数值分析计算实习题列主元高斯消去法解线性方程组
用列主元高斯消元法求线性代数方程组的解
课程设计任务书前 言回顾普通解方程组的方法，一般都是先逐个削去未知变量，最终得到只有一个未知变量的方程，解之，把得到的值回代到消去变量过程中得到的方程组，逐个求出未知变量。
这种解线性方程组的基本方法就是这里要介绍的高斯消去法。
数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。
高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。
高斯消元法可以用来找出一个可逆矩阵的逆矩阵。
用关联矩阵表述网络拓扑结构,并根据厂站拓扑结构和网络拓扑结构等概念简化了电力系统的拓扑结构。
根据广义乘法和广义加法的运算规则,将改进的高斯消元算法应用于电力系统拓扑结构分析中,并引入稀疏、分块处理等技术提高了上述拓扑分析的效率。
采用上述高斯消元算法对山东电网220kV 以上的变电站进行拓扑结构分析,结果表明了运用该高斯消元法进行网络拓扑分析的正确性和有效性。
用列主元素法，选取每列的绝对值最大的元素作为消去对象并作为主元素。
然后换行使之变到主元位子上，在进行消元计算。
设)()(k k b X A ，确定第k 列主元所在位置k i ，在交换k i 行和k 行后，在进行消元，并用MATLAB 软件进行求解。
目录摘要......................................................................................... 错误!未定义书签。
第1章绪论 ........................................................................... 错误!未定义书签。
第2章高斯消元法的算法描述 (2)2.1高斯消元法的原理概述 (2)2.1.1高斯消元法的消元过程 (2)2.1.2高斯消元法的回带过程 (3)2.1.3高斯消元法的复杂度分析 (4)2.2列主高斯消元法原理简介 (5)2.2.1列主高斯消元法的消元过程 (6)2.2.2列主高斯消元法的回带过程 (6)2.2.3列主高斯消元法的算法描述 (6)第3章高斯消元法的物理应用 (9)3.1电网模型的描述 (9)3.2电网模型的问题分析 (9)3.3求解计算 (11)参考文献 (13)摘 要用列主元素高斯消去法法，选取每列的绝对值最大的元素作为消去对象并作为主元素。
数学实验“线性方程组高斯消去法”实验报告(内含matlab程序)
西京学院数学软件实验任务书实验一实验报告一、实验名称：线性方程组高斯消去法。
二、实验目的：进一步熟悉理解Guass 消元法解法思路，提高matlab 编程能力。
三、实验要求：已知线性方程矩阵，利用软件求解线性方程组的解。
四、实验原理：消元过程：设0)0(11≠a ，令乘数)0(11)0(11/a a m i i -=，做（消去第i 个方程组的i x ）操作1i m ×第1个方程+第i 个方程（i=2，3，.....n ）则第i 个方程变为1)1(2)1(2...i n in i b x a x a =++ 这样消去第2，3，。
，n 个方程的变元i x 后。
原线性方程组变为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++)1()1(2)1(2)1(2)1(22)1(22)0(1)0(11)0(11... . .... ...n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a 这样就完成了第1步消元。
回代过程：在最后的一方程中解出n x ，得：)1()1(/--=n nn n n n a b x再将n x 的值代入倒数第二个方程，解出1-n x ，依次往上反推，即可求出方程组的解：其通项为3,...1-n 2,-n k /)()1(1)1()1(=-=-+=--∑k kk n k j j k kj k k k a x a bx五、实验内容：function maintest2clcclear allA=[1 3 4;2 4 5;1 4 6];%系数矩阵 b=[1 7 6]'%常数项num=length(b)for k=1:num-1for i=k+1:numif A(k,k)~=0l=A(i,k)/A(k,k); A(i,:)=A(i,:)-A(k,:).*l; b(i)=b(i)-b(k)*l; endendendAb%回代求xx(num)=b(num)/A(num,num);for i=num-1:-1:1sum=0;for j=i+1:numsum=sum+A(i,j)*x(j);endx(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endxEnd六、实验结果：A =1.0000 3.0000 4.0000 0 -2.0000 -3.00000 0 0.5000b =1.00005.00007.5000x =16 -25 15。
数值分析列主元高斯消去法
实验四：列组元消去法一、目的1）熟悉列主元高斯消元法解线性方程组的算法2）掌握列主元高斯消去法的编程二、实验原理列主元素消去法是为控制舍入误差而提出来的一种算法,在Gauss消去法的消元过程中,若出现a=0,则消元无法进行,即使其不为0,但很小,把它作为除数,就会导致其他元素量级的巨大增长和舍入误差的扩散,最后使计算结果不可靠.使用列主元素消去法计算,基本上能控制舍入误差的影响,并且选主元素比较方便.三、运行结果四、代码using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;using System.Text;namespace高斯{class Program{static double[] Gause(double[,] a, int n){int i, j, k;int rank, columm;double temp, l, s, mx;double[] x = new double[n];for (i = 0; i <= n - 2; i++){mx = Math.Abs(a[i, i]);rank = i;columm = i;for (j = i + 1; j <= n - 1; j++) //选主元if (Math.Abs(a[j, i]) > mx){mx = Math.Abs(a[j, i]);rank = j;columm = i;}for (k = 0; k <= n; k++) //主元行变换{temp = a[i, k];a[i, k] = a[rank, k];a[rank, k] = temp;} //消元for (j = i + 1; j <= n - 1; j++){l = a[j, i] / a[i, i];for (k = i; k <= n; k++)a[j, k] = a[j, k] - l * a[i, k];}}x[n - 1] = a[n - 1, n] / a[n - 1, n - 1]; //回代方程求解x for (i = n - 2; i >= 0; i--){s = 0;for (j = i + 1; j <= n - 1; j++)s = s + a[i, j] * x[j];x[i] = (a[i, n] - s) / a[i, i];}return x;}static void Main(string[] args){double[,] a = new double[4, 5] { { 10, -7, 0, 1, 8 }, { -3, 2.099999, 6, 2, 5.900001 }, { 5, -1, 5, -1, 5 }, { 2, 1, 0, 2, 1 } };int n = 4;double[] x = new double[n];x = Gause(a, n);Console.WriteLine("高斯消去法方程：");for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++)Console.Write(a[i, j].ToString() + " ");Console.WriteLine();}Console.WriteLine("线性方程组的解：");for (int i = 0; i <= n - 1; i++)Console.Write("x" + (i + 1).ToString() + "=" +x[i].ToString() + " ");Console.WriteLine();Console.ReadLine();}}}四、分析通过本次实验的学习，学会根据算法编写基本的相关程序，虽然此次程序模板由老师给予，但认真阅读理解程序有助于今后的学习，再利用计算机中的C语言对高斯列主元消去法可以快速得到线性方程组的解，由简单的线性方程组可以推广到一般n阶线性方程组，这对如何利用高斯列主元消去法解决实际问题有了一定的经验。
数值分析高斯顺序消去法、列主元消去法LU分解法
