高等代数选讲(2016)练习题
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E n 逆矩阵 Q 使得 A Q 0 .
（2）已知
1 1 1 2 1 0 A 1 1 0 4 1 1 5 3 1
求满足（1）中条件的可逆矩阵 Q .
39、 （15
分）设 A 是 m n 实矩阵，B 是 n 阶实方阵，C 是 n m 实矩阵，
其中 1 2 t 1 1 .
33、 （15 矩阵. 34、 （10
分）已知 n 阶矩阵 A 是正定的，证明： A 的伴随矩阵 A 也是正定
分）设 x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 是线性空间V 的一组线性无关向量，证
明 x 1 x 2 ,x 2 x 3 ,x 3 x 4 ,x 4 x 5 ,x 5 x 1也是一组线性无关的向量.
a11 a12 a 22 a 的 系 数 矩 阵 A 21 a n 1,1 a n 1,2
， 设 Mi 是 矩 阵 A 划 去 第 i 列 剩 下 的 a n 1,n
a1n a 2n
(n - 1) (n - 1)矩阵的行列式.
4/7
x 1 x x x x2 x x x3 24、 x x x x x
25、证明：(f (x ),g(x ))
x x x n
1 的充分必要条件是 (f(x )g(x ),f(x ) g(x )) 1 .
26、设 1 , 2 , , s 是齐次线性方程组 Ax
分）证明：如果(x 2 x 1) | f1(x 3 ) xf2(x 3 )，那么
(x - 1) | f1(x ) ，（x - 1） | f2(x ).
38、 （20
分）矩阵的列向量是线性无关的，就称该矩阵是列满秩的
6/7
（1）设 A 为 m n 矩阵，则 A 是列满秩的充分必要条件是存在 m m 可
组 1 2 , 2 3 , ,s 1 线性无关.
2 1
28、计算行列式：
1 2
1 1 2
1 1 1 2
1 1 1 . 1
1 1
1 1 1
1 1 1 1 2
29、设 A
(aij )是 n n 矩阵，其中
a , i j aij 1, i j
1）证明：秩(AB )+秩(BC )≤秩(B )+秩(ABC ). 2）证明：若存在自然数 N ，使得方阵 G 满足 秩(G N ) 秩(G N 1 ),则有
秩 (G N ) 秩 (G N 1 ) 秩 (G N 2 )
3、设复数 满足 n 1 ,但对 0
k n , k 1 .令
2
2
2
（1）t 为何值时，二次型是负定的； （2）当t -1 时，试用正交变换化此二次型为标准型（写出所用正交
5/7
变换的矩阵形式）.
31、 （15
分）证明 p(x )是不可约多项式的充要条件是对于任意两个多
项 式 f(x ),g(x ) ， 由 p(x ) | f(x )g(x ) 一 定 可 以 推 出 p(x ) | f(x ) 或
15 、已知三级矩阵的每一个列向量都是以下三元线性方程组的解
x 1 2x 2 x 3 1 2x 1 x 2 x 3 2 ，且 r(B ) 2 . 3x x x 1 2 3 1
（1） 求 的值； （2） 设 A 为此线性方程组的系数矩阵，求(AB )n . 16、 （15 分）如果(x 1)2 | ax 4 bx 2 1 ，求 a ,b . 17、设 B 是 n 阶方阵， C 为 n m 矩阵，且 r(C ) n .证明： （1）如果 BC 0 ，则 B 0 . （2）如果 BC C ，则 B E .
p(x ) | g(x ).
