华中科技大学高等代数考研各章经典习题及解析
考研《高等代数》考研考点与考研真题详解
考研《高等代数》考研考点与考研真题详解在考研的众多科目中，《高等代数》是许多专业都需要面对的重要课程。
对于考生来说，深入了解其考点并熟悉真题的解题思路和方法至关重要。
接下来，让我们一起详细探讨《高等代数》的考研考点以及通过真题来进行具体的分析。
首先，多项式是《高等代数》中的一个基础考点。
多项式的运算、整除性、最大公因式等概念需要考生熟练掌握。
例如，给定两个多项式$f(x)＄和$g(x)＄，求它们的最大公因式就是常见的考题类型。
线性方程组也是重点之一。
包括解的存在性、唯一性以及求解的方法。
考生要清楚如何通过高斯消元法将线性方程组化为阶梯形，从而判断解的情况。
矩阵是必考的内容。
矩阵的运算、逆矩阵的求解、矩阵的秩等都经常出现在考研真题中。
比如，给出一个矩阵，要求判断其是否可逆，并求出其逆矩阵。
向量空间也是一个重要的考点。
涉及向量空间的定义、基与维数、子空间的相关性质等。
可能会要求考生证明某个集合是向量空间，或者求向量空间的基和维数。
线性变换是一个较难的考点，但也是高频考点。
需要理解线性变换的定义、性质，掌握线性变换的矩阵表示，以及如何求线性变换的核与值域。
特征值与特征向量是另一个关键考点。
包括特征值和特征向量的计算、性质以及相似对角化的条件和方法。
很多真题会要求根据给定的矩阵求其特征值和特征向量，并判断是否可相似对角化。
下面通过一些具体的考研真题来进一步说明。
真题一：已知多项式$f(x) ＝ x^3 2x^2 ＋ 3x 1$，＄g(x) ＝ x^2 3x ＋ 2$，求$f(x)＄与$g(x)＄的最大公因式。
解题思路：运用辗转相除法，先将$f(x)＄除以$g(x)＄，得到商式$q_1(x)＄和余式$r_1(x)＄，然后将$g(x)＄除以$r_1(x)＄，以此类推，直到余式为零，此时的除数就是最大公因式。
真题二：求解线性方程组：＄＼begin{cases} 2x_1 ＋ 3x_2 x_3 ＝ 1 ＼＼ 4x_1 ＋ 6x_2 2x_3 ＝2 ＼＼ 3x_1 ＋ 4x_2 ＋ 2x_3 ＝ 5 ＼end{cases}＄解题思路：首先对增广矩阵进行初等行变换，化为阶梯形矩阵，判断解的情况。
高等代数与解析几何1~4章习题答案(DOC)
高代与解几第二章自测题（一）——行列式一、 判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）3. 2≥n 时，n 级的奇排列共2!n 个. （ √ ） 二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D ＝x x x x x x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ，则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）4. nD n 222232222222221=（提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组一、 判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000001000001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解 方程组的增广矩阵为：B =⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤，…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nn nn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n n n n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分) 因此，D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。
高等代数考研20051
南开大学2005硕士研究生入学考试试题 高等代数注：本解答所需知识均参照高教社出版的由北大代数小组主编由王萼芳、石生明修订的《高等代数》！一、计算下列行列式2n ?,x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 1112n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21≥=+++++++++------解：由行列式性质，2n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 2221212n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21x x x x x x x x x x x x 111111x x x x x x x x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111------------------+++++++++++++=+++++++++显然，第二式为0，连续运用此性质得()∏≤<≤----------==+++++++++ni j 1j i1n n1n 21n 12n 