浙江数学学考试卷和答案
浙江学考数学试题及答案
浙江学考数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填入题后的括号内。
）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 若a，b，c为实数，且a + b + c = 1，求下列哪个表达式的值恒为正？A. ab + bc + acB. a^2 + b^2 + c^2C. (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2D. a^3 + b^3 + c^3 - 3abc（以下选择题依此类推，共10题）二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
请将答案直接填写在题后的横线上。
）1. 若函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值为______。
2. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值为______。
（以下填空题依此类推，共5题）三、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分。
请在答题卡上作答，并写出必要的计算步骤。
）1. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。
2. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2 + b^2 =c^2，求证三角形ABC为直角三角形。
3. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 100 + 50x，销售价格为P(x) = 200 - 2x，其中x为生产数量。
求该工厂的最优生产数量，使得利润最大化。
四、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分。
请在答题卡上作答，并写出证明过程。
）1. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。
2. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则至少存在一点c ∈ (a, b)，使得f(c) = 0。
（以下为参考答案部分）一、选择题答案：1. C2. C （以下答案依此类推，共10题）二、填空题答案：1. 72. 37 （以下答案依此类推，共5题）三、解答题答案：1. 解：当x ≥ 3时，不等式化为x - 1 + x - 3 ≥ 5，解得x ≥ 5；当1 ≤ x < 3时，不等式化为x - 1 + 3 - x ≥ 5，此时不等式无解；当x < 1时，不等式化为1 - x + 3 - x ≥ 5，解得x ≤ -1/2。
浙江省普通高校招生学考数学试卷解析版
普通高校招生学考数学试卷一、选择题（本大题共18小题，共54.0分）1.函数y=log3（x-2）的定义域为（）A. {x|x＞2}B. {x|x＞0}C. {x|x＜2}D. R2.直线y=-2x+6的斜率为（）A. 2B. -2C.D.3.下列点中，在不等式3x+2y-6＞0表示的平面区域内的是（）A. （0，0）B. （1，0）C. （1，1）D. （1，2）4.设{a n}为等差数列，若a2=2，a3=3，则a5=（）A. 4B. 5C. 6D. 75.若α为锐角，，则cosα=（）A. B. C. D.6.椭圆右焦点的坐标为（）A. （1，0）B. （，0）C. （，0）D. （2，0）7.已知函数f（x）=-x3，则（）A. f（x）是偶函数，且在（-∞，+∞）上是增函数B. f（x）是偶函数，且在（-∞，+∞）上是减函数C. f（x）是奇函数，且在（-∞，+∞）上是增函数D. f（x）是奇函数，且在（-∞，+∞）上是减函数8.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且PD=DB．若M为线段PB的中点，则直线DM与平面ABCD所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9.若向量=（x，4）与=（2，1）垂直，则实数x的值为（）A. 2B. -2C. 8D. -810.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=1，A=30°，B=45°，则b的值为（）A. B. C. D. 211.已知m，n是空间两条直线，α是一个平面，则“m⊥α，n⊥α”是“m∥n”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12.若双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（）A. B. 1 C. D. 213.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B. 2πC.D.14.已知函数f（x）=，若f（x）=4，则x的值为（）A. 2或-2B. 2或3C. 3D. 515.设{a n}为等比数列，给出四个数列：①{2a n}；②{a n2}；③；④{log2|a n|}，其中一定为等比数列的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④16.函数f（x）=（3ax-b）2的图象如图所示，则（）A. a＞0且b＞1B. a＞0且0＜b＜1C. a＜0且b＞1D. a＜0且0＜b＜117.已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足a+b＞c+d，且|a-b|＜|c-d|，则下列选项正确的是（）A. a2+b2 ＞c2 +d2B. |a2-b2|＜|c2-d2|C. +＜+D. |-|＜|-|18.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，且∠APB1=∠ADB1，则点P的轨迹为（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线二、填空题（本大题共4小题，共15.0分）19.已知集合A={1，2}，集合B={2，3}，则A∩B=______；A∪B=______．20.已知实数x，y满足x2+4y2=2，则xy的最大值为______．21.已知A，B为圆C上两点，若AB=2，则的值为______．22.正项数列{a n}的前n项和S n满足S n=．若对于任意的n∈N*，都有a n＞k成立，则整数k的最大值为______．三、解答题（本大题共3小题，共31.0分）23.已知函数f（x）=2sin x sin（x+）（x∈R）．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若y=f（x+φ）（0＜φ＜）为偶函数，求φ的值．24.如图，不垂直于坐标轴的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）有且只有一个公共点M．（Ⅰ）当M的坐标为（2，2）时，求p的值及直线l的方程；（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切于点N，求|MN|的最小值．25.如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．（Ⅰ）若a=-1，b=2，求f（x）的定义域；（Ⅱ）当a=1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；（Ⅲ）若存在实数a＜0且a≠-1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：要使函数有意义，则需x-2＞0，解得：x＞2，即函数的定义域为：，故选：A．由函数定义域的求法得：要使函数有意义，则需x-2＞0，解得：x＞2，得解本题考查了函数定义域的求法及解一元一次不等式，属简单题2.【答案】B【解析】解：根据题意，直线的方程为y=-2x+6，则其斜率为-2；故选：B．根据题意，由直线的斜截式方程直接分析可得答案．本题考查直线的斜截式方程的应用，涉及直线的斜率，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：当x=1，y=2时，3+4-6=1＞0，即点D（1，2）位于不等式对应的平面区域内，故选：D．将点的坐标代入不等式进行验证即可．本题主要考查点与平面区域的关系，利用代入法是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的项的计算，属基础题．【解答】解：{a n}为等差数列，因为所以d=1，a3-a2=1，所以a5=a3+2d=5，故选B．5.【答案】D【解析】解：∵α为锐角，且，∴cosα=．故选：D．直接利用同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵椭圆，∴a2=2，b2=1∴c2=a2-b2=1，∴c=1∴椭圆的右焦点坐标为（1，0）故选：A．利用椭圆的标准方程确定几何量，即可得到双曲线的右焦点的坐标．本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）=-x3，有f（-x）=-（-x）3=x3=-f（x），则函数f（x）为奇函数；又由f′（x）=-3x2，则f′（x）≤0在R上恒成立，则f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，故选：D．根据题意，由函数的解析式分析可得f（-x）=-f（x），即可得函数f（x）为奇函数，求出其导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数单调性的判断方法，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：取BD的中点N，连接MN，∵M，N分别是PB，BD的中点，∴MN∥PD，∵PD⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴∠MDB为直线DM与平面ABCD所成的角，∵tan∠MDB====1，∴∠MDB=45°．故选：B．取BD的中点N，连接MN，可证MN⊥平面ABCD，在Rt△MND中计算tan∠MDB即可得出结论．本题考查了直线与平面所成的角的计算，作出线面角是关键．9.【答案】B【解析】解：∵；∴；∴x=-2．故选：B．根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．10.【答案】C【解析】解：∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，A=30°，B=45°，∴由正弦定理：，得：b===，故选：C．由sin A，sin B，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的长．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：m，n是空间两条直线，α是一个平面，则“m⊥α，n⊥α”则能推出“m∥n，但是由m∥n不能m⊥α，n⊥α，也可能m∥α，n∥α，故“m⊥α，n⊥α”是“m∥n”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．12.【答案】C【解析】解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，由两条渐近线互相垂直，可得-•=-1，可得a=b，即有c==a，可得离心率e==．故选：C．求出双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得a=b，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】A【解析】解：由三视图得到几何体是半个球与倒放圆锥的组合体，其中球的半径为1，圆锥的高为2，所以体积为××π×13+×12π×2=；故选：A．由三视图得到几何体是半个球与倒放的圆锥的组合体．本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．14.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f（x）=，当|x|≤1时，f（x）=x2=4，解可得x=±2，不符合题意，当|x|＞1时，f（x）=x+1=4，解可得x=3，符合题意，故x=3；故选：C．根据题意，由函数的解析式分2种情况讨论：当|x|≤1时，f（x）=x2=4，当|x|＞1时，f （x）=x+1=4，求出x的值，验证是否符合题意，综合即可得答案．本题考查分段函数的应用以及函数值的计算，注意分析函数解析式的形式，属于基础题．15.【答案】A【解析】解：{a n}为等比数列，设其公比为q，则通项为，所以对于①，2a n是以2a1为首项，以q为公比的等比数列，对于②，为常数，又因为≠0，故②为等比数列，对于③，=，不一定为常数，对于④，=，不一定为常数，故选：A．根据等比数列的通项公式，分别验证即可．本题查了等比数列的判断，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：当a=1时，b=2时，f（x）=（3x-2）2，当x=log32时，f（x）=0，故A不符合，当a=1时，b=-0.5时，f（x）=（3x-0.5）2，当x→+∞时，f（x）→+∞，故B不符合，当a=-1时，b=2时，f（x）=（（）x-2）2，当x=-log32时，f（x）=0，此时符合，当a=-1时，b=0.5时，f（x）=（（）x-0.5）2，当x=log32时，f（x）=0，此时不符合，故选：C．分别取特殊值，根据函数的零点和函数值的变化趋势即可判断本题考查了函数图象的识别，考查了指数对数函数和指数函数的性质，属于基础题17.【答案】D【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，排除法，属基础题．取特值排除．【解答】解：取a=6，b=5，c=2，d=8可排除A，C；取a=7，b=4，c=2．d=6可排除B；故选：D．18.【答案】B【解析】解：正方体ABCD-A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，则点P在对角面A1BCD1内，∵∠APB1=∠ADB1，则点P的轨迹为以PB1为母线，AB1所在直线为高对圆锥对底面圆上．因此点P的轨迹为圆．故选：B．