湘教版九年级数学下册考点综合专题：圆与其他知识的综合

4．A 5．①③ 解析：设 BD 交⊙O 于点 E，连接 AE.∵∠C＝∠AEB，∠AEB＞∠D，∴∠C＞∠D， ∴sinC＞sinD，cosC＜cosD，tanC＞tanD，∴正确的结论有①③.
6．解：(1)过 O 作 OH⊥AB 于 H.∵OA＝5cm，cos∠OAB＝35，∴AH＝OA·cos∠OAB＝3cm，
A.12
B.
2 2
C.
3 2
D.
3 3
第 4 题图
第 5 题图
5．如图，若锐角△ABC 内接于⊙O，点 D 在⊙O 外(与点 C 在 AB 同侧)，则下列三个结论： ①sinC＞sinD；②cosC＞cosD；③tanC＞tanD 中，正确的结论为________(填序号)．
6．如图，已知点 A，B，C 在⊙O 上，且点 B 是的中点，当 OA＝5cm，cos∠OAB＝35时． (1)求△OAB 的面积； (2)连接 AC，求弦 AC 的长．
◆类型四 圆与相似的综合 11．如图，AB 是半圆 O 的直径，D，E 是半圆上任意两点，连接 AD，DE，AE 与 BD 相交 于点 C，要使△ADC 与△ABD 相似，可以添加一个条件．下列添加的条件错误的是( ) A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD2＝BD·CD D．CD·AB＝AC·BD
π A.3
π B.2
C．π
DΒιβλιοθήκη Baidu2π
9．★★(2016·淄博中考)如图，⊙O 的半径为 2，圆心 O 到直线 l 的距离为 4，有一内角为 60°的菱形，当菱形的一边在直线 l 上，另有两边所在的直线恰好与⊙O 相切，此时菱形的边 长为______________． 10.如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心 O 在 AC 上，∠A＝30°，D 为的中点． (1)求证：AB＝BC； (2)试判断四边形 BOCD 的形状，并说明理由．
2
第 11 题图
第 12 题图
12．(2016·丽水中考)如图，⊙O 是等腰 Rt△ABC 的外接圆，点 D 是上一点，BD 交 AC 于点
E，若 BC＝4，AD＝45，则 AE 的长是( ) A．3 B．2 C．1 D．1.2
13．如图，在⊙O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 P，已知 PA＝3cm，PB＝4cm，PC＝2cm， 那么 PD＝________cm.
∴AC＝2AM＝458cm.
7．D 8．C 解析：连接 OE，OF.∵CD 是⊙O 的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED＝90°.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠C＝60°，∴∠A＝∠C＝60°，∠D＝120°.∵OA＝OF，∴∠A＝∠OFA＝60°， ∴∠DFO＝120°，∴∠EOF＝360°－∠D－∠DFO－∠DEO＝30°，∴lE︵F＝3108π0·6＝π.故选 C.
2.在 Rt△DCF 中，DC＝sin∠DFDCF＝23 3DF＝43 3；
4
第三种情况：如图③，过点 O 作 EF 垂直于 BA 延长线于点 E，交 CD 于点 F，过点 A 作
AG⊥CD 于点 G，则 AG＝EF＝4.在 Rt△AFG 中，AF＝sin∠AGADG＝2 3 3AG＝83 3.故答案为
3
参考答案与解析 1．B 2.5 3．6 解析：∵A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a>0)，∴AB＝1－(1－a)＝a，CA＝a＋1－ 1＝a，∴AB＝AC.∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝AC＝a.如图，延长 AD 交⊙D 于 P′，此时 AP′ 最大．∵A(1，0)，D(4，4)，∴AD＝5，∴AP′＝5＋1＝6，∴a 的最大值为 6.
1
◆类型三 圆与特殊四边形的综合 7．如图，⊙O 过正方形 ABCD 的顶点 A，B，且与 CD 相切，若正方形 ABCD 的边长为 2， 则⊙O 的半径为( )
A．1
5 B. 2
4 C.3
5 D.4
第 7 题图
第 8 题图
第 9 题图
8．(2016·山西中考)如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与 DC 相切于点 E，与 AD 相交于点 F，已知 AB＝12，∠C＝60°，则的长为( )
坐标为
23，12.设直线
EF
的解析式为
y＝kx＋b，代入点
E，F
b＝－1， 的坐标得12＝ 23k＋b，解得
kb＝＝－31，. ∴直线 EF 的解析式为 y＝ 3x－1.
