吉林省白城一中19年_20年学年高二数学上学期期中试题文
吉林省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(三)
吉林省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（三）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若A={x|x2﹣5x+4＜0}，B={x|x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]2．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n等于（）A．2n B．2n+1 C．2n﹣1 D．2n+13．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（）A．B．C．a2＜b2 D．|a|＞|b|4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2 D．35．在等差数列{a n}中，已知a3=0，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．36．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣147．在△ABC中，“sin2A=sin2B”是“A=B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）9．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题10．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A=60°，b=1，△ABC的面积S△ABC=，则=（）A．B．C．2 D．411．若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．812．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．2二、填空题（本大题共4道题，每小题5分，共20分）13．数列{a n}满足a1=2，，则a6=．14．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为．15．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则+取得最大值时，角A的值为．三、解答题（本大题共6道题，其中17题10分，18～22题每题12分，共70分）17．已知{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项a n；（Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值．18．已知命题p：方程a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0．若命题“p或q”是假命题，则a的取值范围是．19．如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且AB=100米．（1）求sin75°；（2）求该河段的宽度．20．某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可生产产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可生产产品100千克．若每日预算总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日最多可生产多少千克产品？21．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．22．设等比数列{a n}的前n项和为S n，等差数列b n的前n项和为T n，已知S n=2n+1﹣c+1（其中c为常数），b1=1，b2=c．（1）求常数c的值及数列{a n}，b n的通项公式a n和b n．（2）设，设数列d n的前n项和为D n，若不等式m≤D n＜k对于任意的n∈N*恒成立，求实数m的最大值与整数k的最小值．（3）试比较与2的大小关系，并给出证明．参考答案一、单项选择题1．D．2．B3．A．4．D．5．C6．D．7．B．8．C．9．D．10．C．11．B．12．B．二、填空题13．答案为：﹣314．答案为：11．15．答案为：﹣4＜m＜2．16．答案为：三、解答题17．解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，由已知条件，，解出a1=3，d=﹣2，所以a n=a1+（n﹣1）d=﹣2n+5．（Ⅱ）=4﹣（n﹣2）2．所以n=2时，S n取到最大值4．18．解：由a2x2+ax﹣2=0，得（ax+2）（ax﹣1）=0，显然a≠0，∴x=﹣，或x=．∵x∈[﹣1，1]，∴|﹣|≤1或||≤1，∴|a|≥1．只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，∴△=4a2﹣8a=0，∴a=0或a=2．∴命题“p或q”为真命题时，|a|≥1或a=0．∵命题“p或q”为假命题，∴a的取值范围为{a|﹣1＜a＜0或0＜a＜1}．故答案：﹣1＜a＜0或0＜a＜1．19．解：（1）sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=；（2）∵∠CAB=75°，∠CBA=45°∴∠ACB=180°﹣∠CAB﹣∠CBA=60°，由正弦定理得：∴，如图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，∵∠BCD=∠CBA=45°，，∴BD=BCsin45°===（米）．20．解：设工厂每日需用甲原料x吨，乙原料y吨，可生产产品z千克，根据题意，则，即画出可行域如图所示则不等式组所表示的平面区域是四边形的边界及其内部（如图阴影部分）由解得，，设，z=90x+100y令z=0，得l′：90x+100y=0即由图可知把l′平移至过点时，即时，（千克）答：工厂每日最多生产440千克产品．21．（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求22．解：（1）由题可得当n≥2时，S n﹣1=2n﹣c+1从而a n=S n﹣S n﹣1=2n（n≥2），又由于{a n}为等比数列，所以a n=2n（n∈N*），所以a1=21=2；另一方面，当n=1时，a1=S1=22﹣c+1=5﹣c所以c=3，从而b n=2n﹣1（2）由（1）得所以D n=d1+d2+d3+d4++d n﹣1+d n①从而②①﹣②得解得由于D n是单调递增的，且，所以D1≤D n＜3，即所以实数m的最大值为，整数k的最小值为3．（3）由b n=2n﹣1可求得T n=n2，当n≥2时，所以=所以＜2。
2019-2020学年吉林省白城一中高二(上)期中数学试卷 试题及答案(理科)
2019-2020学年吉林省白城一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．抛物线212y x =-的焦点坐标是( )A ．1(0,)8B ．1(8-，0)C ．1(0,)2-D ．1(2-，0)2．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x y >，则||x y >”的逆命题B ．命题“1x >，则21x >”的否命题C ．命题“若1x =，则220x x +-=”的否命题D ．命题“若20x >，则1x >”的逆否命题3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为(1u =，3-，)z ，向量(3v =，2-，1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．9-D ．94．已知2:0p x x -<，那么命题p 的一个必要不充分条件是( ) A ．01x <<B ．11x -<<C ．1223x << D ．122x << 5．过点(0,2)与抛物线28y x =只有一个公共点的直线有( ) A ．无数多条B ．3条C ．2条D ．1条6．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是( )A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．0x ±=D 0y ±=7．过点(2,2)P 作抛物线24y x =的弦AB ，恰好被P 平分，则弦AB 所在的直线方程是( )A ．0x y -=B ．220x y --=C ．40x y +-=D ．260x y +-=8．直三棱柱ABC A B C -'''中，AC BC AA =='，90ACB ∠=︒，E 为BB '的中点．异面直线CE 与C A '所成角的余弦值是( )A B ．C ． D 9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(2,)+∞B ．[2，)+∞C ．(1,2)D ．(1，2]10．椭圆22142x y +=上有一点P ，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，△12F PF 为直角三角形，则这样的点P 有( ) A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个11．设1F ，2F 是双曲线2213x y -=的两个焦点，P 在双曲线上，当△12F PF 12||||PF PF 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．612．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点为1F ，2F ，过2F 作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，1F A 与y 轴相交于点D ，若1BD F A ⊥，则椭圆C 的离心率等于( )A ．13B C ．12D 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．14．命题“0x R ∃∈，20410x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 15．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1||||||1AB AD AA ===，1120BAD BAA ∠=∠=︒，160DAA ∠=︒，则线段1AC 的长度是 ．16．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线交C 于A ，B 两点．设||||FA FB >，则||||FA FB 的值等于 ． 三、解答题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．设命题p ：实数x 满足22430(0)x ax a a -+<>，命题q ：实数x 满足302x x --…， （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知双曲线与椭圆221259x y +=有相同焦点，且经过点(4,6)． （1）求双曲线方程；（2）若双曲线的左，右焦点分别是1F ，2F ，试问在双曲线上是否存在点P ，使得12||5||PF PF =．请说明理由19．已知定点(,0)A a ，其中03a <<，它到椭圆22194x y +=上点的距离的最小值为1，求a 的值．20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，2PC =，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，4AB =，1CD =，点M 在PB 上，4PB PM =，PB 与平面ABCD 成30︒的角．求证： （1）//CM 平面PAD ； （2）平面PAB ⊥平面PAD ．21．已知一动圆M ，恒过点(1,0)F ，且总与直线:1l x =-相切． （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）探究在曲线C 上，是否存在异于原点的1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，当1216y y =-时，直线AB 恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．22．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ．过它的两个焦点1F ，2F分别作直线1l 与2l ，1l 交椭圆于A 、B 两点，2l 交椭圆于C 、D 两点，且12l l ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求四边形ACBD 的面积S 的取值范围．2019-2020学年吉林省白城一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．抛物线212y x =-的焦点坐标是( )A ．1(0,)8B ．1(8-，0)C ．1(0,)2-D ．1(2-，0)【解答】解：抛物线212y x =-的标准方程为：22x y =-，开口向下，焦点坐标为：1(0,)2-．故选：C ．2．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x y >，则||x y >”的逆命题B ．命题“1x >，则21x >”的否命题C ．命题“若1x =，则220x x +-=”的否命题D ．命题“若20x >，则1x >”的逆否命题【解答】解：A 中命题“若x y >，则||x y >”的逆命题是“若||x y >，则x y >”，无论y 是正数、负数、0都成立；B 中命题的否命题是“1x …，则21x …”，当1x =-时不成立； C 中命题的否命题是“若1x ≠，则220x x +-≠”，当2x =-时，220x x +-=，故错误； D 中逆否命题与原命题同真假，原命题假，故错误．故选：A ．3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为(1u =，3-，)z ，向量(3v =，2-，1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．9-D ．9【解答】解：由题意可得：u v ⊥， ∴360u v z =++=，解得9z =-． 故选：C ．4．已知2:0p x x -<，那么命题p 的一个必要不充分条件是( )A ．01x <<B ．11x -<<C ．1223x << D ．122x << 【解答】解：2:00111p x x x x -<⇒<<⇒-<<，11x -<<推不出20x x -<，2:0p x x ∴-<，那么命题p 的一个必要不充分条件11x -<<，故选：B ．5．过点(0,2)与抛物线28y x =只有一个公共点的直线有( ) A ．无数多条B ．3条C ．2条D ．1条【解答】解：抛物线28y x =的焦点为(2,0)，当过点(0,2)的直线的斜率不存在时，直线的方程为0x =，即直线为y 轴时， 与抛物线28y x =只有一个公共点．当过点(0,2)的直线的斜率等于0时，直线的方程为2y =，与抛物线28y x =只有一个公共点．当过点(0,2)的直线斜率存在且不为零时，设为k ，那么直线方程为：2y kx -=，即：2y kx =+，代入抛物线方程可得 22(48)40k x k x +-+=，由判别式等于0 可得：64640k -=，1k ∴=，此时，直线的方程为 2y kx =+．综上，满足条件的直线共有3条， 故选：B ．6．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是( )A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．0x ±=D 0y ±=【解答】解：对于双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离为b ，而124b c =，因此1,2b c a ===，∴b a =，因此其渐近线方程为0x ±=． 故选：C ．7．过点(2,2)P 作抛物线24y x =的弦AB ，恰好被P 平分，则弦AB 所在的直线方程是( )A ．0x y -=B ．220x y --=C ．40x y +-=D ．260x y +-=【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，弦AB 所在直线方程为：2(2)y k x -=-， 即22y kx k =+-，联立2224y kx k y x=+-⎧⎨=⎩，消去y 整理得222[2(22)4](22)0k x k k x k +--+-=．所以有1222(22)4k k x x k --+=-，弦AB 恰好是以P 为中点， 22(22)44k k k --∴-=．解得1k =．所以直线方程为y x =，由P 在抛物线的开口之内，可得这样的直线存在． 故选：A ．8．直三棱柱ABC A B C -'''中，AC BC AA =='，90ACB ∠=︒，E 为BB '的中点．异面直线CE 与C A '所成角的余弦值是( )A B ．C ． D 【解答】解：直三棱柱ABC A B C -'''中，AC BC AA =='，90ACB ∠=︒，E 为BB '的中点． 以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC BC AA =='=，则(0C ，0，0)，(0E ，2，1)，(0C '，0，2)，(2A ，0，0)， (0CE =，2，1)，(2C A '=，0，2)-，设异面直线CE 与C A '所成角为θ，则||cos 10||||58CE C A CE C A θ'==='∴异面直线CE 与C A '． 故选：D ．9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(2,)+∞B ．