正方体ABCD-A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，可得点P在对角面A1BCD1内，根据∠APB1=∠ADB1，可得点P的轨迹为以PB1为母线，AB1所在直线为高对圆锥对底面圆上．本题考查了空间位置关系、圆锥与圆的定义、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】{2} {1，2，3}【解析】解：∵集合A={1，2}，集合B={2，3}，∴A∩B={2}，A∪B={1，2，3}．故答案为：{2}，{1，2，3}．利用交集、并集定义直接求解．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】【解析】解：实数x，y满足x2+4y2=2，则2=x2+4y2≥4|xy|，当且仅当|x|=2|y|时取等号即|xy|≤，∴-≤xy≤故xy的最大值为，故答案为：利用基本不等式即可求出结果．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．21.【答案】2【解析】解：如图所示：在直角三角形ACD中，cos∠CAD==，而•=AB×AC×cos∠CAD=2×AC×=2．故答案为：2由圆的性质得出cos∠CAD==，由数量积的定义可得答案．本题考查数量积的求解，涉及圆的知识和数量积的定义，属基础题．22.【答案】1【解析】解：当n=1时，，解得，当n≥2且n∈N*时，由得：，即，整理得：⇒，即=，∴a n=S n-S n-1===，因为满足，∴，则，∴===，∵，∴，即，∴a n+1-a n＜0，即数列{a n}为递减数列，又==1，∴a n＞1，则整数k的最大值为1．故答案为：1．根据可求得，进而得到a n的通项公式，根据通项公式可证得数列{a n}为递减数列，可求得，由此得到k的最大值为1．本题考查数列综合应用问题，关键是能够利用S n求得a n的通项公式，进一步证明得到数列为递减数列，从而通过极限求得结果，难点是对于数列是递减数列的证明上，对计算能力要求较高．23.【答案】解：（Ⅰ）由，得f（0）=2sin0sin；（Ⅱ）∵=2sin x cosx=sin2x，∴f（x）的最小正周期为π；（Ⅲ）∵y=f（x+φ）=sin（2x+2φ）为偶函数，∴对任意x∈R都有sin（-2x+2φ）=sin（2x+2φ），即-sin2x cos2φ+cos2x si n2φ=sin2x cos2φ+cos2x sin2φ，即sin2x cos2φ=0，∴cos2φ=0，∵0＜φ＜，∴φ=．【解析】（Ⅰ）直接在函数解析式中取x=0求解；（Ⅱ）利用诱导公式及倍角公式变形，再由周期公式求周期；（Ⅲ）由y=f（x+φ）=sin（2x+2φ）为偶函数，可得对任意实数x都有sin2x cos2φ=0，即cos2φ=0，再结合φ的范围求解．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．24.【答案】解：（1）点M（2，2）在抛物线y2=2px（p＞0）上，故有22=4p，所以p=1，从而抛物线的方程为y2=2x，设直线l的方程为x=m（y-2）+2，代入y2=2x，得y2-2my+4m-4=0．由l与抛物线相切可知，△=4m2-4（4m-4）=0，解得m=2，所以直线l的方程为x=2（y-2）+2，即y=．（2）设直线l的方程为x=my+t（m≠0），代入y2=2px得y2-2pmy-2pt=0．由直线l与抛物线相切可知△=y2-2pmy+8pt=0，所以t=-①又因为直线l与圆x2+y2=1相切，所以，即t=1+m2②将①式代入②式得，所以．设M的坐标为（x0，y0），则y0=pm，从而x0=my0+t=．所以|MN|2=|OM|2-|ON|2===1+-1=≥8，因此当|m|=时．|MN|的长度有最小值，最小值为2．【解析】（1）将M点坐标代入抛物线方程，可得到p的值已以及抛物线的方程，设出直线方程，根据直线与抛物线相切，联立直线和抛物线的方程，消去x，令△=0可得直线方程．（2）设出直线方程，根据直线和抛物线相切，直线与圆相切，将参数减少的一个，再根据|MN|2=|OM|2-|ON|2将|MN|表示成参数的函数，求最值即可．本题考查了直线与抛物线，直线与圆的位置关系，综合性较强，属于难题．25.【答案】解：（Ⅰ）当a=-1，b=2时，由题意知，解得0≤x≤2，所以f（x）的定义域为[0，2]．（Ⅱ）当a=1时，，（i）当，即b≥0时，f（x）定义域为[0，+∞），值域为[，+∞），所以b≥0时，f（x）不是“同域函数”；（ii）当时，即b＜0，当且仅当△=b2-8=0时，f（x）为“同域函数”，所以，综上可知，b的值为．（Ⅲ）设f（x）定义域为A，值域为B；（i）当a＜-1时，a+1＜0，此时0∉A，0∈B，从而A≠B，所以f（x）不是“同域函数”；（ii）当-1＜a＜0时，a+1＞0，设，则f（x）定义域为[0，x0]，①当时，即b≤0时，f（x）值域为B=[0，]，若f（x）为“同域函数”，则x0 =，从而，又因为-1＜a＜0，所以b的取值范围为（-1，0）．当时，即b＞0，f（x）值域为B=．若f（x）为“同域函数”，则，从而，．（*）此时，由可知（*）式不能成立；综上可知，b的取值范围为（-1，0）．【解析】（Ⅰ）建立不等式组求解即可；（Ⅱ）对分类讨论，结合新定义进行分析、求解；（Ⅲ）对a分两种情况讨论，紧扣“同域函数”的概念，建立方程进行求解．本题主要考查函数的定义域与值域，掌握新概念的本质是解题的关键，属于中档题目．。
2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(含详细答案)
2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题卷（时间80分钟，总分100分）选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，则A B =（）A.∅B.{}1 C.{}2 D.{}1,2【答案】D【解析】∵{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，∴{}1,2A B = .2.复数2i -（i 为虚数单位）的实部是（）A.1B.1-C.2D.2-【答案】C【解析】显然复数2i -的实部是2.3.函数()f x =的定义域是（）A.(),1-∞ B.[)1,+∞ C.(),1-∞- D.[)1,-+∞【答案】D【解析】∵10x +≥，∴1x ≥-，即函数()f x =的定义域为[)1,-+∞.4.已知tan 1α=，ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，则α=（）A.4π B.π4-C.π3D.π3-【答案】A【解析】∵tan 1α=，∴ππ4k α=+，又ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，∴π4α=.5.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到黄球的概率是（）A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】5个大小质地完全相同的球，黄球有3个，则随机摸出1个球，有5种方法，摸到黄球有3种方法，所以摸到黄球的概率为35.6.已知平面向量()2,4a =r ，(),6b x = .若//a b r r，则实数x =（）A.3-B.3C.12-D.12【答案】B【解析】由a b ∥，可得2640x ⨯-=，解得3x =.7.已知球的半径是2，则该球的表面积是（）A.2π B.4π C.8π D.16π【答案】D【解析】224π4π216πS R ==⨯=，8.设0a >，下列选项中正确的是（）A.313a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.2233a a-= C.2332a a a= D.2332a a a÷=【答案】A【解析】对于A ，311333a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，2223023331a aa a--===，故B 错误；对于C ，23213332362a a aa ==，故C 错误；对于D ，221133332a a a a a a-÷===，故D 错误.9.中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水的温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.已知在25℃的室温下，函数()600.9227250ty t =⨯+≥近似刻画了茶水温度y （单位：℃）随时间t （单位：min ）的变化规律.为达到最佳饮用口感，刚泡好的茶水大约需要放置（参考数据： 6.70.92270.5833≈，8.70.92270.4966≈）（）A.5min B.7min C.9min D.11min 【答案】B【解析】由题可知，函数()600.9227250ty t =⨯+≥，当 6.7t =，59.998y ≈，已经接近60，又函数()600.9227250ty t =⨯+≥在()0,∞+上单调递减，则大约在7min 时口感最佳.故A ，C ，D 错误.10.设a ，b 是实数，则“a b >”是“a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对于a b >，比如3a ==-，显然13a b =<=，不能推出a b >；反之，如果a b >，则必有0,a a a b b >∴=>≥；所以“a b >”是“a b >”的必要不充分条件；11.在ABC 中，设2AD DB = ，2BE EC =，CF FA λ= ，其中R λ∈.若DEF 和ABC 的重心重合，则λ=（）A.12B.1C.32D.2【答案】D【解析】设O 为DEF 和ABC 的重心，连接DO 延长交EF 与N ，连接AO 延长交BC 与M ，所以N 是EF 的中点，M 是BC 的中点，所以()2211133233AO AM AB AC AB AC==+=+，2111133333DO DA AO AB AB AC AB AC=+=-++=-+，()()22113323DO DN DE DF DB BE DA AF==+=+++()112211121333313331AB BC AB AC AB AC AB AC λλ=+-+=-+-+++11213331AB AC λ=-+++，可得21131λ=++，解得2λ=.12.如图，棱长均相等的三棱锥-P ABC 中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD x =，锐二面角A BD C --的大小为θ.当x 增大时，（）A.θ增大 B.θ先增大后减小 C.θ减小 D.θ先减小后增大【答案】C【解析】由题意，三棱锥-P ABC 是正四面体，以PBC 的重心为原点，BC 边的中线PG 为x 轴，OA 为z 轴，过O 点平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：设三棱锥P -ABC的棱长为，则有：22221228OA AP PO =-=-=，()(()()1,,0,0,,1,,2,0,0B A C P --，3231,,022x D x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1,,1,,22x AB AD x ⎛-=--=-- ⎝ ，设(),,m t y z = 是平面ABD 的一个法向量，则有·0·0m AB m AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即01022t x x t y ⎧--=⎪⎛⎫⎛⎫⎨--+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，令y =，解得(,,,t x z m x =-=-=-，显然()0,0,1n =是平面PBC 的一个法向量，cos m nm n θ∴===；显然当x =x 的取值范围是0x <<），πcos 0,2θθ==最大，当x >或x <时，cos θ都变大，即θ变小；二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.图象经过第三象限的函数是（）A.2y x= B.3y x= C.23y x= D.1y x -=【答案】BD【解析】由幂函数的图象可知，A 中，2y x =过第一、二象限；B 中，3y x =过第一、三象限；C 中，320y x ==≥且定义域为R ，过第一、二象限；D 中，1y x -=过第一、三象限.14.下列命题正确的是（）A.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直B.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行C .过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直D.过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行【答案】AC【解析】对于A ，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条，故A 正确；对于B ，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已经平面平行，故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B 不正确；对于C ，由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C 正确；对于D ，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故D 不正确．15.在锐角ABC 中，有（）A.sin sin sin A B C +> B.222sin sin sin A B C +>C.cos cos sin A B C +> D.222cos cos sin A B C +>【答案】ABC【解析】对于A ，根据正弦定理，因为a b c +>可得sin sin sin A B C +>，故A 正确；对于B ，因为222cos 02a b c C ab+-=>可得222a b c +>，再由正弦定理可得222sin sin sin A B C +>，故B 正确；对于C ，因为π0,2A B <<中，所以0sin ,sin 1A B <<，所以()cos cos cos sin cos sin sin sin A B A B B A A B C +>+=+=，故C 正确；对于D ，当222π13cos cos sin 324A B C A B C ===⇒+=<=，故D 错误16.