挖好的井。
下图为意大利南方的“金三角”交通图，据此完成3-5题。
3．根据“石顶屋”的建筑特色可推测当地的自然环境特征是A．雨水充沛，暴雨日多B．全年高温，年较差小C．火山众多，地震频发D．干旱少雨，缺少大河4．培兰托钢铁厂和布林达西石油化工两个大型企业采用“临海型”布局的目的是A．减少污染物的处理B．海水用于工业降温C．易获得海外劳动力D．通过海运进口原料5．从工业生产联系和协作角度，推测“金三角”区域内的中小企业最适宜发展A．油脂加工B．机械制造C．家具生产D．服装设计下图是我国某地(24°N,106°E)附近等高线图及拍摄照片。
据此回答6～7题。
6.某极限运动俱乐部在A处从崖顶到崖底开展绳降比赛，运动员准备的绳长最适宜的是A．45mB．55mC．105mD．125m7．能全程拍摄并拍到图示照片的摄影机位是A．甲B．乙C．丙D．丁驾驶氢气球环游地球是许多人向往的事情。
2024-2025学年湖北云学部分重点高中高二上学期10月月考数学试题及答案
2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷命题学校：武汉二中审题人：夷陵中学考试时间：2024年10月15日 15：00-17：00 时长：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 12. 已知一组数据：2，5，7，x ，10平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7B. 6.5C. 6D. 5.53. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 值为（ ） A. 0B. 1C. 0或1D.13或1 4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈ 1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 圆上 C. P 在圆内D. P 与圆的位置关系不确定6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）的的在A.B.C.D.7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==； B 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件； D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ） A 2πB.4π3C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=； D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±．10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++； B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；..C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ；D. DH OH ⋅的最小值为1−．11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ） A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______．13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = BC 的长为______．14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56． （1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=．（1）求点C 的坐标； （2）求直线BC 的方程．17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值． 18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标； （3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD 所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由．（2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷命题学校：武汉二中审题人：夷陵中学考试时间：2024年10月15日 15：00-17：00 时长：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.【详解】根据复数的乘方可知()50620254i i i i =⋅=，则()()()()20253i 1i 3i 3i32i 12i 1i 1i1i 1i 2+−++−+====−+++−，其虚部为1−. 故选：C2. 已知一组数据：2，5，7，x ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 6.5C. 6D. 5.5【答案】B 【解析】【分析】先根据平均数求x 的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值. 【详解】因为2571065x ++++=⇒6x =.