[2，)+∞C ．(1,2)D ．(1，2]【解答】解：已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a，∴b a，离心率22224a b e a +=…， 2e ∴…，故选：B ．10．椭圆22142x y +=上有一点P ，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，△12F PF 为直角三角形，则这样的点P 有( ) A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个【解答】解：当1F ∠为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P 有两个； 同理当2F ∠为直角时，这样的点P 有两个；由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P 也有两个．故符合要求的点P 有六个． 故选：C ．11．设1F ，2F 是双曲线2213x y -=的两个焦点，P 在双曲线上，当△12F PF12||||PF PF 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解答】解：双曲线2213x y -=的两个焦点坐标为1(2,0)F -，2(2,0)F设P 的坐标为(,)x y ，则 △12F PF∴14||2y ⨯⨯=||y ∴=，代入双曲线方程解得||x =，不妨取P，2212213||||(2)()1022110221422PF PF ∴=-+=+-=， 故选：C ．12．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点为1F ，2F ，过2F作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，1F A 与y 轴相交于点D ，若1BD F A ⊥，则椭圆C 的离心率等于( ) A ．13B C ．12 D 【解答】解：由题意可得，2(,)b A c a ，2(,)b B c a -，则点D 为1F A 的中点，2(0,)2b D a ∴，由1BD F A ⊥，得11BD F A k k =-，即222212b b b a a a cc --=-22ac =，∴22)2c a ac -=，解得e =故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线【解答】解：依题设P 在抛物线准线的投影为P '，抛物线的焦点为F ，则1(,0)2F ，依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为||||PP PF '=， 则点P 到点(0,2)A 的距离与P 到该抛物线准线的距离之和||||||d PF PA AF =+==…． 14．命题“0x R ∃∈，20410x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 [4-，4] ． 【解答】解：命题“0x R ∃∈，20410x ax -+<”为假命题， 则其否定“x R ∀∈，2410x ax -+…”为真命题，∴△2160a =-…，可得44a -剟． ∴实数a 的取值范围是[4-，4]．故答案为：[4-，4]．15．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1||||||1AB AD AA ===，1120BAD BAA ∠=∠=︒，160DAA ∠=︒，则线段1AC【解答】解：根据平行四边形法则可得11AC AB AD AA =++， 所以22222111113||()||||||222111222AC A BAD A A A BA D A AA B A D A B A A A D A=++=+++++=+++⨯⨯⨯⨯，所以1AC =16．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线交C 于A ，B 两点．设||||FA FB >，则||||FA FB 的值等于 3 ．【解答】解：由题意知，直线的方程为1)y x -，与抛物线2:4C y x =联立得231030x x -+=， ∴交点的横坐标为3x =或13x =， ||||FA FB >，根据抛物线的定义得4||4,||3FA FB ==， ∴||3||FA FB =． 故答案为：3三、解答题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．设命题p ：实数x 满足22430(0)x ax a a -+<>，命题q ：实数x 满足302x x --…， （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）若1a =，解2430x x -+<得：13x <<，解302x x --…得：23x <…； ∴命题p ：实数x 满足13x <<，命题q ：实数x 满足23x <…；p q ∧为真，p ∴真，q 真，x ∴应满足1323x x <<⎧⎨<⎩…，解得23x <<，即x 的取值范围为(2,3)； （2）q ⌝为：实数x 满足2x …，或3x >；p ⌝为：实数x 满足22430x ax a -+…，并解22430x ax a -+…得x a …，或3x a …； p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以a 应满足：2a …，且33a >，解得12a <…；a ∴的取值范围为：(1，2]．18．已知双曲线与椭圆221259x y +=有相同焦点，且经过点(4,6)． （1）求双曲线方程；（2）若双曲线的左，右焦点分别是1F ，2F ，试问在双曲线上是否存在点P ，使得12||5||PF PF =．请说明理由【解答】解：（1）椭圆221259x y +=的焦点在x 轴上，且4c =，即焦点为(4,0)±， 于是可设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由双曲线经过点(4,6)，可得2|4a =-=，即2a =，b ==故双曲线方程为221412x y -=； （2）假设在双曲线上存在点P ，使得12||5||PF PF =，则点P 只能在右支上．由于在双曲线221412x y -=中，由双曲线定义知，12||||24PF PF a -==， 于是得1||5PF =，2||1PF =．但当点P 在双曲线右支上时，点P 到左焦点1F 的距离的最小值应为6a c +=，故不可能有1||5PF =，即在双曲线上不存在点P ，使得12||5||PF PF =．19．已知定点(,0)A a ，其中03a <<，它到椭圆22194x y +=上点的距离的最小值为1，求a 的值．【解答】解：设椭圆上任一点为(P x ，)(33)y x -剟，则22222221594||()()(364)()49955PA x a y x a x x a a =-+=-+-=-+-，当503a <…时，有9035a <…．∴当95x a =时，224(||)415min PA a =-=，解得53a >（舍)； 当533a <<时，有927355a <<， 当且仅当3x =时，22(||)691min PA a a =-+=， 解得2a =或4a =（舍)， 综上可得2a =．20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，2PC =，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，4AB =，1CD =，点M 在PB 上，4PB PM =，PB 与平面ABCD 成30︒的角．求证： （1）//CM 平面PAD ； （2）平面PAB ⊥平面PAD ．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系O xyz -，C 为坐标原点O ， （1）证明：如图，建立空间直角坐标系． PC ⊥平面ABCD ，PBC ∴∠为PB 与平面ABC 所成的角，即30PBC ∠=︒．||2PC =，||BC ∴=||4PB =．得(1D ，0，0)、(0B ，，0)、(4A ，，0)、(0P ，0，2)．4PB PM =，||3||MB PM ∴=，||1PM ∴=，(0M ，3)2，(0CM =，3)2，(1DP =-，0，2)，(3DA =，，0)．设(CM xDP yDA x =+、)y R ∈，则(0，3)(12x =-，0，2)(3y +，，30)4x ⇒=且14y =， ∴3144CM DP DA =+．∴CM 、DP 、DA 共面．又C ∉平面PAD ，故//CM 平面PAD ． （2）证明：过B 作BE PA ⊥，E 为垂足． ||||4PB AB ==，E ∴为PA 的中点．(2E ∴1)，(2BE =，1)．又(2BE DA =，1)(3，，0)0=，∴BE DA ⊥，即BE DA ⊥．而BE PA ⊥，BE ∴⊥面PAD ．BE ⊂面PAB ，∴面PAB ⊥面PAD ．21．已知一动圆M ，恒过点(1,0)F ，且总与直线:1l x =-相切． （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）探究在曲线C 上，是否存在异于原点的1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，当1216y y =-时，直线AB 恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）因为动圆M ，过点(1,0)F 且与直线:1l x =-相切，所以圆心M 到F 的距离等于到直线l 的距离．所以，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，且12p=，2p =， 所以所求的轨迹方程为24y x = （2）假设存在A ，B 在24y x =上，所以，直线AB 的方程：211121()y y y y x x x x --=--，即221112221()444y y y y y x y y --=--（7分） 即AB 的方程为：211124()4y y y x y y -=-+，即22121121()4y y y y y y x y +--=- 即：12()(164)0y y y x ++-=， 令0y =，得4x =，所以，无论1y ，2y 为何值，直线AB 过定点(4,0)22．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ．过它的两个焦点1F ，2F 分别作直线1l 与2l ，1l 交椭圆于A 、B 两点，2l 交椭圆于C 、D 两点，且12l l ⊥． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求四边形ACBD 的面积S 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，∴12c a =，即2a c =，224a c ∴=，223b c =，⋯（2分） ∴椭圆方程为2222143x y c c+=，将点3(1,)2P 代入椭圆方程，得：22914143c c +=，解得21c =，⋯∴所求椭圆方程为22143x y +=．⋯ （Ⅱ）当1l ，2l 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0， 此时四边形的面积为6S =，⋯（7分）若1l 与2l 的斜率都存在，设1l 的斜率为k ，则2l 的斜率为1k -．∴直线1l 的方程为(1)y k x =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得，2222(43)84120k x k x k +-+-=，（1）∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，⋯12||x x ∴-=212212(1)||||43k AB x x k +∴=-=+，（2）⋯（9分）注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，可以用1k-代替（2）中的k ，得2212(1)||34k CD k +=+，⋯2222172(1)||||2(43)(34)k S AB CD k k +∴==++，令2(0,)k t =∈+∞， 22272(1)6(122512)6(43)(34)122512t t t tS t t t +++-∴==++++ 66288661249491225t t =--=++…，288[,6)49S ∴∈， 综上可知，四边形ACBD 面积的288[49S ∈，6]．。
吉林省白城市2019-2020学年数学高二上学期文数期中考试试卷A卷
吉林省白城市2019-2020学年数学高二上学期文数期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）已知集合，则等于（）A . {-1,0,1}B . {0,1}C . {1}D . {1,2}2. （1分） (2016高一下·南沙期末) 已知a∈R，b∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A . ＞1B . a2＞b2C . （）a＜（） bD . lg（a﹣b）＞03. （1分）将正整数按如图所示的规律排列下去，且用表示位于从上到下第行，从左到右n列的数，比如，若，则有（）A .B .C .D .4. （1分）已知：为单位向量，，且，则与的夹角是（）A .B .C .D .5. （1分）一枚硬币连抛5次，则正、反两面交替出现的概率是（）A .B .C .D .6. （1分）若，则z=x+2y的最小值为（）A . -1B . 0C .D . 27. （1分） (2019高一下·汕头月考) 已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .8. （1分） (2018高二下·黑龙江期中) 如图所示的程序框图，若输出的是，则①处应填（）A .B .C .D .9. （1分）如图，平面上有四个点A、B、P、Q，其中A、B为定点，且AB= ，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1，又△APB和△PQB的面积分别为S和T，则S2+T2的最大值为（）A .B . 1C .D .10. （1分）已知各项均为正数的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值为（）A . 16B . 8C .D . 411. （1分）若函数f(x)的导函数f'(x)=x2-4x+3，则使得函数f(x-1)单调递减的一个充分不必要条件是（）A . （0，1）B . [0，2]C . （2，3）D . （2，4）12. （1分）已知集合，，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·温州期末) 已知向量，，若，则实数x的值是________．14. （1分）(2018·肇庆模拟) 直线与圆相交于A、B两点，则________15. （1分） (2018高二上·铜梁月考) 平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为________.16. （1分） (2018高二上·南宁月考) 已知，则的最小值为________三、解答题 (共6题；共12分)17. （2分） (2018高一下·佛山期中) 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，求周长的取值范围．18. （2分） (2016高二上·上杭期中) 已知等差数列{an}中，a1=1，且a2+2，a3 ， a4﹣2成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn．19. （3分）(2018·广东模拟) 据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．参考数据：，（说明：以上数据为3月至7月的数据）回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，（1）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试建立关于的回归方程（系数精确到 0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（2）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．20. （2分）(2017·银川模拟) 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求：A（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．21. （2分） (2016高一下·南充期末) 如图，边长为2的正方形ABCD中，（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．求证：A′D⊥EF（2）当BE=BF= BC时，求三棱锥A′﹣EFD的体积．22. （1分） (2016高一下·长春期中) 已知等差数列{an}满足：a3=6，a5+a7=24，{an}的前n项和为Sn ．（1）求an及Sn；（2）令bn= （n∈N+），求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共12分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
吉林省白城市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案
曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率
e 的取值范围是（
）
A.[2, ) B.(1,2), C. (2,
) D.(1,
]
10．在椭圆
上有一点 P， F1、 F2 是椭圆的左、右焦点，△ F1PF2 为直角三角形，这样
的点 P 有 ( )
A． 2 个 B ． 4 个 C ． 6 个 D ．8 个
无数条 .