数值分析实验报告（1）学院：信息学院班级：计算机0903班姓名：***学号：********课题一A.问题提出给定下列几个不同类型的线性方程组，请用适当的方法求解线性方程组1、设线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------------------1368243810041202913726422123417911101610352431205362177586832337616244911315120130123122400105635680000121324⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2119381346323125 x *= ( 1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2 )T2、设对称正定阵系数阵线方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------------19243360021411035204111443343104221812334161206538114140231212200420424⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡87654321x x x x x x x x = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---4515229232060 x * = ( 1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2 )T3、三对角形线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------------4100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----5541412621357 x *= ( 2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1 )TB.（1）对上述三个方程组分别用Gauss 顺序消去法与Gauss 列主元消去法；平方根 与改进平方根法；追赶法求解（选择其一） （2）编写算法通用程序（3）在应用Gauss 消去时，尽可能利用相应程序输出系数矩阵的三角分解式C.(1)通过该课题的程序编制，掌握模块化结构程序设计方法 (2)掌握求解各类线性方程组的直接方法，了解各种方法的特点 (3)体会高斯消去法选主元的必要性 实验步骤：（高斯消去法，列主元，LU ）1顺序高斯消去法2.LU 分解法3.列主元高斯消去法（如下图）（1）高斯消去法运行结果如下（2）对方程的系数矩阵进行LU分解并求出方程组的解（3）列主元高斯消去法实验体会总结：利用gauss消去法解线性方程组的时候，如果没有经过选主元，可能会出现数值不稳定的现象，使得方程组的解偏离精确解。
数值分析实验报告---高斯消去法 LU分解法
数值分析上机报告①高斯消去法利用高斯消去法的matlab程序源代码：A=[10,-7,0,1;-3,2.099999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2];b=[8;5.900001;5;1];x=A\bc=det(A)上述程序中A表示计算实习题1中线性方程组的系数矩阵，b表示线性方程组右边的矩阵，x表示线性方程组的解。
C所输出的是系数矩阵A的行列式的值。
程序运行结果：②列主元的高斯消去法利用列主元的高斯消去法matlab程序源代码：首先建立一个gaussMethod.m的文件，用来实现列主元的消去方法。
function x=gaussMethod(A,b)%高斯列主元消去法，要求系数矩阵非奇异的，%n = size(A,1);if abs(det(A))<= 1e-8error('系数矩阵是奇异的');return;end%for k=1:nak = max(abs(A(k:n,k)));index = find(A(:,k)==ak);if length(index) == 0index = find(A(:,k)==-ak);end%交换列主元temp = A(index,:);A(index,:) = A(k,:);A(k,:) = temp;temp = b(index);b(index) = b(k); b(k) = temp;%消元过程for i=k+1:nm=A(i,k)/A(k,k);%消除列元素A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-m*A(k,k+1:n);b(i)=b(i)-m*b(k);endend%回代过程x(n)=b(n)/A(n,n);for k=n-1:-1:1;x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n)')/A(k,k);endx=x';end然后调用gaussMethod函数，来实现列主元的高斯消去法。
数值分析实验,用程序实现列主元消去法解方程组
《数值分析》实验报告实验序号：实验二 实验名称: 列主元消去法解方程组 学号: 姓名:任课教师: 专业班级:）1、 实验目的：用列主元Gauss 消元法解n 阶线性代数方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋯++⋯⋯⋯⋯⋯=+⋯++=+⋯++nn nn 2n21n12n 2n 2221211n 1n 212111b a a a b a a a b a a a x x x x x x x x x 其基本做法是把上述方程组通过列主元Gauss 消元转化为一个等价的三角形方程组，然后再进行回代就可以求出方程组的解。
列主元消元的基本做法是选取系数矩阵的每一列中绝对值最大的作为主元，然后采取和顺序Gauss 消元法相同的步骤进行 ，求得方程组的解。
要求显示出每一个列主元以及每一大步消元后的系数矩阵),...,2,1(n k =(k )A 和常数项),...,2,1(n k =(k )b ,最后显示出方程组的解),...,2,1(n i x i =。
2、 实验内容：(1)实验分析：1. 列主元Gauss 消元法的算法思想：1． 输入增广矩阵B ；。
2． 对k =1,2,…,n ，循环：（a ） 按列选主元||:max ik ni j a a ≤≤=保存主元所在行的指标k i 。
（b ） 若a=0，则系数矩阵奇异，计算停止；否则，顺序进行。
（c ） 若k i =k 则转向（d ）；否则换行ki kj i b b nj a a k j k ↔=↔,...,2,1 ,（d ） 计算乘子.,...,1,/n k i a a a m ik kk ik ik +=⇒=（e ） 消元： nk i b m b b nk j i a m a a k ik i i kj ij ij ij ,...,1;:,...,1,;:+=-=+=-=3. 回代 1,...,1, ,/:1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n n i a b a b b ii n i j j ij i i 用右端项b 来存放解x 。
数值分析实验报告高斯消元法和列主消元法
《计算方法》实验指导书 实验三、高斯消元法和列主消元法一、实验目的：1. 通过matlab 编程解决高斯消元发和列主消元发来解方程组的问题， 加强编程能力和编程技巧，要熟练应用matlab 程序来解题，练习从数值分析的角度看问题进而来解决问题。
更深一步体会这门课的重要性，练习动手能力，同时要加深对数值问题的理解，要熟悉matlab 编程环境。
二、实验要求：用matlab 编写代码并运行高斯消元法和列主消元发来解下面的方程组的问题，并算出结果。
三、实验内容:用高斯消元法和列主消元法来解题。
1.实验题目：用高斯消元法和列主消元法来解下列线性方程组。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=+−−−=+−−=+−−=−+−.142,16422,0,13143214321432432x x x x x x x x x x x x x x x 2.实验原理高斯消元法：就是把方程组变成上三角型或下三角形的解法。
上三角形是从下往上求解，下三角形是从上向下求解，进而求得结果。
而列主消元法是和高斯消元法相类似，只不过是在开始的时候找出x1的系数的最大值放在方程组的第一行，再化三角形再求解。
3.设计思想高斯消元法：先把方程组的第一行保留，再利用第一行的方程将其余几行的含有x1的项都消去，再保留第二行，同理利用第二行的方程把第二行以下的几行的含有x2项的都消去，以此类推。
直到最后一行只含有一个未知数，化为上三角形，求得最后一行的这个未知数的值，再回带到倒数第二个方程求出另一个解，再依次往上回带即可求出这个方程组的值。
而列主消元法与高斯消元法类似，只不过在最开始时找出x1项系数的最大值与第一行交换再进行与高斯算法相似的运算来求出方程组的解。
4.源代码高斯消元法的程序：f unction [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endend在工作窗口输入程序：A=[1 -1 1 -3; 0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1];b=[1;0; -1;-1]; [RA,RB,n,X] =gaus (A,b)请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.运行结果为：RA =4RB =4n =4X =-0.50000.5000.列主消元发的程序：function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:);B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endend在工作窗口输入程序：A=[1 -1 1 -3; 0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1];b=[1;0; -1;-1]; [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.运行结果为：RA =4RB =4n =4X =-0.50000.5000实验体会：通过这次实验我了解了高斯消元法和列主消元方法的基本思想，虽然这两个程序的编写是有点困难的，但运行起来还是比较容易的，解决了不少实际问题的计算。
数值分析实验报告(包括高斯消去、二分法、牛顿迭代法)
for k=1:N
x=(a+b)/2;
fx=feval(f,x);fa=feval(f,a);
