中考数学总复习讲分式方程及其应用PPT课件
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第06课时 分式方程及其应用PPT课件
根据题意得:26a+35(200-a)=6280,
(2)若两种芯片共购买了 200 条,且购买的总费用为 6280 元,求购
解得:a=80.
买了多少条 A 型芯片?
答:购买了 80 条 A 型芯片.
+3
例 1 [2017·宁夏] 解方程:
-
4
-3 +3
=1.
[方法模型] 解分式方程时易出现的错误:
(1)漏乘没有分母的项;
(2)没有验根;
(3)去分母时,没有注意符号的变化.
解:去分母,得 x2+6x+9-4x+12=x2-9,
移项、合并同类项,得 2x=-30,
系数化为 1,得 x=-15,
)
B.4
=1 的解为 x=2,则 m
C.3
D.2
-1
=1 的解
为 x=2,∴x=2 满足关于 x 的分式方程
-3
-1
-3
=1,∴
2-1
=1,解得 m=4.故选 B.
高频考向探究
探究三 分式方程的应用
例 3 [2018·岳阳] 为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我
市持续推进长江岸线保护,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然
完成的绿化面积的 2 倍,并且甲工程队完成 300 平方米的绿化
面积比乙工程队完成 300 平方米的绿化面积少用 3 小时.乙工
程队每小时能完成多少平方米的绿化面积?
解:设乙工程队每小时能完成 x 平方米的
300 300
绿化面积.根据题意,得
-
2
=3.
解得 x=50.
经检验,x=50 是分式方程的解且符合题意.
分式方程ppt课件
36
36
根据题意，得 x ＝
＋2，
(1＋50%)x
解得 x＝6.
经检验，x＝6 是方程的解．
答：该施工队原计划每天改造 6 m.
知3－练
例 5 [情境题 校园文化]为了进一步丰富校园文体活动，
某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480 元
购买足球的数量和用390 元购买排球的数量相同，已
知足球的单价比排球的单价多15 元．
－
③ ＝x；④
＋3＝
；
－
－
其中是分式方程的是________(填序号).
③④
知识点 2 分式方程的解法
知2－讲
1. 解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程转化为整
式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
3. 检验分式方程解的方法
(1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这
车的速度.
知3－练
思路引导：
知3－练
解：设大型客车的速度为x km/h，
则小型客车的速度为1.2x km/h，12 min= h．
根据题意，得 －
= ，解得x
.
经检验，x = 6 0 是方程的解．
答：大型客车的速度是60 km/h.
= 6 0．
知3－练
3-1.[中考·广州] 随着城际交通的快速发展， 某次动车平
＝
；(3) ＝1；
－ ＋
(4)
＝
；(5) －2＝x(a为非零常数).
＋ －
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有
36
根据题意，得 x ＝
＋2，
(1＋50%)x
解得 x＝6.
经检验，x＝6 是方程的解．
答：该施工队原计划每天改造 6 m.
知3－练
例 5 [情境题 校园文化]为了进一步丰富校园文体活动，
某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480 元
购买足球的数量和用390 元购买排球的数量相同，已
知足球的单价比排球的单价多15 元．
－
③ ＝x；④
＋3＝
；
－
－
其中是分式方程的是________(填序号).
③④
知识点 2 分式方程的解法
知2－讲
1. 解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程转化为整
式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
3. 检验分式方程解的方法
(1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这
车的速度.
知3－练
思路引导：
知3－练
解：设大型客车的速度为x km/h，
则小型客车的速度为1.2x km/h，12 min= h．
根据题意，得 －
= ，解得x
.
经检验，x = 6 0 是方程的解．
答：大型客车的速度是60 km/h.
= 6 0．
知3－练
3-1.[中考·广州] 随着城际交通的快速发展， 某次动车平
＝
；(3) ＝1；
－ ＋
(4)
＝
；(5) －2＝x(a为非零常数).
＋ －
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有
2025年九年级中考数学一轮复习课件：第7讲分式方程
可列方程是( C )
－50＝
B.
＋50＝
D.
A.
C.