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为560%3×=，所以这组数据的第60百分位数为：676.52+=. 故选：B3. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A 0 B. 1C. 0或1D.13或1 【答案】C.【分析】根据两直线垂直的公式12120A A B B +=求解即可. 【详解】因为1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=垂直， 所以()()3210a a a −+−=， 解得0a =或1a =，将0a =，1a =代入方程，均满足题意， 所以当0a =或1a =时，12l l ⊥. 故选：C .4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m【答案】D 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt ABC △中求AB 即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，所以135CBD ∠=°，又48CD =，由正弦定理得：sin sin CD CBCBD CDB=∠∠⇒12CB =⇒CB =在Rt ABC △中，tan 60AB BC =°=24 1.4 1.7≈××57.12=. 故选：D5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 在圆上D. P 与圆的位置关系不确定 【答案】A 【解析】224a b ∴+，所以点(),a b 在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】以{},,AB AC AD 为基底，表示出PQ，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以{},,AB AC AD 为基底，则6AB AC AD ===，60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=°，所以66cos 6018AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=××°=.因为()1223PQ AQ AP AC AD AB =−=+− 211322AB AC AD =−++. 所以22211322PQ AB AC AD =−++222411221944332AB AC AD AB AC AB AD AC AD =++−⋅−⋅+⋅ 169912129=++−−+19=.所以PQ =故选：D7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==； B. 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件； D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 【答案】D 【解析】【分析】举反例说明ABC 不成立，根据古典概型的算法判断D 是正确的.【详解】对A ：若1i z =，22z =，则221240z z +=，但120z z ==不成立，故A 错误； 对B ：如图：四面体S PRT −中，Q 是棱PR 上一点，则点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，但点P 、Q 、R 、S 、T 不共面，故B 错误； 对C ：掷1枚骰子，即事件A ：点数为奇数，事件B ：点数不大于3， 则()12P A =，()12P B =，()()1P A P B +=，但事件A 、B 不互斥，也不对立，故C 错误； 对D ：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有35C 10=种选法， 这三条线段能构成一个三角形的的选法有：{}3,5,7，{}3,7,9，{}5,7,9共3种， 所以条线段能构成一个三角形的的概率为：310P =，故D 正确. 故选：D8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ）A. 2πB.4π3C.D.【解析】【分析】结合图形，计算出||BQ =，由点Q ∈平面11BCC B ，得出点Q 的轨迹为圆弧 EQF，利用弧长公式计算即得.【详解】如图，易得AB ⊥平面11BCC B ,因BQ ⊂平面11BCC B ，则AB BQ ⊥，不妨设||BQ r =，则||2AQ r =, ||3AB ==，解得r =又点Q ∈平面11BCC B ，故点Q 的轨迹为以点B EQF,故其长度为π2. 故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=；D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±． 【答案】BD 【解析】【分析】根据直线是否存在斜率判断A 的真假；数形结合求k 的取值范围判断B 的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求b 判断D 的真假.【详解】对A ：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−”成立的前提是两条直线的斜率都存若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A 是错误的. 