09川大高等代数及答案

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四川大学931高等代数2009年(回忆版)考研专业课真题试卷

X ′M
+ MX
= 0},∀X
∈ M 2r+1(F ), eX
=
∞ k =0
Xk k!
,
(1)求B的维数和一组基
（2）证明det(eX ) = 1
i
(3)设(,
)是F上的一个双线性型，ε = i
(0,...,1,...0),
i
=
1,
2,
..,
2r
+ 1.
M 是这个双线性型在上述基下的一个度量矩阵，证明对任意的α，β
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四川大学研究生入学考试试题
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证明Ax=β 在F中有解当且仅当它在K中有解
2 2 −2
3.
A
=

2 −2
−1 4
−41 大概数字是这样吧，具体忘了
（1）A在F上是否相似与对角矩阵，说明理由（2）求A的最小多项式（3)f (X)=X′AX,求f (X)的一个标准形
4.好像是前几年的一个类似题吧，说明 A 与 B 在任何数域上都不相似，另一问忘记了，这些忘记的题一般都不难，掌握方法都很简单的。呵呵
有(eXα, eXβ ) = (α , β )
五、证明数域 F 上的任意一个 n 元多项式都可以表示成一次齐次多项式幂的线性组合。
f (x)使得f (A) = 0
4.设 f (x) = 3x2 + 2x +1,α1，α2，α3是f (x)的三个根，求值

川大版高数_物理类专用_第三册_答案

第一章行列式1.()()[][][]23154110103631254=520010=8(1)3(1)321(1)(2)(3)2441(1)3214243(1)321012)4n n n n n n n n m n m n n n m n m n n m 1τ=++++=2τ+++++-τ-⋯=-+-+-+⋯+2+1+0===+τ-⋯=+=+τ-⋯=⋯（）该数列为奇排列（）该排列为偶排列（）当或时，为偶数，排列为偶排列当或时，为奇数，排列为奇排列（其中，，（）[][][]12(1)13521)246(2)0123(1)244113521)246(2)424313521)246(2)012)2.(1)(2)(n n n n n n n m n m n n n m n m n n m i i i k n n n -τ⋯-⋯=++++⋯+-===+τ⋯-⋯=+=+τ⋯-⋯=⋯⋯-+-+（当或时，（为偶数，排列为偶排列当或时，（为奇数，排列为奇排列（其中，，解：已知排列的逆序数为，这个数按从大到小排列时逆序数为()()111112(1)3)2(1)2x x x n x n x n n n n n n x i r i i i n x r i n x n n i i i i i i -+-+---+⋯+2+1+0=----τ⋯=-τ⋯个.设第数之后有个数比小，则倒排后的位置变为，其后个数比小，两者相加为故3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列∴当n ≥2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。

∴偶排列与奇排列各占一半。

4 （1）13243341a a a a 不是行列式的项 14233142a a a a 是行列式的项因为它的列排排列逆序列τ=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，∴应带负号（2）5142332451a a a a a 不是行列式的项 1352413524a a a a a =1324354152a a a a a 因为它的列排排列逆序列τ(34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数∴应带正号。