6
5
(2)连接 DF，过点 F 作 FG⊥y 轴于点 G.∵E 点坐标为(0，－1)，∴OE＝1，DE＝2.∵直线 EF 与⊙D 相切，∴∠DFE＝90°，DF＝1，∴sin∠DEF＝DDFE＝12，∴∠DEF＝30°，∴∠GDF＝
60°，∠DFG＝30°.在 Rt△DGF 中，∵∠DFG＝30°，∴DG＝12DF＝12，GF＝ 23，∴点 F 的
第 1 题图
第 2 题图
第 3 题图
2．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点 O，并且分别与 x 轴，y 轴交于 B，C 两点， 已知 B(8，0)，C(0，6)，则⊙A 的半径为________． 3．(2016·泸州中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a ＞0)，点 P 在以 D(4，4)为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则 a 的最 大值是________． ◆类型二 圆与三角函数的综合 4．(2016·衢州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若∠A＝30°，则 sinE 的值为( )
14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线 EF 经过点 C，AD⊥EF 于点 D，∠DAC＝∠
BAC. (1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)求证：AC2＝AD·AB； (3)若⊙O 的半径为 2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．
◆类型五 圆与函数的综合 15．(2016·衡阳中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点坐标为 A(－ 3，0)，B( 3， 0)，C(0，3)． (1)求△ABC 内切圆⊙D 的半径； (2)过点 E(0，－1)的直线与⊙D 相切于点 F(点 F 在第一象限)，求直线 EF 的解析式．
4
3或4
3
3或8
3
3 .
10．(1)证明：∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA＝90°，∠AOB＝90°－30°＝60°.∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝12∠AOB＝30°＝∠A，∴AB＝BC；
︵ (2)解：四边形 BOCD 为菱形．理由如下：连接 OD 交 BC 于点 M.∵D 是BC的中点，∴OD 垂直平分 BC.在 Rt△OMC 中，∵∠OCM＝30°，∴OC＝2OM＝OD，∴OM＝MD，∴四边形 BOCD 为菱形． 11．D 12．C 解析：∵等腰 Rt△ABC 中 BC＝4，∴AC＝BC＝4，AB＝4 2.∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠D＝90°.在 Rt△ABD 中，AD＝45，AB＝4 2，∴BD＝258.∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE，
湘教版九年级数学下册考点综合专题：圆与其他知识的综 合
——几几结合，代几结合，掌握中考风向标 ◆类型一 圆与平面直角坐标系的综合 1．如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C(0，5)和点 O(0，0)，B 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则 cos∠OBC 的值为( )
1
334
A.2 B. 2 C.5 D.5
∴△ADE∽△BCE，∴ABEE＝DCEE＝ABDC＝15.设 AE＝x，则 BE＝5x，∴DE＝258－5x，∴CE＝28 －25x.∵AC＝4，∴x＋28－25x＝4，解得 x＝1.故选 C. 13．6 解析：连接 AC，DB.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△APC∽△DPB，∴PPAD＝PPCB，∴PD ＝PAP·CPB＝3×2 4＝6(cm)． 14．(1)证明：连接 OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵∠DAC＝∠BAC，∴∠OCA＝∠DAC， ∴AD∥OC.又∵AD⊥EF，∴OC⊥EF，∴EF 是⊙O 的切线； (2) 证 明 ： 连 接 BC ， 则 ∠ACB ＝ 90°.∵∠DAC ＝ ∠BAC ， ∠ACB ＝ ∠ADC ＝ 90° ， ∴△ABC∽△ACD，∴AACB＝AADC，即 AC2＝AD·AB； (3)解：由(1)知∠ACD＋∠ACO＝90°.∵∠ACD＝30°，∴∠OCA＝60°.∵OC＝OA，∴△ACO 是等边三角形，∴AC＝OC＝2，∠AOC＝60°.在 Rt△ADC 中，∵∠ACD＝30°，∴AD＝1， CD＝ 3.∴S 阴影＝S 梯形 OCDA－S 扇形 OCA＝12×(1＋2)× 3－60π36×0 22＝3 2 3－23π. 15．解：(1)连接 BD.∵B 点坐标为( 3，0)，C 点坐标为(0，3)，∴OB＝ 3，OC＝3，∴tan∠CBO ＝OOCB＝ 3，∴∠CBO＝60°.∵点 D 是△ABC 的内心，∴BD 平分∠CBO，∴∠DBO＝30°， ∴OD＝OB·tan30°＝1，即△ABC 内切圆⊙D 的半径为 1；
9．4 3或43 3或8 3 3 解析：第一种情况：如图①，过点 O 作直线 l 的垂线，交 AD 于 E， 交 BC 于 F，过点 A 作 AG⊥直线 l 于点 G，由题意得 EF＝2＋4＝6，四边形 AGFE 为矩形，
∴AG＝EF＝6.在
Rt△ABG
中，AB＝sAinGB＝
6 ＝4 3
3；
2
第二种情况：如图②，过点 O 作 OE⊥l 于点 E，过点 D 作 DF⊥l 于点 F，则 OE＝4，DF＝
∴OH＝4cm，AB＝2AH＝6cm，∴S△OAB＝12AB·OH＝12cm2；
(2)设
AC
交
OB
于
M.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴sin∠OBA＝45.∵B
︵ 是AC的中点，
︵︵ ∴AB＝BC，∴AB＝BC.∵OA＝OC，∴OB
垂直平分
AC.∴AM＝AB·sin∠MBA＝6×45＝254(cm)，