已知a ∈R ，设()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2y x a =-与1sin y x =-图象的两个公共点，记()12f a x x =-.则（）A.函数()f a 是周期函数，最小正周期是πB.函数()f a 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f a 的图象是轴对称图形D.函数()f a 的图象是中心对称图形【答案】BC【解析】分别作出()2y x a =-与1sin y x =-（周期为2π）的图象（如图）.对于B ，由图可知，当3ππ,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递增；当ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，故B 正确；对于C 、D ，对于任意a ∈R ，此时作()2y x a =-关于2x π=-的对称函数()2πy x a =---⎡⎤⎣⎦，且1sin y x =-也关于2x π=-对称，故()()πf a f a --=，即()f a 关于2x π=-对称，即()f a 关于2x π=-对称，故C 正确，D 错误.错误.对于A ，由于当3ππ,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递增；当ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，()f a 关于π2x =-对称，由于1sin y x =-是最小正周期为2π的函数，其图象呈周期性变换，而()2y x a =-在平移过程中大小与形状不变，所以()12f a x x =-呈周期性变换，根据函数的对称性作出()f a 的大致图像（如图），可知其为周期函数，且最小正周期为2πT =，故A错误；非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空分3分，共15分）17.已知函数()25,1,log ,1,x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩则()1f -=______，()1f f -=⎡⎤⎣⎦______.【答案】①.4②.2【解析】()1154f -=-+=；()()214log 42f f f ⎡⎤-===⎣⎦.故答案为：4；2.18.某广场设置了一些石凳供大家休息，每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的（如图，从棱的中点截）.如果被截正方体的棱长是4（单位：dm ），那么一个石凳的体积是______（单位：3dm ）.【答案】1603【解析】正方体的体积为3464=，正方体截去的八个四面体是全等的正三棱锥，截去的一个正三棱锥的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，则石凳的体积为416064833-⨯=.19.已知实数0x >，0y >，则2x yx y x++的最小值是______.【答案】1-【解析】211x y x y xx y x x y x ++=+-≥-++，当且仅当2x y xx y x+==+.20.已知平面向量a ，b 是非零向量.若a 在b上的投影向量的模为1，21a b -= ，则()4a b b -⋅ 的取值范围是______.【答案】[]3,4【解析】解：由题意，令(),0b b = ，()1,a y =±，则()()2221221a b b y -=⇒±-+= ，所以[]240,1y ∈，由21a b -= ，得22441a a b b -⋅+= ，所以()2441a b b a -⋅=- .()[]222411433,4y y ⎡⎤=±+-=+∈⎣⎦.四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组[)40,50，第二组[)50,60，L ，第六组[]90,100，画出频率分布直方图如图所示.（1）求第三组[)60,70的频率；（2）估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.解：（1）由频率分布直方图知，第三组的频率为0.020100.2⨯=.（2）平均值450.00410550.01210650.02010750.03010850.02410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯950.0101073.8+⨯⨯=，因为()0.0040.012100.16+⨯=，()0.0040.0120.020100.36++⨯=，所以第25百分位数为0.250.16601064.50.2-+⨯=.22.已知函数()222cos f x x x =+.（1）求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期；（3）当[],2x t t ∈（[][],20,2πt t ⊆）时，()1f x ≤恒成立，求实数t 的最大值.解：（1）22πππππ22cos 2cos 144424f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()2π22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（3）当[],2x t t ∈，()1f x ≤恒成立，即π2sin 2116x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，所以π1sin 206x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，因为[],2x t t ∈，[][],20,2πt t ⊆，所以πππ242π66t t ≤+<+≤，解得5π11π1224t ≤≤，即实数t 的最大值为11π24.综上，π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小正周期为π，实数t 的最大值为11π24.23.已知函数()()20xa f x a x x x=+->，其中1a >.（1）若()24f ≤，求实数a 的取值范围；（2）证明：函数()f x 存在唯一零点；（3）设()00f x =，证明：()22021222a a f x a a -+<+<-+.解：（1）因为()()20xaf x a x x x=+->，由()2224f a a =+-≤，可得220a a --≤，所以()()210a a -+≤，即12a -≤≤，又1a >，所以12a <≤；（2）证明：因为函数()()20xaf x a x x x=->，其中1a >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，且()11210f a a a =+-=-<，()221722024f a a a ⎛⎫=+-=-+> ⎪⎝⎭，所以由零点存在定理，得()f x 在()1,2内有唯一零点，即函数()f x 存在唯一零点；（3）证明：若()00f x =，则()()001,212,3x x ∈⇒+∈，所以()()20221f a a f x =+-<+，又()000020xa f x a x x =+-=，0002x a a x x =-，所以()()()021000000022211111x a a af x ax ax x x x x ++=++-=-++-++()200002211a x a x x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，令()()22000002222212211g a a a f x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，又0220x ->，所以()g a 的图象开口向上，对称轴()()200020000000221104141222x x x x x x a x x x x ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭=-=-=--+⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，所以()g a 在()1,+∞上单调递增，所以()()20000002222121211111g a g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫>=-⋅+-+⋅+-=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()()22000000000000002122120111x x x x x x x x x x x x x x +-+++-+-===>+++，即()201222f x a a +<-+，所以()22021222a a f x a a -+<+<-+.。
浙江省数学学业水平考试参考试卷(此卷仅作参考)
浙江省数学学业水平考试参考试卷（此卷仅作参考）选择题部分一、选择题(共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。
每小题中只有一个选项是符合题意的。
不选、多选、错选均不得分) 1．已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则AB 的元素个数是(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 2．22log 12log 3-=(A)2- (B)0 (C)12(D)2 3．若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 (A)圆锥 (B)棱柱 (C)圆柱 (D)棱锥 4．函数R))(3π2sin()(∈+=x x x f 的最小正周期为 (A)2π(B) π (C) π2 (D) 4π 5．直线230x y ++=的斜率是 (A)12-(B)12(C)2- (D)2 6．若1x =满足不等式2210ax x ++<，则实数a 的取值范围是 (A)(3,)-+∞ (B)(,3)-∞- (C)(1,)+∞ (D)(,1)-∞ 7．函数3()log (2)f x x =-的定义域是(A)[2,)+∞ (B)(2,)+∞ (C)(,2]-∞ (D)(,2)-∞ 8．圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是(A)(1,0),3- (B)(1,0),3(C)(1,-(1,9．各项均为实数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a =(第3题图)(A)2 (B)2-10．下列函数中，图象如右图的函数可能是(A)3y x = (B)2xy =(C)y =2log y x =11．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件12．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是(A) ()+∞,0 (B)()2,0 (C)()+∞,1 (D) ()1,0 13．设x 为实数，命题p ：x ∀∈R ，20x ≥，则命题p 的否定是（A ）p ⌝：∈∃0x R,020<x （B ）p ⌝：∈∃0x R, 020≤x（C ）p ⌝：x ∀∈R,20x < （D ）p ⌝：x ∀∈R,20x ≤ 14．若函数()(1)()f x x x a =+-是偶函数，则实数a 的值为(A)1 (B)0 (C)1- (D)1± 15．在空间中，已知,a b 是直线，,αβ是平面，且,,//a b αβαβ⊂⊂，则,a b 的位置关系是(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或异面 16．在△ABC 中，三边长分别为c b a ,,，且︒=30A ，︒=45B ，1=a ，则b 的值是(A)21(B) 22 (C) 2 (D) 2617．若平面向量,a b 的夹角为60，且|2|=|a b |，则 (A)()⊥+a b a (B)()⊥-a b a (C)()⊥+b b a (D)()⊥-b b a(第10题图)18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1BC 的中点，则DE 与面11B BCC 所成角的正切值为19．函数44sin cos y x x =-在]3π,12π[-的最小值是(A)1-(B)2-12(D)1 20．函数1()2xf x x=-的零点所在的区间可能是 (A)(1,)+∞ (B)1(,1)2 (C)11(,)32 (D)11(,)4321．已知数列{}n a 满足121a a ==，2111n n n na a a a +++-=，则65a a -的值为 (A)0 (B)18 (C)96 (D)60022．若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与直线310x y -+=平行，则此双曲线的离心率是323．若将一个真命题．．．中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题．．．，则该命题称为“可换命题”．下列四个命题： ①垂直于同一平面的两直线平行； ②垂直于同一平面的两平面平行； ③平行于同一直线的两直线平行； ④平行于同一平面的两直线平行． 其中是“可换命题”的是(A)①② (B)①④ (C)①③ (D)③④24．用餐时客人要求：将温度为10C 、质量为25.0 kg 的同规格的某种袋装饮料加热至A 1（第18题图）C C ～︒︒4030.服务员将x 袋该种饮料同时放入温度为80C 、5.2 kg 质量为的热水中，5分钟后立即取出．设经过5分钟加热后的饮料与水的温度恰好相同，此时，1m kg 该饮料提高的温度1t C ∆与2m kg 水降低的温度2t C ∆满足关系式11220.8m t m t ⨯∆=⨯⨯∆，则符合客人要求的x 可以是(A)4 (B)10 (C)16 (D)2225．若满足条件20,20,210x y x y kx y k -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--+≤⎩的点(,)P x y 构成三角形区域，则实数k 的取值范围是(A)(1,)+∞ (B)(0,1) (C)(1,1)- (D)(,1)(1,)-∞-+∞非选择题部分二、填空题(共5小题，每小题2分，共10分)26．已知一个球的表面积为4πcm 3，则它的半径等于 ▲ cm ．27．已知平面向量(2,3)=a ，(1,)m =b ，且//a b ，则实数m 的值为 ▲ ．