对B ：如图：对直线l ：20kx y k ++−=⇒()21y k x −=−+，表示过点()1,2P −，且斜率为k −的直线， 且()422213APk −==−−，()121112BP k −==−−−， 由直线l 与线段AB 有公共点，所以：203k ≤−≤或102k −≤−<，即203k −≤≤或102k <≤，进而得：2132k −≤≤.故B 正确； 对C ：过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=或2y x =，故C 错误； 对D ：“圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1”可转化为“圆心(1,0)到直线y x b =+的距离等于1”.1⇒1b =−.故D 正确.故选：BD10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++ ；B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ； D. DH OH ⋅ 的最小值为1−．【答案】BCD【解析】【分析】以{},,OA OB OC 为基底，表示出相关向量，可直接判断A 的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B 的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD 的真假.【详解】以{},,OA OB OC 为基底，则3OA = ，4OB OC == ，6OA OB OA OC ⋅=⋅= ,0OB OC ⋅= . 对A ：因为23AD AC CD AC CB =+=+ ()23AC AB AC =+− 2133AB AC + ()()2133OB OA OC OA =−+− 2133OA OB OC =−++ . 所以12OG OA AG OA AD =+=+ 121233OA OA OB OC =+−++ 111236OA OB OC =++ ，故A 错误；对B ：当H 是靠近A 的三等分点，即23OH OA = 时， DH AH AD =− 121333OA OA OB OC =−−−++221333OA OB OC =−− ， 又AB OB OA =− ，所以2133DH AB OC =−− .故DH ，AB ，OC 共面.故B 正确； 对C ：因为HG OG OH OA AG OH =−=+− 1526OA AD OA =+− 12152336OA OA OB OC OA =+−++−111336OA OB OC =−++ ， 所以：HG OA ⋅= 111336OA OB OC OA −++⋅2111336OA OB OA OC OA =−+⋅+⋅ 1119660336=−×+×+×=， 所以HG OA ⊥ ，故GH OA ⊥ ，故C 正确；对D ：设OH OA λ= ，()01λ≤≤.因为：DH OH OD =− ()OA OA AD λ=−+ 2133OA OA OA OB OC λ =−−++2133OA OB OC λ=−− . 所以DH OH ⋅ 2133OA OB OC OA λλ =−−⋅ ()2233OA OA OB OA OC λλλ−⋅−⋅ 296λλ−，()01λ≤≤. 当13λ=时，DH OH ⋅ 有最小值，为：1196193×−×=−，故D 正确. 故选：BCD11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ）A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8．【答案】ACD【解析】【分析】根据点()2,3P 在圆内，列不等式，可求a 的取值范围，在根据弦|AAAA |的最小值为4求a 的值，判断A 的真假；明确圆的圆心和半径，根据1l CP k k ⋅=−，可求直线AB 的斜率，进而求直线AB 的倾斜角，判断B 的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C 的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求PAC PBC S S ⋅△△的最大值，判断D 的真假.【详解】对A ：由222382103410a +−×−×−+<⇒8a >.此时圆C ：()()2245x y a −+−=. 因为过P 点的弦|AAAA |的最小值为4，所以CP= 又CP =⇒12a =.故A 正确；对B ：因为53142CP k −==−，1l CP k k ⋅=−，所以直线l 的斜率为1−，其倾斜角为135°，故B 错误； 对C ：当|AAAA |=4时，如图：sin ACP ∠==cos ACP ∠==，所以41cos 1033ACB ∠=−=>， 所以ACB ∠为锐角，又随着直线AB 斜率的变化，ACB ∠最大可以为平角，所以存在直线l 使得CA CB ⊥.故C 正确；对D ：如图：直线CP 与圆C 交于M 、N 两点，链接AM ，BN ，因为MAP BNP ∠=∠，APM NPB ∠=∠，所以APM NPB .所以AP MPNP BP =⇒(4AP BP MP NP ⋅=⋅=+=.又1sin 2PAC S PA PC APC APC =⋅⋅∠=∠ ，PBC S BPC =∠ ，且sin sin APC BPC ∠=∠. 所以22sin PAC PBC S S PA PB APC ⋅=⋅⋅∠ 28sin APC ∠8≤，当且仅当sin 1APC ∠=，即AB CP ⊥时取“=”.