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四川大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试题一、解答下列各题.1.（5分）设)(x f 是数域F 上次数为2008的多项式，证明：20092不可能是)(x f 的根.F 为有理数域该命题成立如题：设)(x f 是有理数域Q 上一个m 次多项式（0≥m ），n 是大于m 的正整数，证明：n2不可能是)(x f 的根.证明：反证法：假设n2是)(x f 的根，有)2()2(--n nx x 对于2-nx ，存在素数2=p110,,,-n a a a p Λ、p 不能整除n a 、2p 不能整除0a由艾森斯坦判别法，有2-nx 在有理数域不可约，则有)()2(x f x n -则n x f ≥∂))((与题设矛盾，故假设不成立，即n 2不可能是)(x f 的根.2.(10分)用代数基本定理证明，实数域R 上的任意不可约多项式只能是一次多项式或满足042<-ac b 的二次多项式：c bx ax ++2.证明：由代数基本定理，任意多项式在复数域都可以分解为一次多项式的乘积则令多项式为)())(()(21n a x a x a x k x f ---=Λ （C a i ∈，R k ∈且0≠k ）当R a i ∈时，则i a x -是实数域R 上的一次不可约多项式当R a i ∉时，有i a 也是)(x f 的根，有i i i i i i a a x a a x a x a x ++-=--)())((2i i i i a a x a a x ++-)(2满足042<-ac b由)(i i a a +-，R a a i i ∈，则i i i i a a x a a x ++-)(2是实数域R 上的二次不可约多项式故实数域R 上的任意不可约多项式只能是一次多项式或满足042<-ac b 的二次多项式：c bx ax ++2.3.（5分）设A 是数域F 上的n 阶方阵.要求不用Hamilton-Caylay 定理，证明：存在F 上的多项式)(x f 使得O A f =)(. 证明：取A 的特征多项式A E g -=λλ)(设)(λB 为A E -λ的伴随矩阵，有E g E A E A E B )())((λλλλ=-=- 由)(λB 的元素是A E -λ各个代数余子式，则1))((-≤∂n B λ 有11201)(---+++=n n n B B B B Λλλλ令n n n a a g +++=-Λ11)(λλλ，得E a E a E E g n n n +++=-Λ11)(λλλ ①A B A B B A B B A B B B A E B n n n n n n 1211220110)()()())((-------++-+-+=-λλλλλλΛ ②比较①、②，有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=----E a A B Ea A B B E a A B B E a A B B EB n n n n n 11212121010ΛΛΛ，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=---------Ea A B A a A B A B A a A B A B A a A B A B A A B n n n n n n n n n nn n n 11221221122110110ΛΛΛ左边和右边全部相加，有O E g =)(λ，即0)(=λg 任取)()()(x g x q x f =，则有O A f =)(4.（10分）设1α、2α、3α是多项式123)(3++=x x x f 的全部根.求下式的值 ))()((212331223221ααααααααα+++解:由根与系数的关系得0321=++ααα、32323121=++αααααα、31321-=ααα)31)(31)(31())()((323222121212331223221ααααααααααααααα---=+++]1)()([91)1)(1)(1(271333231333233313231333231333231321-+++++--=---=αααααααααααααααααα)(91)(9124328333231333233313231ααααααααα++-++-=① )(91)111(243124328333231333231αααααα++-++-=)(91243124328333231333231333233313231αααααααααααα++-++-= ② 由①、②得，0333233313231=++αααααα，则原式)(9124328333231ααα++-=由13))((3)(3213231213213321333231-=+++++-++=++αααααααααααααααααα得原式24355=二、解答下列各题.1（10分）叙述并证明线性方程组的克莱默（Cramer ）法则.2（5分）设F ，K 都是数域且K F ⊆，设β=AX 是数域F 上的线性方程组. 证明：β=AX 在F 上有解当且仅当β=AX 在K 上有解. 证明：令A 为n m ⨯矩阵必要性：令X 为β=AX 在F 上的解，有n F X ∈，由K F ⊆，得nK X ∈X 也为β=AX 在K 上的解充分性：β=AX 在K 上有解，有)()(A r A r =由A ，)(F M A n m ⨯∈，则在F 上，也有)()(A r A r =，故β=AX 在F 上有解3.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=142412222A （1）（5分）在任意数域F 上，A 能否相似于一个对角阵？说明理由. （2）（5分）求A 的极小多项式.（3）（5分）设AX X X f ')(=，其中)',,(321x x x X =是列向量.求)(X f 的一个标准型.解：（1）)6()3(1424122222+-=+---+--=-λλλλλλA EA 的特征值为3，3，6-当3=λ时，000002214424422213-=----=-A E基础解系由2)3(=--A E r n 个线性无关的向量构成)'1,1,4(-、)'1,1,0(当6-=λ时，0009904525424522286--→-------=--A E 基础解系由1)6(=---A E r n 个向量构成)'2,2,1(- 故A 对应3个线性无关的特征向量，A 可对角化取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211211104P ，则有)6,3,3(1-=-diag AP P 由)(,3Q M C A ∈、又Q ∈-6,3，则A 在有理数域可以对角化由任何数域都包含有理数域，故在任意数域F 上，A 都能相似于一个对角阵（2）A 的特征多项式为O E A E A A f =+-=)6()3()(2由O E A E A =+-)6)(3(，有A 的极小多项式为)6)(3()(+-=λλλm（3）把P 的列向量单位化，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=32212313221231310234C ，C 为正交矩阵令CY X =，有232221633''')(y y y ACY C Y AX X X f -+===4.（10分）证明：在任意数域F 上矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111001012A 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110011001B 都不相似. 证明：3)1(11101012-=----=-λλλλλA E 有A 的特征值为1，1，1 1=λ时，00000001101101111-=---=-A E基础解系有2)(=--A E r n 个线性无关的向量构成 ①3)1(11011001-=-----=-λλλλλB E 有B 的特征值为1，1，1 1=λ时，01000100--=-B E 基础解系有1)(=--B E r n 个向量构成 ②由①、②，得在任意数域F 上矩阵A 与B 都不相似5.（5分）设A 是n 阶实对称矩阵.证明：A 是正定矩阵的充分必要条件是，对任意整数k ，k A 也是正定的.证明：必要性：令A 的特征值为i λ（n i ,,2,1Λ=），则k A 的特征值为k i λ A 是正定矩阵，0>i λ，则0>ki λ，有k A 为正定矩阵充分性：k A 的特征值为k i λ，有0>ki λ，由k 的任意性，有0>i λ，故A 是正定矩阵三、（15分）设)(F M n 是数域F 上的全体n 阶方阵组成的集合.对任意可逆矩阵)(F M A n ∈，定义集合})({1X XA A F M X n A =∈=T -. 设A A F M A n V T =≠∈0):(I，即V 是所有可能的A T 的交集（A 可逆）.求V dim 和V 的一个基.解：取)(F M n 的一个基nn E E E Λ,,1211，令n n ij a A ⨯=)(、n n ij x X ⨯=)( 有nn nn E a E a E a A +++=Λ12121111由X XA A =-1，有AX XA =，则X E XE ij ij =有行第列第i 111j 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=j j j ijnii i ij x x x X E x x x XE ΛM 得0=ij x （j i ≠）且nn x x x ===Λ2211，故kE X =为数量矩阵有)(E L A =T ，则V 由数量矩阵和全体对角元素为零的矩阵构成令V B ∈，有∑=+=nj i ij ij E k kE B 1,（j i ≠），有1dim 2+-=n n VE 与全体ij E （j i ≠）构成V 的一个基.四、设)(12F M r +是数域F 上的全体12+r 阶方阵组成的集合.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=O E O E O O O OM r r 2是分块矩阵，其中r E 是r 阶单位阵.设}')({12O MX M X F M X B r =+∈=+，其中'X 表示X 的转置矩阵.进一步B X ∈，设∑∞==0!1k kXX k e .已知：)(12F M e r X+∈.1.（15分）求B dim 和B 的一个基.2.（15分）证明：对任意B X ∈都有行列式1)det(=Xe3.（10分）设列向量空间12+r F上的一个双线性函数),(--在它的基)'0,,0,1(1Λ=ε，)'0,,1,0(2Λ=ε，……，)'1,,0,0(12Λ=+r ε下的度量矩阵为上述M .证明：对任意B X ∈和列向量12,+∈r Fβα都有),(),(βαβα=XX e e .1.解：令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211X X X X X X X X x X （12X 、13X 为r 维行向量，21X 、31X 为r 维列向量，22X 、23X 、32X 、33X 为r 阶方阵）有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=232221333231131211222X X X X X X X X x MX ，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='''2'''2''2)'(233313223212213111X X X X X X X X x MX 由O MX M X =+'，又M 为对称矩阵，有O MX MX =+)'(则O X X X X X X X X X X XX X X X X x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++++2323223321133322323231121321123111'''2'''22'2'4，有011=x 自由变量有12X 、13X 、22X 、23X 、32X 且23X 、32X 为反对称矩阵有r r r r r r r r r B +=-+-+++=2222222dim2.证明：根据矩阵指数的性质，有)()det(X tr X e e =)'()()'()()()()(3322332233223322X X tr X tr X tr X tr X tr X X tr X tr e e e e e ++++====由O X X =+3322'，有10)'(3322==+e e X X tr ，则1)det(=X e注：关于)()det(X tr X e e =的证明由存在可逆矩阵P ，使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n XP P λλλ******211O有121******-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P P X k n kk k λλλO11020100******!1***!1***!1!121--∞=∞=∞=∞=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑P e e e P P k k k P X k n k nk kk k k k kλλλλλλOO有)(2121)det(X tr Xe e e e e e n n ===+++λλλλλλΛΛ3.证明：五、（20分）证明：在数域F 上的任意n 元多项式都是线性多项式（即：一次齐次多项式）的幂的线性组合.证明：由任何一个m 次n 元多项式f 都可以唯一的表示成∑==mi i f f 0，其中i f 是n 元i 次齐次多项式由i f 是i 次齐次多项式,那么n x x x ,,,21Λ有ii n C k 1-+=种组合方式令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=--k i n i i i n k i i i b b b x x x x x b x x b x b f M ΛΛ212111211211),,,(取k 个一次齐次多项式k g g g ,,,21Λ，它们的i 次方为ik i i g g g ,,,21Λ令ij g 的k 个系数为kj j j a a a ,,,21Λ（k j ,,2,1Λ=）⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=--kj j j i n i i i n kj i j i j i j a a a x x x x x a x x a x a g M ΛΛ212111211211),,,( 得到系数方程⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k k kk k k k k b b b y y y a a a a a aa a a M MΛM MM ΛΛ2121212222111211 只要k g g g ,,,21Λ选取得当，则此方程有解则有∑==+++=kl i ll i kki ii g y g y g y g y f 12211Λ，故∑∑===m i kl il l g y f 01，即证.。