6. 若双曲线 x 2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
双曲线的渐近线方程是（
）
1 ，则该 4
A． x 2 y 0
B． 2x y 0
C． x 3 y 0 D． 3x y 0
7. 过点 P(2,2) 作抛物线
的弦 AB,恰好被 P 平分，则弦 AB所在的直线方程是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13．已知点 P是抛物线 y2＝ 2x 上的一个动点，则点 P 到点 (0,2) 的距离与点 P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值为 ________
14．命题“ ? x0∈R,4 x20－ ax0＋1＜0”为假命题，则实数 a 的取值范围是 ________．
15． 如图，平行六面体 ABCD﹣ A1B1C1D1 中， ＝ ＝ ∠DAA1＝ 60°，则线段 AC1 的长度是 _______。
＝ 1，∠ BAD＝∠ BAA1＝ 120°，
16．已知 F 是抛物线 C： y2 4 x 的焦点，过
A， B 两点．设 FA FB ，则 | FA | 的值等于
| FB |
白城一中 2019-2020 学年度下学期期期中考试
吉林省白城一中高二数学上学期期中试题 文-最新学习文档
白城一中2019—2019学年上学期高二期中考试数学试卷(文)考试说明:（1）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案的选项填涂在答题卡上.）1. 已知命题P: “若两直线没有公共点，则两直线异面.”则其逆命题、否命题和逆否命题 中，真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 32. “p∨q 为真”是“p 为真”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列命题错误的是（ ）A ．命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x ﹣m=0无实数根，则m ≤0”B ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题C ．“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题4. 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )A. B.C. D.5. 已知函数2()10f x x =-+，则()f x 在32x =处的瞬时变化率是 A. 3 B. -3 C. 2 D. -26. 设抛物线22y px =的焦点与椭圆221204x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 A ．1x =- B ．1y =- C ．3x =- D ．4x =- 7. 函数2cos y x x =的导数为A ．B ．C ．D ．8. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝19.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ()f x =2()g xB ()f x -()g x 为常数函数C ()f x =()0g x =D ()f x +()g x 为常数函数10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为（ ）3D. 2 11.过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与其对称轴垂直的直线与E 交于,A B 两点，若E 在,A B 两点处的切线与E 的对称轴交于点C ，则ABC ∆外接圆的半径是（ ）A.)1p B. p D. 2p12. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点00()2pM x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =MA ，若2MA AF=，则AF =（ ） A ．32B ． 1C ． 2D ． 3 第Ⅱ卷(非选择题，满分90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案写在答题卡的相应位置上.)13. 命题“若1,x >则21x >”的否命题是______________.14. 抛物线24y ax = (a>0)的焦点坐标是_____________.15. 曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。
吉林省白城一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1 (有解析)
吉林省白城一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知命题p ：∀x 1、x 2∈R ，(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)≥0，则¬p 是( )A. ∃x 1、x 2∈R ，(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)≤0B. ∀x 1、x 2∈R ，(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)≤0C. ∃x 1、x 2∈R ，(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)<0D. ∀x 1、x 2∈R ，(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)<02. 已知双曲线x 2a−y 22=1的焦点与椭圆x 26+y 22=1的焦点相同，则双曲线的离心率为( )A. √22B. √2C. √3D. 23. 已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°，则C 的离心率为( )A. 1−√32B. 2−√3C. √3−12D. √3−14. 已知双曲线C ：x 216−y 2b2=1(b >0)的右焦点与抛物线y 2=20x 的焦点重合，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. 4x ±3y =0B. 3x ±4y =0C. 16x ±9y =0D. 9x ±16y =05. 当a <1时，f′(x)=2x −a −1且f(0)=a ，则不等式f(x)<0的解集是( )A. {x|x <a+12}B. {x|1<x <a}C. {x|x <a 或x >1}D. {x|a <x <1}6. 已知函数f(x)是可导函数，且满足x →0limf(1)−f(1−x)x=−1，则在曲线y =f(x)上的点A(1,f(1))的切线斜率是( )A. −1B. 2C. 1D. −27. 已知函数f(x)=ln(ax −1)的导函数是f′(x)，且f′(2)=2，则实数a 的值为( )A. 12B. 23 C. 34D. 18. 若0<x <π2，则xtanx >1是xsinx >1的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 曲线C:y =xlnx 在M(e,e)处的切线在x,y 轴上的截距之和为( )A. −32eB. −12eC. 12eD. 32e10. 已知双曲线x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的离心率e =2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2.若直线AB 过原点，则k 1⋅k 2的值为( )A. 2B. 3C. √3D. √611. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线与x 轴交于点A ，点P 在C 是上，若2|PA|=√7|PF|，则直线PF 的斜率为( )A. −√35或√35B. −√32或√32C. −√3或√3D. −√33或√3312. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点A(32,√32)，则双曲线C 的方程为( )A. x 2−y 23=1 B. x 22−y 26=1 C. x 23−y 2=1D. x 26−y 22=1 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 渐近线为y =±23x 且焦距为2√13的双曲线方程是______ ．14. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 236+y 227=1的两个焦点，点P 为椭圆C 上的点，|PF 1|=8，若M 为线段PF 1的中点，则线段OM 的长为______．15. 设F 1，F 2是双曲线C:x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF 1|=√6|OP |，则C 的离心率为___________．16. 设函数的图象在点(x o ,f(x 0))处的切线为l ，且l 过抛物线x 2=4y 的焦点，则x 0=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 求下列函数的导数．(1)y =e x +xlnx ； (2)y =sinx−x x．18. 设有两个命题．命题p ：不等式x 2−(a +1)x +1≤0的解集是⌀；命题q ：函数f(x)=(a +1)x在定义域内是增函数．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．19. 已知F(1,0)为一定点，P(0,b)是y 轴上的一动点，x 轴上的点M 满足PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，点N 满足2PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ． (Ⅰ)求点N 的轨迹曲线C 的方程；(Ⅱ)过直线l ：2x −y +1=0的点Q 作曲线C 的切线QA ，QB ，切点分别为A ，B ，求证：当点Q 在直线l 上运动时，直线AB 恒过定点S ．20. 已知双曲线x 29−y 216=1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，求△AFB 的面积．21. 已知椭圆C:x 23+y 2=1，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，且x 1>x 2．(Ⅰ)若A ，B 两点不关于原点对称，点D 为线段AB 的中点，求直线OD 的斜率； (Ⅱ)若存在点E(3,y 0)，使得∠EBA =∠AEB =45°，求直线AB 的方程．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−1,√22)，B(√62,12).过椭圆C的右焦点F且不与坐标轴垂直的直线l1与椭圆C交于D，E两点若点G是线段DE的中点，过点G且与直线l1垂直的直线l2交x轴于H．(1)求椭圆C的标准方程；(2)证明：|DE|=2√2|HF|．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查全称命题否定的应用，属于基础题．根据全称命题的否定是特称命题求解即可．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题求解．¬p：∃x1，x2∈R，(f(x2)−f(x1))(x2−x1)<0．故选C．2.答案：B解析：解：双曲线x2a −y22=1的焦点与椭圆x26+y22=1的焦点相同，可得6−2=a+2，解得a=2，所以双曲线的离心率为：e=ca =√2+2√2=√2．故选：B．求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，推出a，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．3.答案：D解析：【分析】本题考查了椭圆的性质及几何意义，由题意得PF2=12F1F2=c，所以PF1=√3c，根据椭圆定义，PF1+PF2=2a=√3c+c，即可得出离心率．【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得PF2=12F1F2=c，所以PF1=√3c，根据椭圆定义，PF1+PF2=2a=√3c+c，则椭圆的离心率可得e=ca =√3+1=√3−1，故选D．4.答案：B解析：解：抛物线的焦点坐标为(5,0)， 即双曲线的右焦点为(5,0)， 即c =5，则c 2=16+b 2=25， 即b 2=9， 则b =3，即双曲线的渐近线方程为y =±ba x =±34x ， 即3x ±4y =0， 故选：B求出抛物线的焦点，确定双曲线的c ，建立方程求出b 的值进行求解即可．本题考查双曲线的渐近线的求法，注意运用双曲线方程和渐近线的方程的关系，考查运算能力，属于基础题．5.答案：D解析：因为f′(x)=2x −a −1，且f(0)=a ，所以f(x)=x 2−(a +1)x +a =(x −1)(x −a)<0.因为a <1，所以f(x)<0的解集是{x|a <x <1}．6.答案：A解析： 【分析】函数f (x )是可导函数，且满足x →0limf(1)−f(1−x)x=−1，可得x →0limf(1)−f(1−x)1−(1−x)=−1，利用导数的定义，即可求得切线斜率．本题考查导数的概念与导数的几何意义，解题的关键是正确理解导数的概念． 【解答】解：∵函数f (x )是可导函数，且满足x →0limf(1)−f(1−x)x=−1，∴x →0limf(1)−f(1−x)1−(1−x)=−1，∴f′(1)=−1，∴在曲线y =f (x )上的点A(1,f (1))的切线斜率是−1． 故选A ．7.答案：B解析：解：由f(x)=ln(ax −1)可得f′(x)=aax−1， 由f′(2)=2，可得a2a−1=2，解之得a =23． 故选：B ．利用导数的运算法则即可得出．本题考查了导数的运算法则、函数求值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：B解析：解：∵0<x <π2，∴tanx >sinx >0，∴xsinx >1⇒xtanx >1， 反之不成立，取x =π3即可判断出．因此xtanx >1是xsinx >1的必要不充分条件． 故选：B ．0<x <π2，可得tanx >sinx >0，于是xsinx >1⇒xtanx >1，反之不成立，取x =π3即可判断出． 本题考查了三角函数的单调性、简易逻辑的判定，属于基础题．9.答案：B解析： 【分析】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，依题意，y ′=lnx +1，所以曲线C:y =xlnx 在M(e,e)处的切线的斜率为2，所以切线方程为y =2x −e ，从而求得切线在x,y 轴上的截距，即可求得答案，属中档题． 【解答】解：∵y ′=lnx +1，∴曲线C:y =xlnx 在M(e,e)处的切线的斜率为2， ∴切线方程为y =2x −e ，∴切线在x,y轴上的截距分别为e2,−e，∴截距之和为−e2．故选B．10.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，考查转化思想，化简得到K1⋅K2是解题的关键，属于中档题．设出M、A、B，表示出k1⋅k2，M、A、B代入双曲线方程并化简，代入双曲线的离心率乘积，求出k1⋅k2的值．【解答】解：因为过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2.若直线AB过原点，所以A、B关于原点对称，设A(p,q)，B(−p,−q)，M(s,t)，则有k1⋅k2=t−qs−p ⋅t+q s+p =t2−q2s2−p2，因为A，B，M在双曲线上，则p2a2−q2b2=1，s2a2−t2b2=1，两式相减得：p2a2−q2b2=s2a2−t2b2，即t2−q2b2=s2−p2a2，t2−q2s2−p2=b2a2，所以k1⋅k2=t2−q2s2−p2=b2a2=c2−a2a2=22−1=3．故选B．11.答案：C解析：解：如图所示，过点P作PE⊥准线，垂足为点E．则|PE|=|PF|，设：PE=n，PA=√72n，AF=p，在△APE中，∠EPA=θ，cosθ=√7，设∠PFA=α，可得：n2=p2+74n2−√7pn⋅√7，解得p=32n或p=12n；当p=32n时，74n2=n2+p2−2pncosα，可得cosα=12，直线PF的斜率为：−√3，当p=12n时，74n2=n2+p2−2pncosα，可得cosα=−12，直线PF的斜率为：√3，故选：C．如图所示，过点P作PE⊥准线，垂足为点E.利用抛物线的定义可得|PE|=|PF|.结合已知条件，利用余弦定理，转化求解即可．本题考查了抛物线的定义、三角形的边角关系、三角函数、直线的斜率等基础知识与基本技能方法，属于中档题．12.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．根据题意，先求出半焦距c，再根据渐近线过点A，得到关于a、b的另一个等式，联立求解即可．【解答】解：设M为OF的中点，依题意有，|OF|2=c2=|AM|，即c2=(c232)√32)∴c=2，又双曲线的渐近线y=ba x过点A(32,√32)，故√32=3b2a(∗)，又c2=a2+b2=4(∗∗)，联立(∗)(∗∗)解得a=√3,b=1，∴双曲线C的方程为x23−y2=1.故选C．13.答案：x29−y24=1或y24−x29=1解析：解：∵双曲线渐近线为y=±23x，∴设双曲线方程为x29−y24=λ，λ≠0，∵焦距为2√13，∴9|λ|+4|λ|=13，∴λ=±1， ∴双曲线方程为：x 29−y 24=1或y 24−x 29=1．故答案为：x 29−y 24=1或y 24−x 29=1．由已知设双曲线方程为x 29−y 24=λ，λ≠0，再由焦距为2√13，能求出双曲线方程．本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要注意双曲线性质的合理运用．14.答案：2解析：解：F 1、F 2是椭圆C ：x 236+y 227=1的两个焦点，可得F 1(−3,0)，F 2(3,0).a =6．