32、 （15
分）设 0 是线性方程组的一个解，1 ,2 , ,t 是它的导出方
程组的一个基础解系，
1 0 , 2 1 0 , ,t 1 t 0 ，
证明：线性方程组的任意一个解 都可表成
1 1 2 2 t 1t 1
（1） 证明 a11x1 a12 x2 a1n x n 0 是方程组的一个解
M 2 , , (1)n 1 M n )的 （2） 如果 A 的秩为 n - 1 ，那么方程组的解全是(M1 ,
倍数. 22、设 A, B 是 n 级矩阵，证明：(AB ) B A . 23、设 A 是 n 级反对称矩阵， AT A,AT 表示 A 的转置. （1）证明： E A 4 一定是正定矩阵. （2）E A 2 也一定是正定矩阵吗？若是给出证明，若不是给出反例.
zT Az z T Gz z T
T xxT T Gyy G z z z 0 xTx y T Gy
xx T Gyy T G 所以 A G T T 是正定矩阵. xx y Gy
5、 设 A
是 n n 阶矩阵，如果对任意 n 维向量 (c1 ,c2 , ,cn )T ，都有
（1） 求行列式 det A 的值，这里 det A 表示矩阵 A 的行列式； （2） 设W X | AX 0，求W 的维数及W 的一组基.
30、已知二次型
f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) 4x 1 4x 2 4x 3 4x 1x 2 4x 1x 3 4tx 2x 3
( , ) T G , , T H
均为 R n 上的内积，因此对 z R n ,z 0 ，我们有：
1/7
zT Gz - zT
GyyT G (z,z)(y,y) - (z,y)2 z 0 (y,y) y T Gy
且等号仅当 z ,y 线性相关，即： z ky ,k R ,k 0 时成立，而当
T T 2 xxT 2 x Hxx Hx 2 x ,x z T z k k 0， z ky ,k R ,k 0 时， 同 xx xT x xT x T
xxT (z T x )2 0 ，故对 z R n ,z 0 ， 时： z T z T xx x x
T
x k1 k 2( )且 k1 k 2 1 .
8、设向量组 1 , 2 , 3 线性相关， 2 , 3 , 4 线性无关.证明：
（1） 1 能由 2 , 3 线性表示； （2） 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表示. 9、对于行列式为零的 n 阶矩阵 A ，证明：存在非零的 n 阶矩阵 B ,C ， 使得 AB CA 0 . 10、证明：多项式 g(x ) 1 x 2 x 4 x 2n 能整除
3/7
18、如果 f(x ) | f(x 2 )，则 f (x )的根只能是零或单位根. 19、设在向量组 1 , 2 , ， r 中，1 0 ，并且每一个 i 都不能表示 成它的前 i 1 个向量 1 , 2 , ，i 1 的线性组合(2 i r ) ，证明
35 、（
10 分 ） 设 A 是 n n
矩阵，且
A 2 A,E 是 单 位 矩 阵 . 证 明 ：
秩(A ) 秩(A E ) n .
x 1 x x x x2 x x x3 36、计算行列式（15 分） x x x x x
37、 （15
x x x . n
0 的基础解系.证明：
1 2 3 s , 2 1 3 s , ,s 1 2 s 1
也是 Ax 0 的基础解析.
27、设向量组 1 , 2 , , s 线性无关.证明：当且仅当 n 为奇数时，向量
如果 AB 2A,BC 0 ，且 r(A ) n ，证明： B T AT A CC T 为正定矩阵.
40、 （15
分）对于实二次型 f(x 1 ,x 2 , ,x n ) X T AX ，其中 A 是 n 阶实对
称矩阵，证明：实二次型 f 是正定的充分必要条件是存在非奇异实矩 阵 C ，使得 A C T C .
(f(x ),g(x )) (f1(x ),g 1(x )).
14、 （15 分）设 f1(x ),f2(x ),g 1(x ),g 2(x ) P[x ],a P 使得 f1(a ) 0 ，
(f1(x ),f2(x )) x a . g 2(a ) 0 ， 且 f1(x )g 1(x ) f2(x )g 2(x ) x a . 证明：
1 t 2t 1 t 1 2(t 1) A 1 t s 1 2(t s 1)
(n 1)(t s 1)
(n 1)t (n 1(t 1)
这里 s ,t 都是正整数，且 s n ,任取 s 1 复矩阵 b 和 n 1 复矩阵
1、多项式 f(x ),g(x ),h(x )有
f(x 5 ) xg(x 5 ) x 2h(x 5 ) (x 4 x 3 x 2 x 1)k(x)
证明： x 1 是 f(x ),g(x ),h(x )的一个公因式.