00年-10年四川大学369数学真题及答案

试题 (2)2000 (2)2001 (7)2002 (11)2003 (14)2004 (18)2005 (21)2006 (24)2007 (27)2008 (30)2009 (33)2010 (36)答案 (40)2000 (40)2001 (43)2002 (49)2003 (54)2004 (58)2005 (62)2007 (65)试题2000200120022003200420052006200720082009四川大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：数学科目代码：369#适用专业：计算机科学与技术（试题共3页）（答案必须写在答题纸上，写在试题上不得分）一、选择题（每小题5分，共25分）1、设00,1)(<≥-⎩⎨⎧=x x x e x f x ，则)(x f 在0=x 处（） A ．)(lim 0x f x →不存在 B.)(lim 0x f x →存在但在0→x 处不连续C ．)(x f 在0=x 处连续，但不可导 D.)0(f '存在 2、设x e -是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )(（）A. C x e x +--)1(B.C x e x ++-)1(C. C x e x +--)1(D. C x e x ++--)1(3、方程09=+''y y 通过点)1,(-π且在该点连续和直线π-=+x y 1相切的解曲线为（） A.x c x c y 3sin 3cos 21+= B. x c x y 3sin 3cos 2+= C. x y 3cos = D. x x y 3sin 313cos -=4、设A 是n m ⨯矩阵（n m ≠），是线性方程组AX=0只有零解的充要条件是（）A. n m >B. A 的n 个列向量线性无关C. n m <D. A 的m 个行向量线性无关 5、下列结论中，不是随机变量X 与Y 不相关的充要条件的是（）A ．EY EX XY E ⋅=)( B.DY DX Y X D +=+)( C.0),(=Y X Cov D.X 与Y 相互独立二、填空题（每小题5分，共25分） 1、设1)(=x f 在1=x 连续，且21)(lim1=-→x x f x ，则=')1(f ___________。

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四川大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试题六、（本题满分10分)设,。

对于任意正整数，求，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321u ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012v n n T uv E )(+其中为三阶单位矩阵，表示的转置.E T v v 解: 令，有，T uv E A +=T T T T uv uv uv E uv E A ++=+=2)(22由，有0=u v T Tuv E A 22+=由归纳法，设时,有1-=k n Tk uv k E A )1(1-+=-时，有k n =TT T k k kuv E uv k E uv E AA A +=-++==-])1()[(1则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+=+=+=136012401203602402)(n n n n n n n n n n n n E nuv E uv E A T n T n 七、（本题满分10分）证明:数域上的阶方阵是一个数量矩阵当且仅F n A 当与所有阶初等矩阵可交换，(数量矩阵是形如的矩阵，其中,n E λF ∈λE 是单位矩阵).证明:必要性：令是阶初等矩阵，由、，得B n B EB AB λλ==B E B BA λλ==)(BA AB =故与所有阶初等矩阵可交换A n 充分性：令nnnn n n E k E k E k E k E k B ++++++= 21211112121111由，得（）BA AB =A E AE ij ij =n j i ,,2,1, =有⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000000000000000002121jn j j ij ni i i ij a a a A E a a a AE 得（）且，则，故0=ij a j i ≠jj ii a a =nn a a a a ==== 332211EA λ=八、(本题满分10分）设线性方程组有解，其中是数域β=AX n m ij a A ⨯=)(上的矩阵,，。

