传递函数以及系统方块图

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系统函数方块图及其简化
方块图：系统中各个元件功能和信号流向的图 解表示。 它清楚地表明系统中各个环节间的相互关系， 便于对系统进行分析和研究。
1. 方块图单元：
X i (s )
G (s )
X o (s )
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2.比较点
X 1 ( s)
+
E ( s) X 1 ( s) X 2 ( s)
-
X 2 ( s)
比较点代表系统的比较元件，对两个或更多的同量纲 输入信号进行加减运算。箭头上的符号标明对信号进 行的运算。
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3.引出点
X 1 ( s)
X 2 ( s)
同一位置引出的各个信号输出完全相同。
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4. 串联
X i (s )
G1 ( s )
X 1 ( s)
X 2 ( s)
G2 ( s )
X o (s )
G(s)H(s)为闭环系统的开环传递函数。
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（2）正反馈
X i (s )
+
E (s )
G (s )
X o (s ) X i (s )
+
B(s ) H (s )
G( s) 1－G ( s ) H ( s )
X o (s )
注意分母上的加减号与系统方块图上的加减号
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7. 方块图变换法则 有些系统的方块图比较复杂，求系统传递函数比较 困难，因此需对其进行变换，在其基础上进行简化，最 后求得传递函数。
G2 ( s )
G1 ( s )
G3 ( s )G4 ( s ) 1 G3 ( s )G4 ( s )G6 ( s )
X o (s )
G7 ( s )
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（III）
X i (s ) +
_
G5 ( s )
+
1 G4 ( s )
G2 ( s )
G1 ( s )
G3 ( s )G4 ( s ) 1 G3 ( s )G4 ( s )G6 ( s )
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传递函数是分析线性定常系统的有力数学工具， 它具有如下优点： （1）它比微分方程简单，通过拉氏变换，复杂的 微分方程转变成了简单的代数方程； （2）若系统输入为典型信号，则系统的输出与传 递函数有一定关系； （3）令G(s)中的 s j ，则可在频域内对系统 进行分析； （4）G(s)中的零点、极点分布决定着系统的响应 过渡过程。
xo (t ) xi (t )
G ( s ) e s
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总结
比例 环节 一阶惯性 环节 理想微 分环节 近似微分环 节 积分环 节 二阶振荡环节 延迟环 节
1 1 k G( s) 2 2 kTs G( s ) k G( s ) G( s) ks G( s) G( s) T s 2Ts 1 G ( s ) e s Ts 1 2 s Ts 1 n G( s) 2 2 s 2 n s n
五. 二阶振荡环节
传递函数
T xo (t ) 2T xo (t ) xo (t ) xi (t )
2


G( s)
1 (0 1) 2 2 T s 2Ts 1
2 n G( s) 2 2 s 2 n s n
1 （n ） T
六. 延迟环节 传递函数
ao x (t ) a1 x
(n) o ( n 1) o
(t ) a n 1 xo(t ) a n xo (t )


nm
bo xi( m ) (t ) b1 xi( m1) (t ) bm1 xi (t ) bm xi (t )
X o ( s ) b0 s m b1s m 1 bm 1s bm 传递函数为： G ( s ) X i ( s ) a0 s n a1s n 1 an 1s an
a0 y ( n ) (t ) a1 y ( n1) (t ) an1 y (t ) an y (t )
b0u ( m) (t ) b1u ( m1) (t ) bn1u (t ) bnu (t ) (其中，n≥m)
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拉普拉斯变换
X (s) L x(t ) x(t )e st dt
0
式中，称 X(s) 为象函数，x(t) 为原函数。 s 为复变数，其量纲为时间的倒数，即频率。 象函数 X(s) 的量纲为 x(t) 的量纲与时间量纲 的乘积。
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传递函数
传递函数： 在拉氏变换的基础上，以系统本身的参数描述线 性定常系统输入量与输出量的关系式。 线性定常系统： 可以用常系数线性微分方程描述的系统。 在零起始条件下，线性定常系统输出量的象函数 Xo(s)与输入量的象函数Xi(s)之比，称为系统的传递 函数G(s)，即
传递函数以及系统方块图
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控制系统的微分方程
对一个控制系统，需要将其信号传递过程中的动态 特性用数学表达式描述出来，得到其数学模型。工程上 最基本的数学模型是微分方程，它是列写传递函数的基 础。 本节应用解析法来建立系统的数学模型。 解析法是根据系统及元件各变量之间所遵循的基本 物理、化学等定律，列写出各元件或环节的输入—输出 关系式，然后消去中间变量，从中求出系统的数学表达 式，该表达式变量为系统的输入、输出量，系数为系统 的已知参量。
…
X n1 ( s )
X o (s )
Gn (s )
X i (s )
G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s) Gn ( s)
X o (s )
环节串联即将各串联环节传递函数相乘
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5. 并联
G1 ( s )
X i (s )
G2 ( s )
… … ...
+ +
X o (s )
+
Gn (s )
X i (s )
方法1： （I）
X i (s )
G5 ( s )
+ _
G1 ( s )
+
G2 ( s )
+ _
G3 ( s )
A G ( s) 4
G6 ( s )
X o (s )
G7 ( s )
G5 ( s ) X i (s ) +
1 G4 ( s )
G1 ( s )
+
-
G2 ( s )
+ _
G3 ( s )
G4 ( s )
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方法2： 百度文库I）
X i (s )
G5 ( s )
+ _
G1 ( s )
+
G2 ( s )
+ _
G3 ( s )
A G ( s) 4
G6 ( s )
X o (s )
G7 ( s )
G5 ( s ) X i (s ) +
_
+
G2 ( s )
G1 ( s )
+ _
G3 ( s )
G4 ( s )
X o (s )
利用拉氏变换，可将微分方程转换为代 数方程，大大简化方程求解，故拉氏变换成 为分析工程控制系统的基本数学之一。 拉氏变换： （1）微分方程转化为代数方程 （2）时域转化为频域 （3）可逆性
5
拉氏变换的定义
对于函数 x(t) ，如果满足下列条件： 1. 当 t<0 时，x(t) = 0； 当 t>0 时，x(t) 在每个有限区间上是分段连续的 2. x(t) 为指数级函数 则可定义 x(t) 的拉氏变换 X(s)：
2
例
无源电路网络
根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有： i1 (t ) i2 (t ) i (t ) u (t ) u (t ) R i (t ) o 1 2 i 1 C i1 (t ) dt R1i2 (t ) uo (t ) R2i (t )
变换法则： （1）各前向通路传递函数的乘积不变； （2）各回路传递函数的乘积不变。
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8. 方块图简化 例：化简方块图并求传递函数
G5 ( s ) X i (s )
+ _ +
G2 ( s )
+ _
G1 ( s )
G3 ( s )
A G ( s) 4
G6 ( s )
X o (s )
G7 ( s )
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零点：传递函数分子为零时的 s 值 极点：传递函数分母为零时的 s 值
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s2 1 如对G ( s) 2 , 其零点为s j或s=-j,极点为s=0或s=2 s 2s
典型环节的传递函数 xo (t ) kxi (t ) 一. 比例环节
传递函数
G( s ) k