故D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：在求PAC PBC S S ⋅△△的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出AP BP ⋅为定值，再结合三角形的面积公式求PAC PBC S S ⋅△△的最大值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______．【答案】49【解析】【分析】根据()()2243x y −++几何意义为圆上的点(),x y 与()4,3−距离的平方，找出圆上的与()4,3−的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设(),p x y ，()4,3A −，则(),p x y 为圆224x y +=上的点， 圆224x y +=的圆心OO (0,0),半径2r =， 则()()2243x y −++表示圆上的点(),p x y 与()4,3A −距离的平方，又因为max27PA AO r =+=+=, 所以22max749PA ==； 故()()2243x y −++的最大值是49.故答案为：49. 13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos 2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = BC 的长为______．【解析】【分析】利用正弦定理对()cos 2cos a B c b A =−化简，可得π3A =，再由三角形面积公式求出8bc =，根据题意写出1233AE AB AC =+ ，等式两边平方后，可求出,b c 的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−，求出BC 的长.【详解】()cos 2cos a B c b A =−,由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =−，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，()sin 2sin cos A B C A +=，()sin πC 2sin cos C A −=,sin 2sin cos (sin 0)C C A C >，即1cos 2A =,π3A =，1sin 2ABC S bc A == ,得8bc =， ∵2BE EC = ，∴1233AE AB AC =+ ，221233AE AB AC =+， 即2228144cos 3999c b bc A =++，由8bc =，解得42b c = = 或18b c = = ， 根据余弦定理2222cos a b c bc A =+−，当42b c = =时，a =，此时π2B =，不满足题意， 当18b c = =时，a =.14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．【答案】72##3.5 【解析】 【分析】多面体EFGHBD 的体积为三棱锥G DEH −与四棱锥E BFGD −的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接ED ，EG ，因为H 为AAAA 上的靠近D 的三分点，所以13DH AD =， 因为E 为AAAA 的中点，所以点E 到AAAA 的距离为点B 到AAAA 的距离的一半， 所以16DEH BAD S S = ， 又G 为CCAA 上靠近D 的三分点，所以点G 到平面ABD 的距离为点C 到平面ABD 的距离的13， 所以111119663182G DEH G BAD C BAD V V V −−−==×=×=， 1233BCD FCG BCD BCD BCD BFGD S S S S S S =−=−= 四边形， 所以2211933323E BFGD E BCD A BCD V V V −−−==×=×=， 所以多面体EFGHBD 的体积为17322G DEH E BFGD V V −−+=+=. 故答案为：72. 【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【答案】（1）14 （2）16【解析】【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】 样本中男生的人数为：100900601500×=；女生的人数为：1006040−=. 所以总样本的平均数为：6013.24015.214100x ×+×=. 【小问2详解】记总样本的方差为2s ， 则()(){}22216013.3613.2144017.5615.214100s =×+−+×+− 16=. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=． （1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(3,4)C ；（2）72130x y −−=【解析】【分析】（1）设(,1)C m m +，则43(,)22m m M −+，代入220x y +−=，求解即可； （2）设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，利用点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点C 在直线10x y −+=上， 所以设(,1)C m m +，所以AC 中点43(,)22m m M −+， 又因为点43(,)22m m M −+在直线220x y +−=上， 所以34202m m +−+−=，解得3m =， 所以(3,4)C ；【小问2详解】解：因为(3,4)C ，设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=， 又因为(4,2)A −，所以直线AC 的方程为：27220x y −+=， .