2、设 A,B ,C ，分别为 n
m ,m p , p q 矩阵.
2/7
f(x ) 1 x 4 x 8 x 4n
的充分必要条件是 n 是偶数.
0 1 2 -1 11、设矩阵 A 1 1 4 ，求 A 的逆矩阵 A . 2 1 0
2 1 1 1 3 1
1 1
12、计算行列式 1 1 4 1 . 1 1 1 n 1 13、设 g 1(x ) cf(x ) dg(x ),f1(x ) af(x ) bg(x )，且 ad bc 0 ，证 明
c ，分别讨论线性方程组 AX b 和 AT Y c 的解的情况。
4、设 G,H 都是 n 阶正定矩阵， x 是 n 维非零列向量，令 y
Hx ，证明：
xx T Gyy T G A G T T xx y Gy
来自百度文库
是正定矩阵. 证明 因为 G,H 都是 n 阶正定矩阵，所以对任意 ， R n ,
1 , 2 , ， r 线性无关.
20、次数 0 且首项系数为 1 的多项式 f (x )是一个不可约多项式的方 幂充分必要条件是：对任意多项式 g(x )，必有(f (x ),g(x )) 1 或者对 某一正整数 m ， f(x ) | g m(x ). 21、 n 元线性方程组
a 11x 1 a 12 x 2 a1n x n 0 a 21x 1 a 22 x 2 a 21n x n 0 a n -1,1 x 1 a n -1,2 x 2 a n 1,n x n 0
A 0 ，那么 A 0
6、设 A ,B
是两个 n 级正定矩阵.证明： A B 也是正定矩阵.
是非齐次线性方程组 Ax b 的一个 1 的 m n 矩阵，
7、 设 A 是秩为 n
特解， 是对应的齐次线性方程组 Ax 0 的一个非零解.证明： （1） 与 是 Ax b 线性无关的解向量； （2） Ax b 的解都可以表示为
（2）已知
1 1 1 2 1 0 A 1 1 0 4 1 1 5 3 1
求满足（1）中条件的可逆矩阵 Q .
39、 （15
分）设 A 是 m n 实矩阵，B 是 n 阶实方阵，C 是 n m 实矩阵，
其中 1 2 t 1 1 .
33、 （15 矩阵. 34、 （10
分）已知 n 阶矩阵 A 是正定的，证明： A 的伴随矩阵 A 也是正定
分）设 x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 是线性空间V 的一组线性无关向量，证
明 x 1 x 2 ,x 2 x 3 ,x 3 x 4 ,x 4 x 5 ,x 5 x 1也是一组线性无关的向量.
a11 a12 a 22 a 的 系 数 矩 阵 A 21 a n 1,1 a n 1,2
， 设 Mi 是 矩 阵 A 划 去 第 i 列 剩 下 的 a n 1,n
a1n a 2n
(n - 1) (n - 1)矩阵的行列式.
4/7
x 1 x x x x2 x x x3 24、 x x x x x
25、证明：(f (x ),g(x ))
x x x n
1 的充分必要条件是 (f(x )g(x ),f(x ) g(x )) 1 .
26、设 1 , 2 , , s 是齐次线性方程组 Ax
分）证明：如果(x 2 x 1) | f1(x 3 ) xf2(x 3 )，那么
(x - 1) | f1(x ) ，（x - 1） | f2(x ).
38、 （20
分）矩阵的列向量是线性无关的，就称该矩阵是列满秩的
6/7
（1）设 A 为 m n 矩阵，则 A 是列满秩的充分必要条件是存在 m m 可
组 1 2 , 2 3 , ,s 1 线性无关.