二. 一阶惯性环节 T xo (t ) xo (t ) xi (t ) 传递函数
X o (s )
G7 ( s )
X i (s ) +
_
G1 ( s )
G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s ) 1 G2 ( s )G3 ( s )G5 ( s ) G3 ( s )G4 ( s )G6 ( s )
X o (s )
G7 ( s )
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（IV）
X i (s ) +
_
G1 ( s )
C i1 (t )
u i (t )
R1
i2 (t )
uo (t )
i(t )
R2
由以上环节微分方程，消去中间变量（三个电流量），得： du (t ) du (t ) u (t ) uo (t ) uo (t ) C i o i dt R1 R2 dt
整理得 R1C
X o (s )
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X i (s )
G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s ) 1 G2 ( s )G3 ( s )G5 ( s ) G3 ( s )G4 ( s )G6 ( s ) G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s )G7 ( s )
G( s) 1 Ts 1
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三. 微分环节 1. 理想微分环节 传递函数
xo (t ) k xi (t )
G( s) ks
kTs G( s) Ts 1

2. 近似微分环节传递函数 四.积分环节 传递函数
xo (t ) k xi (t )dt
G( s) k s
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X o (s )
系统传递函数为：
G( s) G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s ) 1 G3 ( s )G4 ( s )G6 ( s ) G2 ( s )G3 ( s )G5 ( s ) G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s )G7 ( s )
X o (s )
_
G6 ( s ) G7 ( s )
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（II）
X i (s ) +
_
G5 ( s )
+
1 G4 ( s )
G2 ( s )
G1 ( s )
+
_
G3 ( s )
G4 ( s )
X o (s )
G6 ( s )
G7 ( s )
G5 ( s )
X i (s ) +
_
+
1 G4 ( s )
G1 ( s) G2 ( s) G3 ( s) Gn ( s)
X o (s )
环节并联即将各并联环节传递函数相加
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6. 反馈 （1）负反馈
X i (s )
+
E (s )
G (s )
X o (s )
B(s ) H (s )
X i (s )
G( s) 1 G( s) H ( s)
G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s ) 1 G2 ( s )G3 ( s )G5 ( s ) G3 ( s )G4 ( s )G6 ( s )
X o (s )
G7 ( s )
X i (s )
G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s ) 1 G2 ( s )G3 ( s )G5 ( s ) G3 ( s )G4 ( s )G6 ( s ) G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s )G7 ( s )
X o ( s) G( s) X i ( s)
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传递函数的性质：
（1）表达了系统内在的固有特性，与输入量或驱 动函数无关； （2）可以是有量纲的，也可以无量纲，取决于系 统输入量、输出量的量纲； （3）不能表明系统的物理特性和物理结构，许多 物理性质不同的系统，有相同的传递函数。
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线性定常系统的微分方程为：
duo (t ) R1 R2 du (t ) uo (t ) R1C i ui (t ) dt R2 dt
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写系统微分方程的一般步骤：
1. 将系统划分环节，确定各环节的输入、输出量； 2. 根据物理定律或实验规律等，列写各环节的原始 方程式，通常每 环节列写一个方程。同时，考虑适当简化、线 性化； 3. 将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出 只含输入、输出变量和已知参量的系统方程式； 4. 对于单输入、单输出系统，微分方程一般形式为：
G6 ( s )
G7 ( s )