28．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ▲ ．29．数列{}n a 满足⎩⎨⎧≤≤≤≤=--,1911,2,101,2191n n a n n n 则该数列从第5项到第15项的和为 ▲ ．30．若不存在．．．整数x 满足不等式2(4)(4)0kx k x ---<，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 三、解答题(共4小题，共30分) 31．(本题7分) 已知,54sin ),π,2π(=∈θθ求θcos 及)3πsin(+θ的值.32．（本题7分，有A 、B 两题，任选其中一题完成）（A ） 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, 3AC =, 4BC =, 5AB =, 点D 是AB 的中点.(1)求证:1AC BC ⊥; (2)求证:1AC ∥平面1CDB .（B ）如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC平面⊥PA ABCD ，32,2,3===AB AD PA ,BC =6.(1)求证:;PAC BD 平面⊥ (2)求二面角A BD P --的大小.33．(本题8分) 如图，由半圆221(0)x y y +=≤和部分抛物线 2(1)y a x =-（0y ≥，0a >）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点(2,3).（1）求a 的值；（2）设(1,0)A ,(1,0)B -，过A 且斜率为k 的直线 l 与“羽毛球形线”相交于P ,A ,Q 三点，问是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠？ 若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．（第33题图）（第33题B 图）A B 1BC 1（第33题A 图）34．(本题8分) 已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． (1)若1a =，试判断并证明函数()f x 的单调性；(2)当(1,6)a ∈时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a ．参考答案一、选择题(共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。
(完整word版)2018年6月浙江省数学学考试卷及答案
2018年6月浙江省数学学考试卷及答案选择题答案：AA. {1}B. {2} C.{1,2} D.{1,2,3}答案 :B 由集合丿A {1,2}，集合B {2,3},得 AI B {2}.2.函数yIog 2(x 1）的定义域是（ )A. (1, )B.[1,)C. (0,)D .[0,)答案:A••• yIog 2(x 1)，二 x 10, x1，二 函数y log 2（x 1）的定义域是（1,3. 设 R ，则 sin（5 ）（）A.sin B.sinC .cosD.cos答案:C 根据诱导公式可以得出sin （— )cos .4. 将一个球的半径扩大到原来的 2倍, 则它的体积扩大到原来的（）A.2倍B. 4倍6倍D.8倍答案:D设球原来的半径为r , 则扩大后的半径为2r , 球原来的体积为，球后来的体积为).因为a 4，b 3，所以c5，所以焦点坐标为（ 5,0)，(5,0).6.已知向量a （x,1）， b（2, 3），若a//b ，则实数x 的值是（）1.已知集合A {1,2},B {2,3},则AI B()34 (2r)332 r 3球后来的体积与球原来的体积之比为32 r 3 W & 4 r 3 35.双曲线 2 2x y_16 91的焦点坐标是（）A.(5,0)，(5,0)B. (0, 5)，(0,5)C.」7,0)，0.7,0)D.（0,、、7），（0八A.23 B. C. D.答案: （X,1）, b (2, 3)，利用a / /b 的坐标运算公式得到3x 20,所以解得x7. 设实数x , y 满足 x y 02x y 3 0，则xy 的最大值为(A. 1B. 2 c.3 D. 4答案：B 1- 作出可行域，如图:当z x y 经过点A(1,1)时，有z max2.8.在ABC 中, C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知45o ，C 30o ，cB. 答案：C 由正弦定理 b sin B 贏可得 sinC1 sin 45 sin 30 J2 1 2 “I 2. 9. 已知直线l ，m 和平面 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D. 答案：B 因为"直线和平面垂直，垂直与平面上所有直线” ，但是"直线垂直于平面上一条直线不能 判断垂直于整个平面”所以是必要不充分条件。
2023-2024学年第二学期浙江省91高中联盟学考模拟卷数学试卷(含答案)
2023-2024学年第二学期浙江省9 1高中联盟学考模拟卷数学试卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|(x−1)(x−4)<0}，B ={x|x <3}，则A ∪B =( )A. {x|x >1}B. {x|x <4}C. {x|1<x <3}D. R 2.已知复数z 满足z 3−4i =2+3i ，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.函数f(x)={x 2+1,x >0,|x|,x ≤0,则下列结论正确的是( )A. f(x)是偶函数B. f(x)是增函数C. f(x)是周期函数D. f(x)的值域为[0,+∞)4.若a +b =2，则3a +19⋅3b 的最小值是( )A. 1B. 2C. 2 3D. 2435.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则m +n ≠6的概率是( )A. 19 B. 3136 C. 16 D. 5366.已知向量a =(−1,0)，b =(−12, 32)，则a 与a +b 的夹角的余弦值为( )A. 12 B. 528 C. 32 D. −5287.某企业在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.企业为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1);在丙地区有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2).则完成(1)(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A. 分层随机抽样法，分层随机抽样法B. 分层随机抽样法，简单随机抽样法C. 简单随机抽样法，分层随机抽样法D. 简单随机抽样法，简单随机抽样法8.已知cos (α+β)=23，cos (α−β)=13，则tan αtan β的值为( )A. −13B. 13C. −3D. 39.若函数y =|a−a x |(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56+log a 485的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 410.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“平行”函数，给出四个函数：f 1(x)=log 2(x +1)，f 2(x)=2log 2(x +2)，f 3(x)=log 2x 2，f 4(x)=log 2(2x)，则此四个函数中的“平行”函数是( )A. f 2(x)与f 4(x)B. f 1(x)与f 3(x)C. f 1(x)与f 4(x)D. f 3(x)与f 4(x)11.在△ABC 中，AB =(1,3)，AC =(1,k)，若△ABC 为直角三角形，则k 的值为( )A. −13B. 0C. −13或0D. −13，0或312.设A ={1,2,3,4,5,6}，若方程x 2−bx−c =0满足b ，c 属于A ，且方程至少有一根属于A ，称该方程为“漂亮方程”，则“漂亮方程”的总个数为( )A. 8B. 10C. 6D. 5二、多选题：本题共4小题，共20分。
2018年11月浙江数学学考试题(含答案)x3
2018年11月浙江省高中学业水平考试数学试题一、选择题1.已知集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，则A B =（ ）A.{1,2,3,4,5}B.{1,3,5}C.{1,4}D.{1,3}【答案】D【解析】因为{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，所以{1,3}AB =.2.函数()cos 2f x x =的最小正周期是（ ） A.4π B.2π C.π D.2π 【答案】C【解析】()cos 2f x x =，因为2ω=，所以22T ππ==. 3.计算129()4=（ ） A.8116 B.32 C.98 D.23【答案】B【解析】1293()42==. 4.直线210x y +-=经过点（ ）A.(1,0)B.(0,1)C.11(,)22D.1(1,)2【答案】A【解析】把四个选项的横纵坐标代入直线方程210x y +-=中，可知选项A 可使等式成立.5.函数2()log f x x 的定义域是（ ）A.(0,2]B.[0,2)C.[0,2]D.(0,2)【答案】A【解析】20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故函数()f x 的定义域为(0,2].6.对于空间向量(1,2,3)a =，(,4,6)b λ=，若//a b ，则实数λ=（ ）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D【解析】因为//a b ，所以12346λ==，即112λ=，所以2λ=. 7.渐近线方程为43y x =±的双曲线方程是（ ） A.221169x y -= B.221916x y -= C.22134x y -= D.22143x y -= 【答案】B 【解析】依题可设双曲线方程为22221x y a b -=，因为渐进线方程为43y x =±，所以43b a =，即22169b a =，只有B 选项221916x y -=符合. 8.若实数x ，y 满足101010x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则y 的最大值是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由约束条件101010x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，作出可行域如图，由图易知y 的最大值为2.9.某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A.18B.【答案】C【解析】该几何体为正三棱柱，其底面积为24S ===3h =，所以体积V Sh ==10.关于x 的不等式13x x +-≥的解集是（ ）A.(,1]-∞-B.[2,)+∞C.(,1][2,)-∞-+∞D.[1,2]-【答案】C【解析】当1x ≥时，1132x x x x x +-=+-≥⇒≥；当11x -<<时，1113x x x x x +-=+-=≥⇒无解；当1x ≤时，1131x x x x x +-=--+≥⇒≤-；综上可得，2x ≥或1x ≤-.11.下列命题为假命题的是（ ）A.垂直于同一直线的两个平面平行B.垂直于同一平面的两条直线平行C.平行于同一直线的两条直线平行D.平行于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】平行于同一平面的两条直线除了平行外，还可以异面，可以相交.12.等差数列{}()n a n N *∈的公差为d ，前n 项和为n S ，若10a >，0d <，39S S =，则当n S 取得最大值时，n =（ ）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】∵10a >，0d <，∴n a 是递减数列.又∵3993987654763()0S S S S a a a a a a a a =⇒-=+++++=+=，∴760a a +=，67a a >，∴60a >，70a <，∴max 6()n S S =.13.对于实数a 、b ，则“0a b <<”是“1ba <”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：由0a b <<，得01ba <<，故充分性成立； 必要性：由1ba <，得0ab a >⎧⎨<⎩或0a b a <⎧⎨>⎩，故必要性不成立.所以“0a b <<”是“1ba <”的充分不必要条件.14.已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，则值域也为[1,2]-的函数是（）A.2()1y f x =+B.(21)y f x =+C.()y f x =-D.()y f x =【答案】B【解析】分析四个选项可知只有(21)y f x =+是由()y f x =的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12之后再将图像向左平移12个单位得到，故(21)y f x =+和()y f x =的值域是相同的. 15.函数2()()a f x x a R x=+∈的图象不可能是（ ） A. B.C.D.【答案】A 【解析】当0a =时，函数22()(0)a f x x x x x=+=≠，函数图象可以是B. 当1a =时，函数221()a f x x x x x=+=+，函数可以类似于D. 当1a =-时，221()a f x x x x x =+=-，0x >时，210x x-=只有一个实数根1x =，图象可以是C.所以函数图象不可能是A. 16.若实数a ，b 满足0ab >，则2214a b ab ++的最小值为（ ） A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】因为0ab >，所以2211444a b ab ab ab ++≥+≥=，当且仅当214a b ab ab =⎧⎪⎨=⎪⎩，即1a =，12b =时取等号，所以最小值为4. 17.