2221n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21a ax x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111二、设齐次线形方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++-=++0ex dx bx 0ex cx ax 0dx cx x 0bx ax x 321421431432的一般解以43x ,x 为自由未知量（1） 求 a,b,c,d,e 满足的条件 （2）求齐次线形方程组的基础解系解：由自由变量数为2，可知，方程组系数矩阵的秩为2，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0e d b e 0c a d c 01b a 10的秩为2，又易得系数矩阵变形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0e d b e 0c a b a 10d -c -01。
985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答
15 武汉大学
39
15.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
16 华中科大 2012 年数学分析试题解析
40
17 武汉大学 2018 年数学分析试题解析
44
18 中南大学 2010 年数学分析试题解析
6 浙江大学
16
6.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 华中科技大学
18
7.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13 大连理工大学
35
13.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
14 电子科技大学
37
14.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 天津大学
13
5.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
华中科技大学高等代数考研大纲
考查要点
一、行列式
1.行列式的定义与性质。
2.低阶行列式，高阶规律性较强的行列式计算。
二、线性方程组
1.解线性方程组
2.线性方程组解的理论
3.线性相关性
三、矩阵
1.矩阵的运算，转置，逆
2.向量组与矩阵的秩
四、二次型
1.二次型为标准形
2.正定性问题的证明
五、线性空间
1.线性空间与子空间的概念
2.基、维数与坐标
3.子空间的直和的证明
六、线性变换
1.线性变换的矩阵
2.特征值、特征向量有关问题
3.若当标准形、零化多项式与最小多项式
4.线性变换的像与核
七、欧氏空间
1.欧氏空间的概念
2.正交矩阵与正交变换，实对称矩阵。
华中科技大学线性代数试题及答案 (1)
第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
华中科技大学2005高等代数解答
华中科技大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题以下各题每题15分,共150分博士家园解答顾问：fenggaol 欢迎提供更多试题，我们会竭力帮助您！1．解线性方程组 231232312323123,,,x ax a x a x bx b x b x cx c x c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 其中,,a b c 为互不相等的数．2．证明: 任一n 阶方阵可以表成一个数量矩阵(具有kE 形式的矩阵)与一个迹为0的矩阵之和.3．设A 为m n ⨯实矩阵,E 为n 阶单位阵,TB E A A λ=+, 证明: 当0λ>时,B 为正定矩阵.4. 设A 为n 阶不可逆方阵,证明:A 的伴随矩阵*A 的特征值至少有1n -个为0,另一个非零特征值(如果存在)等于1122nn A A A +++ .5. 证明: 相似的矩阵有相同的最小多项式.6. 设A 为m n ⨯矩阵,b 为m 维列向量,证明AX b =有解的充分必要条件是对满足0T A z =的m 维列向量z 也一定满足0T b z =.7. 证明: 任一n 阶实可逆矩阵A 可以分解成一个正交阵Q 与一个正定阵S 之积, 即A QS =.8. 设n nM P⨯∈,(),()[]f x g x P x ∈, 且((),())1f x g x =. 令()A f M =,()B g M =,12,,W W W 分别为线性方程组0ABX =,0AX =,0BX =的解空间.证明12W W W =⊕.9. 设Ω是一些n 阶方阵组成的集合, 其中元素满足,A B ∀∈Ω, 都有AB ∈Ω,且3()AB BA =, 证明:(1) 交换律在Ω中成立.(2) 当E ∈Ω时,Ω中矩阵的行列式的值只可能为0,1±. 10. 证明: 不存在n 阶正交阵,A B , 使得22A AB B =+.华中科技大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答博士家园解答顾问：fenggaol 欢迎提供更多试题，我们会竭力帮助您！ 1. 