点P 为椭圆C 上的点，|PF 1|=8，则，|PF 2|=4， M 为线段PF 1的中点，则线段OM 的长为：12|PF 2|=2． 故答案为：2．求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义转化求解即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.答案：√3解析： 【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，属于中档题．注意运用双曲线的交点到渐近线的距离为b ，再利用余弦定理求b ，c ，a 的关系． 【解答】解：由已知得|PF 2|=b,|OF 2|=c ，则|OP|=a ． 在中，，在△PF 1F 2中，=b 2+4c 2−(√6a)22b·2c=bc， 化简得b 2+4c 2−6a 2=4b 2， 则c 2=3a 2， 故e =√3． 故答案为√3．16.答案：e 32解析：【分析】本题考查曲线的切线方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 求出曲线的切线方程，代入抛物线的焦点坐标，然后求解即可． 【解答】解：函数f(x)=2lnx −x 得到f ′(x)=2x −1， 得到f ′(x 0)=2x 0−1，f(x 0)=2lnx 0−x 0，得到切线l 方程是：y −(2lnx 0−x 0)=(2x 0−1)(x −x 0)，且l 过抛物线x 2=4y 的焦点(0,1)，∴1−(2lnx 0−x 0)=(2x 0−1)(−x 0)，得到x 0=e 32， 故答案为：e 32．17.答案：解：(1)y′=(e x )′+(xlnx)′=e x +lnx +x ⋅1x =e x +lnx +1．(2)y′=(sinx −x)′x −x′(sinx −x)x2 =(cosx−1)x−sinx+xx 2=xcosx−sinxx 2．解析：本题考查了导数的运算法则，属于基础题． 根据导数的运算法则求导即可．18.答案：解：要使不等式x 2−(a +1)x +1≤0的解集是⌀，则△=(a +1)2−4<0，解得−3<a <1，即：p ：−3<a <1． 因为f(x)=(a +1)x 在定义域内是增函数， 所以a +1>1，解得a >0，即q ：a >0． 又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以p ，q 一真一假，所以解得−3<a ≤0或a ≥1． 故a 的取值范围是(−3,0]∪[1,+∞)．解析：先求出命题p ，q 为真命题时对应的等价条件，然后利用p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，确定a 的取值范围．本题主要考查复合命题的真假判断以及应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系． 19.答案：解：(Ⅰ)设M(a,0)，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−b)，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−b)， 由PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得a +b 2=0， 设N(x,y)，由点N 满足2PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .即PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 则a +x =0，y −2b =0， 即有曲线C 的方程为y 2=4x ；(Ⅱ)证明：(1)y>0时，y=2√x，y′=√x =2y，y<0时，y=−2√x，y′=√x =2y，则曲线C上除原点外任一点(x,y)处的切线的斜率均为2y，设Q(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，y1y2≠0，可得切线QA的方程为2x1−y1y+2x=0，切线QB的方程为2x2−y2y+2x=0，代入Q，可得2x1−y1y0+2x0=0，且2x2−y2y0+2x0=0，即有AB的方程为2x−yy0+2x0=0，又2x0−y0+1=0，可得2x−1+y0(1−y)=0，令2x−1=0，且1−y=0，解得x=12，y=1．即有AB恒过定点S(12,1)；(2)若切点A为原点，则Q(0,1)，设QB：y=kx+1与抛物线y2=4x相切，则k=1，切点B(1,2)，AB的方程为y=2x，也过点S(12,1)，综上可得，当点Q在直线l上运动时，直线AB恒过定点S(12,1)．解析：(Ⅰ)设M(a,0)，求得向量的坐标，运用向量的数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，化简整理即可得到所求轨迹方程；(Ⅱ)求得曲线上非原点外切线的斜率，以及切线方程，求得切点弦AB的方程，结合Q在直线l上，可得定点S的坐标；再由原点作切线QA，QB，求得AB的方程，即可判断定点S的坐标．本题考查轨迹方程的求法，同时考查向量的数量积的坐标表示和向量的共线的坐标运算，考查直线和抛物线相切的切线方程和切点弦方程的求法，以及直线恒过定点的问题，属于中档题．20.答案：解：∵a2=9，b2=16，∴c=5，∵A(3,0)，F(5,0)，不妨设BF的方程为y=43(x−5)，代入双曲线方程解得B(175,−3215)，∴SΔAFB=12|AF||y b|=12×2×3215=3215，故答案为3215．解析：根据双曲线的标准方程可求得a ，b ，c ，从而确定A ，F ，求出BF 方程，代入双曲线的标准方程从而求出B ．21.答案：解：(Ⅰ)由题意可得{x 123+y 12=1x 223+y 22=1， 两式相减得(x 1−x 2)(x 1+x 2)3+(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，故k AB =y 2−y 1x 2−x 1=−13·x 2+x1y 2+y 1=1，故k OD =y 2+y 12−0x 2+x 12−0=y 2+y 1x 2+x 1=−13．(Ⅱ)设直线AB 的方程y =x +m ．联立{x 23+y 2=1y =x +m ，解得4x 2+6xm +3m 2−3=0，令Δ=36m 2−48m 2+48>0，解得−2<m <2， 所以x 1+x 2=−32m,x 1x 2=34(m 2−1)，在△ABE 中，∠EBA =∠AEB =45°，且直线l 的倾斜角为45°， 所以BE ⊥y 轴，过A 点作BE 的垂线，则垂足F 为线段BE 的中点． 设点F 的坐标为(x F ,y F )，则x F =x 1=x 2+32，联立x 1+x 2=−32m,x 1x 2=34(m 2−1)，x 1=x 2+32，解得m =−1，而m =−1∈(−2,2)，所以直线AB 的方程为y =x −1．解析：本题考查了直线的方程与斜率，属于中等题型．(Ⅰ)由题意可得{x 123+y 12=1x 223+y 22=1，两式相减得(x 1−x 2)(x 1+x 2)3+(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，故k AB =y 2−y1x 2−x 1=−13·x 2+x 1y2+y 1=1，故k OD =y 2+y 12−0x 2+x 12−0=y 2+y1x 2+x 1=−13．(Ⅱ)设直线AB 的方程y =x +m.联立{x 23+y 2=1y =x +m ，利用韦达定理得x 1+x 2=−32m,x 1x 2=34(m 2−1)，在△ABE 中，∠EBA =∠AEB =45°，且直线l 的倾斜角为45°，则可得x 1=x 2+32，联立x 1+x 2=−32m,x 1x 2=34(m 2−1)，x 1=x 2+32，解得m =−1，验证符合题意，所以直线AB 的方程为y =x −1．22.答案：解：(1)依题意，{1a 2+12b 2=132a 2+14b2=1解得{1a 2=121b2=1， 故椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．(2)证明：设直线l 1的方程为y =k(x −1)(k ≠0)由{x 22+y 2=1y =k(x −1)，得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，Δ=16k 4−4(2k 2+1)(2k 2−2)=8(k 2+1)>0， 设D(x 1,y 1),E(x 2,y 2),G(x 0,y 0)， 那么x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，x 0=x 1+x 22=2k 22k 2+1，y 0=k(x 0−1)=−k2k 2+1，设H(p,0)，因为l 1⊥l 2故GH ⊥DE ， 所以y 0x0−p=−k 2k 2+12k 22k 2+1−p =−1k，得p =k 22k +1<1，所以|HF|=1−k 22k 2+1=k 2+12k 2+1，|DE|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)[(4k 22k 2+1)2−4(2k 2−2)2k 2+1]=2√2(1+k 2)2k 2+1， 故|DE|=2√2|HF|．解析：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的性质以及直线和椭圆的位置关系，题目综合性强，属难题． (1)将点A(−1,√22)，B(√62,12)代入x 2a 2+y 2b2=1，求出a,b 值即可；(2)设直线l 1的方程为y =k(x −1)联立椭圆方程，结合韦达定理和已知条件分别求出|DE|和|HF|的表达是从而证明|DE|=2√2|HF|．。
吉林省白城市洮北区第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
【详解】双曲线
x2 3
y2
1
的两个焦点坐标为
F1(2, 0) ，
F2 (2, 0)
设 P 的坐标为 (x, y) ，则
△ F1PF2 的面积为 3 ，
1 4 | y | 3
2
，
| y | 3
| x | 21
P( 21 3 )
2 ，代入双曲线方程解得
2 ，不妨取 2 ， 2 ，
| PF1 || PF2 |
求出异面直线 CE 与 CA 所成角的余弦值．
【详解】直三棱柱 ABC ABC 中， AC BC AA ， ACB 90 ， E 为 BB 的中点．
以 C 为原点， CA 为 x 轴， CB 为 y 轴， CC 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
设 AC BC AA 2 ，则 C(0 ，0， 0) ， E(0 ，2，1) ， C(0 ，0， 2) ， A(2 ，0， 0) ，
CE (0 ，2，1) ， CA (2 ，0， 2) ，
设异面直线 CE 与 CA 所成角为 ，
cos |CECA| 2 10
则
| CE || CA | 5 8 10 ．
10 异面直线 CE 与 CA 所成角的余弦值为 10 ．
故选： D ．
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置
B(c, b2 )
【详解】由题意可得， a ，
a，
则点
D
为
F1
A
的中点，
D(0,
b2 2a
)
，
由
BD
F1A ，得
kBD kF1A
Hale Waihona Puke 1，b2 b2 b2
2019-2020年高二上学期期中数学试卷(文科) 含解析
2019-2020年高二上学期期中数学试卷（文科）含解析一.选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）1．椭圆的离心率为（）A．B．C．2 D．42．设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=5．给出下列命题：（1）“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；（4）“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中为真命题的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（3）（4）6．已知椭圆的长轴是8，离心率是，此椭圆的标准方程为（）A．B．或C．D．或7．若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或8．设=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，0）∪（0，+∞）B．（﹣，+∞）C．[﹣，0）∪（0，+∞）D．（﹣，0）9．已知方程﹣=1表示双曲线，那么k的取值范围是（）A．k＞5 B．﹣2＜k＜2 C．k＞2或k＜﹣2 D．k＞5或﹣2＜k＜210．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．11．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A． B．6 C． D．1212．设双曲线的焦点为F1、F2，过F1作x轴的垂线与该双曲线相交，其中一个交点为M，则||=（）A．5B．4C．3D．2二.填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．命题“∃∈R，x2+2x+5=0”的否定是．14．若命题p：曲线﹣=1为双曲线，命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是．15．已知点F1（﹣4，0），F2（4，0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=4，则动点P的轨迹方程为．16．在直角三角形ABC中，∠C=，AB=2，AC=1，若=，则•=．三.解答题（本大题共6题，共70分）17．求符合下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x轴上，顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±（2）与椭圆+=1共焦点，它们的离心率之和为．18．已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，（1）（2）．19．已知点P是椭圆+=1上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形面积等于1，求点P的坐标．20．在四边形ABCD中，已知∥，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3）．（1）求用x表示y的关系式；（2）若⊥，求x、y值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点）．当|AB|=时，求实数t的值．22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．2016-2017学年内蒙古包头一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）1．椭圆的离心率为（）A．B．C．2 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆方程和椭圆基本量的平方关系，可得a=2、b=，从而算出c=1，由此即得该椭圆离心率的值．【解答】解：∵椭圆的方程为，∴a2=4，b2=3，可得c==1，因此椭圆的离心率e=，故选：B2．设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若a=1，b=﹣2，满足a＞b，但|a|＞|b|不成立，若a=﹣2，b=1，满足|a|＞|b|，但a＞b不成立，即“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D．3．已知||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵|﹣2|=，∴=，∴5=，解得=，∴向量，的夹角为．故选：C．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【考点】双曲线的简单性质．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．给出下列命题：（1）“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；（4）“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中为真命题的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（3）（4）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①写出逆命题，进行判断②写出否命题，进行判断③若m≤1，△=4﹣4m≥0，原命题为真，逆否命题也为真④若A∩B=B，则A⊆B”为假，逆否命题也为假．【解答】解：“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy=1”为真命题．（1）正确．“面积相等的三角形全等”是假命题，其否命题为真命题．（2）正确．当m≤1时，△=4﹣4m≥0，x2﹣2x+m=0有实根，命题为真，逆否命题也为真（3）正确．“若A∩B=B，则A⊆B”为假命题，逆否命题也为假．（4）错误综上所述，为真命题的是（1）（2）（3）故选C6．已知椭圆的长轴是8，离心率是，此椭圆的标准方程为（）A．B．或C．D．或【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据椭圆的基本概念，结合题意算出a=4且c=3，从而得到b2=a2﹣c2=7．再根据椭圆的焦点位置，即可确定此椭圆的标准方程．【解答】解：∵椭圆的长轴为8，离心率是，∴2a=8，e==，解得a=4，c=3，b2=a2﹣c2=7，因此，当椭圆的焦点在x轴上时，其方程为；椭圆的焦点在y轴上时，其方程为．故选：B7．