演化博弈论

Y qp*0 q(1 p)*2 (1 q)p*1 (1 q)(1 p)*0
Y / q (1 p)2 p 0
p 1/3
N-群体的演化稳定策略
定义1：策略组合 x {x1, x2,..., xn} 是纳什均衡， 如果x是演化稳定策略，如果对于任意的策 略组合 y x 存在某个 (0,1) 使得对于所有的
• 经济学家把演化博弈理论引入到经济学领域，用于分析社会制度变 迁、产业演化以及股票市场等，同时对演化博弈理论的研究也开始
1980s 由对称博弈向非对称博弈深入，并取得了一定的成果
演化博弈论的产生与发展（2）
1990s
• 演化博弈理论的发展进入了一个新的阶段。Weibull(1995)比较系统、 完整地总结了演化博弈理论，其中包含了一些最新的理论研究成果。


(0,


)
和

y

(1

)x
,有
ui (xi ,i ) ui ( yi ,i )
iI
iI
定义2：策略组合x是演化稳定策略，当且 仅当x是一个严格的纳什均衡。
问题
演化过程两个基本要素：变异，选择。 很明显，演化稳定性强调变异的作用，它
关注什么样的状态才是稳定状态。 那么，这样的稳定状态又是通过怎样的过
演化博弈论
演讲人： 杜 同 学 号：S201111054
演化博弈论
➢ 第一章 演化博弈论的概述 ➢ 第二章 演化稳定策略 ➢ 第三章 复制子动态 ➢ 第四章 应用案例 ➢ 第五章 前沿介绍
第一章 演化博弈论概述
什么是演化博弈论（1）
传统博弈理论的两个苛刻假设： （1）完全理性（2）完全信息
一个稳定状态必须对微小扰动具有稳健性才能称为进化稳定策略。 这相当于要求当干扰使x出现高于x＊时， dx/dt=F(x) 必须小于0，即 F’(x＊) ＜0 。这就是微分方程的稳定性定理。
如 F(x) =x(1-x)(1-6x) ，不难解出x＊=0、 x＊=1、 x＊=1/6。
进一步证明，只有1/6才是ESS。因为F’(1/6) ＜0 ,而F’(0) ＞0 , F’(1) ＞0 。根据图2也可以看出只有1/6才是进化稳定策略。
:是一个与突变策略y有关的常数，称之为侵入界限； εy + (1 − ε)x:表示选择进化稳定策略群体与选择突变策略群
体所组成的混合群体。
演化稳定策略的定义（2）
Definition 2: 对任意的s'∈S×S，满足
(i) f(s,s)≥f(s',s)； (ii)如果f(s,s)=f(s',s)，那么对任意的s≠s'有 f(s,s)>f(s',s')； 则s是演化稳定策略
其他的一些理论成果包括Cressman(1992)以及Samuelson(1997)的著 作。
• 演化博弈的发展出现了一些新的思路，对演化稳定策略和合作演化 博弈的研究不断深入，学者开始关注带有随机因素影响的演化过程。
21世纪 进入2l世纪以来，国内的学者也开始关注演化博弈论，也做出了大 量的研究。
②
Ra = xR1 +(1-x) R2 ③
甲 策略1 方 策略2
乙方
策略1 策略2
a,a
b, c
c, b
d, d
根据上述收益得到复制动态方程：
dx/dt = x (R1 - Ra) =x(1-x)[(a-b-c+d)x+(b-
d)].
令：dx/dt=F(x) F(x)为x的单元函数。
因为F(x) =x(1-x)[(a-b-c+d)x+(b-d)]，该复制动态最多有3个稳定状态 ，分别为x＊=0、 x＊=1、 x＊=（b-d)/(a-b-c+d)。
Y
a
b
a 2，2
0，3
策略a 是否是演化稳定策略？ 有一个规模为E的策略b入侵
策略a的平均适应度：
X b
3，0
1，1
2(1 E) E *0 2 2E 策略b的平均适应度：
3(1 E) E 3 2E 策略b 是否是演源自文库稳定策略？
有一个规模为E的策略a入侵 策略b的平均适应度:
(1 E) 3E 1 2E 策略a的平均适应度:
纳什均衡
(1 E)*0 2E 2E
纳什均衡