－50＝
＋50＝
16.[工作量问题](2024·达州)甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和
乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追上乙的进度，加工的速度是
( B )
.×
＝0.75
A.0.98×5＝0.75x
B.
C.0.75×5＝0.98x
.×
D.
＝0.98
－
＋
20.(2023·呼和浩特)甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，
甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇.甲、乙两船在静水中的航速
C.m＜3
D.m＜3且m≠－2
B)
分式方程的根或增根
考查角度1：根据分式方程的根求值
－
6.已知x＝3是分式方程
−
＝2的解，那么实数k的值为(
－
A.－1
B.0
C.1
D.2
7.若关于x的分式方程 ＝
有解，则字母a的取值范围是(
－
A.a＝5或a＝0
B.a≠0
C.a≠5
D )
D.a≠5且a≠0
两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2 640个数
据.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各
能输入多少个数据?设乙每分钟能输入x个数据，根据题意列方程正确的是( D )
－50＝
B.
＋50＝
D.
A.
C.
－50＝
＋50＝
16.[工作量问题](2024·达州)甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和
乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追上乙的进度，加工的速度是
( B )
.×
＝0.75
A.0.98×5＝0.75x
B.
C.0.75×5＝0.98x
.×
D.
＝0.98
－
＋
20.(2023·呼和浩特)甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，
甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇.甲、乙两船在静水中的航速
C.m＜3
D.m＜3且m≠－2
B)
分式方程的根或增根
考查角度1：根据分式方程的根求值
－
6.已知x＝3是分式方程
−
＝2的解，那么实数k的值为(
－
A.－1
B.0
C.1
D.2
7.若关于x的分式方程 ＝
有解，则字母a的取值范围是(
－
A.a＝5或a＝0
B.a≠0
C.a≠5
D )
D.a≠5且a≠0
两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2 640个数
据.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各
能输入多少个数据?设乙每分钟能输入x个数据，根据题意列方程正确的是( D )
中考数学复习课件：第1轮第2章第7讲 分式方程及应用
1.分式方程的解法： 用去分母法解分式方程的一般步骤： (1)在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化 成整式方程； (2)解这个整式方程；
(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不 是 0，使最简公分母不为 0 的根是原方程的根，使 最简公分母为 0 的根是增根，必须舍去. 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最 简公分母.
解：设B型机器人每小时搬运x千克原料，则A 型机器人每小时搬运(x＋20)千克，
原料，依题意得x1＋20200＝1 0x00，解得x＝100， 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意， 则x＋20＝100＋20＝120. 答：A型机器人每小时搬运120千克原料，B型
机器人每小时搬运100千克原料．
3．(2020·吉林)甲、乙二人做某种机械零件．已 知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与 乙做 60 个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个 数．解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做(x＋6) 个零件，
根据题意得x9＋06＝6x0，解得x＝12， 经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意， 答：乙每小时做12个零件．
第一轮 考点突破
第二章 方程与不等式(组)
第7讲 分式方程及应用
1.(2020·盐
城
)分
式
方
程
x－1 x
＝
0
的解为
x＝
___1_____．
2．(2020·湘潭)解分式方程：x－3 1＋2＝x－x 1.
解：去分母得，3＋2(x－1)＝x，解得x＝－1， 经检验，x＝－1是原方程的解，所以原方程的 解为x＝－1.
解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G 的下载速度是每秒15x兆，
由题意得6x00－61050x＝140，解得x＝4， 经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意， 则5G的下载速度是15×4＝60(兆)．
中考数学复习课件第2章第6讲 分式方程及其应用 (共16张PPT)
得分要领►解分式方程的基本思想是“化分式方程为整式方 程”．注意解分式方程一定要验根．
命题点2
分式方程的实际应用
3．[2013·安徽，20,10分]某校为了进一步开展“阳光体 育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知一副羽毛 球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒 乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍． (1)若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表 示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用； (2)若购买的两种球拍数一样，求x. 解：(1)若每副乒乓球拍的价格为x元，则购买羽毛球拍花 费为(2000＋25x)元，则购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总 费用为2000＋2000＋25x＝(4000＋25x)元． (2)由(1)，得羽毛球拍数为
(2)设甲、乙两个工程队修路天数分别为a天，b天．依题意， 得
由①，得b＝15－1.5a， 代入②，得0.5a＋0.4(15－1.5a)≤5.2， 解得a≥8. 答：甲工程队至少要修路8天．
第一部分 系统复习 成绩基石
第二章
第 6讲
方程(组)与不等式(组)
分式方程及其应用
沪科版：七年级下册第9章分式9.3 人教版：八年级上册第15章分式15.3 北师版：八年级下册第5章分式5.4
考点梳理过关
考点1 分式方程的概念
分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程． 提示►“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区 别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据．
解得x1＝40，x2＝－40. 经检验，x1＝40，x2＝－40都是原方程的解，但x>0， ∴x＝40. ∴x为40.
