高等代数选讲(2016)练习题
中科院2016年高等代数试题参考解答
| A| =
i =2 n i =1
·
∏ ( ai + b1 )
1 0 ··· 0
1 a1 +b2 a1 − a2 ( a1 +b2 )( a2 +b2 ) a1 − a n ( a1 +b2 )( an +b2 )
···
··· ··· ··· ···
1 a 1 + bn a1 − a2 ( a1 +bn )( a2 +bn ) a1 − a n ( a1 +bn )( an +bn )
由已知条件 dim (V1 + V2 ) = dim (V1 ∩ V2 ) + 1. 代入得 1 = dim V1 + dim V2 − 2 dim (V1 ∩ V2 ) dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 ∩ V2 ).
= (dim V1 − dim (V1 ∩ V2 )) + (dim V2 − dim (V1 ∩ V2 )) .
Ax = 0 的一组解, 并求方程 .
解: 设 Mi , i = 1, 2, · · · , n 是在矩阵 A 中划去第 i 列所得到的 n − 1 阶子式. 构造一个行列式
ai1 a11 a21 ··· an−1,1 显然 Di = 0, i = 1, 2, · · · , n − 1. 将 Di 按第一行展开得 Di = ai1 M1 − ai2 M2 + · · · + (−1)n−1 ain Mn , i = 1, 2, · · · , n − 1, ( ) 从而 M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 是方程组的一个解. 又矩阵 A 的 n − 1 阶子式不全为零且 rank ( A) < n, 故 rank ( A) = n − 1, 这时 Ax = 0 的解空 间的维数为 n − rank ( A) = 1. ( ) 由于 M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 是方程组的一个解, 那么显然方程组 Ax = 0 的解全是 ( ) M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 的倍数. □ ai2 a12 a22 ··· an−1,2
福师《高等代数选讲》在线作业一-0001
福师《高等代数选讲》在线作业一-0001试卷总分:100 得分:100一、判断题(共50 道试题,共100 分)1.若n阶方阵A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量答案:正确2.答案:正确3.答案:错误4.若f(x)|g(x)h(x)，则有f(x)|g(x)或f(x)|h(x)答案:错误5.n阶矩阵A的行列式等于A的全部特征根的乘积答案:正确6.若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．答案:错误7.答案:正确8.试题如图{图}答案:错误9.答案:错误10.设V是一个n维向量空间，W是V的一个子空间，则dimW≤n答案:正确11.答案:错误12.答案:错误13.如果α1,α2,…，αr线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合答案:正确14.答案:错误15.合同的两个矩阵的秩不一定相等。
答案:错误16.答案:错误17.答案:错误18.正交矩阵的伴随矩阵也是正交矩阵答案:正确19.初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组答案:正确20.等价向量组的秩相等答案:正确21.答案:正确22.零多项式与f(x)的最大公因式是f(x)答案:正确23.排列（1，2，3，4，...,2006)是一个偶排列答案:正确24.答案:错误25.数域P上的任何多项式的次数都大于或等于0答案:错误26.齐次线性方程组解的线性组合还是它的解．答案:正确27.设A为n阶正交矩阵，则A的实特征值是1或-1.答案:正确28.双射既是单射也是满射答案:正确29.当线性方程组无解时，它的导出组也无解．答案:错误30.答案:错误31.若n阶矩阵A存在一个r阶子式不为零则A的秩必然大于等于r 答案:正确32.答案:正确33.答案:正确34.在矩阵的初等变换下行列式的值不变答案:错误35.(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成为3维向量空间的一个基答案:正确36.答案:错误37.答案:正确38.答案:正确39.答案:错误40.答案:错误41.相似矩阵有相同的特征多项式。
中科院2016年高等代数试题参考解答
··· ··· ··· ···
−bn ( a1 +b1 )( a1 +bn ) b1 −bn ( a2 +b1 )( a2 +bn ) b1 −bn ( an +b1 )( an +bn )
···
.
1 an +b1
进行 2n − 1 次倍法变换可得 ∏ (b1 − bi )
n
| A| =
i =2 n i =1
·
∏ ( ai + b1 )
1 0 ··· 0
1 a1 +b2 a1 − a2 ( a1 +b2 )( a2 +b2 ) a1 − a n ( a1 +b2 )( an +b2 )
···
··· ··· ··· ···
1 a 1 + bn a1 − a2 ( a1 +bn )( a2 +bn ) a1 − a n ( a1 +bn )( an +bn )
由 A 的秩为 2 可知 β = 3. (2) 对于该二次型的矩阵
5 A = −1 3 而 λ−5 1 −3 1 λ−5 3
−1 3 5 −3 . −3 3
|λ E − A| =
故其特征值为 0, 4, 9.
−3 3 λ−3
= λ ( λ − 4) ( λ − 9) ,
对应于特征值 0 的特征向量为 对应于特征值 4 的特征向量为 对应于特征值 9 的特征向量为 分别将其单位化得到正交矩阵
由已知条件 dim (V1 + V2 ) = dim (V1 ∩ V2 ) + 1. 代入得 1 = dim V1 + dim V2 − 2 dim (V1 ∩ V2 ) dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 ∩ V2 ).