if abs((b-a)/2)<e || abs(fx)<e
disp('the number of iterations is');k
f=input('please enter a function:f(x)=');
x0=input('please enter the initial value:x0=');
e=input('please enter error:e=');
N=input('please enter the largest number of iterations:N=');
disp('the approximate solution is');x
disp('f(x) is');fx
disp('the number of iterations is');k
return
else
x0=x;
end
end
end
disp('The maximum number of iterations is reached, stop calculation');
开课学院、实验室：实验时间：2014年1月1日
课程
名称
数值分析基础性实验
实验项目
名称
数值计算算法及实现
高斯列主元消元法解线性方程组
高斯列主元消元法解线性方程组一、题目：用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =，其中，A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068)二、原理及步骤分析设nn ij R a A ⨯∈=][)1(，nn Rb b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。
若约化主元素),,2,1(0)(n k a k kk =≠，则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。
如果在消元过程中发现某个约化主元0)(=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。
此外，即使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。
为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。
相应过程为：（1）选主元：在子块的第一列中选择一个元)(k k i k a 使)(max k ik ni k kk i a a k ≤≤=并将第k 行元与第k i 行元互换。
高斯列主元消去法解线性方程组的实现
高斯列主元消去法解线性方程组的实现班级学号姓名榴莲一、实验任务采用高斯列主元消去法求解线性方程组，以下消解方程为例。
1 2 1 x1 02 2 2 x2 = 3-1 -3 0 x3 2二、编程环境Windows7，Codeblock.三、算法步骤Gauss 消去法的基本思想是，通过将一个方程乘或除某个数以及两个方程相加减这两种运算手续，逐步减少方程组中变元的数目，最终使某个方程只含有一个变元，从而得出所求的解。
对于，G auss消去法的求解思路为：（1）若，先让第一个方程组保持不变，利用它消去其余方程组中的,使之变成一个关于变元的n-1阶方程组。
（2）按照（1）中的思路继续运算得到更为低阶的方程组。
（3）经过n-1步的消元后，得到一个三角方程。
（4）利用求解公式回代得到线性方程组的解。
四、程序流程图数据结构：i，j 变量double a[10][10] a 矩阵double b[10] b 矩阵double x[10] 求解的x矩阵n 矩阵的维度五、程序#include<stdio.h>#include<math.h>void guess(double a[][10],double b[],double x[],int n) { int k,i,j;for(k=0; k<n-1; k++){ double ma =a[k][k]; int tab = k;for(i=k+1; i<n; i++) {if(fabs(ma)<fabs(a[i][k])){ ma = a[i][k];tab = i;}}double mid; mid= b[k]; b[k] =b[tab]; b[tab] =mid; for(i=k; i<n;i++) {mid = a[k][i];a[k][i] = a[tab][i];a[tab][i] = mid;}for(i=k+1; i<n; i++) { b[i]=b[i]-a[i][k]/a[k][k]* b[k];for(j=k+1; j<n; j++) {a[i][j]=a[i][j]-a[i][k]/a[k][k]*a[k][j];}a[i][k]=0;}}for(k=n-1; k>=0; k--){ double s =0;for(j=k+1; j<n; j++) s += a[k][j]*x[j];x[k]=(b[k]-s)/a[k][k];}}int main(){ int i,j;double a[10][10] = {{1,2,1},{2,2,3},{-1,-3,0}};double b[10] = {0,3,2};double x[10];int k,n=3;guess(a,b,x,n);printf("三角化矩阵A:\n");for(i=0; i<n; i++) {for(j=0; j<n; j++){ printf("%7.2lf",a[i][j]);}printf("\n");}printf("\n 方程数值 b:\n");for(i=0; i<n; i++) printf("%7.2lf",b[i]);printf("\n");printf("\n 求得的函数值 x:\n");for(i=0; i<n; i++) printf("%7.2lf",x[i]);printf("\n");}六、实验结果及分析高斯消去法由消元和回代两个过程组成。
数学实验题目5 相对Gauss列主元消去法
数学实验题目5 相对Gauss 列主元消去法摘要由一般线性方程组在使用Gauss 消去法求解时，从求解过程中可以清楚地看到，若(1)0k kk a -=，必须施以行交换的手续，才能使消去过程继续下去。
有时既使(1)0k kk a -≠，但其绝对值很小，由于舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定现象。
因此，为使这种不稳定现象发生的可能性减至最小，在施行消去过程时每一步都要选主元素，即要寻找行r ，使(1)(1)||max ||k k rk ik i ka a -->=并将第r 行与第k 行交换，以使(1)k kka -的当前值（即(1)k ika -的数值）远大于0。
这种列主元消去法的主要步骤如下： 1．消元过程 对1,2,,1k n =-，做1º 选主元，记||max ||rk ik i ka a >=若0rk a =，说明方程组系数矩阵奇异，则停止计算，否则进行2º。
2º 交换A （增广矩阵）的,r k 两行元素,,1rj kja a j k n ↔=+3º 计算/ij ij ik kj kk a a a a a =-1,,i k n =+1,,1j k n =++2．回代过程 对,1,,2,1k n n =-，计算,11(/)nk k n kjj kk j k x a ax a +=-=-∑前言利用Gauss 列主元消去法、显式相对Gauss 列主元消去法、隐式相对Gauss 列主元消去法求解线性方程组程序设计流程是否否是开 始输入A （增广矩阵）1k = ||max ||rk ik i ka a >=rk a =1,,1,,1/ij ij ik kj kk i k n j k n a a a a a =+=++=-交换A 中,r k 两行1k n <-,11,1,,2,1()/nk k n kjj kkj k k n n x a ax a +=+=-=-∑输出x结 束 1k =问题1（1）程序运行如下：x = GaussSysSolve(Mat1_1,b1_1)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussExpSysSolve(Mat1_1,b1_1)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussIneSysSolve(Mat1_1,b1_1)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 （2）程序运行如下：x = GaussSysSolve(Mat1_2,b1_2)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussExpSysSolve(Mat1_2,b1_2)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussIneSysSolve(Mat1_2,b1_2)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 （3）程序运行如下：x = GaussSysSolve(Mat1_3,b1_3)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussExpSysSolve(Mat1_3,b1_3)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussIneSysSolve(Mat1_3,b1_3)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 （4）程序运行如下：x = GaussSysSolve(Mat1_4,b1_4)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussExpSysSolve(Mat1_4,b1_4)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussIneSysSolve(Mat1_4,b1_4)x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000问题2（1）程序运行如下：= GaussSysSolve(Mat2_1,b2_1)x = 1.0915 0.2832 1.1463 -0.1008x = GaussExpSysSolve(Mat2_1,b2_1)x = 1.0915 0.2832 1.1463 -0.1008x = GaussIneSysSolve(Mat2_1,b2_1)x = 1.0915 0.2832 1.1463 -0.1008 （2）程序运行如下：x = GaussSysSolve(Mat2_2,b2_2)x = 0.5162 0.4152 0.1100 1.0365x = GaussExpSysSolve(Mat2_2,b2_2)x = 0.5162 0.4152 0.1100 1.0365x = GaussIneSysSolve(Mat2_2,b2_2)x = 0.5162 0.4152 0.1100 1.0365 （3）程序运行如下：x = GaussSysSolve(Mat2_3,b2_3)x = 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussExpSysSolve(Mat2_3,b2_3)x = 1 1 1x = GaussIneSysSolve(Mat2_3,b2_3)x = 1.0000 1.0000 1.0000（4）程序运行如下：x = GaussSysSolve(Mat2_4,b2_4)x = 1 1 1x = GaussExpSysSolve(Mat2_4,b2_4)x = 1.0000 1.0000 1.0000x = GaussIneSysSolve(Mat2_4,b2_4)x = 1 1 1使用的函数function x = GaussSysSolve(A, b)% GaussSysSolve 用Gauss消去法解线性方程组Ax = b%% Synopsis: x = GaussSysSolve(A, b)%% Input: A = 系数矩阵% b = 方程组右端%% Output: x = 线性系统的解向量[m,n] = size(A);b = b(:); %将b变为列向量if m ~= n %A必须为方阵error('Argument matrix A must be square!');elseif m ~= length(b) %b的长度应与A维度相同error('The dimentions of A and b do not agree!');endAb = [A b]; %构造增广矩阵for i = 1:n[amax, imax] = max(Ab(i:n, i)); %选择主元if amax == 0 %主元为0,矩阵奇异error('Tne Linear System is singular!');elseif i ~= imax+i-1 %主元行数与i不同时，交换这两行Ab([i imax+i-1],:) = Ab([imax+i-1 i], :);endfor j = i+1:n %向下消元Ab(j,:) = Ab(j,:) - Ab(i,:) * Ab(j,i)/amax;endendx = zeros(n,1);x(n) = Ab(n,n+1)/Ab(n,n);for k = n-1:-1:1 %计算x x(k) = ( Ab(k,n+1) - Ab(k,k+1:n)*x(k+1:n) ) / Ab(k,k);endfunction x = GaussExpSysSolve(A, b)% GaussExpSysSolve 用显式Gauss列主元消去法解线性方程组Ax = b%% Synopsis: x = GaussExpSysSolve(A, b)%% Input: A = 系数矩阵% b = 方程组右端%% Output: x = 线性系统的解向量[m,n] = size(A);b = b(:); %将b变为列向量if m ~= n %A必须为方阵error('Argument matrix A must be square!');elseif m ~= length(b) %b的长度应与A维度相同error('The dimentions of A and b do not agree!');endAb = [A b]; %构造增广矩阵for i = 1:n %显式平衡技术s = max(Ab(i,1:n));Ab(i,:) = Ab(i,:)/s;endfor i = 1:n[amax, imax] = max(Ab(i:n, i)); %选择主元if amax == 0 %主元为0,矩阵奇异error('Tne Linear System is singular!');elseif i ~= imax+i-1 %主元行数与i不同时，交换这两行Ab([i imax+i-1],:) = Ab([imax+i-1 i], :);endfor j = i+1:n %向下消元Ab(j,:) = Ab(j,:) - Ab(i,:) * Ab(j,i)/amax;endendx = zeros(n,1);x(n) = Ab(n,n+1)/Ab(n,n);for k = n-1:-1:1 %计算xx(k) = ( Ab(k,n+1) - Ab(k,k+1:n)*x(k+1:n) ) / Ab(k,k);endfunction [x,det] = GaussIneSysSolve(A, b)% GaussIneSysSolve 用隐式Gauss列主元消去法解线性方程组Ax = b%% Synopsis: x = GaussIneSysSolve(A, b)%% Input: A = 系数矩阵% b = 方程组右端%% Output: x = 线性系统的解向量% det = 系数矩阵行列式的值[m,n] = size(A);b = b(:); %将b变为列向量if m ~= n %A必须为方阵error('Argument matrix A must be square!');elseif m ~= length(b) %b的长度应与A维度相同error('The dimentions of A and b do not agree!');endAb = [A b]; %构造增广矩阵det = 1; %初始化系数矩阵行列式为1for i = 1:n %隐式平衡技术s(i) = max(abs(Ab(i,1:n)));if s(i) == 0error('Tne Linear System is singular!'); %系数矩阵某行全为0时，矩阵奇异endends = s(:);for k = 1:n-1[c, kmax] = max(abs(Ab(k:n, k)./s(k:n))); %选择主元if c == 0 %主元为0,矩阵奇异det = 0;error('Tne Linear System is singular! det(A) = 0');elseif k ~= kmax+k-1 %主元行数与k不同时，交换这两行s([k kmax+k-1]) = s([kmax+k-1 k]);Ab([k kmax+k-1],:) = Ab([kmax+k-1 k], :);det = -det;endfor j = k+1:n %向下消元Ab(j,:) = Ab(j,:) - Ab(k,:) * Ab(j,k)/Ab(k,k);enddet = Ab(k,k)*det;endif Ab(n,n) == 0det = 0;error('Tne Linear System is singular!'); %最后一行唯一非0元素为0时，矩阵奇异endx = zeros(n,1);x(n) = Ab(n,n+1)/Ab(n,n);for k = n-1:-1:1 %计算x x(k) = ( Ab(k,n+1) - Ab(k,k+1:n)*x(k+1:n) ) / Ab(k,k);enddet = Ab(n,n)*det;思考题（1）在各主元不是非常小的时候，三种方法结果一致（2）隐式平衡列选主元法最好，应为当主元很小时，普通的Gauss消元法会产生很大误差；显式平衡列选主元法每一行除以其绝对值最大元素时会引入额外的舍入误差。
解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法
实验报告一、实验名称解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU 分解法 二、实验目的及要求通过数值实验，用熟悉的算法语言编写程序，从中体会解线性方程组选主元素的必要性和Lu 分解法的优点,以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。
三、实验内容解下列两个线性方程组（1）1233.01 6.03 1.9911.274.16-1.2310.987-4.819.341x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2)12341070183 2.09999962 5.9000015151521021x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 四、算法描述1、列主元高斯消去法：记(1)ij ij a a = （,1,2,i j n =) (1)i i b b = （1,2,i n =）（1）消元过程对于R=1，2，……，n-1执行： 1)选行号k i ，使()()a max k k k i k ikk i na ≤≤=2）交换()k kj a 与()a k k i k (j=k,k+1，……n)以及()k kb 与()k ik b 所含的数值。
3）对于i=k+1,k+2，……,n 计算()()/k k ik ik kk m a a =(1)()()k k k ij ij ik kja a m a +=- j=k+1，k+2，……n 。