猜押预测►1.[2017·乌鲁木齐中考]2017年，在创建文明城 市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30 万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结 果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是 ( )
浙江省中考数学总复习课件第7讲 分式方程及其应用 (共
B.x2－2x＝2x析 方程两边乘以最简公分母x(x－2)，
去分母得：x－2＝2x.
12345
3.(2016·海南)解分式方程x－1 1＋1＝0，正确的结果是( A )
A.x＝0
B.x＝1
C.x＝2
D.无解
解析 去分母得：1＋x－1＝0，
解得：x＝0.
12345
4.(2016·深圳)施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停
2
诊断自测
x－2 1.(2016·温州)若分式x＋3的值为 0，则 x 的值是( D )
A.－3 B.－2
C.0
D.2
解析 ∵分式xx－＋23的值为 0， ∴x－2＝0，∴x＝2.
12345
2.(2014·来宾)将分式方程1x＝x－2 2去分母后得到的整式方程，正确的
是( A )
A.x－2＝2x
由题意得：2a3－2≥0 且2a3－2≠2， 解得：a≥1 且 a≠4.
12345
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考点突破
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考点一 分式方程的解法
例 1 (2016·上海)解方程：x－1 2－x2－4 4＝1. 解 去分母，得：x＋2－4＝x2－4， 移项、合并同类项，得：x2－x－2＝0， 解得：x1＝2，x2＝－1， 经检验：x＝2是增根，舍去， 故原方程的根是x＝－1.
根据题意，可列方程：20x00－x2＋00500＝2.
12345
5.(2016·贺州)若关于 x 的分式方程2xx－－2a＝12的解为非负数，则 a 的取值范
围是( C )
A.a≥1
B.a＞1
C.a≥1且a≠4 D.a＞1且a≠4 2a－2
解析 去分母得：2(2x－a)＝x－2，解得：x＝ 3 ，
2020安徽数学中考复习课件：6分式方程及其应用(共21张PPT)
入最简公分母,若为零则为増根,不为零则为原分式方程的解.
10
命题点二：分式方程的实际应用
考点精讲
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的步骤基
本相同:审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、
检验、作答.
不同点:一是列分式方程解应用题是用分式表示数量间
的等量关系;二是列分式方程解应用题必须验根,既要检验是
方法归纳
方法总结解分式方程应掌握以下几点:
(1)解分式方程的基本思想是转化,即通过去分母把分式方程转
化成整式方程来解.
(2)解分式方程去分母时,先要找准最简公分母,分母是多项式时,
应先分解因式;其次,特别不要漏乘没有分母的项,分子是多项式时
还要注意添括号、避免符号等变形错误.
(3)解分式方程必须验根,一般方法为把所解得的未知数的值代
否为分式方程的增根(增根应舍去),又要看是否满足应用题
的实际意义.
11
命题点二：分式方程的实际应用
考点精讲
2.列分式方程解应用题的常见类型
分式方程的应用题主要涉及工程问题、工作量问题、
行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系，如：
路程
工作时间= 工作总量
，
时间=
.
速度
工作效率
如果工作总量和路程是已知条件，另外的两个量又分
B.
+
-
2. 【2014·安徽,13,5 分】方程
=3的解是( D )
C.-4
D.4
-
-
=3 的解是 x= 6
.