福建师范大学《高等代数选讲》A卷答案(可编辑修改word版)
1 1 n 1 42 n i 福建师范大学网络教育学院《高等代数选讲》 期末考试 A 卷学习中心 专业学号 姓名 成绩一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）1. 设 A , B 是n 阶方阵， k 是一正整数，则必有（D)(A ) )( AB )k = A k B k ；(B ) - A = - A ；(C ) (C )A 2 -B 2= ( A - B )( A + B ) ；(D ) (D )AB = B A 。
2. 设 A 为m ⨯ n 矩阵， B 为n ⨯ m 矩阵，则（ A ）。
( A ) 若m > n ，则 AB = 0 ；(B ) 若m < n ，则 AB = 0 ；(C ) 若m > n ，则 AB ≠ 0 ；(D ) 若m < n ，则 AB ≠ 0 ；3. R n 中下列子集是R n 的子空间的为（ A ）．( A )W = {[a , 0, , 0, a ] a , a ∈ R 3}(B ) W = ⎧, a ] a ∈ R 3, i = 1, 2, , n , ∑a = ⎫ 2 ⎨[a 1 , a 2 , n i ⎩ ⎧ 3 i i =1n 1⎬ ； ⎭ ⎫(C )W 3 = ⎨[a 1 , a 2 , , a n ] a i ∈ R , i = 1, 2, , n , ∏a i = 1⎬ ；，(D ) ⎩ W = {[1, a , , a ] i =1 ⎭a ∈ R 3, i = 2, 3, , n }4. 3 元非齐次线性方程组 Ax = b ， 秩 r ( A ) = 2 ， 有 3 个解向量 1,2 ,3 ，-= (1, 0, 0)T ， a += (2, 4, 6)T ，则 Ax = b 的一般解形式为（C ）.2312n n。
1（A ） (2, 4, 6)T + k (1, 0, 0)T ， k 为任意常数11（B ） (1, 2,3)T + k (1, 0, 0)T ， k 为任意常数11（C ） (1, 0, 0)T + k (2, 4, 6)T ， k 为任意常数1（D ） (1, 0, 0)T + k (1, 2,3)T ， k 为任意常数115. 已知矩阵 A 的特征值为1, -1, 2 ，则 A -1 的特征值为（ D）( A ) 1, -1, 2 ；( B ) 2, -2, 4 ； (C ) 1, -1, 0 ；( D ) 1, -1,1。
高等代数选讲(0504091) 期末考试复习题及参考答案
A、 B、
C、
D、 答案：A
2.
A、零矩阵 B、负定矩阵 C、单位矩阵
D、 答案：D
3.
A、0 B、1 C、2 D、3 答案：C
4.设数字矩阵A和B相似，则下列说法不正确的是（）
A、矩阵A和B有相同的特征多项式 B、矩阵A和B有相同的不变因子 C、
D、 答案：C
13.
A、 B、 C、 D、两两都不相似 答案：D
14.
A、 B、 C、 D、 答案：A
15.
A、 B、 C、 D、 答案：D
16.
A、 B、 C、 D、 答案：D
17.
A、正定矩阵 B、正交矩阵 C、单位矩阵 D、对称矩阵 答案：C
18.
A、A为对称矩阵 B、P为实数域 C、A有n个线性无关的特征向量 D、A是正交矩阵 答案：C
31.
A、
B、 C、
D、 答案：D
32.
A、 B、 C、
D、 答案：A
33.
A、
B、 C、它的特征根一定是整数 D、属于不同特征根的特征向量必定线性无关，但不一定正交 答案：B
34.
A、 B、 C、 D、 答案：C
35.
A、
B、 C、
D、 答案：D
D、 答案：C
8.
A、
B、
C、
D、 答案：C
9.
A、 B、
C、 D、 答案：B
10.
A、 B、 C、两个子空间的并还是子空间 D、两个维数相同的有限维空间同构. 答案：C
11.
A、n
B、
C、 D、 答案：D
12.欧氏空间的度量矩阵为（）
A、正定矩阵 B、负定矩阵 C、半正定矩阵 D、半负定矩阵 答案：A
高等代数选讲考核
16。
2．（4分）设 ，则 0； 0。
3．（3分）计算 。
4．（4分）若 ，则 1； -2。
5．（3分）当 满足 时，方程组 有唯一解。
三．（10分）计算 阶行列式：
四．已知矩阵 满足 ，求
五．（10分）利用综合除法将 表示成 的方幂和的形式。
六．（15分）试就 讨论线性方程组 解的情况，并在有无穷多解时求其通解。
七．（15分）设矩阵 ，
1．求矩阵 的所有特征值与特征向量；
2．求正交矩阵 ，使得 为对角矩阵。
福建师范大学网络与继续教育学院
《高等代数选讲》期末考试A卷闭卷
姓名：刘庆丰
专业：数学与应用数学（教育）
学号：17202020192002
学习中心：湄洲湾职业技术学院校外学习中心
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1
2
3
4
5
1．设 是 阶方阵， 是一正整数，则必有（D）
； ；
； 。
2．设 为 矩阵， 为 矩阵，则（A）。
若 ，则 ； 若 ，则 ；
若 ，则 ； 若 ，则 ；
3． 中下列子集是 的子空间的为（A）．
；
；，
4．3元非齐次线性方程组 ，秩 ，有3个解向量 ， ， ，则 的一般解形式为（C）.
