椭圆概念PPT课件
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x2 y 2 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
理 论 升 华 整 体 建 构
焦点在y轴上的椭圆的标准方程是
y 2 x2 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
学习效果
自 我 反 思 目 标 检 测
学习行为 学习方法
自 我 反 思 目 标 检 测
已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离 之和为10．求椭圆的标准方程．
离之和为2a（a＞0），则 F1，F2 的
坐标分别为（－c，0）， （c，0）， 由条件 MF1 MF2 2a， 得
( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a，
实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程． ( x c)2 y 2 2a ( x c)2 y 2， 移项得 取过焦点 F1、F2 的直线为x轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 两边平方得 2 2 a2 2 2 2 2 2 2c 2 b， 设 y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． ( x c) y 4a 4a ( x c) y ( x c) y ， 不仅使得方程变得 2 2 2 a a ( x c) y ， 简单规整，同时在后 整理得 设M(x ， y)cx 是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为 2c（c＞0）， 两边平方后，整理得 F1、F2 的距 面讨论椭圆的集 椭圆上的点与两个定点 合性质时，还会看 (a2 c2 ) x2 a2 y 2 a2 (a2 c2 )， 离之和为2a（a＞0），则 F1，F2 的 由椭圆的定义得2a＞2c＞0，即a＞c＞0，到它有明确的几何 意义． 坐标分别为（－ c，0）， （c，0）， 所以 a 2 c 2 0， MF1 2MF2 2 a， 由条件 设 a2 c2 则得 b (b 0)，
x2 y 2 1； （2） 2 x2 y 2 16． （1） 5 4
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 （1）因为5＞4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且
a 2 5，b2 4．
故 因此
c 2 a 2 b2 1，
c = 1，2c = 2．
0) F2 (1，， 0) 焦距为2． 所以，椭圆的焦点为 F1 (1，、
先来做一个实验： 准备一条长度一定的线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下 面的步骤画一个椭圆： （1）如图所示，将绳子的两端固定在画板上的 F1和 F2 两 点，并使绳长大于 F1和 F2的距离． （2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔 尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形． 从实验中可以看到，笔尖（即点M）在移动过程中，与 两个定点 F1和 F2 的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的 长度）． 我们将平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和为常数（大于 F1 F2 ）的点的轨迹（或集合）叫 做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 焦点，两个焦点间的距离叫做焦 距．
x2 y 2 1； 25 16 x2 y 2 1. 16 25
读书部分：阅读教材相关章节
继 续 探 索 活 动 探 究
书面作业：教材习题2.1（必做） 学习指导2.1（选做） 实践调查：用本课所学知识解决 生活中的实际问题
2．写出下列椭圆的焦点坐标和焦距．
x2 y 2 1； （2） 4x2 y2 64． （1 ） 49 24
（1） F1 (5,0)、F2 (5,0)，焦距10； （2） F1 (0, 4 3)、F2 (0, 4 3)，焦距8 3．
写出焦点在x轴焦点在y轴的椭圆的标准方程
焦点在x轴上的椭圆的标准方程是
例2 求下列椭圆的焦点和焦距．
x2 y 2 1； （2） 2 x2 y 2 16． （1） 5 4
巩 固 知 识 典 型 例 题
（2）将方程化成标准方程，为
x2 y 2 1． 8 16
因为16＞8，所以椭圆的焦点在y轴上，并且
a2 16wenku.baidu.comb2 8．
故 因此
c2 a2 b2 16 8 8．
例2 求下列椭圆的焦点和焦距．
x2 y 2 1； （2） 2 x2 y 2 16． （1） 5 4
巩 固 知 识 典 型 例 题
分析 解题关键是判断 椭圆的焦点在哪个 数轴．方法是观察 标准方程中含x项与 含y项的分母，哪项 的分母大，焦点就 在哪个数轴．
例2 求下列椭圆的焦点和焦距．
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 由于2c = 8，2a = 10，即c = 4，a = 5，所以
b2 a2 c2 9，
由于椭圆的焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为 想一想 2 2 x y 将例1中的 1 ， 条件“椭圆的 52 32 焦点在x轴上” 2 2 x y 去掉，其余的 1． 即 条件不变，你 25 9 能写出椭圆的 标准方程吗？
