东南大学离散数学PPT课件

3)置换规则：在推导的任何步骤上，命题公式 的子公式都可以用与之等值的公式置换。
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3.2 自然推理系统P
4)假言推理规则： A→ B A
结论： B 5)附加规则：
A 结论：A∨B 6)化简规则：
A∧B 结论：A
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3.2 自然推理系统P
7)拒取式规则：
¬B
A→B ∴ ¬A
8)假言三段论规则： A→B
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3.1 推理的形式结构
(３)＊找出使蕴含命题的后件均为“Ｆ”的所有 指派，试看这些指派能否令前件的真值为“Ｆ ”，若均能，则永真蕴含式成立。
例：¬qΛ(p→q) ¬p 使后件为“Ｆ”的指派为：p为“Ｔ”， 代入前件得 (ⅰ)若q为Ｔ，则¬qΛ(p→q)为“Ｆ”； (ⅱ)若q为Ｆ，则¬qΛ(p→q)为“Ｆ”；
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3.1 推理的形式结构
在此用下述形式写出推理的形式结构 前提： H1，H2 …，Hn 结论： C
论证推理是否正确即证H1 ∧ H2 …∧ Hn →C是 否为永真式。
我们用H1 ∧ H2 …∧ Hn C表示H1 ∧ H2 …∧ Hn →C是永真式。
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3.1 推理的形式结构
例：判定下列推理是否正确 {p}├p∨q；{p,q}├p 可用等值演算法证： p→(p∨q) ¬p∨(p∨q)
设p:这里有球赛 q:通行是困难的 r:他们按时到达. p→q r→¬q r ¬p
由前提H1，H2 …，Hn推出C的推理是有效的或 正确的，并称C是有效结论。
说明：
❖若H1 ∧ H2 …∧ Hn → C为永真式，则称C是 H1 ， H2 ， … ，Hn的有效结论。
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3.1 推理的形式结构
❖设H1，H2 …，Hn ，C中出现的命题变元有m 个，对于任意一组赋值，前提和结论的真值情 况有四种 • H1 ∧ H2 …∧ Hn为0，C为0； • H1 ∧ H2 …∧ Hn为0，C为1； • H1 ∧ H2 …∧ Hn为1，C为0； • H1 ∧ H2 …∧ Hn为1，C为1； 推理正确不能保证结论一定为真。
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3.1 推理的形式结构
(２)＊找出使蕴含命题前件为“Ｔ”的所有指派 ，试看这些指派能否令后件为“Ｔ”，若为“ Ｔ”，则永真蕴含关系成立。
证明： pΛ(p→q)q
使前件为“Ｔ”的指派为p、(p→q) 同时为“Ｔ ”。
∵p为“Ｔ” ，∵p→q也为“Ｔ”， ∴q也应为“Ｔ”，
∴pΛ(p→q) q成立。
3.1 推理的形式结构
按公认的推理规则，从前提集合中推导出一个 结论来，这样的推导过程称为演绎，或者叫形 式证明。
推理规则指确定论证有效性的判据，常用命题 形式表示这些规则，而不涉及实际命题和它的 真值。
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3.1 推理的形式结构
定义:设H1，H2 …，Hn ，C都是命题公式，若 对于H1，H2 …，Hn ，C中出现的命题变元的 任意一组赋值，或者H1 ∧ H2 …∧ Hn为假，或 者当H1 ∧ H2 …∧ Hn为真时，C也为真，则称
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3.1 推理的形式结构
例2.
如果x是偶数，则x2是偶数。 p → q
x2是偶数
q
x是偶数
结论： p
推理的形式结构： q∧(p→q) → p
该推理是错误的。若x2 ＝2。
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3.1 推理的形式结构
例3.
如果x是偶数，则x2是偶数。 p → q
x2不是偶数
¬q
x不是偶数
结论：¬p
源自文库
该推理是正确的。
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3.1 推理的形式结构
I1 ＰＰ∨Ｑ (ＱＰ∨Ｑ)
I2 ＰΛＱ Ｐ (ＰΛＱ Ｑ)
I3 ＰΛ(Ｐ→Ｑ) Ｑ
假言推理
I4 (Ｐ→Ｑ)Λ¬Ｑ ¬Ｐ 拒取式
I5 ¬ＰΛ(Ｐ∨Ｑ) Ｑ
析取三段论
I6 (Ｐ→Ｑ)Λ(Ｑ→r) (Ｐ→r)
I7 (ＰＱ)Λ(Ｑr)(Ｐr)
I8 (Ｐ→Ｑ)Λ(r→s)Λ(Ｐ∨r)Q∨s
∴¬qΛ(p→q) ¬p成立
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3.2 自然推理系统P
定义:一个形式系统I由下面四个部分组成： ❖非空的字母表，记做A(I)。 ❖A(I)中符号构造的合式公式集，记做e(I)。 ❖e(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记做 Ax(I)。 ❖推理规则集，记做r(I)。
说明：
❖形式系统一般分为两类：
• 自然推理系统 • 公理推理系统
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3.2 自然推理系统P
定义:自然推理系统定义如下： 字母表：命题变元符号；联接词符号；括号与
逗号。 合式公式：同定义1.6。 推理规则：
1)前提引入规则：在推导的任何步骤上都可以 引入前提。
2)结论引入规则：在推导的任何步骤上得到的 结论都可以作为后继证明的前提。
T pp∨q。 (pΛq)→p ¬(pΛq)∨p
¬p∨ ¬q∨p T
pΛq p。
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3.1 推理的形式结构
例1.
如果x是偶数，则x2是偶数。 p → q
x是偶数
p
x2是偶数
结论：q
注意：横线上方是前提，下方是结论。
推理的形式结构： p ∧(p→q) → q
该推理为正确的，
即p ∧(p→q)q 。
B→C ∴A→C
9)析取三段论规则： ¬A A∨B ∴B
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3.2 自然推理系统P
10)构造性两难推理规则： A→B
C→D
A∨C
∴B∨D 11)破坏性两难推理规则： A→B
C→D
12)合取引入规则：
¬B∨¬D ∴ ¬A∨¬C
A
B
∴A∧B
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3.2 自然推理系统P
例1. 考虑下述论证： ❖如果这里有球赛，则通行是困难的。 ❖如果他们按时到达，则通行是不困难的。 ❖他们按时到达了。 ❖所以这里没有球赛。
(Ｐ→Ｑ)Λ( ¬Ｐ→Ｑ)Λ(Ｐ∨¬Ｐ)Q
I9 (Ｐ→Ｑ)Λ(r→s)Λ(¬Q∨¬s) ¬P∨¬r
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3.1 推理的形式结构
说明：
❖这些重要的永真蕴含式称为推理定律； ❖P,Q,R等称代表任意的命题公式；
证明上述永真蕴含式的方法有三类： (１)把“ ”关系符改为“→”联结词，证明它
为永真式。 (a)真值表法 (b)等值演算法 (c)主析取范式法
❖由前提H1，H2 …，Hn 推出结论C的推理是否 正确和前提的排列顺序无关。
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3.1 推理的形式结构
前提中的公式是一个有限公式集合，若将该集合 记为，可将由推C的推理记为├C 。若推理是 正确的，则记为|=C 。这里称├C和{H1，H2 … ，Hn}├C为推理的形式结构。
定理：命题公式H1，H2 …，Hn 推C的推理正确当 且仅当H1 ∧ H2 …∧ Hn →C是一个永真式。