（A） ， 为任意常数
（B） ， 为任意常数
（C） ， 为任意常数
（D） ， 为任意常数
5．已知矩阵 的特征值为 ，则 的特征值为（D）
高等代数选讲作业
1,-2,3，则B= 2A I 4的特征值为1/3,-1/3,1/7.4 4 4 1 13 2 14 55 •设D = 1 1 1 2 2 ，则A21 + A22 + A232 4 5 4 24 5 5 1 3《高等代数选讲》练习1•设4 4 矩阵A =[■ , ,,2, 3], B =[ -, 1, 2, 3]，其中：•「，1, 2, 3均为 4 维列向量，且A =3,|B| = 2，则A + B = 4032•中下列子集不是R的子空间的为(C ).(A) W1 二｛(X i,X2,X3)R |X2 =1｝；(B) W2 二｛( X i,X2,X3)R IX3=0｝；_ 3 _ 3(C) W3 叫(X1, X2,X3)R |X1=X2=X3｝；( D) W4 二｛( X1,X2,X3)R |X,=X2—X3｝3•设：j,〉2,〉3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3 , R3：-1 二[1,2,3,4]T,：^ ■： 3 =[0,1,2,3]T, k为任意常数，则线性方程组A X二b的通解为4 .已知矩阵A的特征值为56 •将f(X)=X5-1表示成X-1的方幕和的形式为4 2 28 •设矩阵A = 2 4 22 2 41 •求矩阵A的所有特征值与特征向量;2•求正交矩阵P，使得P J AP为对角矩阵。
—2 —21解：由卜2 A-4 -2 *-2）第-8）得A的特征值为| —2—2久―4）人二兀=2（一重特征值）» A = 8 o当人二加二2时，由—A）X = O t即:-_2-22"0一_2_2■=0_2X. L3 J0 j 二—2 —2解：由卜2 乂-4 -2 *-2）車-8）得A的特征值为| —2—2久―彳人二入=2（二重特征值）、= 8 o当人二坷二2时f由~ A）X —O y即:-_2-2_2~"0_一_2—0-2_2—2y L 3J当4二8时.由（却一力站＞0,即:"4- 2_1~o4_2x2—0_2-240得基础解系为旳珂1」皿将其单位化得* f半咅则加64是昇的一组单位正交的特征向量，令TP 2贝【彷^一个正交矩阵.■ ■「■ I S f l a I II l*tax a i a i x a 2 a 2 a 3 a 3 川a n 川a n 9 •计算n+1阶行列式：D “ =a i a 2x a 3 川 a nII I II IHI IH IH IIIa i a 2 a 3 a 4 IH x10 0 01 Cl^ —口]日？ 一 Ct, £7」一Q?二（x + 羽）口（X-%）2=1f = l=4二7解的情况，并在有无穷多解时求其通解=4解：将各列都加到第1歹心并提出公因子得:n几1二（“工耳）4 ■aa,4二（兀+丈q ）11=1x-a.10试就p,t 讨论线性方程组PX I X 2 X 32x 1 3tx 2 2X 3 X I 2tX 2 X 3解•：对方程组的增广矩阵［⑷切作初等行变换:P1 14_1 t 1 3~ [屮]=7 3t 2 7T111 14[12t 14P■ 1 11C1)当(戶一1”工0 C 即戸工1且FHO )吋，秩(［力，右］〉= 秩(^) = 3 T 从而方程组有唯一解:2/ - 1兀1—3 O - 1”1 1 — 4 / +2 Ji tY —— A. .J —2 厂3 — 1"(2)当 p = l 而 1 -4/ + 2/?/ = 1 -2/ = 0 ,也即 2% 时, 秩(［A,b ］)=秩(丿)=2 ,从而方程组有无穷多解|此 时增广矩阵变为；1 丄1 3"_1 0 12[A A]T0 1 0 2 —> 0 1 020 0 00 0 0得同解方程组：(x 1+x. = 21也二2—> 1 r o tO 11 oi — P3 14 - t13i1 一 p4 - 2 /J 0 o -1 - -+ 2严。
(完整版)高等代数习题集
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高代选讲第1章、多项式
第一章多项式（讲授7课时）一、教学目的：1、掌握数域的定义，会判定一个代数系统是否是多项式；2、正确理解数域p上的一元多项式的定义，多项式相乘，次数，一元多项式环等概念。
3、掌握多项式的运算及规律。
4、掌握整除的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质。
5、正确理解和掌握两个（或者若干个）多项式的最大公因式，互素等概念及性质。
能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。
6、正确理解和掌握不可约多项式的定义与性质及判定。
7、正确理解和掌握k重因式的定义。
8、掌握余数定理，多项式的根及性质。
9、理解代数基本定理，熟练掌握复系数多项式分解定理及标准分解式。
二、教学内容：1、数域、一元多项式、多项式根、多项式整除。
2、最大公因式、不可约多项式、重因式、复系数与实系数多项式的因式分解。
三、教学重点：多项式整除及性质、多项式互素、最大公因式、重因式、不可约多项式判定及多项式的标准分解四、教学难点：多项式互素、最大公因式、不可约多项式及多项式分解五、教学方法：启发讲授六、教学过程：(一)、多项式整除基本知识点1、定义：设(),()[]f x gxhxg x f x。
=，则称()|()∃∈，使()()()hx Pxf xg x P x∈，若()[]2、带余除法定理：(),()[],()0∃∈，有q x r x P x∈≠，则(),()[]f xg x P x g x=+f xg x q x r x()()()()其中()0∂<∂。
r x=，或(())(())r x g x3、整除的性质：(1)、()|(),()|()()()⇒=；f xg x g x f x f x cg x(2)、()|(),()|()()|()f x g x g x h x f x h x ⇒； (3)、11()|(),1,,()|(()()()())i n n f x g x i n f x u x f x u x f x =⇒++；(4)、整除与系数域大小无关；(5)、()|()()g x f x g x ⇔的所有根都是()f x 的根(含重根)常见的n 次单位根。
高等代数习题集
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nnA A A A A A A A A =( ) 。
福师《高等代数选讲》在线作业二-0003参考答案
福师《高等代数选讲》在线作业二-0003
试卷总分:100 得分:100
一、判断题(共50 道试题,共100 分)
1.n阶方阵A，有|kA|=k|A|，k为一正整数
答案:错误
2.