所给线性方程组的系数行列式为范德蒙行列式222111a a D b b cc =()()()b a c a c b =---因为,,a b c 互不相等,故0D ≠.由克莱姆法则知,方程组有唯一解.取3232132a a a Db b bc c c ==()()()abc b a c a c b --- 3232232111a a D bb c c =()()()(a b a c b c b a c a c b =++---3333111a a D b b cc =()()()()a b c b a c a c b =++---那么方程组的唯一解为11D x abc D ==, 12D x ab ac bc D ==++, 13Dx a b c D==++. ■2. 设A 是任一个n 阶方阵,()ij n n A a ⨯=.假设A 可以写成A kEB =+的形式,其中k 为数域P 中的一个数,()ij n n B b ⨯=是一个迹为0的矩阵.那么11220,1,2,,,,,1,2,,.nn ii ii ij ij b b b a k b i n a b i j i j n +++==+==≠=于是111(),nnniiiiiii i i a k b nk bnk ====+=+=∑∑∑即11.nii i k a n ==∑从ii ii a k b =+得11.nii ii ii jj j b a k a a n ==-=-∑取11,nii i k a n ==∑1,1,,,n ii jj j ij ij a a i j n b a i j =⎧-=⎪=⎨⎪≠⎩∑若若那么()ij n n B b ⨯=是一个迹为0的矩阵,且A kE B =+. ■3. 对于任一个非零实n 维列向量1n c C c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,有12211(,,)0T n n n c C C c c c c c ⎛⎫ ⎪==++> ⎪ ⎪⎝⎭.令1n d AC d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,那么12211()()()(,,)0T T T n n n d C A A C AC AC d d d d d ⎛⎫ ⎪===++≥ ⎪ ⎪⎝⎭.由于0λ>,故222211221()()()()()0T T T T T T n n n C BCC E A A C C C C A A C c c d d c c λλλλ=+=+=+++++≥++>由正定矩阵的定义知,B 是正定矩阵. ■4. 设A 是数域P 上的n 阶不可逆方阵, 则rank A n <, ||0A =.若rank 1A n <-,则A 的所有1n -阶子式都为0,从而A *的元素0ij A =.这时0A *=. 显然,A *的n 个特征值都是0,结论成立.若rank 1A n =-,则A 至少有一个1n -阶子式不为0,故0A *≠,rank 1A *≥. (1)由||00AA A E E *===知,A *的每个列向量都是齐次线性方程组0AX =的解向量.设{|0}n V X P AX =∈=,12(,,,)n A ααα*= .由线性空间的理论和线性方程组的理论知rank A *=dim 12(,,,)n L ααα≤ dim V n =-rank (1)1A n n =--=. (2)由(1),(2)知rank 1A *=.因为rank 1A *=,故存在可逆矩阵n nT P⨯∈,使得12000,000n c c c TA *⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,n c c c P ∈ ,且不全为零.这时121000,000n d d d TA T *-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中11212(,,)(,,)n n d d d c c c T-= ,而12,,n d d d 不全为零.注意A *的特征多项式为1211100||||()0nn d d d E A E TA T d λλλλλλλ**------=-==-.因此,当10d =时,A *的n 个特征值都为0；当10d ≠时,A *的特征值为0(1n -重),1d (一重).注意,对于一般的n 阶矩阵()ij n n A a ⨯=来说,若A 的特征值为12,,,n λλλ ,则121122n nn a a a λλλ+++=+++ .因此,对于本题来说,当A *有1n -个特征值为0,而另一个特征值10d ≠时,有11122nn d A A A =+++ . ■5．设,A B 都是数域P 上的n n ⨯矩阵,且A 与B 相似.那么存在P 上n n ⨯可逆矩阵T 使得1T AT B -=.设A 的最小多项式为()f x ,B 的最小多项式为()g x ,则()0f A =,()0g B =.由多项式带余除法知,存在(),()[]q x r x P x ∈使得()()()()g x f x q x r x =+, (1)其中()0r x =,或(())(())r x f x ∂<∂.将x A =代入上式,得()()()()0()()()g A f A q A r A q A r A r A =+=+=,即()()g A r A =.于是1111()()()()()()g B g T AT T g A T T r A T r T AT r B ----=====,但()0g B =,故()0r B =,即有 11()()()0T r A T r T AT r B --===.