高三数学一轮复习学案：函数的奇偶性与周期性

高三数学一轮复习学案：函数的奇偶性与周期性

一、考试要求： 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；

2、会运用定义判断函数的奇偶性，能利用奇偶性解决问题。

3、会求简单函数的最小正周期。

二、知识梳理：

1、函数的奇偶性定义：

（1）一个函数具备奇偶性需同时具备两个条件：①定义域关于原点对称；②()()f x f x -=-（或()()f x f x -=）是定义域内的恒等式。

（2）定义的等价变形形式：①奇函数定义的等价变形：())()0;1(()0)()

f x f x f x f x f x -+==-≠（-； ②偶函数定义的等价变形：())()0;1(()0);()()()

f x f x f x f x f x f x f x --==≠=（-。 1、奇（偶）函数的图像特点：

2、函数奇偶性的判断方法：

3、函数的周期性：

⑴定义：

(2)周期函数的定义域应具备特点：___________________________________。

(3)如果函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a ≠0)，则函数f(x)的周期为____________。

(4)如果函数f(x)满足1()()

f x a f x += (a ≠0)，则函数f(x)的周期为____________。 (5)如果函数f(x)满足()(),())f a x f a x f b x f b x +=--=+（

(a ≠0，b ≠0,a ≠b)，则函数f(x)的周期为________（6）如果函数f(x)满足()(),())f a x f a x f b x f b x +=---=-+（

(a ≠0，b ≠0,a ≠b)，则函数f(x)的周期为________（7）如果函数f(x)满足()(),()f a x f a x f b x f b x +=--=-+（ (a ≠0，b ≠0，a ≠b)，则函数f(x)的周期为____________。

三、基础检测：

1.已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足)1,0(2)()(≠>+-=+-a a a a x g x f x x 且，

若g(2)=a,则f(2)= ( ) A. 2 B.

4

15 C.417 D.2a 2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x

--<的解集为（ ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，， C ．(1)(1)-∞-+∞，， D ．(10)(01)-，

， 3.设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )

A. 是偶函数)()(x g x f +

B. 是奇函数)(-)(x g x f

C. 是偶函数)()(x g x f +

D. 是奇函数)()(x g x f -

4.对于函数c bx x a x f ++=sin )(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组值计算f(1)和f(-1)，所得出的正确结果一定不可能是 A. 4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2

5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是 ( ) A.x

y 1ln = B.3x y = C.x y 2= D.x y cos = 6. 设f （x ）为定义在R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=

7、设f （x ）为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，为常数）b b x x f x (22)(++=则f(-1)=

8.若函数a x x x +-=2(f ）为偶函数，则实数a=__________

9.设函数))(()(R x ae e x x f x x ∈+=是偶函数，则实数a 的值为_____________

10.定义在R 上的单调函数f(x)满足当0x >时()0f x >且对任意x ，y ∈R 都有

f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．

11.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有)()2(x f x f -=+，当[]2,0∈x 时，22)(x x x f -= （1）求证：)(x f 是周期函数（2）当[]4,2∈x 时，求)(x f 的解析式

（3）计算：)2004

()2()1()0(f f f f ++++