高中数学专题一元二次方程实数根的分布

一元二次方程实数根的分布教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。

教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布−−→−转化图形问题−−→−转化代数表达式（不等式组）−−→−计算参数取值范围。

教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

1、两个正根⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩， 2、两负根⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b 3、一正根一负根 021<=acx x 4、一正根一负根，负根绝对值大⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=<-=+002121a c x x a b x x 5、一正根一负根，正根绝对值大⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>-=+002121a c x x a b x x 6、有一根为0 0,0,021=>-==c abx x 例1：若方程0)5()2(2=++++m x m x有两正根，求实数m 的取值范围.变式1：两根两负？ 变式2: 两根一正一负？变式3: 两根一正一负，且正根绝对值大？ 变式4: 两根一正一负，且负根绝对值大？例2：若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：由已知k －3=0，∴k =3，代入原方程得32x +5x =0，另一根为负。

二．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

k 为常数。

则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。

一般的，可以通过数形结合得到以下结论：根的情况a>0时图a<0时图充要条件两个根均小于m⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥∆m ab m af 20)(0 两个根都大于n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥∆n ab n af 20)(0 一个大于m ，另一个小于m 的根(x 1-m)(x 2-m)<0⇔af(m)<0在区间(m,n)内有且仅有一个根f(m)f(n)<0在区间(m,n)之外有两个根⎩⎨⎧<<0)(0)(n af m af 在区间(m,n)内有两个实根⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<≥∆0)(0)(20n af m af n a b m 点函数值的符号.4。

如果只涉及跟0比较大小，即正负根，则用零分布（韦达定理）解决问题。

三、例题与练习1.方程x 2+2px+1=0 两根都大于1，，求p 的取值范围2.方程x 2+2px+1=0两根都小于1，求p 的取值范围3.方程x 2+2px+1=0两根在（0,2）之间，求p 的取值范围4.方程x 2+2px+1=0两根在（0,2）之外，求p 的取值范围5.方程x 2+2px+1=0方程有两根，且在（0,2）之间有且只有一解，求p 的取值范围6.若关于x 的方程x 2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1、若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

例、方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--， 另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；2、 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

例、方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-； ②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =， 当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意； 综上分析，得出15314m -<<-或1m =-3．已知二次方程0)1(2)12(2=-+-+m mx x m 有且只有一个实根属于（1，2），且2,1==x x 都不是方程的根，求m 的取值范围．3．解：设f (x ) = )1(2)12(2-+-+m mx x m ，由于f (x )是二次函数，所以2m +1 ≠ 0，即m ≠ - 12.f (x ) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f (1)·f (2)<0 ⇔ (5m +3)(m -2)<0 ⇔ - 35<m <2.综上得：m 的取值范围是(- 35 , - 12 )∪(- 12 , 2)．4．已知二次方程0)1()43()1(2=++++-m x m x m 的两个根都属于（–1，1），求m 的取值范围．4．令二次函数f (x ) = (m -1)x 2+(3m +4)x +m +1，则m -1 ≠ 0，即m ≠ 1． f (x )=0的两个实根均在(-1,1)上，当且仅当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->--<-+-<-≥+--+=∆.0)1()1(,0)1()1(,122431,0)1)(1(4)43(2f m f m m m m m m ⇔ 545112125112124-<<+---<<-m m 或 ∴ m 的取值范围为}54511212|{}5112124|{-<<+---<<-m m m m ． 5．若关于x 的方程x 2+(a -1)x +1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a的取值范围．5．解：令f (x ) = x 2+(a -1)x +1，则满足题意当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ △= (a -1)2-4>00< - a -12 <2f (0)≥0 f (2)≥0解得 - 32≤a <-1.∴ a 的取值范围是 [ - 32 , -1)．2．已知方程02)12(22=+⋅-+⋅m m m x x 在)1,(-∞上有两个根，求m 的取值范围． 解：令x t 2=，当)1,(-∞∈x 时，)2,0(∈t ．由于x t 2=是一一映射的函数，所以x 在)1,(-∞上有两个值，则t 在)2,0(上有两个对应的值．因而方程0)12(2=+-+m t m mt 在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<--<>->>--)4(22120)3(0)29()2(0)1(04)12(222m m m m m m m 由（1）得： 41<m ，由（2）得： 0≠m ，由（3）得： 0<m 或92>m ， 由（4）得： 2161<<m ．4192<<∴m ，即m 的取值范围为)41,92(．1． 若方程4(3)20x x m m +-•+=有两个不相同的实根，求m 的取值范围。