纳什均衡的定义： 在博弈G=﹛S1,…,Sn：u1,…，un﹜中，如果由各个博弈方的各一 个策略组成的某个策论组合（s1*,…，sn*）中，任一博弈方i的 策论si*，都是对其余博弈方策略的组合（s1*,…s*i-1,s*i+1,…， sn*）的最佳对策，即不等式 ui（s1*,…s*i-1,si*,s*i+1,…，sn*）≥ui（s1*,…s*i-1,sij,s*i+1,…，sn*） 对任意sij∈Si都成立，则称（s1*,…，sn*）为G的一个纳什均衡。
0
X*
1
x
标准的N总体复制子动态
与一般的两人对称博弈相似，标准的N总体 复制子动态：
•
xih [u(eih , xi ) ui (x)]xih
总体平均收益
k
u(x, x) = xiu(ei , x) i1
一般的两人对称博弈复制子动态（2）
假设
1收益代表博弈对个人适应性影响的增量效应
2每个个体继承父母的单一策略
3假设人的死亡率 相同
采用策略i的个体在时间t的出生率 u(ei , x) ，这里 是背景适应性 （与博弈结果无关），总体动态：
程演化而来的？
第三章 复制子动态
复制子动态的概述
生物种群的繁衍或者社会现象的不断变迁 ，就会产生一个时间上连续的总体动态， 这就是复制子动态（replicator dynamics）
这里的复制子是指纯策略，它可以从父母 无差别的传递给孩子，随着总体状态的改 变，纯策略（复制子）的收益和其适应性 也会相应的改变。
2. 陈星光,周晶,朱振涛. 城市交通出行方式选择的演化博弈分析[J]. 管理工程学报,2009,23(2):140-142.
3. DeokJoo Kim,Sungwook Kim. Adaptive power control algorithm based on the evolutionary game theory[J]. Journal of KISS: Information Networking,2010,37(3):228-293.
与传统博弈理论不同，演化博弈理论并不要求参 与人是完全理性的，也不要求完全信息的条件。
演化博弈论（Evolutionary Game Theory）把博弈 理论分析和动态演化过程分析结合起来的一种理 论。在方法论上，它不同于博弈论将重点放在静 态均衡和比较静态均衡上，强调的是一种动态的 均衡。演化博弈理论源于生物进化论。
一般的两人对称博弈复制子动态（1）
分析一个简单的情景：总体很大但是有限，总体中的个体 被规定好了选取对称性两人博弈中的纯策略
K：纯策略集合 u：收益函数 pi(t)：当前被规定好了采取纯策略i的个体数。∑pi(t)表示总体 x(t)=(x1(t),…, xk(t)):总体状态。每个分量xi(t)表示时间t采取纯策略i的 个体占总体的比例xi(t)=pi(t)/p(t) u(ei,x)：纯策略i在随机匹配中得到的期望收益
演化博弈论理论的特征
第一，以参与人群体为研究对象，分析动 态的演化过程，解释群体为何达到以及如 何达到目前的这一状态。
第二，群体的演化既有选择过程也有突变 过程。
第三，经群体选择下来的行为具有一定的 惯性。
演化博弈论的产生与发展（1）
• Alchian(1950)建议在经济分析中用自然选择的概念代替利润最大化 的 概念。Nash(1950)的“群体行为解释” 是包含较完整的演化博弈
4. 杨波,徐升华.虚拟企业知识转移激励机理的演化博弈析[J]. 情报 理论与实践,2010,33(7):50-54.
5. 徐岩，胡斌，钱任. 基于随机演化博弈的战略联盟稳定性分析 和仿真[J]. 系统工程理论与实践,2011,31(5):920-926.
第二章 演化稳定策略
演化稳定策略概述
1974年，Smith和Price提出 “演化稳定策 略”。
纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种策略组合由所有参与 人最优策略组成。即在给定别人策略的情况下，没有人有足够 理由打破这种均衡。