方程（2.2）叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程．它 所表示的椭圆的焦点是
F1 (0， c)，F2 (0，c)， 并
且a2 c2 b2．
想一想 已知一个椭 圆的标准方程， 如何判定焦点 在x轴还是在y轴？
例1 已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的
点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．
(a＞b＞0)
（2.1）
动 脑 思 考 探 索 新 知
方程（2.1）叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程．它 所表示的椭圆的焦点是
F1 (c，， 0) F2 (c，， 0) 并且
a2 c2 b2．
y 2 x2 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
（2.2）
动 脑 思 考 探 索 新 知
第2章
椭圆、双曲线、抛物线
2.1
椭圆
创 设 情 境 兴 趣 引 入
我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次 方程 Ax By C 0 为直线的方程，二元二次方程
x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E 2 4F 0) 为圆的
方程． 下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应 的曲线．
c 2 2， 2c 4 2．
所以，椭圆的焦点为F 焦距为 4 2． 1 (0, 2 2)、F2 (0,2 2)，
1．已知椭圆的焦点为F1 (0, 2)、F2 (0, 2)， 椭圆上的点到两个 焦点的距离之和为8．求椭圆的标准方程．
运 用 知 识 强 化 练 习
x2 y 2 1. 12 16
b2 x2 a2 y 2 a2b2， 2 2 2 2 2 c2 ( x c ) y ( x ) y 2a， 得 等式两边同时除以a b ，
动 脑 思 考 探 索 新 知
x2 y 2 2 1 2 a b
(a＞b＞0)
x2 y 2 2 1 2 a b
创 设 情 境 兴 趣 引 入
实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程．
动 脑 思 考 探 索 新 知
实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程． 取过焦点 F1、F2 的直线为x轴，线段 F1F2 的垂直平分线为
动 脑 思 考 探 索 新 知
y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设M(x，y)是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为2c（c＞0）， 椭圆上的点与两个定点 F1、F2 的距
理 论 升 华 整 体 建 构
焦点在y轴上的椭圆的标准方程是
y 2 x2 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
学习效果
自 我 反 思 目 标 检 测
学习行为 学习方法
自 我 反 思 目 标 检 测
已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离 之和为10．求椭圆的标准方程．
离之和为2a（a＞0），则 F1，F2 的
坐标分别为（－c，0）， （c，0）， 由条件 MF1 MF2 2a， 得
( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a，
实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程． ( x c)2 y 2 2a ( x c)2 y 2， 移项得 取过焦点 F1、F2 的直线为x轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 两边平方得 2 2 a2 2 2 2 2 2 2c 2 b， 设 y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． ( x c) y 4a 4a ( x c) y ( x c) y ， 不仅使得方程变得 2 2 2 a a ( x c) y ， 简单规整，同时在后 整理得 设M(x ， y)cx 是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为 2c（c＞0）， 两边平方后，整理得 F1、F2 的距 面讨论椭圆的集 椭圆上的点与两个定点 合性质时，还会看 (a2 c2 ) x2 a2 y 2 a2 (a2 c2 )， 离之和为2a（a＞0），则 F1，F2 的 由椭圆的定义得2a＞2c＞0，即a＞c＞0，到它有明确的几何 意义． 坐标分别为（－ c，0）， （c，0）， 所以 a 2 c 2 0， MF1 2MF2 2 a， 由条件 设 a2 c2 则得 b (b 0)，
x2 y 2 1； （2） 2 x2 y 2 16． （1） 5 4
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 （1）因为5＞4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且
a 2 5，b2 4．
故 因此
c 2 a 2 b2 1，
c = 1，2c = 2．
0) F2 (1，， 0) 焦距为2． 所以，椭圆的焦点为 F1 (1，、