如图，在同一平面内，A ，B 是两个不同的定点，圆A 和圆B 的半径为r ，射线AB 交圆于点P ，过P 作圆A 的切线l ，当1()2r r AB ≥变化时，l 与圆B 的公共的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线【答案】D【解析】设直线l 与圆B 的交点为M ，过点M 作与过点A 平行于l 的直线的垂线，垂足为N ，易知MN PA MB r ===，即点M 到定直线AN 的距离等于其到定点B 的距离，所以点M 的轨迹是抛物线.18.如图，四边形ABCD 是矩形，沿AC 将ADC ∆翻折成AD C '∆，设二面角D AB C '--的平面角为θ，直线AD '与直线BC 所成角为1θ，直线AD '与平面ABC 所成的角为2θ，当θ为锐角时，有（ ）A.21θθθ≤≤B.21θθθ≤≤C.12θθθ≤≤D.21θθθ≤≤【答案】B【解析】由二面角的最大性与最小角定理可知，答案在A ，B 选项中产生.下面比较1θ和θ的大小关系即可.过D '作平面ABC 垂线，垂足为O ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，连结D E '，则 D EO θ'=∠可以认为是OE 与平面AD E '所成的线面角，1θ可以认为是OE 与平面AD E '内的AD '所成的线线角，所以1θθ≤，综上，21θθθ≤≤.二、填空题19.已知函数2,0()1,0x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f -= ，(1)f = . 【答案】0,2【解析】因为10-<，故(1)110f -=-+=；又10>，故(1)2f =. 20.已知O 为坐标原点，B 与F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点与右焦点，若OB OF =，则该椭圆的离心率是 .【解析】因为B ，F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点和右焦点，故设OB b =，OF c =，又OB OF =，所以b c =，因为a a ==，所以椭圆的离心率2c b e a a ====. 21.已知数列{}()n a n N *∈满足：11a =，12n n n a a +⋅=，则2018a = .【答案】10092【解析】1122n n n a a +++=，12n n n a a +=，22n na a +=，数列21{}n a -和2{}n a 均为等比数列，且公比均为2，首项分别是121,2a a ==，所以数列{}n a 的通项为，故100920182a =.22.如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点(1,0)A -，(1,0)B ，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，在圆O 上按逆时针方向运动，若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，AP AQ ⋅的最大值为 .【答案】2【解析】设(cos ,sin )([0,])Q θθθπ∈，由P 点的速度是点Q 的两倍，即(cos 2,sin 2)P θθ--，(cos 21,sin 2)(cos 1,sin )AP AQ θθθθ⋅=-+-⋅+(cos 21)(cos 1)(sin 2)sin θθθθ=-+++-cos2cos cos cos21sin 2sin θθθθθθ=-+-+-cos(2)cos cos21θθθθ=--+-+cos 21θ=-+22sin 2θ=≤.三、解答题23.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222b a c ac =+-. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a c ==，求ABC ∆的面积；（Ⅲ）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（Ⅰ）60︒; ; （Ⅲ）. 【解析】（Ⅰ）由222cos 2a c b B ac +-=，可知1cos 2B =，所以60B =︒. （Ⅱ）由（Ⅰ）得60B ∠=︒，又2a c ==，所以11sin 22sin 6022ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯︒=（Ⅲ）由题意得3sin sin sin sin(120)sin 30)2A C A A A A A +=+︒-=+=+︒，因为0120A ︒<<︒，所以3030150A ︒<+︒<︒30)A <+︒≤值范围是2. 24.已知抛物线2:4C y x =的焦点是F ，准线是l .（Ⅰ）写出F 的坐标和l 的方程；（Ⅱ）已知点(9,6)P ，若过F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N .求证：MF NF ⊥.【答案】（Ⅰ）(1,0)F ，1x =-; （Ⅱ）略.【解析】（Ⅰ）因为抛物线24y x =是焦点在x 轴正半轴的标准方程，所以2p =，所以焦点为(1,0)F .准线方程为1x =-.（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y （16y ≠±且26y ≠±），AB 直线方程为1x my =+（m 是实数），代入24y x =，得2440y m y --=，于是124y y m +=，124y y ⋅=-.由(9,6)P ，得146PA k y =+，直线PA 的方程为146(9)6y x y -=-+，令1x =-，得1164(1,)6y M y --+，同理可得2264(1,)6y N y --+，所以12121296()41(6)(6)F N F M MF NF F M F N y y y y y y y y k k x x x x y y ---++⋅=⋅==---++，故MF NF ⊥. 25.已知函数()()a f x x a R x =+∈. （Ⅰ）当1a =时，写出()f x 的单调递增区间（不需写出推证过程）；（Ⅱ）当0x >时，若直线4y =与函数()f x 的图象相交于A ，B 两点，记()AB g a =，求()g a 的最大值；（Ⅲ）若关于x 的方程()4f x ax =+在区间(1,2)上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）[1,0)-，[1,)+∞; （Ⅱ）4;（Ⅲ）15()22--. 【解析】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为[1,0)-，[1,)+∞（Ⅱ）因为0x >，所以（ⅰ）当4a >时，()y f x =的图象与直线4y =没有交点；（ⅱ）当4a =或0a =时，()y f x =的图象与直线4y =只有一个交点；（ⅲ）当04a <<时，0()4g a <<；（ⅳ）当0a <时，由4a x x +=，得240x x a -+=，解得2A x =由4a x x+=-，得240x x a ++=，解得2B x =-所以()4A B g a x x =-=，故()g a 的最大值是4.（Ⅲ）要使关于方程4(12)()a x ax x x +=+<<*有两个不同的实数根1x ，2x ，则0a ≠，且1a ≠±.（ⅰ）当1a >时，由()*得2(1)40a x x a -+-=，所以1201a x x a =-<-，不符合题意； （ⅱ）当01a <<时，由()*得2(1)40a x x a -+-=，其对称轴221x a =>-，不符合题意； （ⅲ）当0a <，且1a ≠-时，由()*得2(1)40a x x a +++=，又因为1201a x x a =>+，所以1a <-.所以函数a y x x=+在(0,)+∞是增函数. 要使直线4y ax =+与函数a y x x =+图象在(1,2)内有两个交点，则(1)11f a a =+=--，只需14164(1)0a a a a -->+⎧⎨-+>⎩，解得1522a --<<-.综上所述，实数a 的取值的范围为15()22--.。
2023年7月浙江高中学业水平考试数学试卷试题真题(含答案详解)
2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟.考生注意：1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项〃的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.3. 非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.己知集合，= {-1,0,1,2}, 3 = {x|x 〉0},则下列结论不正确的是（）B. 0^A(^B A.leAC\BC.D.2.函数*的定义域是（）A.-00,——2B.C.D.1■00,—2#3—,+ oo{、 x > 0} - A\JB3.复数z = i （2 + i ）在复平面内对应的点位于)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知平面向量U = （L —1）, 5 = （2,4）,若则实数4 =2A. B. -2 C. D.-115.已知sin[ 0 + -^= cos 。
，贝\\ tan20 =)AMC.2^3丁D.2^36.上、下底面圆的半径分别为尸、2r,高为3尸的圆台的体积为A.771丫3B.217ir3C.（5+27!）兀尹D.（5+7^）*7.从集合｛123,4,5｝中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）3749A.—B.—C.—D.—5105108.大西洋畦鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究畦鱼的科学家发现鲤鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=klog3盐，其中。
表示畦鱼的耗氧量的单位数.若一条畦鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为8100,则游速为lm/s的畦鱼耗氧量是静止状态下畦鱼耗氧量的（）A.3倍B.6倍C.9倍D.12倍9.不等式（x-e）（e^-l）<0（其中e为自然对数的底数）的解集是（）A.{x|0<x<1}B.(x0<x<e}C.{x|xv0或x>l}D.{x|xvO或x>e}10.已知。
2023-2024学年浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试数学模拟试题A ．()e ln xf x x =⋅C ．()e ln xf x x=+()0,πα∈A ．．．．．已知函数()e 2x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩的方程()f x a =有两解，．1ea =B ea =D ．如图，在棱长为2的正方体中，E 为棱C D ''的中点，过,,A D BC '''分别交于点A ．存在点H ，使得AE ⊥B ．线段D G '的长度的最大值是C ．当点F 与点C 重合时，多面体D ．点D 到截面AEF 的距离的最大值是19．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为20．已知函数()12e2x f x x x -=+-，则使得四、解答题（本大题共3小题，共21．已知函数()22cos sin 2f x x x ⎛=+ ⎝(1)求AA '的长；(2)若D 为线段AC 的中点，求二面角23．已知函数()(2f x x x =+(1)当0a =时，求()f x 的单调区间；16．BD【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量求解【详解】为原点，DC 为y 轴，DA 为x 轴，DD )()()('2,0,0,0,1,2,0,0,0,0,0,2E D D ()()'2,1,2,,2,2,AE D H p =-=- 点不在线段BC 上，错误；平面//ABCD 平面''''A B C D ，GE AH 、GE ，此时1m =，88,5489x DO ==-+梯形AFEG 的高()22252⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭四棱锥D AFEG -的体积D AFEG V -由②③式可知，当42255m ==⨯时，故选：BD.23．(1)单调递减区间为10,⎛ ⎝(2)(][),31,-∞-⋃+∞【分析】（1）将函数写成分段函数，结合二次函数的性质得到函数的单调区间；（2）不妨令12x x <，则(f。
浙江省数学学考试题及答案