答案:正确
3.
答案:正确
4.两个对称矩阵不一定相似。
答案:正确
5.
答案:正确
6.两个等价的向量组，一定包含相同个数的向量。
答案:错误
7.
答案:错误
8.若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．
答案:错误
9.若f(x), g(x), u(x), v(x) 都是F[x] 中的多项式, 且u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1,则(f(x), g(x)) = 1. 答案:正确
10.若n阶方阵A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量
答案:正确
11.双射既是单射也是满射
答案:正确
12.
答案:正确
13.试题如图{图}
答案:错误
14.
答案:错误。
高等代数选讲数域P上的一元多项式环
5. 设c是非零常数,则有c f ( x) | f ( x).
13
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
例1 证明：xd 1 | xn 1 d | n.
例2 证明：x a | xn an ,又问何时x a | xn an？ 例3 求g(x)=x4 +x2 +1 整除f(x)=x3m x3n1 x3t2
定理 任何数域都包含有理数域.
4
首页 上页 下页 返回 结束
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
三、一元多项式旳基本概念
设P是一种数域, x是一种符号(或称文字).
定义2 设n是一非负整数, 形式体现式
an xn an1 xn1 a1 x a0
(1)
其中 a0 , a1, , an P, 称为系数在数域P中旳一元多
c为非零常数. 2. 若f ( x) | g( x), g( x) | h( x), 则 f ( x) | h( x).
(整除旳传递性)
3. 若f ( x) | gi ( x), ui ( x) P[ x], i 1, 2, , r,则 f ( x) | [u1 ( x)g1 ( x) u2 ( x)g2 ( x) ur ( x)gr ( x)]
1
首页 上页 下页 返回 结束
二、例
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
例1 设P {a b 2 | a, b Q},则P是数域,这个 数域用Q( 2)表示.
证 显然0,1 P. a b 2, c d 2 P, (a b 2) (c d 2) (a c) (b d) 2 P, (a b 2)(c d 2) (ac 2bd ) (ad bc) 2 P,
福师《高等代数选讲》在线作业二-0004
福师《高等代数选讲》在线作业二-0004试卷总分:100 得分:100一、判断题(共50 道试题,共100 分)1.若n阶方阵A的行列式等于0，则A的行向量是线性相关的答案:正确2.答案:错误3.答案:正确4.答案:错误5.在矩阵的初等变换下行列式的值不变答案:错误6.双射既是单射也是满射答案:正确7.合同的两个矩阵的秩不一定相等。
答案:错误8.答案:错误9.答案:错误10.若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．答案:错误11.答案:错误12.答案:正确13.n阶方阵A与一切n阶方阵可交换，则A是对角阵答案:正确14.只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵答案:错误15.在全部n（n>1）级排列中，奇排列的个数为n!/2．答案:正确16.答案:正确17.答案:正确18.有理数域上任意次不可约多项式都存在答案:正确19.x^2-2在有理数域上不可约答案:正确20.答案:正确21.答案:正确22.答案:错误23.答案:正确24.答案:错误25.初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组答案:正确26.若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例．答案:错误27.答案:正确28.答案:错误29.实对称矩阵的特征根一定是实数。
答案:正确30.零多项式与f(x)的最大公因式是f(x)答案:正确31.若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例．答案:错误32.n阶方阵A，有|kA|=k|A|，k为一正整数答案:错误33.答案:错误34.排列（1，2，3，4，...,2006)是一个偶排列答案:正确35.n阶矩阵A的行列式等于A的全部特征根的乘积答案:正确36.两个矩阵A与B，若A*B=0则一定有A=0或者B=0答案:错误37.答案:正确38.对n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解．答案:错误39.答案:错误40.答案:正确41.答案:正确42.答案:正确43.答案:错误44.答案:正确45.对n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解．答案:错误46.答案:错误47.相似关系和合同关系都是矩阵之间的等价关系，二者是一回事答案:错误48.正交矩阵的伴随矩阵也是正交矩阵答案:正确49.对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B)答案:错误50.有理数域是最小的数域答案:正确。
高等代数选讲智慧树知到答案章节测试2023年齐鲁师范学院
第一章测试1.是的重根的充分必要条件是，而（）A:对B:错答案:A2.如果，那么。