于是有()0r A =.由于()f x 是满足()0f A =的次数最低的多项式,故()0r x =.由(1)知()()()g x f x q x =,即()|()f x g x .同理可证()|()g x f x .注意(),()f x g x 都是最高次项系数为1的非零多项式,故()()f x g x =. ■6. 必要性.设AX b =有解,即存在0n X P ∈使得0AX b =.记10n a X a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.设10n c z c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为0TA z =的任一解,即00T A z =,则12(,,,)0n c c c A = .于是112(,,,)0n n a c c c A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即12(,,,)0n c c c b = .因此10T n c b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即00T b Z =,这说明0Z 是0Tb Z =的解. ■7. 因为A 是n 阶实可逆矩阵,则TA A 是正定矩阵.于是存在n n ⨯正交矩阵U 使得1(),0,1,2,,T T i n U A A U R i n λλλ⎛⎫ ⎪=<∈= ⎪ ⎪⎝⎭.于是T T U A AU E ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎝. (1)令1Q AU ⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎝,从(1)式知,1Q 是正交矩阵.令1,TT Q QU AU U ⎫⎪⎪⎪== ⎪⎝,T S U U ⎫⎪= ⎪ ⎝那么Q 是正交矩阵,S 是正定矩阵,且1Q AS -=,即A QS =. ■8. 因为((),())1f x g x =,由多项式互素的充要条件知,存在(),()[]u x v x P x ∈使得()()()()1u x f x v x g x +=.将x M =代入上式,得()()()()u M f M v M g M E +=,即()()u M A v M B E +=.任取W α∈,则0AB α=,()()u M A v M B ααα+=.取1()v M B αα=,2()u M A αα=.由于,A B 都是M 的多项式,故AB BA =,进而有()(),()().Av M v M A Bu M u M B ==于是12()()()()00,()()()()()()00A Av MB v M AB v M B Bu M A u M BA u M AB u M ααααααα=========即11W α∈,22W α∈.因此12ααα=+,11W α∈,22W α∈,从而有12W W W ⊆+.注意到AB BA =,容易看出,1W W ⊆,2W W ⊆,从而12W W W +⊆.因此12W W W =+. (1)任取12W W β∈⋂,则0A β=,0B β=.于是(()())()()000E u M A v M B u M A v M B βββββ==+=+=+=,故12{0}W W ⋂=. (2)由(1),(2)式可得12W W W =⊕. ■9. (1) 任取,A B ∈Ω,由所给条件知AB ∈Ω,BA ∈Ω.令X AB =,2()Y AB =,则,X Y ∈Ω.于是32323333()()()()(()())(())()BAAB AB AB XY YX AB AB AB BA AB========即交换律在Ω中成立.(2) 任取A ∈Ω, 若E ∈Ω, 则33()A EA AE A ===.对上式两边取行列式, 得3||||A A =, 即2||(||1)0A A -=. 于是||0A =或2||10A -=,即||0A =或||1A =±. ■10. 反证法.假设存在正交矩阵,A B ,使22A AB B =+,则22TTTA A A AB A B =+. 由于正交矩阵A 满足1TA A -=,故2T A B A B =+注意2TA B 是正交矩阵,且2TA B A B =-,故A B -是正交矩阵.于是()()()()2T T T T T T T T T E A B A B A B A B AA BB AB BA E AB BA =--=--=+--=--即T T E AB BA =+. (1)从22A AB B =+得22TTTA B ABB B B A B =+=+.由于2TA B 也是正交矩阵,故A B +是正交矩阵,且()()()()2T T T T T T T T TE A B A B A B A B AA BB AB BA E AB BA =++=++=+++=++即T T E AB BA =--. (2)将(1),(2)左右两端分别相加,得20E =, 这显然是不可能的. ■。
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
华科_华科应用高等工程数学_研究生_复习重点 往年试题(回忆版)解读
dim(W1 W2 ) dimW1 dimW2 dim(W1 W2 ) 1.