(完整)10年川大高等代数及答案

四川大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试题一、A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵.解答下列各题，每小题满分10分. 1.证明：矩阵A E n +-1可逆，这里n E 是n 阶单位阵. 证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1，A 的特征值为n λλλ,,,21Λ（R k ∈λ）)())((1)1(12111i i i P E P P E P A E n n n n ±±±=Λ+-=Λ+-=+---λλλΛ由0)(≠±i k λ，则01≠+-A E n ，故A E n +-1可逆.2.设函数f ：R R R nn →⨯为：AY X Y X f '),(=，n R Y X ∈,.证明：f 不是零函数当且仅当存在nR X ∈0使得0),(00≠X X f证明：充分性：由存在nR X ∈0使得0),(00≠X X f ，则f 不是零函数必要性：由A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可正交对角化令r A r =)(，A 的非零特征值为i λ（r i ,,2,1Λ=）即存在正交矩阵),,,(21n Q αααΛ=，使得)0,,0,,,,('21321ΛΛ个r n r diag AQ Q -=Λ=λλλ 取i X α=0，有0'),(00≠==i i i A X X f λαα3.设A xE x f n -=)(是A 的特征多项式，设)('x f 为)(x f 的导数且)()('x f x f .证明：A 是数量矩阵.证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1，A 的特征值为n λλλ,,,21Λ（R k ∈λ）)())(()()(2111n n n n x x x P xE P P xE P A xE x f λλλ---=Λ-=Λ-=-=--Λ ①)()('x f x f 的充分必要条件为n b x a x f )()(-= （0>n ） ②由①、②，得b n ====λλλΛ21，则n bE AP P =-1，有n bE A =，即A 是数量矩阵. n证明：充分性：由n b x a x f )()(-=，有1)()('--=n b x na x f有)(1)()()(')(1b x nb x na b x a x f x f n n -=--=-，则)()('x f x f 必要性：待定系数法，设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ 有1211)1()('a x a n x na x f n n n n ++-+=---Λ由)()('x f x f 及1))('())((+∂=∂x f x f ，有))((')(d cx x f x f +=比较)(x f 、)('x f 系数，有n c 1=，有))(('1)(b x x f nx f -= （其中nd b -=）有)('1))('),((x f na x f x f n =，则)()('1))(('1))('),(()(b x a x f na b x x f n x f x f x f n n-=-= 由))('),(()(x f x f x f 包含了)(x f 的全部不可约因式，则)(x f 的不可约因式只能是b x -和它的非零常数倍，故)(x f 的形式为nb x a x f )()(-=.4.设A 的秩为r A r =)(，设}0'{=∈=AX X R X V n，证明：V 包含n R 的一个维数为r n -的子空间. V 是n R 的子空间吗？说明你的理由.证明：令}{θ=∈=AX R X W n ，有nR W ⊂由方程θ=AX 的解一定是0'=AX X 的解，有V W ⊂且nR W ⊂ ①θ=AX 的基础解系由r n A r n -=-)(个线性无关的向量构成，则r n W -=dim ②由①、②，得V 包含n R 的一个维数为r n -的子空间由}0'{=∈=AX X R X V n ，得nR V ⊂，则V 是n R 的子空间5.进一步假设A 正定，而B 是一个负定的n 阶矩阵.证明：如果CB AC =，那么必然有O C =.证明：把C 看作由列向量构成，即),,,(21n C αααΛ=),,,(),,,(2121n n A A A A AC ααααααΛΛ==)',,','(]')',,,('[)'''(')'(2121n n B B B B C B CB CB ααααααΛΛ==== 由CB AC =，得i i B A αα'= （n i ,,2,1Λ=）即θα=-i B A )'(由B 负定，得'B 负定，又A 正定，得0'≠-B A那么关于i α的方程θα=-i B A )'(只有零解，则θα=i ，即O C =二、设A 为数域F 上的n 阶方阵，它的秩为r .解答下列各题，每小题满分10分.1.设r E 是r 阶单位阵.写出“存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r”的一个充分必要条件，并证明你的结论.证明：存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r”的一个充分必要条件为r A r =)( 必要性：由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r，则r PA r =)(，又P 可逆，则r A r PA r ==)()( 充分性：由r A r =)(，则A 可通过有限次初等变换为⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O O E r 则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O O O E A P P P r m Λ21，其中m P P P ,,,21Λ为初等矩阵取m P P P P Λ21=，由m P P P ,,,21Λ可逆，则P 可逆故存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O O O E PA r 2.设n ααα,,,21Λ是n F 的一个基.令A n n ),,,(),,,(2121αααβββΛΛ=.求向量组n βββ,,,21Λ的秩，并给出它的一个极大无关组.解：令n ααα,,,21Λ、n βββ,,,21Λ构成的矩阵分别为1A 、1B 由n ααα,,,21Λ是n F 的一个基，则n A r =)(1，则1A 可逆由r A r B r A A r ===)()()(11，则n βββ,,,21Λ的秩为r在n βββ,,,21Λ中取r 个线性无关的向量ir i i βββ,,,21Λ就构成了n βββ,,,21Λ的一个极大无关组3.设)(A P 是满足O A f =)(的F 上的所有多项式)(x f 组成的集合.证明：)(A P 是F 上的无穷维线性空间；并且，如果)()(A P x g ∈的次数大于n ，那么)(x g 是在F 上是可约的. 证明：令A 的特征多项式为)(x h ，有O A h =)(根据题意)(A P 中的任意多项式含有因式)(x h取k x x x ,,,,12Λ（n k ≥），由kx x x ,,,,12Λ线性无关，又k 为大于n 的任意整数故)(A P 是F 上的无穷维线性空间取)()(A P x g ∈且n x g >∂))((，总有)()()(x h x q x g =（1))((≥∂x q ）故)(x g 是在F 上是可约的4.设n λλλ,,,21Λ是A 的全部复特征值.证明：对任意非负整数k ，数∑==ni ki k S 1λ属于F .证明：A 的特征多项式为02211)(a x a x a x x f n n n n n ++++=----Λ 由A 是F 上的矩阵，有)(x f 为F 上的多项式，则F a k ∈（1,,1,0-=n k Λ）由根与系数的关系有∑=-=-n i i n a 11)1(λ、∑∑==-=-ni ji nj n a 1122)1(λλ（j i ≠）、……、∏==-ni i na 10)1(λk S 为对阵多项式，则k S 可由110,,,-n a a a Λ表示，则F S k ∈三、设β=AX 是数域F 上的一个n 元线性方程组，其系数矩阵A 的秩r A r =)(.设S 为它的解集.1.（5分）给出“S 是n F 的子空间”的充分必要条件，并证明你的结论.2.（10分）假设S 不是空集且不是n F 的子空间。