先来做一个实验： 准备一条长度一定的线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下 面的步骤画一个椭圆： （1）如图所示，将绳子的两端固定在画板上的 F1和 F2 两 点，并使绳长大于 F1和 F2的距离． （2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔 尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形． 从实验中可以看到，笔尖（即点M）在移动过程中，与 两个定点 F1和 F2 的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的 长度）． 我们将平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和为常数（大于 F1 F2 ）的点的轨迹（或集合）叫 做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 焦点，两个焦点间的距离叫做焦 距．
x2 y 2 1； 25 16 x2 y 2 1. 16 25
读书部分：阅读教材相关章节
继 续 探 索 活 动 探 究
书面作业：教材习题2.1（必做） 学习指导2.1（选做） 实践调查：用本课所学知识解决 生活中的实际问题
2．写出下列椭圆的焦点坐标和焦距．
x2 y 2 1； （2） 4x2 y2 64． （1 ） 49 24
（1） F1 (5,0)、F2 (5,0)，焦距10； （2） F1 (0, 4 3)、F2 (0, 4 3)，焦距8 3．
写出焦点在x轴焦点在y轴的椭圆的标准方程
焦点在x轴上的椭圆的标准方程是
例2 求下列椭圆的焦点和焦距．
x2 y 2 1； （2） 2 x2 y 2 16． （1） 5 4
巩 固 知 识 典 型 例 题
（2）将方程化成标准方程，为
x2 y 2 1． 8 16
因为16＞8，所以椭圆的焦点在y轴上，并且
a2 16wenku.baidu.comb2 8．
故 因此
c2 a2 b2 16 8 8．
例2 求下列椭圆的焦点和焦距．
x2 y 2 1； （2） 2 x2 y 2 16． （1） 5 4
巩 固 知 识 典 型 例 题
分析 解题关键是判断 椭圆的焦点在哪个 数轴．方法是观察 标准方程中含x项与 含y项的分母，哪项 的分母大，焦点就 在哪个数轴．
例2 求下列椭圆的焦点和焦距．
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 由于2c = 8，2a = 10，即c = 4，a = 5，所以
b2 a2 c2 9，
由于椭圆的焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为 想一想 2 2 x y 将例1中的 1 ， 条件“椭圆的 52 32 焦点在x轴上” 2 2 x y 去掉，其余的 1． 即 条件不变，你 25 9 能写出椭圆的 标准方程吗？
方程（2.2）叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程．它 所表示的椭圆的焦点是
F1 (0， c)，F2 (0，c)， 并
且a2 c2 b2．
想一想 已知一个椭 圆的标准方程， 如何判定焦点 在x轴还是在y轴？
例1 已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的
点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．
(a＞b＞0)
（2.1）
动 脑 思 考 探 索 新 知
方程（2.1）叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程．它 所表示的椭圆的焦点是
F1 (c，， 0) F2 (c，， 0) 并且
a2 c2 b2．
y 2 x2 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
（2.2）
动 脑 思 考 探 索 新 知
第2章
椭圆、双曲线、抛物线
2.1
椭圆
创 设 情 境 兴 趣 引 入
我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次 方程 Ax By C 0 为直线的方程，二元二次方程
x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E 2 4F 0) 为圆的
方程． 下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应 的曲线．
c 2 2， 2c 4 2．
所以，椭圆的焦点为F 焦距为 4 2． 1 (0, 2 2)、F2 (0,2 2)，
1．已知椭圆的焦点为F1 (0, 2)、F2 (0, 2)， 椭圆上的点到两个 焦点的距离之和为8．求椭圆的标准方程．
运 用 知 识 强 化 练 习
x2 y 2 1. 12 16
b2 x2 a2 y 2 a2b2， 2 2 2 2 2 c2 ( x c ) y ( x ) y 2a， 得 等式两边同时除以a b ，
动 脑 思 考 探 索 新 知
x2 y 2 2 1 2 a b
(a＞b＞0)
x2 y 2 2 1 2 a b
创 设 情 境 兴 趣 引 入
实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程．
动 脑 思 考 探 索 新 知
实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程． 取过焦点 F1、F2 的直线为x轴，线段 F1F2 的垂直平分线为
动 脑 思 考 探 索 新 知
y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设M(x，y)是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为2c（c＞0）， 椭圆上的点与两个定点 F1、F2 的距