5
为了求 W1 W2 的基，设 W1 W2 ，则由 W1
知，存在 k1 , k2 使 k11 k22 ，又由 W2 知，存在 k3 , k 4 使 k33 k44 因而， k1 , k2 , k3 , k4 应满足方程。
矩阵论复习
一、线性空间（子空间）的基与维数的求法、直和的概念 二、两个基之间过渡矩阵的求法 三、线性变换的概念及其矩阵表示
线性变换的特征值、特征向量的计算 四、特征多项式与最小多项式、Cayley-Hamilton定理
的简单应用 五、会求可逆矩阵将方阵化为Jordan标准型 六、向量与矩阵的范数、条件数的概念与计算 七、矩阵的三角分解
T的特征值问题与 A 的特征值问题是一一对应的。由于相似矩 阵有相同的特征多项式，所以我们可以把A的特征多项式
f ()det(In A) n b1n1 bn1 bn
称为T的特征多项式，于是T的特征值就是T的特征多项式的根。
10
为了求出T的特征值和特征向量，在 V n 中取一个基
B {1,2,,n}，且设T在B下的矩阵是A。 如果
6 1 6
注：把 A 相似简化为Jordan矩阵的关键是,寻找 A 关于其特
征值的各级根向量.1级根向量可以解齐次线性方程组
( A i I )x 0,i 1,2,, s
解det(I A) ( 2)3, 2 是A的三重特征值。齐次线性方程组
6 1 4 ( A 2I )x 12 2 8 x 0
7
三、线性变换的概念及其矩阵表示
定义 V n到V m的变换T 称为线性的，如果对任意的
数 k及V n中的任意向量 , , 恒有
华中科技大学2020年801+高等代数
华中科技大学硕士研究生入学考试《高等代数》考试大纲
（科目代码：801）
第一部分考试说明
一、考试性质
高等代数是为全国硕士研究生入学考试数学与统计学院各专业设置的课程，评价标准是高等学校优秀本科毕业生能达到及格及以上水平。
二、考试范围
行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ矩阵、欧氏空间（多项式理论不单独命题，但可能应用于其他题中）
三、考试形式与试卷结构
(一) 答卷方式：闭卷，笔试。
(二) 答题时间：180分钟。
(三) 各部分的考查比例：
行列式、线性方程组与矩阵30%
线性空间与线性变换40%
二次型与欧氏空间20%
综合题10%
(四) 题型比例：
计算题约20%，证明题约80%
第二部分考查要点
一、行列式
1.行列式的定义与性质
2.低阶行列式，高阶规律性较强的行列式计算
二、线性方程组
1.解线性方程组
2.线性方程组解的理论
3.线性相关性
三、矩阵
1.矩阵的运算，转置，逆
2.向量组与矩阵的秩
四、二次型
1.化二次型为标准形
2.正定性
五、线性空间
1.线性空间与子空间的概念
2.基、维数与坐标
3.子空间的直和
六、线性变换
1.线性变换的矩阵
2.特征值、特征向量有关问题
3.若当标准形、零化多项式与最小多项式
4.线性变换的像与核
5.λ矩阵的不变因子与初等因子
七、欧氏空间
1.欧氏空间的概念
2.正交矩阵与正交变换，实对称矩阵。
高等代数考研试题及答案
高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。
如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。
B. 矩阵的乘积总是可交换的。
C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。
D. 行列式的值总是正数或零。
6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a ΛM O MM ΛΛ212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
完整版高等代数习题解答(第一章)
完整版高等代数习题解答(第一章)高等代数题解答第一章多项式补充题1.当a,b,c取何值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)^2+b(x+1)+c(x^2-x+2)相等？提示：比较系数得a=-1,b=-1,c=6.补充题2.设f(x),g(x),h(x)∈[x]，f^2(x)=xg^2(x)+x^3h^2(x)，证明：假设f(x)=g(x)=h(x)不成立。
若f(x)≠0，则∂(f^2(x))为偶数，又g^2(x),h^2(x)等于或次数为偶数，由于g^2(x),h^2(x)∈[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg^2(x)+x^3h^2(x)等于或次数为奇数，矛盾。
若g(x)≠0或h(x)≠0，则∂(xg^2(x)+x^3h^2(x))为奇数，而f^2(x)为偶数，矛盾。
综上所证，f(x)≠g(x)或f(x)≠h(x)。
1.用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x) =x^3-3x^2-x-1，g(x) =3x^2-2x+1；2）f(x) =x^4-2x+5，g(x) =x^2-x+2．1）解法一：待定系数法。
由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为1的1次多项式，而余式的次数小于2.于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c。
根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，即x^3-3x^2-x-1=(x+a)(3x^2-2x+1)+bx+c，右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得a=-1/3,b=-2/3,c=-1，故得q(x)=x-1/3,r(x)=-x-1/3.2）解法二：带余除法。