川大线性代数习题册答案2

线性代数第三，第四章答案可逆矩阵，求逆矩阵一．填空题：１．102105⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ２．11A CB --，1100B A --⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭３．222k b l a a bc +≠ ４．1111D B C A ---- ５．100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭22112123122--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1二．选择题１．BD 2．C 3．Ｄ三．１．证明：*||A E AA =**||||||||||n AA A A A E ∴== 而||0A ≠*1||||n A A -∴=２．***11112)|||||5|2(22nn n n AA A ----===四．求下列矩阵的逆矩阵１．*d b ca A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，||A ad bc =-，所以：()11db A ad bc c a ---⎛⎫=-⎪-⎝⎭2 ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001011100730210003001010100730520003100010001003520730 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→-032075000320750010001000103201110010021000331131A ３． ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001001001100001000010001100010001000011000010********0001000010000110001001001e d ce c be b ae d c b ae d c b a⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+---=⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+----10001001011000100101100100001000011e d ce c ad ace be b ac a A e d ce c ad ace be b ac a五．解矩阵方程组解：()702303107141223063211713,A E X A E B --=---=-==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，六．证明：32()()E E A E A E A A =-=-++故，E A -可逆，且()12E A E A A --=++七．证明：()()111,TT TA A A A A ---===，故，1A -也是对称阵。

2009川大数学分析及答案

四川大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试题一、（每题7分，共28分）求下列极限1. ∑=∞→nk k nn Cn2ln 1lim解：定理（∞∞型Stolz 公式，数列极限）设}{n x 严格递增（即N n ∈∀，有1+<n n x x ），且+∞=∞→n n x lim . 若1）a x x y y n n n n n =----∞→11lim（有限数），则a x y nnn =∞→lim . 2）a 为∞+或∞-，结论任然成立. 因2n ↗∞+，用Stolz 公式1211ln lim 12ln lim )1(ln ln lim ln 1lim 00122010102+-++=+=-+-=∑∑∑∑∑=∞→=+∞→=+=+∞→=∞→n k n n n C C n n C C C n nk n nk kn k n n nk kn n k k n n n k k n n 12ln )1ln()1(lim12)1ln()1ln(lim 11+-++=+-+-+=∑∑∑+=∞→==∞→n kn n n k n n n k n nk n k n （再次用Stolz 公式）212)11ln(lim )12()12()ln ln (]ln )1ln()1[(lim111=+=--+---++=∞→=+=∞→∑∑nn n k n k n n n n k n n k n n2. )(sin lim 22n n n +∞→π 解：)111(sin )(sin )(sin 22222++=-+=+nn n n n n ππππ 初等函数在有定义的地方皆连续12s i n l i m )111(s i n l i m )(s i n l i m 2222==++=+∞→∞→∞→πππn n n nn n3. dtt t t dtt x x x ⎰⎰-+→0230)sin (sin lim 2解：x x x x x x x x x x x x x dt t t t dtt x x x x x x sin 2lim )sin ()(2)(sin lim )sin ()(sin 2lim )sin (sin lim 30232223202320002302-=-⋅=-=-++++→→→→⎰⎰1226lim cos 16lim 22020==-=++→→x x x x x x4. xx xe x x cos 11lim 0----→ 解：泰勒公式∑∞==++++++=032!!!3!21n nn xn x n x x x x e ，（+∞<<∞-x ） +----++--+-++=+!)]1([)2)(1(!3)2)(1(!2)1(1)1(2n n x x x ααααααααααα，（11<<-x ）∑∞=-=+-+-+-+-=022642)!2()1()!2()1(!6!4!21cos n n n n n n x n x x x x x ，（+∞<<∞-x ） )](!4)(!2)(1[)(!2)121(21)(2111)(21lim cos 11lim 24222220x o x x x o x x xx o x x x x xe x x x ++--+-+-+--+++=----→→3)(24181)(2lim 222220-=+--+=→x o x x x o x x二、（每题10分，共40分）计算下列积分（1）dxdy y x yx D⎰⎰--+222，其中}1:),{(222≤+∈=y x R y x D 解：2222)221()221(412----=--+y x y x y x 当),(y x 在41)221()221(22=-+-y x 内和上时0222≥--+y x yx ，记作1D ；当),(y x 在41)221()221(22=-+-y x 外，且在122≤+y x 内时0222<--+y x y x ，记作2D 则dxdy y x yx dxdy y x y x I D D ⎰⎰⎰⎰--+---+=21)2()2(2222 2122222)2()2(2211I I d x d y y x y x d x d y y x y x I DD D D -=--+---+=⎰⎰⎰⎰=+ d x d y y x y x I D ⎰⎰--+=1)2(221 令θcos 221r x =-、θsin 221r y =- πθπ321)81(213201=-=⎰⎰dr r r d I d x d y y x yx I D⎰⎰--+=)2(222 令θcos r x =、θsin r y = πθθθπ21)2c o s s i n (1032202-=-+=⎰⎰dr r r d Iπ169221=-=I I I（2）ds yz l⎰，其中l 是球面2222a z y x =++与平面1=++z y x 的交线。