又因为ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=， 在直线10x y −+=取点(0,1)P ，则点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，=21453140n n ++=， 解得：72n =−或27n =−， 当72n =−时，所求方程即为直线AC 的方程， 所以27n =−， 所以直线BC 的方程为： 72130x y −−=. 17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接1,EG A G 证得四边形ADEG 为平行四边形，得到1//DE A G ，利用1A AG ABF ≌，证得90AHG ∠= ，得到1AF A G ⊥，即可证得AF DE ⊥；（2）根据题意，证得11A C ⊥平面11ABB A ，得到1111A C A B ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得(0,2,0)AC = ，再取AC 的中点M ，延长,MB DF 交于点N ，得到直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，求得(4,1,0)N −，得到(3,2,0)EN =− ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点G ，连接1,EG A G ，因为E 的中点，可得//EG AC ，且12EG AC =， 又因为1//A D AC ，且112A D AC =，所以1//EG A D ，且1EG A D =， 所以四边形ADEG 平行四边形，所以1//DE A G ，在正方形11ABB A 中，可得1A AG ABF ≌，所以1A GA AFB ∠=∠， 因为90AFB AFB ∠+∠= ，所以190AFB A GA ∠+∠= ，AGH 中，可得90AHG ∠= ，所以1AF A G ⊥，又因为1//DE A G ，所以AF DE ⊥.【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C −中，可得1AA ⊥平面111A B C ，因为11AC ⊂平面111AB C ，所以111AA A C ⊥， 又因为11AF A C ⊥，且1AA AF A ∩=，1,AA AF ⊂平面11ABB A ，所以11A C ⊥平面11ABB A ， 因为11A B ⊂平面11ABB A ，所以1111A C A B ⊥，即直三棱柱111ABC A B C −的底面为等腰直角三角形，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12AB AC AA ===，可得(0,0,0),(0,2,0)A C ，则(0,2,0)AC = ， 为在取AC 的中点M ，连接,MB DM ，可得1//DM CC 且1DM CC =，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以//BF DM ，且12BF DM =， 延长,MB DF 交于点N ，可得B 为MN 的中点，连接EN ，可得EN 即为平面DEF 与平面ABC 的交线，所以直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，又由(0,1,0),(2,0,0),(1,1,0)M B E ， 设(,,)N x y z ，可得MB BN =，即(2,1,0)(2,,)x y z −=−， 可得4,1,0x y z ==−=，所以(4,1,0)N −，可得(3,2,0)EN =− ，设直线EN 与直线AC 所成角为θ，可得cos cos ,AC EN AC EN AC EN θ⋅=== ， 即直线AC 与直线m18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标； （3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．【答案】（1）(0,0)或84(,)55（2）过定点(0,2)或42(,)55（3）22173042x y x y +−−+= 【解析】【分析】（1）点M 在直线l 上，设(2,)M m m ，由对称性可知30CMP ∠= ，可得2MC =，从而可得点M 坐标．（2）MC 的中点,12m Q m+，因为MP 是圆P 的切线，进而可知经过C ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MC 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线PQ 的方程，且得直线PQ 过定点13,42R，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果.【小问1详解】（1）直线l 的方程为20x y −=，点M 在直线l 上，设(2,)M m m ， 因为π3PMQ ∠=，由对称性可得：由对称性可知30CMP ∠= ，由题1CP =所以2MC =，所以22(2)(2)4+−=m m ， 解之得：40,5==m m 故所求点M 的坐标为(0,0)或84(,)55． 