6
命题点一：分式方程及其解法（高频）
学以致用
=1
−
=1,可知方程的解为( C )
10
命题点二：分式方程的实际应用
考点精讲
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的步骤基
本相同:审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、
检验、作答.
不同点:一是列分式方程解应用题是用分式表示数量间
的等量关系;二是列分式方程解应用题必须验根,既要检验是
方法归纳
方法总结解分式方程应掌握以下几点:
(1)解分式方程的基本思想是转化,即通过去分母把分式方程转
化成整式方程来解.
(2)解分式方程去分母时,先要找准最简公分母,分母是多项式时,
应先分解因式;其次,特别不要漏乘没有分母的项,分子是多项式时
还要注意添括号、避免符号等变形错误.
(3)解分式方程必须验根,一般方法为把所解得的未知数的值代
否为分式方程的增根(增根应舍去),又要看是否满足应用题
的实际意义.
11
命题点二：分式方程的实际应用
考点精讲
2.列分式方程解应用题的常见类型
分式方程的应用题主要涉及工程问题、工作量问题、
行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系，如：
路程
工作时间= 工作总量
，
时间=
.
速度
工作效率
如果工作总量和路程是已知条件，另外的两个量又分
B.
+
-
2. 【2014·安徽,13,5 分】方程
=3的解是( D )
C.-4
D.4
-
-
=3 的解是 x= 6
.
6
命题点一：分式方程及其解法（高频）
学以致用
=1
−
=1,可知方程的解为( C )
中考复习 分式方程及其应用课件
• (2)分式方程
x 1 x 1 x
3
(x 1)( x 2)
的解是
（C）
A．x=1 B.x=-1 C.无解 D.x=-2
•
（3）解方程：
x2
3 3x
1 x 3
1
原方程的解为x=-1
2020/3/2
例题讲解
•
例1、（1）若分式方程
2
1 kx x2
2
1
x
有增根，则k＝___k_=_1___.
2020/3/2
二、题型、方法
• 考点1 分式方程的概念
热身练手：1、指出下列关于x的方程中，是分式方程的是（4）、（5（）只 填序号）.
(1) x y 5 ；(2)
x
5
2
2
y 3
z
；(3) 1 ；
x
(4)
x
y
5
0
；
(5)
1 2x 5 x
3/2
考点2 分式方程的解法
变式1、若关于x分式方程
x
x
2
2
m 2
x
的解为正数，
求满足条件的正整数m的值？
m的值为1、3
变式2、若关于x的方程 m 1 x 0无解，求m的值？
x4 4x
m=3
2020/3/2
考点3 分式方程的应用 • 热身练手：某校甲、乙两组同学同时出发去距离学校4 km的植物园参观，
热身练手：2、解方程：
2 x
x 3
3
1
x
1
解：去分母,两边同时乘以（x-3），得 2-x-1=x-3， 解得x＝2， 检验：当x＝2时x-3 ≠0，
中考数学总复习第7讲分式方程及其应用课件
路程 ③行程问题：时间＝程度.
(2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤： ①审：审清题意； ②设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)； ③找：找出各量之间的等量关系； ④列：根据等量关系，列出分式方程； ⑤解：解这个分式方程； ⑥验：a.检验求出的解是否使原分式方程有意义，b.检验是否满足题意； ⑦答：写出答案． 审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点．
命题点 1 分式方程的解法
1．(2014·鞍山 4 题 3 分)分式方程23x＝x－1 1的解为( C ) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 2．(2015·营口 6 题 3 分)若关于 x 的分式方程x－2 3＋x3＋－mx ＝2 有增根，则 m 的值是( A ) A．m＝－1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0 或 m＝3 3．(2014·锦州 12 题 3 分)方程4－1 x－3x－＋4x＝1 的解是_x_＝__0_.