用长除法得商q(x)=x^2+x-1，余式r(x)=-5x+7.2.m,p,q适合什么条件时，有1）x^2+mx-1/x^3+px+q;2）x^2+mx+1/x^4+px^2+q.解：1）将x^3+px+q除以x^2+mx-1得商为x+m+1/(x+m-1)，所以当m≠1时有解。
高代考研试题及答案
高代考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶矩阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案：B2. 若向量组α1=(1, 2, 3)，α2=(4, 5, 6)，α3=(7, 8, 9)，则向量组α1，α2，α3是否线性相关？A. 是B. 否答案：A3. 已知线性方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为B，则方程组有唯一解的条件是：A. |A|≠0B. |B|≠0C. |A|≠0且|B|≠0D. |A|=0且|B|≠0答案：A4. 设函数f(x)=x^2-2x+3，求f(x)的导数f'(x)。
A. 2x-2B. x^2-2C. x-2D. 2x+1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵B的秩为2，且B的行向量组线性无关，则矩阵B的列向量组的秩为________。
答案：22. 若x1，x2，x3是方程3x-y+2z=0的一组解，则方程组的通解为________。
答案：x1=3t+s，x2=t-s，x3=-2t+2s（t，s为任意实数）3. 设函数g(x)=sin(x)，则g'(π/2)的值为________。
答案：14. 若矩阵C的行列式为-8，则矩阵C的转置矩阵的行列式为________。
答案：-8三、解答题（每题15分，共30分）1. 已知线性方程组：\begin{cases}x + 2y - z = 1 \\ 3x - 2y + z = 2 \\ x + y + z = 3\end{cases}求方程组的解。
答案：解得：\begin{cases}x = 1 \\y = 1 \\z = 1\end{cases}2. 设矩阵D为：\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\0 & 4 & 5 \\1 & 1 & 1\end{bmatrix}求矩阵D的逆矩阵。
985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答
1 北京大学
1
1.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
kD0
1/k
Cmk
k
C
1 n
C
1
其中m, n是正整数
Y 1
X 1
四.(15 分) 无穷乘积 .1 C an/ 收敛，是否无穷级数 an 收敛？若是，证明这个
nD1
nD1
结论；若不是，请给出反例.
X 1
ż1
五.(15 分) 设 f .x/ D xn ln x，计算 f .x/dx.
0
nD1
六.(15 分) 设定义 .0, C1/ 上的函数 f .x/ 二阶可导，且 lim f .x/ 存在，f 00.x/ 有 x!C1 界，证明 lim f 0.x/ D 0. x!C1
12 华东师范大学
32
12.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
12.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
112019年数学分析真题122019年高等代数真题212019年数学分析真题222019年高等代数真题312019年数学分析真题322019年高等代数真题南开大学10412019年数学分析真题10422019年高等代数真题天津大学13512019年数学分析真题13522019年高等代数真题浙江大学16612019年数学分析真题16622019年高等代数真题华中科技大学18712019年数学分析真题18722019年高等代数真题兰州大学21812019年数学分析真题21822019年高等代数真题东南大学24912019年数学分析真题3101922019年高等代数真题2510上海交通大学271012019年数学分析真题271022019年高等代数真题2811同济大学301112019年数学分析真题301122019年高等代数真题3112华东师范大学321212019年数学分析真题321222019年高等代数真题3313大连理工大学351312019年数学分析真题3514电子科技大学371412019年数学分析真题3715武汉大学391512019年数学分析真题3916华中科大2012年数学分析试题解析4017武汉大学2018年数学分析试题解析4418中南大学2010年数学分析试题解析4819浙江大学2016年数学分析试题解析5420吉林大学2015年数学分析试题解析5821中国科大2015年数学分析试题解析6422中国科大2014年数学分析试题解析6823厦门大学2014年数学分析试题解析7024浙江大学2012年高等代数试题解析74410125历年数学竞赛真题与模拟赛题解析82251第十届全国大学生数学竞赛模拟赛题一解析82252第十届全国大学生数学竞赛模拟赛题二解析85253第十届全国大学生数学竞赛模拟赛题三解析87254第十届全国大学生数学竞赛非数类预赛参考答案90255第九届全国大学生数学竞赛非数类预赛参考答案95256第八届全国大学生数学竞赛数学类决赛试题99参考文献北京大学112019年数学分析真题一