若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设向量所成的角为α，则先求出的值即可求出，【解答】解：由向量、、两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°则=+++2（++）=11+2（||•||cosα+||•||cosα+||•||cosα）=11+14cosα所以当α=0°时，原式=5；当α=120°时，原式=2．故选C8．设=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A ．（﹣，0）∪（0，+∞）B ．（﹣，+∞）C ．[﹣，0）∪（0，+∞）D ．（﹣，0）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】若设θ为与的夹角，θ为锐角⇒cos θ＞0，且cos θ≠1，根据条件及两向量夹角的余弦公式即可求得λ的取值范围，并且在求时，先求它的平方． 【解答】解： =（1，2）•（1+λ，2+λ）=3λ+5，=5+6λ+2λ2，；∴设与的夹角为θ且θ为锐角，则：cos θ==＞0，且∴解得：λ，且λ≠0．∴实数λ的取值范围是．故选A ．9．已知方程﹣=1表示双曲线，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＞5B ．﹣2＜k ＜2C ．k ＞2或k ＜﹣2D ．k ＞5或﹣2＜k ＜2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程的特点可得（k ﹣5）（|k |﹣2）＞0，解之可得．【解答】解：若方程﹣=1表示的曲线为双曲线，则（k ﹣5）（|k |﹣2）＞0，解得k ＞5或﹣2＜k ＜2． 故选D ．10．设D 为△ABC 所在平面内一点，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A ．11．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆+y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．D ．12 【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长为4a=， 故选C12．设双曲线的焦点为F 1、F 2，过F 1作x 轴的垂线与该双曲线相交，其中一个交点为M ，则||=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，可求得﹣=1的左焦点F 1（﹣3，0），从而可求得||，利用双曲线的定义即可求得||．【解答】解：∵双曲线﹣=1中a 2=3，b 2=6，∴c 2=a 2+b 2=9，∴c=3，故左焦点F 1（﹣3，0）．依题意，设M （﹣3，y 0），则=﹣1=2，∴y 0=±2，故|MF 1|=2． ∵M （﹣3，y 0）为左支上的点，∴|MF2|﹣|MF1|=2，∴|MF2|=2+|MF1|=4，即||=4．故选B．二.填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．命题“∃∈R，x2+2x+5=0”的否定是∀x∈R，x2+2x+5≠0．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断．【解答】解：命题的特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，x2+2x+5≠0，故答案为：∀x∈R，x2+2x+5≠014．若命题p：曲线﹣=1为双曲线，命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，6）．【考点】复合命题的真假；双曲线的简单性质．【分析】通过p∨q为真命题，p∧q为假命题，判断两个命题的真假关系，分别求出命题是真命题时a的范围，即可求解结果．【解答】解：当p为真命题时，（a﹣2）（6﹣a）＞0，解之得2＜a＜6．当q为真命题时，4﹣a＞1，即a＜3．由p∨q为真命题，p∧q为假命题知p、q一真一假．当p真q假时，3≤a＜6．当p假q真时，a≤2．因此实数a的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，6）．故答案为：（﹣∞，2]∪[3，6）．15．已知点F1（﹣4，0），F2（4，0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=4，则动点P的轨迹方程为．【考点】轨迹方程．【分析】由条件知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，从而写出轨迹的方程即可．【解答】解：由|PF2|﹣|PF1|=4＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，得c=4，2a=4，∴a=2，∴b2=12，故动点P的轨迹方程是．故答案为16．在直角三角形ABC 中，∠C=，AB=2，AC=1，若=，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据结合图形得出==，=0， =2××COS30°，转化得出•=（）•=+求解即可．【解答】解：∵直角三角形ABC 中，∠C=，AB=2，AC=1，∴根据勾股定理得出BC=，sin ∠ABC ═=，即∠ABC=30°∵若=，∴==， =0，=2××COS30°=3∴•=（）•=+=×3=故答案为：三.解答题（本大题共6题，共70分） 17．求符合下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上，顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±（2）与椭圆+=1共焦点，它们的离心率之和为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由题意，2a=6， =，求出a ，b ，即可求出双曲线的标准方程；（2）椭圆+=1的焦点坐标为（0，±4），离心率为，可得双曲线的焦点坐标为（0，±4），离心率为2，求出a，b，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：（1）由题意，2a=6，=，∴a=3，b=1，∴双曲线的标准方程为=1；（2）椭圆+=1的焦点坐标为（0，±4），离心率为，∴双曲线的焦点坐标为（0，±4），离心率为2，∴，∴双曲线的标准方程为=1．18．已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，（1）（2）．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）由可知存在实数t，使，可得k与t的方程组，解之可得；（2）由=（）•（）=0可得关于k的方程，解之即可．【解答】解：（1）由可知存在实数t，使，即，解得，故k=时，可得；（2）由=（）•（）=0可得15+3k+（5k+9）=0，代入数据可得15×4+27k+（5k+9）×=0，解得k=﹣，故当k=﹣时，．19．已知点P是椭圆+=1上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形面积等于1，求点P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程可知： +=1，c==1，由三角的面积公式可知：S=•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，代入椭圆方程得：=1，即可求得丨x丨=，即可求得点P的坐标．【解答】解：F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，c==1，则F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x，y）是椭圆上的一点，由三角的面积公式可知：S=•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，将丨y丨=1代入椭圆方程得：=1，解得：丨x丨=，∴点P的坐标为（，1））（﹣，1）（）（，﹣1）．20．在四边形ABCD中，已知∥，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3）．（1）求用x表示y的关系式；（2）若⊥，求x、y值．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1），由，能求出y=﹣．（2）=（x+6，y+1），=（x﹣2，y﹣3），由，y=﹣，能求出x、y值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），∴…∵，∴x（﹣2+y）=y（4+x）…∴y=﹣，…（2）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），∴=（x+6，y+1），=（x﹣2，y﹣3），∵，∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0，又∵y=﹣，解得或．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点）．当|AB|=时，求实数t的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为，可求a﹣c的值，利用直线与圆相切，可得b的值，由此可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|=， +=t，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知a﹣c=﹣1；…又因为b==1，所以a2=2，b2=1．…故椭圆C的方程为+y2=1．…（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．…△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2．…x1+x2=，x1x2=．又由|AB|=，得|x1﹣x2|=，即=…可得…又由+=t，得（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），则=，=…故，即16k2=t2（1+2k2）．…得，t2=，即t=±．…22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判断出．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．【解答】解法一：（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．G，∴|GH|2==+=++．===，故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．∴，故G在以AB为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，从而==+y1y2=+=﹣+=＞0．∴＞0，又，不共线，∴∠AGB为锐角．故点G在以AB为直径的圆外．2016年12月19日。
2019-2020学年吉林省白城市第一中学高二上学期期中考试数学试题(文)
吉林省白城市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试（文）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）（A ）p ⌝：R x ∈∃,1sin ≥x (B) p ⌝：R x ∈∀,1sin ≥x (C) p ⌝：R x ∈∃,1sin >x (D) p ⌝：R x ∈∀，1sin >x2．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为（ ） A ．30x y ±= B ．20x y ±= C ．30x y ±= D ．20x y ±=3．设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36B.13C.12D.33 4．已知双曲线15422=-y x 的焦点与抛物线ax y =2的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为（ ） A ．4 B ．5 C ．25D ．255．若()224ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为（ ）A.()2+∞，B.()()102-⋃+∞，， C.()0，+∞ D.()10-，6．设()f x 存在导函数且满足()()Δx 0f 1f 12Δx lim12Δx→--=-，则曲线()y f x =上的点()()1,f 1处的切线的斜率为（ ）A.-1B.-2C.1D.27．已知函数()()+∞∈=,0,ln x x ax x f ，其中a 为实数，/()f x 为()f x 的导函数. 若/(1)3f =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．-2D ．-3 8．已知π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，:sin p x x ＜，2:sin q x x ＜，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．过曲线x y e =上一点()00,P x y 作曲线的切线，若该切线在y 轴上的截距小于0，则0x 的取值范围是（ ） A.()0,∞+B.1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.()1,+∞D.()2,+∞10．已知双曲线 141222=-y x 的右焦点F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则直线的斜率的取值范围是（ ）A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,33 B.()3,3- C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33 D.[]3,3- 11．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A B 、，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且||4AF =，则线段AB 的长为（ ）A.203 B.163C.5D. 612．已知双曲线1412:22=-y x C ，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为。
吉林省吉林市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷(理科)(I)卷
吉林省吉林市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列说法错误的是（）A . 命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B . “x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C . 若p且q为假命题，则p、q均为假命题D . 命题p：“∃x0∈R使得＋x0＋1<0”，则 p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”2. （2分）已知正方体的棱长为，，点N为的中点，则=（）A .B .C .D .3. （2分）已知A点坐标为A（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|=|PB|，则P点坐标为（）A . （6，0，0）B . （6，0，1）C . （0，0，6）D . （0，6，0）4. （2分） (2018高三上·静安期末) 已知椭圆抛物线焦点均在轴上，的中心和顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则的左焦点到的准线之间的距离为（）A .B .C . 1D . 25. （2分）(2017·南海模拟) 命题p：若a＞b，则|a|＞|b|；命题q：当a=0时，f（x）=xln（x+a）2为奇函数，则下列命题中为真命题的是（）A . （￢p）∨qB . p∨（￢q）C . p∧qD . （￢p）∧（￢q）6. （2分）如右图，在正方体OABC－O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B的中点，则点E的坐标为（）A . (2,2,1)B .C .D .7. （2分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A .B .C .D .8. （2分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，有一个平面多边形，它在xOy平面的正射影的面积为8，在yOz平面和zOx平面的正射影的面积都为6，则这个多边形的面积为（）A . 2B .C . 2D .9. （2分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），且⊥，则x=（）A . 10B .C . 3D . -10. （2分）过椭圆的右焦点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B椭圆上不同的两点A （x1 ， y1）B（x2 ， y2）满足条件：|F2A||F2B||F2C|成等差数列，则弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高二下·杭州期末) 已知等比数列的前n项和为，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分）在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则＋等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）命题“已知，如果，那么或.”是________命题.（填“真”或“假”）14. （1分） (2017高二下·盘山开学考) 已知 =（1，1）， =（4，1）， =（4，5），则与夹角的余弦值为________．15. （1分）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是________.16. （1分）在空间直角坐标系中，点在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称点的坐标是________.三、解答题． (共8题；共42分)17. （10分） (2016高二上·长春期中) 设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，．（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|= ，求椭圆C的方程．18. （5分） (2015高二上·安徽期末) 设命题p：函数的值域为R；命题q：3x﹣9x ＜a对一切实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．19. （5分）已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量=（，﹣1）（1）若，求θ的值；（2）若|2-|m恒成立，求实数m的取值范围．20. （5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1为矩形，AB=BC=1，AA1= ，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，BC⊥AB1（Ⅰ）证明：CD⊥AB1（Ⅱ）若OC= ，求BC与平面ACD所成角的正弦值．21. （10分）(2018·东北三省模拟) 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最大值．22. （1分） (2016高二上·灌云期中) 已知集合A=[2﹣a，2+a]，B=[0，5]，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．23. （1分） (2018高二上·南阳月考) 已知为椭圆上的点，O 为原点，则的取值范围是________．24. （5分） (2016高二下·金堂开学考) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD= ，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角（锐角）的余弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题． (共8题；共42分)17-1、17-2、18-1、19-1、21-1、21-2、22-1、23-1、第11 页共13 页24-1、第12 页共13 页第13 页共13 页。