求出的整式方程的根，但使分式方程分母为 0，也可能是去分母后的整式
方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程
的分母为 0 的根．
4．分式方程的实际应用 (1)分式方程的实际应用的常见类型及关系： ①工程问题：工作效率＝工工作作时量间；
工作量 工作时间＝工作效率； ②销售问题：售价＝标价×折扣；
1．分式方程定义：分母中含有__未__知__数___的方程叫做分式方程． 2．分式方程解法：分式方程去―转―分化→母整___式____方___程___ 解――方→程求出解代入最―检―简验→公分母得出分式 方程的解． 3．分式方程的增根：使最简公分母为__0__的根． 注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是
【方法指导】1.解分式方程的关键是找分式方程的最简公分母，将分 式方程转化为整式方程进行求解． 2．对于含有常数项的分式方程在解题过程中注意：①给方程两边同乘 以最简公分母，不要给常数项漏乘；②分式方程中一项的分母与最简 公分母的系数互为相反数时，要记着对应分子的符号是否发生变化． 3．分式方程的检验和整式方程不同，整式方程的检验是为了检查计算 的正确性，不是必须进行的；而解分式方程在去分母的过程中，容易 产生增根，所以检验是必不可少的，有的学生容易漏掉这一环节，就 会出现错误．
(2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤： ①审：审清题意； ②设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)； ③找：找出各量之间的等量关系； ④列：根据等量关系，列出分式方程； ⑤解：解这个分式方程； ⑥验：a.检验求出的解是否使原分式方程有意义，b.检验是否满足题意； ⑦答：写出答案． 审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点．
命题点 1 分式方程的解法
1．(2014·鞍山 4 题 3 分)分式方程23x＝x－1 1的解为( C ) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 2．(2015·营口 6 题 3 分)若关于 x 的分式方程x－2 3＋x3＋－mx ＝2 有增根，则 m 的值是( A ) A．m＝－1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0 或 m＝3 3．(2014·锦州 12 题 3 分)方程4－1 x－3x－＋4x＝1 的解是_x_＝__0_.
求出的整式方程的根，但使分式方程分母为 0，也可能是去分母后的整式
方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程
的分母为 0 的根．
4．分式方程的实际应用 (1)分式方程的实际应用的常见类型及关系： ①工程问题：工作效率＝工工作作时量间；
工作量 工作时间＝工作效率； ②销售问题：售价＝标价×折扣；
1．分式方程定义：分母中含有__未__知__数___的方程叫做分式方程． 2．分式方程解法：分式方程去―转―分化→母整___式____方___程___ 解――方→程求出解代入最―检―简验→公分母得出分式 方程的解． 3．分式方程的增根：使最简公分母为__0__的根． 注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是
【方法指导】1.解分式方程的关键是找分式方程的最简公分母，将分 式方程转化为整式方程进行求解． 2．对于含有常数项的分式方程在解题过程中注意：①给方程两边同乘 以最简公分母，不要给常数项漏乘；②分式方程中一项的分母与最简 公分母的系数互为相反数时，要记着对应分子的符号是否发生变化． 3．分式方程的检验和整式方程不同，整式方程的检验是为了检查计算 的正确性，不是必须进行的；而解分式方程在去分母的过程中，容易 产生增根，所以检验是必不可少的，有的学生容易漏掉这一环节，就 会出现错误．
中考数学专项提升复习——分式方程与应用(共58张PPT)
分式方程与应用
01
分式方程的 概念及解法
解分式方程的关键是化分式方程为整式方程;方程 两边同乘以最简公分母.
化为整式方程后，再按照之前学过的方法解答. 注意解分式方程需要检验.
4.解下列分式方程：
⑴1 2 2x x 3
⑶ x 2x 1 x 1 3x 3
⑸ x 1
3
12.A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每 小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。
13.一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出 发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这 名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？
行程问题 三个基本量的关系：
路程s=速度v×时间t 时间t＝路程s÷速度V 速度V＝路程s÷时间t 三大类型： ① 相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 ② 追及问题：快行距－慢行距＝原距 ③ 航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速 顺水的路程 = 逆水的路程
工程问题 三个基本量的关系：
工作总量＝工作时间×工作效率； 工作时间＝工作总量÷工作效率； 工作效率＝工作总量÷工作时间 甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量， 注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。
销售问题
商品利润率=
商品利润 商品成本价
100％
商品销售额=商品销售价 商品销售量
A.−3
01
分式方程的 概念及解法
解分式方程的关键是化分式方程为整式方程;方程 两边同乘以最简公分母.