【小问2详解】 设(2,)M m m ，则MC 的中点(,1)2m E m +，因为MP 是圆C 的切线， 所以经过,,C P M 三点的圆是以Q 为圆心，以ME 为半径的圆，故圆E 方程为：2222()(1)(1)22m m x m y m −+−−=+−化简得：222(22)0x y y m x y +−−+−=，此式是关于m 的恒等式，故2220,{220,x y y x y +−=+−=解得02x y = = 或4525x y = =, 所以经过,,C P M 三点的圆必过定点(0,2)或42(,)55．【小问3详解】 由()22222220,430x y mx m y m x y y +−−++= +−+=可得PQ ：()22320mx m y m +−+−=，即()22230m x y y +−−+=， 由220,230x y y +−= −=可得PQ 过定点13,42R . 因为N 为圆E 的弦PQ 的中点，所以MN PQ ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上，点N 的轨迹方程为22173042x y x y +−−+=. 19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由． （2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．【答案】（1）存在；1.（2【解析】【分析】（1）先证平面PAD ⊥平面ABCD ，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点Q 的位置.（2）根据PD 与平面BCD 所成角最大，确定平面PAD ⊥平面ABCD ，利用（1）中的图形，设三棱锥P BCD −的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，所以60BAD ∠=°，120BCD ∠=°，30CBD ABD ∠=∠=°，所以90ADB ∠=°.所以BD AD ⊥，又BD PD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，且AD PD D = ，所以BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .取AD 中点O ，因为PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥，平面PAD ∩平面ABCD AD =，所以⊥PO 平面ABCD .再取AB 中点E ，连接OE ，则//OE BD ，所以OE AD ⊥.所以可以O 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0D −，()E ，()1,B −，(P ，()C −.(1,PB =− .设PQ PB λ= ，可得)()1Q λλ−−所以)()1,1AQ λλ=−−− ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1n = .因为AQ 与平面ABCD ，所以AQ nAQ n ⋅⋅ ，解得12λ=或5λ=（舍去）. 所以：线段PB上存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD ，此时1PQ QB =. 【小问2详解】当平面PAD ⊥平面ABCD 时, PD 与平面BCD 所成角为PDA ∠.当平面PAD 与平面ABCD 不垂直时，过P 做PH ⊥平面ABCD ，连接HD ，则PDH ∠为PD 与平面BCD 所成角，因为PH PO <，sin PH PDH PD ∠=，sin PO PDA PD∠=，s s n i i n PDA PDH ∠∠<，所以A PDH PD ∠∠<. 故当平面PAD ⊥平面ABCD 时，PD 与平面BCD 所成角最大.此时，设棱锥P BCD −的外接球球心为(),,G x y z ，GP GB GC GD R====,所以(()(()(()2222222222222222121x y z R x y z R x y z R x y z R ++= ++−+= +++=+++=，解得20133x y z R = = = = 所以三棱锥P BCD −的外接球的体积为：34π3V R ==. 【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解..。
湖北省部分名校2024-2025学年高二上学期10月月考英语试题
2024年湖北部分名校高二 10 月联考高二英语试卷考试时间: 2024年 10月11日上午8: 0010: 00 试卷满分：150分注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
第一部分听力 (共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节 (共5小题; 每小题1.5分, 满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例: How much is the shirt?A.£19.15.B.£9.18.C.£9.15.答案是C.1. What does the man say about Jack?A. He's serious.B. He's responsible.C. He's humorous.2. What is the probable relationship between the speakers?A. Classmates.B. Cousins.C. Uncle and niece.3. What are the speakers mainly talking about?A. What to have for lunch.B. Where to buy some vegetables.C. Who to cook a meal.4. Where are probably the speakers?A. In the car shop.B. In the toy shop.C. In the clothing shop.5. What does the man usually do in his spare time?A. Play chess with his grandfather.B. Play video games.C. Do some exercise.第二节 (共 15 小题; 每小题 1.5 分, 满分 22.5 分)听下面5段对话或独白。