吉林省白城市高二上学期期中数学试卷(理科)
吉林省白城市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一下·惠州期末) 点关于直线的对称点的坐标为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二上·德惠期中) 已知椭圆C的方程为，焦距为，直线与椭圆C相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）“ ”是“A=30°”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也必要条件4. （2分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A . 不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B . 存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C . 存在x∈R，x3﹣x2+1＞0D . 对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞05. （2分） (2016高二上·莆田期中) 命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分） (2016高二上·莆田期中) 若 =（2，﹣3，1）， =（2，0，3）， =（0，2，2），则•（ + ）=（）A . 4B . 15C . 7D . 37. （2分） (2016高二上·莆田期中) 若椭圆 =1（a＞b＞0）的离心率e= ，则双曲线=1的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·莆田期中) 若不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2﹣y2=1总有公共点，则b的取值范围是（）A .B .C . （﹣2，2）D . [﹣2，2]9. （2分） (2016高二上·莆田期中) 若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则| |的取值范围是（）A . [0，5]B . [1，5]C . （1，5）D . [1，25]10. （2分）过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，F1是另一焦点，若∠PF1Q= ，则双曲线的离心率e等于（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二上·莆田期中) 在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·莆田期中) 已知抛物线x2=y+1上一定点A（﹣1，0）和两动点P，Q，当PA⊥PQ 时，点Q的横坐标的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣3]B . [1，+∞）C . [﹣3，1]D . （﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6，则点P到抛物线焦点F的距离为________．14. （1分） (2020高一下·响水期中) 已知点A(0，2)，O(0，0)，若圆上存在点M，使，则圆心的横坐标的取值范围为________.15. （1分）设D为不等式组所表示的平面区域，则区域D上的点与点之间的距离的最小值为________．16. （1分） (2019高二下·上海月考) 双曲线的一条渐近线的方向向量，则________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）某校从高三年级期末考试的学生中抽出20名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在不同分数段的概率．18. （5分）(2020·鄂尔多斯模拟) 中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．组委会为方便游客游园，特推出“导引员”服务．“导引员”的日工资方案如下：方案：由三部分组成（表一）底薪150元工作时间6元/小时行走路程11元/公里方案：由两部分组成：（1）根据工作时间20元/小时计费；（2）行走路程不超过4公里时，按10元/公里计费；超过4公里时，超出部分按15元/公里计费．已知“导引员”每天上班8小时，由于各种因素，“导引员”每天行走的路程是一个随机变量．试运行期间，组委会对某天100名“导引员”的行走路程述行了统计，为了计算方便对日行走路程进行取整处理．例如行走1.8公里按1公里计算，行走5.7公里按5公里计算．如表所示：（表二）行走路程（公里）人数510154525（Ⅰ）分别写出两种方案的日工资（单位：元）与日行走路程（单位：公里）的函数关系（Ⅱ）①现按照分层抽样的方工式从，共抽取5人组成爱心服务队，再从这5人中抽取3人当小红帽，求小红帽中恰有1人来自的概率；②“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12公里，如果仅从日工资的角度考虑，请你帮小张选择使用哪种方案会使他的日工资更高？19. （15分） (2016高一下·抚顺期末) 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n，令平面向量，．（1）求使得事件“ ”发生的概率；（2）求使得事件“ ”发生的概率；（3）使得事件“直线与圆（x﹣3）2+y2=1相交”发生的概率．20. （10分） (2016高一下·揭西开学考) 已知动圆P：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）被y轴所截的弦长为2，被x轴分成两段弧，且弧长之比等于（其中P（a，b）为圆心，O为坐标原点）．（1）求a，b所满足的关系式；（2）点P在直线x﹣2y=0上的投影为A，求事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率的最大值．21. （5分） (2016高二上·河北期中) 若两集合A=[0，3]，B=[0，3]，分别从集合A、B中各任取一个元素m、n，即满足m∈A，n∈B，记为（m，n），（Ⅰ）若m∈Z，n∈Z，写出所有的（m，n）的取值情况，并求事件“方程所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆”的概率；（Ⅱ）求事件“方程所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长大于短轴长的倍”的概率．22. （10分）(2020·苏州模拟) 在平面直角坐标系xOy中，点P(x0 ， y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，，n∈N*．记直线APn的斜率为kn ．（1）若k1＝2，求P1的坐标；（2）若k1为偶数，求证：kn为偶数．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
吉林省白城市2020年(春秋版)数学高二上学期文数期中考试试卷(II)卷
吉林省白城市2020年（春秋版）数学高二上学期文数期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）设，则“”是“直线与直线平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （1分） (2018高二上·台州期中) 对任意的实数，直线恒过定点（）A .B .C .D .3. （1分）(2018·长宁模拟) 若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A . 与，都相交B . 与，都不相交C . 至少与，中的一条相交D . 至多与，中的一条相交4. （1分）(2013·湖北理) 一个体积为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（）A .B .C .D .5. （1分） (2019高一下·鹤岗月考) 如图,正方形的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A . 8B . 6C .D .6. （1分） (2017高一下·穆棱期末) 在平行六面体中，与异面的棱的条数是（）A . 3B . 4C . 5D . 67. （1分） (2018高二上·福州期末) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，点D1和F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1 ，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A .B .C .D .8. （1分）在梯形中，，.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A .B .C .D . 29. （1分） (2019高一下·安庆期末) 如图，在长方体中， ,而对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（）A .B .C .D .10. （1分） (2015高一上·银川期末) 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A . （x﹣1）2+（y﹣1）2=1B . （x+1）2+（y+1）2=1C . （x+1）2+（y+1）2=2D . （x﹣1）2+（y﹣1）2=211. （1分）(2017·山东模拟) 某三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则该三棱锥外接球的体积为（）A . 2πB .C . 6πD .12. （1分） (2017高二下·怀仁期末) 已知三棱柱的六个顶点都在球的球面上，且侧棱平面，若，，，则球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·万州期中) 若三点A(-2，12)，B(1，3)，C(m，-6)共线，则m的值为________．14. （1分）若一个球的表面积为36π，则它的体积为________．15. （1分）给出下列说法：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是________(填序号)．16. （1分）(2018·衡水模拟) 如图，在三棱柱中，底面，是的中点，，，过点、作截面交于点，若点恰好是的中点，则直线与所成角的余弦值为________．三、解答题 (共6题；共11分)17. （2分）光线由点P（2，3）射到直线x+y+1=0上，反射后经过点Q（1，1），求反射光线所在的直线方程．18. （1分） (2018高二上·铜梁月考) 如图所示，在边长为a正方体中，分别为棱的中点.（1）求证：点四点共面；（2）求三棱锥的体积。
吉林省白城一中高二数学上学期期中试题文
白城一中 2019—2019 学年上学期高二期中考试数学试卷 (文)考试说明 :（1）本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，满分 150 分，考试时间为 120 分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡 .第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)一、选择题：（本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，将正确答案的选项填涂在答题卡上 .）1.已知命题 P: 若“两直线没有公共点，则两直线异面 . ”则其抗命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是A.0B.1C.2D.32. “p∨q 为真”是“p为真”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件3. 以下命题错误的选项是（）A ．命题“若 m＞0，则方程 x2+x﹣m=0 有实数根”的逆否命题为：“若方程 x2+x﹣m=0 无实数根，则 m≤0”第- 1 -页/共9页．“2是”“x﹣3x+2=0”的充足不用要条件C x=1D．若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题4.已知函数 f(x) 的导函数 f ′(x)的图象如下图，则f(x) 的图象可能是()A. B.C. D.5.已知函数 f (x)x210 ，则 f ( x) 在 x3处的刹时变化率是2A. 3B. -3C. 2D. -26.设抛物线 y2 2 px 的焦点与椭圆x2y21的右焦点重合，则该抛物线204的准线方程为A．x1B．y1C．x3D．x47.函数 y x2 cos x 的导数为A．B．C．D．x2y28. 已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，△ OAF 是边长为 2 的等边三角形 (O 为原点 )，则双曲线的方程为()x2y2x2y2A. 4－12＝1B.12－4＝1x2y2C. 3－y2＝1D．x2－3＝19. f ( x)与g( x)是定义在R 上的两个可导函数，若f ( x) , g( x)知足f ' ( x) g' ( x) ,则f ( x) 与 g(x) 知足（）A f (x) 2 g( x)B f ( x)g(x) 为常数函数C f ( x)g ( x)0D f ( x)g( x) 为常数函数10. 已知双曲线x2y2 1 a 0, b 0与抛物线y28x有一个公共的焦点a2b2F ，且两曲线的一个交点为P ，若 PF 5 ，则双曲线的离心率为（）A.5B.3C.23D.2 311.过抛物线E : x2 2 py p 0 的焦点，且与其对称轴垂直的直线与 E 交于 A, B 两点，若 E 在 A, B 两点处的切线与 E 的对称轴交于点C，则ABC 外接圆的半径是（）A. 2 1 pB.pC. 2 pD. 2 p12. 已知抛物线C : y2 2 px( p 0) 的焦点为F，点 M ( x0 ,2 2)( x0p )2线 C 上一点，圆M 与线段 MF 订交于点 A，且被直线x p2是抛物截得的弦长为3MA，若MA2，则 AF（）AFA ．3B． 1C． 2D． 3 2第Ⅱ卷 (非选择题，满分90 分)二、填空题： (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .将正确答案写在答题卡的相应地点上.)13. 命题“若x1,则 x2 1 ”的否命题是______________.14.抛物线 y 4ax2(a>0)的焦点坐标是_____________.15.曲线 y x3在点 1,1 处的切线与 x 轴、直线x 2所围成的三角形的面积为 __________。
精篇32019-2020高二数学上学期期中试题 文