化为整式方程后，再按照之前学过的方法解答. 注意解分式方程需要检验.
4.解下列分式方程：
⑴1 2 2x x 3
⑶ x 2x 1 x 1 3x 3
⑸ x 1
3
12.A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每 小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。
13.一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出 发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这 名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？
行程问题 三个基本量的关系：
路程s=速度v×时间t 时间t＝路程s÷速度V 速度V＝路程s÷时间t 三大类型： ① 相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 ② 追及问题：快行距－慢行距＝原距 ③ 航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速 顺水的路程 = 逆水的路程
工程问题 三个基本量的关系：
工作总量＝工作时间×工作效率； 工作时间＝工作总量÷工作效率； 工作效率＝工作总量÷工作时间 甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量， 注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。
销售问题
商品利润率=
商品利润 商品成本价
100％
商品销售额=商品销售价 商品销售量
A.−3
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4．(2016·锦州 15 题 3 分)若关于 x 的方程2－2 x＋xx＋－m2 ＝2 的解为正数，则 m 的取值范围是_m__>_－__2_且__m__≠_0_____．
命题点 2 分式方程的应用 1．(2016·铁岭 6 题 3 分)高速铁路列车已成为人们出行的重要交通工具， 甲、乙两地相距 810 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 5 h，已知高铁列车的平均速度是特快列车的 2.6 倍．如果设乘高铁列车 从甲地到乙地需 y h，那么下面所列方程正确的是( D ) A.（1＋8120.6）y＝y8＋105 B.28.160y＝8y10＋母后的整式
方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程
的分母为 0 的根．
4．分式方程的实际应用 (1)分式方程的实际应用的常见类型及关系： ①工程问题：工作效率＝工工作作时量间；
工作量 工作时间＝工作效率； ②销售问题：售价＝标价×折扣；
4．(2016·丹东21题10分)某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是 甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多 15件，求两种商品单价各为多少元？
解：设甲商品的单价为 x 元，则乙商品的单价为 2x 元，根据题意，得 2x40－320x0＝15， 解方程，得 x＝6， 经检验，x＝6 是所列方程的根， ∴2x＝2×6＝12(元)． 答：甲、乙两种商品的单价分别为 6 元、12 元．
分式方程的解法 【例 1】 解方程：2x2－x 1＋x－x 2＝2. 【分析】解分式方程时，首先将分式方程转化为整式方程，即给方程两 边同时乘以最简公分母(2x－1)(x－2)，再进行求解，最后注意检验．
解：去分母得：2x(x－2)＋x(2x－1)＝2(2x－1)(x－2)， 整理得：5x＝4，解得：x＝45， 经检验，x＝45是原方程的根．
C.12x00＝x－80400 D.12x00＝x8＋0400 3．(2015·锦州 15 题 3 分)制作某种机器零件，小明做 220 个零件与小芳做 180 个零件所用的时间相同．已知小明每小时比小芳多做 20 个零件，设小 芳每小时做 x 个零件，则可列方程为_x_2＋_2_20_0_＝__1_8x_0___．
命题点 1 分式方程的解法
1．(2014·鞍山 4 题 3 分)分式方程23x＝x－1 1的解为( C ) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 2．(2015·营口 6 题 3 分)若关于 x 的分式方程x－2 3＋x3＋－mx ＝2 有增根，则 m 的值是( A ) A．m＝－1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0 或 m＝3 3．(2014·锦州 12 题 3 分)方程4－1 x－3x－＋4x＝1 的解是_x_＝__0_.