浙江省数学学考试题及答案Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202018年6月浙江省数学学考试题一 选择题(每小题３分，共５４分)1. 已知集合{1,2}A =，{2,3}B =，则A B =（ ）A ．{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,3}2. 函数2log (1)y x =+的定义域是（ ）A.(1,)-+∞B.[1,)-+∞C.(0,)+∞D.[0,)+∞3. 设R α∈，则sin()2πα-=（ ） A.sin α B.sin α- C.cos α D.cos α-4. 将一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（ ）A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍5. 双曲线221169x y -=的焦点坐标是（ ）A.(5,0)-，(5,0)B.(0,5)-，(0,5)C.(0)，D.(0,，6. 已知向量(,1)a x =，(2,3)b =-，若//a b ，则实数x 的值是（ ） A.23- B.23 C.32- D.327. 设实数x ，y 满足0230x y x y -≥⎧⎨+-≤⎩，则x y +的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.48. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45B =，30C =，1c =， 则b =（ ）A. B. C. 9. 已知直线l ，m 和平面α，m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10. 要得到函数()sin(2)4f x x π=-的图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象（ ） A.向右平移8π个单位 B.向左平移8π个单位 C.向右平移4π个单位 D.向左平移4π个单位 11. 若关于x 的不等式2x m n -<的解集为(,)αβ，则βα-的值（ ）A.与m 有关，且与n 有关B.与m 有关，但与n 无关C.与m 无关，且与n 无关D.与m 无关，但与n 有关12. 在如图所示的几何体中，正方形DCEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，N ，6AB =，2AD DC ==，23BC =，则该几何体的正视图为（ ）A B C D13. 在第12题的几何体中，二面角E AB C --的正切值为（ ）A.3B.3C.1D.23 14. 如图，A ，B 分别为椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和上顶点，O 为坐标原点，E 为线段AB 的中点，H 为O 在AB 上的射影，若OE 平分HOA ∠，则该椭圆的离心率为（ ）A. 13B.3C.23D.615. 三棱柱各面所在平面将空间分为（ ）A.14部分B.18部分C.21部分D.24部分16. 函数2()()x n m f x e -=（其中e 为自然对数的底数）的图象如图所示，则（ ）A. 0m >，01n <<B.0m >，10n -<<C.0m <，01n <<D.0m <，10n -<<17. 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和.若对任意的n N *∈，有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（ ） A.43 B.32 C.53D.2 18. 已知x ，y 是正实数，则下列式子中能使x y >恒成立的是（ ）A.21x y y x +>+ B.112x y y x +>+ C.21x y y x ->- D.112x y y x ->- 二 填空题(每空3分)19. 圆22(3)1x y -+=的圆心坐标是_______，半径长为_______.20. 如图，设边长为4的正方形为第1个正方形，将其各边相邻的中点相连， 得到第2个正方形，再将第2个正方形各边相邻的中点相连，得到第3个正方形，依此类推，则第6个正方形的面积为____ __.21.已知lg lg lg()a b a b -=-，则实数a 的取值范围是_______. 22. 已知动点P 在直线:22l x y +=上，过点P 作互相垂直的直线PA ，PB 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OM OP ⋅的最小值为_______.三 解答题23. （本题10分）已知函数13()sin cos 2f x x x =+，x R ∈. （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并求出取到最大值时x 的集合.24.（10分）如图，直线l 不与坐标轴垂直，且与抛物线2:C y x =有且只有一个公共点P .（Ⅰ）当点P 的坐标为(1,1)时，求直线l 的方程； （Ⅱ）设直线l 与y 轴的交点为R ，过点R 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点.当2RA RB RP ⋅=时，求点P 的坐标.24. (11分)设函数2()3()f x ax x a =-+，其中a R ∈.（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的值域； （Ⅱ）若对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，求实数a 的取值范围.2018年6月浙江省数学学考试卷答案一 选择题二 填空题 19.(3,0)；1. 20, 12. 21. [4,)+∞. 22. 25. 三 解答题 23解答：（Ⅰ）1313()sin cos 16262644f πππ=+=+=.（Ⅱ）因为()cossin sin cos sin()333f x x x x πππ=+=+，所以，函数()f x 的最大值为1，当232x k πππ+=+，即2()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取到最大值，所以，取到最大值时x 的集合为{|2,}6x x k k Z ππ=+∈.24.答案：（Ⅰ）210x y -+=；（Ⅱ）11(,)42±. 解答：（Ⅰ）设直线l 的斜率为(0)k k ≠，则l 的方程为1(1)y k x -=-，联立方程组21(1)y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去x ，得210ky y k -+-=，由已知可得14(1)0k k ∆=--=，解得12k =，故，所求直线l 的方程为210x y -+=. （Ⅱ）设点P 的坐标为2(,)t t ，直线l 的斜率为(0)k k ≠，则l 的方程为2()y t k x t -=-，联立方程组22()y t k x t y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消去x ，得220ky y t kt -+-=，由已知可得214()0k t kt ∆=--=，得1(0)2k t t =≠，所以，点R 的纵坐标22t t kt -=，从而，点R 的纵坐标为(0,)2t ，由m l ⊥可知，直线m 的斜率为2t -，所以，直线m 的方程为22t y tx =-+.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线m 的方程代入2y x =，得22224(21)04t t x t x -++=，所以2242(21)4410t t t ∆=+-=+>，12116x x =，又1RA =，2RB =，24214RP t t =+，由2RA RB RP ⋅=，得242121(14)4t x x t t +=+，即24211(14)164t t t +=+，解得12t =±，所以，点P 的坐标为11(,)42±. 25.解答：（Ⅰ）当1a =时，2251,0()1,0x x x f x x x x ⎧---≤⎪=⎨-+->⎪⎩， （ⅰ）当0x ≤时，2521()()24f x x =-++，此时21()(,]4f x ∈-∞； （ⅱ）当0x >时，213()()24f x x =---，此时3()(,]4f x ∈-∞-， 由（ⅰ）（ⅱ），得()f x 的值域为21(,]4-∞.（Ⅱ）因为对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，所以()1(1)1f a f a ≥-⎧⎨+≥-⎩，即2223413(1)(21)1a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩，解得10a -≤≤. 下面证明，当[1,0]a ∈-，对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-， （ⅰ）当0a x ≤≤时，22()f x x ax a =-+-，2()(0)1f a f a ==-≥-，故()min{(),(0)}1f x f a f ≥≥-成立；（ⅱ）当01x a ≤≤+时，22()5f x x ax a =---，(1)1f a +≥-，(0)1f ≥-，故()min{(1),(0)}1f x f a f ≥+≥-成立.由此，对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-. 所以，实数a 的取值范围为[1,0]-.。
浙江省强基(培优)联盟2024年高二下学期7月学考联考(期末)数学试题及答案
浙江强基（培优）联盟2024年7月学考联考高二数学试题卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有（时间80分钟总分100分）选择题部分一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．函数()f x = ）A ．[)1,+∞B ．[)1,−+∞C ．(],1−∞D ．(],1−∞−2．已知集合{}{}21,2,3,4,20AB x xx ==−−=，则A B = （ ）A ．{}1,1,2,3,4−B ．{}1,2,3,4C ．{}1,0,1,2,3,4−D ．{}2,1,2,3,4−3．在ABC △中，D 为边AB 的中点，则（ ）A ．0AD BD −=B ．0AD DB +=C ．CB CD BD −=D ．2CA CB CD +=4．数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数是（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.55．从第4题所给的数据中随机选择一个数，则这个数平方的个位数是6或9的概率为（ ） A ．14B ．38C ．12D ．586．已知空间中两个不重合的平面α和平面β，直线l ⊂平面α，则“l β∥”是“αβ∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．不等式1101x +≤−的解集是（ ） A ．[)0,1B ．(]0,1C ．[]1,2D ．(]1,28．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为181425G L=×，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，G 表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.301≈）（ ） A ．16B ．72C ．74D ．909．在ABC △中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知45,75a B C ==°=°，则b 等于（ ）A ．2B ．CD ．10．已知函数()222x x f x =−，则其图象一定不过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知α为锐角，且22sin cos cos sin 55ππαα=，则sin2α的值为（ ） A ．45 B ．513C ．2425D ．91612．已知正方体1111ABCD A B C D −，点M 在1B C 上运动（不含端点），点N 在11B D 上运动（不含端点），直线MN 与直线AC 所成的角为α，直线MN 与平面1ACB 所成的角为β，则下列关于,αβ的取值可能正确的是（ ） A ．30α=°B ．45α=°C ．60β=°D ．75β=°二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13．民营经济是推进中国式现代化的生力军，是浙江的最大特色、最大资源和最大优势．为了更好地支持民营企业的发展，我省某市决定对部分企业的税收进行适当的减免．某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）A ．样本数据落在区间[)300,500内的频率为0.45B ．若规定年收人在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型民营企业能享受到减免税政策C ．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收人不少于400万元的有80家D ．估计样本的中位数为480万元14．已知复数12,z z ，则下列结论正确的有（ ） A ．2211z z = B ．1212z z z z +=+ C ．1212z z z z =⋅D ．1212z z z z +=+15．已知平面向量12,e e 的夹角为π3，且121e e == ，若12122,a e e b e e =−=+ ，则下列结论正确的是（ ）A ．a b ⊥B ．a =C ．a b a +=D ．a 在b 上的投影向量为12b −16．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+−为奇函数．此结论与必修一教材上的结论相吻合，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()211x f x x +=−的图象关于点()1,2成中心对称图形 B ．若定义在R 上的函数()f x 对任意的x 都有()()22f x f x ++−=，则函数()f x 图象的对称中心为()2,2C ．若()yf x a =+是偶函数，则()f x 的图象关于直线x a =成轴对称D ．若函数()f x 满足()11y f x =+−为奇函数，且其图象与函数()422x g x =+的图象有2024个交点，记为()(),1,2,,2024i i i A x y i = ，则()202414048ii i xy =+=∑非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17．已知一圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为________；体积为________． 18．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖懦是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角ABC △中，AD 为斜边BC 上的高，3,4AB AC ==，现将ABD △沿AD 翻折成AB D ′△，使得四面体AB CD ′为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为________19．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()121,,234P A P B P AB ===，则()P A B = ________． 20．若函数()20(1)f x x ax b a =++=>的值域为[)0,+∞，则11a b a ++−的最小值为________． 四、解答题（本大题共3小题，共33分）21．已知函数()πsin2sin 23f x x x=−+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知锐角ABC △三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2,3b c ==，若()f A =，求ABC △的面积．22．