(1)(k)()k k i i ik kb b m b +=-（2)回代过程()n /n n n nn x b a =（）()()()1()/,1,2,,1.nk k k k k kj j kk j k x ba x a k n n =+=-∑=--在此算法中的()a k k i k （k=1，2，……，n-1）称为第k 个列主元素，它的数值总要被交换到第k 个主对角线元素的位置上。
数值分析实验报告--列主元高斯消去
2、用列主元高斯消去法解线性方程组b =Ax .⑴ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--34.981.4987.023.116.427.199.103.601.3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 ⑵ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--34.981.4990.023.116.427.199.103.600.3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 分别输出A b A det ，，，解向量x ，（1）中A 的条件数。
分析比较（1）（2）的计算结果。
程序1(列主元高斯消去解线性方程组)：#include<stdio.h>#include<math.h>#define n 3void LZYGSXQ(double a[n][n],double b[n]){double x[3],L,max,det=1;int r,t,i,j,k;for(k=0;k<n-1;k++) //选组员{{max=fabs(a[k][k]);r=k;}for(i=k+1;i<n;i++){if(fabs(a[i][k])>max)r=i;for(t=k;t<n;t++){L=a[k][t];a[k][t]=a[r][t];a[r][t]=L;}L=b[k];b[k]=b[r];b[r]=L;det=-det;}for(i=k+1;i<n;i++) //高斯消去{L=a[i][k]/a[k][k];for(j=k;j<n;j++){a[i][j]=a[i][j]-L*a[k][j];}b[i]=b[i]-L*b[k];}det=a[k][k]*det;}det=a[k][k]*det;printf("高斯消去后的方程系数\n"); //输出高斯消去后的系数矩阵for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){printf("%f ",a[i][j]);}printf("%f ",b[i]);printf("\n");}printf("\n");printf("行列式的值det=%f\n",det);x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i>=0;i--){ //回代求解xfor(j=i+1;j<n;j++)b[i]=b[i]-a[i][j]*x[j];x[i]=b[i]/a[i][i];}printf("方程的解向量=(");for(i=0;i<=n-1;i++)printf("%f ",x[i]);printf(")\n");}void main(){double a1[3][3]={{3.01,6.03,1.99},{1.27,4.16,-1.23},{0.987,-4.81,9.34}},b1[3]={1,1,1};double a2[3][3]={{3.00,6.03,1.99},{1.27,4.16,-1.23},{0.987,-4.81,9.34}},b2[3]={1,1,1};LZYGSXQ(a1,b1);printf("\n\n\n");LZYGSXQ(a2,b2);}计算结果：方程组（1）的解向量为），，493.617725-631.911376-51592.59962(1=x ，方程组（2）的解向量为)644123.41-336653.53163940.135(2，，=x 。
高斯法和列主元高斯消去法解线性方程组(MATLAB版)
clear;clc;
%列主元 Gauss 校区法解线性方程组 A=[3 -5 6 4 -2 -3 8; 1 1 -9 15 1 -9 2; 2 -1 7 5 -1 6 11; -1 1 3 2 7 -1 -2; 4 3 1 -7 2 1 1; 2 9 -8 11 -1 -4 -1; 7 2 -1 2 7 -1 9];%系数矩阵 b=[11 2 29 9 5 8 25]';%n 维向量 y=inv(A)*b %matlab 的计算结果 n=length(b);%方程个数 n x=zeros(n,1);%未知向量 %-------------消去----------for k=1:n-1 Auk=A(k:n,k); [m,u]=max(abs(Auk)); u=u+k-1 %u 为最大元所在的列 %------交换最大的行和当前行的值------for j=k:n temp=A(u,j);A(u,j)=A(k,j);A(k,j)=temp; end temp=b(k);b(k)=b(u);b(u)=temp; % % % if A(k,k)==0; error('Error'); end for i=k+1:n Aபைடு நூலகம்i,k)=A(i,k)/A(k,k); Aik=A(i,k)/A(k,k) for j=k:n A(i,j)=A(i,j)-Aik*A(k,j); end A b(i)=b(i)-Aik*b(k) end
%
end %-------------回代----------x(n)=b(n)/A(n,n) for k=n-1:-1:1 S=b(k); for j=k+1:n S=S-A(k,j)*x(j);
end x(k)=S/A(k,k) end x %程序的计算结果 error=abs(x-ones(n,1))%误差 %误差小于直接进行高斯消去的计算误差
列主元高斯消去法实验报告
}
}
printf("高斯消去:\n");
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n+1;j++)
printf("%f",a[i][j]);
printf("\n");
}
if(fabs(a[n-1][n-1])<DETLA)
{
printf("A奇异，break \n");
int i,j,n,k,m;
printf("确定一个初元数:n=");
scanf("%d",&n);
printf("输入数组:a[%d][%d]\n",n,n+1);
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n+1;j++)
scanf("%f",&a[i][j]);
}
printf("得到数组:\n");
若m≠k，交换第k行与第m行对应的元素（换行）：
消元：
对i=k+1,…,n-1，计算l=lik=aik/akk;
对j=k+1,…,n-1,n，计算aij=aij-lik*akj=aij-l*akj
回代：
若|ann|<DELTA，则A奇异，结束程序，否则继续
xn-1=an-1,n/ an-1, n-1
对i=n-2 ,…, 1, 0，计算：
编程要求：
1）方程组的矩阵系数用二维数组表示，不用指针，且其值要求用输入语句输入。（数组形式的完成，经检查后，有能力的可以改用指针方式）
课程设计报告-高斯列主元消元法解线性方程组
《计算机数值方法》课程设计报告题目高斯列主元消元法解线性方程组学生姓名班级学号成绩指导教师学号：姓名：题目：用高斯列主元消元法解线性方程组内容用C 语言编写软件完成以下任务：用高斯列主元消元法解下列线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++53367435522321321321x x x x x x x x x指导教师和学生签字指导教师：____ ____ 学生签名：_____ ___成绩：教师评语：目录一、程序设计题目 (1)二、需求分析（高斯列主元消元法） (1)三、程序流程图 (3)四、核心技术的实现方法及程序段 (7)五、个人总结 (9)六、参考文献 (9)七、源程序 (10)一、程序设计题目用C 语言编写软件完成以下任务：用高斯列主元消元法解下列线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++53367435522321321321x x x x x x x x x二、需求分析（高斯列主元消元法）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n nn n n n n b b b x x x a a a a a a a a a 2121212222111211方法说明（以4阶为例）：第1步消元——在增广矩阵（A ，b ）第一列中找到绝对值最大的元素，将其所在行与第一行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组转化为如下形式：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡*******0***0***0****4321x x x x第2步消元——在增广矩阵（A ，b ）中的第二列中（从第二行开始）找到绝对值最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组转化为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡******00**00***0****4321x x x x第3步消元——在增广矩阵（A ，b ）中的第三列中（从第三行开始）找到绝对值最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组转化为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡*****000**00***0****4321x x x x按x 4 → x 3→ x 2→ x 1 的顺序回代求解出方程组的解 附：下面三种变换称为初等行变换： ① 对调两行；② 以数k ≠0乘某一行中的所有元素；③ 把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去。