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28、计算行列式：
1 2
1 1 2
1 1 1 2
1 1 1 . 1
1 1
1 1 1
1 1 1 1 2
29、设 A
(aij )是 n n 矩阵，其中
a , i j aij 1, i j
1）证明：秩(AB )+秩(BC )≤秩(B )+秩(ABC ). 2）证明：若存在自然数 N ，使得方阵 G 满足 秩(G N ) 秩(G N 1 ),则有
秩 (G N ) 秩 (G N 1 ) 秩 (G N 2 )
3、设复数 满足 n 1 ,但对 0
k n , k 1 .令
2
2
2
（1）t 为何值时，二次型是负定的； （2）当t -1 时，试用正交变换化此二次型为标准型（写出所用正交
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变换的矩阵形式）.
31、 （15
分）证明 p(x )是不可约多项式的充要条件是对于任意两个多
项 式 f(x ),g(x ) ， 由 p(x ) | f(x )g(x ) 一 定 可 以 推 出 p(x ) | f(x ) 或
15 、已知三级矩阵的每一个列向量都是以下三元线性方程组的解
x 1 2x 2 x 3 1 2x 1 x 2 x 3 2 ，且 r(B ) 2 . 3x x x 1 2 3 1
（1） 求 的值； （2） 设 A 为此线性方程组的系数矩阵，求(AB )n . 16、 （15 分）如果(x 1)2 | ax 4 bx 2 1 ，求 a ,b . 17、设 B 是 n 阶方阵， C 为 n m 矩阵，且 r(C ) n .证明： （1）如果 BC 0 ，则 B 0 . （2）如果 BC C ，则 B E .
p(x ) | g(x ).
32、 （15
分）设 0 是线性方程组的一个解，1 ,2 , ,t 是它的导出方
程组的一个基础解系，
1 0 , 2 1 0 , ,t 1 t 0 ，
证明：线性方程组的任意一个解 都可表成
1 1 2 2 t 1t 1
（1） 证明 a11x1 a12 x2 a1n x n 0 是方程组的一个解
M 2 , , (1)n 1 M n )的 （2） 如果 A 的秩为 n - 1 ，那么方程组的解全是(M1 ,
倍数. 22、设 A, B 是 n 级矩阵，证明：(AB ) B A . 23、设 A 是 n 级反对称矩阵， AT A,AT 表示 A 的转置. （1）证明： E A 4 一定是正定矩阵. （2）E A 2 也一定是正定矩阵吗？若是给出证明，若不是给出反例.
zT Az z T Gz z T
T xxT T Gyy G z z z 0 xTx y T Gy
xx T Gyy T G 所以 A G T T 是正定矩阵. xx y Gy
5、 设 A
是 n n 阶矩阵，如果对任意 n 维向量 (c1 ,c2 , ,cn )T ，都有
（1） 求行列式 det A 的值，这里 det A 表示矩阵 A 的行列式； （2） 设W X | AX 0，求W 的维数及W 的一组基.
30、已知二次型
f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) 4x 1 4x 2 4x 3 4x 1x 2 4x 1x 3 4tx 2x 3
( , ) T G , , T H
均为 R n 上的内积，因此对 z R n ,z 0 ，我们有：
1/7
zT Gz - zT
GyyT G (z,z)(y,y) - (z,y)2 z 0 (y,y) y T Gy
且等号仅当 z ,y 线性相关，即： z ky ,k R ,k 0 时成立，而当
T T 2 xxT 2 x Hxx Hx 2 x ,x z T z k k 0， z ky ,k R ,k 0 时， 同 xx xT x xT x T
xxT (z T x )2 0 ，故对 z R n ,z 0 ， 时： z T z T xx x x
T
x k1 k 2( )且 k1 k 2 1 .