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高二上学期10月月考试卷一、选择题1. 下面加下划线字注音完全正确的一组是A . 相夫子悄无言渐车帷裳扈江离B . 磨牙吮血（shǔn）霓裳（shāng）槛菊愁烟（jiàn）勾当C . 卓越伺候靡费芜杂)D . 饿殍嫉恨汗涔涔估量2. 下列各组词语中，错别字最多的一项是（）A . 悼词殒落催毁缄口不语当仁不让B . 脉搏贤惠缔造义愤填赝穷兵黩武C . 愧怍震憾发轫磐竹难书惴惴不安D . 家具本份缅怀良晨美景委屈求全3. 下列句中，加横线字词解释都正确的一组是（）A . 不与秦塞通人烟通人烟：相互往来。
自我徂尔徂：往B . 渚清沙白鸟飞回渚：水中小洲。
女也不爽，士贰其行爽：爽快。
C . 欲寄彩笺兼尺素尺素：书信的代称。
乍暖还寒时候，最难将息将息：将要休息。
D . 肇锡余以嘉名肇：开始。
氓之蚩蚩，抱布贸丝贸：贸易。
4. 依次填入下列横线处的词语，最恰当的一组是（）①他三天就学会了游泳。
②学习或者工作不顺心时，要学会调整自己的心情。
③研究认为，青少年每天发短信超过一百次会让人变得，过分关注自我并且更爱钱。
④随着调查的深入，波士顿爆炸案这一的事件得到了持续报道，关于两名嫌犯信息被不断公之于众。
A . 工夫黯淡肤浅骇人听闻B . 功夫暗淡浮浅骇人听闻C . 功夫暗淡肤浅耸人听闻D . 工夫黯淡浮浅耸人听闻5. 下列各项中，加线的成语使用不恰当的一项是A . 春天如期而至，在这万物复苏的季节，本报诚邀社会各界共同参与“晚报植树节”活动，参与者将在省会绿化基地栽培各种树苗，为省会绿化添枝加叶。
B . 我把读书看做一种学习，有时候读完一本书后会有一种豁然开朗的感觉，好像打开了另一扇门，有一些事情也能想通了。
C . 任何一个重大决策、重大改革措施的出台，必然带来一定的社会稳定风险，如果因此瞻前顾后、浅尝辄止、望洋兴叹，就会丧失发展良机。
D . 日本大地震后福岛核电站发生爆炸，坊间传言辐射会污染海水，海水盐也会受到辐射污染，于是人们杯弓蛇影，我国许多地区发生了疯狂抢购碘盐的现象。
6. 下列各句中，没有语病的一项是A . 女性学者被称为“美女学者”，我还听过“美女主持”“美女政治家”的说法，估计没被我漏举的还有不少。
B . 教育主管部门要求，各级各类学校学生的生活用品以及床上用品都应由学生自主选购，不得统一配备。
C . 当前某些引起轰动的影视作品，也许在两年以后，甚至五年以后就会被人遗忘得一干二净。
D . 俄罗斯有发展远东的计划，中国有振兴东北的战略，如果有效对接，可能实现双赢，不过目前还只是一种期待。
7. 对下列各句中加横线词的解释，不正确的一项是（）A . 乘彼垝垣，以望复关乘：登上B . 则修文德以来之修：修治，修养C . 总角之宴，言笑晏晏总角：指青年时代D . 昔者先王以为东蒙主东蒙主：主管祭祀蒙山的人8. 下列各句句式相同的两项是（）A . 是社稷之臣也。
B . 无乃尔是过与？C . 而谋动干戈于邦内。
D . 恐年岁之不吾与？9. 以下五句话中，全都体现孔子“治国安邦”原则的一组是（）①君子疾夫舍曰欲之而必为之辞②不患寡而患不均，不患贫而患不安③远人不服，则修文德以来之④均无贫，和无寡，安无倾⑤吾恐季孙之忧，不在颛臾，而在萧墙之内也A . ①②③B . ②③④C . ③④⑤D . ①③⑤10. 下列句子中加下划线词的解释有误的一项是（）A . 且尔言过矣过：错，犯错B . 今由与求也，相夫子相：辅佐C . 危而不持，颠而不扶颠：颠覆D . 君子疾夫舍曰欲之而必为之辞疾：痛恨、讨厌11. 下列各句中，加下划线词的古今意义相同的一项是（）A . 送子涉淇，至于顿丘B . 昔我往矣，杨柳依依C . 不见复关，泣涕涟涟D . 今我来思，雨雪霏霏12. 下列句中加下划线词语的意义，与现代汉语相同的一项是（）A . 王好战，请以战喻B . 自我徂尔，三岁食贫C . 七十者衣帛食肉，黎民不饥不寒，然而不王者，未之有也D . 纫秋兰以为佩13. 下列句中加下划线词不属于词类活用的一项是（）A . 填然鼓之，兵刃既接，弃甲曳兵而走B . 不违农时，谷不可胜食也C . 五亩之宅，树之以桑，五十者可以衣帛矣D . 王无罪岁，斯天下之民至焉14. 下列各组句子中加下划线词的意义和用法不相同的一组是（）A . 五亩之宅，树之以桑谨庠序之教，申之以孝悌之义B . 王如知此，则无望民之多于邻国也是何异于刺人而杀之C . 河内凶，则移其民于河东王如知此，则无望民之多于邻国也D . 填然鼓之久之，目似瞑，意暇甚15. 对《寡人之于国也》课文意思的理解，不正确的一项是（）A . 孟子先描述发展生产的措施及其效果，然后把自己的主张层层铺陈，为梁惠王展现了一幅美好的前景，顺理成章地得出“然而不王者，未之有也”的结论。
B . 最后一段文字集中体现了孟子的“仁政”主张，具体地说，包含以下几层意思：减轻劳役，发展生产，关心民生，兴办教育，招贤纳士，广开言路。