计算方法实验报告_列主元高斯消去法
row_first=A[i][i]; for(int j=0;j<n+1;j++)
计算方法实验报告
{ A[i][j]=A[i][j]/row_first;
} }
for(int k=n-1;k>0;k--) {
for(int i=0;i<N;i++) {
for(int j=0;j<N;j++) {
A_B[i][j]=A[i][j]; } A_B[i][N]=B[i][0]; } return A_B; }
3
//输出矩阵 A 的 row x col 个元素 void Show_Matrix(double **A,int row,int col) {
for(int i=0;i<N;i++)
{
int row=Choose_Colum_Main_Element(N,A_B,i);
if(Main_Element<=e) goto A_0;
Exchange(A_B,N+1,row,i);
Elimination(N,A_B,i);
cout<<"选取列主元后第"<<i+1<<"次消元:"<<endl;
double factor; for(int i=start+1;i<n;i++) {
factor=A[i][start]/A[start][start]; for(int j=start;j<n+1;j++) {
数值分析实验二（列主元Gauss消去法）
《数值分析》实验报告实验编号：实验二课题名称：列主元Gauss消去法一、算法介绍1、输入矩阵的阶数n，方程组的增广矩阵A；2、对k=0,1,…,n-2，循环：选取列中绝对值最大的元素，将主元所在的行的元素保存在数组temp[n+1]中。
若主元为零，则系数矩阵奇异，计算停止；否则，顺序进行。
如果绝对值最大的元素就在矩阵的对角线上，则进行普通高斯消元法的第一大步，否则将方程组系数换行之后再进行普通高斯消元法的第一大步；3、然后利用回代法求解线性方程组。
二、程序代码#include<iostream>#include<cmath>#include<iomanip>using namespace std;int main(){int n=0,k=0,i=0,j=0,h=0,g=0,flag=0,i1,j1;double max=0,m=0;cout<<"***利用列主元Gauss消元法求解线性方程组***"<<endl;cout<<"请输入矩阵的阶数："<<endl;cin>>n;double a[n][n+1];double t[n+1];double x[n];memset(a,0,sizeof(a));memset(x,0,sizeof(x));cout<<"请输入方程组的增广矩阵："<<endl;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n+1;j++){cin>>a[i][j];}}for(k=0;k<n-1;k++){max=0;j1=0;for(i=k;i<n;i++){if(fabs(a[i][k])>max){max=fabs(a[i][k]);i1=i;j1=k;}}if(max==0){cout<<"该系数矩阵为奇异矩阵，计算停止"<<endl;flag=1;break;}else{cout<<"第"<<j1+1<<"列中绝对值最大的元素是"<<a[i1][j1]<<"，在线性方程组的第"<<i1+1<<"行"<<endl;if(i1!=k){for(j=0;j<=n;j++){t[j]=a[i1][j];a[i1][j]=a[k][j];a[k][j]=t[j];}}for(i=k+1;i<=n-1;i++){m=a[i][k]/a[k][k];for(j=k;j<=n;j++)a[i][j]=a[i][j]-m*a[k][j];for(g=0;g<n;g++){for(h=0;h<n+1;h++)cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(2)<<a[g][h]<<" ";cout<<endl;}cout<<endl;}}}if(flag==0){x[n-1]=a[n-1][n]/a[n-1][n-1] ;double sum=0;for(k=n-2;k>=0;k--){sum=0;for(i=n-1;i>=k;i--)sum+=a[k][i]*x[i];x[k]=(a[k][n]-sum)/a[k][k];}cout<<"该线性方程组的解为："<<endl;for(i=0;i<n;i++)cout<<"x"<<i+1<<"="<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(2)<<x[i]<<endl;}system("pause");return 0;}三、运算结果截屏四、算法分析列主元Gauss消元法避免了普通高斯消元法中出现的问题：遇到某个主元为零或者当主元绝对值很小时，计算将会停止或求出的结果将与其实际结果相差很远。
解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法
解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法数值试验报告分析一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法二、实验目的及要求：通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。
三、算法描述：本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU分解法求解线性方程组的解。
其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件:当A可逆时，列主元Gau(高斯）消去法一定能进行到底。
优点:具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gau消去法相同的计算量。
列主元Gau(高斯）消去法的精度显著高于顺序Gau(高斯）消去法。
注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
矩阵的三角分解法是A=LU,L是下三角阵，U是上三角阵,Doolittle分解:L是单位下三角阵，U是上三角阵；Crout分解:L是下三角阵，U是单位上三角阵。
矩阵三角分解的条件是矩阵A有唯一的Doolittle分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零；矩阵A有唯一的Crout分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零。
三角分解的实现是通过(1)Doolittle分解的实现；(2)Doolittle分解的缺点：条件苛刻，且不具有数值稳定性。
（3）用Doolittle分解求解方程组:A某=bLU某=bLY=bA=LUU某=Y；四、实验内容：解下列两个线性方程组3.016.031.99某114.161.23某21（1）1.270.9874.819.34某1371032.099999（2）51211某1862某25.90000151某3502某410a、用你熟悉的算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU分解求解上述两个方程组，输出A某=b中矩阵A及向量b,A=LU分解的L及U，detA及解向量某.b、将方程组（1）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量某及detA，并与（1）中结果比较。
数值分析计算实习题列主元高斯消去法解线性方程组
数值分析计算实习题第5章解线性方程组的直接方法列主元高斯消去法解线性方程组。
书上的计算实习题1、2、3都要求用列主元高斯消去法解线性方程组，所以考虑写一个普适的程序来实现。
对于线性方程组Ax=b,程序允许用户从文件读入矩阵数据或直接在屏幕输入数据。
文件输入格式要求：(1)第一行为一个整数n (2<=n<=100),表示矩阵阶数。
(2)第2〜n+1行为矩阵A各行列的值。
(3 )第n+2〜n+n+2行为矩阵b各行的值。
屏幕输入：按提示输入各个数据。
输出：A、b、det(A)、列主元高斯消去计算过程、解向量X。
【算法说明】设有线性方程组Ax=b,其中设A为非奇异矩阵。
方程组的增广矩阵为[a,b] =a n…第1步(k=l)：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素％,作为第一步的主元素：如凜产如工0然后交换(A, b)的第1行与第1行元素，再进行消元计算。
设列主元素消去法已经完成第1步到第k・l步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组A(k)x=b(k)用姐…哦盘…於？MB•■•■■[A,b]T[A（?b （*）] =■…盅•a"〉■唱”■■■••••...卅•第k步计算如下：对于k=l, 2, n-1 |時卜maxaf"(1)按列选主元：即确定t使(2)如果tHk,则交换［A, b］第t行与第k行元素。