白城一中2018—2019学年上学期高二期中考试数学试卷(文)考试说明:（1）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案的选项填涂在答题卡上.）1. 已知命题P: “若两直线没有公共点，则两直线异面.”则其逆命题、否命题和逆否命题 中，真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 32. “p∨q 为真”是“p 为真”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列命题错误的是（ ）A ．命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x ﹣m=0无实数根，则m ≤0”B ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题C ．“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题4. 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )A. B.C. D.5. 已知函数2()10f x x =-+，则()f x 在32x =处的瞬时变化率是 A. 3 B. -3 C. 2 D. -26. 设抛物线22y px =的焦点与椭圆221204x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 A ．1x =- B ．1y =- C ．3x =- D ．4x =- 7. 函数2cos y x x =的导数为A ．B ．C ．D ．8. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝19.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ()f x =2()g xB ()f x -()g x 为常数函数C ()f x =()0g x =D ()f x +()g x 为常数函数10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为（ ）3D. 2 11.过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与其对称轴垂直的直线与E 交于,A B 两点，若E 在,A B 两点处的切线与E 的对称轴交于点C ，则ABC ∆外接圆的半径是（ ）A.)1p B. p D. 2p12. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点00()2pM x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =MA ，若2MA AF=，则AF =（ ） A ．32B ． 1C ． 2D ． 3 第Ⅱ卷(非选择题，满分90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案写在答题卡的相应位置上.)13. 命题“若1,x >则21x >”的否命题是______________.14. 抛物线24y ax = (a>0)的焦点坐标是_____________.15. 曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。
吉林省白城一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷2 (有解析)
吉林省白城一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线2x2=−y的焦点坐标是()A. (−1,0)B. (0,1)C. (−18,0) D. (0,−18)2.下列命题：(1)若“a2<b2，则a<b”的逆命题；(2)“全等三角形面积相等”的否命题；(3)“若a>1，则ax2−2ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题；(4)“若√3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”．其中正确的命题序号是()A. (3)(4)B. (1)(3)C. (1)(2)D. (2)(4)3.若直线l1，l2的方向向量分别为a⃗=(1,3,2)，b⃗ =(2,2,−4)，则()A. l1//l2B. l1⊥l2C. l1，l2相交但不垂直D. l1，l2异面但不垂直4.已知x∈R，则x2−x−2<0的一个必要不充分条件是()A. x<1B. −1<x<2C. 0<x<2D. x<35.已知抛物线C的方程为x2=12y，过点A(0,−1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A. (−∞,−1)∪(1,+∞)B. (−∞,−√22)∪(√22,+∞)C. (−∞,−2√2)∪(2√2,+∞)D. (−∞,−√2)∪(√2,+∞)6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的焦点到渐近线的距离为12a，则C的渐近线方程为()A. y=±14x B. y=±13x C. y=±12x D. y=±x7.直线y=x−1被抛物线y2=4x截得的线段AB的中点坐标是()A. (2,6)B. (3,2)C. (6,4)D. (4,6)8.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AA1=AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是()A. −√33B. −√23C. √23D. √339.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其右支上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为()A. (1,3)B. (1,3]C. (3,+∞)D. [3,+∞)10.已知F1、F2是椭圆C：x28+y24=1的两个焦点，P为椭圆C上的一点，如果△PF1F2是直角三角形，这样的点P有()个．A. 8B. 6C. 4D. 211.双曲线x23−y2=1的两焦点为F1，F2，P点在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2√5，则△PF1F2的面积为()A. 2B. 1C. 4D. 312.已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是()A. (0,√2−1)B. (√2−1,1)C. (0,√3−1)D. (√3−1,1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.P为抛物线x2=−4y上一点，A(2√2,0)，则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为______．14.已知命题p：∃x∈R，ax2+2x+1≤0是假命题，则实数a的取值范围是____．15.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则对角线AC1的长度等于________．16.设抛物线y2=4x的焦点为F，过F斜率为k(k>0)的直线与抛物线交于A、B两点，若|AF||BF|=2，则k的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p：31−a>1，q：∃x∈R，ax2+ax−1≥0，r：(a−m)(a−m−1)>0．(1)若p∧q为真，求实数a的取值范围；(2)若￢p是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．18.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的半焦距为c，点A(0,b)到渐近线的距离为12c．(1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，双曲线右支上存在一点P，使得PF1⊥PF2，求点P的坐标．19.已知点P在椭圆x216+y27=1上，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，定点M(2,1)，求|PM|+|PF1|的最大值和最小值．20.在四棱锥P−ABCD中，AB//DC，AB⊥平面PAD，PD=AD，AB=2DC，E是PB的中点．求证：(1)CE//平面PAD；(2)平面PBC⊥平面PAB．21.在平面直角坐标系xoy中，设点F(1,0)，直线l:x=−1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP,PQ⊥l．(Ⅰ)求动点Q的轨迹的方程；(Ⅱ)记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB,CD，设AB,CD的中点分别为M,N.求证：直线MN必过定点，并求出该定点坐标．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22，过点A(−m,0)、B(m,0)(m>0)分别作两平行直线l1、l2，l1与椭圆C相交于M、N两点，l2与椭圆C相交于P、Q两点，且当直线l2过右焦点和上顶点时，四边形MNQP的面积为163．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若四边形MNQP是菱形，求正数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．【解答】解：抛物线2x2=−y化为标准形式为x2=−12y，所以焦点在y轴的负半轴上，2p=12,p=14,p2=18，故焦点坐标是(0,−18)，故选D.2.答案：A解析：【分析】本题考查四种命题，考查命题真假判断，假命题列举反例，真命题给出证明，注意原命题与逆否命题的真假一致，是中档题．【解答】解：(1)若“a2<b2，则a<b”的逆命题为若“a<b，则a2<b2，为假命题，如−3<−2，而(−3)2> (−2)2；(2)“全等三角形面积相等”的否命题是“若两个三角形不全等，则面积不等”，是假命题；(3)若a>1，则△=4a2−4a(a+3)=−12a<0，∴“若a>1，则ax2−2ax+a+3>0的解集为R”为真命题，故其逆否命题为真；(4)“若√3x为有理数，则x为无理数”为真命题，因为逆否命题为“若x为有理数，则√3x为无理数”，是真命题．∴正确的命题是(3)、(4)．故选：A．3.答案：B解析：【分析】本题考查了共线向量与共面向量，属基础题．根据l1⊥l2⇔a⃗⋅b⃗ =0可得．解：∵a⃗⋅b⃗ =(1,3，2)⋅(2，2，−4)=1×2+3×2+2×(−4)=0，∴l1⊥l2．故选：B．4.答案：D解析：【分析】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断与应用，属于基础题，根据定义即可求解．【解答】解：∵p：x2−x−2<0⇒−1<x<2⇒x<3，但x<3推不出x2−x−2<0，那么命题p的一个必要不充分条件x<3，故选D．5.答案：D解析：解：如图，设过A的直线方程为y=kx−1，与抛物线方程联立得x2−1 2kx+12=0，△=14k2−2=0，k=±2√2，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点为(±√2,3)，则当过点A(0,−1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是(−∞,−√2)∪(√2,+∞)，故选D．设过A的直线方程，与抛物线方程联立，根据判别式求得k，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点，则当过点A(0,−1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，进而求得t的范围．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法6.答案：C解析：解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的焦点(c,0)到渐近线bx+ay=0的距离为12a，可得：bc√a2+b2=12a，可得ba=12，则C的渐近线方程为：y=±12x．利用双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的焦点到渐近线的距离为12a，求出a，b的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7.答案：B解析：【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系及中点坐标公式，属于基础题．把直线方程代入抛物线方程中，由根与系数的关系以及中点坐标公式得结论．【解答】解：设点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2).将y=x−1代入y2=4x，整理得x2−6x+1=0．由根与系数的关系得x1+x2=6，则x1+x22=3，y1+y22=x1+x2−22=6−22=2，所以所求点的坐标为(3,2)．故选B．8.答案：D解析：【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用，属于中档题．由AC//A1C1，知∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线A1B与AC所成角的余弦值．【解答】解：连接BC1，∵AC//A1C1，∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角(或所成角的补角)，∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=1，∴AB=√2，A1B=√3，BC1=√2，A1C1=1，∴cos∠C1A1B=2×1×√3=√33，∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为√33．9.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的性质及几何意义，属于一般题．【解答】解：由题意，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其右支上一点，且|PF1|=2|PF2|，则由双曲线定义可知|PF1|−|PF2|=|PF2|=2a，从而由|PF2|≥c−a可知2a≥c−a，解之得e≤3，又以为e>1，故选B．10.答案：B解析：解：椭圆C：x28+y24=1的a=2√2，b=2，c=√a2−b2=2，由于△PF1F2是直角三角形，则若PF1⊥F1F2，则有两个，若PF2⊥F1F2，则有两个，若PF1⊥PF2，由于b=c，以F1F2为直径的圆与椭圆交于两点，则有两个，共有6个．故选B．求出椭圆的a，b，c，再讨论直角顶点的情况即有三种，分别考虑它们，即可得到答案．本题考查椭圆的方程和性质，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．11.答案：B解析：解：不妨假设P点在双曲线的右支上，则|PF1|−|PF2|=2√3，∵|PF1|+|PF2|=2√5，∴|PF1|=√3+√5，|PF2|=√5−√3，∵|F1F2|=4，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|=1故选B．不妨假设P点在双曲线的右支上，利用双曲线的定义及|PF1|+|PF2|=2√5，求得|PF1|、|PF2|，从而可求△PF1F2的面积则△PF1F2的面积．本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．12.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的几何性质，由题意解出点A，B的坐标，从而求出b2a2c<1，从而求出该椭圆离心率．【解答】解：把x=−c代入椭圆方程得，c2a2+y2b2=1，所以y=±b2a，故A(−c,b2a )，B(−c,−b2a)，故由△ABF2是锐角三角形知，b2a2c<1，故a2−c22ac<1，即e2+2e−1>0；故√2−1<e<1．故选B．13.答案：3解析：解：因为P为抛物线x2=−4y上一点，A(2√2,0)在抛物线的外侧，由抛物线的定义可得：P 到准线的距离d等于到焦点的距离，则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和为：d+ |PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=3，所求的最小值为3．故答案为：3．利用抛物线的定义结合不等式求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．14.答案：a>1解析：【分析】本题考查一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属中档题．将条件转化为ax 2+2x +1>0恒成立，检验a =0是否满足条件，当a ≠0时，必须 {a >0△=4−4a <0，从而解出实数a 的取值范围．【解答】解：命题p ：∃x ∈R ，ax 2+2x +1≤0是假命题，即“ax 2+2x +1>0“是真命题①．当a =0时，①不成立，当a ≠0时，要使①成立，必须 {a >0△=4−4a <0，解得a >1， 故实数a 的取值范围为a >1．故答案为：a >1．15.答案：√85解析：【分析】本题考查向量的数量积、向量的模及向量的运算，根据题意可得AC 1→2=(AB →+AD →+AA 1→)2=AB →2+AD →2+AA 1→2+2AB →·AD →+2AB →·AA 1→+2AD →·AA 1→，进而即可求得结果． 【解答】解：AC 1→2=(AB →+AD →+AA 1→)2=AB →2+AD →2+AA 1→2+2AB →·AD →+2AB →·AA 1→+2AD →·AA 1→=16+9+25+2×4×3×cos 90°+2×4×5×cos 60°+2×3×5×cos 60°=50+20+15=85，因此|AC 1→|=√85．故答案为√8516.答案：2√2解析：解：由y 2=4x ，得F(1,0)，设AB 所在直线方程为y =k(x −1)，联立y 2=4x ，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，若|AF||BF|=2，则|AF|=2|BF|，解方程得：x1=k2+2k2+2√k2+1k2，x2=k2+2k2−2√k2+1k2，∴x1+1=2(x2+1)，即x1=2x2+1，∴k2+2k2+2√k2+1k2=2×k2+2k2−2×2√k2+1k2+1，解得：k=2√2，k=−2√2(舍去)．故答案为：2√2由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，求出A，B的横坐标，由|AF|=2|BF|得到x1= 2x2+1，代入A，B的坐标得答案．