提示：令2x =t 转化为关于t 的一元二次方程有两个不同的正实根。

答案：0<m <18．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x |x 2－2ax ＋a ＋2≤0，a ∈R}，若A ∪B ＝A ，求a 的取值范围．例1 当m 取什么实数时，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有: ①两个实根； ②一正根和一负根； ③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1.解 ：设方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根为1x 、2x ①若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->--≥---0450420)5(16)2(2m m m m ⇔⎪⎩⎪⎨⎧><≥+-52084202m m m m ⇔⎪⎩⎪⎨⎧><≥≤52146m m m m 或⇔m ∈φ. ∴此时m 的取值范围是φ，即原方程不可能有两个正根. ②若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：⎩⎨⎧<>∆0021x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->---0450)5(16)2(2m m m ⇔m<5.∴此时m 的取值范围是(-∞,5).③若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：⎪⎩⎪⎨⎧<>+>∆0002121x x x x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<->-->---0450420)5(16)2(2m m m m ⇔m<2.∴此时m 的取值范围是(-∞,2).④错解：若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：⎪⎩⎪⎨⎧>⋅>+≥∆1202121x x x x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-≥+-1450432084202m m m m ⇔ m ∈(23,6) ∴此时m 的取值范围是(23,6)，即原方程不可能两根都大于1. 正解：若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：⎪⎩⎪⎨⎧>-+->--≥∆0)1()1(0)1)(1(02121x x x x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+>-≥+-0460432084202m m m m ⇔ m ∈φ. ∴此时m 的取值范围是φ，即原方程不可能两根都大于1.说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.例2．已知方程2(k+1)2x +4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k 的取值范围. 解：要原方程有两个负实根，必须:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><+≥∆≠+0000)1(22121x x x x k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<>-<>≤≤--≠⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-<+-≤-+≠+132101210)1(2230)1(2402012k k k k k k k k k k k k k 或或.13212<<-<<-⇔k k 或∴实数k 的取值范围是{k|-2<k<-1或32<k<1}. 1.关于x 的方程m 2x +(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m 的取值范围是：A.(-41, +∞)；B.(-∞,-41)；C.[-41，+∞]；D.(-41,0)∪(0,+∞).提示：由m ≠0且∆>0，得m<-41，∴选D.3、若方程01222=-+-t tx x 的两个实根都在2-和4之间，实数t 的取值范围是 提示：01222=-+-t tx x ⇔0))1())(1((=--+-t x t x⇔ ,1,111-=+=t x t x∴⎩⎨⎧->-<+2141t t ⇔ 31<<-t2．方程227(13)20(x k x k k k -++--=为常数）有两实根,αβ，且01α<<，12β<<，那么k 的取值范围是 （ ）（A ）34k << （B ）21k -<<- （C ）21a -<<-或34k << （D ）无解例2已知点(0,4)A 、(4,0)B .若抛物线21y x mx m =-++与线段AB (不包括端点A 及B )有两个不同的交点，则m 的取值范围是 . (1997年上海市高中数学竞赛)解： 显然直线AB 的方程为1(04)44x yx +=<<即4y x =-，代入抛物线方程并整理得2(1)(3)0x m x m +-+-=.设2()(1)(3)f x x m x m =+-+-，问题转化函数()y f x =的图象和x 轴在0到4之间有两个不同的交点，即方程2(1)(3)0x m x m +-+-=在(0,4)上有两个不相等的实根. 所以2(1)4(3)0(0)30(4)164(1)3010 4.2m m f m f m m m ⎧∆=--->⎪=->⎪⎪⎨=--+->⎪-⎪<<⎪⎩解得m 的取值范围是1733m <<.例1若方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，求实数k 的取值范围.解法一：方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，即方程0232=--k x x 在[]1,1-上有实根，设k x x x f --=23)(2，则根据函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标等价于方程0)(=x f 的根.（1）两个实根都在[]1,1-上，如图：可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤-≥≥-≥∆1210)1(0)1(0a bf f ，解得169≤≤-k （2）只有一个实根在[]1,1-可得0)1()1(≤⋅-f f ，解得2521≤≤-k ，综合（1）与（2）可得实数k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,169解法二：方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，即存在[]1,1-∈x ，使得等式x x k 232-=成立，要求k 的取值范围，也即要求函数[]1,1,232-∈-=x x x k 的值域.设[]1,1,1694323)(22-∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==x x x x x f k 又因，则)1(169-≤≤-f k ，可得25169≤≤-k . 解法三：令,232x x y -=则k y =，则方程k x x =-232在[]1,1-上有实根，等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=k y x x y 232在[]1,1-上有实数解，k =在[]1,1-上有公共点，如图所示 直观可得：25169≤≤-k .程k x x =-232化成k x x +=232，然后令 k x y x y +==23,2，从而将原问题等价转化为抛物线2x y =与直线k x y +=23在[]1,1-上有公共点时，“数形结合法”下去求参数k 的取值范围.根据图形直观可得：当直线k x y +=23过点)1,1(-，截距k 最大；当直线k x y +=23与抛物线k x y +=23相切时，截距k 最小.且169,25-==最小最大k k .故参数的取值范围为25169≤≤-k .5.已知集合A={x|x 2+(2-a)x+1=0}，若A ⊆R +，求a 的取值范围6.已知A={x| x 2+2x+2-p=0}，且A ∩R +=φ，求p 的取值范围。