1．分式方程定义：分母中含有__未__知__数___的方程叫做分式方程． 2．分式方程解法：分式方程去―转―分化→母整___式____方___程___ 解――方→程求出解代入最―检―简验→公分母得出分式 方程的解． 3．分式方程的增根：使最简公分母为__0__的根． 注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是
【方法指导】1.解分式方程的关键是找分式方程的最简公分母，将分 式方程转化为整式方程进行求解． 2．对于含有常数项的分式方程在解题过程中注意：①给方程两边同乘 以最简公分母，不要给常数项漏乘；②分式方程中一项的分母与最简 公分母的系数互为相反数时，要记着对应分子的符号是否发生变化． 3．分式方程的检验和整式方程不同，整式方程的检验是为了检查计算 的正确性，不是必须进行的；而解分式方程在去分母的过程中，容易 产生增根，所以检验是必不可少的，有的学生容易漏掉这一环节，就 会出现错误．
【例 2】 (2016·聊城)为加快城市群的建设与发展，在 A、B 两城市间 新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的 120 km 缩短至 114 km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快 110 km，运行时间 仅是现行时间的25，求建成后的城际铁路在 A、B 两地的运行时间． 【分析】根据题意“城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快 110 km”，设现行时间为 x 小时，分别求出两种方式的平均时速．根据时速
5．(2015·鞍山21题10分)近两个月，由于受到“中东呼吸综合征”的影 响，赴韩旅游的人数明显减少，某旅行社为了吸引游客，决定将赴韩旅 游的人均费用下调300元，下调后，总费用同样是25200元，赴韩旅游的 人数却可以比过去增加2人，求该旅行社下调后的赴韩旅游的人均费用 是多少元？
解：设下调后的人均费用是 x 元， 则25x200－x2＋5230000＝2， 解得 x1＝1800，x2＝－2100(不合题意，舍去)， 经检验，x＝1800 是原方程的根， 答：下调后的人均费用是 1800 元
[对应训练] 1．方程x4－－3x－1＝x－1 4的解是( A ) A．x＝3 B．x＝－2 C．x＝2 D．x＝5 2．解方程：x－x 1＝2（x3－1）＋2.
解：去分母得：2x＝3＋4x－4， 移项合并同类项得：2x＝1， 解得：x＝12，
经检验，x＝12是原分式方程的根．
分式方程的实际应用
C.8y10＝2.6（8y1＋0 5） D.81y0＝81y0＋×52.6
2．(2016·葫芦岛 8 题 3 分)A，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型 机器人比 B 型机器人每小时多搬运 40 千克，A 型机器人搬运 1200 千克所 用时间与 B 型机器人搬运 800 千克所用时间相等．设 B 型机器人每小时搬 运化工原料 x 千克，根据题意可列方程为( A ) A.x1＋20400＝8x00 B.x1－20400＝8x00
路程 ③行程问题：时间＝程度.
(2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤： ①审：审清题意； ②设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)； ③找：找出各量之间的等量关系； ④列：根据等量关系，列出分式方程； ⑤解：解这个分式方程； ⑥验：a.检验求出的解是否使原分式方程有意义，b.检验是否满足题意； ⑦答：写出答案． 审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点．
命题点 2 分式方程的应用 1．(2016·铁岭 6 题 3 分)高速铁路列车已成为人们出行的重要交通工具， 甲、乙两地相距 810 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 5 h，已知高铁列车的平均速度是特快列车的 2.6 倍．如果设乘高铁列车 从甲地到乙地需 y h，那么下面所列方程正确的是( D ) A.（1＋8120.6）y＝y8＋105 B.28.160y＝8y10＋母后的整式
方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程
的分母为 0 的根．
4．分式方程的实际应用 (1)分式方程的实际应用的常见类型及关系： ①工程问题：工作效率＝工工作作时量间；
工作量 工作时间＝工作效率； ②销售问题：售价＝标价×折扣；
4．(2016·丹东21题10分)某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是 甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多 15件，求两种商品单价各为多少元？
解：设甲商品的单价为 x 元，则乙商品的单价为 2x 元，根据题意，得 2x40－320x0＝15， 解方程，得 x＝6， 经检验，x＝6 是所列方程的根， ∴2x＝2×6＝12(元)． 答：甲、乙两种商品的单价分别为 6 元、12 元．
分式方程的解法 【例 1】 解方程：2x2－x 1＋x－x 2＝2. 【分析】解分式方程时，首先将分式方程转化为整式方程，即给方程两 边同时乘以最简公分母(2x－1)(x－2)，再进行求解，最后注意检验．
解：去分母得：2x(x－2)＋x(2x－1)＝2(2x－1)(x－2)， 整理得：5x＝4，解得：x＝45， 经检验，x＝45是原方程的根．
C.12x00＝x－80400 D.12x00＝x8＋0400 3．(2015·锦州 15 题 3 分)制作某种机器零件，小明做 220 个零件与小芳做 180 个零件所用的时间相同．已知小明每小时比小芳多做 20 个零件，设小 芳每小时做 x 个零件，则可列方程为_x_2＋_2_20_0_＝__1_8x_0___．
命题点 1 分式方程的解法
1．(2014·鞍山 4 题 3 分)分式方程23x＝x－1 1的解为( C ) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 2．(2015·营口 6 题 3 分)若关于 x 的分式方程x－2 3＋x3＋－mx ＝2 有增根，则 m 的值是( A ) A．m＝－1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0 或 m＝3 3．(2014·锦州 12 题 3 分)方程4－1 x－3x－＋4x＝1 的解是_x_＝__0_.