本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．17.答案：解：(1)p为真时：由31−a>1解得−2<a<1，q为真时，当a>0，一定存在ax2+ax−1≥0，当a<0，△=a2+4a≥0，解得a≤−4，故q为真时，实数a的取值范围为a>0或a≤−4，∵p∧q为真，则p，q均为真，∴a的取值范围为(0,1)；(2)关于r：(a−m)(a−m−1)>0，解得：a>m+1或a<m，若￢p是￢r的必要不充分条件，即r是p的必要不充分条件，即p⇒r，∴m+1≤−2或m⩾1，即m≤−3或m⩾1，故m的取值范围为(−∞,−3]∪[1,+∞)．解析：本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道中档题．分别求出p，q，r为真时的a的范围，(1)p∧q为真，则p，q均为真，得到关于a的不等式组，解出即可；(2)问题转化为r是p的必要不充分条件，得到关于m的不等式，解出即可．18.答案：解：(1)双曲线的渐近线方程为y=±bax，化简得bx±ay=0，由A(0,b)到渐近线的距离为12c，得22=12c，将b=√c2−a2代入，得(c2a2)2−4c2a2+4=0，令c2a2=x，则x2−4x+4=0，解得x=2，∵e =c a ，∴双曲线的离心率为√2； (2)由(1)可得c a =√2，又∵双曲线的焦距为4，∴c =2，a =√2，∵a 2+b 2=c 2，∴b 2=c 2−a 2=2，∴双曲线方程为x 2−y 2=2，设点P 的坐标为(x 0,y 0)，∵PF 1⊥PF 2，∴x 02+y 02=4，又∵点P 在双曲线上，∴x 02−y 02=2，联立方程组{x 02+y 02=4x 02−y 02=2, 解得{x 0=√3y 0=1，或{x 0=√3y 0=−1，或{x 0=−√3y 0=1,(舍去)或{x 0=−√3y 0=−1,(舍去)， 综上，可得点P 的坐标为(√3,1)或(√3,−1)．解析：本题考查双曲线的性质及几何意义，求双曲线上满足条件的点，考查运算化简的能力，属于中档题．(1)由点A(0,b)到渐近线的距离为12c ，建立方程解得即可；(2)由(1)及焦距为4，求得双曲线方程，设点P 的坐标为(x 0,y 0)，再由双曲线右支上存在一点P ，使得PF 1⊥PF 2，得方程组{x 02+y 02=4x 02−y 02=2，解得． 19.答案：解：连结PF 2、MF 2，如图，则|PF 1|+|PF 2|=8，|MF 2|=√(3−2)2+(1−0)2=√2， ∵|PM|≥|PF 2|−|MF 2|，∴|PM|+|PF 1|≥|PF 2|−|MF 2|+|PF 1|≥8−√2，∵|PM|≤|PF 2|+|MF 2|，∴|PM|+|PF 1|≤|PF 2|+|MF 2|+|PF 1|≤8+√2，∴|PM|+|PF 1|的最大值和最小值分别为8+√2,8−√2．解析：通过连结PF2、|MF2|，利用椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=8，通过两点间距离公式计算可知|MF2|=√2，利用|PM|≥|PF2|−|MF2|、|PM|≤|PF2|+|MF2|计算即得结论．20.答案：证明：(1)取PA的中点F，连EF，DF．AB．因为E是PB的中点，所以EF//AB，且EF=12因为AB//CD，AB=2DC，所以EF//CD，EF=CD，所以四边形DCEF是平行四边形，从而CE//DF，而CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，故CE//平面PAD．(2)因为PD=AD，且F是PA的中点，所以DF⊥PA．因为AB⊥平面PAD，DF⊂平面PAD，所以DF⊥AB．因为CE//DF，所以CE⊥PA，CE⊥AB．因为PA，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，所以CE⊥平面PAB．因为CE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．解析：(1)取PA的中点F，连EF，DF，由已知条件推导出四边形DCEF是平行四边形，由此能证明CE//平面PAD．(2)由已知条件推导出DF⊥PA，DF⊥AB，进而能求出CE⊥平面PAB.由此能证明平面PBC⊥平面PAB．本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.答案：解：(Ⅰ)依题意知，直线l的方程为：x=−1，设直线l与x轴交于点K(−1,0)，由OK平行于直线l可得，OR是△FPK的中位线，故点R是线段FP的中点．又RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∴|PQ|是点Q到直线l的距离．∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴|PQ|=|QF|．故动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：y2=4x(x>0)．(Ⅱ)设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，M(x M ,y M )，N(x N ,y N )，直线AB 的方程为y =k(x −1)则{y A 2=4x A (1)y B 2=4x B (2)， (1)−(2)得y A +y B =4k ，即y M =2k ，代入方程y =k(x −1)，解得x M =2k 2+1.所以点M 的坐标为(2k 2+1 , 2k )．同理可得：N 的坐标为(2k 2+1,−2k).直线MN 的斜率为k MN =y M −y N x M −x N =k1−k 2， 方程为；y +2k =k1−k (x −2k 2−1)，整理得y(1−k 2)=k(x −3)，显然，不论k 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 恒过定点R(3,0)．解析：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，直线过定点问题，属于难题．(1)由已知条件知，点R 是线段FP 的中点，RQ 是线段FP 的垂直平分线，点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，写出抛物线标准方程．(2)设出直线AB 的方程，把A 、B 坐标代入抛物线方程，再利用中点公式求出点M 的坐标，同理可得N 的坐标，求出直线MN 的斜率，得到直线MN 的方程并化简，可看出直线MN 过定点． 22.答案：解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22， ∴a 2=2b 2=2c 2，椭圆方程可以化为x 2+2y 2=2c 2，直线l 2过右焦点和上顶点时，方程可以设为y =−x +c ，联立{x 2+2y 2=2c 2y =−x +c，得：3x 2−4cx =0，∴x Q =43c ， ∴四边形MNQP 的面积为S =2c ⋅43c =163，解得c 2=2， ∴a 2=4，b 2=2，∴椭圆方程为：x 24+y 22=1．(2)依题意可以分别设l 1，l 2的方程为：x =ky −m ，x =ky +m ，由椭圆的对称性得：|MN|=|PQ|，∴MNQP 是平行四边形，MNQP 是菱形，等价于MQ ⊥NP ，即OM ⊥ON ，将直线l 1的方程代入椭圆方程得到：(k 2+2)y 2−2kmy +m 2−4=0，由△>0，得4k 2m 2−4(k 2+2)(m 2−4)>0，∴m 2<2k 2+4，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，y1+y2=2kmk2+2,y1y2=m2−4k2+2，由OM⊥ON，得x1x2+y1y2=0，得到：(ky1−m)(ky2−m)+y1y2=0，∴(k2+1)y1y2−km(y1+y2)+m2=0，从而：(k2+1)⋅m2−4k2+2−2k2m2k2+2+m2=0，化简得：3m2=4k2+4，∴{3m2≥4m2<32m2+2m>0，解得m≥2√33，∴正数m的取值范围是[2√33,+∞)．解析：本题考查椭圆方程的求法，考查正数的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程的斜率、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)由椭圆C的离心率e=√22，把椭圆方程可以化为x2+2y2=2c2，直线l2过右焦点和上顶点时，方程可以设为y=−x+c，联立方程组得：3x2−4cx=0，从而x Q=43c，进而四边形MNQP的面积为S=2c⋅43c=163，解得c2=2，由此能求出椭圆方程．(2)依题意可以分别设l1，l2的方程为：y=ky−m，x=ky+m，由椭圆的对称性得：|MN|=|PQ|，从而MNQP是平行四边形，MNQP是菱形，等价于MQ⊥NP，即OM⊥ON，将直线l1的方程代入椭圆方程得到：(k2+2)y2−2kmy+m2−4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线与直线垂直性质，结合已知条件能求出正数m的取值范围．。
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高二期中考试数学试卷(文)第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、单项选择题：（本大题共10题，每小题6分，共60分）1. 已知命题P: “若两直线没有公共点，则两直线异面.”则其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 32. “p∨q 为真”是“p 为真”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列命题错误的是（ ）A ．命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x ﹣m=0无实数根，则m ≤0”B ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题C ．“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题4. 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )A. B.C. D.5. 已知函数2()10f x x =-+，则()f x 在32x =处的瞬时变化率是 A. 3 B. -3 C. 2 D. -26. 设抛物线22y px =的焦点与椭圆221204x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 A ．1x =- B ．1y =- C ．3x =- D ．4x =- 7. 函数2cos y x x =的导数为 A ． B ．C ．D ．8. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝19.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ()f x =2()g xB ()f x -()g x 为常数函数C ()f x =()0g x =D ()f x +()g x 为常数函数10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为（ ）D. 2 第Ⅱ卷(非选择题，满分90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案写在答题卡的相应位置上.) 11. 命题“若1,x >则21x >”的否命题是______________. 12. 抛物线24y ax = (a>0)的焦点坐标是_____________.13. 曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。
14. 已知双曲线C 1：x 24－y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的相应位置.）15．（本题满分10分）设p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a ≠，q :实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩(1)若1,a =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围. (2)若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.16．（本题满分12分）已知K R ∈,命题p:直线(k-1)x-ky+1=0的倾斜角为锐角，命题q:方程2212x y k +=表示焦点在x 轴上的椭圆. (1)若p.q 均为真命题，求k 的取值范围; (2)若()p q ⌝∨为假命题，求k 的取值范围.17．（本题满分12分）求曲线33y x x =-上过点()2,2A -的切线方程．18．（本题满分12分）已知直线2y =-上有一个动点Q ,过点Q 作直线1l 垂直于x 轴,动点P 在1l 上,且满足OP OQ ⊥(O 为坐标原点),记点P 的轨迹为C .（1）求曲线C 的方程;（2）若直线2l 是曲线C 的一条切线, 当点()0,2到直线2l 的距离最短时,求直线2l 的方程.19．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,3)A ，且离心率12e =。
(1)求椭圆C 的标准方程。
(2)是否存在过点(0,4)B -的直线l 交椭圆与不同的两点,M N ，且满足167OM ON =(其中O 为坐标原点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
20．（本题满分12分）已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线2y =的焦点，离心率是3． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(1,0)C -，斜率为k 的动直线与椭圆E 相交于A 、B 两点， 请问x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅为常数？若存在， 求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．数学 参考答案一、选择题：1—5 CBDDB 6--10 DADBD 二、填空题：11.若1x ≤则21x ≤ 12. 1(0,)16a 13.8314.16 三、解答题：15. (本小题满分10分 (1)(2)试题解析：由得,又,所以,当时,1<,即为真时实数的取值范围是1<. 由,得,即 1 为真时实数的取值范围是.若为真,则真且1 真,所以实数的取值范围是.(Ⅱ)是的充分不必要条件,即,且,设A=,B=,则,又A==,B==},则0<,且所以实数的取值范围是16．(本小题满分12分)解：(1)假设p 为真命题，则有:10k k->，设其范围为(,0)(1,+)A =-∞⋃∞， 假设q 为真命题，则有:2k >，设其范围为()2,B =+∞，若p 、q 均为真命题，则k 的范围为:(2,+)A B ⋂=∞ ………………6分(2)()P q ⌝∨为假命题，等价于p 真q 假，则k 的范围为：()(],01,2R A C B ⋂=-∞⋃ ………………12分 17．(本小题满分12分)解：f′（x ）=﹣3x 2+3.设切线的斜率为k ，切点是（x 0，y 0），则有y 0=3x 0﹣x 03，k=f′（x 0）=﹣3x 02+3，∴切线方程是y ﹣（3x 0﹣x 03）=（﹣3x 02+3）（x ﹣x 0），……6分A （2，﹣2）代入可得﹣2﹣（3x 0﹣x 03）=（﹣3x 02+3）（2﹣x 0）， ∴x 03﹣3x 02+4=0 解得x 0=﹣1，或x 0=2， k=0，或k=﹣9.∴所求曲线的切线方程为：2y =-和9160x y +-=，……12分 18.(本小题满分12分)解：(1) 解:设点P 的坐标为(),x y ,则点Q 的坐标为(),2x -. ∵OP OQ ⊥,∴1OP OQ k k =-. 当0x ≠时,得21y x x-=-,化简得22x y =. 当0x =时, P 、O 、Q 三点共线,不符合题意,故0x ≠. ∴曲线C 的方程为22x y =()0x ≠.(2) 解法1:∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴直线2l 的斜率存在.设直线2l 的方程为y kx b =+,由2,2,y kx b x y =+⎧⎨=⎩ 得2220x kx b --=. ∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴2480k b ∆=+=,即22k b =-.点()0,2到直线2l 的距离d =22121k=+12⎫= 213121k ≥⨯+==即k =,等号成立.此时1b =-.∴直线2l10y --=10y ++=. 解法2:由22x y =,得'y x =,∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ,其中21112y x =, 则直线2l 的方程为:()111y y x x x -=-,化简得211102x x y x --=. 点()0,2到直线2l 的距离d =2121121x =+ 12⎫=2113121x ≥⨯+==即1x =,等号成立.∴直线2l10y --=10y ++=. 19.(本小题满分12分)20.(本小题满分12分)（1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，且a c ea ====又b =故 ==221,553x y +=即2235x y +=．（2）假设存在点M 符合题意，设AB ：(1),y k x =+代入22:35E x y +=得：2222(31)6350k x k x k +++-=1122(,),(,),(,0)A x y B x y M m ,则22121222635,3131k k x x x x k k -+=-=++22221211(1)()()MA MB k x x k m x x k m ⋅=++-+++221614233(31)m m m k +=+--+ 要使上式与K 无关，则有6140,m +=，解得73m =-，存在点7(,0)3M -满足题意．。