高等代数2009-2010第一学期期末试卷答案

高等代数（北大版）第一学期考试卷答案一、选择题（每小题3分，共24分）1.Ｄ2.Ｃ3.Ｂ4.Ｄ5.Ａ6.Ｂ7.Ｃ8.Ａ二、填空题（每小题3分，共１８分）1．322(1)5(1)7(1)1x x x -+-+-- 2．2x + 3．1()2n n +- 4．)1,,1,1( c x = 5．d6．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3/13/1003/23/100005200211A三、计算题（本大题共３个小题，共2２分.请写出必要的推演步骤和文字说明）１．（6分）设b ax x x x x f +++-=23463)(，1)(2-=x x g ，a 与b 是什么数时，)(x f 能被)(x g 整除？解：方法一、利用辗转相除法，得余式：7)3()(++-=b x a x r ，………………………………………..4分由已知， 7,3-==b a ……………………………………………..2分方法二、由于)(x f 能被)(x g 整除，而1)(2-=x x g 的零点为1和-1，所以1和-1也应是)(x f 的零点，即04)1(=++=b a f 和 010)1(=+-=-b a f …………5分故7,3-==b a …………………………………………………...….1分２．（8分）已知B AX X +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=350211B ，求矩阵X 。

解：由 B AX X += 得 B X A E =-)(而 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-201101011101111010100010001A E 可逆…………….2分可以求得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--11012312031)(1A E ……………………………………….. .3分所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-11012312031)(1B A E X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--350211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110213………………3分３．（８）b a ,取什么值时,线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231有解？在有解的情形求一般解。

《高等代数》习题与参考答案

《高等代数》习题与参考答案数学系第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。

《高等代数》习题与参考答案

《高等代数》习题与参考答案数学系第九章欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。

2)设单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a ΛM O MM ΛΛ212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A =。

4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

川大版高数第三册答案(1)