（）A:对B:错答案:A3.任意两个多项式不一定有最大公因式.（）A:对B:错答案:B4.以下关于多项式的结论，哪一项是不正确的（）。
A:如果，那么B:如果，那么C:如果，那么D:如果，那么，有答案:C5.如果，且为与的组合，那么是与的一个最大公因式。
（）A:对B:错答案:A第二章测试1.A:B:；C:；D:答案:D2.对于任何一个矩阵，我们都可以求行列式. （）A:对B:错答案:B3.以下哪个选项是4级偶排列．A:4123；B:1324；C:4321；D:2341．答案:C4.如果我们已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，并且它们的代数余子式依次分别为5，3，-7，4，那么D的值为A:-5B:5C:15D:-15答案:D5.A:B:C:D:答案:D第三章测试1.如果是等价的向量组，那么有相同的秩。
（）A:错B:对答案:B2.A:错B:对答案:B3.任何n+1个n维向量不一定线性相关.（）A:对B:错答案:B4.A:向量组中任意个向量必定线性相关B:向量组中任意小于个向量的部分组线性无关C:向量组中任意个向量线性无关D:必定r<s答案:A5.A:对B:错答案:A第四章测试1.A:B:C:D:答案:B2.以下有关于初等矩阵的说法，正确的是（）A:所对应的行列式的值等于B:相加仍为初等方阵C:相乘仍为初等方阵D:都是可逆阵答案:D3.如果假设A、B、C都是n 阶方阵，那么下列哪个是正确的（）A:若A是非退化矩阵，从AB=AC可推出B=C；B:若BC，则必有ABACC:若A是非退化矩阵，则必有AB=BA；D:若AO，从AB=AC可推出B=C；答案:A4.以下选项中，哪个矩阵不是三阶初等矩阵（）A:B:C:D:答案:A5.A:或；B:；C:或；D:答案:C第五章测试1.若与都是对称矩阵，则也是对称矩阵。
2016年春福师大网络与继续教育学院《高等代数选讲》在线作业一 标准答案
福师《高等代数选讲》在线作业一一、判断题（共50 道试题，共100 分。
）1. 合同的两个矩阵的秩不一定相等。
A. 错误B. 正确正确答案：A2. 交换行列式的两列，行列式的值不变A. 错误B. 正确正确答案：A3. 如果A是正交矩阵，k为实数，要使kA为正交矩阵，则k等于1或-1A. 错误B. 正确正确答案：B4. 对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B)A. 错误B. 正确正确答案：A5. 两个有限维向量空间同构的充要条件是维数相同.A. 错误B. 正确正确答案：B6. 实对称矩阵的特征根一定是实数。
A. 错误B. 正确正确答案：B7. 对于同阶矩阵A、B，秩（A+B)≤秩（A)+秩（B）A. 错误B. 正确正确答案：B8. 设V是一个n维向量空间，W是V的一个子空间，则dimW≤nA. 错误B. 正确正确答案：B9. n维向量空间中选出n+1个向量一定线性无关.A. 错误B. 正确正确答案：A10. (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成为3维向量空间的一个基A. 错误B. 正确正确答案：B11. 若x∈A∪B,则x∈A且x∈BA. 错误B. 正确正确答案：A12. 如果α1,α2,…，αr线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合A. 错误B. 正确正确答案：B13. 正交矩阵的行列式等于1或-1A. 错误B. 正确正确答案：B14. n阶方阵A与一切n阶方阵可交换，则A是对角阵A. 错误B. 正确正确答案：B15. 若f(x), g(x), u(x), v(x) 都是F[x] 中的多项式, 且u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1,则(f(x), g(x)) =1.A. 错误B. 正确正确答案：B16. 对于任意矩阵，它的行空间的维数等于列空间的维数A. 错误B. 正确正确答案：B17. n阶矩阵A的行列式等于A的全部特征根的乘积A. 错误B. 正确正确答案：B18. 若n阶方阵A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量A. 错误B. 正确正确答案：B19. 零多项式与f(x)的最大公因式是f(x)A. 错误B. 正确正确答案：B20. 若方阵A、B满足AB=BA，则有A^2-B^2=(A+B)(A-B)A. 错误B. 正确21. 初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组A. 错误B. 正确正确答案：B22. 相似矩阵有相同的特征多项式。
上海师范大学2016-2020年研究生入学考试高等代数试题选讲（讲稿+视频链接）
上海师范大学2016-2020年研究生入学考试高等代数试题选讲（讲稿+视频链接）上海师范大学 2016-2020 年研究生入学考试高等代数试题选讲（讲稿+视频链接）主讲人:王乐炀视频链接(B 站):https:///video/BV15M4y1g74X讲稿截图:上师大数理学院简介上海师范大学数理学院下设数学系和物理系，涉及数学、物理学、天文学三个一级学科。
其中数学学科和物理学科建立于1954年，是当时上海最早设立数学学科和物理学科的高校之一。
1956年正式成立数学系和物理系，开始招收本科生，培养了中国科学院院士褚君浩教授、上海市首届教育功臣唐盛昌校长、国家杰出青年基金获得者王斌教授等一批杰出人才。
改革开放后，学科获得了长足的发展，1984年开始招收硕士研究生，2000年开始招收博士研究生，培养的研究生多次获上海市研究生优秀成果（学位论文）和全国优秀博士论文提名奖。
目前，学院设有数学博士后流动站、数学一级学科博士点、物理一级学科硕士点、天体物理二级学科硕士点、数学和物理学科教学硕士学位点、统计学专业硕士点，数学与应用数学、信息与计算科学、数理统计、物理学四个本科专业，在校本科生1178人，在校硕士和博士研究生617人（其中博士：49人）。