纳什均衡可以通过划线法得出
纳什均衡和演化稳定（1）
a
X b
a 0，0
Y b
1，1
1，1
0，0
策略b是否是演化稳定的？ 有一个规模为E的策略a入侵
策略b的平均适应度: (1 E)*0 E *1 E 策略a的平均适应度: (1 E)*1 E *0 1 E
演化稳定策略(Evolutionarily stable stragegy,ESS)，是指如果占群体绝大多数的 个体选择演化稳定策略，那么小的突变者 群体就不可能侵入到这个群体。
下面我们从最简单的情况入手：考察一个 大但是有限的总体，这个总体中的个体被 规定好了选取对称性两人博弈中的纯策略
囚徒困境的演化稳定策略
•
pi [ u(ei , x) ] pi (1)
对恒等式 p(t)xi (t) pi (t) 两边求t的导数 得：
•
•
•
p xi pi p xi (2)
将式（1）带入（2）中，稍加整理可得：
•
xi [u(ei , x) u(x, x)]xi (3)
式（3）说明： 采用策略i的总 体比例的增长 率 等于策略收
益和总体平均 收益之差
一般两人对称博弈复制子 动态和ESS
如表3是一个简单的2*2对称博 弈，如果不给出收益的具体数 值，
在一个群体中，有比例为x的 人采用策略1，（1-x）的人采 用策略2。采用两种策略的博 弈方的期望收益和群体平均收 益分别为：
R1 = x*a +(1-x)b ①
R2 = x*c +(1-x)d
1950s 思想的最早理论成果。
• 1973年，Smith发表了《博弈论和动物冲突的进化》，这标志着演化 博弈论的诞生。1974年，Smith和Price提出演化博弈理论中的基本概
1970s “演化稳定策略”。1978年，生态学家Taylor和Jonker提出了演化博 弈理论的基本动态概念━━复制动态
演化博弈论的应用
➢ 自演化博弈论诞生之日起，它就逐渐的被人们用 来分析生物、经济等领域的问题。
1. Selten Reinhard．A Note on Evolutionary Stable Strategies in Asymmetric Animal Conflicts [J]． Journal of Theoretical Biology，1980，(84)．
如果(S,S)不是纳什均衡，那 么S不是演化稳定策略
纳什均衡和演化稳定（2）
a
X b
a 1，1
Y b
0，0
0，0
0，0
策略b是否是演化稳定的？ 有一个规模为E的策略b入侵
策略b的平均适应度: (1 E)*0 E *0 0
策略a的平均适应度:
(1 E)*0 E *1 E
如果（S,S）是严格的纳 什均衡，那么S是演化稳
定策略
演化稳定策略的定义（1）
Definition 1:
单一群体
x∈A是演化稳定策略，如果y∈A，y≠x， 存在一个 ∈(0，1)，使不等式
u[x,εy + (1 − ε)x] > u[y,εy + (1 − ε)x]
对任意ε ∈(0，)都成立。
A:群体中个体博弈时的支付矩阵； y:表示突变策略；
什么是演化博弈论（2）
为什么将演化思想引入到博弈论中？ （1）博弈论对生物学的影响。博弈论的策略
对应生物学中的基因 ，博弈论的收益对应 生物学中的适应度。在生物学中应用的博 弈论与经济学中的传统博弈论最大区别就 是非完全理性的选择。
（2）演化化思想对社会科学的影响。例如， 在市场竞争中，我们不必要去理性的想那 个策略才是最优的，最后能够在市场存活 下来的企业，一定是适应能力最强的公司。
混合策略的演化稳定性
胆小鬼博弈
Y
a(q)
b(1-q)
混合策略纳什均衡 （（1/3,2/3）,（1/3,2/3））
a(p) 0，0
2，1
X pq*0 p(1 q)*2 (1 p)q*1 (1 p)(1 q)*0
X b(1-p) 1，2
0，0
X / p (1 q)*2 q 0 q 1/3