∴偶排列与奇排列各占一半。

(完整)11年川大高等代数及答案

四川大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试题一、（本题满分20分）1. (5分)设V 是数域F 上的线性空间，V s ∈ααα,,,21Λ.令}{1F k k W i si i i ∈=∑=α.证明：W是V 的子空间（称为由s ααα,,,21Λ生成的子空间）. 证明：取W ∈βα,且∑==si i i k 1αα，∑==si i i k 1ββ∑∑∑===+=+=+s i i i i si i i si i i k k k 111)(βαβαβα，则W ∈+βα ①∑∑====si i i s i i i k k k k k 11)(ααα，则W k ∈α ②由①、②，得W 是V 的子空间2. （15分）设)(2F M 是数域F 上的2阶方阵组成的线性空间，设V 是由如下的4个矩阵生成的)(2F M 的子空间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02411A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=30152A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=41233A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=54924A ，（1）求V dim 并写出V 的一个基.（2）设映射f ：F f →为：)()(A tr A f =，其中)(A tr 表示矩阵A 的迹. 求f ker dim 并写出f ker 的一个基.解：（1）取)(2F M 的一个基11E 、12E 、21E 、22E ，V F M →)(2在这个基下对应的矩阵是B有),,,(),,,(432122211211A A A A B E E E E =，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=5430410292142351B⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----00003618005430235154300510011021023515430410292142351则3dim =V ，故V 的一个基为1A 、2A 、3A（2）取矩阵C ，使得0)(=C f ，根据题意，有02211=+c c 由332211A x A x A x C ++=，有方程048321=++-x x x此方程的基础解系由2个线性无关的向量构成，即)'1,0,7(、)'8,7,0(- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==413264)'1,0,7)(,,(3211A A A C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=1182311)'8,7,0)(,,(3212A A A C 则有2ker dim =f ，故f ker 的一个基为1C 、2C 二、（本题满分20分）设F ，K 都是数域且K F ⊆.1.(5分)设s ααα,,,21Λ是F 上的n 维列向量.证明：s ααα,,,21Λ在F 上线性相关当且仅当s ααα,,,21Λ在K 上线性相关.证明：取s ααα,,,21Λ的极大无关组为F r ∈γγγ,,,21Λ 必要性：s ααα,,,21Λ在F 上线性相关，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ有解（s i ,,2,1Λ=）有K X ∈，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在K 上有解故s ααα,,,21Λ在K 上线性相关充分性：s ααα,,,21Λ在K 上线性相关，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在K 上有解在K 上有),,,,(),,,(2121i r r r r αγγγγγγΛΛ=由F i r ∈αγγγ,,,,21Λ，则在F 上也有),,,,(),,,(2121i r r r r αγγγγγγΛΛ= 故方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在F 上有解故s ααα,,,21Λ在F 上线性相关2.（5分）设A ，B 为F 上的n 阶方阵.证明：A ，B 在F 上相似当且仅当A ，B 在K 上相似.证明：必要性：由A ，B 在F 上相似，存在可逆矩阵)(F M P n ∈，使得B AP P =-1 又)(K M P n ∈，则A ，B 在K 上相似充分性：由A ，B 在K 上相似，则在K 上A ，B 有相同的行列式因子)(λk D （n k ,,2,1Λ=）由A ，)(F M B n ∈，有)(λk D 属于F则在F 上A ，B 也有相同的行列式因子)(λk D 故A ，B 在F 上相似3.（5分）设F 上的n 次多项式)(x f 在K 上有n 个根n x x x ,,,21Λ. 证明：∏≤<≤-112)(j i j i x x 属于F .证明：令0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ （F a a a n n ∈-01,,,Λ）由根与系数的关系，有n n x x x a +++=--Λ211、n n n x x x x x x a 121212--+++=Λ、……由∏≤<≤-112)(j i j i x x 为对称多项式，则可由01,,,a a a n n Λ-表示故∏≤<≤-112)(j i j i x x 属于F4.(5分)证明：关于数的加法和乘法K 是F 上的线性空间. 证明：取K 上的元素α、β，数a 、F b ∈ 由K F ⊆， αββα+=+，有αβ+为K 上的元素βαβαβαb b a a b a +++=++))((，βαβαb b a a +++为K 上的元素则关于数的加法和乘法K 是F 上的线性空间三、(本题满分20分)给定任意的可逆矩阵A .请说出4种求1-A 的方法（使用计算机程序的方法除外），并简要说明理由. 解：法1：通过初等变换由行变，有()()1-→A E E A M M ；由列变，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A ΛΛ法2：通过伴随矩阵由E A AA =*，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-nn n n n n A A A A A A A A A A A A A ΛM MM ΛΛ21222121211111*1法3：通过H-C 定理令A 的特征多项式为0111)(a a a A E f n n n ++++=-=--λλλλλΛ如00=a ，有)()(1211a a f n n n +++=---Λλλλλ，则A 含特征值0，A 不可逆故00≠a ，则O E a A a A a A A f n n n =++++=--0111)(Λ有E a a A a a A a A n n n 012011011----=----Λ 法4：通过A 的最小多项式令A 的最小多项式0111)(a a a m m m m ++++=--λλλλΛ 同上，有00≠a ，则O E a A a A a A A m m m m =++++=--0111)(Λ有E a a A a a A a A m m m 012011011----=----Λ 四、（本题满分20分）设1)(121++++=--x x x x f p p Λ，p 是素数.1.（10分）证明)(x f 在有理数域Q 上不可约.2.（10分）令})()({O A f C M A n =∈=M ，其中)(C M n 是全体n 阶复矩阵组成的集合.把M 中的矩阵按相似关系分类，即A ，B 属于同一类当且仅当存在可逆的复矩阵C 使得1-=CBC A .问M 中的全部矩阵可以分成几类？说明理由. 1.证明：11)(--=x x x f p ，令1+=y x ，有yy Cy y y f pk k kpp 11)1()1(0-=-+=+∑=1221111)1(p p p p p p p p pk k k p C y C y C y C y C y f ++++==+---=-∑Λ由艾森斯坦判别法，p 为素数，121,,,-p p p p C C C p Λ、p 不能整除p p C 、2p 不能整除1p C 故)1(+y f 在有理数域不可约，即)(x f 在有理数域不可约.2.证明：由O A f =)(，又1)0(=f ，则0不是A 的特征值由)(C M A n ∈，则A 有n 个特征值0≠i λ（n i ,,2,1Λ=）则存在可逆矩阵P ，使得J AP P =-1J 除去排列次序外是由A 唯一确定的，则J 可能为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ11121OO ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ11021OO ，……，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00021OO 共有n 种，则M 中的全部矩阵可分为n 类五、（本题满分20分）设V 是数域F 上的n 维线性空间，)(V End 表示V 上的全体线性变换组成的线性空间.1.（10分）求)(dim V End 并写出)(V End 的一个基.2.（10分）设)(V End ∈A ，设A 的特征多项式为)(x f .证明：如果V 可以分解为非平凡的-A 不变子空间的直和，那么，)(x f 在F 上可约.问：此结论的逆命题是否成立？说明理由.1.解：设nn E E E ,,,1211Λ是n n ⨯P 的一组基，n n ⨯P 是2n 维的，可知V 的全体线性变换与n n ⨯P 同构，故V 的全体线性变换组成的线性空间是2n 维的。

2009川大高代(回忆)

A∈M n ( F ): A ≠ 0
∩
TA ，即 V 是所有可逆矩阵构造出来
2 0 M = 0 0 0 E r
0 ∞ Xk Er , B = { X ∈ M 2 r +1 ( F ) X ′M + MX = 0}, ∀X ∈ M 2 r +1 ( F ), e X = ∑ , k =0 k ! 0
3. 不用 hamilton-calay 定理证明对数域 F 上的 n 阶矩阵 A ，存在 F 上的多项式
f ( x)使得f ( A) 源自 04.设f ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 1, α1，α 2，α 3是f ( x)的三个根，求值
( α12 + α 2α 3 )( α 22 + α1α 3 )( α 32 + α1α 2 )
(1)求B的维数和一组基（2 ）证明det(e X ) = 1 (3)设(, )是F 上的一个双线性型，ε i= (0,...,1,...0), i = 1, 2,.., 2r + 1. M 是这个双线性型在上述基下的一个度量矩阵，证明对任意的α，β 有(e Xα , e X β ) = (α , β )
五、证明数域 F 上的任意一个 n 元多项式都可以表示成一次齐次多项式幂的线性组合。
i
09 川大高代
一、1. f ( x )是数域F 上的2008次多项式，证明2009 2不可能是f ( x )的根 2. 用代数基本定理证明 R 上的不可约多项式只有一次多项式或者满足
b 2 − 4ac < 0的二次多项式 : ax 2 + bx + c