如图，在三棱台111ABC A B C −中，1111124,AA AC AC BC CC AA =====⊥平面,,ABC AB BC D ⊥为AB 的中点．（1）证明：111A B DC ⊥．（2）过11,,A D C 的平面把三棱台111ABC A B C −分成两部分，体积分别是1V 和()212V V V <，求12V V 的值． （3）求平面1CC D 和平面1ABB 所成锐二面角的正切值．23．已知函数()()21,0,2,0,x x f x g x x x −≥== −< ． （1）若()()f x g x ≤，求x 的取值范围． （2）记{}(),max ,(),a ab a b b a b ≥=< 已知函数()(){}max ,2yf xg x ax −−有k 个不同的零点．（ⅰ）若2k =，求a 的取值范围；（ⅱ）若3k =，且,αβ是其中两个非零的零点，求11αβ+的取值范围．浙江强基（培优）联盟2024年7月学考联考高二数学参考答案一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A D B D B A C A BDC1．解：要使函数有意义，则10x −≥，得1x ≤，所以函数的定义域为(],1−∞．故选C ． 2．解：因为{}{}1,2,3,4,1,2A B ==−，所以{}1,1,2,3,4A B− ．故选A ．3．解：由平行四边形法则可知2CA CB CE CD +==．故选D ．4．解：因为825%2×=，所以第25百分位数为2和3的平均数，即为2.5．故选B ．5．解：样本空间的样本点总数为8，事件A （这个数平方的个位数是6或9）的样本点为4，6，3，7，7，共5个，所以概率58P =．故选D ． 6．解：当l β∥时，α与β可能相交也可能平行，故l β∥不能推出αβ∥；反之，αβ∥可以推出l β∥．故“l β∥”是“αβ∥”的必要不充分条件．故选B ．7．解：不等式可化为1101x +=≤−，等价于()10,10,x x x−≤ −≠ 解得01x ≤<，所以不等式的解集为[)0,1．故选A ．8．解：由题意知，只要解不等式18141255G×≤ ，化简得42lg lg 1855G ≤．因为4lg 05<，所以lg2lg52lg214.118lg4lg53lg21G −−≥=≈−−，所以18 4.173.8G ≥×=．故选C ． 9．解：由三角形内角和定理得60A =°sin 45b =°，解得2b =．故选A ． 10．解：因为1x ≠，取2x =，得()22f =，所以()f x 在第一象限有图象，取12x =，得102f=<，所以()f x 在第四象限有图象，取1x =−，得()21(1)1022f −−−=<−，所以()f x 在第三象限有图象．由排除法知图象不过第二象限．故选B ．11．解：因为α是锐角，所以2π2ππ2π2ππ0cos ,0sin 552552αα<<<<<<， 所以2ππ2πcos sin 525αα=−，化简得5cos sin 4αα+=，平方得251sin216α+=， 所以9sin216α=．故选D ．12．解：由题意可知，四面体11D AB C 为正四面体，设直线AC 与平面11B D C 所成的角为1θ，易知1cos θ=由最小角定理得11,cos cos αθαθ><，故A ，B 错误．再设平面11B D C 与平面1ACB 所成的角为2θ，易知21cos 3θ=，由最大角定理得22,cos cos θβθβ><，代入选项得C 可能正确．故选C ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13141516ABD BC BCD ACD13．解：由()0.0010.00150.0020.000521001a ++++×=，得0.0025a =， 所以数据落在区间[)300,500内的频率为()0.0020.00251000.45+×=，A 正确； 数据落在区间[)200,500内的频率为()0.0010.0020.00251000.55++×=，B 正确；100n =，年收入大于或等于400万元的有四组，其频率和是()1000.00250.00250.00150.7×+++=，所以符合条件的民营企业有0.710070×=家，C 错误； 数据落在区间[)200,400内的频率为0.3，数据落在区间[)200,500内的频率为0.55，估计中位数为0.50.34001004800.25−+×=，D 正确．故选ABD ．14．解：对于A ，若1i z =，则22111,1z z =−=，故A 错误； 对于B，设12i,iz a b z c d =+=+，则()()()()1212i,i i i z z a c b d z z a b c d a c b d +=+−++=−+−=+−+，故B 正确；对于C ，设12i,i z a b z c d =+=+，则()()12i z z ac bd ad bc =−++==，2212z z ⋅=故C 正确；对于D ，若121i,i z z =+=，则121z z +=+，故D 错误．故选BC ．15．解：由题意得22121211,2e e e e ==⋅= ．对于A ，()()2212121122132212022a b e e e e e e e e ⋅=−⋅+=−⋅−=−−=−≠ ，故A 错误； 对于B，a =B 正确； 对于C ，方法同B ，故C 正确；对于D，易得b = a 在b 上的投影向量为31232a bb b b b b⋅⋅=−⋅=−，故D 正确．故选BCD ． 16．解：对于A ，因为()312f x x+−=为奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,2成中心对称图形，故A 正确； 对于B，设()()g x f x a b=+−，若()g x 是奇函数，则()()()()0g x g x f x a b f x a b +−=+−+−+−=，所以()()2f x a f x a b ++−+=，因为()()22f x f x ++−=，所以()1f x +−1为奇函数，所以()f x 图象的对称中心为()1,1，故B 错误；对于C ，设()()g x f x a =+，因为()g x 是偶函数，所以()()g x g x =−，则()()f x a f x a +=−+，所以()f x 的图象关于直线x a =成轴对称，故C 正确；对于D ，显然()f x 的图象关于点()1,1成中心对称图形，再考虑()422x g x =+的对称性， ()422x g x =+可化为()()()4,22x a h x g x a b b h x +=+−=−+为奇函数， 则()()()00,11,h h h = −=− 即1140,2244,2222a a ab b −+ − + −=−+ ++即11448222222a a a−++=+++， 令2at =，则2124222t t t +=+++，即220t t −=，解得2t =或0t =（舍去）， 所以22a =，则1,1a b ==，因为()h x 为奇函数，所以()422xg x =+图象的对称中心为()1,1． ()f x 与()g x 有相同的对称中心，所以2024个交点每两个一组关于点()1,1中心对称，()()()2024123202412320241202420244048iii x y xx x x y y y y =+=+++++++++=+=∑ ，故D 正确．故选ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17．2π 18．16π19．71220．317．解：由题意得圆锥的高h =，所以21π2π,π3S rl V r h ====侧． 18．解：由题意得AC 的中点是外接球的球心，所以22,4π16πR S R ===． 19．解：由概率的性质得()()()P A P AB AB P =+，所以()()()111244P AB P A P AB =−=−=，所以()()()()1217123412P A B P A P B P AB =+−=+−= ． 20．解：由题意得2Δ40a b =−=，所以()()2221144(2)4114141a a a b a a a a a a a +++++++====−−−−()()()22(1)6191(13)119116634141414a a a a a a a −+−+−+ ⋅=⋅=−++≥+= −−− ，当且仅当4a =时，等号成立，则最小值为3．四、解答题（本大题共3小题，共33分）21．解：（1）()πππsin 2sin 2sin 2sin 2cos cos2sin 333f x x x x x x=−+=−−1πsin 2sin 223x x x==−， 所以2ππ2T ==． （2）因为()πsin 23f x x =−，所以()πsin 23f A A=−=． 因为A 是锐角三角形的内角，所以ππ233A −=或π2π233A −=（舍去）， 所以π3A =．又2,3b c ==， 所以ABC △的面积1π23sin 23S =×××=． 22．（1）证明：如图1，连接1AC，得1AC =1BC ．因为1AA ⊥平面ABC ，所以1AA BC ⊥． 又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面11ABB A ， 所以在直角梯形11BCC B中，1111BC B C BB A D====所以1BC =，即1ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，D 是AB 的中点，所以1AB DC ⊥．又11AB A B ∥，所以111A B DC ⊥．（2）解：如图2，取BC 的中点E ，连接1,DE C E ，可得11AC DE ∥． 所以过11,,A C D 的平面把棱台分成斜棱柱111DBE A B C −和几何体11ADECC A 由题意得()111128414233ABCA B C V =××++=棱台，111DBE-1442A B C V =××=棱柱． 因为1128164433ADECA C V =−=>几何体， 所以12164,3V V ==，故12431643V V ==．（3）解：如图3，取11A B 的中点F ，连接1,C F DF ，则DF 是平面1DCC 和平面11ABB A 所成二面角的棱，由于BC ⊥平面11ABB A ，过B 作FD 延长线的垂线，垂足为G ，连接CG ，易证得BGC ∠为所求的角．延长1AA 和1BB 交于点O ，过A 作FD 的垂线，垂足为H （如图4），易得8,AO AD ==，GBAH ==，所以tan BGC ∠==． 即平面1CC D 和平面11ABB A．23．解：（1）由题意得函数()g x 的定义域为[]1,1−．当[]0,1x ∈时，不等式()()f x g x ≤等价于21x −≤当[)1,0x ∈−时，不等式())f x g x ≤等价于2x −≤，即221x ≤，解得0x ≤<． 综上，()()f x g x ≤的解集为， 即当x的取值范围为时，()()f x g x ≤成立． （2）（ⅰ）令()()(){}()(),1max ,,1,f x x h x f x g x g x x −≤< ==≤≤ 原题可转化为()2h x ax =+的实根个数问题（二重根为一个零点）．当1x −≤≤时，即为()2f x ax =+，所以22x ax −=+至多一个实根①；当1x ≤≤时，即为()2g x ax =+，所以2ax =+至多两个实根②．由①知，21,2x a −=∈− + ，所以02a ≤<−，由②知，2ax =+，所以0x =或244a x a =−∈ +，所以2a ≤−或2a ≥+，且0a ≠．当2k =时，若0a =，则有两个零点0和-1，符合题意．当0a <时，①无实根，对于②，只要2414a x a =−≤+，化简得2(2)0a +≥，则20a −≤<，符合题意．当0a >时，若02a <<−，则有三个不等实根，不符合题意．若2a =−，则有两个零点0和，符合题意．若2a >−，则仅有一个零点0，不符合题意．综上所述，当2k =时，a 的取值范围为[]{}2,02−∪−．7分（ⅱ）由（ⅰ）得当3k =时，02a <<−，且三个零点分别为224,,024a a a −−++，显然,0αβ≠，所以()11311,24a a a αβ+=++∈−．9分易得函数3114y a a =++在()2−上单调递减，所以3114y a a =++>所以()11αβ+∈+∞．。
2022年1月浙江学考数学真题及解析
2022年1月浙江学考数学真题及解析姓名：___________班级：___________一、单选题1．已知集合P ={0，1，2}，Q ={1，2，3}，则P ∩Q =（ ） A ．{0} B ．{0，3}C ．{1，2}D ．{0，1，2，3}2．函数1()2f x x =-的定义域是 A ．{|2}x x <B ．{|2}x x >C ．RD ．{|2}x x ≠3．函数2x y -=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知α∈R ，则cos （π-α）=（ ） A ．sin αB ．-sin αC ．cos αD ．-cos α5．已知圆M 的方程为22(1)(2)4x y ++-=，则圆心M 的坐标是（ ） A ．（1-，2）B ．（1，2）C ．（1，2-）D ．（1-，2-）6．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（ ）A ．棱柱B ．圆柱C ．圆台D ．球7．已知函数32y ax =（>0a ），则此函数是（ ） A ．偶函数且在（-∞，+∞）上单调递减 B ．偶函数且在（-∞，+∞）上单调递增 C ．奇函数且在（-∞，+∞）上单调递减D ．奇函数且在（-∞，+∞）上单调递增8．不等式240x x -<的解集是（ ） A ．()0,4B ．()4,0-C ．(),4-∞D ．()(),04,-∞⋃+∞9．设A ，B 是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P 满足||P A |-|PB ||=3，则P 点的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线10．不等式组25020x y x y -+≥⎧⎨++<⎩表示的平面区域是（ ）A ．B ．C ．D ．11．己知空间中两条不重合的直线,a b ，则“a 与b 没有公共点”是“//a b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．为了得到函数1cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移13个单位长度 D ．向右平移13个单位长度 13．已知函数2()2f x x ax b =-+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]14．