09川大高等代数及答案

四川大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试题一、解答下列各题.1.（5分）设)(x f 是数域F 上次数为2008的多项式，证明：20092不可能是)(x f 的根.F 为有理数域该命题成立如题：设)(x f 是有理数域Q 上一个m 次多项式（0≥m ），n 是大于m 的正整数，证明：n2不可能是)(x f 的根.证明：反证法：假设n2是)(x f 的根，有)2()2(--n nx x 对于2-nx ，存在素数2=p110,,,-n a a a p 、p 不能整除n a 、2p 不能整除0a由艾森斯坦判别法，有2-nx 在有理数域不可约，则有)()2(x f x n - 则n x f ≥∂))((与题设矛盾，故假设不成立，即n 2不可能是)(x f 的根.2.(10分)用代数基本定理证明，实数域R 上的任意不可约多项式只能是一次多项式或满足042<-ac b 的二次多项式：c bx ax ++2.证明：由代数基本定理，任意多项式在复数域都可以分解为一次多项式的乘积 则令多项式为)())(()(21n a x a x a x k x f ---= （C a i ∈，R k ∈且0≠k ） 当R a i ∈时，则i a x -是实数域R 上的一次不可约多项式当R a i ∉时，有i a 也是)(x f 的根，有i i i i i i a a x a a x a x a x ++-=--)())((2i i i i a a x a a x ++-)(2满足042<-ac b由)(i i a a +-，R a a i i ∈，则i i i i a a x a a x ++-)(2是实数域R 上的二次不可约多项式故实数域R 上的任意不可约多项式只能是一次多项式或满足042<-ac b 的二次多项式：c bx ax ++2.3.（5分）设A 是数域F 上的n 阶方阵.要求不用Hamilton-Caylay 定理，证明：存在F 上的多项式)(x f 使得O A f =)(. 证明：取A 的特征多项式A E g -=λλ)(设)(λB 为A E -λ的伴随矩阵，有E g E A E A E B )())((λλλλ=-=- 由)(λB 的元素是A E -λ各个代数余子式，则1))((-≤∂n B λ有11201)(---+++=n n n B B B B λλλ令n n n a a g +++=- 11)(λλλ，得E a E a E E g n n n +++=- 11)(λλλ ①A B A B B A B B A B B B A E B n n n n n n 1211220110)()()())((-------++-+-+=-λλλλλλ ② 比较①、②，有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=----E a A B E a A B B E a A B B E a A B B E B n n n n n 11212121010 ，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=---------E a A B A a A B A B A a AB A B A a A B A B A A B n n n n n n n n n n n n n 11221221122110110 左边和右边全部相加，有O E g =)(λ，即0)(=λg 任取)()()(x g x q x f =，则有O A f =)(4.（10分）设1α、2α、3α是多项式123)(3++=x x x f 的全部根.求下式的值))()((212331223221ααααααααα+++解:由根与系数的关系得0321=++ααα、32323121=++αααααα、31321-=ααα )31)(31)(31())()((323222121212331223221ααααααααααααααα---=+++]1)()([91)1)(1)(1(271333231333233313231333231333231321-+++++--=---=αααααααααααααααααα)(91)(9124328333231333233313231ααααααααα++-++-=① )(91)111(243124328333231333231αααααα++-++-=)(91243124328333231333231333233313231αααααααααααα++-++-= ② 由①、②得，0333233313231=++αααααα，则原式)(9124328333231ααα++-=由13))((3)(3213231213213321333231-=+++++-++=++αααααααααααααααααα得原式24355=二、解答下列各题.1（10分）叙述并证明线性方程组的克莱默（Cramer ）法则.2（5分）设F ，K 都是数域且K F ⊆，设β=AX 是数域F 上的线性方程组. 证明：β=AX 在F 上有解当且仅当β=AX 在K 上有解. 证明：令A 为n m ⨯矩阵 必要性：令X 为β=AX 在F 上的解，有n F X ∈，由K F ⊆，得nK X ∈X 也为β=AX 在K 上的解 充分性：β=AX 在K 上有解， 有)()(A r A r =由A ，)(F M A n m ⨯∈，则在F 上，也有)()(A r A r =，故β=AX 在F 上有解3.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=142412222A （1）（5分）在任意数域F 上，A 能否相似于一个对角阵？说明理由. （2）（5分）求A 的极小多项式.（3）（5分）设AX X X f ')(=，其中)',,(321x x x X =是列向量.求)(X f 的一个标准型.解：（1）)6()3(1424122222+-=+---+--=-λλλλλλA EA 的特征值为3，3，6-当3=λ时，000002214424422213-=----=-A E 基础解系由2)3(=--A E r n 个线性无关的向量构成)'1,1,4(-、)'1,1,0(当6-=λ时，0994525424522286--→-------=--A E 基础解系由1)6(=---A E r n 个向量构成)'2,2,1(- 故A 对应3个线性无关的特征向量，A 可对角化取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211211104P ，则有)6,3,3(1-=-diag AP P 由)(,3Q M C A ∈、又Q ∈-6,3，则A 在有理数域可以对角化由任何数域都包含有理数域，故在任意数域F 上，A 都能相似于一个对角阵（2）A 的特征多项式为O E A E A A f =+-=)6()3()(2由O E A E A =+-)6)(3(，有A 的极小多项式为)6)(3()(+-=λλλm（3）把P 的列向量单位化，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=32212313221231310234C ，C 为正交矩阵 令CY X =，有232221633''')(y y y ACY C Y AX X X f -+===4.（10分）证明：在任意数域F 上矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111001012A 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110011001B 都不相似. 