8、设向量组 1 , 2 , 3 线性相关， 2 , 3 , 4 线性无关.证明：
（1） 1 能由 2 , 3 线性表示； （2） 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表示. 9、对于行列式为零的 n 阶矩阵 A ，证明：存在非零的 n 阶矩阵 B ,C ， 使得 AB CA 0 . 10、证明：多项式 g(x ) 1 x 2 x 4 x 2n 能整除
3/7
18、如果 f(x ) | f(x 2 )，则 f (x )的根只能是零或单位根. 19、设在向量组 1 , 2 , ， r 中，1 0 ，并且每一个 i 都不能表示 成它的前 i 1 个向量 1 , 2 , ，i 1 的线性组合(2 i r ) ，证明
35 、（
10 分 ） 设 A 是 n n
矩阵，且
A 2 A,E 是 单 位 矩 阵 . 证 明 ：
秩(A ) 秩(A E ) n .
x 1 x x x x2 x x x3 36、计算行列式（15 分） x x x x x
37、 （15
x x x . n
0 的基础解系.证明：
1 2 3 s , 2 1 3 s , ,s 1 2 s 1
也是 Ax 0 的基础解析.
27、设向量组 1 , 2 , , s 线性无关.证明：当且仅当 n 为奇数时，向量
如果 AB 2A,BC 0 ，且 r(A ) n ，证明： B T AT A CC T 为正定矩阵.
40、 （15
分）对于实二次型 f(x 1 ,x 2 , ,x n ) X T AX ，其中 A 是 n 阶实对
称矩阵，证明：实二次型 f 是正定的充分必要条件是存在非奇异实矩 阵 C ，使得 A C T C .
(f(x ),g(x )) (f1(x ),g 1(x )).
14、 （15 分）设 f1(x ),f2(x ),g 1(x ),g 2(x ) P[x ],a P 使得 f1(a ) 0 ，
(f1(x ),f2(x )) x a . g 2(a ) 0 ， 且 f1(x )g 1(x ) f2(x )g 2(x ) x a . 证明：
1 t 2t 1 t 1 2(t 1) A 1 t s 1 2(t s 1)
(n 1)(t s 1)
(n 1)t (n 1(t 1)
这里 s ,t 都是正整数，且 s n ,任取 s 1 复矩阵 b 和 n 1 复矩阵
1、多项式 f(x ),g(x ),h(x )有
f(x 5 ) xg(x 5 ) x 2h(x 5 ) (x 4 x 3 x 2 x 1)k(x)
证明： x 1 是 f(x ),g(x ),h(x )的一个公因式.
2、设 A,B ,C ，分别为 n
m ,m p , p q 矩阵.
2/7
f(x ) 1 x 4 x 8 x 4n
的充分必要条件是 n 是偶数.
0 1 2 -1 11、设矩阵 A 1 1 4 ，求 A 的逆矩阵 A . 2 1 0
2 1 1 1 3 1
1 1
12、计算行列式 1 1 4 1 . 1 1 1 n 1 13、设 g 1(x ) cf(x ) dg(x ),f1(x ) af(x ) bg(x )，且 ad bc 0 ，证 明
c ，分别讨论线性方程组 AX b 和 AT Y c 的解的情况。
4、设 G,H 都是 n 阶正定矩阵， x 是 n 维非零列向量，令 y
Hx ，证明：
xx T Gyy T G A G T T xx y Gy
来自百度文库
是正定矩阵. 证明 因为 G,H 都是 n 阶正定矩阵，所以对任意 ， R n ,
1 , 2 , ， r 线性无关.
20、次数 0 且首项系数为 1 的多项式 f (x )是一个不可约多项式的方 幂充分必要条件是：对任意多项式 g(x )，必有(f (x ),g(x )) 1 或者对 某一正整数 m ， f(x ) | g m(x ). 21、 n 元线性方程组
a 11x 1 a 12 x 2 a1n x n 0 a 21x 1 a 22 x 2 a 21n x n 0 a n -1,1 x 1 a n -1,2 x 2 a n 1,n x n 0
A 0 ，那么 A 0
6、设 A ,B
是两个 n 级正定矩阵.证明： A B 也是正定矩阵.
是非齐次线性方程组 Ax b 的一个 1 的 m n 矩阵，
7、 设 A 是秩为 n
特解， 是对应的齐次线性方程组 Ax 0 的一个非零解.证明： （1） 与 是 Ax b 线性无关的解向量； （2） Ax b 的解都可以表示为