1．分式方程定义：分母中含有__未__知__数___的方程叫做分式方程． 2．分式方程解法：分式方程去―转―分化→母整___式____方___程___ 解――方→程求出解代入最―检―简验→公分母得出分式 方程的解． 3．分式方程的增根：使最简公分母为__0__的根． 注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是
【方法指导】1.解分式方程的关键是找分式方程的最简公分母，将分 式方程转化为整式方程进行求解． 2．对于含有常数项的分式方程在解题过程中注意：①给方程两边同乘 以最简公分母，不要给常数项漏乘；②分式方程中一项的分母与最简 公分母的系数互为相反数时，要记着对应分子的符号是否发生变化． 3．分式方程的检验和整式方程不同，整式方程的检验是为了检查计算 的正确性，不是必须进行的；而解分式方程在去分母的过程中，容易 产生增根，所以检验是必不可少的，有的学生容易漏掉这一环节，就 会出现错误．
【例 2】 (2016·聊城)为加快城市群的建设与发展，在 A、B 两城市间 新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的 120 km 缩短至 114 km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快 110 km，运行时间 仅是现行时间的25，求建成后的城际铁路在 A、B 两地的运行时间． 【分析】根据题意“城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快 110 km”，设现行时间为 x 小时，分别求出两种方式的平均时速．根据时速
5．(2015·鞍山21题10分)近两个月，由于受到“中东呼吸综合征”的影 响，赴韩旅游的人数明显减少，某旅行社为了吸引游客，决定将赴韩旅 游的人均费用下调300元，下调后，总费用同样是25200元，赴韩旅游的 人数却可以比过去增加2人，求该旅行社下调后的赴韩旅游的人均费用 是多少元？
解：设下调后的人均费用是 x 元， 则25x200－x2＋5230000＝2， 解得 x1＝1800，x2＝－2100(不合题意，舍去)， 经检验，x＝1800 是原方程的根， 答：下调后的人均费用是 1800 元
[对应训练] 1．方程x4－－3x－1＝x－1 4的解是( A ) A．x＝3 B．x＝－2 C．x＝2 D．x＝5 2．解方程：x－x 1＝2（x3－1）＋2.
解：去分母得：2x＝3＋4x－4， 移项合并同类项得：2x＝1， 解得：x＝12，
经检验，x＝12是原分式方程的根．
分式方程的实际应用
C.8y10＝2.6（8y1＋0 5） D.81y0＝81y0＋×52.6
2．(2016·葫芦岛 8 题 3 分)A，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型 机器人比 B 型机器人每小时多搬运 40 千克，A 型机器人搬运 1200 千克所 用时间与 B 型机器人搬运 800 千克所用时间相等．设 B 型机器人每小时搬 运化工原料 x 千克，根据题意可列方程为( A ) A.x1＋20400＝8x00 B.x1－20400＝8x00
路程 ③行程问题：时间＝程度.
(2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤： ①审：审清题意； ②设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)； ③找：找出各量之间的等量关系； ④列：根据等量关系，列出分式方程； ⑤解：解这个分式方程； ⑥验：a.检验求出的解是否使原分式方程有意义，b.检验是否满足题意； ⑦答：写出答案． 审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点．