C . 孟子阐述自己的政治主张时环环相扣，层层紧逼，用墨不多，用人人关心、人人盼望的“养生丧死”等事作具体的说明，明白晓畅，易于为人接受。
D . 课文的最后一段多次运用排比的方法，增强了文章的说服力和感染力，体现了孟子文章善于雄辩、气势磅礴、笔墨酣畅的特点。
16. 依次填入下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是（）最美的感觉当然就在这深巷里。
我喜欢它两边各式各样的古屋和老墙，我尤其喜欢站在这任意横斜的深巷里失去方向的感觉。
A . 喜欢它随地势起伏的坡度，喜欢它们年深日久之后前仰后合的样子，喜欢忽然从老城里边奔涌出来的一大丛绿蔓或生气盈盈的花朵，喜欢被踩得坑坑洼洼的硌脚的石头路面。
B . 喜欢它随地势起伏的坡度，喜欢它们年深日久之后前仰后合的样子，喜欢被踩得坑坑洼洼的硌脚的石头路面，喜欢忽然从老城里边奔涌出来的一大丛绿蔓或生气盈盈的花朵。
C . 喜欢它们年深日久之后前仰后合的样子，喜欢它随地势起伏的坡度，喜欢被踩得坑坑洼洼的硌脚的石头路面，喜欢忽然从老城里边奔涌出来的一大丛绿蔓或生气盈盈的花朵。
D . 喜欢它们年深日久之后前仰后合的样子，喜欢它随地势起伏的坡度，喜欢忽然从老城里边奔涌出来的一大丛绿蔓或生气盈盈的花朵，喜欢被踩得坑坑洼洼的硌脚的石头路面。
二、现代文阅读17. 阅读下面的文字，完成下面小题。
当前散文创作中值得的注意问题（节选）古耜①为数不少的作家在文人心态和意趣的挥洒中，自觉或不自觉地放弃了对社会下层普通劳动者历史命运和现实生存的关注与描写，并因此而导致了在新的社会矛盾面前的回避与缺席，这是近年来散文创作值得注意的问题之一。
②纵观中国散文史，西方式的人道主义精神或许相对稀薄，但发源于儒家民本思想的对社会下层广大劳动人民的关注、同情乃至赞美，却是由来已久的传统。
从晁错的《论贵粟疏》至柳宗元的《捕蛇者说》，再到郑板桥的《范县署中寄舍弟墨第四书》，一直到鲁迅的《一件小事》、巴金的《一个女佣》，属于不同时代，拥有不同思想的作家们，都在一方面亮出了灵魂中的至善。
新中国成立后，随着广大劳动人民命运的改变和地位的提高，众多作家更是在他们身上投注了空前充沛的热情和异常饱满的笔墨。
显而易见，对于这样一种散文传统，如果我们不做过于偏执和绝对的理解，那么就应当承认，它为中国散文增添了难能可贵的人民性，并藉此而将散文同最广大的读者长久地、跨时空地联系在了一起。
③毋庸讳言，历史走到今天，我们所处的社会环境已经发生了很大的变化：大规模的、激烈的阶级冲突已经不复存在；政治的、经济的利益关系及至整个社会结构日趋多元复杂；人们整体的生活水平有了程度不同的提高……面对那些情形，文学，特别是文学中极具个体精神与情感色彩的散文，还要不要坚持和强调对普通劳动者的关注与表现?我的回答是肯定的，其个中理由也并不出常识和经验面：迄今为止，经历着急剧转型的中国社会，依然是普通劳动者占据着人口绝大多数，而这占人口绝大多数的普通劳动者，在因为注重效率而难免忽视公平的历史进程中，分明又一次成为社会的弱势群体，正面临着种种困惑与艰难，承受着远比其他阶层和团体大得多的生存压力……他们需要各方面的关怀，其中自然包括散文家道义的支持与心灵的抚慰。
④然而，近些年来的散文创作却在这一方面陷入了大面积的失语状态。
在我们的视线之内，尽管还有张承志、梁晓声、肖复兴等作家，不时捧出一些闪耀着平民之光的散文篇章，但更多的散文家，特别是其中的职业和准职业写作者，却随着生存条件的改观和文学环境的宽松，而逐渐沉溺于文人角色的自恋与自赏，满足于一己心态的表露与挥洒。
这时，他们笔下呈现的，每每是湖光山色的流连，书里卷外的遐思，生命哲理的体味，艺术情趣的张扬，甚至草木虫鱼的观赏，美食雅苑的把玩……而明显缺少的便是对现实生活里普通劳动者生存状态的描绘与揭示。
创作主体对社会底层和弱势群体的关切目光与悲悯情怀，是一种博大而深沉的人道主义的力量。
当然，时下的文人散文倒是不乏精英层面的人文启蒙与终极关怀。
但所有这些又常因内容的过于抽象或深奥，而远离了普通劳动者的现实痛苦和接受能力，所以并不能真正进入社会下层，无怪乎余杰要发出“我们离底层有多远”的询问和感喟。
⑤我不是说散文不应当表达文人的意识和意趣，也不是说表达了文人意识和意趣的散文都不是好散文，更不是故意倡扬散文的“民粹主义”倾向。
既成的事实是，一批书卷气很浓，知识性很强，文化味很足的文人散文，恰恰成了世纪之交散文领域里抢眼的风景。
它们对于提升散文创作的整体品位，起到了有目共睹的积极作用。
然而我们也必须看到：如果旷远开阔的散文世界，仅仅以文人自己的生活和意趣为主流、为风尚，特别是用它挤掉和取代了对普通劳动者生存现实的关注与再现，那么这个散文世界，便不只是单调的、倾斜的，而且是退缩的、软弱的：它在无形中回避着现实，回避着矛盾，进而在很大程度上放弃了自己守护人类良知、呼唤社会正义的责任以及应有的批判精神。
而一个倾斜的、软弱的散文世界、究竟能在多大程度上满足读者的审美需求，同时又反映了一个时代的真实风貌呢?（1）下列各项表述中，不符合文意的一项是（）A . 当前散文创作中，许多作家满足于一己心态的表露与挥洒，放弃了对社会下层普通劳动者历史命运和现实生存的关注与描写。
B . 中国现代散文在发展过程中，西方式的人道主义精神或许相对稀薄，却有发源于儒家民本思想的，对下层劳动人民关注的传统。
C . 占人口绝大多数的普通劳动者是社会的弱势群体，他们需要包括散文家道义的支持与心灵的抚慰在内的各方面的关怀。
D . 一个回避现实、回避矛盾的倾斜而软弱的散文世界，无法真正地满足读者的审美需求，也无以反映一个时代的真实风貌。
（2）近些年来散文创作在反映现实方面陷入了大面积的失语状态，下列不属于其“表现”的一项是（）A . 虽有部分作者不时捧出一些闪耀着平民之光的散文篇章，但更多的散文家沉溺于文人角色的自恋与自赏之中。