学院历来重视师资队伍建设。
现有教职167人，有专任教师144人，其中：教授52人（二级教授8人），副教授57人，具有博士学位教师140人，百千万国家人才工程1人，国家杰出青年基金获得者3人，国家优秀青年基金获得者1人，教育部新世纪优秀人才支持计划4人，博士生导师20多人。
是上海师范大学师资力量最雄厚的学院之一。
近年来，学院青年教师在连续三届上海市“青椒”教学比赛中获得好成绩，获得一等奖2名，二等奖1名，由于青年教师在教学比赛中成绩出色，2018年学院获得了“上海市工人先锋号”。
学院围绕人才培养，打造了各类学科平台，现有上海市重点实验室1个、上海市国际合作联合研究中心1个、上海高校E-研究院1个、上海市教委重点实验室1个、上海市高峰学科1个、上海市重点学科1个、校级重点学科和重点实验室6个，主办了《Journal of Applied Analysis and Computations》和《上海中学数学》两本学术期刊，为高层次人才培养奠定了基础。
2016中科院高等代数试题与解答
2016中科院高等代数试题与解答
习黎曼
1
计算行列式
2
3
矩阵A的n-1阶子式不全为零，给出齐次方程组Ax=0一组解，并求方程所有的解
4
5
证明：与A交换的矩阵均可表为A的多项式6
7
8
证明：
（1）A，B必有公共的特征向量。
（2）A，B同时可上三角化。
9
参考解答1.
2.
略
3.
4.
5.
所以B是C的多项式，而C是A的多项式，所以B是A的多项式
证完
6.
证完
7.
我的解答过于复杂，我求了T在一组基下的矩阵（详见许甫华，张贤科高等代数解题方法P230）之后计算特征值。
8.
(1)
(2)
由（1）知A,B必有公共特征向量u，将u扩充为一组基，则A,B在这组基下的矩阵为分块对角阵，之后用归纳法证明
9
证法1
证法2
总体上说今年题目中规中矩，难度与2012年相当，比2013,2014都要容易些，总体来讲对于中科院的高代，只要稳扎稳打问题应该是不大的，证明严谨就好
今年考得问题都很经典第一题是柯西行列式，第三题见于大部分高代教材，中科院06年考过，第5,7,8,9题以前都考过，第六题是北大12年的考研题
最后向2015年的解答者morrismodel致敬
En Taro morrismodel
morrismodel Toridas。
高等代数选讲试卷
宿迁学院2011 —2012 学年度第 一 学期（期末）考试《高等代数选讲》试卷（A 卷）（开卷）出卷人：顾江永（考试时间： 120分钟 ， 适用专业： 数学与应用数学 ）一、选择题 (每题2分, 共10分)1．设B A,,B A +均是n 阶可逆矩阵，则=+---111)(B A （ ）(A) 11--+B A (B) B A + (C) B B A A 1)(-+ (D) 1)(-+B A2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a a a b a a a b A ，若秩1)(*=A ,则有（ ）(A) b a =或02=+b a (B) b a =或02≠+b a (C) b a ≠或02=+b a (D) b a ≠或02≠+b a3． k 不等于（ ）时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+0202032132131x x kx x kx x x kx 只有零解．(A) 2- (B) 2 (C) １ (D) －１ 4．设A 是３阶矩阵，且2det =A ，则有=-)3det(A （ ） (A) ６ (B) －６ (C) ５４ (D) －５４ 5．若齐次线性方程组0=Ax 有非零解，则非齐次线性方程组b Ax =必（ ） (A) 有唯一解 (B) 有非零解 (C) 有无穷多解 (D)无法确定二、计算题（共10⨯7 = 70分）6.将对称多项式222212341234(,,,)++f x x x x x x x x =+表示成初等对称多项式.7．设３阶非零矩阵B 的每列321,,ααα都是⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x kx x x x x x 的解，求k B 和以及方程组的通解．8．计算n 阶行列式•mx x x x x x m x x x x x mx •D n n n n ---=321321321．9．求矩阵X ,使28A XA XA E *=-,其中100020001A 骣琪琪=-琪琪桫,A *是A 的伴随矩阵，E 为单位矩阵．10．设 (I) 123410111111,,,00001011A A A A 骣骣骣骣琪琪琪琪====琪琪琪琪桫桫桫桫和 (II) 123410011111,,,11111001B B B B 骣骣骣骣琪琪琪琪====琪琪琪琪桫桫桫桫为线性空间V 的两组基 （1）求(I)到(II)的过渡矩阵；（2）求在基(I)和在基(II)下有相同坐标的矩阵．11．设1(1,1,3,7)α=-，2(2,1,0,1)α=-，3(1,1,1,1)α=-，4(1,2,1,0)α=（1）求1234(,,,)L αααα的一组基和维数；（2）求1234(,)(,)L L αααα⋂的维数与基．12. 设矩阵308316205A ⎛⎫⎪=- ⎪--⎝⎭，求矩阵A 的不变因子，初等因子，若尔当标准形及最小多项式．三、证明题（每题10分，共20分）13．设)()(|1332x xg x f x x +++，证明：)(|1),(|1x g x x f x --．14．设B A ,分别为,n m m s 创阶矩阵，证明：()()()r A r B m r AB +- ．。
福师《高等代数选讲》在线作业一-0003.6EBF399
