09川大高等代数及答案

四川大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试题

一、解答下列各题.

1.（5分）设)(x f 是数域F 上次数为2008的多项式，证明：20092不可能是)(x f 的根.

F 为有理数域该命题成立

如题：设)(x f 是有理数域Q 上一个m 次多项式（0≥m ），n 是大于m 的正整数，证明：

n

2不可能是)(x f 的根.

证明：反证法：假设n

2是)(x f 的根，有

)2()2(--n n

x x 对于2-n

x ，存在素数2=p

110,,,-n a a a p 、p 不能整除n a 、2p 不能整除0a

由艾森斯坦判别法，有2-n

x 在有理数域不可约，则有

)()2(x f x n - 则n x f ≥∂))((与题设矛盾，故假设不成立，即n 2不可能是)(x f 的根.

2.(10分)用代数基本定理证明，实数域R 上的任意不可约多项式只能是一次多项式或满

足042

<-ac b 的二次多项式：c bx ax ++2.

证明：由代数基本定理，任意多项式在复数域都可以分解为一次多项式的乘积 则令多项式为)())(()(21n a x a x a x k x f ---= （C a i ∈，R k ∈且0≠k ） 当R a i ∈时，则i a x -是实数域R 上的一次不可约多项式

当R a i ∉时，有i a 也是)(x f 的根，有i i i i i i a a x a a x a x a x ++-=--)())((2

i i i i a a x a a x ++-)(2满足042<-ac b

由)(i i a a +-，R a a i i ∈，则i i i i a a x a a x ++-)(2

是实数域R 上的二次不可约多项式

故实数域R 上的任意不可约多项式只能是一次多项式或满足042

<-ac b 的二次多项式：

c bx ax ++2.

3.（5分）设A 是数域F 上的n 阶方阵.要求不用Hamilton-Caylay 定理，证明：存在F 上的多项式)(x f 使得O A f =)(. 证明：取A 的特征多项式A E g -=λλ)(

设)(λB 为A E -λ的伴随矩阵，有E g E A E A E B )())((λλλλ=-=- 由)(λB 的元素是A E -λ各个代数余子式，则1))((-≤∂n B λ

有112

01)(---+++=n n n B B B B λλλ

令n n n a a g +++=- 11)(λλλ，得E a E a E E g n n n +++=- 1

1)(λλλ ①

A B A B B A B B A B B B A E B n n n n n n 1211220110)()()())((-------++-+-+=-λλλλλλ ② 比较①、②，有⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧

=-=-=-=-=----E a A B E a A B B E a A B B E a A B B E B n n n n n 1121212101

0 ，得⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨

⎧=-=-=-=-=---------E a A B A a A B A B A a A

B A B A a A B A B A A B n n n n n n n n n n n n n 112212211221

10110 左边和右边全部相加，有O E g =)(λ，即0)(=λg 任取)()()(x g x q x f =，则有O A f =)(

4.（10分）设1α、2α、3α是多项式123)(3

++=x x x f 的全部根.求下式的值

))()((212

331223221ααααααααα+++

解:由根与系数的关系得

0321=++ααα、32323121=

++αααααα、3

1

321-=ααα )31)(31)(31())()((3

2

32

2

21

21212

331223221ααααααααααααααα-

-

-

=+++

]

1)()([91)1)(1)(1(271

3

332313332333132313332313332313

21-+++++--=---=

αααααααααααααααααα)(9

1)(91243283

33231333233313231ααααααααα++-++-=

① )(9

1)111(2431243283

33231333231αααααα++-++-=

)(912431243283

3323133

32313

33233313231αααααααααααα++-++-= ② 由①、②得，033

32

33

31

32

3

1

=++αααααα，则原式)(9

1243283

33231ααα++-=

由13))((3)(3213231213213

321333231-=+++++-++=++αααααααααααααααααα

得原式243

55=

二、解答下列各题.

1（10分）叙述并证明线性方程组的克莱默（Cramer ）法则.

2（5分）设F ，K 都是数域且K F ⊆，设β=AX 是数域F 上的线性方程组. 证明：β=AX 在F 上有解当且仅当β=AX 在K 上有解. 证明：令A 为n m ⨯矩阵 必要性：

令X 为β=AX 在F 上的解，有n F X ∈，由K F ⊆，得n

K X ∈

X 也为β=AX 在K 上的解 充分性：

β=AX 在K 上有解， 有)()(A r A r =

由A ，)(F M A n m ⨯∈，则在F 上，也有)()(A r A r =，故β=AX 在F 上有解