已知向量,a b 满足4,6,8a b a b ==+=，则a b -=（ ）A ．2B ．C ．8D ．15．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，N 是棱1DD 的中点，则直线CN 与平面11DBB D 所成角的正弦值等于（ ）A ．12B C D 16．若22log (21)log (23)x xx λλ--<⋅+对任意()0,x ∈+∞恒成立，则λ的取值范围是（ ） A ．1(,)9+∞B ．1(0,)9C ．1(,)5+∞D ．1(0,)517．已知单位向量12,e e 不共线，且向量a 满足1||.4a =若121|(1)|4a e e λλ-+-≥对任意实数λ都成立，则向量12,e e 夹角的最大值是（ ） A ．2π B ．23πC ．34π D ．56π 18．通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为{}n a ，则1025a 的值是（ ） A ．6 B ．12C ．18D ．108二、填空题19．若数列{}n a 通项公式为2n a n =，记前n 项和为n S ，则2a =___________；4S =_____.20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a =2，A =45°，B =60°，则b =___________.21．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F .已知点)M ，线段2MF 交椭圆于点P ，O 为坐标原点.若12PO PF a +=，则该椭圆的离心率为___________.22．如图，E ，F 分别是三棱锥V -ABC 两条棱AB ，VC 上的动点，且满足2(0,0)EF xAV yBC x y =+>>则22x y +的最小值为___________.三、解答题23．已知函数()3sin(2),6f x x x R π=+∈. (1)求()0f 的值； (2)求()f x 的最小正周期.24．如图，已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2.(1)求p 的值；(2)设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，记△AOB 的面积为S ，当6FA FB S =时，求直线l 的方程. 25．已知函数1(),f x x a a a R x=--+∈. (1)若f （1）=2，求a 的值；(2)若存在两个不相等的正实数12,x x ，满足12()()f x f x =，证明： ①1222x x a <+<；②2211x a x <+.2022年1月浙江学考数学解析：1．C【解析】利用交集的运算由已知P ={0，1，2}，Q ={1，2，3}，则用交集运算得P ∩Q ={1，2}； 故选：C. 2．D【解析】利用分母不为零由分母不为零，即20x -≠，得2x ≠ 所以函数1()2f x x =-的定义域为{|2}x x ≠。
浙江省绍兴区上虞区2022-2023学年高二下学期(6月)学考适应性考试数学试题(含答案)
2022学年第二学期高二学考适应性考试数学试题（时间80分钟 总分100分）选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合{}0,1,2A =，{}0,2,4B =，则A B ⋃=A ． ∅B ．{}0,2C ．{}14，D ．{}0,124，， 2．函数ln(1)y x =+的定义域是A.(1,)-+∞B.[1,)-+∞C.(0,)+∞D.[0,)+∞3.设命题2:,25p n N n n ∃∈>+，则p 的否定为A ．2,25n N n n ∀∈>+ B. 2,25n N n n ∀∈≤+C. 2,25n N n n ∃∈≤+D. 2,25n N n n ∃∈=+4.设R α∈，则sin()2πα-=A.sin αB.sin α-C.cos αD.cos α-5..已知向量(,1)a x =，(2,3)b =-，若a b ⊥，则实数x 的值是 A.23- B.23 C.32- D.326.若数据12,,n x x x ，的平均数为x ，方差为2s ，则1252,52,,52n x x x +++的平均数 和方差分别为 A. 2,x s B. 252,x s + C. 252,25x s + D.2,25x s7．要得到函数()sin 2g x x =的图象，只需将()sin(2)4f x x π=-函数的图象 A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移8π个单位 D.向左平移8π个单位 8．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字， 把乙猜的数字记为b ，其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈，若a b =或1a b =-，就称甲乙“心有灵犀”. 现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为A ． 736 B. 14 C. 1136 D. 5129.科学研究已经证实，人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期按 sin()y x ωϕ=+进行变化. 记智力曲线为I ，情绪曲线为E ，体力曲线为P ，且现在三条曲线都处于x 轴的同一点处，那么第322天时A ．智力曲线I 处于最低点B ．情绪曲线E 与体力曲线P 都处于上升期C ．情绪曲线E 与体力曲线P 都关于（322,0）对称D ．智力曲线I 与情绪曲线E 相交 10．两条异面直线与同一平面所成的角，不可能．．．的是 A ．两个角均为锐角 B. 一个角为00，一个角为090C. 两个角均为00D.两个角均为09011. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:()f x 为奇函数,(1)f x +为偶函数,当01x ≤≤时,()21x f x =-,则2(log 2024)f 等于A.125128-B. 125128C.128125-D. 128125 12.在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的半径为A. B.C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
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一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均你不得分。
）1.已知集合A=｛1,2,3｝，B ｛1,3,4,｝，则A ∪B=A.｛1,3｝B.｛1,2,3｝C.｛1,3,4｝D.｛1,2,3,4｝2.已知向量a=（4,3），则|a|=.4 C3.设θ为锐角，sin θ=31，则cos θ= A.32 B.32C.36D.3224.log 241= 21 C.215.下面函数中，最小正周期为π的是=sin x =cos x =tan x =sin 2x6.函数y=112++-x x 的定义域是 A.(-1,2] B.[-1,2] C.(-1,2) D.[-1,2)7.点（0,0）到直线x +y-1=0的距离是A.22 B.23 D.2 8.设不等式组⎩⎨⎧-+-0＜420＞y x y x ，所表示的平面区域为M ，则点（1,0）（3,2）（-1,1）中在M 内的个数为.1 C9.函数f(x )=x ·1n|x |的图像可能是10.若直线l 不平行于平面a ，且a l ⊄则内所有直线与l 异面 内只存在有限条直线与l 共面 内存在唯一的直线与l 平行 内存在无数条直线与l 相交11.图（1）是棱长为1的正方体ABCD —A1B1C1D1截去三棱锥A1—AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图（2）的集合体的正视图为（1） （2） （第11题图）222222222222222212.过圆x 2=y 2-2x-8=0的圆心，且与直线x=2y=0垂直的直线方程是=y=2=0 =2y-1=0 =y-2=0 =013.已知a,b 是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a 2+b 2＜1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.设A ，B 为椭圆2222by a x =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1k 2.若k 1·k 2=-43，则该椭圆的离心率为A.41B.31C.21D.23 15.数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =23a n -n ·n ∈N ﹡,则下列为等比数列的是A.{a n +1}B.{a n -1}C.{S n +1}D.{S n -1}16.正实数x ，y 满足x+y=1，则yx y 11++的最小值是 +2 +22 D.21117.已知1是函数f (x )=a x 2+b x +c(a ＞b ＞c)的一个零点，若存在实数0x ，使得f (0x )＜0,则f (x )的另一个零点可能是 0x 0x 21 C.0x +23D.0x +2 18.等腰直角△ABC斜边BC 上一点P 满足CP ≤41CB ，将△CAP 沿AP 翻折至△C ′AP ，使两面角C ′—AP —B 为60°记直线C ′A ，C ′B ，C ′P 与平面APB 所成角分别为a ，β，γ，则＜β＜γ ＜γ＜β C.β＜a ＜γ D.γ＜a ＜β二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。
）19.设数列{a n }的前n 项和S n ，若a n =2n-1,n ∈N ﹡,则a 1= ▲ ，S 3=▲ .20.双曲线16922y x -=1的渐近线方程是 ▲ . 21.若不等式∣2x -a ∣+∣x +1∣≥1的解集为R ，则实数a 的取值范围是▲ .22.正四面体A —BCD 的棱长为2，空间动点P 满足PC PB +=2，则AP ·AD 的取值范围是 ▲ .三、解答题（本大题共3小题，共31分。
）23.（本题10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知cos A=21.（1）求角A 的大小；（2）若b=2，c=3，求a 的值；（3）求2sinB+cos （6π+B ）的最大值.24.（本题10分）如图，抛物线x 2=y 与直线y=1交于M ，N 两点.Q 为抛物线上异于M ，N 的任意一点，直线MQ 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线NQ 与x 轴、y轴分别交于C ，D.（1）求M ，N 两点的坐标；（2）证明：B ，D 两点关于原点O 对称； （3）设△QBD ，△QCA 的面积分别为S 1，S 2， 若点Q 在直线y=1的下方，求S 2-S 1的最小值.25.（本题11分）已知函数g(x ) =-t ·21+x -31+x ,h(x )=t ·x x 32-， 其中x，t ∈R.（第24题图） （1）求(2)-h(2)的值（用t 表示）； （2）定义[1，+∞）上的函数)(x f 如下：[)[)⎩⎨⎧+∈⋅-∈⋅=12,2)(,2.12)()(k k x x h k k x x g x f （k ∈N ﹡）.若)(x f 在[1，m ）上是减函数，当实数m 取最大值时，求t 的取值范围.一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均你不得分。
）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。
）19. 1,9 =x 34± 21.(-∞,-4]∪[0,+∞) 22.[0,4]三、解答题（本大题共3小题，共31分。
）23.解：（1）因为cos A-21,且A 是三角形的内角.因此A=3π（2）由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bccosA =7. 因此a=7（3）因为2sin B+cos(6π+B)=23sin B+23cos B=3sin(B+6π).又0＜B ＜32π. 所以，当B-3π时，2sinB+cos(6π+B)取最大值3.24.解：（1）由⎩⎨⎧==12y x y ，解得⎩⎨⎧=-=11y x ，或⎩⎨⎧==11y x .因此M ，N 的坐标为M （-1,1），N （1,1）. （2）设点Q 的坐标为Q （0x ，20x ），则 直线MQ 的方程为y=(0x -1)（x +1）+1.令x =0.得点B 的坐标为B （0，0x ）. 直线NQ 的方程为y=(0x +1)（x -1）+1. 令x =0.得点D 的坐标为D （0，-0x ）. 综上所述，点B ，D 关于原点O 对称.（3）由（2）得∣BD ∣=2∣0x ∣，因此S 1=21.∣BD ∣·∣0x ∣=20x .在直线MQ 的方程中，令y=0，得A （1x x -，0） 在直线NQ 的方程中，令y=0，得C （1x x +，0）. 因此|AC|=|001x x --001x x +|=2212x x -， S 2=21·|AC|·20x =2401x x -， S 2-S 1=20401x x --20x =24012x x -， 令t=1-20x ，由题意得-1＜0x ＜1，所以0＜t ≤1，因此S 2-S 1=（2t+t1)-3≥22-3,当且仅当t=22，即0x =222-±时取等号.综上所述，S 2-S 1的最小值是22-3.25.解：（1）g(2)-h(2)=-12t-18.（2）由g(2)≥h(2)及h(3)≥g(3),得-49≤t ≤-23，此时g(4)-h(4)=-48t-162＜0, 所以m ≤4.①任取x 1x 2∈[1，+∞），且x 1＜x 2，那么112+x ＞0.因为（23)12+x +t ＞(23)11+x +t ≥49+t ≥0,所以212+x [(23)12+x +t]＞211+x [(23)11+x +t].因此g(1x )-g(2x )=(-t ·211+x -311+x )-(-t212+x -312+x ) =212+x [(23)12+x +t]-211+x [(23)11+x +t]＞0, 即g(1x )＞g(2x ) . 从而g(x )在[1，+∞]上为减函数，故g(x )在[3,4）上都是减函数，②因为-49≤t ≤-23，所以h(x )=t ·2x -3x 在[2,3）上为减函数.综上所述，)(x f 在[1,m)上是减函数，实数m 的最大值为4，此时t 的取值范围是[-49，-23].。