福师《高等代数选讲》在线作业一-0003 A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：B n阶方阵A，有|kA|=k|A|，k为一正整数 A:错误 B:正确答案：A A:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：A A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：A 数域P上的任何多项式的次数都大于或等于0 A:错误 B:正确答案：A 实对称矩阵的特征根一定是实数。
A:错误 B:正确答案：B n阶方阵A与一切n阶方阵可交换，则A是对角阵 A:错误 B:正确答案：B 矩阵的乘法不满足交换律，也不满足消去律。
A:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：B (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成为3维向量空间的一个基 A:错误B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：B 相似关系和合同关系都是矩阵之间的等价关系，二者是一回事 A:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：A 两个有限维向量空间同构的充要条件是维数相同. A:错误 B:正确答案：B 对n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解． A:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：A 初等变换不改变矩阵的秩。
A:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：AA:错误 B:正确答案：A 若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列． A:错误 B:正确答案：A 齐次线性方程组永远有解A:错误 B:正确答案：BA:错误 B:正确答案：B 相似矩阵有相同的特征多项式。
A:错误 B:正确答案：B 若n阶方阵A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量 A:错误 B:正确答案：B 若f(x), g(x), u(x), v(x) 都是F[x] 中的多项式, 且 u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1,则 (f(x),。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4/7
x 1 x x x x2 x x x3 24、 x x x x x
25、证明：(f (x ),g(x ))
x x x n
1 的充分必要条件是 (f(x )g(x ),f(x ) g(x )) 1 .
26、设 1 , 2 , , s 是齐次线性方程组 Ax
A 0 ，那么 A 0
6、设 A ,B
是两个 n 级正定矩阵.证明： A B 也是正定矩阵.
是非齐次线性方程组 Ax b 的一个 1 的 m n 矩阵，
7、 设 A 是秩为 n
特解， 是对应的齐次线性方程组 Ax 0 的一个非零解.证明： （1） 与 是 Ax b 线性无关的解向量； （2） Ax b 的解都可以表示为
T T 2 xxT 2 x Hxx Hx 2 x ,x z T z k k 0， z ky ,k R ,k 0 时， 同 xx xT x xT x T
xxT (z T x )2 0 ，故对 z R n ,z 0 ， 时： z T z T xx x x
T
1 t 2t 1 t 1 2(t 1) A 1 t s 1 2(t s 1)
(n 1)(t s 1)
(n 1)t (n 1(t 1)
这里 s ,t 都是正整数，且 s n ,任取 s 1 复矩阵 b 和 n 1 复矩阵
（1） 证明 a11x1 a12 x2 a1n x n 0 是方程组的一个解
M 2 , , (1)n 1 M n )的 （2） 如果 A 的秩为 n - 1 ，那么方程组的解全是(M1 ,
倍数. 22、设 A, B 是 n 级矩阵，证明：(AB ) B A . 23、设 A 是 n 级反对称矩阵， AT A,AT 表示 A 的转置. （1）证明： E A 4 一定是正定矩阵. （2）E A 2 也一定是正定矩阵吗？若是给出证明，若不是给出反例.
p(x ) | g(x ).
32、 （15
分）设 0 是线性方程组的一个解，1 ,2 , ,t 是它的导出方
程组的一个基础解系，
1 0 , 2 1 0 , ,t 1 t 0 ，
证明：线性方程组的任意一个解 都可表成
1 1 2 2 t 1t 1
35 、（
10 分 ） 设 A 是 n n
矩阵，且
A 2 A,E 是 单 位 矩 阵 . 证 明 ：
秩(A ) 秩(A E ) n .
x 1 x x x x2 x x x3 36、计算行列式（15 分） x x x x x
37、 （15
x x x . n
x k1 k 2( )且 k1 k 2 1 .
8、设向量组 1 , 2 , 3 线性相关， 2 , 3 , 4 线性无关.证明：
（1） 1 能由 2 , 3 线性表示； （2） 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表示. 9、对于行列式为零的 n 阶矩阵 A ，证明：存在非零的 n 阶矩阵 B ,C ， 使得 AB CA 0 . 10、证明：多项式 g(x ) 1 x 2 x 4 x 2n 能整除
a11 a12 a 22 a 的 系 数 矩 阵 A 21 a n 1,1 a n 1,2
， 设 Mi 是 矩 阵 A 划 去 第 i 列 剩 下 的 a n 1,n
a1n a 2n
(n - 1) (n - 1)矩阵的行列式.