(3)消元计算a ik J叫=-bgk + X・・Ji)a kk% <-%+叫ciy (i,j = k + l,…川)»〜乞+叫几 (j = k + l,…屮)消元乘数mik满足:M =吃 + 1,产•,)（4）回代求解（b厂工陶形）兀＜ ----- -- ---- ,（'=〃_1屮_2,・・、1）【程序】/*【普适列主元消去法解线性方程组】对于线性方程组：Ax=b输入：［选择屏幕直接输入］1・A的行阶数11(1 <=n <= 100)2.A的值3.b的值［选择读取文件］文件名(和主程序同级文件夹下)输出：1.A2.b3.det(A)4.解向量x#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>double A[1O5][1O5],A_B[1O5][1O 习、b[105],x[105]; double detA;int njnaik = 1;〃读入数据void input(){int ij;char ch[20],name[100];FILE *f;printfC^—-\ii是否从文件读取数据(Y/N):”); scaufp%s：&ch);if(ch[O] = Y' || ch[0] = V){prmtfC'请输入文件名(包扌舌扩展名)：”)；scanfi(H%s,\name);f= fbpen(name；,i n);fscaiif(f/%d*\&n);fbr(i = 0;i < n;i ++)for(j = 0j<nj ++)fbr(i = 0;i < n;i ++)住canfg'%lf；&b[i]);pnntfC请输入A的阶数：”)；scanf(n%d %cT,&n);prmtfC请输入A的值：”)；fbr(i = 0;i < n;i ++)for(j = Oj<nj ++) scaiif(M%lf\&A[i][j]);printf("请输入b的值：”)；fbr(i = 0;i < n;i ++)}}〃计算行列式的值double det(double s[105][105],int m){int zj,k;double b[105][105],total = 0,r; /*b[N][N]ffl于存放,在矩阵s[N][N]中元素s[0]的余子式*/fbr(z = 0;z < m;z-H-){for(j = 0j<m-lj++)for(k = 0;k < m-l;k ++)if(k >= z)b[j][k] = s[j+l][k+l];elsebQ][k] = s[j+l][k];if(z % 2==0)r = s[0][z] * det(b4ii - 1); /*递归调用elser = (-1) * s[O]JXl * det(bjn - 1);total = total + r;}}else if(m = 2)total = s[0][0] * s[l][l] - s[0][l] * s[l][0];else if(m = 1)total = s[0][0];return total;}//输出A和b和det(A) void output_lQ{int ij;pnntffA = \ii n);for(i = 0;i < n;i ++){for。
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数值分析计算实习题第5章解线性方程组的直接方法【选题列主元高斯消去法解线性方程组。
书上的计算实习题1、2、3都要求用列主元高斯消去法解线性方程组，所以考虑写一个普适的程序来实现。
对于线性方程组Ax二b,程序允许用户从文件读入矩阵数据或直接在屏幕输入数据。
文件输入格式要求:(1)第一行为一个整数n (2<=n<=100)，表示矩阵阶数。
(2)第2~n+l行为矩阵A各行列的值。
(3)第n+2~n+n+2行为矩阵b各行的值。
屏幕输入：按提示输入各个数据。
输出：A. b、det(A).列主元高斯消去计算过程、解向量X。
【算法说明】设有线性方程组Ax=b,其中设A为非奇异矩阵。
方程组的增广矩阵为«12«21[Nb] =第1步（k=l ）：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素®I,作为第一步的主元素:«|| H0然后交换（A, b）的第1行与第I行元素，再进行消元计算。
设列主元素消去法已经完成第1步到第k・l步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组 A（k）x=b（k）4? …4;)…唸)•忒••輕■[A.b]T[A ⑹,b")] = ••■咲■■■■■* *■〃伏)・• - %■第k步计算如下: 对于 k=l, 2, •…，0-1（1）按列选主元：即确定t使（2）如果tHk,则交换［A, b］第t行与第k行元素。
（3）消元计算54* J 叫=一鱼(=^ + 1,…,H)% 吗 <-«y + 〃如伽 (fJ = R + l,…/)b- <-勺+加汝仇， (i = /c + l,…,《)消元乘数mik 满足:n (%-D 内)X1 < ------ -- ---- 9(j = « 一 1,«一2■…J)tk M 1,(,=斤 +1, •••,«)fet e(4)回代求解【程序】/*【普适列主元消去法解线性方程组】对于线性方程组：Ax=b 输入：［选择屏幕直接输入］1.A的行阶数n(l <= 11<= 100)2.A的值3.b的值［选择读取文件1文件名(和主程序同级文件夹下)输出：I.A2・b3・ det(A)4解向疑X */#inciude <stdio.h>#include <stdlibJi>#include <niath.h> double A[1051(J05LA_B[I05][105Lb[105].x[105];double det A:int n.mark = 1;〃读入数据void input(){int ij:char ch[20],name[ 100];HLE *f;printf("\iv-An是否从文件读取数据(Y/N):”); scanf(”％st&ch);if(ch[0] = Y II ch[0] = y)( prinif(“请输入文件名(包括扩展需)：")； scanf("%s".name):f = fop cn(namc「T');fscanfCf/'%d'\&n);ford = 0:i < n;i 卄) for(j = 0;j < nJ ++) fscanf(f,'*%ir\&A[i]|j))：for(i = 0:i < n;i卄)fscanf(「％F・&b[i]);else{prin氓”请输入A的阶数：”)；scanf( '%d %d\&n)： prinifC请输入A的值：”)；for(i = 0:i V n:i ++)for(j = 0;j < n:j ++) scanf("%lf\&A[i]U]);phnifC请输入b的值：”)；for(i = 0:i < n;i 卄)scanf(''%lf\&b[i])：〃讣算行列式的值double det{double s[105](105] jni m){int z.jkdouble b[105][105Klotal = 0.r; /*b[Nl[N]用于存放，在矩阵s[Nl[N冲元素s[0]的余子式灯if(m>2){for(z = 0：z V m:z++){for(j = 0;j V m ・ 1 j ++)for(k = 0:k vn卜l;k ++)if(k >= z)bUKk] = sU+l](k+l];elsebLi][k] = s[j+l][k];if(z % 2==0)r=s[0)⑵ * dcKb.m - 1)：/*递归调用制elser= (-1) * s[0](z] * det(b.m -1);total = total + r;else if(m == 2)total = s[0][0] *s(l][l]-s[0](l] *s[l][01：else if(m == 1)total =s[0][0];return total;// 输出A^llb和dcl(A)void ouipui_l(){ int i j;primlTAW);for(i = 0;i < n:i ++){ for(j = 0:j < n:j ++)p rintf('-%15.4f\A[i]lj]);prinif(W);prinlf(5b = \rf);for{i = 0;i < n:i ++)prinif("%15.4l\iV\b[i]):printf("\ndet(A) = %・4f\n”・dclA);//主il•算函数void couni_x(){int ij,k:int max; double tmpjnik;〃构造增广矩阵for{i = 0;i<n:i++){for。
= 0:j < n;j ++)A_B[i]Ul=A[i][jl；A_B[i](n] = b[ij:prinlHAn展示消元过程的增广矩阵):\j门; prinlf("A_B=\n"');for(i = 0;i < n:i ++){for(j = 0:j <= n:j ++)p rimf(”％15・4代prinif(W);〃按列选主元for(k = 0:k<n:k++){max = k:for(i = k:i V n;i ++)if(abs(A-B[i][k]) > abs(A_B(max][k])) max = i;〃若A|maxl[k]=O.即dcl(A) = O・则无唯一解.退出il•算if(A_B(maxl[k] = 0){ mark = 0;break:〃换行ifCmax != k)(for(j = k:j <= n;j ++)( tnip = A_B[k]ljl： A_B[k]U]=A_B[max]U]; A_B[max][j] = tmp;〃消元il•算for(i = k + l;i vn:i ++){A_BEi][kl = A_B[i](kl/A_B[k]rk];for(j = k + 1 j V n;j ++)A_B(iIU] = A_B[i][j]・ A_B[il(k] * A_B[k][j]：A_B[i][n] = A_B[i](nl - A_B[i][kl * A_B(k][nJ;prinif{"A_B = \n")：for(i = 0:i < n;i ++){ for。