(7)--08-09学年高等代数(I)试卷及参考答案

β, α1, α2, · · · , αj−1
‚5L«. Ê©(15 ©) k‚5•§|

x1 + a1x2 + a21x3
= a31

x1 + a2x2 + a22x3
= a32

x1 + a3x2 + a23x3
= a33

x1 + a4x2 + a24x3
= a34
(1) y² a1, a2, a3, a4üüØÓž, d•§|Ã); (2) a1 = a3 = k, a2 = a4 = −k, …η = (−1, 1, 1)T •d•§| Ü). 8. (10©) A´n Œ_Ý , α†βþ•n‘ •þ. y²

0013
©(10 ©) y² Xêõ‘ªf (x)†g(x)ƒ ¿©7‡^‡´f (t) = g(t), Ù¥t´Œ uf (x), g(x) ¤kXêýéŠ2 ,˜ ê. n©(15 ©) A´n • , y²•3š"Ý B, ¦ AB = O ¿©7‡^‡´|A| = 0. o©(10 ©) •þ|α1, α2, · · · , αm‚5Ã', •þ|β, α1, α2, · · · , αm‚5ƒ', Ù¥β = θ. y²•þ|β, α1, α2, · · · , αm¥k…=k˜‡•þαj(1 ≤ j ≤ m)ŒdÙc¡ •þ
2
四、由题给条件可知 β 可由 α1, ..., αm 唯一地线性表示, 不妨设
β = b1α1 + · · · + bmαm.
因 β ̸= 0, 故 b1, ..., bm 不全为零. 现在设 bj 是 b1, ..., bm 中的最后一个非零数, 则

川大版高等数学(第一册)部分课后题详细答案

高数第一册第一章习题1.13.(1)(,1)(1,)(2){|1,}1(1,1)(1,)(3)(1,1)x x x R -∞-⋃-+∞≠±∈∞-⋃-⋃+∞-或（-，）（4）22903[3,1)(1,3]10x x x x x ⎧⎫-≥⇒-⎪⎪⇒--⋃⎨⎬-⇒⎪⎪⎩⎭≤ ≤3＞＞1或＜-12222(5)(,3)(6)sin 0,,()241(7)114(1),11(1)3x x k x k k z x x x x x x πππ-∞≠≠≠∈⎡⎤≤⇒≤⇒≤+⇒-⎢⎥++⎣⎦（8）0ln 0x x x x x ⎧⎫⇒⇒⎨⎬⇒⎩⎭＞＞0＞1＞＞1(9)[1,2]-（10）21()x x x f x x x x x x x x ⎧⎫⇒⎪⎪⎪⎪=⇒⇒≠⇒∴⎨⎬⎪⎪⎪⎪⇒⎩⎭-1 ＜00≤≤10即0＜＜1 ＜ 0和0＜≤2e 1≤≤27．(1)(2)(3)(4)(5)奇函数偶函数偶函数偶函数非奇非偶（6）2()()f x f x -=+=偶函数（7）11()lnln ()11x xf x f x x x+--==-=--+奇函数）（8）2112()()2112x xx xf x f x -----===-++奇函数（9）()sin cos f x x x -=--非奇非偶 13．（1）22(())(2)24,(())2,xxxx f x f f x x Rϕϕ====∈（2）11(())(0,1)111x f f x x xx-==≠--（3）32221,()(1)3(1)256()56(1)(1)5(1)6x t f t t t t t f x x x f x x x +==---+=-+∴=-++=+-++则x=t-1,或：14．[]22(1)(0)0.(2)0,111111(3)01(4)1lg ,lg 1,lg 1,.1(5)11()(6)1log (16)y x x y x y y x y x x y y y xx y x y y x xy xx x y x x x =≤≤+∞=≥=++===≠-+==-=--=≠-+∞⎧=≤≤∞反函数反函数x=,x-1=,x=1+反函数y ，定义域反函数定义域x ＞0反函数,定义域（x ）－＜＜1反函数16)＜＜+⎫⎪⎬⎪⎩⎭习题1.2 2。

川大版高数第三册答案(1)教学文案

川大版高数第三册答案(1)第一章行列式1.()()[][][]23154110103631254=520010=8(1)3(1)321(1)(2)(3)2441(1)3214243(1)321012)4n n n n n n n n m n m n n n m n m n n m 1τ=++++=2τ+++++-τ-⋯=-+-+-+⋯+2+1+0===+τ-⋯=+=+τ-⋯=⋯（）该数列为奇排列（）该排列为偶排列（）当或时，为偶数，排列为偶排列当或时，为奇数，排列为奇排列（其中，，（）[][][]12(1)13521)246(2)0123(1)244113521)246(2)424313521)246(2)012)2.(1)(2)(n n n n n n n m n m n n n m n m n n m i i i k n n n -τ⋯-⋯=++++⋯+-===+τ⋯-⋯=+=+τ⋯-⋯=⋯⋯-+-+（当或时，（为偶数，排列为偶排列当或时，（为奇数，排列为奇排列（其中，，解：已知排列的逆序数为，这个数按从大到小排列时逆序数为()()111112(1)3)2(1)2x x x n x n x n n n n n n x i r i i i n x r i n x n n i i i i i i -+-+---+⋯+2+1+0=----τ⋯=-τ⋯个.设第数之后有个数比小，则倒排后的位置变为，其后个数比小，两者相加为故3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列∴当n ≥2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。

∴偶排列与奇排列各占一半。