( , ) T G , , T H
均为 R n 上的内积，因此对 z R n ,z 0 ，我们有：
1/7
zT Gz - zT
GyyT G (z,z)(y,y) - (z,y)2 z 0 (y,y) y T Gy
且等号仅当 z ,y 线性相关，即： z ky ,k R ,k 0 时成立，而当
c ，分别讨论线性方程组 AX b 和 AT Y c 的解的情况。
4、设 G,H 都是 n 阶正定矩阵， x 是 n 维非零列向量，令 y
Hx ，证明：
xx T Gyy T G A G T T xx y Gy
是正定矩阵. 证明 因为 G,H 都是 n 阶正定矩阵，所以对任意 ， R n ,
15 、已知三级矩阵的每一个列向量都是以下三元线性方程组的解
x 1 2x 2 x 3 1 2x 1 x 2 x 3 2 ，且 r(B ) 2 . 3x x x 1 2 3 1
（1） 求 的值； （2） 设 A 为此线性方程组的系数矩阵，求(AB )n . 16、 （15 分）如果(x 1)2 | ax 4 bx 2 1 ，求 a ,b . 17、设 B 是 n 阶方阵， C 为 n m 矩阵，且 r(C ) n .证明： （1）如果 BC 0 ，则 B 0 . （2）如果 BC C ，则 B E .
1）证明：秩(AB )+秩(BC )≤秩(B )+秩(ABC ). 2）证明：若存在自然数 N ，使得方阵 G 满足 秩(G N ) 秩(G N 1 ),则有
秩 (G N ) 秩 (G N 1 ) 秩 (G N 2 )
3、设复数 满足 n 1 ,但对 0
k n , k 1 .令
（1） 求行列式 det A 的值，这里 det A 表示矩阵 A 的行列式； （2） 设W X | AX 0，求W 的维数及W 的一组基.
30、已知二次型
f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) 4x 1 4x 2 4x 3 4x 1x 2 4x 1x 3 4tx 2x 3
0 的基础解系.证明：
1 2 3 s , 2 1 3 s , ,s 1 2 s 1
也是 Ax 0 的基础解析.
27、设向量组 1 , 2 , , s 线性无关.证明：当且仅当 n 为奇数时，向量
zT Az z T Gz z T
T xxT T Gyy G z z z 0 xTx y T Gy
xx T Gyy T G 所以 A G T T 是正定矩阵. xx y Gy
5、 设 A
是 n n 阶矩阵，如果对任意 n 维向量 (c1 ,c2 , ,cn )T ，都有
1 , 2 , ， r 线性无关.
20、次数 0 且首项系数为 1 的多项式 f (x )是一个不可约多项式的方 幂充分必要条件是：对任意多项式 g(x )，必有(f (x ),g(x )) 1 或者对 某一正整数 m ， f(x ) | g m(x ). 21、 n 元线性方程组
a 11x 1 a 12 x 2 a1n x n 0 a 21x 1 a 22 x 2 a 21n x n 0 a n -1,1 x 1 a n -1,2 x 2 a n 1,n x n 0
其中 1 2 t 1 1 .
33、 （15 矩阵. 34、 （10
分）已知 n 阶矩阵 A 是正定的，证明： A 的伴随矩阵 A 也是正定
分）设 x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 是线性空间V 的一组线性无关向量，证
明 x 1 x 2 ,x 2 x 3 ,x 3 x 4 ,x 4 x 5 ,x 5 x 1也是一组线性无关的向量.
分）证明：如果(x 2 x 1) | f1(x 3 ) xf2(x 3 )，那么
(x - 1) | f1(x ) ，（x - 1） | f2(x ).
38、 （20
分）矩阵的列向量是线性无关的，就称该矩阵是列满秩的
6/7
（1）设 A 为 m n 矩阵，则 A 是列满秩的充分必要条件是存在 m m 可
1、多项式 f(x ),g(x ),h(x )有
f(x 5 ) xg(x 5 ) x 2h(x 5 ) (x 4 x 3 x 2 x 1)k(x)
证明： x 1 是 f(x ),g(x ),h(x )的一个公因式.
2、设 A,B ,C ，分别为 n
m ,m p , p q 矩阵.
(f(x ),g(x )) (f1(x ),g 1(x )).
14、 （15 分）设 f1(x ),f2(x ),g 1(x ),g 2(x ) P[x ],a P 使得 f1(a ) 0 ，
(f1(x ),f2(x )) x a . g 2(a ) 0 ， 且 f1(x )g 1(x ) f2(x )g 2(x ) x a . 证明：
2/7
f(x ) 1 x 4 x 8 x 4n
的充分必要条件是 n 是偶数.
0 1 2 -1 11、设矩阵 A 1 1 4 ，求 A 的逆矩阵 A . 2 1 0
2 1 1 1 3 1
1 1
12、计算行列式 1 1 4 1 . 1 1 1 n 1 13、设 g 1(x ) cf(x ) dg(x ),f1(x ) af(x ) bg(x )，且 ad bc 0 ，证 明
3/7
18、如果 f(x ) | f(x 2 )，则 f (x )的根只能是零或单位根. 19、设在向量组 1 , 2 , ， r 中，1 0 ，并且每一个 i 都不能表示 成它的前 i 1 个向量 1 , 2 , ，i 1 的线性组合(2 i r ) ，证明
E n 逆矩阵 Q 使得 A Q 0 .
（2）已知
1 1 1 2 1 0 A 1 1 0 4 1 1 5 3 1