= 0:j <= n;j ++)p rinlfW);//若A[n]In] = OJiPdct(A) = 0,则无唯一解，退出计算if(A_B[n - ll[n-1] = 0) mark = 0;else{x[n-1] = A_B[n - l][n] = A_B[n- ll[n]/A_B[n- l][n-1]: for(i = n- 2:i >= 0;i -){ x(il=A_B[i](n]=A_B[i](n];for(j = i + l;j<n:j++)x[i]= -= A_B[i]U] * A_BU][n]；//输出解向量X void oulpul_2(){ int i j;if(!mark)prinif("\«该方程没有唯一解！ \n“); else{ prinif("\iib = \n'*); for(i = 0:i < n;i ++)p rinlf (”％ 15・5f\iV ；x[i]);int main(){char ch[2O]: prinlf (“普适列主元消去法解线性方程组5”);while(l){//读取数据 //汁算A 的行列式 //输出A 和b 和dct(A) //主计算函数 //输出解向量Xprinif("\ii\n 是否继续(Y/N)「); scanf (” ％s”・&ch): ifCch(O] == Y II ch[01 == >') continue: elsebreak:inputO; detA = dei(A.n); output_l(); count_x(); outpul_2{);【结果测试】一共采用了书上的例题和习题内的5组数据（dl~d5）,均采用文件读入方式读取，计算结果，与matlab运算结果进行比对均相符合，基木验证了程序的正确性。
下面给出各组数据和运行结果:［数据］dLtxt3・01 6・03 1.99L27 4・16・1・23 0.987 481 934 d2,txi3・006・03 1.99L27 4.16-123 0・99 -4.81 934 d3・lxi0.001 2.000 3.000 -1.000 3.712 4623 2000 1.072 5.643L000 2.000 3.000 d4・lxi10-7 0 1 •3 2.099999 6 2 5-1 5-142 10285.9000015 d5・lxi410787736586 109759 1032233331［运行结果］普适列主元消去法解线性方程组是否从文件读取数据CY/N）:y 请输入文件名（包括扩展:F1）：dl.txt A =3.01006,0300 1.9900L270043600-123000.9870-4.810093400LOOOOLOOOOLOOOOdet(A) = -0.0305展示消元过程（A_B为A的增广矩阵）: A B =3.01006,0300 1.9900 1.0000L270043600-12300 1.00000.9870-4.81009.3400 1.00003.01006,0300L9900roooo0.0000 1.6158206960.5781A B =A B0,000067873&68750.67213.0100 6.0300 1.9900i.OOOO0,000067873&68750.67210,00000.0000-0.00150.73813.01006,0300 1.9900roooo0,000067873&68750.67210.00000.0000-0.00150.7381 1592.59962 -63L91138 •493.61772是否继续（Y/N）:y请输入文件名（包括扩展名）：d24xt3.0000 6.0300 1.99001.2700 4 J 600-123000,9900-4.81009.3400bOOOOLOOOOLOOOOdet(A) = -04070展示消元过程（A.B为A的增广矩阵）:3.0000 6.0300 1.9900 1.00001.2700 4 J 600-12300LOOOO0,9900-4.81009.3400LOOOO3.0000 6.0300 1.9900 1.00000,0000 1.6073-2.07240.57670,000067999&68330.67003.00006,0300L9900LOOOO0,0000-6.7999&68330.67000.00000.0000-0.02000.7350是否从文件读取数据(Y/N) :y3.0000 6.0300L9900LOOOO0,0000・6・7999&68330.67000.00000.0000002000.7350b =119.52734-47.14260-36.84026是否继续（Y/N） :y是否从文件读取数据(Y/N) ;y请输入文件名（包括扩展塔）：d3.txtA =0.0010 2.00003-0000-LOOOO 3.7120 4.623020000LO72O 5.6430LOOOO2.00003.0000det(A) = 11.8660展示消元过程（A-B为A的增广矩阵）:A B =A B =0.0010 2.0000 3.0000 1.0000-LOOOO 3.7120 4.6230 2.000020000LO72O 5.64303,0000 A B =-2-00001.0720 5.6430 3.00000.0000 3.1760L80150.50000.0000 2.0005 3.0028 1.0015A B =200001.0720 5.6430 3.00000.0000 3 J 760L80150.50000,00000.0000 1.86810.686620000LO72O 5.6430 3.00000,0000 3.1760 1.80150.50000.00000.0000L86810.6866A B =A B =b =-0.49040 -0.05104 0.36752是否继续（Y/N ） :y是否从文件读取数据（Y/N ） :y 请输入文件需（包括扩展名）：d4.txtA =10.0000 -7.0000 0.0000 1.0000 -3.0000 2J000 6.0000 2.0000 5.0000 -1.0000 5.0000 -LOOOO 2.0000LOOOO0.00002,0000&0000 5.9000 5.0000 1.0000det(A) = -762.0001展示消元过程（A_B 为A 的增广矩阵）: A B =10,0000 -7.0000 0.0000 LOOOO &0000 -3.0000 2J000 6.0000 2.0000 5.9000 5.0000 -LOOOO 5.0000 -LOOOO 5.0000 2.0000LOOOOo.oooo2,00001.000010.0000 -7.0000 0,0000 1.0000 &0000 0,0000 -0.0000 6.0000 2.3000 &3000 0.0000 2.5000 5.0000 -1.5000 LOOOO 0.0000240000.0000L8000-0.600010,0000 -7.0000 o.oooo LOOOO &0000 0.0000 2.5000 5.0000 -L5000 LOOOO 0.0000 0,0000 6.0000 23000 83000 0,0000 0.0000 48000 3.2400 -1.5600 10,0000 -7.0000 O.OOOO 1.0000 &0000 0,0000 2.5000 5.0000 -L5000 LOOOO 0,0000 0.0000 6.0000 2.3000 83000 0.00000.00000.00005.08005.0800A B =A B =10,0000-7.00000.0000 1.0000&00000,0000 2.5000 5.0000-L5000L00000,00000.0000 6.0000 2.3000830000,00000.00000.0000 5.0800 5.0800-0.00000 -1.000001.00000 kOOOOO是否继续（Y/N）:y是否从文件读取数据（Y/N） :y 请输入文件名（包括扩展名〉：d5・txi10.00007,0000&00007.00007.0000 5.0000 6.0000 5.0000&0000 6.000010.00009.00007.0000 5.00009.000010.000032,0000 23.0000 33.0000 31.0000det(A) = 1.0000展示消元过程（A_B为A的增广矩阵）:10,00007,0000&00007,000032.00007.0000 5.00006,0000 5.000023.0000&00006,000010.00009.000033,00007.0000 5.00009.000010.00003L000010.00007,0000&00007,000032,00000,00000J0000.4000OJOOO0.60000,0000040003,6000 3.40007.40000,0000OJOOO 3.40005J000&600010,00007,0000&00007.000032.00000.0000OJOOO04000OJOOO0.60000,00000.0000 2.00003,0000 5.00000,0000o.oooo3,00005,0000&000010,00007,0000&00007.000032.00000,0000OJOOO04000OJOOO0.6000o.oooo o.oooo 3.0000 5.0000&00000,00000.00000,0000-0.3333-033331 o.oooo7.0000&00007.000032.00000.0000OJOOO0.40000.10000.6000o.oooo o.oooo3,0000 5.0000&0000o.oooo o.oooo0.0000-0.3333-03333LOOOOO 1.00000 1.00000 1.00000是否继续（Y/N）:A B。