证明：3)1(1110112-=----=-λλλλλA E 有A 的特征值为1，1，11=λ时，00000011011011011-=---=-A E 基础解系有2)(=--A E r n 个线性无关的向量构成 ①3)1(11001101-=-----=-λλλλλB E 有B 的特征值为1，1，11=λ时，0100010--=-B E基础解系有1)(=--B E r n 个向量构成 ②由①、②，得在任意数域F 上矩阵A 与B 都不相似5.（5分）设A 是n 阶实对称矩阵.证明：A 是正定矩阵的充分必要条件是，对任意整数k ，k A 也是正定的. 证明：必要性：令A 的特征值为i λ（n i ,,2,1 =），则kA 的特征值为ki λA 是正定矩阵，0>i λ，则0>k i λ，有k A 为正定矩阵 充分性：k A 的特征值为k i λ，有0>k i λ，由k 的任意性，有0>i λ，故A 是正定矩阵三、（15分）设)(F M n 是数域F 上的全体n 阶方阵组成的集合.对任意可逆矩阵)(F M A n ∈，定义集合})({1X XA A F M X n A =∈=T -.设A A F M A n V T =≠∈0):( ，即V 是所有可能的A T 的交集（A 可逆）.求V dim 和V 的一个基. 解： 取)(F M n 的一个基nn E E E ,,1211，令n n ij a A ⨯=)(、n n ij x X ⨯=)( 有nn nn E a E a E a A +++= 12121111由X XA A =-1，有AX XA =，则X E XE ij ij =有行第列第i 111j 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=j j j ijnii i ij x x x X E x x x XE得0=ij x （j i ≠）且nn x x x === 2211，故kE X =为数量矩阵 有)(E L A =T ，则V 由数量矩阵和全体对角元素为零的矩阵构成令V B ∈，有∑=+=nj i ij ij E k kE B 1,（j i ≠），有1dim 2+-=n n VE 与全体ij E （j i ≠）构成V 的一个基.四、设)(12F M r +是数域F 上的全体12+r 阶方阵组成的集合.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=O E OE OO O O M rr 2是分块矩阵，其中r E 是r 阶单位阵.设}')({12O MX M X F M X B r =+∈=+，其中'X 表示X 的转置矩阵.进一步B X ∈，设∑∞==0!1k kXX k e .已知：)(12F M e r X+∈.1.（15分）求B dim 和B 的一个基.2.（15分）证明：对任意B X ∈都有行列式1)det(=Xe3.（10分）设列向量空间12+r F上的一个双线性函数),(--在它的基)'0,,0,1(1 =ε，)'0,,1,0(2 =ε，……，)'1,,0,0(12 =+r ε下的度量矩阵为上述M .证明：对任意B X ∈和列向量12,+∈r Fβα都有),(),(βαβα=XX e e .1.解：令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211X X X X X X X X x X （12X 、13X 为r 维行向量，21X 、31X 为r 维列向量，22X 、23X 、32X 、33X 为r 阶方阵）有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=232221333231131211222X X X X X X X X x MX ，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='''2'''2''2)'(233313223212213111X X X X X X X X x MX 由O MX M X =+'，又M 为对称矩阵，有O MX MX =+)'(则O X X X X X X X X X X XX X X X X x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++++2323223321133322323231121321123111'''2'''22'2'4，有011=x 自由变量有12X 、13X 、22X 、23X 、32X 且23X 、32X 为反对称矩阵有r r r r r r r r r B +=-+-+++=2222222dim2.证明：根据矩阵指数的性质，有)()det(X tr X e e =)'()()'()()()()(3322332233223322X X tr X tr X tr X tr X tr X X tr X tr e e e e e ++++====由O X X =+3322'，有10)'(3322==+e e X X tr ，则1)det(=X e注：关于)()det(X tr X e e =的证明由存在可逆矩阵P ，使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n XP P λλλ******211有121******-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P P X k n k kk λλλ 11020100******!1***!1***!1!121--∞=∞=∞=∞=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑P e e e P P k k k P X k n k nk kk k k k kλλλλλλ有)(2121)det(X tr Xe e e e e e n n ===+++λλλλλλ3.证明：五、（20分）证明：在数域F 上的任意n 元多项式都是线性多项式（即：一次齐次多项式）的幂的线性组合.证明：由任何一个m 次n 元多项式f 都可以唯一的表示成∑==mi i f f 0，其中i f 是n 元i 次齐次多项式由i f 是i 次齐次多项式,那么n x x x ,,,21 有ii n C k 1-+=种组合方式令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=--k i n i i i n k i i i b b b x x x x x b x x b x b f 212111211211),,,(取k 个一次齐次多项式k g g g ,,,21 ，它们的i 次方为ik iig g g ,,,21令ij g 的k 个系数为kj j j a a a ,,,21 （k j ,,2,1 =）⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=--kj j j i n i i i n kj i j i j i j a a a x x x x x a x x a x a g 212111211211),,,( 得到系数方程⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k k kk k k k k b b b y y y a a a a a a a a a2121212222111211只要k g g g ,,,21 选取得当，则此方程有解则有∑==+++=kl i ll i kki ii g y g y g y g y f 12211 ，故∑∑===mi kl il l g y f 01，即证.。